1

NÚMEROS COMPLEJOS

1. ¿Qué es un número complejo? Definiciones.

• La ecuación 01x 2 =+ no tiene solución en el campo real, puesto que si intentamos resolverla tendremos que 1x −±= y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor 1i −= , que llamaremos unidad imaginaria.

• Las expresiones del tipo bia + , siendo a y b números reales, reciben el nombre

de números complejos. (Por ejemplo, i2 , i43+ , i32− ,...).

• Todo número complejo es de la forma bia + . Se dice que el número complejo

está escrito en forma binómica.

– El número a se llama parte real del número complejo biaz += . – El número b se llama parte imaginaria del número complejo biaz += .

• Un número real es aquel que no tiene parte imaginaria, es decir, 0b = . • Un número imaginario puro es aquel que no tiene parte real, es decir, 0a = . • Dos números complejos son iguales si tienen iguales su parte real y su parte

imaginaria, es decir, dbycadicbia ==⇔+=+ . Ejemplos: Calcular las raíces siguientes: a) ( ) i61·361·3636 =−=−=− b) ( ) i101·1001·100100 =−=−=− Ejercicios: Calcular las raíces siguientes: a) -25 b) -16 Solución:

2

a) 5i b) 4i Ejemplo: Expresa en forma binómica el número complejo 815 −+ 5 81 5 81· ( 1) 5 81 · 1 5 9i+ − = + − = + − = + Ejercicio: Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) 3 100− − b) 2 7+ − Solución: a) i103− b) i72 +

2. Operaciones con números complejos.

– Suma y diferencia de números complejos.

Ejemplos: Calcula las siguientes sumas: a) (2 5i) (3 4i) 2 5i 3 4i 5 9i+ + + = + + + = + b) (1 i) (1 i) 1 i 1 i 2+ + − = + + − = Ejercicios: Calcula las siguientes sumas: a) (1 3i) (1 i)+ + + b) i (2 5i)+ −

3

Solución: a) i42 + b) i42 − • El opuesto del número complejo a bi+ es a bi− − . Ejemplos: Escribe los opuestos de los siguientes números complejos: a) 3 4i+ Opuesto: 3 4i− − b) 1 i− Opuesto: 1 i− + Ejercicios: Escribe los opuestos de los siguientes números complejos: a) 3 i− + b) 2 5i− − Solución: a) i3− b) i52 + Ejemplos: Calcula las siguientes diferencias: (2 5i) (3 4i) 2 5i 3 4i 1 i+ − + = + − − = − + Ejercicios: Calcula las siguientes diferencias: a) (1 i) (1 i)+ − − b) (1 3i) (1 i)+ − + c) i (2 5i)− − Solución:

4

a) i2 b) i2 c) i62 +−

– Producto de números complejos.

• Tendremos en cuenta que ( )22i 1 1= − = − .

Ejemplo: Calcula los siguientes productos:

2(2 5i) · (3 4i) 6 8i 15i 20i 6 8i 15i 20( 1) 6 8i 15i 20 14 23i+ + = + + + = + + + − = + + − = − + Ejercicios: Calcular los siguientes productos: a) (1 i) · ( 1 i)+ − − b) (1 3i) · (1 i)+ + c) i · (2 5i)− Solución:

a) i2− b) i42 +− c) i25 + Ejemplo: Calcula los siguientes productos:

2 2 2(2 5i) · (2 5i) 2 (5i) 4 25i 4 25( 1) 4 25 29+ − = − = − = − − = + = Ejercicios: Calcula los siguientes productos:

5

a) (1 i) · (1 i)+ − b) (1 3i) · (1 3i)+ − c) ( 2 5i) · ( 2 5i)− − − + Solución: a) 2 b) 10 c) 29 Ejercicio: Determinar el número x sabiendo que (1 xi) · (2 3i)+ − es un número real. Solución:

23x −=

Ejemplo: Siendo 1z 2 mi= + y 2z n 3i= + , hallar m y n de modo que la suma de 1z y 2z sea 2 i− .

1 2z z 2 i 2 mi n 3i 2 i (2 n) (m 3)i 2 i+ = − → + + + = − → + + + = − Luego: 2 n 2 n 2 2 0+ = → = − = m 3 1 m 1 3 4+ = − → = − − = − Ejercicio: Calcular: a) (2 3i) (1 i) (3 i)+ + − − − b) i (3 2i) (2 i)+ − − + c) (1 i) · (1 3i)+ − d) (2 i) · (1 3i) (4 i)+ − − +

6

Solución: a) i3 b) i21− c) i24 − d) i61− – División de números complejos. • Dado un número complejo z a bi= + se llama complejo conjugado de z al

complejo z a bi= − . Ejemplo: Escribe los conjugados de los siguientes números complejos: a) 3 4i+ Conjugado: 3 4i− b) 1 i− Conjugado: 1 i+ Ejercicio: Escribe los conjugados de los siguientes números complejos: a) 3 i− + b) 2 5i− − Solución: a) i3−− b) i52 +− • La división de números complejos se hace multiplicando numerador y

denominador por el complejo conjugado del denominador. Ejemplo: Calcula las siguientes divisiones:

7

2

2 2

2 5i (2 5i) (3 4i) 6 8i 15i 20i 6 8i 15i 20( 1)(2 5i) : (3 4i)3 4i (3 4i) (3 4i) 3 (4i) 9 16( 1)+ + − − + − − + − −

+ + = = = = =+ + − − − −

6 8i 15i 20( 1) 6 8i 15i 20 26 7i 26 7 i9 16( 1) 9 16 25 25 25

− + − − − + + += = = = +

− − +

2

2

2 5i (2 5i) · ( i) 2i 5i 2i 5( 1) 2i 5(2 5i) : i 5 2ii i · ( i) i ( 1) 1− − − − + − + − − −

− = = = = = = − −− − − −

Ejercicios: Calcula las siguientes divisiones: a) (1 i) : (1 i)+ − b) (1 3i) : (1 i)+ + c) (2 3i) : 2i− Solución: a) i b) i2 +

c) i23−−

• El inverso del número complejo z a bi= + es 1 1za bi

− =+

Ejemplo: Calcular el inverso del número complejo 1 i+

2 2

1 1· (1 i) 1 i 1 i 1 i 1 1 i1 i (1 i) · (1 i) 1 i 1 ( 1) 2 2 2

− − − −= = = = = −

+ + − − − −

Ejercicio: Calcula el inverso de los siguientes números complejos: a) 1 i− b) 2 3i+ c) 2 i− +

8

Solución:

a) i21

21+

b) i133

132−

c) i51

52−−

– Cálculo de las potencias de la unidad imaginaria:

i 1= −

( )22i 1 1= − = −

3 2i i · i ( 1) · i i= = − = −

4 3 2i i · i ( i) · i i ( 1) 1= = − = − = − − =

Ejemplo: Calcula 2355i

Si dividimos 2355 entre 4 obtenemos cociente 588 y resto 3, luego

( ) ( ) ii·1i·1i·iii 35883588434·5882355 −=−==== + . Utilizando este razonamiento, podemos escribir simplemente que iii 32355 −== . Ejercicio: Calcula las siguientes potencias: a) 125i

b) 723i

c) 2344i

d) 27i

Solución: a) i b) i−

9

c) 1

d) i−

– Potencia de números complejos dados en forma binómica.

Ejemplos: Calcula la siguiente potencia: Utilizando el binomio de Newton, tenemos que:

4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 04 4 4 4 4(2 3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i) · 2 · (3i)

0 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 3 3 2 2 2 3 44 4 4 4 4·1· 3 i · 2 · 3 i · 2 · 3 i · 2 · 3i · 2 ·1

0 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 4 4 4·1· 81·1 · 2 · 27 · ( i) · 4 · 9 · ( 1) · 8 · 3i ·16 ·1

0 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + − + − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 4 4 4 4· 81 · 54i · 36 · 24i ·16

0 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Triángulo de Tartaglia:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

4 4 4 4 40 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego:

4(2 3i) 1· 81 4 · 54i 6 · 36 4 · 24i 1·16 81 216i 216 96i 16 119 120i+ = − − + + = − − + + = − − Ejercicios: Calcular las siguientes potencias: a) 5(1 2i)−

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b) 3(3 i)+

c) 7( 1 i)− −

d) 4(3 2i)−

Solución: a) i3841+

b) i2618 +

c) i88 +−

d) i120119 −−

Identidades notables:

2 2 2(a b) a b 2ab+ = + + 2 2 2(a b) a b 2ab− = + −

2 2(a b) · (a b) a b+ − = − Ejercicio: Calcula las siguientes operaciones con números complejos: a) 2(1 i) : (4 i)+ + b) 2(2 i) : (1 i)+ +

Solución:

a) i178

172+

b) i21−

3. Módulo y argumento de un número complejo.

– Representación en el plano de los números complejos.

Se dibuja un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de abscisas se representa la componente real, y se llama eje real, y el eje de ordenadas la componente imaginaria, y se llama eje imaginario.

11

En este sistema de coordenadas los números complejos se representan

haciendo corresponder al número complejo a bi+ el punto de coordenadas ( )A a , b , que se llama afijo del número complejo a bi+ . De esta forma, a cada

número complejo le hacemos corresponder un punto del plano y recíprocamente. Si unimos el origen O con el punto A obtenemos un segmento orientado que

llamamos vector y representamos por OA . Así pues, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector.

Ejemplo: Representar el número complejo 2 3i+ . El afijo del número complejo 2 3i+ es ( )2 , 3 .

Ejercicios: Representa los siguientes números complejos: a) 3 2i− b) 4 i− + Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: a) 3 4i+ b) 1 i− c) 3 i− + d) 2 5i−

– Módulo de un número complejo.

Definición: Se llama módulo del número complejo z a bi= + a 2 2z a b= + . Ejemplo:

12

1. Calcula el módulo de los siguientes números complejos:

a) z 4 3i= + 2 2z 4 3 16 9 25 5= + = + = =

b) z 2 i= − −

2 2z ( 2) ( 1) 4 1 5= − + − = + =

Ejercicios:

a) z 3 4i= − b) z 4 6i= + c) z 1 i= − −

Solución: a) 5z =

b) 132z =

c) 2z =

– Argumento de un número complejo.

Se llama argumento del número complejo z a bi= + al ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas. Se le representa por arg(z) = α . + Cálculo del argumento de los números complejos más sencillos.

Ejemplos: Calcular el argumento de los números complejos siguientes:

z = 3

z = 4i

z = -5

z = -5i

13

Ejercicio: Calcular el argumento de los siguientes números complejos: a) z 4i= b) z 2= − c) z 4= d) z 6i= − Solución: a) º90=α b) º180=α c) º0=α d) º270=α

+ Cálculo del argumento de cualquier número complejo.

Si biaz += entonces ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==α

abarctg)zarg(

Ejemplos: Calcular el argumento de los siguientes números complejos: a) z 2 2i= +

2arctg arctg12

α = = , y como α está en el primer cuadrante, 45ºα =

b) z 1 3i= − −

14

3arctg arctg 31

−α = =

−, y como α está en el tercer cuadrante, 240ºα =

c) z 2 3 2i= −

2 3arctg arctg32 3

⎛ ⎞−α = = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, y como α está en el cuarto cuadrante,

330ºα =

d) z 3 3i= − +

3arctg arctg( 1)3

α = = −−

, y como α está en el segundo cuadrante, 135ºα =

Ejercicios: Calcular el argumento de los números complejos:

a) i333z −−=

b) i434z +=

c) i23

21z +−=

15

d) i1z −−=

e) i344z +=

f) i1z −=

g) i232z +−=

h) i22z +=

i) i333z −−=

j) i1z +−=

k) i344z −=

l) i636z −=

Solución: a) º210=α b) º30=α c) º120=α d) º225=α e) º60=α f) º315=α g) º150=α h) º45=α i) º225=α j) º135=α k) º300=α l) º330=α

16

4. Forma trigonométrica y polar de un número complejo.

Forma binómica

Forma trigonométrica

Forma polar

a bi+

( )r cos isenα + α

rα

donde r es el módulo del número complejo a bi+ y α es el argumento. Ejemplo: Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos: a) i344 +

Módulo: 83·24r 22 =+= Argumento: º60=α Por tanto, ( ) º608º60isenº60cos8i344 =+=+

b) i.

Módulo: 1r = . Argumento: º90=α . Por tanto, i = 1 (cos90º + i sen90º) = 190º ( ) º901º90isenº90cos1i =+=

c) 6225º

( )225º2 26 6 cos 225º isen225º 6 . i 3 2 3 2 i

2 2⎛ ⎞⎛ ⎞

= + = + − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ejercicio: Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos: a) i333 −− b) º303

c) i434 + d) ( )º30isenº30cos2 +

e) i23

21+−

17

f) º3304

g) i1−− h) º3005

i) i344 + j) i1− k) ( )º120isenº120cos6 + l) i232 +− m) º1356

n) i22 + o) º2409

p) i333−− q) i1+− r) ( )º150isenº150cos4 + s) i344 − t) i636 −

Solución: a) )º210seniº210(cos66i333 º210 +==−−

b) i23

233)º30seniº30(cos33 º30 +=+=

c) )º30seniº30(cos88i434 º30 +==+

d) i32)º30seniº30(cos2 º30 +==+

e) º120seniº120cos1i23

21

º120 +==+−

f) i232)º330seniº330(cos44 º330 −=+=

g) )º225seniº225(cos22i1 º225 +==−−

h) i2

3525)º300seniº300(cos55 º300 −=+=

i) )º60seniº60(cos88i344 º60 +==+

j) )º315seniº315(cos2º2i1 315 +==− k) ( ) i3336º120isenº120cos6 º120 +−==+

l) )º150seniº150(cos44i232 º150 +==+−

m) i2323)º135seniº135(cos66 º135 +−=+=

n) )º45seniº45(cos22i22 º45 +==+

o) i2

2929)º240seniº240(cos99 º240 −−=+=

p) )º225seniº225(cos66i333 º225 +==−−

q) )º135seniº135(cos22i1 º135 +==+−

18

r) ( ) i2324º150isenº150cos4 º150 +−==+

s) )º300seniº300(cos88i344 º300 +==−

t) )º330seniº330(cos1212i636 º330 +==− 5. Producto y cociente de números complejos en forma polar.

El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

'' 'r·r'r·r α+ααα = Ejemplo:

( ) º180º80º100º80º100 126·26·2 == + Ejercicio: Calcular los siguientes productos: a) º60º120 3·4 b) º270º30 6·5 c) º200º35º15 2·6·5 Solución: a) º18012 b) º30030 c) º25060 El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.

'' 'r

r'r:rα−α

αα ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ejemplo:

º20º80º100º80º100 3

1626:2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

Ejercicio: Calcular los siguientes cocientes: a) º60º120 2:4 b) º270º300 3:6 c) º45º60 7:7

Solución:

19

Calcular los siguientes cocientes: a) º602 b) º302 c) º151

6. Potenciación y radicación de números complejos en forma polar.

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo, que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento n veces el argumento del complejo dado: ( ) ( ) αα = n

nn rr Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) i3128128i23

21256º240isenº240cos25625644i322 º240º60·4

44º60

4−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+====+

Ejercicio: Calcular:

a) ( )5i333 −− b) ( )6

º303

c) ( )3i434 + d) ( )78

º3304 e) ( )46i1−− f) ( )9º3005

g) ( )7i344 + h) ( )65i1−

i) ( )3i232 +− j) ( )4

º1356

k) ( )10i22 +

20

l) ( )78º2401

m) ( )7i333−− n) ( )5i1+−

o) ( )8i636 −

Solución: a) º3307776 b) º180729 c) º90512 d) ( ) º180

784 e) ( ) º270

232 f) ( ) º180

95 g) ( ) º60

78

h) ( ) º315652

i) º9064 j) º1801296 k) º901024 l) º01 m) ( ) º135

76 n) º31524 o) ( ) º120

812

Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos que tienen de

módulo la raíz n - ésima del módulo y por argumento n

º360·k+α con nk0 <≤ .

21

Ejemplo: Halla las raíces cúbicas del complejo i8z = .

8z = , º90zarg ==α . Las raíces cúbicas son tres números complejos nz con { }2,1,0n∈ con

28z 3n == y º30

3º360·0º90zarg 0 =

+= , º150

3º360·1º90zarg 1 =

+= y

º2703

º360·2º90zarg 3 =+

= , luego:

( ) i3i21

232º30isenº30cos22z º300 +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+== ,

( ) i3i21

232º150isenº150cos22z º1501 +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+== ,

( ) ( ) i2i)1(02º270isenº270cos22z º2700 −=−+=+== . Ejercicios: Calcula las siguientes raíces:

a) 3

-1

b) 4

1 + i

c) -36

d) 3

-27

e) 6

729i

Solución:

a)

º3002

º1801

º600

1z,1z,1z

===

b)

16258

3

16178

2

1698

1

168

0

2z

,2z

,2z

,2z

π

π

π

π

=

=

=

=

c) º2701

º900

6z,6z

==

22

d)

º3002

º1801

º600

3z,3z,3z

===

e)

,3z

,3z

,3z

,3z

,3z

,3z

475

12174

12133

432

1251

120

π

π

π

π

π

π

=

=

=

=

=

=

Ejercicios de números complejos.

1. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos, dando la parte real y la

parte imaginaria del resultado:

a) i

3 i+

b)

7

21

1 i1 i+−

c) 1 3i i·(2 i)

1 3i+ − −

+

d) ( ) ( ) ( )1 i · 2 i · 3 i+ + +

e)

2 i2 i−+

f)

21 6214 5

30 23

i ii ii i

+− +

−

g) 2 i 3 i:3 i 2 i− −+ +

Solución:

a) i103

101+

23

b) 1

c) i101

103+

d) 10i

e) i3

2231+

f) i2 +−

g) 21

2. Calcula (en forma binómica) las siguientes potencias:

a) ( )31 2i+

b) ( )352 i+

Solución:

a) i211−− b) i112 +

3. Determinar el valor de m para que el número complejo )mi2(·)i63(z −−= sea:

a) Un número real. b) Un número imaginario puro.

Solución:

a) 4m −= b) 1m −=

4. Determinar el valor de x para que (3 + 2i) · (1 - i)

3 + xi sea igual a 75 -

45 i

Solución: 1x =