A-15 Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Ingeniería ... ACTIVOS - … · Dispositivos y...

Universidad Nacional de Rosario

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura

Escuela de Ingeniería Electrónica

A-15 - Dispositivos y Circuitos Electrónicos II

A-15

Dispositivos y Circuitos Electrónicos II

Ingeniería Electrónica

Filtros Activos

Edición 2019.1

2

Dispositivos y Circuitos Electrónicos II Notas de Clase – Filtros Activos

Índice

Filtros activos: 1° parte ......................................................................................... 4

Definición de filtro: ................................................................................................................. 4

Clasificación: .......................................................................................................................... 4 Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo) ............................................................. 5

Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo.................................... 6

Definimos: ........................................................................................................................... 6 Transmisión sin distorsión: ...................................................................................................... 6

Concepto de filtro activo: ....................................................................................... 7

Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta al impulso) ........... 7

Observaciones: ..................................................................................................................... 7

Filtros activos de 1er orden: ................................................................................. 10

Derivador (pasa altos): .......................................................................................................... 10

Físicamente: ....................................................................................................................... 10 Pasa Altos con ganancia ..................................................................................................... 11

Integradores (pasa bajos): ...................................................................................................... 11 Integrador de Deboo (no inversor): ..................................................................................... 12

Filtro Pasa Banda (con ganancia):.......................................................................................... 14 Filtro Pasa Banda: ................................................................................................................. 15

Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase: .............................................................................. 15 Resumen de las configuraciones de 1er orden: ....................................................................... 16

Pasa Bajos con ganancia: ................................................................................................... 16 Pasa altos con ganancia: ..................................................................................................... 17

Pasa todo:........................................................................................................................... 17

Filtros estándar de 2° orden .................................................................................. 18

Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden: .................................................. 20

Pasa Bajos de 20 Orden: ......................................................................................................... 21

Pasa Altos de 2° Orden: ......................................................................................................... 24 Respuesta Pasa Banda de 2° Orden:....................................................................................... 25

Observaciones: ................................................................................................................... 28 Selectividad:.......................................................................................................................... 29

FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca) .............................................................. 30

Filtros Activo 2° Parte: ......................................................................................... 32

Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel: ............................................................. 32

Aproximación de Butterworth: .............................................................................................. 34 Características del Filtro Butterworth: ................................................................................... 36

Filtros Chebyshev: ................................................................................................................ 37 Aproximación de Chebyshev Tipo I: .................................................................................. 39

Aproximación de Bessel(ó Thomson): ................................................................................ 39 Comparativa:...................................................................................................................... 41

Coeficientes para filtros de 2° Orden: ................................................................................. 41

Implementación circuital de Filtros de 2° Orden: ................................................. 43

Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key): ............................................................... 44

Filtro KRC Pasa Bajos: ......................................................................................................... 45 Ajuste del filtro: ................................................................................................................. 46

Solución óptima 1: Diseño KRC c/ componentes iguales.................................................. 46

3


Filtro KRC Pasa Altos: .......................................................................................................... 47 Filtro Pasa Bandas KRC: ....................................................................................................... 48

Filtros de realimentación múltiple: ........................................................................................ 48 Pasa Banda:........................................................................................................................ 49

Sensibilidad:.......................................................................................................................... 49 Sensibilidad en los filtros KRC: ......................................................................................... 50

Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple: ........................................................ 50 Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB: ........................................................................ 51

4


El presente trabajo es un resumen de los conceptos fundamentales que

explicaremos en clase. Para una comprensión y estudio del tema

aconsejamos consultar la bibliografía recomendada. Además, se trata de una

versión preliminar sujeta a cambios y correcciones.

Filtros activos: 1° parte

Definición de filtro:

Circuito que procesa señales con dependencia de la frecuencia. El

comportamiento está definido por la función transferencia𝐻(𝑠), con 𝑠

variable compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔.

La forma en que su comportamiento varía con la frecuencia se llama

respuesta en frecuencia y se expresa en términos dela función

transferencia para 𝑠 = 𝑗𝜔 ⟹ 𝐻(𝑗𝜔)𝑐𝑜𝑛𝜔 = 2𝜋𝑓.

Aparecen entonces el módulo de la ganancia∥ 𝐻(𝑗𝜔) ∥ y la fase

∡ 𝐻(𝑗𝜔) = 𝜃(𝑗𝜔) que dan la ganancia y el cambio de fase que sufre una señal

de C.A al pasar por un filtro.

Clasificación:

ωC

|H(jω)|(en veces)

P.B.

ω1

|H(jω)|(en veces)

P.Banda

ω2

ωC

|H(jω)|(en veces)

P.A.

ω1

|H(jω)|(en veces)

R.Banda

ω2

ωC

|H(jω)|(en veces)

P.B.

ω1

|H(jω)|(en veces)

P.Banda

ω2

ωC

|H(jω)|(en veces)

P.A.

ω1

|H(jω)|(en veces)

R.Banda

ω2

5


Ejemplo:(Relación entre el espectro / F.T. / tiempo)

Amplitud

νi

f1 f2 f3

f1 f2 f3

P.B.

f1 f2 f3

P.A.

f1 f2 f3

R.B.

Amplitud

νi

f1 f2 f3

f1 f2 f3

P.B.

f1 f2 f3

P.A.

f1 f2 f3

R.B.

Pasa bajos: Utilizados para filtrar (sacar) altas frecuencias. Ej:

medición de variables de baja dinámica (t °C).

Pasa altos: Procesamiento de imágenes. Ej: cambios bruscos en el

contorno.

Pasa banda: Selección de frecuencia de radio.

Rechaza banda (notch): Ej: medición de frecuencia cardíaca que

viene acompañada por la frecuencia respiratoria.

6


Concepto de transmisión sin distorsión – Retardo de grupo.

Definimos:

𝑻𝒈(𝝎) = −𝒅𝜽(𝝎)

𝒅𝝎 y la fase 𝜽(𝝎𝟎) = −∫ 𝑻𝒈(𝝎)𝒅

𝝎𝟎

𝟎𝝎

Retraso de fase a la salida expresado en tiempo es:

𝑻 = −𝜽(𝒋𝝎𝟎)

𝝎𝟎=𝟏

𝝎𝟎

∫ 𝑻𝒈(𝝎)𝒅𝝎𝟎

𝟎

𝝎

Es decir, el retraso temporal de la salida respecto de la entrada a una

frecuencia dada es el promedio de 𝑇𝑔(𝜔).Por esto𝑇𝑔 se denomina Retardo de

grupo.

Cuando 𝑇𝑔 = 𝑐𝑡𝑒 ⟹ 𝑇 = 1

ω0∫ 𝑇𝑔(𝜔) 𝑑𝜔0

0𝜔 = 𝑇𝑔

Transmisión sin distorsión:

Para que haya transmisión sin distorsión debe ser la amplitud de la

respuesta en frecuencia 𝐴(𝜔) = 𝑐𝑡𝑒 = 𝐾y la fase debe disminuir con pendiente

constante

⟹ 𝑻𝒈(𝝎) = −𝒅𝜽(𝝎)

𝒅𝝎= 𝑻

“El retardo de grupo contante en el rango de frecuencia de la banda de

paso.”

Un filtro alimentado con una señal de entrada 𝑥(𝑡) = ∑ cos(𝜔𝑛𝑡)𝑚𝑛=1 tendrá

una salida:

𝒚(𝒕) = ∑ ∥ 𝑯 ( 𝒋𝝎𝒏) ∥. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒏𝒕 − 𝜽(𝝎𝒏))

𝒎

𝒏=𝟏

Para evitar la distorsión de amplitud ∥ 𝐻 ( 𝑗𝜔𝑛) ∥ = 𝑐𝑡𝑒

Además, el retardo que sufre cada componente es:

𝒕𝒏 =𝜽𝑯(𝝎𝒏)

𝝎𝒏

Retardo de fase.

Por lo tanto 𝜃𝐻(𝜔) = 𝜏𝜔

7


Concepto de filtro activo:

Los filtros pueden construirse exclusivamente a partir de elementos

resistivos R y almacenadores de energía L y C. Son en este caso filtros

pasivos.

Con la aparición del concepto de realimentación, puedo usar

amplificadores (A.O.) y generar cualquier respuesta sin usar L.

Los C y L son elementos no disipativos que pueden almacenar energía

en un ciclo y entregarla en el otro.

Un A.O puede hacer lo mismo transfiriendo energía desde las fuentes de

alimentación y aportando energía a los elementos resistivos que son

disipativos.

Limitación: la ganancia a lazo abierto del amplificador operacional

limita el uso por debajo de los Mhz.

Para frecuencias mayores uso RLC. Además, en altas frecuencias

disminuye el tamaño de las inductancias y su peso, dado que la reactancia

inductiva en función de L es:

𝑿𝑳 = 𝟐𝝅𝒇𝑳

Función transferencia:(transformada de Laplace de larespuesta

al impulso)

Caracteriza el comportamiento con la frecuencia del filtro.

Resultan ser funciones Racionales de s con polinomios N(s) y D(s) con

coeficientes reales.

𝑯(𝒔) = 𝒂𝒎𝒔

𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏𝒔𝒎−𝟏+. . . +𝒂𝟏𝒔 + 𝒂𝟎

𝒃𝒏𝒔𝒏 + 𝒃𝒏−𝟏𝒔𝒏−𝟏+. . . +𝒃𝟏𝒔 + 𝒃𝟎=𝑵(𝒔)

𝑫(𝒔)

Cuando conozco H(s) puedo encontrar x0(t) para una dada xi (t)

(tensión o corriente).

𝒙𝟎(𝒕) = 𝓛−𝟏{ 𝑯(𝒔). 𝑿(𝒔)}

(𝓛−𝟏transformada inversa de Laplace)

Observaciones:

a) El grado del denominador [D(s)] determina el orden del filtro.

b) Las raíces del numerador [N(s)] son los ceros {z1, z2,….,zn}

c) Las raíces del denominador [D(s)] son los polos {p1, p2,….,pn}

d) Se puede factorizar numerador y denominador.

⇒ 𝑯(𝒔) = 𝑯𝟎.(𝒔−𝒛𝟏).(𝒔−𝒛𝟐)…..(𝒔−𝒛𝒎)

(𝒔−𝒑𝟏).(𝒔−𝒑𝟐)….(𝒔−𝒑𝒏) con 𝑯𝟎 =

𝒂𝒎

𝒃𝒏

8


e) Las raíces se denominan frecuencia crítica o característica y sólo

dependen del circuito.

f) Las raíces pueden ser reales o complejas.

Si son complejas aparecen como pares conjugados ya que los

coeficientes son reales.

⟹ {pk = σk + jωk pk∗ = σk − jωkq

Ejemplo: En el siguiente circuito encontrar H(s) y la gráfica de polos y

ceros.

L=5mH

C=40µF

R=10Ω

Usando variable compleja:

𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔).𝑹

𝑳𝒔 +𝟏

𝒔𝑪+𝑹

⇒ 𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)

𝑽𝒊(𝒔)=

𝑹

𝑳𝒔 +𝟏

𝒔𝑪+𝑹

Operando algebraicamente:

⇒ 𝑯(𝒔) =𝑹

𝑳

𝒔𝑹

𝑳𝒔 +

𝟏

𝑳𝑪+ 𝒔𝟐

Vemos que tendrá un cero en s=0 y dos polos complejos conjugados.

Para encontrar los polos debo encontrar los ceros de la función

cuadrática del denominador.

Resolviendo:

⇒ 𝑯(𝒔) = 𝟐 . 𝟏𝟎𝟑𝒔

[𝒔 − (−𝟏 + 𝟐𝒋)𝟏𝟎𝟑][𝒔 − (−𝟏 − 𝟐𝒋)𝟏𝟎𝟑]

Es decir

Vi

C

R

L

VoVi

C

R

L

Vo

Vi

1/CS

R

LS

VoVi

1/CS

R

LS

Vo

9


𝒑𝟏 = ( −𝟏 + 𝟐𝒋). 𝟏𝟎𝟑

𝒑𝟐 = ( −𝟏 − 𝟐𝒋). 𝟏𝟎𝟑

-1 (0)

p1

p2

2

-1

-1 (0)

p1

p2

2

-1

Im(Krad/s)

Re(KNp/s)-1 (0)

p1

p2

2

-1

Im(Krad/s)

Re(KNp/s)

Vemos que los polos tienen parte real negativa.

Este es un sistema de fase mínima (polo con parte real negativa y

como máximo un cero en cero)

Vemos que esta función transferencia tiene una gráfica∥ 𝐻(𝑗𝜔) ∥ del tipo

pasabanda.

|H(jω)||H(jω)|

Conceptualmente:

cero en el origen bode con pendiente + 20 dB/dec.

2 polos bode con pendiente-40 dB/ dec. Por lo que la pendiente

de la asíntota para f > f polo resultará -20 dB/dec

10


Filtros activos de 1er orden:

Repasemos algunas configuraciones ya estudiadas.

Son los filtros más simples que utilizan C y R como componentes

externos al AO.

Derivador (pasa altos):

Vi(S)Vo

R1/CSI(S)

Vi(S)Vo

R1/CSI(S)

𝑽𝟎 =−𝑽𝒊(𝒔)

𝟏/𝒔𝑪 . 𝑹 ⇒

𝑽𝟎(𝒔)

𝑽𝒊(𝒔)= −𝒔𝑪𝑹 ( 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 )

Si 𝒔 = 𝒋𝝎 ⇒ 𝑯(𝒋𝝎) = −𝒋𝝎𝑪𝑹 (1)

Si llamo 𝑪𝑹 = 𝟏

𝝎𝟎 (2)

De (1) y (2) H(jω) = −j ω

ω0 =

ω

ω0 ∠ − 90°

( 𝝎

𝝎𝟎= 𝑮𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂 𝝎𝟎 ; ∠ − 𝟗𝟎° 𝒓𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔𝒐 𝟗𝟎° )

|H(jω)|dB

ω/ω0(normalizado)

01 1 10

20

-20

Físicamente:

f ↓( ω↓) →ǀZcǀ> R → Atenuación

f ↑( ω↑) →ǀZcǀ< R → Amplifica

para 𝜔 = 𝜔0 ∥ 𝐻(𝑗𝜔0) ∥= 1 = 0 𝑑𝐵.

11


Pasa Altos con ganancia

ViVo

R21/CSR1

ViVo

R21/CSR1

𝑯(𝒔) = − 𝑹𝟐

𝑹𝟏

𝑹𝟏𝑪𝒔

𝑹𝟏𝑪𝒔+𝟏 (cero en S=0, polo en S=-1/R1C)

|H(jω)|

ω

Ideal

R2/R1

ω0

𝒘𝟎 =𝟏

𝑹𝟏𝑪

𝑯(𝒋𝝎) = − 𝑹𝟐𝑹𝟏

𝑹𝟏𝑪𝒋𝝎

𝑹𝟏𝑪𝒋𝝎 + 𝟏

𝑯(𝒋𝝎) = − 𝑹𝟐𝑹𝟏

𝒋(𝝎

𝝎𝟎)

𝟏 + 𝒋(𝝎

𝝎𝟎)

Integradores (pasa bajos):

VoVi

R C

de Miller

VoVi

R C

de Miller

𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)

𝑽𝒊(𝒔)= −

𝟏

𝑹𝑪𝒔

Integrador inversor, dividir por S, significa integrar.

12


𝒔 = 𝒋𝝎 ⇒ 𝑯(𝒋𝝎) = −𝟏

𝒋 (𝝎

𝝎𝟎)=𝟏𝝎

𝝎𝟎

∠ + 𝟗𝟎°

ω/ω001 1 10

20

-20

|H(jω)|

ω/ω0

90º

θ(jω)

ω/ω001 1 10

20

-20

|H(jω)|

ω/ω0

90º

θ(jω)

Integrador de Deboo (no inversor):

Conceptualmente es una fuente de Howland con carga capacitiva y con

entrada de señal por el terminal no inversor.

IL

Vo

R

2C

R

Vi

R

R

IL

Vo

R

2C

R

Vi

R

R

En la fuente de Howland vimos que:

𝒊𝑳 = 𝒗𝒊𝟏

𝑹

En términos de s:

𝒊𝑳(𝒔) = 𝒗𝒊(𝒔) 𝟏

𝑹

𝒆+(𝒔) = 𝒊𝑳(𝒔).𝟏

𝟐𝑪𝒔

𝒆+(𝒔) =𝑽𝒊(𝒔)

𝟐𝑪𝑹𝒔

13


Luego:

𝑽𝟎(𝒔) = (𝟏 +𝑹

𝑹)𝑽𝒊(𝒔)

𝟐𝑪𝑹𝒔

𝑯(𝒔) =𝑽𝟎(𝒔)

𝑽𝒊(𝒔)=

𝟏

𝑪𝑹𝒔Un polo en s=0

El circuito integrador de Deboo puede estudiarse también

relacionándolo con el conversor de resistencia negativa que ya estudiamos.

IL

Vo

K R

C

R

Vi

R

R

Ri

Recordemos que, en el conversor de resistencia negativa, teníamos que

la resistencia de entrada es:

𝑹𝒊 = − 𝑹

𝑲

Vo

R2R1

R

Ri

Vo

R2R1

R

Ri

Por lo tanto, el C ve una resistencia equivalente:

𝑹𝒆𝒒. = 𝑹 ∕∕−𝑹

𝒌=𝑹. (

−𝑹

𝒌)

𝑹 −𝑹

𝒌

=−𝑹𝟐

𝒌. 𝑹 (𝟏 −𝟏

𝒌)=

−𝑹

𝒌 − 𝟏

𝑹𝒆𝒒. = 𝑹

𝟏 − 𝒌

Por lo que el polo estará en:

𝒑 = −𝟏 −𝑲

𝑹𝑪

14


0k

1

K<1

0k

1

K<1

a) para k<1:

𝑅𝑡ℎ = 1.𝑅

1−𝑘>0 ⇒prevalece R positiva, polo negativo y respuesta temporal

que se extingue. Energía perdida en R.

Re

K<1

Im

K=1

K>1

Re

K<1

Im

K=1

K>1

b) para k=1:

Se balancea la energía suministrada por la R negativa en la R positiva -

>polo en el origen.

c) para k>1:

d) Energía aportada por la R negativa es mayor que la de la R positiva -

> diverge.

Filtro Pasa Banda (con ganancia):

Vimos el integrador no ideal modificado para evitar la saturación del

A.O. Este es el mismo pensado como P.B con ganancia de CC.

IdealR2/R1

ω0

IdealR2/R1

ω0

Vi

R1C

R2

Vi

R1C

R2

IdealR2/R1

ω0

Vi

R1C

R2

𝑯(𝒔) = −𝑹𝟐𝑹𝟏

𝟏

𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔=−𝑹𝟐𝑹𝟏

𝟏

𝟏 +𝒔

𝝎𝟎

15


𝑯(𝒋𝝎) =−𝑹𝟐𝑹𝟏

𝟏

𝟏 +𝝎

𝝎𝟎

{

𝑺𝒊𝝎 ↑ ∥ 𝒁𝒄 ∥ ≪ 𝑹𝟐 ⇒ 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒂𝒅𝒐𝒓

𝑺𝒊𝝎 ↓ ∥ 𝒁𝒄 ∥ ≫ 𝑹𝟐 ⇒ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓𝒅𝒆𝒈𝒄𝒊𝒂−𝑹𝟐𝑹𝟏

Filtro Pasa Banda:

Vo

1/R1C

Vi

RiCf

R

C

Vi

RiCf

R

C

ω1/RCf

-20dB/dec

Figura 19

Vo

1/R1C

Vi

RiCf

R

C

ω1/RCf

-20dB/dec

Figura 19

𝑯(𝒔) =−𝑹

𝑹𝒊.

𝑹𝒊𝑪𝒔

(𝑹𝑪𝒇𝒔 + 𝟏). (𝑹𝒊𝑪𝒔 + 𝟏)

(Filtro de 2° orden como suma de órdenes menores)

Filtro Pasa Todo o Cambiadores de Fase:

Vo

R2

C

R1

R

Vi

Vo

R2

C

R1

R

Vi

A.O ideal + superposición

𝒆+ = 𝑽𝒊(𝒔).

𝟏

𝒔𝑪

𝑹 +𝟏

𝒔𝑪

= 𝑽𝒊(𝒔)

𝟏 + 𝑹𝑪𝒔=

𝑽𝒊(𝒔)

𝟏 +𝒔

𝝎𝒄

Aplico superposición:

𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔)

𝟏 + 𝑹𝑪𝒔(𝟏 +

𝑹𝟐𝑹𝟏) − 𝑽𝒊(𝒔)

𝑹𝟐𝑹𝟏

Suponiendo 𝑅2 = 𝑅1y operando:

16


𝑽𝟎(𝒔) = 𝑽𝒊(𝒔).( 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔)

(𝟏 + 𝑹𝑪𝒔){⟹ 𝒄𝒆𝒓𝒐

𝟏

𝑹𝑪

⟹ 𝒑𝒐𝒍𝒐 −𝟏

𝑹𝑪

𝑯(𝒋𝝎) =𝟏 − 𝒋(

𝝎

𝝎𝟎)

𝟏 + 𝒋(𝝎

𝝎𝟎)= 𝟏

‖𝑯(𝒋𝝎)‖ =√𝟏+ 𝒋 (

𝝎

𝝎𝟎)𝟐

√𝟏+ 𝒋 (𝝎

𝝎𝟎)𝟐= 𝟏 𝒈𝒄𝒊𝒂𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.

𝜽(𝝎) = −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝝎

𝝎𝟎) − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (

𝝎

𝝎𝟎) = −𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (

𝝎

𝝎𝟎)

ω/ω0

-180

1

ω/ω0

-180

1

Ecualizadores de fase.

Resumen de las configuraciones de 1er orden:

Pasa Bajos con ganancia:

R1C

R2

R1C

R2

𝑯(𝒔) =−𝑹𝟐𝑹𝟏

𝟏

𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔

17


Pasa altos con ganancia:

R1

C

R2R1

C

R2

𝑯(𝒔) =−𝑹𝟐𝑹𝟏

𝑹𝟏𝑪𝒔

𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒔

Pasa todo:

R

C

R

R

R

C

R

R

𝑯(𝒔) = 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔

𝟏 + 𝑹𝑪𝒔

Todos los denominadores son del tipo 1 + 𝑅𝐶𝑠 ; ( 1 + 𝑗𝜔

𝜔0) y la respuesta

depende del numerador:

𝑵(𝒔) = 𝟏 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒃𝒂𝒋𝒐𝒔

𝑵(𝒔) = 𝑹𝑪𝒔 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒂𝒍𝒕𝒐𝒔

𝑵(𝒔) = 𝟏 − 𝑹𝑪𝒔 → 𝑷𝒂𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐

18


Filtros estándar de 2° orden

El estudio de los filtros de 2° orden se puede ver genéricamente como

sigue: plantear un cociente de polinomios del tipo

Ecuación (1)𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)

(𝒔

𝝎𝟎)𝟐

+𝟐 𝝃(𝒔

𝝎𝟎)+𝟏

𝒄𝒐𝒏𝑵(𝒔)𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒎 ≤ 𝟐

Expresión general en función de:

𝝃 = 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐

𝝎𝟎 = 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒍 𝒏𝒐 𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒈𝒖𝒂𝒅𝒂

O bien

Ecuación (2) 𝐻(𝑠) =𝑁(𝑠)

(𝑠

𝜔0)2+1

𝑄(𝑠

𝜔0)+1

𝑄 = 1

2𝜉 𝑄: 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑

Vemos que si en esta última expresión – ecuación (2)- desaparece el

término con S2 y consideramos Q → ∞ (𝜉 → 0) a expresión tiene el mismo

denominador que un filtro de primer orden 1 + (𝑠

𝜔0)

Utilizaremos la expresión (1) en función de 𝜉 para estudiar la ubicación

de los polos (ceros del denominador) ya que la ubicación en el lugar de las

raíces puede verse fácilmente en función de 𝜉.

Tiene 2 polos, y resolviendo la ecuación cuadrática, resultan:

𝑝1−2 = ( −𝜉 ± √𝜉2 − 1 ) 𝜔0→ como aparece una raíz el valor de

𝜉determinará si los polos son complejos o no.

Es decir, los polos son:

𝒑𝟏 = (− 𝝃 + √𝝃𝟐 − 𝟏) 𝝎𝟎

𝒑𝟐 = (− 𝝃 − √𝝃𝟐 − 𝟏) 𝝎𝟎

19


Por lo tanto, podemos identificar las siguientes situaciones:

(0)

Im

Reƺ>1

ƺ<0

ƺ=1

ω0

ƺ=0

ƺ=0

ƺ<0

a) ξ = 0 ⇒ p 1-2 = ± JW0 2 polos complejos conjugados sobre

el eje y.

𝑯(𝒔) = 𝑵(𝒔)

(𝑺

𝑾𝟎)𝟐 + 𝟏

Respuesta No Amortiguada Sostenida.

b) ξ = 1⇒ p 1-2 =- JW0 un polo doble real negativo.

𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)

(𝒔

𝑾𝟎)𝟐 + 𝟐(

𝒔

𝑾𝟎) + 𝟏

(0)

ω0

ωn 1-ƺ2

ƺ=0

ƺ.ω0(0)

ω0

ωn 1-ƺ2

ƺ=0

ƺ.ω0

c) 0< ξ <1 ⇒ 2 polos complejos conjugados.

20


Respuesta Sub Amortiguada

d) ξ >1 ⇒p 1-2 polos reales negativos.

Respuesta Sobre Amortiguada

e) ξ < 0 2 polos complejos conjugados c/ parte

real positiva.

Respuesta No Amortiguada

Respuesta en frecuencia del sistema de 2ºOrden:

La expresión general en función de Q es:

𝑯(𝒔) =𝑵(𝒔)

(𝒔

𝑾𝟎)𝟐 +

𝟏

𝑸(𝒔

𝑾𝟎) + 𝟏

Para estudiar la respuesta en frecuencia tomamos S=Jw

𝑯(𝒋𝒘) =𝑵(𝒋𝒘)

(𝒋𝒘

𝑾𝟎)𝟐 +

𝟏

𝑸(𝒋

𝒘

𝑾𝟎) + 𝟏

=𝑵(𝒋𝒘)

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋 (

𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

Al igual que para los sistemas de 1º orden las distintas respuestas serán

función del numerador N(s)

1) N(jw)= 1 ⇒ Pasa Bajos

𝑯(𝒋𝒘) =𝟏

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

2) N (jw)= −(𝑤

𝑊0)2⇒ Pasa Altos

𝑯(𝒋𝒘) =−(

𝒘

𝑾𝟎)𝟐

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

3) N (jw)= j (𝑤

𝑊0)1

𝑄⇒ Pasa Bandas

𝑯(𝒋𝒘) =𝒋 (

𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

21


Genéricamente:

𝑯(𝒋𝒘) =𝑵(𝒔)

(𝒔

𝑾𝟎)𝟐

+𝟏

𝑸(𝒔

𝑾𝟎) + 𝟏

Pasa Bajos de 20 Orden:

Vamos a analizar conceptualmente la forma de la ganancia de amplitud

(Bode de amplitud) de filtros genéricos de 20 Orden que expresamos de esta

forma en función de Q.

𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎

𝟏

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

𝑯𝑳𝑷 (𝒋𝒘) = 𝟏

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸)

Para ello vamos a analizar el Bode de Ganancia en casos extremos:

𝒘

𝑾𝟎 ≪ 1 (w ≪ 𝑾𝟎) ;

𝒘

𝑾𝟎 ≫ 1 (ω ≫ 𝝎𝟎) y ω = 𝑾𝟎

1) Frecuencias Bajas ⇒ω

ω0≪1 (ω≪ω0)

En este caso

𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘) =𝟏

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸) ≈

𝟏

𝟏= 𝟎 𝒅𝑩

(𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸) Despreciables frente a 1

2) Frecuencias Altas ⇒w

W0≫ 1 (w ≫W0)


𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸) ≈

𝟏

(𝒘

𝑾𝟎)𝟐

(𝒘

𝑾𝟎)𝟐

Prevalece frente a los otros

H0 = Ganancia de cc

22


Esta aproximación tiene una asíntota:

|𝑯𝑳𝑷|𝒅𝑩 = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈𝟏

(𝒘

𝑾𝟎)𝟐= −𝟒𝟎 𝒍𝒐𝒈 (

𝒘

𝑾𝟎)(-40 dB por década)

3) w

W0 =1 ⇒ w = W0

𝑯𝑳𝑷(𝒋𝑾𝟎) =𝟏

𝟏 − 𝟏 + 𝒋 (𝟏

𝑸) ≈ −𝒋𝑸

Por lo que |HLP j(W0)| = 𝑄𝑑𝐵Este es el valor del |HLP j(W0)| pero no es el

máximo. Coincide con el máximo si Q→∞

Es decir, aparece una dependencia de |HLP |𝑑𝐵con el valor de Q.

Si Q ↑⇒|HLP | ↑

En términos de ξ sería (𝑄 =1

2𝜉) ; ξ ↓⇒ Q ↑⇒ |HLP| ↑

Conceptualmente si ξ → 0, los polos se acercan al eje imaginario,

siendo que ξ=0 tengo dos polos sobre el eje imaginario.

La forma del Bode de Ganancia para un sistema de 20 Orden es:

|HLP|dB

ω/ω0

1 10

-3dB

-40dB

~20dB

Q → ∞

Q = 10

Q = 2

Q = 1/2

-40dB/dec

Para valores altos de 𝑄, el pico de la gráfica es aproximadamente igual al

valor de 𝑄 en dB. En ω= ω0 el módulo tiende a ∞. Recordar que: Q → 0 es lo

mismo que ξ → 0 y significa que los polos tienden a ubicarse sobre el eje

imaginario.

Observaciones:

23


a) Para 𝑄 =1

√2, que es equivalente a ξ =

1

√2, tendremos


𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝒘

𝑾𝟎)√𝟐

|𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏

√[(𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐)]

𝟐

+ (𝒘

𝑾𝟎√𝟐 )𝟐


√𝟏− 𝟐(𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + (

𝒘

𝑾𝟎)𝟐

+ 𝟐(𝒘

𝑾𝟎)𝟐


√𝟏+(𝒘

𝑾𝟎)𝟐

¿Dónde se produce la caída de 3dB?

Para ello calculemos |𝐻𝐿𝑃 | = 1

√2

⟹ |𝑯𝑳𝑷(𝒋𝒘)| =𝟏

√𝟏 + (𝒘

𝑾𝟎)𝟐=

𝟏

√𝟐⟹

𝒘

𝑾𝟎= 𝟏

⟹𝒘 = 𝑾𝟎

Es decir, si 𝑄 = 1

√2 W0 es la Frecuencia de Corte y la respuesta se

denomina “Máximamente Plana” que también se conoce como respuesta

Butterworth.

b) Para los valores de 𝑄 >1

√2 se verifica que el pico en la forma del

Bode se produce a:

𝒘 = 𝑾𝟎√𝟏 −𝟏

𝟐𝑸𝟐 es decir, a frecuencias menores que W0.

24


|HLP|dB

ω/ω0

1

Q´

ω/ω0

|HLP|dB

ω/ω0

1

Q´

ω/ω0

|HLP|dB

ω/ω0

1

Q´

ω/ω0

c) Los valores máximos de HLP son para Q>1

√2

|HLP|máx = 𝑸

√𝟏−𝟏

𝟒𝑸𝟐

Si Q ↑ ⇒ |𝐻𝐿𝑃|𝑚á𝑥 ≈ 𝑄𝑑𝐵

Si 𝑄 <1

√2 no hay picos y el máximo se produce en w = 0 (CC)

Por ejemplo, si

Q = 10 ⇒ {

𝒘

𝑾𝟎 ≅ 𝟏

|𝑯𝑳𝑷|𝒎á𝒙 ≈ 𝑸𝒅𝑩 ≈ 𝟐𝟎

Pasa Altos de 2° Orden:

La expresión general es:

𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑯𝑷

−(𝒘

𝑾𝟎)𝟐

𝟏−(𝒘

𝑾𝟎)𝟐 +𝒋(

𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸

cero doble en S=0

Puede realizarse el mismo análisis que el caso del Pasa Bajos para

concluir que la gráfica del Bode de amplitud es de la siguiente forma:

25


|HLP|dB

ω/ω0

1

-3dB

Q ↑

Q = 1/2

-40dB/dec

En este caso se cumple que la frecuencia donde se produce el pico para

𝑄 >1

√2 es:

𝑾𝟎

𝒘= √𝟏 −

𝟏

𝟐𝑸𝟐

Y el pico vale:

|𝑯𝑯𝑷|𝒎á𝒙 = 𝑸

√𝟏− 𝟏

𝟒𝑸𝟐

Por lo que también se cumple que el módulo de la ganancia tiende a

valor de 𝐐 en dB para valores grandes de 𝐐.

Respuesta Pasa Banda de 2° Orden:

La expresión general es:

𝑯(𝒔) = 𝑯𝟎𝑩𝑷

𝒔

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

𝟏 + (𝒔

𝑾𝟎)𝟐 + (

𝒔

𝑾𝟎)𝟏

𝑸

Y valorizada en s= jw resulta:

𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷

𝒋𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(

𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸

Para estudiar conceptualmente que forma tendrá |HBP(jw)| en este caso

estudiaremos (como antes) para los casos extremos:

26


a) 𝑤

𝑊0 ≪ 1 ⇒ 𝑤 ≪ 𝑊0

En este caso:

𝑯𝑩𝑷(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷

𝒋𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(

𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸

≈ 𝒋𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

(𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(

𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸 Despreciables frente a 1

∴ |𝐻𝐵𝑃(𝑗𝑤)| = 20 log𝑤

𝑊0− 20 log𝑄(asíntota de 20 dB x década

correspondiente a un cero en cero corrido en QdB)

0 ω/ω0

1

Zona donde ω«ω0 y se

cumple la expresión

|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota

|HBP|dB

20dB/dec

QdB

b) 𝑤

𝑊0≫ 1 ⇒ 𝑤 ≫ 𝑊0

En este caso resulta:

𝑯𝑩𝑷(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎𝑩𝑷

𝒋𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋(

𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸

≈ − 𝒋

𝒘

𝑾𝟎. 𝑸

(𝒘

𝑾𝟎)𝟏

𝑸Término dominante en el numerador

En este caso la asíntota de alta frecuencia es:

27


|𝑯𝑩𝑷|𝒅𝑩 = −𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈

𝒘

𝑾𝟎− 𝑸 𝒅𝑩

ω/ω01

Zona donde ω»ω0 y se

cumple la expresión

|HBP(jω)| Se aproxima a esta asíntota

|HBP|dB

-20dB/dec

QdB

c) Para 𝑤

𝑊0= 1 ⇒ 𝐻𝐵𝑃(𝑗𝑤) = 1 ⇒ |𝐻𝐵𝑃| = 0𝑑𝐵

Resumiendo: La forma del Bode de amplitud para un Pasa Banda tiene

la siguiente forma, para distintos valores de Q

0dB

-20dB

-40dB

0,1 1 10

Q = 10

Q = 5

Q = 1

|H|dB

0dB

-20dB

-40dB

0,1 1 10

Q = 10

Q = 5

Q = 1

|H|dB

28


La gráfica correspondiente a a Q=1 tiene una asíntota de − 𝟐𝟎𝐝𝐁

𝐝𝐞𝐜 sin

corrimiento pues Q=0dB

Observaciones:

a) Se demuestra que |HBP| tiene un pico en 𝜔

𝜔0= 1

independientemente del valor de Q, por lo que ω0 se llama

“Frecuencia de Pico o RESONANCIA”.

b) A medida que Q ↑ las gráficas son más “selectivas”.

c) Cerca de 𝜔

𝜔0= 1 las curvas con alto Q son mucho más empinadas

que ± 20 𝑑𝐵

𝑑𝑒𝑐 y fuera de la resonancia se comportan del mismo

modo.

29


Selectividad:

Para expresar cuantitativamente la selectividad se introduce el concepto

de Ancho de Banda Bω= ωH- ωL

Donde ωH y ωL son frecuencias de -3 dB.

-3dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

ωL ωH

Bω

-3dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

ωL ωH

Bω

Se puede demostrar que:

𝝎𝑳 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏

𝟒𝑸𝟐−

𝟏

𝟐𝑸 (∗)

𝝎𝑯 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏

𝟒𝑸𝟐+

𝟏

𝟐𝑸 (∗∗)

Media Geométrica 𝝎𝟎 = √𝝎𝑳𝝎𝑯

Si se restan (**) y (*)

𝝎𝑯 − 𝝎𝑳 = 𝝎𝟎 (√𝟏 +𝟏

𝟒𝑸𝟐+

𝟏

𝟐𝑸) − 𝝎𝟎 (√𝟏 +

𝟏

𝟒𝑸𝟐−

𝟏

𝟐𝑸)

=𝝎𝟎

𝟐𝑸+ 𝝎𝟎

𝟐𝑸= 𝝎𝟎

𝑸= 𝑩𝝎

∴ 𝑸 = 𝝎𝟎

𝑩𝑾 𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅

Ejemplo:

Filtro 1 Filtro 2

BW = 10 𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔 BW = 10

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

30


𝜔0 = 1 𝐾 𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔 𝜔0 = 100

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

𝑄1 = 100, + selectivo 𝑄2 = 10

FILTRO NOTCH (Rechaza banda – Filtro Muesca)

La forma genérica de la función transferencia es con S = jω

𝑯𝑵(𝒋𝒘) = 𝟏 − (

𝒘

𝑾𝟎)𝟐

𝟏 − (𝒘

𝑾𝟎)𝟐 + 𝒋

𝒘

𝑾𝟎

𝟏

𝑸

Vemos que además de los polos conjugados, tiene 2 ceros sobre el eje Imaginario:Z1-2 = ±𝒋𝝎𝟎

(0)

Im

Re

jω0

-jω0

ƺ.ω0

(0)

Im

Re

jω0

-jω0

ƺ.ω0

a) Si 𝜔

𝜔0 ≪ 1 ⟹ 𝜔 ≪ 𝜔0

𝑯𝑵(𝒋𝝎) = 𝟏

𝟏→ 𝟎 𝒅𝑩

b) Si 𝜔

𝜔0 ≫ 1 ⟹ 𝜔 ≫ 𝜔0

𝑯𝑵(𝒋𝝎 ) = 𝟏 − (

𝝎

𝝎𝟎)𝟐

𝟏 − (𝝎

𝝎𝟎)𝟐 + 𝒋

𝝎

𝝎𝟎

𝟏

𝑸

≅ 𝟏 → 𝟎 𝒅𝑩

Si 𝜔

𝜔0= 1

31


𝑯𝑵(𝒋𝝎) = 𝟏 − (

𝝎

𝝎𝟎)𝟐 → 𝟎

𝟏 − (𝝎

𝝎𝟎)𝟐 + 𝒋

𝝎

𝝎𝟎

𝟏

𝑸

→ 𝟎 ⟹ − ∞ 𝒅𝑩

20dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

-20dB

1 10

Q = 10

Q = 1

20dB

0,1

ω/ω0

|H|dB

-20dB

1 10

Q = 10

Q = 1

0º

0,1

ω/ω0|H|dB

-360º

1 10

Q = 0.2

Q = 5

-180º

Q = 1

0º

0,1

ω/ω0|H|dB

-360º

1 10

Q = 0.2

Q = 5

-180º

Q = 1

Observación:

La combinación de un Pasa Altos y un Pasa Bajos resulta en un filtro

Notch

𝐻𝑁(𝑗𝑤) = 1

1 − (𝑤

𝑊0)2 + 𝑗

𝑤

𝑊0

1

𝑄

+ −(

𝑤

𝑊0)2

1 − (𝑤

𝑊0)2 + 𝑗

𝑤

𝑊0

1

𝑄

= 1 − (

𝑤

𝑊0)2

1 − (𝑤

𝑊0)2 + 𝑗

𝑤

𝑊0

1

𝑄

Pasa Altos

Pasa Bajos Notch

32


Filtros Activo 2° Parte:

Filtros Butterworth, Chebyshev y Bessel:

Hasta ahora vimos filtros de 1° y 2° orden genéricos.

Para los de 1° orden vimos algunas síntesis con AO.

En general los filtros de orden N>2 se conforman con cascadas de

orden 1 y 2 (es lo que se conoce como diseño en cascada)

El proceso de diseño del filtro tiene en cuenta el tipo de Respuesta

(Ganancia y Fase) que se quiere tener para lo cual deben

especificarse la banda pasante y la banda de atenuación además

de la Ganancia.

Por ejemplo, en un Filtro Pasa Bajos tendríamos:

Gcia

ω/ω0

1

ωC ωS

Banda de

transición

Frecuencia

de corte

Frecuencia de la

banda de rechazo

Ate

nuac

ión m

ínim

a

Ripple en banda pasante

A m

ax

Gcia

ω/ω0

1

ωC ωS

Banda de

transición

Frecuencia

de corte

Frecuencia de la

banda de rechazo

Ate

nuac

ión m

ínim

a

Ripple en banda pasante

A m

ax

𝝎𝑺

𝝎𝑪= 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅

Vimos que los filtros de 2° orden tienen un rizado y una pendiente

mayor en la banda de transición. (por ej en un PB)

Es fácil ver que si pretendo una banda de transición angosta

deberemos elevar el orden del filtro.

33


Cuando utilizo filtros con N>2 aparecerán polinomios en el

denominador de la H(s) con coeficientes que deberemos elegir en

función de la plantilla que especifiquemos.

Existen algunas aproximaciones que resultan satisfactorias de tal

forma que los coeficientes se tabulan en manuales de filtros.

Estos son (entre otros): Butterworth, Chebyshev y Bessel.

Estas tablas están normalizadas para frecuencias de corte de 1

Hz.

Lo que se suele hacer es factorizar H(s) en el producto de

términos de orden ≤ 2 y tabular los coeficientes de ellos para

luego usar celdas de orden n=1 y n=2 para lograr el orden del

filtro deseado. A esto se lo llama diseño en cascada.

En resumen, el diseño de un filtro de orden superior tendrá estos pasos:

Datos

Existe otro enfoque que se conoce como Simulación de Escalera RLC.

En este se utilizan convertidores de resistencias negativas, giradores,

etc. para simular un prototipo RLC pasivo que cumpla con las

especificaciones.

34


Aproximación de Butterworth:

Desde el punto de vista matemático se pretende encontrar una función

que aproxime al filtro ideal, es decir si planteo un PB ideal sería:

H

f0 (ω0) f(ω)

N aumentando el orden

H

f0 (ω0) f(ω)

N aumentando el orden

Para eso se propone una función como la siguiente que intenta

aproximarse al filtro ideal:

|𝑯(𝒘)|𝟐 = 𝟏

𝟏 + (𝒘

𝒘𝒄)𝟐𝒏

ó |𝑯(𝒘)| = 𝟏

√𝟏+ (𝒘

𝒘𝒄)𝟐𝒏

Esta función tiene como característica que las 2n-1 derivada de |H(ω)|2

sean cero para ω=0 y ω=∞ .

En forma más general la aproximación de Butterworth tiene la siguiente

expresión:

|𝑯(𝑱𝝎)| = 𝟏

√𝟏 + 𝜺𝟐 (𝝎

𝝎𝑪)𝟐𝒏

Donde n es el orden del filtro y 𝜀 determina la Amáx (variación máxima

pasa-banda)

Observación: recordemos que la FT del filtro PB de primer orden era:

𝐻(𝑠) = −𝑅2

𝑅1

1

𝑅2𝐶𝑆 + 1 ⟶ 𝐻(𝑗𝑤) = 𝐻0

1

1 + 𝑅2𝐶𝑗𝑤

⇒ |𝐻(𝑗𝑤)| = 𝐻01

√1 + 𝑤2

𝑤02

35


que es la expresión BUTTERWORTH (de la aproximación).

Observación: Todos los filtros de primer orden, independientemente de sus

nombres, son idénticos y poseen la misma respuesta en frecuencia.

En base a una plantilla genérica, para este filtro podemos encontrar la

relación entre 𝐴𝑚á𝑥 y el coeficiente ε

ω/ω0

ωC ωS

A m

ín

A m

ax

ω/ω0

ωC ωS

A m

ín

A m

ax

𝑨𝒎á𝒙 = 𝑨(𝝎𝒄) = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈√𝟏 + 𝜺𝟐 = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈 (𝟏 + 𝜺𝟐)

Se deduce considerando que la atenuación es:

A(ω)= -20log10 |H(jω)| y calculándola para ω = ωC

Por lo tanto, en el proceso de diseño del filtro, si pretendo una

determinada Amáx ⟹ determino 𝜀 .

Para ω→ ∞ ⟹ |𝐻(𝑗𝜔)| ⟶ 0 ⇒ −∞ 𝑑𝐵

Por ejemplo:

Quiero diseñar un filtro Pasa Bajos con una respuesta tipo Butterworth

con:

36


ω/ω0

fC = 1Khz

A m

ín =

40

dB

A m

ax =

1d

B

1

fS = 2Khz

ω/ω0

fC = 1Khz

A m

ín =

40

dB

A m

ax =

1d

B

1

fS = 2Khz

fc = 1 KHz

fs = 2 KHz

Amáx= 1 dB

Amín= 40 dB

𝑨𝑴á𝒙 = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈√𝟏 + 𝜺𝟐 = 𝟏 𝒅𝑩 ⟹ 𝜺 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟖

𝑨(𝝎𝒔) = 𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈 [𝟏 + 𝜺𝟐 (𝟐

𝟏)𝟐𝒏] = 𝟒𝟎 𝒅𝑩 ⇒ 𝒏 = 𝟕 ⇒ 𝑨(𝝎𝒔) = 𝟑𝟔, 𝟑 𝒅𝑩

⇒ 𝒏 = 𝟖 ⇒ 𝑨(𝝎𝒔) = 𝟒𝟐, 𝟐 𝒅𝑩

⇒ 𝒏 = 𝟖 ; 𝜺 = 𝟎, 𝟓𝟎

Observación:

Si supongo 𝜀 = 1 ⟹ |𝐻(𝑗𝜔)| = 1

√1+(𝜔

𝜔𝑐)2𝑛

𝐴𝑀á𝑥 = 20 log√1 + 1 = 10 log 2 = 3 dB

Es decir, con 𝜀 = 1 ωc coincide con la ωcorte de - 3 dB.

Características del Filtro Butterworth:

Es un filtro básico que produce respuesta máximamente plana hasta la

frecuencia de corte y luego disminuye a razón de 20.n (dB/dec) con n=

orden del filtro.

El más básico es el de 1° orden.

Es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores y sólo

aumentando la pendiente a partir de la frecuencia de corte.

Este filtro necesita mayores órdenes para los mismos requerimientos en

comparación con Chebyshev.

37


Comparado con un filtro Chevyshev, el filtro Butterworth posee una

caída relativamente más lenta, y por lo tanto irá a requerir una orden mayor

para implementar uno especificación de banda rechazada particular.

Sin embargo, el filtro Butterworth presentará una respuesta en fase

más lineal en la banda pasante del que los filtros Chebyshev

Observar que la expresión general (por ejemplo, para el 2° orden) se

transforma en Butterworth si 𝑄 = 1

√2(𝑝á𝑔 23)

El diseño del filtro (síntesis) luego se realizará de distinta forma,

utilizando por ejemplo una célula SALLEN-KEY (o filtro KRC) ó Rauch.

Notar que el filtro PB de primer orden era:

𝑯(𝒔) = −𝑹𝟐

𝑹𝟏

𝟏

𝑹𝟐𝑪𝑺 + 𝟏 ⟶ 𝑯(𝒋𝒘) = 𝑯𝟎

𝟏

𝟏 + 𝑹𝟐𝑪𝒋𝒘

⇒ |𝑯(𝒋𝒘)| = 𝑯𝟎

𝟏

√𝟏 + 𝒘𝟐

𝒘𝟎𝟐

, que es la expresión Butterworth (de la aproximación).

Filtros Chebyshev:

La función matemática que aproxima su respuesta en frecuencia utiliza

los polinomios de Chebyshev.

Son de dos tipos:

Tipo I.-Con ripple en la banda pasante (solo polos)

Tipo II.-Con ripple en la banda de atenuación (ceros y polos)

El diseño de estos filtros involucra un compromiso entre la pendiente

(dB/dec) y el ripple admitido.

Los polos en los filtros Chebyshev se ubican sobre una elipse (no una

circunferencia como en Butterworth) y los ceros sobre el eje

imaginario.

38


PolosPolos

|H|

ω

|H|

ω

|H|

ω

Entre0,1 y 3dB

|H|

ω

Entre0,1 y 3dB

Un filtro de este tipo realizado con inductancias y capacitores es de

Chebyshev.

Para este tipo de filtros el número de rizados es igual al orden del filtro.

dB

ω

Ripple 3dB

fC

Amax1

2

3

4

5dB

ω

Ripple 3dB

fC

Amax1

2

3

4

5

Orden 5 (impar) Ganancia de CC = 0 dB

Ripple 3 dB

39


dB

ω

Ripple 3dB

Amax

1

2

3

4dB

ω

Ripple 3dB

Amax

1

2

3

4

Orden 4 (par) Ganancia de CC = 0-AMáx

Ripple 3 dB

Aproximación de Chebyshev Tipo I:

|𝑯(𝒋𝝎)| = 𝟏

√𝟏+ 𝜺𝟐𝑻𝒏𝟐 (𝝎

𝝎𝒄)

ε determina el ripple

𝑻𝒏(𝒙) = {𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒄𝒐𝒔−𝟏𝒙)|𝒙| < 𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒏𝒄𝒐𝒔𝒉−𝟏𝒙)|𝒙| > 𝟏

𝑻𝒏(𝒘) = {𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒘)|𝒘| < 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒏𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒘)|𝒘| > 𝟏

𝑻𝟏 (𝒘) = 𝒘

𝑻𝟐 (𝒘) = 𝟐𝒘𝟐 + 𝟏

𝑻𝟑 (𝒘) = 𝟒𝒘𝟑 − 𝟑𝒘

𝑻𝟒 (𝒘) = 𝟖𝒘𝟒 − 𝟖𝒘𝟐 + 𝟏… . .

Aproximación de Bessel(ó Thomson):

Se basan en las funciones de Bessel.

En la banda de paso presentan una respuesta menos constante que

Butterworth.

La pendiente es menor que Butterworth.

Se pretende una característica de Fase casi lineal en la banda de paso.

Gráficas comparativas de la ganancia del filtro

40


H(dB)

ffC

BESSELBU

TTERWO

RTH

CHEV

YSHEV

-3dB

5to ordenH(dB)

ffC

BESSELBU

TTERWO

RTH

CHEV

YSHEV

-3dB

5to orden

41


Comparativa:

TIPO VENTAJAS DESVENTAJAS BUTTERWORTH Máximamente plana en la

B.P. Buen comportamiento en

general. Mejor respuesta a entrada

de pulsos. Mejor pendiente de

atenuación que BESSEL

Ligeros sobrepasamientos y oscilaciones en la respuesta a pulsos.

CHEBYSHEV Mejor atenuación a

frecuencias más altas de la BP que BUTTERWORTH

Rizado en la respuesta en la BP.

Sobrepasamientos y oscilaciones considerables ante entrada de pulsos.

BESSEL La mejor respuesta a

pulsos.

Peor pendiente en la banda prohibida.

Respuesta menos constante en la banda de paso en relación con BUTTERWORTH

Coeficientes para filtros de 2° Orden:

En la siguiente tabla se indican los coeficientes de las distintas

aproximaciones para filtros de orden 2

BESSEL BUTTERWORTH CHEBYSHEV a1 1.36 1.414 1.065 b1 0.618 1 1.93 Q 0.58 0.707 1.3

42


Por ejemplo, si tomamos la expresión general de PB de 2° orden y

pretendemos diseñar el filtro según la aproximación Butterworth deberíamos

igualar los coeficientes de la tabla con la expresión general, sabiendo que a1

es el coeficiente que acompaña a S y b1 es el coeficiente que acompaña a S2

𝑯(𝒔) =𝟏

𝟏 + (𝒔

𝝎𝟎)𝟐 + (

𝒔

𝝎𝟎)𝟏

𝑸

= 𝟏

𝟏 + (𝟏

𝝎𝟎)𝟐𝒔𝟐 + 𝒔(

𝟏

𝝎𝟎𝑸)= =

𝟏

𝟏 + (𝑺

𝝎𝟎)𝟐. +𝟐𝜻(

𝒔

𝝎𝟎)

Como los coeficientes están normalizados para una frecuencia de corte de 1Hz resulta que:

b1 = ( 1

𝜔0 ) 2 por lo que es lógico b1 = 1

a1 = 1

𝜔0𝑄 = 1.414 = √2 y como ω0 = 1 resulta Q =

1

√2 que vimos correspondía al Q de un

filtro de segundo orden Butterworth

Podemos ver también el significado de Q en un filtro pasabajos. Si recordamos la ubicación de los

polos complejos conjugados y su relación de parte real e imaginaria con Q o ξ resulta que Q es la

relación entre la parte Real y ω0,

ω0 / ω0 . ξ = 1/ ξ = Q = √𝑏1

𝑎1=

1

𝑊01

𝑊0𝑄

Gráficamente cuanto menor sea la parte Real mayor será Q y vemos que en este caso los polos se

acercan al eje Y.

ƺ.ω0

ω0

ƺ.ω0

ω0

b1 a1 b1 a1

43


Implementación circuital de Filtros de 2° Orden:

Para el diseño de filtros de orden n≥ 2 se utiliza la técnica de etapas en

cascada. P. ej n=7 (1+2+2+2). S2

Veremos dos tipos de síntesis:

Filtros KRC o Sallen-Key

Filtros de Realimentación múltiple.

44


Introducción-Explicación conceptual (Sallen-Key):

Un filtro RC de primer orden tiene una síntesis elemental como sigue:

C

R

C

R

Pasa Bajos RC de 1° orden.

Este filtro tiene un comportamiento estudiado y para ω >ωc =1/RC una

pendiente en el Bode de Ganancia de -20dB/Dec.

Si coloco dos etapas en cascada tendré:

Vi

C1

R1Vo

C2

R2Vi

C1

R1Vo

C2

R2

Si f↓ ⇒ C1 y C2 abiertos ⇒ 𝑉0 = 𝑉𝑖 ⇒ 𝑉0

𝑉𝑖 ⇒

𝑉0

𝑉𝑖= 1 = 0 𝑑𝐵

Si f↑ ⇒ atenúa C1 y C2 ⇒ doble atenuación ⇒ 2° orden.

1 Etapa (para w↑):

𝑯(𝒋𝝎) = 𝟏

𝒋𝝎

𝝎𝟏

2 Etapas:

𝑯(𝒋𝝎) = 𝟏

𝒋𝝎

𝝎𝟏

𝟏

𝒋𝝎

𝝎𝟐

= −𝟏

(𝝎

𝝎𝟎)𝟐⇒ 𝟒𝟎 𝒅𝑩/𝒅𝒆𝒄

Con 𝒘𝟎 = √𝝎𝟏 𝝎𝟐

En resumen, resulta un filtro de 2° orden y puede demostrarse que

tiene Q< 0,5.

Si quiero Q↑ debo reforzar la ganancia (respuesta de magnitud) cerca

de ω=ω0 por lo que se debe proveer realimentación positiva controlada.

Propongamos el mismo RC pero agregando una etapa de ganancia K y

una realimentación como se ve en la figura:

45


Vi

C1

R1Vo

C2

R2Vi

C1

R1Vo

C2

R2

a) Para ω << ω0 ⇒ C1 abierto ⇒ baja realimentación. (XC1 ↑)

b) Para ω>> ω0 ⇒ Sube la acción de la realimentación por C1 y

baja la entrada del amplificador (XC2↓ )

Esta es la explicación del funcionamiento de los bloques de 2° orden

que se conocen como Filtros KRC (por el uso de un amplificador de

ganancia K).

Filtro KRC Pasa Bajos:

Vi

C1

R1Vo

C2

R2

RB

RA

Vi

C1

R1Vo

C2

R2

RB

RA

En este circuito puede demostrarse que:

𝑯(𝒋𝒘) = 𝑲𝟏

𝟏 − 𝒘𝟐(𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐) + 𝒋𝒘[(𝟏 − 𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏 + 𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐]

Y si relacionamos esta ecuación con la expresión general de un pasa bajos de 2do orden resulta que los coeficientes serían:

(𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐) = 𝟏

𝒘𝟎𝟐

46


[(𝟏 − 𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏 + 𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐] = 𝟏

𝒘𝟎𝑸

Recordemos la expresión general para un PB de 2° orden

𝑯𝑳𝑷(𝒋𝝎) = 𝑯𝟎𝑳𝑷

𝟏

𝟏 − (𝝎

𝝎𝟎)𝟐

+ 𝒋 (𝝎

𝝎𝟎)𝟏

𝑸

Cada celda de 2° orden luego puede calcularse según la aproximación

deseada Butterworth, Chevyshev, Bessel.

Podemos entonces calcular ω0 y Q con las siguientes ecuaciones de

diseño:

Para ω0 tendremos:

(∗) 𝝎𝟎 = 𝟏

√𝑹𝟏𝑪𝟏 𝑹𝟐𝑪𝟐

Observemos que resulta la media geométrica entre

𝜔1 = 1

𝑅1𝐶1 y 𝜔2 =

1

𝑅2𝐶2 ;

𝝎𝟎 = 𝟏

√𝝎𝟏. 𝝎𝟐

Para la ganancia K tendremos: (**) K = 𝟏 +𝑹𝑩

𝑹𝑨

Y para Q tendremos:

(∗∗∗) 𝑸 = 𝟏

√𝑹𝟏𝑪𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐 [(𝟏−𝑲)𝑹𝟏 𝑪𝟏+𝑹𝟏𝑪𝟐+𝑹𝟐𝑪𝟐]=

𝟏

(𝟏−𝑲)√𝑹𝟏𝑪𝟏

𝑹𝟐𝑪𝟐+√

𝑹𝟏𝑪𝟐

𝑹𝟐𝑪𝟏+√

𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟏

Observar que K y Q dependen de cocientes de componentes y ωo depende

de un producto

Ajuste del filtro:

R1 → ajustar ω0 ( este ajuste también modifica Q )

RB → K → Ajusto Q (varío la ganancia pero no ω0 )

Solución óptima 1: Diseño KRC c/ componentes iguales.

Como tengo 3 ecuaciones (*) (**) y (***); y cinco parámetros

(K,R1,R2,C1,C2) se pueden elegir a 2 para fijarlas y calcular las otras tres.

Asi se propone: R1=R2=R ; C1=C2=C

47


{

𝑯𝑶𝑳𝑷 = 𝑲 = 𝟏 +

𝑹𝑩

𝑹𝑨

𝑾𝟎 = 𝟏

𝑹𝑪

𝑸 = 𝟏

𝟑 − 𝑲

∴ las ecuaciones de diseño serían:

1. 𝜔0 = 1

𝑅𝐶⟵ 𝑅𝐶 𝑓𝑖𝑗𝑎 𝜔0

2. 𝑄 = 1

3−𝐾⟵ 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑄 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐾

3. 𝑅𝐵 = (𝐾 − 1)𝑅𝐴⟵ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑅𝐵

Otra opción se conoce como KRC de ganancia unitaria.

K=1 → 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝐴𝐵 𝑑𝑒𝑙 𝐴𝑂

Se propone R2=R, C2=C, R1=m.R y C1 = n.C

⇒ 𝑲 = 𝟏; 𝝎𝟎 = 𝟏

√𝒎. 𝒏 𝑹𝑪 ; 𝑸 =

√𝒎.𝒏

𝒎+ 𝟏

Se puede demostrar que para un dado 𝜂 (relación entre C1 y C2) Q

resultará máximo si m=1 es decir cuando las resistencias son iguales

∴ m=1 ⟹ 𝑄 = √𝑛

2 ⟹ 𝑛 = 4 𝑄2

Procedimiento

1. Para un Q ⟹ se busca un par de capacitores con 𝑛 ≥ 4 𝑄2

2. Luego 𝑚 = 𝑛

2𝑄2−1+

√𝑛

2𝑄2−1Filtro KRC Pasa Altos:

Vi

C1

R1

Vo

C2

R2

RB

RA

Vi

C1

R1

Vo

C2

R2

RB

RA

Tiene ecuaciones de diseño similares

48


𝑯𝒐𝑳𝑷 = 𝑲

𝝎𝟎 = 𝟏

√𝑹𝟏𝑪𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑸 = 𝟏

(𝟏 − 𝑲)√𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟏+ √

𝑹𝟏𝑪𝟐

𝑹𝟐𝑪𝟏+ √

𝑹𝟏𝑪𝟏

𝑹𝟐𝑪𝟐

Valen las mismas consideraciones de diseño.

Filtro Pasa Bandas KRC:

Vi

R3

Vo

C2

R2

C1

R1

P.B. P.A.

Vi

R3

Vo

C2

R2

C1

R1

P.B. P.A.

Filtros de realimentación múltiple:

A diferencia de los KRC tienen más de una trayectoria de

realimentación.

Aprovechan toda la ganancia de lazo abierto (también se llaman de

ganancia infinita)

49


Pasa Banda:

Vi V1

C1

R1Vo

C2R1

Vi V1

C1

R1Vo

C2R1

Sensibilidad:

Las tolerancias de los componentes producen un comportamiento que

se aleja del teórico.

Importa conocer que tan sensible es un filtro a las variaciones de los

componentes.

Por ejemplo: Si quisiera saber que tanto afecta en ω0 ó BW a un pasa

banda una variación del 1% en una R o C.

Definición:

𝑺𝒙𝒚=

𝝏𝒚

𝒚

𝝏𝒙

𝒙

= 𝒙

𝒚

𝝏𝒚

𝝏𝒙

Sensibilidad del parámetro 𝑦 respecto a un componente 𝑥.

Para cambios pequeños Δ𝑦

𝑦≅ 𝑆𝑥

𝑦 Δ𝑥

𝑥

50


Sensibilidad en los filtros KRC:

Se demuestra que para un KRC pasa bajos tendremos la siguiente

sensibilidad según sea el diseño con componentes iguales o con ganancia

unitaria.

Componentes iguales Ganancia unitaria

𝑺𝑹𝟏𝑸= −𝑺𝑹𝟐

𝑸 𝑸− 𝟏

𝟐

𝟏 −𝑹𝟏

𝑹𝟐

𝟐(𝟏 +𝑹𝟏

𝑹𝟐)

𝑺𝑪𝟏𝑸= −𝑺𝑪𝟐

𝑸 𝟐𝑸− 𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝑺𝑹𝟏𝑾𝟎 = 𝑺𝑪𝟏

𝑾𝟎 = 𝑺𝑪𝟐𝑾𝟎

= 𝑺𝑹𝟐𝑾𝟎 −

𝟏

𝟐 −

𝟏

𝟐

Además, para el KRC con componentes iguales, tenemos:

𝑺𝑲𝑸= 𝟑𝑸− 𝟏 y 𝑺𝑹𝑨

𝑸= − 𝑺𝑹𝑩

𝑸= 𝟏 − 𝟐𝑸 por lo que vemos que aumentan con Q

Un desequilibrio en RB/RA puede llevar a valores muy altos de Q que

puede producir oscilación. El diseño con ganancia unitaria ofrece

sensibilidades mucho menores.

Sensibilidad en los filtros de realimentación múltiple:

Ej. Pasa Banda 𝑆𝑅1𝜔0 = 𝑆𝐶1

𝜔0 = 𝑆𝑅3𝜔0 = 𝑆𝐶2

𝜔0= − 1

2

𝑺𝑹𝟏𝑸= − 𝑺𝑹𝟐

𝑸= −

𝟏

𝟐

𝑺𝑪𝟏𝑸= − 𝑺𝑪𝟐

𝑸= 𝟏

𝟐

𝑪𝟐 − 𝑪𝟏

𝑪𝟐 + 𝑪𝟏

Podemos ver que el diseño con capacidades iguales ofrece una

sensibilidad igual a cero de Q respecto a las capacidades.

En resumen, los filtros con realimentación múltiple ofrecen menores

sensibilidades de sus parámetros con respecto a los componentes.

51


Observaciones sobre Sallen – Key vs MFB:

Sallen – Key c/ganancia unitaria MFB

1 2R + 2C : 4 componentes 3R+2C

2 En CC es un No Inversor En CC es un Inversor

3 La ganancia es unitaria (muy

precisa) La ganancia depende de las R

4 Menor ruido (1) Ruido = 2

5 Convenientes para filtros con Q↓ Conveniente para Q↑ y alta f

ya que aparecen C

6 Por efecto de Rout aparece un aumento en |H| para f ↑

7 Alta sensibilidad frente a variaciones de componentes

Baja sensibilidad

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