A EA Lectura 1

Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADAFACULTAD DE CIENCIAS CONTABLE, FINANCIERAS Y ADMINSITRATIVAS

LECTURA 01: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (PARTE I).

DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR: CÁLCULO DIRECTO, PROPIEDADES PARA EL CÁLCULO DE OTRAS ÁREAS

BAJO LA CURVA NORMAL

TEMA 1: LA DISTRIBUCION NORMAL GENERAL. PROPIEDADES

1. INTRODUCCIONLa distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística, es con toda seguridad la distribución normal, debido a que en la práctica muchos fenómenos, industriales, científicos, o de la vida diaria pueden describirse por esta distribución. A la distribución normal frecuentemente se le llama distribución gaussiana. La curva normal puede considerarse como modelo teórico para analizar situaciones reales.

2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADUna variable aleatoria continúa X, se dice que está distribución normalmente, con media u )( ∞<<− ∞ µ y varianza 02 >σ , si su función de densidad de probabilidad está dado por:

∞<<∞−πσ

=

σµ−−

x;e2

1)x(f2x

21

Donde:

.....1415.3=π y ...7182.2e =

____________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Setiembre 2010Versión : 2


3. GRÁFICO

fig. 1: La Distribución Normal

La distribución normal se emplea tanto que ha menudo se emplea la siguiente notación

abreviada: X ),,( 2σµn para indicar que la variable aleatoria X se distribuye normalmente

con media µ y varianza σ2.

4. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL a) La distribución normal es simétrica y tiene forma de campana, se extiende de a . b) En la distribución normal la media está en la mitad y divide el área en dos mitades y la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.c) El área total bajo la curva normal es el 100%.

d) Existe una distribución normal diferente para cada combinación de media y

desviación estándar.

e) La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos

es igual al área bajo la curva normal entre los dos puntos, tal como se muestra en la

fig. 2.


µ ∞

∞

-∞

− ∞


P(a ≤ x ≤ b) = Área bajo la curva normal entre a y b.

fig. 2

f) En la fig. 3 muestra el área bajo la curva normal de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media.

fig. 3


1µ − σ

µ

2µ + σ1µ + σ2µ − σ3µ − σ

a b− ∞

3µ + σ

∞

68.0%

95.5%

99.7%

µ


TEMA 2: DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR.

1. INTRODUCCÓNDado que existe una distribución normal diferente para una combinación de media y desviación estándar, sería inútil intentar elaborar las tablas suficientes para calcular probabilidades, además de la complejidad de la función de densidad (fórmula), existe sin embargo, una alternativa sencilla que evita estos problemas. Para ello se puede convertir esta escala real a una relativa o estandarizada, mediante la variable normalizada.En donde:

2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDADUna variable aleatoria continúa Z , se dice que está distribución normalmente, conmedia 0µ = y varianza 2 1σ = , si su función de densidad de probabilidad está dado por:

Donde:

Además:

X : Algunos valores de interésμ : Mediaσ : Desviación estándar

La distribución de una variable normal con media cero y varianza 1, se denota: Z n(0,1) y se lee: “Distribución Normal con media cero y varianza 1”.


21 z21f (z) e ; z

2−

= − ∞ < < ∞π

σµ−= xZ


3. GRÁFICO:

fig. 4

4. CALCULO DIRECTO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR MANEJO DE TABLAS ESTADÍSTICAS .

a) Uso de la Tabla I

fig. 5: Area bajo la curva normal que se muestra en la Tabla I

Ejemplo 1:Obtener el área para Z < 1.35

?]35.1Z[P =<

En primer lugar se debe localizar al valor 1.3 en el lado izquierdo de la Tabla I y luego el 0.05 (5 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = 1.3 y la columna 0.05. El valor es 0.9115.

Luego: P(Z < 1.35) = 0.9115


0.9115

1.350

0 Z

∞− ∞0


Observe la tabla:TABLA N° 1

Área bajo una curva normal entre -∞ y Z = 1.35Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 .... 0.09

-3.4-3.3

.

.

.0.0...

0.91.01.11.21.3...

3.4

Ejemplo 2:Obtener el area para Z < -2.58

En primer lugar se debe localizar al valor -2.5 en el lado izquierdo de la Tabla I y luego el 0.08 (8 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = -2.5 y la columna 0.08. El valor es 0.0049

Luego: P(Z <-2.58) = 0.0049


0.9115

P[Z 2.58] ?< − =

0.0049

0-2.58


TABLA N° 1Área bajo una curva normal entre -∞ y Z = -2.58

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 .... 0.08 0.09-3.4-3.3

.-2.5

.

.

.

0.0...

0.91.01.11.21.3...

3.4

b) Uso de la Tabla N° II

fig. 6: Área bajo la curva normal que se muestra en la Tabla II

Ejemplo 3:


-Z 0 Z

0.0049


Obtener el área para -1.96 ≤ Z ≤ 1.96. Cabe indicar que los puntos son simétricos. En primer lugar se debe localizar al valor 1.9 en el lado izquierdo de la Tabla II y luego 0.06 (6 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = 1.9 y la columna 0.06. El valor es 0.95.

Luego:

95.0]96.1Z96.1[P =≤≤−

TEMA 4: PROPIEDADES PARA EL CALCULO DE OTRAS AREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTANDAR

En esta sesión daremos propiedades para el cálculo de áreas bajo la curva normal estándar para utilizarlas posteriormente en aplicaciones pertinentes de dicha distribución.

a) [ ] [ ]O OP Z Z 1 P Z Z≥ = − >

Ejemplo 1:Hallar [ ]32.2ZP ≥


0.95

-1.96 1.960

P[Z ≥ Z0]

Z00


Solución:[ ] [ ] 0102.09898.0132.2ZP132.2ZP =−=<−=≥

b) [ ] [ ]0 0P Z Z 1 P Z Z≤ − = − <

NOTA: También se obtiene directamente de la Tabla I

Ejemplo 2:Hallar [ ]03.0ZP −≤

Solución:[ ] [ ] 4880.05120.0103.0ZP103.0ZP =−=<−=−≤

c) [ ] [ ]0 0P Z Z P Z Z≥ − = ≤


P[Z ≤ -Z0]

-Zo 0

-0.030

0.0102

2.320


Ejemplo 3:Hallar [ ]30.1ZP −≥

Solución:[ ] [ ] 9032.030.1ZP30.1ZP =≤=−≥

=

d) [ ] [ ] [ ]0 1 1 0P Z Z Z P Z Z P Z Z≤ ≤ = ≤ − <

Ejemplo 4:Hallar


0.9032 0.9032

- Zo

Zo0

-1.30 1.300 0

0 Zo

- Zo

0

=

[ ]36.1Z05.2P <<−


Solución:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] 8929.036.1Z05.2P

0202.09131.036.1Z05.2P

05.2ZP36.1ZP36.1Z05.2P

=≤≤−

−=≤≤−

−<−≤=≤≤−

Ejemplo 5:Hallar

Solución:[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] 0047.049.3Z58.2P

9951.09998.049.3Z58.2P

58.2ZP49.3ZP49.3Z58.2P

=<<

−=<<

≤−<=<<


1.36

0.8929

-2.05 0

[ ]49.358.2 << ZP

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