A. Lógica Modal Proposicional [Primeras Nociones]

7/21/2019 A. Lógica Modal Proposicional [Primeras Nociones]

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Universidad de Guadalajara, Calendario 2015 A

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Lógica filosófica

Dr. Fabián Bernache Maldonadoepartamento de Filosofíaaestría en Estudios Filosóficos

DM I. Vocabul rio de a lógica moda propo ici nal

La lógica modal proposicional (LMP) es una extensión, en sentido estricto, de la lóproposicional. Esto quiere decir que, mientras que toda verdad lógica (o tautología, o fórmlógicamente válida) de la lógica proposicional es una verdad lógica de la LMP, no toda verdad de la LMP es una verdad lógica de la lógica proposicional. La LMP adopta la totalidad del vocade la lógica proposicional y añade nuevos términos. El vocabulario que aquí presentamos, comotros casos, es redundante, pues algunos de los símbolos incluidos pueden ser definidos en funde otros, lo que hace innecesaria su aparición. Sin embargo, por razones de simplicidad exposes prefe l

a l l s o

rib e incluirlos a todos:

1) Variables proposicionales:, , , , , …

2) Operadores lógicos: Operadores monádicos:

~• Negación: Ope icos:radores diád

• Conjunción: • Disyunción: • •

Condicional: Bicondicional:

3) Símbolos de agrupación:, , , , , …

4) Ope dal s:

radores mo eCuadrado:

◊Rombo:

Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas de la LMP son los siguientes:

1)

2)3) ◊

◊

◊ ◊ ◊

◊

4) ◊ ◊

5) 6) ◊

7)




del valor de verdad de de la lógica modal proposicional

l de verdad de un e u c a o no modal es una tarea relativamente simple: bastaes

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Pensemos en el enunciado no modal siguiente: ‘toda moneda tiene dos caras’. Este enunciadverdadero, pues no hay efectivamente en el mundo una moneda que no tenga dos caTransformemos ahora nuestro enunciado no modal en un enunciado modal agregando el operade necesidad: ‘es necesario que toda moneda tenga dos caras’. ¿Es este enunciado modal verdao falso? De manera intuitiva podemos responder que el enunciado en cuestión es verdaderopregunta entonces es más bien: ¿por qué es verdadero? En primer lugar, es preciso advertir quque hace que el enunciado sea verdadero no es el simple hecho de que, en el mundo real, todamonedas tengan dos caras. En términos generales, el hecho de que un enunciado sea verdaderel mundo real no implica que dicho enunciado sea necesariamente verdadero: un enuncicontingente no deja de serlo simplemente porque es verdadero en el mundo real. Notemos embargo que, si un enunciado es necesariamente verdadero, entonces podemos sostener queenunciado es igualmente verdadero en el mundo real. Esto se explica de una manera muy simpes necesario que toda moneda tenga dos caras, entonces no es posible que una moneda no tengacaras. Si no es posible que una moneda no tenga dos caras, entonces toda moneda que exista mundo real tendrá que tener forzosamente dos caras. Por consiguiente, el enunciado ‘toda montiene dos caras’, si es necesariamente verdadero, deberá también ser verdadero en el mundo rea

Nuestra pregunta principal sigue empero sin respuesta: ¿por qué el enunciado ‘es necesario toda moneda tenga dos caras’ es verdadero? Una respuesta plausible, aunque no exenta

II. DeterminaciónDeterminar e valor

los enunciadosn n i d

con asumir que disponemos de una forma de acc o a la realidad, o al mundo, y que nos es pocomparar, en algún sentido, lo que dice el enunciado acerca de la realidad con la realidad tal cuSi lo que dice el enunciado acerca de la realidad (sea una realidad física, matemático, m

etcétera) coincide con la realidad misma, el enunciado será verdadero. En el caso contrarienunciado será falso. Varios problemas filosóficos, importantes y sumamente complejos, detectables en lo que hemos afirmado. Afortunadamente, podemos dejarlos de lado por el mompues ni su comprensión, ni mucho menos su resolución, son esenciales para abordar el estudio lógica modal proposicional.

En comparación con los enunciados no modales, la determinación del valor de verdad des eenunciados modales e un tanto más compleja. Para determinar el valor de verdad d un enunc

modal, no basta con considerar el mundo, o la realidad, tal cual es, sino que es preciso tamconsiderar escenarios alternativos, esto es estados del mundo que no son, pero que hubieran pod

ser o que no hubieran podido ser (o que podrían ser, o que no podrían de ninguna manera ser). Eescenarios alternativos que debemos considerar para determinar el valor de verdad de enunciado modal son usualmente conocidos comomundos posibles y son simbolizados de lasiguiente manera: w, w, w , w , w … etcétera. Unconjunto de mundos posibles es simbolizado conla letra W. Así pues, por ejemplo, un conjunto de mundos posibles cuyos elementos son w, w y w se representa de la siguiente manera: W w , w , w .

Para aclarar lo que hemos mencionado, consideremos un par de ejemplos en los cuales se hacee las modalidades aléticas, esto es de las modalidades de lo necesario, lo posible y lo impod




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dificultades filosóficas, es la siguiente: porque no nos es posible concebir una moneda que no dos caras. Dicho en términos de la lógica modal: porque no podemos concebir un mundo posibel que una moneda no tenga dos caras. Para la lógica modal, la noción de capacidad o incapacidconcebir un mundo posible con tales o cuales características es un punto de partida esencial padeterminación del valor de verdad de los enunciados modales. Dado que no nos es posible con

un mundo en el que una moneda no tenga dos caras, podemos entonces concluir que necesariamente verdadero que todas las monedas tengan dos caras. En cambio, dado que noposible concebir un mundo en el que, por ejemplo, una guerra estalle entre Rusia y la UEuropea, podemos afirmar que el enunciado ‘es posible que una guerra estalle entre Rusia Unión Europea’ es verdadero. El término que emplea la lógica modal para hablar de esta capade concebir mundos posibles es el de ‘relación de accesibilidad a un mundo posible ’. Tal relación serepresenta con la letra R. Así pues, si w es el mundo real y w es un determinado mundo posible,representamos el hecho de que w puede acceder a w (es decir, el hecho de que w es un mundoconcebible desde el mundo real) de la siguiente manera: wRw.

Ahora podemos definir de manera más precisa cuándo, para la lógica modal, un enunciado moderdadero. Primero, para determinar el valor de verdad de un enunciado modal, es necesario devun marco . Un marco no es otra cosa que un conjunto de mundos posibles W al cual se le añaderelación de accesibilidad R entre esos mundos. El símbolo que se suele emplear para representamarco es la letra F. Puesto en símbolos lógicos: F W, R. Supongamos que los mundos que formanparte del conjunto W sean w,w y w. Esto es: W w, w , w . Supongamos igualmente que w seael mundo real y que, desde el mundo real, todos los otros mundos que pertenecen a W saccesibles, incluyendo el mundo real mismo. Esto es: wRw, wRw y wRw. Como habíamosmencionado, el enunciado ‘toda moneda tiene dos caras’ es verdadero en el mundo rRepresentemos el enunciado en cuestión con la letra . Para representar simbólicamente el hecde que es verdadero en el mundo real, procedemos de la siguiente manera: V, w 1. El símboloV quiere simplemente decir ‘el valor de verdad de’ y el número 1 representa la verdad o el valverdad verdadero (el número 0 representa, en cambio, la falsedad o el valor de verdad falso)pues, la expresión V, w 1 se lee simplemente de la siguiente manera: el valor de verdad de enel mundo w es verdadero.

Dado que w es el mundo real, la expresión V, w 1 indica pues que el enunciado es verdaderoen el mundo real. ¿Qué valor de verdad tiene empero en w y w? Si no es simplementeerdadero, sino necesariamente verdadero, entonces no puede ser falso. Si no puede ser fal

w como e Vventonces debe ser verdadero tanto en n w. Dicho de otro modo: , w 1 yV , w 1.

Consideremos ahora el enunciado ‘es necesario que toda moneda tenga dos caras’. Se tratamismo enunciado al cual se le ha agregado el operador modal de necesidad, lo cual se represede la siguiente manera: . La pregunta que debemos entonces plantearnos es la siguiente: ¿cuál valor de verdad de en el mundo real, es decir en w?e




4

r

Para responder a esta pregunta, es necesario determinar los mundos concebibles desde el munreal, esto es los mundos a los que podemos acceder desde el mundo real. Cuál es el conjuntmundos posibles que debemos considerar y cuáles de esos mundos son accesibles desde el mueal, es algo que está determinado por el marco en el que nos situamos para evaluar nuesr

enunciado modal. Como le hemos señalado, el marco en el que nos situamos es F, el cual

constituido por el conjunto de mundos posibles W w, w , w y por la relación de accesibilidad Rsegún la cual wRw,wRw y wRw. Así pues, desde el mundo real, es decir desde w, podemoacceder tanto al mundo real mismo como a w y w. Si el enunciado modal es verdadero en elmundo real, no debe haber ningún mundo w W tal que wRwy tal que V,w 0. Dicho en buenpseudo‐castellano: no debe haber ningún mundo posible perteneciente a W y accesible desdmundo real en el cual sea falso. En efecto, si es necesariamente verdadero en w, es decir enmundo real, no puede entonces ser falso en ningún mundo posible accesible a w (no debeposible concebir en el mundo real un mundo posible en el que sea falso, es decir en el que hmonedas que no tengan dos caras).

Situémonos pues en el marco F W, R. A partir de este marco, podemos construir unmodelo . Unmodelo es simplemente un marco en el cual los valores de verdad de los enunciados que estaconsiderando han sido determinados en todos los mundos posibles pertenecientes a W (en todosw W). Comencemos con los enunciados más simples. El enunciado más simple que estamosonsiderando es el enunciado (‘todas las monedas tienen dos caras’) y su valor de verdad en to

inado: V tir declos w W ya ha sido determ ,w 1, V , w 1 y V , w 1. A par esteenunciado, hemos construido un enunciado modal añadiendo el operador de necesidad. Se trataenunciado (‘es necesario que todas las monedas tengan dos caras’). ¿Es este enunciaverdadero en el mundo real? Como lo hemos mencionado, si este enunciado es verdadero emundo real, no debe entonces haber un mundo posible perteneciente a W y accesible desdmundo real en el cual sea falso. Dicho en términos más formales: dado que w es el mundo reV ,w 1, entonces no debe haber ningún w W tal que wRw y tal que V, w 0. Larelación R nos dice qué mundos pertenecientes a W son accesibles desde w: wRw, wRw y wRw.Desde w se puede entonces acceder a w, w y w. La pregunta que debemos plantearnos es si enalguno de estos mundos accesibles a w el valor verdad de es falso. Como hemos visto: V, w 1,V , w 1 y V , w 1. No hay pues w W tal que wRw y tal que V, w 0. Luegoentonces, podemos concluir que V,w 1. En el mundo real, el enunciado ‘es necesario que todamoneda tenga dos caras’ es pues verdadero.

Las cosas son un tanto distintas cuando consideramos un enunciado como ‘una guerra estalla eRusia y la Unión Europea’. Situémonos de nuevo en el marco F W, R en el cual W w, w, w ywRw,wRw y wRw. El enunciado ‘una guerra estalla entre Rusia y la Unión Europea’ es falso emundo real (al menos técnicamente). Puesto que, como lo habíamos mencionado, w es el mureal, si simbolizamos nuestro enunciado con la letra , debemos entonces admitir que: V, w 0.Transformemos nuestro enunciado no modal en un enunciado modal añadiendo el operadorosibilidad: ‘es posible que una guerra estalle entre Rusia y la Unión Europea’. Tal enunciaimboliza de la siguiente manera:◊ . La pregunta que debemos ahora plantearnos es si el enunciado es verdadero en el mundo real. En prime lugar, notemos que el hecho de que sea falso en

ps◊




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β , w 1

1,

mundo real no implica en ningún modo que◊ también lo sea. En otras palabras, el hecho de que nohaya guerra entre Rusia y la Unión Europea no implica que sea imposible que la haya. Para qenunciado◊ sea verdadero en el mundo real, tiene simplemente que haber al menos un mundposible accesible desde el mundo real en el cual sea verdadero. En términos simbólicos: tienehaber al menos un w W tal que wRw y tal que V,w 1. Los mundos accesibles a w, ya lo

sabemos, son w, w y w. Dado que es posible concebir que una guerra estalle entre Rusia y la UniEuropea, podemos admitir que, en al menos un mundo posible, es verdadero que hay una guentre Rusia y la Unión Europea. Tomemos por ejemplo el mundo posible w. Podemos entoncesadmitir que V, w 1. Admitamos igualmente que V, w 0. Hemos entonces creado unmodelo para el enunciado simple según el cual V, w 0, V , w 1 y V , w 0.

Empero, la pregunta a la que nos interesa dar respuesta es la siguiente: ¿cuál es el valor de verde ◊ (‘es posible que una guerra estalle entre Rusia y la Unión Europea’) en el mundo real w? Clo hemos mencionado, para que el enunciado◊ sea verdadero en el mundo real, no es necesarioque sea verdadero en el mundo real. Basta con que exista al menos un w W tal que wRw y tal

que V ,w 1. Como hemos visto, los mundos accesibles a w (el mundo real) son w,w y w.Sabemos además que V, w 0 y que V , w 0. Sin embargo, también sabemos queV , w 1. Esto quiere pues decir que existe al menos un w W tal que wRw y tal quV ,w 1. Se trata en efecto de w. El enunciado◊ es pues verdadero en el mundo real. Entérminos formales: V◊ , w 1. Y esto a pesar de que V, w 0.

III. Reglas para la determinación del valor de verdad de los enunciados de la lógica modal proposicional

Para todo marco F W, R, el valor de verdad de toda fórmula bien formada de la lógica modproposicional estará determinado de la siguiente manera:

(1) Para toda variable proposicional y para todo w W:• o bien V, w 1,• o bien V, w 0.

(2) V~ Para toda fórmula bien formada α y para todo w W:• V~α,w 1 si V α, w 0,• en caso contrario: V~α,w 0.

(3) V Para todo par de fórmulas bien formadas α y β y para todo w W:• V α si Vα, w 1 y V β, w 1,• en caso contrario: Vα β ,w 0.

α y β y para todo w W:en V

(4) V Para todo par de fórmulas bien formadas• β , w 1 s o bien Vα, w 1, o bi β, w

contrario: α β , w 0.V α i

• en caso V




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V w W:,

V

•

•

e

mo ontramos diversosdistinta de los

istemas odal proposicional se distinguen unos de otross resentaremos serán únicamentey

posicional más el axioma

ma K, toda fórmulamula K‐válida es

l no incluye ninguna fórmula modal.

(5) Para todo par de fórmulas bien formadas α y β y para todo• α β , w 1 si, o bien α, w 0, o bien Vβ, w 1

V α β 0.V V

• , wen caso contrario:

V(6) Para todo par de fórmulas bien formadas α y β y para todo w W:

• α β , w 1 i V α, w β,w ,α β , w .

s V V

b

• en caso contrario: 0

V Para toda fórmula(7) ien formada α y para todo w W:α,w 1 si, para todo w W tal que wRw , Vα, w 1,

• n caso contrario 0.

(8) rmada α p o w W:

Ve : V α,w

a bien fo ara tod

V ◊ Para toda fórmul y•

nVe

◊α,w 1 si, para al menos un w W tal que wRw , Vα, w 1, caso contrario: 0.

IV. Siste al proposic

V◊ α, w

m mod ional as K, D y T de la lógica

inA. Enfoqu tácticos La lógica al proposicional es un único sistema formal, sino que en ella encsistema los cuales pe ite capturar una interpretación

d nos de

s s mmodales, cada uno rm

operadores ◊ y . Los diverso de lógica T

por la ba e axiomática de la que parten. Los sistemas que aquí ptres: K, D . Comencem el sis ma K.

Los axio las fó m lidas la lógica

os por el sistema más básico: te

m todas ulas vá de proasc del sistema K son r

onmodal c o ido comoK :

Dado qu posicio ax

K

de la lógica ro nal es un io del sistemaal es válida K oK -válida . En cambio, no toda fór

e toda fórmula válida pde la lógica proposicion enválida

válida en lógica proposicional, pues la lógica proposiciona l sistema D incluye cE omo axiomas todas aquellas fórmulas que sean K‐válidas más el axio

siguiente conocido comoD:

D ◊

Dado que toda fórmula K‐válida es un axioma del sistema D, toda fórmula K‐válida es válida -válida . Sin embargo, no toda fórmula D‐válida es K‐válida, pues el sistema K no incluye el ay, por lo tanto, no incluye todas las fórmulas que pueden derivarse en el sistema D. Mientras

DD




7

D

que el axiom no forma par de los axiomas del sistema T, puede se

s T‐válida si, y sólo si, es válida en todo marco reflexivo. W,R es reflexivo si, y sólo si, para todo w W, wRw.

l sistema K no ofrece una interpretación precisa de los operadores◊ y , en el sistema D ya esosible interpretar tales operadores de la siguiente manera: el operador como ‘es obligatorio qel operador◊ como ‘es permitido que’. Es por ello que a este sis ema se le conoce como el siste lógica deóntica. El

epy

t

ue omd axioma p de entonces interpretarse c o afirmando lo siguiente: ‘si eobligatorio que , entonces es permitido que ’.

El último sistema que aquí presentaremos es el sistema T. El sistema T incluye como axiomas quellas fórmulas que sean K‐válidas más el axioma siguiente conocido comoT:a

T

ado que toda fórmula K‐válida es un axio a del sistema , toda fórmula K‐válida es válida e-válida . De igual forma, aun

D m T

a D teT derivado en dicho sistema como un teorema. Eso implica que toda fórmula D‐válida es tambiéfórmula T‐válida. Sin embargo, no toda fórmula T‐válida es K‐válida o D‐válida, pues n

fórmula derivable en el sistema T es derivable en el sistema K o en el sistema D.Como en el caso del sistema D, en el sistema T es posible dar una interpretación a los operadmodales: el operador es interpretado como ‘es necesario que’, mientras que el operador◊ esinterpretado como ‘es posible que’. El axioma T puede entonces ser interpretado de la siguimanera: ‘si es necesario que , entonces es verdadero’. El sistema T representa pues el sistemaas modalidades aléticas o metafísicas.l B. Enfoque semántico

ara determinar la validez de una fórmula bien formada de la lógica modal proposicionalndispensable hacer referencia a marcos y a modelos basa os en esos marcos.Pi d

(1) Definición de la validez respecto de un marco:• Una fórmula bien formada α es válida en un determinado marco F W, R si, y sólo si,

en cada modelo M basado en F, y en cada w W, Vα, w 1.

(2) Validez en K o K‐validez:• Una fórmula bien formada es K‐válida si, y sólo si, es válida en cualquier marco.

(3) Validez en D o D‐validez:• Una fórmula bien formada es D‐válida si, y sólo si, es válida en todo marco serial.• Un marco F W, R es serial si, y sólo si, para todo w W, existe al menos un w W

tal que wRw’.

T‐validez:la bien formada e

(4) Validez en T o• Una fórmu• Un marco F

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