A2-cuerda

Ondas mecnicas.Ondas mecnicas.La cuerda vibrante

1. Introduccin2 Ondas transversales peridicas2. Ondas transversales peridicas3. Descripcin matemtica de una onda Funcin de onda de una onda senoidal Ecuacin de ondas unidimensional

4. Vibracin forzada en una cuerdainfinita

5. Vibracin forzada de una cuerda delongitud finita La cuerda fija forzada La cuerda fija, forzada La cuerda libre, forzada

6. Energa del movimiento ondulatorio

IntroduccinIntroduccin

Onda mecnica Es una perturbacin que viaja por un material que es el medio de la onda.

IntroduccinIntroduccin O. mecnicas

La perturbacin siempre viaja o se propaga por el medio con la La perturbacin siempre viaja o se propaga por el medio con la denominada velocidad de propagacin El medio mismo no viaja por el espacio, lo que viaja es el patrn general de la perturbacinde la perturbacinPara poner en movimiento estos sistemas debemos aportar energa realizando trabajo mecnico

Ondas transversales peridicasOndas transversales peridicas

Cuando una onda senoidal pasa por un medio todas las partculas delCuando una onda senoidal pasa por un medio, todas las partculas del medio sufren un movimiento armnico simple con la misma frecuenciaLa longitud de un patrn de onda completo (distancia entre dos crestas, por ejemplo) es la longitud de onda por ejemplo) es la longitud de onda

c f = =c fT

= =

Funcin de onda de una onda senoidalFuncin de onda de una onda senoidal

Funcin de onday(x, t)

Es una funcin que describe la posicin de cualquier partcula en el medio en cualquier instantecualquier instante

( )( , ) cosy x t A kx wt= Onda que avanza en direccin +x( )( , ) cosy x t A kx wt= + Onda que avanza en direccin -x

2k = Nmero de ondak = Nmero de onda

Funcin de onda de una onda senoidalFuncin de onda de una onda senoidal

( )( , ) cosy x t A kx wt= ( )( , )y( )( , ) siny x tv wA kx wt= = Velocidad transversal( )sinyv wA kx wtt= =

( )2 2( , )y x t A kVelocidad transversal

( )22( , ) cosy y x ta w A kx wtt= = Aceleracin

Ecuacin de onda unidimensionalF t l

Ecuacin de onda unidimensional Fuerza transversal

TsenTsendf =xdxxy

TsenTsendf = +1 2 gg ...21)()( 22 +

+

+=+ dx

xgdx

xgxgdxxg

xx

( ) ( ) dxx

TsenTsendxx

TsenTsendfxxy

++= ...

xx xx y)t ()( yy 2 xysen )tan()( dx

xyTdx

xyT

xdf y 2

=

=

Ecuacin de onda unidimensionalyy 2

Ecuacin de onda unidimensional

dxxyTdx

xyT

xdf y 2

=

=

De la segunda ley de Newton

T2 y

L

Tc =2

2tydxdf Ly

=

01 22

22

2

= yy 222 tcxsolucin)()()( ctxgctxftxy ++= Ecuacin de ondas)()(),( ctxgctxftxy ++= Ecuacin de ondas

Vibracin forzada en una cuerda infinitaVibracin forzada en una cuerda infinita

Fuerza armnica F=F0coswt

Ondas armnicasy(x, t)=A cos(wt-kx)ck

=

Problema estacionario 0iwtF F e=

( )( , ) i t kxy x t Ae = Condiciones de frontera


Condiciones de frontera.

0)(+TF y)t ()(

0)(0=+ =xTsenF

0yTFxysen )tan()(

0)( titi ikATF )(),( kxtiAetxy =

00

=+ =xxyTF 0)(0 =+ titi ikAeTeF

)(0)( kxtieFtxy = )(),( eikT

txy =


Impedancia mecnica de entrada

0 =mFZ

0

0

=

x

m

y

F eFti

)(0),( kxtieikTFtxy = ceiF

eFz Ltim == 00

0

ikT

Vibracin forzada en una cuerda finitaVibracin forzada en una cuerda finita

( ) ( )( , ) i t kx i t kxy x t Ae Be += +

Cuerda fija en x=LCuerda fija en x=LCondiciones de fronteraCondiciones de frontera

0),( == tLxy 0),( txy0)(

0=+ =xTsenF

yOndas armnicas)()(),( kxtikxti BeAetxy + += xysen )tan()(

+=++

0)(0))(( 0

ikLikLti

ti

BAikBikATFe

=+ 0)( ikLikLti BeAee

Cuerda fija en x=L

0)( kBkATFCuerda fija en x=L

=+=++

+ 00)(0

ikLikL BeAeikBikATF { },A B

+ 0BeAe( ) ( ){ }F ( ) ( ){ }0( , ) 2 cos( ) i wt k L x i wt k L xFy x t e eikT kL + =

0( , ) ( ( ))( )

i tF ey x t sen k L xkT kL

=

O d t i i( , ) ( ( ))

cos( )y

kT kL Onda estacionaria

Cuerda fija en x=LCuerda fija en x=L

( )sin 0k L x ( )sin 0k L x = 2nnx L = 2 ( )0,1, 2,...n =

Cuerda fija en x=LCuerda fija en x=L

0i tF eF


00

0

cot( )( )

( )

m Li tF eFZ i c kL

y i F e sen kLt kT kL

= = = 0 cos( )xt kT kL=

RESONANCIAS cot( ) 0Li c kL =(2 1)resonancia n cf +=)12( kL 4nf L=2)12( += nkL

Cuerda libre en x=LCuerda libre en x=LCondiciones de fronteraCondiciones de frontera

0)( =+TsenF 0)(0=+ =xTsenF 0)( = =LxTsen

yOndas armnicas

Lx

)()(),( kxtikxti BeAetxy + += xysen )tan()(

=++ 0))(( 0 ikLikLtiti ikBikATFe

=+ 0)( ikLikLti ikBeikAee

Cuerda libre en x=L

Cuerda libre en x=L

=+=++

00)(0

ikLikL ikBeikAeikBikATF { },A B

+ 0ikBeikAe

( ) ( ){ }F ( ) ( ){ }0( , ) 2 sin( ) i wt k L x i wt k L xFy x t e ekT kL + = +

0( , ) cos( ( ))i ( )

i tF ey x t k L xkT kL

= O d t i i

( , ) ( ( ))sin( )

ykT kL Onda estacionaria

Cuerda libre en x=LCuerda libre en x=L

( )cos 0k L x ( )cos 0k L x = ( )2 1nx L +=

4nx L

( )0,1, 2,...n =

Cuerda libre en x=LCuerda libre en x=L

0i tF eF


00

0

tan( )cos( )

i ( )

m Li tF eFZ i c kL

y i F e kLt kT kL

= = = 0 sin( )xt kT kL=

RESONANCIAS tan( ) 0Li c kL =

resonancia n cf =kL 2nf L=kL n=

RecapitulacinRecapitulacin

Baja frecuencia

Cuerda semiinfinita mLm RcZ = 0

imckLikLciZ LLm == )tan(0 Cuerda finita libre Cuerda finita fija 2Cuerda finita fija 2

0 cot( )L

Lm L

cj c LZ i c kL i

= = 0 ( )m L kL

Energa del movimiento vibratorioEnerga del movimiento vibratorio

( ) ( )1 t t Razn instantnea con que se transfiere energa por la cuerda

( ) ( ) ( ), ,1,2

y x t y x tP x t T

x t =

( )( , ) cos( )i t kxy x t Ae A t kx = Onda armnica

( ) 2 2 2 2 2, ( ) ( )LP x t TkwA sen t kx Tw A sen t kx = = ( ), ( ) ( )LP x t TkwA sen t kx Tw A sen t kx 2 21P T A D d d l d d d A 22 2

2media LP T A == Depende del cuadrado de A y w2

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