AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIAgil/disciplinas/aa-220/aa2207.pdf · 2009. 11. 27. · O que...
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AA-220 AERODINÂMICA NÃO
ESTACIONÁRIA
Escoamentos Potenciais Compressíveis
Prof. Roberto GILEmail: [email protected]: 6482
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Equação do potencial aerodinâmico
� Equação do potencial, agora considerando a compressibilidade:
� Válida para escoamento subsônicos e supersônicos linearizados.
� Plano de trabalho
� Escoamento incompressível 3D não estacionário
� Escoamento compressível 3D não estacionário M<1
� Escoamento compressível 3D não estacionário M>1
� Método de solução subsônico – “Doublet Lattice Method (DLM)”
� Método de solução supersônico – “Mach Box Method (MBM)”
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Escoamento incompressível 3D
� Caso estacionário:
� Solução elementar:
� O potencial independe do tempo:
� Em coordenadas esféricas:
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Solução elementar
� Fonte: fácil de entender através de uma representação em coordenadas esféricas que a fonte é uma solução elementar da equação de Laplace - solução elementar: .
� As componentes de velocidade são, por sua vez:
� Ou seja:
� O que representa linhas de corrente radiais, cujas partículas de fluido passam por um ponto no espaço definido como a origem da FONTE, e se afastam deste ponto com velocidade decrescente num fator quadrático com as distância. A produção de partículas de
fluido é dada pela intensidade da fonte φφφφ0, ou sorvedouro (- φφφφ0).
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Escoamento incompressível
não estacionário
� Assumindo que o potencial é uma função linear, tal como se idealizou, pode-se assumir que sendo ele agora não estacionário, podemos escrever:
� Substituindo na Eq. de Laplace:
� Pois somente g depende de x, y e z.
( ) ( ) ( ), , , , ,x y z t g x y z h tφ =
( ) 20h t g∇ =
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Escoamento incompressível
não estacionário
� Esta independência do tempo da Equação de Laplace permite que se considere qualquer função h(t) em conjunto com a solução elementar da equação de Laplacede forma que:
� O que caracteriza a propriedade cinemática da equação de Laplace.
( )( )0
2 2 2, , ,
tx y z t
x y z
φφ =
+ +
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Escoamento potencial compressível
� Caso estacionário:
� Transformação de Prandtl-Glauert – reduz a equação do potencial aerodinâmico não estacionário para a equação de Laplace:
�
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“Prandtl-Glauert Rule” (PG)
� Glauert (Glauert, H.: The Effect of Compressibility on the Lift of an Aerofoil. R. & M. No. 1155, British A.R.C., 1927.) e Prandtl(Prandtl, L.: General Considerations on the Flow of Compressible
Fluids. NACA TM 805, 1936.) demonstram que em velocidades subsônicas, a distribuição de um potencial que satisfaz a equação de Laplace também satisfaz a equação linearizada no regime compressível, se a distribuição dos potenciais for “encolhida” na direção do escoamento.
� O procedimento baseado nesta transformação assume que o aerofólio é mais longo do que o real, e através da solução aerodinâmica para escoamento incompressível, pode-se obter a solução para o escoamento compressível.
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Solução elementar
� Para o caso compressível, transformando por Prandtl-Glauert:
em coordenadas transformadas.
� Ou em coordenadas cartesianas :
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Escoamento potencial compressível
� Caso não estacionário:
� Poderíamos assumir que o referencial esteja no fluido para se obter de uma forma trivial a versão acústica:
� Que também pode ser obtida aplicando uma transformação de coordenadas de um sistema móvel para o fixo, conhecida como transformação de Galileu.
2
2
2 2
10
a
φφ
τ
′ ∂ ′∇ − = ∂
2 2 2
2 2
2 2 2
12 0U U
a t x t x
φ φ φφ
′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ ′∇ − + + = ∂ ∂ ∂ ∂
,
,
x x Ut z z
y y t τ
= − =
= =
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Escoamento potencial compressível
� A transformação de Galileu apresenta um conteúdo físico importante, principalmente no caso de escamentos compressíveis.
� Sabe-se que independente do referencia, a velocidade do som sempre será a mesma, esteja o referencial na velocidade que for, “a” sempre será o mesmo.
� Isto indica que o tempo nos dos referenciais também deverá ser transformado convenientemente de forma que a condição de constância da velocidade do som seja satisfeita.
� Esta transformação conveniente preservará uma característica importante da equação do potencial aerodinâmico linearizada, modelagem convecção das perturbações.
� Note que esta propriedade é perdida quando modelamos um campo de perturbações potenciais quando se adota um referencial fixo do fluido, ou seja empregando a equação do onda.
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Escoamento potencial compressível
� Caso não estacionário:
� As coordenadas cartesianas são transformadas da mesma forma que no caso estacionário:
� Porém, o tempo agora requer uma transformação:
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Escoamento potencial compressível
� O objetivo desta transformação é obter uma equação não estacionária similar à do caso incompressível, separável em uma função exclusivamente dependente do espaço e outra do tempo.
� Esta equação será definida em um plano transformado no mesmo sentido do caso estacionário compressível, onde se empregou a transformação de Prandtl-Glauert
� No entanto, a sua representação envolverá uma transformação não só das coordenadas espaciais, mas também do tempo.
� A equação resultante será a equação da onda convectada, representada em um plano tal que ela seja separável em duas funções, uma do espaço e outra do tempo
� Esta separação permitirá obter uma solução elementar não estacionária que representará explicitamente uma propriedade fundamental dos escoamento compressível não estacionários, o tempo de retardo aerodinâmico devido a velocidade do som ser finita.
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Transformação de Lorentz
� Transformação espaço-tempo, no mesmo sentido do que se conhece da teoria da relatividade.
� Esta transformação vem do fato que as perturbações aerodinâmicas somente ocorrem a uma velocidade constante que independe do referencial;
� Esta velocidade é conhecida como velocidade do som (analogamente, da teoria da relatividade, a velocidade constante que independe do referencial é a velocidade da luz)
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Transformação de Lorentz
� O operador de transformação é obtido adotando dois referenciais, por exemplo um fixo no fluido e outro no corpo, desde que existe uma velocidade relativa entre os dois sistemas.
� Por exemplo, em aerodinâmica podemos assumir que o primeiro move-se a uma velocidade U com relação ao segundo, velocidade esta alinhada com o eixo “x”.
� Equivale a transformar no sentido de Galileu, mas assumindo quea transformação é mais ampla, na forma:
11 11 11 11
11 11 11 11
11 11 11 11
11 11 11 11
s s s sx x
s s s sy y
s s s sz z
s s s st t
=
x
y
z
t
⇒
x
y
z
t
⇒
fixo
Móvel auma
velocidadeU
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Transformação de Lorentz
� Adicionalmente, a constância da velocidade da som érepresentada na forma:
� O que representa o comportamento de propagação esférica de uma perturbação que ocorre no máximo a velocidade “a”.
� O resultado são as relações:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
x y z t
x ay
a
z t
+ + =
+ + =
2
2
,
, , 1
x Ut Ux tx t
a
y y z z M
β β β
β
+= = +
= = = −
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Transformação de Lorentz
� Entretanto, queremos uma transformação que seja para um referencial não fixo no escoamento, mas sim no corpo sobre o qual passa o escoamento
� Por este motivo, a transformação de Lorentz será modificada através de mais uma transformação adicional de Galileu, passando a se chamar como Transformação de Lorentz-Galileu:
� Note que a característica relativística desta transformação épreservada, ou seja, foi introduzida uma “dilatação” do tempo representada pela relação espaço-temporal acima.
2
,
, , 1
x Ut Ut x Mxx t t
a
y y z z M
ββ β β
β
− += = = +
= = = −
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Transformação de Lorentz
� Note que o espaço na direção do escoamento é “deformado”devido o efeito da compressibilidade ou seja a constância da velocidade do som.
� E o mais importante, o tempo é retardado pelo efeito da compressibilidade
� Aplicando uma transformação de Prandtl-Glauert chega-se a uma forma explícita desta transformação que permitirá obter a equação da onda convectada, forma conveniente para se se chegar a uma solução elementar para este tipo de modelo potencial, compressível e não estacionários.
2,
, ,
Mxx x t t
a
y y z z
β
β β
= = +
= =
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Equação da onda convectada
� Aplica-se o mesmo procedimento adotado no caso de uma transformação de Galileu, assumindo agora as relações espaço-temporais de Lorentz.
� Cada uma das derivadas da equação :
são transformadas para as novas coordenadas aplicando a regra da cadeia, chegando a:
que não deixa de ser uma equação da onda.
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Equação da onda convectada
� Note que o processo de aplicação da transformada de Lorentz-Galileu permitiu chegar a uma equação onde o termos convectivoé representado por:
pois a equação representa o escoamento passando pelo corpo em um sistema definido sobre o mesmo.
� A transformação de Lorentz-Galileu criou de certa forma uma distorção temporal decorrente do fato que a velocidade do som éfinita e sempre a mesma independentemente do referencial.
� Esta equação agora permite que seja realizada uma separação de variáveis:
também devido a linearidade do escoamento.
21 Mβ = −
21
Equação de Helmholtz
� A separação de variáveis permite que ao se substituir na equação da onda convectada as funções g e h chegue-se a:
� Uma forma de se resolver esta equação é assumir a hipótese de movimentos harmônico simples forçando o aparecimento de uma constante comum às duas equações tal que:
que pode ser escrita separadamente como:
Equação de Helmholtz �
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Soluções elementares
� As soluções elementares para cada uma desta equações diferenciais é dada por:
onde: , e
� Assim, a solução elementar para a equação da onda convectada édada pela multiplicação das duas soluções elementares, no mesmo sentido quando foi realizada a separação:
� E no sistema fixo no corpo original (x,y,z,t) temos:
com: