Abrahan jose
-
Upload
abrahhan -
Category
Entertainment & Humor
-
view
65 -
download
2
Transcript of Abrahan jose
Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Alumno:
Abrahán Gamboa
CI: 22.326.114
Ejercicio Nº 1
Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema.
Sabemos que:
X+Y= 90
Y=90-X
R= Z+Y
R=90+Y
Aplicando Pitágoras
R²= Z² + Y²
R= √Z ² + Y²
R=√90 ²+Y²
R= √8100+Y ² Sustituye 1 en r
R=√8100+(90−x )²
Derivando r
drdt
=−(90−x )
√8100+(90−x )2
dxdt
ahora si: Y=30 y X=60 y
dxdt
=17
Sustituyendo en
drdt
drdt
= −30
√(8100+(30 )2) .17= -5,37587 p/seg
Ejercicio Nº 2
Un edificio de 60m. Proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15º por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m. Hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema.
dθdt
=15 º
Tan θ = CoCa
Tan θ = yx
θ= tan−1 yx
dθdt = − yx ²+ y ² .
dxdt
dθdt = −60x ²+3.600 . dxdt
60
80
15= −6080²+3.600 . dxdt
15= −3500 . dxdt
dxdt = 15.500−3
dxdt
= -2.500
Ejercicio Nº 3.
Un faro está situado a 2km. De una playa recta y su luz gira a Razón de 2 revoluciones por minuto. Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que este pasa por un punto situado a 1km del punto frente al faro. Realice la figura que ilustre el problema.
dθdt
= 2 revmin
Tan θ= CoCa
Tan θ= yx
θ= tan−1 xy
1 km
2 km
dθdt
= − yx ²+ y ²
. dxdt
dθdt
= −2x ²+4
.dxdt
2= −21+4
.dxdt
2= −25
.dxdt
dxdt
=2 .5−2
dxdt
= -5 revmin
Ejercicio Nº 4
v (t ) y A (t ) volumen y área de la bola que se derrite a una razón proporcional a su superficie, significa que:
V ' (t )=KA (t )
V ' (t )=43 ∏ r (t )3
A( t )=4∏ r ( t )2
De donde
V '( t )=4∏ r ( t )2 . r ' ( t )ahora
r '( t )=V ' ( t )
4∏ . r ( t )2
La bola se derrite a razón de
78cm /horas
Ejercicio Nº 5
El gas escapa a razón de 360 pies 3
/ min quiere decir que la razón de cambio de volumen del globo respecto al tiempo es de 360.
La formula del volumen de la esfera es V= 4
3∏ r3
Al derivar respecto a “t” resulta
dvdt
=3( 43
)(∏ r2 )( drdt
) dvdt
=4∏ r2 drdt
a)dvdt
=360 y r=3
360=4 .∏ . (3 )2 drdt
O sea
360
4 .∏ (3 )2=drdt
Asi
drdt
=3 ,181 piesmin rapidez con que disminuye el radio.
b) Para hallar la rapidez con que disminuye el área de la superficie del
globo se requiere la formula A=4∏ r2
dadt
=8∏ rdrdt
dadt
=8 .∏ .(3 ).(3 ,1831)
De modo que
dadt
=2010 ,6200 pies2 /min Rapidez con la que se
disminuye el área de la superficie del globo
Ejercicio Nº 6
Después de dos horas de nulo el barco Y ah recorrido =
6kmh
(1h )=6 km
Después de dos horas de nulo el barco X ah recorrido=
8kmh
(1h )=8km
La distancia que separa los barcos después de una hora de navegación
h2=x2+ y2⇒h=√x2+ y2⇒h=√(6 )2+(8 )2⇒h=√36+64⇒h=√64⇒h=8kmDerivando implícitamente
h2=x2+ y2
2hdhdt
=2xdxdt
+2 ydydt
⇒hdhdt
=xdxdt
+ ydydt
si h=8km
Se trata de derivar dhdt como la razón de cambio
dxdt
=6 kmh
dydt
=8kmh Sustituyendo
8kmdhdt
=6km(6kmh
)+8km(8kmh
)
8kmdhdt
=36km .kmh
+64 km .km ¿h ¿¿
¿
Despejando
dhat
;dhdt
=36 km .
kmh
+64km .kmh
8km
dhdt
=12 ,5kmh
Una hora antes de que el barco B cruzara por el punto donde A cruzo la distancia de h separa ambos barcos tiene una razón de
cambio de 12,5kmh como el resultado es positivo esto significa que
la distancia es creciente.
Ejercicio Nº 7
Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. De altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión.
Ө=n/3
dθdt
= 145
rads
Tan θ =xy
900 m
X = ytan θ
X= 900
tanπ3
= 300 √3
Tan θ= CoCa
Tan θ= yx
θ = tan−1 xy
dθdt
= − yx ²+ y ²
.dxdt
dθdt
= −900x ²+810.000
.dxdt
145
rads
= −900¿¿
. dxdt
145
rads
=−900¿¿
145
rads
= −11.200
.dxdt
dxdt
=1200 .1−1 .45
dxdt
=803
mseg
Ejercicio Nº 8
Las dimensione de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación de la altura en ese instante.
Para un cierto instante
R(to)= 8 cm
A(to)=20 cm
r’(to) = 3cm/seg.
Tenemos que:
V(t) = π . r² (t) . a(t) (Que es constante)
Derivada de to.
V’(to)= o= (π . r²(to) . a(to)
= 2 . r(to) . π . r’(to) . a (to) + π . r²(to) . a’ (to)
Despejando a’(to) tenemos:
A’(to)= −2 .r ( ¿ ) . π . r ' (¿ ) . a(¿)π . r ²(¿)
A’(to)= −2.8cm .3,14 .
3cmseg
.20cm
3,14 .(8cm)²
A’(to)= −3014,4cm ³ /seg
200,96cm²
A’(to)= -15,072cm/seg
Ejercicio Nº 9.
Graficar la siguiente función f(x)= x³- 6x² + 9x +1
Para ello de buscar:
A) Dominio: Dom f(x)= R
B) Simetría y Periodicidad.Para demostrar simetría en un polinomio impar F(-x)= -f(x)F(-x) = (-x)³-6 (-x)²+9 (-x)+1
= -x³-6x² -9x+1 = -(x³+6x²+9x+1) ≠ - F(x)NO HAY SIMATRÍA
C) Intersección con los ejes.Para x= 0F(0) = 0³ -6(o)² + 9(0)+1 = 1→ Y= 1(0,1)
D) Continuidad y Asíntotas.
Es continua.
No tiene Asíntotas.E) Estudio de la primera derivada: Intervalo de monotonía, máximos y
mínimos.
F(x) = x³ - 6x² + 9x +1F’(x) = 3x² - 12x +9Resolviendo la ecuación de segundo grado dividimos ÷ 33x² - 12 x +9 = x² -4x +3 = (x-1) (x-3)De aquí se tiene que:X=1 y x=3F’(1)=0 y F’(3) = 0De esto obtenemos 3 intervalos de estudio para la monotonía.(-∞,1) (1,3) (3, +∞)Tomando un valor de cada intervalo y evaluando
Para x= 0F’(0) = 3(0)²-12(0)+9 =9 F’>0Para x= 2F’(2) = 3(2)² -12(2)+9 =-3
F’ < 0Para x=4F’(4) = 3(4)²-12(4) +9 =9 F’ > 0
Para x=1F’(1) = 3(1)² -12(1) +9 =0 F’= 0
Para x= 3F’(3) = 3(3)² - 12 (3) + 9 = 0 F’= 0
(-∞,1) X=1 (1,3) X=3 (3,∞)F’ > 0 F’= 0 F’= < 0 F’= 0 F’ > 0La función crece
Máximo La función decrece
Mínimo La función crece
F) Estudio de la segunda derivada: Concavidad y punto de inflexión.F’’(x) = 6x-12Si F’’(x) > 0 hay convexidad y para F’’(x) < 0 hay concavidad.Calculemos sus raíces.6x -12 = 0 → 6x= 12 → x=2
(-∞,2) tomamos x= 0F’’ (0)= 6 (0) – 12 = -12 < 0 Cóncava
(2, +∞) tomamos x=3F’’(3) = 6 (3)-12 = 6> 0 Convexa
2
Convexidad: (2, +∞)
Concavidad: (-∞,2)
G) Esbozar el grafico: