Acercamiento al concepto de completez de los nmeros reales.

Ingeniero Diego Aguiln Valenciano

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniera y Administracin

Palmira, Colombia

2013

Acercamiento al concepto de completez de los nmeros reales.

Ingeniero Diego Aguiln Valenciano

Tesis de grado para optar al ttulo de:

Magister en la Enseanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Ingeniero Mecnico Ral Daz Pacheco M. Sc.

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniera y Administracin

Palmira, Colombia

2013

VI Acercamiento al concepto de completez de los nmeros reales

(Dedicatoria o lema)

La didctica moderna no concibe ya la clase

como una sala de conferencias sino como un taller

de trabajo: ya la palabra maestro se va pareciendo

cada vez ms a la de maestro de taller y cada vez

menos a la de conferenciante.

Adam Puig.

Agradecimientos

A mi esposa Elizabeth y a mi hija Isabella por su apoyo y comprensin, porque a pesar

del tiempo que les rob, siempre estuvieron all.

A Ral Daz Pacheco, mi director de proyecto, quien con sus valiosos aportes, me orient

para mejorarlo y enriquecerlo.

A mis hermanos, Omar, Ligia y Stella, quienes siempre me estimularon y colaboraron en

la construccin de los objetos fsicos del proyecto.

A mi compaero del rea de matemticas Alejandro Asprilla, por sus valiosas

sugerencias con los aplicativos del proyecto.

Glosario

AXIOMA: Proposicin que se considera evidente y por lo tanto se acepta sin necesidad

de demostracin, y sirve de punto de partida para demostrar otras frmulas. En los nmeros reales algunos de los axiomas son las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva, etc.

COMPLETEZ: La propiedad de Completez de los nmeros reales (R) expresa que este conjunto numrico rellena por completo la recta numrica, que no deja vacos en ella, es decir, que a cada punto de la recta le corresponde un nmero real. En trminos de lenguaje matemtico se dice que: Si A y B son subconjuntos no vacos de R, es decir son dos intervalos de R, entonces se tiene que para dos nmeros c y d, tales que c d para todo c A, y para todo d B, existe al menos un nmero real tal que: c d.

CONJUNTOS NUMRICOS: Son agrupaciones de nmeros que guardan una serie de propiedades estructurales, que los definen claramente, porque obedecen a ciertas propiedades tales como: estar dotado de operadores, admitir relacin de orden, admitir relacin de equivalencia, ser representables mediante diagramas (Hasse, Euler y Venn) y se construyen desde una estructura ms simple hasta una ms compleja (naturales, enteros, reales y complejos)

CONSTRUCTIVISMO: Es una teora del aprendizaje que destaca la importancia de la accin, es decir, del proceder activo en el proceso de aprendizaje y para que se produzca ste, el conocimiento debe ser construido o reconstruido por el propio sujeto que aprende a travs de la accin

GEOGEBRA: software empleado para la enseanza del Algebra y la Geometra, en donde, de una manera dinmica se pueden modificar figuras y expresiones algebraicas.

GEOMETRA DINMICA: son una serie de programas informticos que permiten a los usuarios, despus de haber hecho una construccin, mover ciertos elementos arrastrndolos libremente y observar cmo otros elementos responden dinmicamente al alterar las condiciones bajo las cuales se construyeron inicialmente. Por otra parte es indudable que el alumno desde nio presta especial atencin a los motivos dinmicos, lo cual es lgico teniendo en cuenta que la experiencia sensomotora se vincula al dibujo y al movimiento. Se trata pues de aprovechar este atractivo que nos ofrecen las nuevas tecnologas para ensenar un sinfn de contenidos geomtricos. NMEROS REALES (R): Es un conjunto denso de nmeros ordenados, que no deja

espacios entre ellos, y que se pueden representar en la recta numrica. Los nmeros reales contienen tanto a los nmeros naturales como a los enteros y son la suma de los nmeros racionales e irracionales, siendo los racionales todos aquellos nmeros que se pueden expresar bajo la forma a/b, con b diferente a cero, cuya escritura decimal es un nmero decimal finito o peridico, mientras que la escritura decimal de los irracionales es infinita no peridica, los cuales no se pueden expresar de la forma a/b.

X Acercamiento al concepto de completez de los nmeros reales

OBJETOS DE APRENDIZAJE: el Ministerio de Educacin Nacional, con el apoyo de expertos de varias Instituciones de Educacin Superior ha acordado la siguiente definicin, dentro de la cual se enmarcan las iniciativas del Ministerio en el tema: es un conjunto de recursos digitales, autocontenible y reutilizable, con un propsito educativo y constituido por al menos tres componentes internos: Contenidos, actividades de aprendizaje y elementos de contextualizacin. El objeto de aprendizaje debe tener una estructura de informacin externa (metadatos) que facilite su almacenamiento, identificacin y recuperacin.

PENSAMIENTOS MATEMTICOS: en los Lineamientos Curriculares propuestos por el Ministerio de Educacin Nacional, se concreta de manera especfica que toda actividad matemtica en el aula debe estar relacionada con los cinco pensamientos matemticos para que los alumnos sean verdaderamente competentes. Estos pensamientos son: el numrico, que plantea que estas actividades deben estar centradas en la comprensin del uso y de los significados de los nmeros y de la numeracin. El mtrico, que se refiere a la comprensin general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su medicin y el uso flexible de los sistemas mtricos o de medidas en diferentes situaciones. El espacial, entendido como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales. El aleatorio que ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigedad, por falta de informacin confiable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. El variacional, que como su nombre lo indica tiene que ver con el

reconocimiento, la percepcin, la identificacin y la caracterizacin de la variacin y el cambio en diferentes contextos.

SECUENCIA DIDCTICA: es la estructuracin sistemtica del trabajo en el aula de una serie ordenada de actividades relacionadas entre s, para ensear un conjunto determinado de contenidos.

RESOLUCIN DE PROBLEMAS: es un proceso mental que supone la conclusin de un proceso ms amplio que tiene como pasos previos la identificacin del problema y su modelado y es considerada en la actualidad la parte ms esencial de la educacin matemtica. Mediante la resolucin de problemas los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemticas en el mundo que los rodea.

Resumen y Abstract XI

Resumen

Este proyecto de aula, nace de una inquietud, respecto al vaco de conocimiento que tienen los estudiantes en general de los nmeros reales y de todas las posibilidades matemticas que ellos generan en la resolucin de problemas, y se enmarca dentro de un objetivo fundamental como es el de acercar a los estudiantes de grado octavo de bsica secundaria al concepto de completez de los nmeros reales, presentando una metodologa basada en objetos de aprendizaje en donde se incluye una sala de juegos y aplicativos en GeoGebra como alternativas didcticas y pedaggicas para la comprensin de los nmeros reales, buscando con ello que no solo los estudiantes se apropien de un concepto en particular, sino que tambin los docentes miren desde una perspectiva diferente su quehacer en el aula desarrollando all el tringulo de la enseanza: docentes saberes estudiantes, y entonces construir conocimiento a partir de nuevas estrategias. El resultado de las actividades propuestas gener adems de una mejor comprensin del tema de estudio, una mejor actitud por parte de los estudiantes porque lo encontraron novedoso, atractivo e interesante. Palabras clave: Completez, Nmeros reales, Conjuntos numricos, Objetos de Aprendizaje, Resolucin de Problemas, GeoGebra.

Abstract

This class Project is born about a worry, by an empty of knowledge that the Students have with the relation to real Numbers and all math possibilities they give with the resolution of the problems, and the main objective is framed to near to the Students to the eighth grade with the concept of completez of the real Numbers presenting a methodology based in learning objects where there is a games room and aplicatives in GeoGebra like didactics and pedagogies alternatives to the comprehension of the real Numbers, looking with this the Students do their the concept and also the teachers look since a different perspective their labor in the class developing here the triangle of the teaching: teachers- knowledge- Students, and so make a knowledge since new strategies. The result of the propose activities produce a Better comprehension of the study topic, a better actitude of the students because they found it newness, attractive and interesting.

Keywords: Completez, Real Numbers, Numeral sets, Learning objects, Resolution of

problems, GeoGebra.

Contenido XII

Contenido

Pg.

Resumen ..............................................................................................................................XI

Lista de figuras ................................................................................................................ XIV

Lista de tablas .