Act 10 Trabajo Colaborativo No. 2 - Metodo Numerico.docx
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UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAEscuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2METODOS NUMERICOS CODIGO 100401
Ingeniería de Sistema
Preparado porCRISTIAM ALBERTO CELIS
KAREN ANDREA JARDIM CASTRONURY SHIRLEY MURILLO
VANESSA CRISTINA MIRANDAYESICA NATALIA BARRIENTOS
GRUPO: 100401_45
TutorJOSE HECTOR MAESTRE
NOVIEMBRE DE 2012
1
INTRODUCCIÓN
Por medio de la realización de este trabajo se adquirió conocimiento de igual manera se identificaron sus propósitos y temáticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo, orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación.
2
OBJETIVO GENERAL
Comprender la estructura del módulo y entenderla, para fundamentar el estudio de los métodos numéricos como son las diferencias entre los sistemas lineales y no lineales. Para dar la solución a problemas reales y adquirir conocimiento sobre las temáticas y los objetivos del curso, para así llevar a buen término la materia y lograr cumplir las metas propuestas durante el semestre.
3
ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO NO. 2
El trabajo se compone de dos partes:
Actividades a Resolver:
Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Sistema de Ecuaciones Lineales, no Lineales e Interpolación”” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 2.
4
METODOS NUMERICOS
CAPITULO 4. INTERPOLACIONES
Presenta
Lección 9. METODOS DE GAUSS- SEDIEL
Presenta 5 pasos
1. Asignar un valor a cada incognita que aparezca en el conjunto Consiste Se divide en
INTERPOLACIÓN LINEAL
...
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, NO LINEALES E INTERPOLACIÓN
LECCIÓN 10. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
LECCIÓN 11. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON LECCIÓN 12. INTER. POLINOMIAL DE
LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON
Es una reformulación del polinomio de Newton que evita los calculos de las diferencias divididas, se puede representar como:
INTERPOLACIÓN CUADRATICA
Las diferencias finitas se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (1) , los cuales se sustituyen en la ecuación (2) para obtener el polinomio de la interpolación
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incognita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para La fórmula más simple de
interpolación es la de conectar dos puntos con una linea recta.
Si se dispone de 3 puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambien polinomio cuadratico o parábola):
3. pasar a lasegunda ecuación y determinar en ella el valor de la incognita del coeficiente más grande en esa ecuación.
B0 = f (X0)
4. continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incognita que tiene el coeficiente más grande
B1 = f [X1, X0]B2 = f [X2, X1, X0]
5
Segunda Parte: Se resolverán una lista de 4 (CUATRO) ejercicios enfocados a poner en práctica los procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:
1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución del Siguiente sistema:
2 x1−x2+x3=5
3 x1+3 x2−9 x3=6
3 x1−3 x2+5 x3=8
a. Proceso para encontrar la matriz upper:
Sacamos los coeficientes con los respectivos signos en una matriz esto es:
(2 −1 13 3 −93 −3 5 |568)
Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 2 y 3 de la matriz
2?=−3≈?=−32
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
(−32
∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la segunda fila:
(2 −1 1
092
−212
3 −3 5| 5−328
) (−32
∗n)+m=(−32
∗2)+3=0
(−32
∗n)+m=(−32
∗−1)+3=92
(−32
∗n)+m=(−32
∗1)+ (−9 )=−212
(−32
∗n)+m=(−32
∗5)+6=−32
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
(−32
∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la tercera fila:
6
(2 −1 1
092
−212
0−32
72
| 5−3212
) (−32
∗n)+m=(−32
∗2)+3=0
(−32
∗n)+m=(−32
∗−1)+(−3 )=−32
(−32
∗n)+m=(−32
∗1)+5=72
(−32
∗n)+m=(−32
∗5)+8=12
Buscamos el valor que encere el segundo valor de la fila 3 de la matriz con respecto al coeficiente pivote de la fila 2:
92?=
32≈?=
32∗2
9=
618
=39=
13
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
( 13∗n)+m, siendo n el valor de la segunda fila y m el valor de la tercera fila:
(2 −1 1
092
−212
0 0 0| 5−3
20
) ( 13∗n)+m=( 1
3∗9
2 )+(−32 )=0
( 13∗n)+m=( 1
3∗(−21
2 ))+ 72=0
( 13∗n)+m=( 1
3∗(−3
2 ))+ 12=0
En conclusión esta es nuestra matriz U (Upper)
(2 −1 1
092
−212
0 0 0| 5−3
20
)7
De aquí podemos hallar una solución al sistema, esto es:
2 x1−x2+x3=5
92x
2
+(−212 ) x
3
=−32
0=0
2 x1−(−618 )+0=5≈2 x1=5− 6
18
≈ x1=
143
∗1
2≈ x1=
73
92x
2
+(−212
∗0)=−32≈
92x
2
+ (0 )=−32
≈ x2=
−32
∗2
9≈ x2=
−618
Comprobación:
(2( 73 ))−(−6
18 )+0=5
(3( 73 ))+(3(−6
18 ))−(9∗0 )=6
(3( 73 ))−(3 (−6
18 ))+(5∗0 )=8
b. Proceso para encontrar la matriz lower:
Sacamos los coeficientes con los respectivos signos en una matriz esto es:
(2 −1 13 3 −93 −3 5 |568)
Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 2 de la matriz
5?=9≈?=95
8
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
( 95∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la segunda fila:
(2 −1 1
425
−125
0
3 −3 5| 5102
58
) ( 95∗n)+m=( 9
5∗5)+(−9)=0
( 95∗n)+m=( 9
5(−3))+ (3 )=−12
5
( 95∗n)+m=( 9
5∗3)+3=42
5
( 95∗n)+m=( 9
5∗8)+6=102
5
Buscamos el valor que encere los primeros valores de la fila 1 de la matriz
5?=−1≈?=−15
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
(−15
∗n)+m, siendo n el valor de la primera fila y m el valor de la primera fila:
(75
−25
0
425
−125
0
3 −3 5| 17
5102
58
) (−15
∗n)+m=(−15
∗5)+1=0
(−15
∗n)+m=(−15
(−3))+(−1 )=−25
(−15
∗n)+m=(−15
∗3)+2=75
(−15
∗n)+m=(−15
∗8)+5=175
Buscamos el valor que encere el segundo valor de la fila 1 de la matriz con respecto al coeficiente pivote de la fila 2:
9
−125?=
25≈?=
25∗−5
12=
−1060
=−530
Ahora operamos con respecto al valor anterior realizamos el siguiente cálculo básico
(−530
∗n)+m, siendo n el valor de la segunda fila y m el valor de la primera fila:
(0 0 0
425
−125
0
3 −3 5| 0102
58
) (−530 (−12
5 ))+(−25 )=0
(−530
∗42
5 )+ 75=0
(−530
∗102
5 )+175
=0
En conclusión esta es nuestra matriz L (Lower)
(0 0 0
425
−125
0
3 −3 5| 0102
58
)Solución:
Matriz L (Lower): (0 0 0
425
−125
0
3 −3 5| 0102
58
)
Matriz U (Upper): (2 −1 1
092
−212
0 0 0| 5−3
20
)10
Solución del sistema: x1=73
, x2=−618
y x3=0
2. Dado el sistema lineal:
x1−x2+a x3=−2
−x1+2x2−ax3=3
ax1+x2+ x3=2
[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2
32 ]
Para hallar el valor o los para que el sistema no tenga solución, procedemos de la siguiente manera:
[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2
32 ] F1=F1
F2=F 1+F2F3=F3−aF1
[1 −1 a0 1 00 1+a 1−a2| −2
12+2a ] F1=F 1+F 2
F2=F 2F3=F 3− (1+a )F 2
[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1
11+a ] F 1=F1
F 2=F2F3=F3/ (1−a2)
Para que nuestro sistema presente inconsistencia se debe cumplir que el último coeficiente debe ser igual a cero, independiente del resultado que dé.
1−a2=0
1=a2
±√1=a
11
±1=a
Si evaluamos a en -1 encontramos que el resultado es cero por lo cual nuestra opción es a es 1.
Para que nuestro sistema posea infinitos soluciones.
[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1
11+a ]
El último coeficiente y su resultado deben de ser igual a cero, sistema se implicara a tres incógnitas con dos ecuaciones teniendo infinitas soluciones.
1−a2=0 y 1+a=0
a=±√1a=−1
a=±1a=1
Por lo que el número común es -1 y es el que viene a serla respuesta buscada a es -1.
Para que tenga una única solución el
[ 1 −1 a−1 2 −aa 1 1 |−2
32 ] F1=F1
F2=F 1+F2F3=F3−aF1
[1 −1 a0 1 00 1+a 1−a2| −2
12+2a ] F1=F 1+F 2
F2=F 2F3=F 3− (1+a )F 2
[1 0 a0 1 00 0 1−a2|−1
11+a ] F 1=F1
F 2=F2F3=F3/ (1−a2)
[1 0 a0 1 00 0 1|
−11
1/(1−a)]F1=F1−aF3F2=F2F3=F3
12
[1 0 00 1 00 0 1|
1 /(a−1)1
1 /(1−a) ]F1=F 1−F3
[1 0 00 1 00 0 1|
(−2+a)/ (1−a)1
1/(1−a) ]a=R−(−1,1)
3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seide para el siguiente sistema lineal. Según los resultados concluya la posible solución del sistema, es decir, concrete cual es la solución
10 x1−x2+0=9
−x1+10x2−2 x3=7
0−2x2+10 x3=6
1. Asignamos valores iniciales a las incógnitas:
x1=0 x2=1 x3=2
2. En segundo paso despejamos las variables de las ecuaciones para obtener x1, x2 y x3:
x1=9+x2
10
x2=7+ x1+2 x3
10
x3=6+2 x2
10
3. Comenzamos las iteraciones:
Iteración 1:
x1=9+x2
10≈
9+110
≈1010≈1
13
R1+R
x2=7+ x1+2 x3
10≈
7+1+ (2∗2 )10
≈1210
x3=6+2 x2
10≈
6+( 2∗1210 )
10≈
6+2410
10≈
42510≈
425
∗1
10≈
2125
Comprobación:
10 x1−x2+0=9≈ (10∗1 )−(1210 )+0=9≈
8810≠9
−x1+10x2−2 x3=7≈−1+( 10∗1210 )−( 2∗21
25 )=7
≈−1+12−4225
=7≈11−4225
=7≈23325≠7
0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗1210 )+( 10∗21
25 )=6≈−24+ 425
=6≈−785≠6
Iteración 2:
x1=1x2=
1210
x3=2125
x1=9+x2
10≈
9+1210
10≈
5150
x2=7+ x1+2 x3
10≈
7+ 5150
+( 2∗2125 )
10≈
40150
+ 4225
10≈
9710
∗1
10≈
97100
x3=6+2 x2
10≈
6+( 2∗97100 )
10≈
6+ 9750
10≈
3975010
≈397500
Comprobación:
10 x1−x2+0=9≈( 10∗5150 )−( 97
100 )+0≠9
14
R1+R
−x1+10x2−2 x3=7≈−5150
+(10∗97100 )−( 2∗397
500 )≠7
0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗97100 )+( 10∗397
500 )=6
Iteración 3:
x1=5150
x2=97
100x3=
397500
x1=9+x2
10≈
9+ 97100
10≈
99710010
≈997
1000
x2=7+ x1+2 x3
10≈
7+ 997100
+( 2∗397500 )
10≈
79971000
+ 397250
10≈
1917200
∗1
10≈
19172000
x3=6+2 x2
10≈
6+( 2∗19172000 )10
≈6+ 1917
100010
≈
79171000
10≈
791710000
Comprobación:
10 x1−x2+0=9≈( 10∗9971000 )−(1917
2000 )+0≠9
−x1+10x2−2 x3=7≈− 9971000
+(10∗19172000 )−( 2∗7917
10000 )≠7
0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗19172000 )+( 10∗7917
10000 )=6
Iteración 4:
x1=997
1000x2=
19172000
x3=7917
10000
x1=9+x2
10≈
9+1917200010
≈
19917200010
≈1991720000
15
x2=7+ x1+2 x3
10≈
7+ 1991720000
+(2∗791710000 )
10≈
15991720000
+79175000
10≈
383174000
10≈
3831740000
x3=6+2 x2
10≈
6+( 2∗3831740000 )10
≈6+ 38317
2000010
≈
15831720000
10≈
158317200000
Comprobación:
10 x1−x2+0=9≈( 10∗1991720000 )−( 38317
40000 )+0≠9
−x1+10x2−2 x3=7≈−1991720000
+( 10∗3831740000 )−(2∗158317
200000 )≠7
0−(2 x2 )+10 x3=6≈−( 2∗3831740000 )+( 10∗158317
200000 )=6
Solución: Podemos concluir que la solución al ejercicio está muy cerca aproximadamente 8 iteraciones más dado que los valores obtenidos se acercan a la igualdad.
Los valores obtenidos en 4 iteraciones dan como solución, si redondeamos o truncamiento en el decimal, los siguientes valores:
x1=997
1000=0,997 x2=
19172000
=0,9585 x3=7917
10000=0,7917
Si realizamos 8 iteraciones más obtendríamos valores aproximados a (use la hoja de Excel para ver esta posible solución):
x1=497894737500000000
=0,995789474
x2=957894737
1000000000=0,957894737
x3=17590643282222222222
=0,791578948
4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el método de Diferencias divididas de Newton:
x 0 1 2 3
16
F(x) 6 8 12 18
El polinomio de tercer orden con n = 3 es:
f 3 ( x )=b0+b1 (x−x0 )+b2 (x−x0 ) (x−x1 )+b3 (x−x0 ) (x−x1 )(x−x2)
Las primeras diferencias divididas son:
f (X ¿¿1 , X0)=8−61−0
=21=2¿
f (X ¿¿2 , X1)=12−82−1
=41=4¿
f (X ¿¿3 , X2)=18−12
3−2=6
1=6¿
Las segundas diferencias divididas son:
f (X2 , X ¿¿1 , X0)=f (X ¿¿2 , X1)−f (X ¿¿1 , X0)X1−X0
=4−22−0
=22=1¿¿¿
f (X3 , X ¿¿2 , X1)=f (X ¿¿3 , X2)−f (X ¿¿2, X1)X 3−X1
=6−43−1
=22=1¿¿¿
La tercera diferencia dividida es:
f (X3 , X ¿¿2 , X1 , X0)=f (X ¿¿3 , X2 ,X 1)−f (X ¿¿2 , X1 , X0)
X3−X0
=1−13−0
=03=0¿¿¿
los resultados para : f (X ¿¿1 , X0) , f (X ¿¿2 , X1 ,X 0) y f (X3 , X ¿¿2 , X1 , X0)¿¿¿
representan los coeficientes : b1 , b2 y b3 Juntoab0=f ( x0)
La ecuación da:
f 3 ( x )=6+2 (x−0 )+( x−0 ) ( x−1 )+0 (x−0)(x−1)(x−2)
f ( x )=6+2 x+x (x−1)
¿6+2 x+x2−x
f ( x )=6+x+ x2
17
f (0,5 )=6+0,5+(0,5)2
¿6+0,5+0,25
¿6,7 5
18
CONCLUSIÓN
Podemos concluir que los estudiantes involucrados en el presente trabajo colaborativo comprendieron los conceptos de la unidad II del curso Método Numérico. Algunos de los conceptos estudiados se relacionan con los métodos de iterativos de eliminación y las interpolaciones de polinomios, por este motivo los estudiantes tienen el conocimiento necesario para utilizarlos en casos reales de la vida profesional.
19
BIBLIOGRAFIA
Carlos Iván Buchelli; 2012, Modulo Métodos Numéricos Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.
Protocolo Académico.
Campus virtual Métodos Numéricos UNAD
http://campus07.unadvirtual.org/moodle/course/view.php?id=77
20