Act 7 - Lectura
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1. Concepto de Función: Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo). Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D (f) = R - {0}. Dominio y Rango de una Función Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por F = (x,y) / y = x 3 . Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir, 27=f(3). Funciones Biyectivas,Sobreyectivas y Inyectivas Función Inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio es inyectiva. Función Sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio) es sobreyectiva.
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1 Concepto de Funcioacuten
Una funcioacuten es una transformacioacuten que asocia a cada nuacutemero perteneciente a alguacuten subconjunto de los nuacutemeros reales otro nuacutemero real (uno soacutelo)
Por ejemplo la funcioacuten f(x) = 1x asocia a cada nuacutemero real distinto de cero su inverso El subconjunto formado por los nuacutemeros reales que tienen imagen se llama dominio de la funcioacuten En este ejemplo el dominio estaacute formado por todos los nuacutemeros reales distintos del cero D (f) = R - 0
Dominio y Rango de una Funcioacuten
Dado los conjuntos X=123 Y=15827 Sea F una funcioacuten de X en Y definida por F = (xy) y = x3
Su conjunto solucioacuten es S=(11)(28)(327) y su representacioacuten mediante un diagrama sagital Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relacioacuten se puede hacer lo mismo para una funcion luego Dom(f)=123 y R(f)=1827 Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la funcioacuten porque no esta relacionado con ningun elemento de X A los elementos del rango de una funcioacuten tambieacuten se les suele llamar conjunto de imagenes de la funcioacuten luego 1 es imagen de 1 mediante la funcioacuten F o tambien se puede escribir 1=f(1) 8 es la imagen de 2 mediante la funcioacuten F es decir 8=f(2) 27 es imagen de 3 mediante la funcioacuten F es decir 27=f(3)
Funciones BiyectivasSobreyectivas y Inyectivas
Funcioacuten Inyectiva Si cada elemento del conjunto es imagen de un uacutenico elemento del
dominio es inyectiva
Funcioacuten Sobreyectiva es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio) es sobreyectiva
Funcioacuten Biyectiva es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva
Revisando concepto de Trigonometriacutea
2 Concepto de Trigonometriacutea
La Trigonometriacutea (lt Griegotrigōnon triaacutengulo + metron medida[ de ahiacute su significado etimoloacutegico viene a ser la medicioacuten de los triaacutengulos) La trigonometriacutea es una rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los aacutengulos y los lados de los triaacutengulos Para esto la trigonometriacutea se vale del estudio de las funciones o razones trigonomeacutetricas las cuales son utilizadas frecuentemente en caacutelculos teacutecnicos La trigonometriacutea se aplica a otras ramas de la geometriacutea como es el caso del estudio de las esferas de la geometriacutea del espacio
Posee muchas aplicaciones las teacutecnicas de triangulacioacuten por ejemplo son usadas en Astronomiacutea para medir distancias a estrellas proacuteximas en la medicioacuten de distancias entre puntos geograacuteficos y en sistemas de navegacioacuten por Sateacutelites
21 Unidades Angulares
En la medida de aacutengulos y por tanto en trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada y se define como la unidad natural para
medir aacutengulos el Grado centesimal se desarrolloacute como la unidad maacutes proacuteximo al sistema decimal pero su uso praacutecticamente es inexistente
-Radiaacuten unidad angular natural en trigonometriacutea seraacute la que aquiacute utilicemos en una circunferencia completa hay 2π radianes
-Grado Sexagesimal unidad angular que divide una circunferencia en 360ordm
-Grado Centesimal unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales
22 Funciones Trigonomeacutetricas
El Triaacutengulo ABC es un triaacutengulo rectaacutengulo en C lo usaremos para definir las funciones seno coseno y tangente del aacutengulo correspondiente al veacutertice A situado en el centro de la circunferencia
El seno (abreviado como sen o sin por llamarse sine en ingleacutes) es la razoacuten entre el cateto opuesto y la hipotenusa
El coseno (abreviado como cos) es la razoacuten entre el cateto adyacente y la hipotenusa La tangente (abreviado como tan o tg) es la razoacuten entre el cateto opuesto y el adyacente es el cociente del seno entre el coseno
23 Identidades Trigonomeacutetricas
Como en el triaacutengulo rectaacutengulo se cumple que a2 + b2 = c2 de la figura anterior se tiene que sen α = a cos α = b c = 1 entonces para todo aacutengulo α
Algunas identidades trigonomeacutetricas importantes son las siguientes
sen (90 + α) = cos α
cos (90 ndash α) = sen α
sen (180 ndash α) = sen α
cos (180 ndash α) = ndashcos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2α - sen
2α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β ndash sen α sen β
sen (α ndash β) = sen α cos β ndash cos α sen β
cos (α ndash β) = cos α cos β + sen α sen β
2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α ndash β)
cos2(α) = 12 times (1 + cos(2 times α))
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)
sen2(α) = 12 times (1 ndash cos(2 times α))
3 Definicioacuten de Hipernometriacutea
La palabra HIPERNOMETRIacuteA se acuntildeo en este contexto haciendo referencia a el anaacutelisis de las funciones Hiperboacutelicas de la misma manera como al
En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperboacutelicas sus principios y caracteriacutesticas Asiacute las funciones hiperboacutelicas tienen unas identidades baacutesicas
El anaacutelisis de las funciones trigonomeacutetricas se le denomina Trigonometriacutea es posible que la palabra no sea muy teacutecnica pero la idea es que con ella en este material se identifique el anaacutelisis de las funciones hiperboacutelicas
Funcioacuten Biyectiva es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva
Revisando concepto de Trigonometriacutea
2 Concepto de Trigonometriacutea
La Trigonometriacutea (lt Griegotrigōnon triaacutengulo + metron medida[ de ahiacute su significado etimoloacutegico viene a ser la medicioacuten de los triaacutengulos) La trigonometriacutea es una rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los aacutengulos y los lados de los triaacutengulos Para esto la trigonometriacutea se vale del estudio de las funciones o razones trigonomeacutetricas las cuales son utilizadas frecuentemente en caacutelculos teacutecnicos La trigonometriacutea se aplica a otras ramas de la geometriacutea como es el caso del estudio de las esferas de la geometriacutea del espacio
Posee muchas aplicaciones las teacutecnicas de triangulacioacuten por ejemplo son usadas en Astronomiacutea para medir distancias a estrellas proacuteximas en la medicioacuten de distancias entre puntos geograacuteficos y en sistemas de navegacioacuten por Sateacutelites
21 Unidades Angulares
En la medida de aacutengulos y por tanto en trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada y se define como la unidad natural para
medir aacutengulos el Grado centesimal se desarrolloacute como la unidad maacutes proacuteximo al sistema decimal pero su uso praacutecticamente es inexistente
-Radiaacuten unidad angular natural en trigonometriacutea seraacute la que aquiacute utilicemos en una circunferencia completa hay 2π radianes
-Grado Sexagesimal unidad angular que divide una circunferencia en 360ordm
-Grado Centesimal unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales
22 Funciones Trigonomeacutetricas
El Triaacutengulo ABC es un triaacutengulo rectaacutengulo en C lo usaremos para definir las funciones seno coseno y tangente del aacutengulo correspondiente al veacutertice A situado en el centro de la circunferencia
El seno (abreviado como sen o sin por llamarse sine en ingleacutes) es la razoacuten entre el cateto opuesto y la hipotenusa
El coseno (abreviado como cos) es la razoacuten entre el cateto adyacente y la hipotenusa La tangente (abreviado como tan o tg) es la razoacuten entre el cateto opuesto y el adyacente es el cociente del seno entre el coseno
23 Identidades Trigonomeacutetricas
Como en el triaacutengulo rectaacutengulo se cumple que a2 + b2 = c2 de la figura anterior se tiene que sen α = a cos α = b c = 1 entonces para todo aacutengulo α
Algunas identidades trigonomeacutetricas importantes son las siguientes
sen (90 + α) = cos α
cos (90 ndash α) = sen α
sen (180 ndash α) = sen α
cos (180 ndash α) = ndashcos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2α - sen
2α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β ndash sen α sen β
sen (α ndash β) = sen α cos β ndash cos α sen β
cos (α ndash β) = cos α cos β + sen α sen β
2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α ndash β)
cos2(α) = 12 times (1 + cos(2 times α))
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)
sen2(α) = 12 times (1 ndash cos(2 times α))
3 Definicioacuten de Hipernometriacutea
La palabra HIPERNOMETRIacuteA se acuntildeo en este contexto haciendo referencia a el anaacutelisis de las funciones Hiperboacutelicas de la misma manera como al
En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperboacutelicas sus principios y caracteriacutesticas Asiacute las funciones hiperboacutelicas tienen unas identidades baacutesicas
El anaacutelisis de las funciones trigonomeacutetricas se le denomina Trigonometriacutea es posible que la palabra no sea muy teacutecnica pero la idea es que con ella en este material se identifique el anaacutelisis de las funciones hiperboacutelicas
medir aacutengulos el Grado centesimal se desarrolloacute como la unidad maacutes proacuteximo al sistema decimal pero su uso praacutecticamente es inexistente
-Radiaacuten unidad angular natural en trigonometriacutea seraacute la que aquiacute utilicemos en una circunferencia completa hay 2π radianes
-Grado Sexagesimal unidad angular que divide una circunferencia en 360ordm
-Grado Centesimal unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales
22 Funciones Trigonomeacutetricas
El Triaacutengulo ABC es un triaacutengulo rectaacutengulo en C lo usaremos para definir las funciones seno coseno y tangente del aacutengulo correspondiente al veacutertice A situado en el centro de la circunferencia
El seno (abreviado como sen o sin por llamarse sine en ingleacutes) es la razoacuten entre el cateto opuesto y la hipotenusa
El coseno (abreviado como cos) es la razoacuten entre el cateto adyacente y la hipotenusa La tangente (abreviado como tan o tg) es la razoacuten entre el cateto opuesto y el adyacente es el cociente del seno entre el coseno
23 Identidades Trigonomeacutetricas
Como en el triaacutengulo rectaacutengulo se cumple que a2 + b2 = c2 de la figura anterior se tiene que sen α = a cos α = b c = 1 entonces para todo aacutengulo α
Algunas identidades trigonomeacutetricas importantes son las siguientes
sen (90 + α) = cos α
cos (90 ndash α) = sen α
sen (180 ndash α) = sen α
cos (180 ndash α) = ndashcos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2α - sen
2α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β ndash sen α sen β
sen (α ndash β) = sen α cos β ndash cos α sen β
cos (α ndash β) = cos α cos β + sen α sen β
2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α ndash β)
cos2(α) = 12 times (1 + cos(2 times α))
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)
sen2(α) = 12 times (1 ndash cos(2 times α))
3 Definicioacuten de Hipernometriacutea
La palabra HIPERNOMETRIacuteA se acuntildeo en este contexto haciendo referencia a el anaacutelisis de las funciones Hiperboacutelicas de la misma manera como al
En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperboacutelicas sus principios y caracteriacutesticas Asiacute las funciones hiperboacutelicas tienen unas identidades baacutesicas
El anaacutelisis de las funciones trigonomeacutetricas se le denomina Trigonometriacutea es posible que la palabra no sea muy teacutecnica pero la idea es que con ella en este material se identifique el anaacutelisis de las funciones hiperboacutelicas
cos (α + β) = cos α cos β ndash sen α sen β
sen (α ndash β) = sen α cos β ndash cos α sen β
cos (α ndash β) = cos α cos β + sen α sen β
2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α ndash β)
cos2(α) = 12 times (1 + cos(2 times α))
sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)
sen2(α) = 12 times (1 ndash cos(2 times α))
3 Definicioacuten de Hipernometriacutea
La palabra HIPERNOMETRIacuteA se acuntildeo en este contexto haciendo referencia a el anaacutelisis de las funciones Hiperboacutelicas de la misma manera como al
En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperboacutelicas sus principios y caracteriacutesticas Asiacute las funciones hiperboacutelicas tienen unas identidades baacutesicas
El anaacutelisis de las funciones trigonomeacutetricas se le denomina Trigonometriacutea es posible que la palabra no sea muy teacutecnica pero la idea es que con ella en este material se identifique el anaacutelisis de las funciones hiperboacutelicas
