ACTITUD DE UN AEROGENERADOR

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA: ING. MÓNICA SOBERANES ALANIS

DIRIGIDA POR:

Dr. FERMÍN A. VINIEGRA HEBERLEIN Dr. ORLANDO SUSARREY HUERTA

Ciudad de México Enero 2018

CARTA DE CESIÓN DE DERECHOS

En la Ciudad de México el día 04 del mes Octubre del año 2017, la que suscribe Mónica Soberanes Alanís alumna del Programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica con número de registro B091756, adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación-ESIME, manifiesta que es autora intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de Dr. Orlando Susarrey Huerta y el Dr. Fermín Alberto Viniegra Heberlein y cede los derechos patrimoniales del trabajo intitulado “Actitud de un Aerogenerador de eje Horizontal”, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación. Los usuarios de la información contenida en este trabajo, no deben reproducir el contenido parcial o total del texto, gráficas o datos del mismo, sin el permiso expreso de la autora y/o directores del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el reconocimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. “La técnica al servicio de la Patria”

Ing. Mónica Soberanes Alanís

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

Actitud de un aerogenerador de eje horizontal

i

RESUMEN

El presente trabajo describe un conocimiento completo de la Mecánica del cuerpo rígido, y un resumen muy interesante de la Mecánica de fluidos, herramientas que a lo largo del tiempo la inteligencia humana ha ido descifrando para la solución de innumerables problemas. Gracias al aprendizaje adquirido durante la maestría en SEPI- ZACATENCO, se ha podido encontrar resultados interesantes, como la actitud de la góndola de un Aerogenerador. Para calcular la actitud de un Aerogenerador se deben tomar en cuenta diferentes consideraciones que deben hacerse para facilitar el cálculo. Se analiza a la góndola del aerogenerador como un cuerpo rígido que rota alrededor de cierto eje sobre un punto fijo. Al hacer este cálculo se encuentra un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, las cuales se les lleva a una cuadratura y mediante los ángulos de Euler se logra una parametrizacion, la cual permite encontrar las velocidades angulares del movimiento de ella. Gracias a la variable compleja, a la transformación de Joukowki y a las leyes de Blasius en la Mecánica de fluidos se encuentran a las fuerzas y la circulación que intervienen en la góndola. La actitud, es decir la orientación o pivoteo de la góndola cuando esta sometida a fuerzas y torcas externas, se encuantra integrando a las velocidades angulares de movimiento para encontrar los angulos de nutación y presecion que definen su movimiento. El fin de conocer el estado de movimiento (pivoteo o actitud) de la góndola, permite visualizar, analizar y en lo posterior resolover la estabilidad de este tipo de artefactos para aumentar la eficiencia de los aerogeneradores.


ii

ABSTRACT

This paper describes a complete understanding of rigid body mechanics and a very interesting overview of fluid mechanics, tools that over the time, the human mind has deciphered for the solution of many problems. Thanks to the learning acquired during the stay in SEPI-Zacatenco it could be found interesting results, such as the orientation of a wind turbine nacelle.

To calculate the orientation of a wind turbine body, different considerations are to be taken into

account, in order to facilitate its solution.

The wind turbine nacelle has to be seen as a rigid body that rotates around an axis on a fixed

point. Making this calculation, a set of nonlinear differential equations is solved, and using the

Euler angles it leads to its parameterization in order to find the nacelle’s angular velocities.

Through the use of complex variable, and the approach of the transformation of Joukowski and Blasius laws in fluid mechanics, the forces and the torque on the gondola can be calculated, as well as the moment and circulation, to give solution to the attitude of the wind turbine.

The attitude of the wind turbine, is to say the orientation of pivot of the wind turbine nacelle when is subjected to external forces and torque, is found by integrating the angular velocities of movement to find the nutation and preset angles that define its movement. In order to know the state of movement (pivot or attitude) of the nacelle, it is possible to visualize, analyze and subsequently resolve the stability of this type of artifact to increase the efficiency of wind turbines.


iii

A la energía con la que pasa el tiempo

D edico este trabajo a todas las estrellas, que dieron parte de ellas para estos pensamientos.

mi amada Naturaleza, a todos los animales de la selva, de la tundra, de la pradera, del desierto, a los peces, a las aves, a los insectos.

E n especial al Sol, un enamorado eterno, que persigue a su amada cada día.

los gigantes verdes y a su refrescante sombra, , a los frutos, delicia del alma y a todas las flores con sus diferentes colores.

A la Luna que muestra su belleza cada noche arrancando profundos suspiros del alma.

L a dedico al amor; al Amor verdadero, al amor que no lo desgasta el viento, al amor que crece con el tiempo, al amor que en la distancia da la cara al cielo, al amor justo y cierto, al amor que con la mirada se desvanece en el firmamento y con un beso se acaba el universo.

L a dedico a las nubes que se transforman en ríos.

A mi pasado y mi futuro incierto, a mi Familia y a los que ya se fueron.

A el viento, a las montañas y a la mezcla de gases que respiro.

mis maestros y alumnos que tanto me dieron.

el mar y a las olas que me abrazan y bailan en invierno.

los retos y a los días de sueño.

mi madre Tierra que me cobija me da sustento y me recogerá un día. T

e la dedico js, que tanto Te Quiero.

el pensamiento más puro y vivo


iv

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a mi querido Instituto Politécnico Nacional, mi casa favorita, que me abriga aún. Agradezco a mis profesores: * Dr. Samuel Alcantara Montes que con sus clases mágicas me dibujó espacios que no imaginaba, por la frase de Carlos Castaneda que me regaló y siempre tendré conmigo y por enseñarme que las matemáticas son un juego divertido.

* Dr. Jesús Alberto Meda por sus conocimientos, enseñanzas, recomendaciones, consejos, por su ayuda y por sus animos, le estoy muy agradecida.

* Dr. Orlando Susarrey Huerta quien con su ejemplo su buen humor, su sencillez, sus clases, su buen espíritu me compartio enseñanzas valiosas que llevaré siempre, pero le agradezco con todo mi corazón por haberme dado la mano cuando más lo necesite, Gracias!!

Todos ellos me han introducido a la ciencia pero mi agradecimiento infinito es para * Dr. Fermín. A. Viniegra Heberlein, de quien he aprendido tanto, que sin duda nunca olvidaré y por quien agradezco a Dios me haya hecho coincidir con él en esta vida. Él me inspira con su plática, y sus clases únicas que son de las mejores de mi vida.

Él, me ha dado tiempo, apoyo, consejos, regaños, mucha paciencia, ciencia, trucos y lo más importante su amistad, es inefable el agradecimiento y sentimiento que le tengo.


v

INTRODUCCIÓN La presente tesis tiene por objetivo calcular la Actitud de un Aerogenerador de eje

horizontal; es decir, La orientación de la góndola que pivotea en un punto fijo y rota alrededor de cierto eje analizado bajo la mecánica del cuerpo rígido, en donde solamente se toman en cuenta las rotaciones y se descartan las traslaciones, este cálculo describe un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, de segundo orden, acopladas, que, sin embargo se pueden llevar hasta cuadraturas, que describen la cantidad de movimiento (momento angular) y la orientación (actitud) de la góndola con respecto a dos sistemas de referencia, tres ejes coordenados fijos al cuerpo y otros tres ejes fijos en el espacio. Esta parametrización se logra médiate los ángulos de Euler y la matriz de rotación, permiten encontrar los ángulos de nutación (cabeceo) y precesión (guiñada) de Euler para la góndola. Utilizando variable compleja y aplicando la transformada de Joukowski, y de acuerdo a la primera y segunda leyes integrales de Blasius, se encuentra el momento, el levantamiento, y el arrastre de la góndola, Este trabajo presenta los siguientes capítulos: En el Capítulo 1 se presenta una breve introducción de la energía eólica, de la fuente que la produce, de los aerogeneradores que hacen un papel importante en la conversión de energía para la producción de electricidad; se habla también de sus componentes y del funcionamiento del mismo, así como también de la eficiencia que se puede alcanzar en uno de estos artefactos. En el capítulo 2 se aborda el cálculo relacionado con la rotación de un cuerpo, en este caso es la góndola de un aerogenerador de eje horizontal, que pivotea en un punto fijo. Para hacer este estudio se utiliza la mecánica del cuerpo rígido, conceptos de mecánica y los ángulos de Euler; todo esto con el propósito de encontrar las componentes de la velocidad angular que intervienen en el movimiento del aerogenerador.

El capítulo 3, muestra un procedimiento bello de cómo atacar el problema de los efectos del viento sobre la góndola de un aerogenerador, se utiliza en este capítulo a la mecánica de fluidos, como herramienta de conocimiento para encontrar a la circulación del viento sobre la góndola y poner las bases para calcular el levantamiento y arrastre que se provoca sobre la misma.

En el capítulo 4 se resume el conocimiento de los capítulos anteriores para dar solución a las ecuaciones de la actitud del aerogenerador., es un procedimiento largo y complejo, pero al mismo tiempo fascinante, lo que hace que sea un placer ver el resultado.

Por último se muestran las conclusiones y recomendaciones de la tesis.


vi

CONTENIDO Páginas

Resumen ………………………………………………………………………………………… i Abstract ………………………………………………………………………………………… ii Dedicatoria ………………………………………………………………………………………… iii Agradecimientos ………………………………………………………………………………………… iv Introducción ………………………………………………………………………………………… v Contenido ………………………………………………………………………………………… vi Índice de Figuras ………………………………………………………………………………………… viii Índice de Tablas ………………………………………………………………………………………… x Nomenclatura …………………………………………………………………………………………. xi Justificación ………………………………………………………………………………………… xv Objetivo General ………………………………………………………………………………………… xv Objetivos Particulares ………………………………………………………………………………………… xvi

Capítulo 1

GENERALIDADES 1 1.1. ENERGÍA EÓLICA 1 1.2 HISTORIA DE LOS AEROGENERADORES 2 1.3 FUENTE DE LA ENERGIA EÓLICA: EL VIENTO 4 1.4 EL AEROGENERADOR 9 1.4.1 TIPOS DE AEROGENERADORES 9 1.4.1.1. Tipo de Eje 9 1.4.1.2. Orientación Respecto al Viento 10 1.4.1.3. Número de Palas en aerogeneradores de eje horizontal 10 1.4.2. COMPONENTES DE LOS AEROGENERADORES DE EJE HORIZONTAL 11 1.4.3. FUNCIONAMIENTO DE LOS AEROGENERADORES 15 1.5. DISCO DE CORRIENTE 16 1.6. LEY DE BETZ 17

Capítulo 2

EL CUERPO RÍGIDO 19 2.1 INTRODUCCIÓN 19 2.2. EL CUERPO RÍGIDO 20 2.3 ÁNGULOS DE EULER 27 2.4 DINÁMICA DE LA ACTITUD 29 2.5 CINEMÁTICA DE LA ACTITUD 30


vii

Capítulo 3

MECÁNICA DE FLUIDOS 40 3.1 INTRODUCCIÓN 40 3.2. ECUACIONES DE BALANCE 41 3.2.1. LA ECUACIÓN DE BALANCE DE MASA. 41 3.2.2. LA ECUACIÓN DE BALANCE DE MOMENTO 42 3.3. EL FLUIDO PERFECTO 43 3.3.1. LAS ECUACIONES DE EULER 43 3.3.2 EL FLUIDO PERFECTO INCOMPRESIBLE E IRROTACIONAL EN 2-D 45 3.3.3 TEOREMA DE KELVIN 46 3.4. MODELAJE DE FLUJOS 47 3.4.1. EL POTENCIAL COMPLEJO Y LA VELOCIDAD COMPLEJA 48 3.4.2. MODELAJE DE FLUJO DE FLUIDOS 51 ( i ) EL FLUJO UNIFORME 51 ( ii ) VÓRTICE Y CIRCULACIÓN 52 ( iii ) FUENTES Y SUMIDEROS 55 ( iv ) EL DOBLETE 56 3.5 FLUJO QUE REMONTA UN OBSTÁCULO CILÍNDRICO 60 3.5.1. FLUJO SIN CIRCULACIÓN. 60 3.5.2. FLUJO CON CIRCULACIÓN 64 3.6. LAS LEYES INTEGRALES DE BLASIUS 66 3.6.1. LA PRIMERA LEY INTEGRAL 66 3.6.2. LA SEGUNDA LEY INTEGRAL 71 3.7. LAS TRANSFORMACIONES DE JOUKOWSKI 72 3.7.1. LA TRANSFORMACIÓN DE JOUKOWSKI 72 3.7.2. EL SEGMENTO DE RECTA 75 3.7.3 LA ELIPSE 78

Capítulo 4

DINÁMICA DE LA ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL 86

4.1 DINÁMICA DE LA ACTITUD 86 4.1.1 FUERZAS Y TORCAS 87 4.1.2. LAS ECUACIONES DE EULER 92 4.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ACTITUD DE UN A.G. DE EJE HORIZONTAL 93 4.2.1. LA VELOCIDAD ANGULAR 93 4.2.2. LAS FUERZAS 95 4.2.3. LAS TORCAS 95 4.2.4. LAS ECUACIONES DE EULER 95 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 104

Referencias y Fuentes Bibliográficas 106


viii

ÍNDICE DE FIGURAS.

Figuras Páginas

1.1 Barco egipcio representado en la tumba de Menna, Valle de los Nobles, dinastía XVIII, mediados del II milenio a. C (GNU Se aplica licencia de documentación gratuita a esta imagen) https://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtima#/media/File:Maler_der_Grabkammer_des_Menna_013.jpg

2

1.2 Molinos de viento de eje vertical. Localizados en Nashtifan, ciudad situada en el sur de la provincia de Jorasán Razavi, en Irán. Algunos derechos reservados por blog. UCLM. Dirección web: http://blog.uclm.es/molinoferrera/files/2016/04/primermolinoviento.jpg

2

1.3 Molinos de viento de Kinderdijk, Netherlands Se aplica licencia libre GFDL. CC BY-SA 3.0 por Wikipedia.org Dirección web : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg diciembre de 2004

3

1.4 Multipala Americano (Texas) © Todos los derechos reservados por Bienes Comunes A. C. obtenida de la Dirección: http://www.energias.bienescomunes.org/wp-content/uploads/2012/08/texas-molinos.jpg , el 2005-2012

3

1.5 Complejo Eólico Oaxaca II-II-IV Municipios de Santo Domingo y la Venta, Oaxaca (México). El mayor complejo eólico de América Latina, incorpora 204 aerogeneradores AW1500, capaces de cubrir la demanda eléctrica de unos 700,000 hogares mexicanos. © Todos los derechos reservados por acciona-mx.com Obtenida de la Dirección web : http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg, 2017.

4

1.6 Movimiento del viento en el planeta. © Todos los derechos reservados por Enciclopedia Británica, inc. Obtenida de la dirección: http://media1.britannica.com/eb-media/04/110604-034-849A13B1.jpg, 2017.

5

1.7 La Escala de Beaufort para medir velocidad del viento. Algunos derechos reservados por Meteoarganda.es por: http://meteoarganda.es/Saratoga/Escala%20de%20Beaufort_archivos/image002.jpg, 2006.

5

1.8 Parque eólico de Aerogeneradores de eje horizontal Bíi Hioxho (viento fuerte) en Juchitán Oaxaca, generando 2MW cada uno. Algunos derechos reservados por el universal.com.mx, dirección web: http://www.redpolitica.mx/estados/la-lucha-indigena-contra-las-eolicas-en-juchitan , 2014

9

1.9 Aerogenerador de eje Horizontal 9 1.10 Aerogeneradores de eje vertical 9 1.11 Rotor a Barlovento 10 1.12 Rotor a Sotavento 10 1.13 a)Una pala, b)Bipala, c)Tripala d) Multipala. Imagen tomada de la página 17 del libro Fundamentals, Resource

Analysis and Economics., (2006) [4].Palas de un aerogenerador de eje horizontal 10

1.14 Partes del perfil aerodinámico. 11 1.15 Arreglo geométrico en la configuración de perfiles de 4 dígitos en los Perfiles NACA 11 1.16 Palas de un aerogenerador de eje horizontal 12 1.17 Góndola de un aerogenerador de eje horizontal. Algunos derechos por gmoutlook.com dirección web:

http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/101961-2988353.jpg 12

1.18 Orientación del aerogenerador por veleta 14 1.19 Aerogenerador de eje Horizontal. Algunos derechos reservados por Washington Examiner, Dirección web:

http://cdn.washingtonexaminer.biz/cache/1060x600-40ee7544d29d91fbad6f199bd2579bc4.jpg 15

1.20 Flujo de aire que pasa por el Disco de corriente. Imagen tomada de la página 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [8].

16

1.21 Extracción de energía en el disco de corriente. Imagen tomada de la página 43 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [8].

17

1.22 Libro Publicado en 1926 por el alemán Albert Betz “Wind Energie und ihre Ausnutzug durch Windmülen,” “Wind Energy and its Extraction through Windmills,” ©Todos los derechos reservados por Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation M. Ragheb. Obtenida de la dirección web: http://www.ragheb.co/NPRE%20475%20Wind%20Power%20Systems/Wind%20Energy%20Conversion%20Theory%20Betz%20Equation..pdf 2/10/2017

17

1.23 Modelo de Betz Imagen tomada de la página 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [9]. Interpretación Mónica Soberanes Alanis.

18

2.1 Ejemplo de una transformación R_ de la pieza impropia de O(3) es una inversión total 25

https://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtima#/media/File:Maler_der_Grabkammer_des_Menna_013.jpg

https://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtima#/media/File:Maler_der_Grabkammer_des_Menna_013.jpg

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg

http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg

http://media1.britannica.com/eb-media/04/110604-034-849A13B1.jpg

http://meteoarganda.es/Saratoga/Escala%20de%20Beaufort_archivos/image002.jpg


ix

2.2 La Transformación ℝ+ del subgrupo propio de O(3) es una rotación simple. Ejemplificando así una

rotación simple alrededor de OX dada por el ángulo 𝛼

25

2.3 El eje 0Z del cuerpo y el eje 0z del sistema fijo en el espacio forman un ángulo 𝜃. Es el mismo que se forma entre el plano X0Y del sistema fijo al cuerpo y x0y del sistema fijo en el espacio, La línea común de ambos planos es la línea de nodos (𝑙. 𝑛.).

28

2.4 Se muestran los ángulos de precesión 𝜙 y rotación 𝜓 que genera la línea de nodos (𝑙. 𝑛.) con los ejes de las abscisas de los sistemas fijo en el espacio y fijo al cuerpo, respectivamente. También se muestra el ángulo de nutación 𝜃, La intersección de ambos planos es la línea de nodos

29

2.5 Sistema de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) 30 2.6 Dos Sistemas de coordenadas se adosan al centro de masa del aerogenerador, con los dos sistemas de

coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z). 30

2.7 Sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) . Se muestran, el ángulo azimutal 𝜙 alrededor de Oz y el angulo de ataque 𝜃 alrededor del eje de las ordenadas del sistema fijo al cuerpo.

31

2.8 Rotación alrededor de OZ del sistema de coordenadas fijo en el espacio. 33 2.9 Rotación alrededor del 𝑙. 𝑛.2, provocando un movimiento de Cabeceo. 33 2.10 El aerogenerador pivotea alrededor de un punto fijo. Cada elemento de masa se mueve con velocidad

y posee un Momento angular .

35

3.1 Contorno cerrado en el fluido 46 3.2 Descomposición del vector en sus componentes cartesianas 𝑢 y 𝑣 y en sus componentes polares

𝑢𝑅 𝑦 𝑢𝜃.

50

3.3 Diagrama del Flujo Laminar o Uniforme en donde se muestran las líneas verticales que son equipotenciales 𝜙 y las líneas horizontales que son de corriente 𝜓. Ambas, siempre van a ser perpendiculares entre si.

52

3.4 Vórtice o remolino. El fluido se mueve a lo largo de circunferencias concéntricas. Las líneas equipotenciales son radiales; las líneas de corriente son círculos

53

3.5 Una fuente centrada en el origen. El fluido forma líneas radiales que parten de 0 en todas direcciones, llamada líneas de corriente, mientras que las equipotenciales son circunferencias concéntricas.

55

3.6 El doblete. Una fuente y un sumidero de iguales intensidades se encuentran a ambos lados del origen a muy pequeña distancia uno del otro Las líneas quebradas son las equipotenciales y las líneas de corriente. Las líneas dirigidas son líneas de flujo.

58

3.7 Un Flujo uniforme con velocidad U tiene un ángulo de ataque. Las componentes radial y tangencial de la velocidad son 𝑢𝑅 y 𝑢𝜃

62

3.8 Cuando el flujo se acerca al origen se forma un doblete los puntos de estancamiento están en los dos extremos de la circunferencia límite.

63

3.9. Gráfica de la función 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 − 𝛼). Los puntos de estancamiento ocurren para 𝜃 = 𝜃𝑠. 65 3.10 Por efecto de la circulación Γ los puntos de estancamiento bajan. 66 3.11 Un obstáculo cilíndrico de sección irregular enfronta un flujo desde la derecha. El flujo provoca en el

cuerpo una fuerza de levantamiento, y otra de arrastre. Un contorno cerrado 𝒞 encierra al cuerpo 67

3.12 El obstáculo cilíndrico, de sección irregular y altura unidad es rodeado por una cubierta cuyo contorno es 𝒞 y de altura 1. Se muestra el elemento diferencial de área 𝑑𝑠.

69


x

3.13(a) La imagen de la transformación de Joukowski en el plano z duplica los ángulos y eleva al cuadrado la relación de los radios.

74

3.13(b) En el plano 𝜉 un punto 𝑃′ señalado por (𝜇1, 𝛽1) y (𝜇2, 𝛽2) se transforma mediante la transformación de Joukowski en el punto 𝑃 del plano 𝑧.

74

3.14(a) Una circunferencia de radio Ro , centrada en el origen de coordenadas del plano 𝜉 con abscisa 0ξ y ordenada 0𝜂

75

3.14(b) La circunferencia de radio 𝑅𝑜 en el plano 𝜉 de la figura anterior da lugar a un segmento de recta de longitud 4𝑅𝑜, centrado en el origen 0 del plano 𝑧.

75

3.15 Flujo que remonta una superficie plana, horizontal, de ancho 4𝑅0 y con ángulo de ataque 𝛼, donde en 2𝑅0 se muestran sus puntos de estancamiento.

77

3.16 La transformación de Joukowski de una circunferencia con radio R, da como resultado una elipse. 79 3.17 La condición de Kutta establece que el punto de estancamiento posterior debe estar situado en

(A,0). 84

4.1 Esquema de un aerogenerador de eje horizontal a barlovento. 87 4.2 Posición relativa instantánea del aerogenerador con respecto, al sistema fijo en el espacio. La

dirección del viento coincide (pero en sentido opuesto) con el eje OX. El cuerpo se encuentra apoyado en P

88

4.3 Esquema donde se muestra la fuerza 𝐹𝐿 que es la de levantamiento, La fuerza 𝐹𝐴

de arrastre, la masa y la gravedad, desde el centro de masa CM.

89

4.4 Esquema donde se muestra la fuerza 𝐹𝐿 que es la de levantamiento, la masa y la gravedad, desde el centro de

masa CM. La circulación y las distancias para encontrar la fuerza total neta con respecto al cuerpo. 94

4.5 Grafica del cabeceo en el aerogenerador de acuerdo con la solución (4.61) 101 C.1 Esquema donde se muestran los dos ángulos de movimiento, el de cabeceo 𝜃(𝑡) y el de precesión 𝜙(𝑡) que se

presentan en el movimiento de la góndola de un aerogenerador, sin superficies de control.

106

ÍNDICE DE TABLAS. Tabla Página

[ I ] Parques eólicos en Operación y construcción en México. ©Todos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la dirección web: http://www.gwec.net/wp-content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf Global Wind Reports 2013.

7

[ II ] Top 10 de los países con mayor capacidad instalada de energía eólica 2016. ©Todos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la dirección web: file:///C:/Users/raymundo/Downloads/tesis%20docs/GWEC_Global_Wind_2016_Report_LR.pdf Global Wind Reports 2016.

8

http://www.gwec.net/wp-content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf

http://www.gwec.net/wp-content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf


xi

NOMENCLATURA

A 𝕀𝑥 , 𝕀𝑦 , 𝕀𝑧 Componentes del Momento de inercia.

36,37

Aceleración angular 92 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 Componentes de la aceleración angular

92

𝜙 Ángulo de precesión azimutal o guiñada

29 𝑀𝑥′ ,𝑀𝑦

′ ,𝑀𝑧′ Componentes de la torca 91,92

𝛼 Ángulo de ataque provocado por la circulación

60-65 𝑢, 𝑣 y 𝑤 Componentes cartesianas del campo de velocidades

42

𝜃 Ángulo de nutación o cabeceo, alrededor de su eje nodal instantáneo

29,102 𝑑𝑧∗ Conjugado de la diferencial de la variable compleja

70

βs Ángulo polar de estancamiento

83 ℜ Conjunto de matrices de rotación

22

𝜃𝑠 Ángulos de estacionamiento 63,65 𝑈0 Constante con dimensiones de

velocidad inicial que representa un flujo uniforme.

51,52

a.C Antes de Cristo 1,2 𝑈 Constante con dimensiones de velocidad que representa un flujo uniforme.

60,61,62

𝐴1, Área 1 en la entrada de viento en el tubo de corriente

18 𝑘 Constante real 52,53,54,55,56

A2 Área 2 en la salida del tubo de corriente

18 𝑎 Constante conforme de la transformación de Joukowski

72

A Área del disco de corriente 17,18

𝜃 Cambio de la aceleración angular (cabeceo)

96 D

Aceleración angular de cabeceo

96 𝜌 Densidad de masa La densidad del aire es 1.25

𝐾𝑔/𝑚3

17,41

C Derivada temporal del momento angular

37

𝐶𝑀 Centro de masa 94 𝑑 Diámetro del disco de corriente

17,18

𝛤 Circulación 54,64,65,66

𝑑𝑆 Diferencial de la superficie 68

𝑢𝑅 Componente radial 50 𝑑𝑧 Diferencial de la variable compleja

70

𝑢𝜃 Componente transversal 50 𝑑𝑚 Diferencial de masa 35 𝐹𝑥

′, 𝐹𝑦′, 𝐹𝑧

′ Componentes de la fuerza en el sistema fijo al cuerpo.

90,95 𝑑𝑉 Diferencial del volumen 35,36,37

𝑤𝑥 , 𝑤𝑦, 𝑤𝑧 Componentes de la velocidad angular

39,93 𝑐 Distancia en el eje de las abscisas en el plano z

56,57,58

𝑑𝑖𝑣 Divergencia de la velocidad, ∇ ∙ 𝑣 es un campo escalar que compara salidas con las entradas del campo de velocidad

𝐷𝑖𝑣 𝑣 = ∇ ∙ 𝑣 = (𝜕𝑣1

𝜕𝑥

+ 𝜕𝑣2

𝜕𝑦

+𝜕𝑣3

𝜕𝑧

)

41


xii

E Gravedad, la fuerza más débil de las cuatro fuerzas de la naturaleza mediante ella los objetos que tienen masa se atraen entre sí.

43

𝑑𝑟 Elemento diferencial de línea

46 𝑔𝑟𝑎𝑑 Gradiente de la velocidad 𝛻𝑣 indica la dirección en la cual el campo de velocidades varia más rápidamente ∇𝑣 = (

𝜕𝑣

𝜕𝑥 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑦,𝜕𝑣

𝜕𝑧)

42,43,44

e Energía total del fluido por unidad de masa

45 ° grados 5

𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 y 𝜏𝑦𝑧 Esfuerzos cortantes 43

𝜎𝑥, 𝜎𝑦 y 𝜎𝑧; Esfuerzos normales 42,43 I

𝑋𝑠 Estancamiento en el eje de las abscisas

77, 82 ∞ Infinito 73

𝑦𝑠 Estancamiento en el eje de las ordenadas

77,82 𝑏 Intensidad del doblete 57,58

𝑒−𝑖𝜃 Variable en coordenadas polares.

51

ϵ Excentricidad de la elipse, que indica su forma, su valor se encuentra entre cero y uno

83 𝑖 Imaginario, número 𝑖 =

√−1 𝑖−1= -i

𝑖0 = 1

𝑖1 = i

𝑖2 = -1 𝑖3 = -i

𝑖4 = 1

49,50,51,52,53

IIE Instituto de investigaciones eléctricas

6

F

Flujo másico 𝑘𝑔𝑠⁄ K

𝐹𝐴 Fuerza de arrastre 67,68 kW Kilo watts 3,4

𝑓 Fuerza de cuerpo 42 km/h Kilómetros por hora 5

𝐹𝐿 Fuerza de sustentación 67,68 𝐹 Fuerza ejercida por el

viento L

𝜓(𝑥, 𝑦) Función de Corriente 49 Factor de planta

Es la capacidad media operativa entre la capacidad máxima.

6 𝛻2 Laplaciano 48,49

l.n Lineal nodal 28,29,30

G 𝑟 Longitud del ángulo formado por 𝜃 para 𝑧 en coordenadas polares

53,54,55

GWh Giga watts hora 7


xiii

R

M 𝑟𝑜𝑡 ∇ 𝑥 𝑣 = |𝑖 𝑗 𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝑣1 𝑣2 𝑣3

| Mide

los remolinos o vórtices del campo rotacional.

45

−𝜀𝑇 Matriz anti simétrica infinitesimal

26 ℛ𝑒 parte real 71

ℝ Matriz de rotación de 3x3

22,23 𝑎 Radio de la transformación de Joukowski

78

ℝ−1 Matriz inversa de ℝ 22,23 𝑅0 Radio 𝑅0 63

ℝ𝑇 Matriz transpuesta de ℝ

23,26

𝟙 Matriz unidad 22,68 rpm Revoluciones por minuto 13

Flujo másico, es la velocidad a la que un flujo pasa a través de una superficie.

17 𝔸 Rotación simple a lo largo del plano 𝑙. 𝑛.1OX forma un ángulo 𝜃 o también llamado de cabeceo.

32,33,34

MW Mega watts 4,6,7,8 𝔹 Rotación simple, alrededor de las cotas Oz formando un ángulo 𝜙,

32,34

𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, Momentos de inercia principales

92 𝜀 Rotaciones infinitesimales o pequeños pivoteos de un cuerpo rígido.

26

m/s Metros por segundo 5,13

Momento Angular 35,36 S

Momento de la fuerza

71a 2𝜋 En el sistema sexagesimal equivale a 360 grados.

28

P T

𝜌 tensor de convección 68 𝑃𝑥𝑦 , 𝑃𝑥𝑧, 𝑃𝑦𝑧 Productos de inercia. 36,37 𝝈 tensor de esfuerzos 42,43

𝑃 Potencia del viento 17 𝕀 Tensor de Inercia 36,37,38 𝑝 Presión [𝑝𝑎] 43 𝑡 Tiempo 98,99,100

𝐹(𝑧) Potencial Complejo 50,51,52,53,55,56 𝑡0 Tiempo en un instante cero

97,98,99

𝜙 (𝑥, 𝑦) potencial de velocidad 48,49 𝑇𝑂𝑇′ Torca total 91

𝑈 potencial gravitacional 44,45 𝑓(𝜉) = 𝑧 Transformaciones conformes de Joukowski

72

pólder Término neerlandés que describe las superficies terrestres ganadas al mar del Norte.

2 TWh Terawatt-hora. TW=1 000 000 000 000 (1012) Watts

1TWh=(1012)𝐽

𝑠∗ 3600𝑠 = 3.6𝑥1015

J

7


xiv

V

ξ Variable compleja, de una región diferente de z. en el mismo plano complejo.

72,73,74,75,76

𝑟𝑖 Vector de posición que parte del origen del sistema coordenado y apunta a la posición instantánea del cuerpo.

20

𝑟 Vector de posición que parte del origen del sistema coordenado y apunta a otra posición instantánea del cuerpo.

20

𝑟 , 𝜃 Vectores unitarios polares ortogonales.

53,54

Velocidad angular 36 𝑊(𝑧) Velocidad Compleja 50,51

𝑟 Velocidad con respecto al sistema de coordenadas fijo al espacio

35

𝑣1 Velocidad del viento sin perturbar

17

𝑣2 Velocidad del viento en la salida del disco de corriente

17

Velocidad útil del viento/Campo de velocidades

17/41

Velocidad angular de cabeceo

39,93

Velocidad angular azimutal, guiñada o precesión.

39,93

Z

𝑧 Numero complejo, donde la parte izquierda es real y la derecha imaginaria.

49

zs Z de estancamiento 76,77


xv

JUSTIFICACIÓN

En México no existen actualmente aerogeneradores de fabricación nacional a gran escala por lo que se depende de aerogeneradores diseñados y construidos en el extranjero, que son muy costosos, por gastos de importación, refacciones y mantenimiento.

Es urgente hacer una investigación sólida en este importante campo de generación de energía eléctrica, aprovechando el viento como fuente de generación, ya que la energía eólica es limpia, barata y renovable. Con el fin de ayudar al crecimiento de la economía nacional, es necesario crear tecnología propia, resultando ser más barata, aprovechando los recursos del país como: materia prima, la mano de obra, la investigación de ingenieros mexicanos, produciendo así, energía eléctrica amigable con el medio ambiente, anticipándose así a la decadencia de la era de la generación de energía eléctrica por medio del petróleo.

En esta tesis de maestría se calcula la orientación espacial de la góndola de un aerogenerador de eje horizontal; a lo que se da por llamar la actitud. Cabe aclarar que la góndola es la cubierta o estructura, que funciona como refugio de todos los componentes que intervienen en el funcionamiento de un aerogenerador, si no se contara con este elemento, los componentes internernos de los aerogeneradores sufrirían degradación por inclemencias del tiempo, resultando ser menos eficientes aerodinámicamente y por consiguiente la vida útil de cada componente interno, tendría menos tiempo de vida útil. En este trabajo, la góndola se considera de forma elipsoidal por cuestiones aerodinámicas y por simplificación de cálculos.

Al encontrar la orientación, se tendrán las bases sólidas para implementar este cálculo y

programar algún sensor o actuador obteniendo el control de la góndola del Aerogenerador y esto traerá como consecuencia mayor aprovechamiento de la energía eólica.

Con este cálculo y aunado a un grupo fuerte de investigadores en esta maestría que trabajan en el diseño de diferentes partes del aerogenerador, se busca que el aerogenerador sea una fuente energética complementaria y se propone su uso para satisfacer las necesidades básicas de energía en las comunidades rurales donde no se tiene el suministro de energía eléctrica convencional, o para iluminar carreteras, anuncios, alumbrado público, para satisfacer las necesidades de la sociedad Mexicana, Esto con el fin de impulsar la energía mini eólica y de gran potencia eólica en México.


xvi

OBJETIVO GENERAL

Obtener teóricamente la orientación de un Aerogenerador de eje Horizontal.

OBJETIVOS PARTICULARES

1.− Realizar una revisión bibliográfica de artículos y apuntes relacionados con la teoría del cuerpo rígido, transformadas de joukowski, estabilidad y control en los Aerogeneradores, 2.− Proponer la Metodología para calcular la orientación del Aerogenerador. 3.−Analizar los resultados de los ángulos de rotación, circulación, Momentos, fuerzas de levantamiento y arrastre, para encontrar la actitud de la góndola.


1

Si no tienes nada porque morir, me dijo donJuan una vez

¿Cómo puedes sostener que tienes algo porque vivir? Los dos van mano a mano y la muerte lleva el timon.

Carlos Castaneda

CAPÍTULO 1

GENERALIDADES

1.1. ENERGÍA EÓLICA

La energía eólica es de las más antiguas empleadas por el hombre. En sus inicios el viento solamente era utilizado para ser transformado en energía mecánica, para la navegación en embarcaciones a vela en Mesopotamia en el milenio IV a.C. Tiempo después para la extracción de agua o en molinos de grano. Hoy día su aplicación más extendida es la generación de electricidad, ya que ésta puede ser fácilmente distribuida y empleada. [1]

La energía eólica se considera una forma indirecta de energía solar. Entre el 1 y 2% de la energía proveniente del sol se convierte en viento, debido al movimiento del aire ocasionado por el desigual calentamiento de la superficie terrestre. [2][11] La energía cinética del viento puede transformarse en energía útil, tanto mecánica como eléctrica.

La energía eólica, transformada en energía mecánica ha sido históricamente aprovechada, pero su uso para la generación de energía eléctrica es más reciente, existiendo aplicaciones de mayor escala desde mediados de la década del 70, en respuesta a la crisis del petróleo y a los impactos ambientales derivados del uso de combustibles fósiles durante el siglo XX.[3]

La existencia de viento pone al alcance de las personas una energía totalmente renovable, aunque siempre se esté a merced de su variabilidad, lo que obligará en muchos casos a disponer de otras fuentes alternativas para poder mantener un régimen continuo de consumo.

Capitulo 1 Generalidades


2

1.2 HISTORIA DE LOS AEROGENERADORES

La primera forma de aprovechamiento de la energía eólica fue en el cuarto milenio a.C, cuando aparecen en el Egeo las primeras naves de madera solida impulsadas por velas. Los Malayos fabricaban velas de hojas de palmera y bambu, los Fenicios utilizaban lino, esta tecnología inventada por aquellos hombres anónimos fue un brillo de genialidad inicialmente para la navegacion marítima, y posterior para la conquista de tierras. [1]

FIGURA. 1.1 Barco egipcio representado en la tumba de Menna, Valle de los Nobles,

dinastía XVIII, mediados del II milenio a. C (GNU Se aplica licencia de documentación gratuita a esta imagen) dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/

Pero, los molinos de viento existían ya en la más remota antigüedad. Persia, Irak, Egipto y China disponían de máquinas eólicas muchos siglos antes de la era cristiana [6]. En Sijistan (sistan) entre Irán y Afganistán hay referencias de la existencia de molinos de rotor vertical y palas a base de telas colocadas sobre un armazón de madera, que eran utilizados para la molienda de granos y bombeo de agua máquinas conocidas como panémonas, precursoras de los molinos persas.

Los molinos de viento fueron utilizados para regar las llanuras de Mesopotamia en el reino del rey Hammurab I (1792-1750 a.C) y se cree fueron primordiales para el riego de los jardines colgantes en la época de Nabucodonosor II en babilonia. En la Edad Media, los molinos se extendieron por toda en Europa comenzando por Grecia, Italia y Francia. La diferencia fue que en Europa fundamentalmente se usaron los molinos de eje horizontal, mientras que los molinos orientales eran de eje vertical.

FIGURA. 1.2. Molinos de viento de eje vertical. Localizados en Nashtifan,

ciudad situada en el sur de la provincia de Jorasán Razavi, en Irán. http://blog.uclm.es/molinoferrera/files/2016/04/primermolinoviento.jpg

Los molinos holandeses de eje horizontal fueron usados desde 1430 para la desecación de los pólders logrando que entre los años 1609 y 1612 de nuestra era, Beemster fuera el primer municipio de los países bajos que fue drenado con la ayuda de estas máquinas; sin embargo, no sólo utilizaron los molinos para drenar el agua, sino también para extraer aceites de semillas, moler grano, etc; precisamente el nombre de molinos proviene de este tipo de aplicaciones. [6]



3

Por el reconocido diseñador Jan Adriaenszoon, los holandeses, fueron los pioneros en la fabricación de estos molinos, hicieron muchas mejoras en el diseño e inventaron varios tipos, por ejemplo: los molinos de tjasker y smock mill. [4] Para el siglo XVIII los holandeses tenían intalados y en funcionamiento 20,000 molinos que proporcionaban una media de 20KW cada uno.[6]

FIGURA 1.3. Molinos de viento de Kinderdijk, Netherlands. Se aplica licencia libre GFDL. CC BY-SA 3.0 por Wikipedia.org Dirección: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg diciembre de 2004.

El proceso de perfección de las palas de molinos de viento llevó aproximadamente 400 años, haciendo mejoras considerables en la eficiencia dando lugar a la teoría de la aerodinámica desarrollada durante las primeras décadas del siglo XX, permitiendo comprender la naturaleza y el comportamiento de las fuerzas que actúan alrededor de las palas de las turbinas. Los mismos científicos que la desarrollaron para usos aeronáuticos; Nikolay Yegorovich Joukowski, G.Sabinin (pupilo del profesor Joukowski); Prandtl y Betz, establecieron los criterios básicos que debían cumplir las nuevas generaciones de turbinas eólicas.

Por otro lado en América, en 1850 apareció en las grandes llanuras del oeste el pequeño multípala americano, fué utilizado para el bombeo de agua, los primeros fueron de madera, hacia 1900, casi todos eran de metal y las multiples palas eran de 3 a 5 metros de diámetro, ha sido el más vendido de la historia, llegándose a fabricar más de seis millones de unidades, de las cuales existen varios miles en funcionamiento. [7] En los años 20 se empiezan a aplicar a los rotores eólicos los perfiles aerodinámicos que se habían diseñado para las alas y hélices de los aviones

FIGURA 1.4. Multipala Americano (Texas) © Todos los

derechos reservados por Bienes Comunes A. C. obtenida de la Dirección: http://www.energias.bienescomunes.org/wp-

content/uploads/2012/08/texas-molinos.jpg , el 2005-2012 Pero para 1926 en Berlin Betz demostró que el rendimiento de las turbinas aumentaba con la velocidad de rotación y que, ningún sistema eólico podía superar el 60% de la energía contenida en el viento. Por lo tanto, los nuevos rotores debían funcionar con elevadas velocidades de rotación para conseguir rendimientos más elevados, además que cuanto mayor era la velocidad de rotación menor importancia tenía el número de palas, por lo que las turbinas modernas podían construirse con una sola pala sin que disminuyera su rendimiento aerodinámico significativamente.[9]

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg



4

Tras la crisis de 1929 (jueves negro) los ojos de los visionarios de USA y Europa voltearon a ver a la energía eólica creando innumerables proyectos sobre aerogeneradores de gran potencia, centrando los temas en: la evaluación de los recursos disponibles, obtención y tratamiento de datos meteorológicos, localización de lugares con potencial eólico y el cálculo, diseño y construcción de plantas de gran potencia, asi como también se motivó para fabricar y comercializar pequeñas turbinas, que permitiesen cubrir las necesidades agrícolas o industriales situadas en zonas alejadas de tomas electricas.[6] De 1973 a 1986 los precios del petróleo fueron altos, lo que favoreció el desarrollo de los aerogeneradores eólicos como fuente de energía alternativa, renovable y no contaminante, capaz de producir electricidad a precios competitivos. [8]

FIGURA 1.5. Complejo Eólico Oaxaca II-II-IV Municipios de Santo Domingo y la Venta, Oaxaca (México). El mayor complejo eólico de América Latina, incorpora 204 aerogeneradores AW1500, capaces de cubrir la demanda eléctrica de unos 700,000 hogares mexicanos. © Todos los derechos reservados por acciona-mx.com Obtenida de la Direccion: http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg, 2017.

En los años siguientes, los aerogeneradores aumentaron poco a poco su potencia, tamaño, mejorado el control y fiabilidad reduciendo asi los costos de producción electrica. Las turbinas eólicas han incrementado con el paso del tiempo de 25-100kW, con 10-20m de diámetro a unidades de MegaWatts con aerogeneradores de 7.5-10MW de potencia eólica y 100-190m de diámetro lo que demuestra el alto grado de madurez alcanzado por esta tecnología. [7][10]

1.3 FUENTE DE LA ENERGIA EOLICA. EL VIENTO

La energía eólica es energía solar, se considera viento a toda masa de aire en movimiento,

que surge como consecuencia del desigual calentamiento de la superficie terrestre que produce zonas de aire de alta y baja presion, este desequilibrio de presiones provoca desplazamientos del aire que rodea la tierra. El gradiente de velocidades del viento, es mayor cuanto mayor es la diferencia de presiones y su movimiento viene influenciado por el giro de la Tierra.

http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg



5

FIGURA. 1.6 Movimiento del viento en el planeta. © Todos los derechos reservados por Enciclopedia Británica, inc. Obtenida de la dirección: http://media1.britannica.com/eb-media/04/110604-034-

849A13B1.jpg, 2017.

La dirección del viento está

determinada por efectos topográficos y por la rotación de la tierra, uno de los vientos globales más importantes son los alisios, los cuales tienen su origen en las zonas de mayor calentamiento de la tierra en la región ecuatorial, estos, se encuentran entre las latitudes de 0 a 30grados norte y sur, por lo que son de gran relevancia para la región de América Central

El viento produce energía porque está

siempre en movimiento. Se estima que la energía contenida en los vientos es aproximadamente el 2% del total de la energía solar que alcanza la tierra. [6][11]

También se puede medir mediante la escala Beaufort: Esta es una escala numérica utilizada en meteorología que describe la velocidad del viento, asignándole números que van del 0 (calma) al 12 (huracán). Fue ideada por el Almirante Beaufort en el siglo XIX.

FIGURA 1.7 La Escala de Beaufort para medir velocidad del viento.

Algunos derechos reservados por Meteoarganda.es por: http://meteoarganda.es/Saratoga/Escala%20de%20Beaufort_archivos

/image002.jpg, 2006.

Para caracterizar los vientos se utilizan dos magnitudes, la dirección y la velocidad, La dirección se observa con la veleta, mientras para la velocidad, el instrumento que la mide es el anemómetro, que generalmente está formado por un molinete de tres brazos, separado por ángulos de 120°, que se mueven alrededor de un eje vertical. Los brazos giran con el viento y accionan un contador que indica en base al número de revoluciones, la velocidad del viento incidente. Se expresa en m/s, en km/h o en Nudos. 1Nudo=1 milla marina/hora= 1.852 km/h.



6

En un aerogenerador se consideran tres velocidades del viento:

La velocidad de conexión, 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 . Es la velocidad del viento por encima de la cuál se genera energía. Por debajo de esta velocidad toda la energía extraída del viento se gastaría en pérdidas y no habría generación de energía.

La velocidad nominal, 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 . Es la velocidad del viento para la cuál la turbina eólica alcanza su potencia nominal (potencia límite que el fabricante recomienda). Por encima de esta velocidad la potencia extraída del viento se puede mantener constante.

La velocidad de desconexión, 𝑒𝑚𝑏 . Es la velocidad del viento que una turbina eólica deja de generar energía eléctrica, porque se acelera el rotor y los sistemas de seguridad comienzan a actuar frenando la máquina, desconectándola de la red a la que alimenta.

Es importante mencionar que se debe hacer un estudio de vientos en el lugar donde se obtendrá energía eólica. De acuerdo con el estudio del IIE (2010) las regiones con mejor potencial en México, se ubican en la zona del Itsmo de Tehuantepec, la costa del Golfo de México (particularmente en la zona norte), y en la parte norte de la península de Baja California. [24] Tan solo en Oaxaca se ha estimado un potencial superior a los 40,000MW. [25]

El viento es un importante recurso que México posee con un potencial energético del orden de 71,000 MW, con factores de planta superiores a 20%.[23]

En las estadísticas mundiales de energía eólica 2014 y en el reporte 2014 del Global Wind Report del Consejo Mundial de la Energía Eólica (GWEC), la energía eólica en México en el 2005 fue de 3MW; en el 2006-2007 de 85MW; en el 2008 de 165MW; en el 2009 de 202.28MW; en el 2010 de 518.63MW; en el 2011 de 873MW; en el 2012 de 1,053 MW; en el 2013 de 1,917 MW; en el 2014 de 2551MW, en 2015 de 3,073MW, en 2016 de 3,527MW y se espera para el 2020-22 se pueda obtener 15,000 MW con proyectos instalados en diferentes regiones del territorio mexicano[15][21]. En la tabla I se presenta un resumen de los proyectos eólicos en operación, en construcción, y en desarrollo en todo el país[14], Cabe notar que en esta tabla, los proyectos eólicos han florecido espectacularmente en los últimos años, especialmente en el sector privado, gracias al gran potencial energético y al apoyo que reciben del gobierno mexicano para aumentar la participación de sus tecnologías para generar electricidad por medio de energía renovables en los estados de Oaxaca, Puebla, Tamaulipas, Baja california, entre otros. Es decir que el sector privado se encarga del diseño, construcción, de los aerogeneradores, de la transformación y de la transmisión de la energía eólica en los estados donde hay potencial, desarrollan la infraestructura necesaria para aprovechar el recurso eólico brindando el gobierno una certidumbre jurídica a sus intereses, además de los beneficios de apoyo equitativo en los costos de construcción de infraestructura y eso no es todo, México incentiva fiscalmente con deducción del 100% del costo de maquinaria para el desarrollo de energías renovables generando ahorros para cada participante privado, con el fin de crear nuevos



7

empleos y cumplir con la meta de capacidad de generación eléctrica, no importando a los políticos entregar hasta los recursos naturales de la nación a manos extranjeras.

TABLA I. Parques eólicos en Operación y construcción en México. ©Todos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la dirección web: http://www.gwec.net/wp-

content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf Global wind Reports 2013

Con toda la ayuda extranjera, la potencia eólica efectiva instalada en México representa el 2.1% de la generación eléctrica total del país siendo de 301,462GWh para el 2014[22]. La capacidad de energía eólica instalada en México es de 3,527MW en el 2016. En cambio para China representa el 2.78% del total de producción electrica que es 153.4TWh en el 2014[15]. Nadie puede destronar a china, se ha convertido en el país número uno en capacidad eólica instalada con 168,732 MW en el 2016 [17].Cabe hacer notar que México podría competir, tiene todo, un gran potencial eólico por sus condiciones geográficas, la disposición del gobierno mediante incentivos en la investigación, creacion, desarrollo y producción de energía eólica, de modo que, hay mucha tarea para todos los estudiantes interesados en aportar un granito de arena en esta área.



8

La tarea no esta hecha, la tecnología de las turbinas eólicas es extranjera. Mexico puede y se ha comprobado en los los últimos años que hay personas interesadas en crear trabajos intelectuales de diseño, de validación y pruebas, de producción industrial, logística, matenimiento, etc. Hay mucho potencial en los mexicanos y no solo para hacer llamadas de emergencia en caso que algún aerogenerador sufra alguna avería y esperar al técnico calificado que venga a dar mantenimiento a costos muy elevados.

TABLA II. Top 10 de los países con mayor capacidad instalada de energía eólica 2016. ©Todos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la dirección web:

file:///C:/Users/raymundo/Downloads/tesis%20docs/GWEC_Global_Wind_2016_Report_LR.pdf , Global wind reports 2016.



9

1.4 EL AEROGENERADOR

Un AEROGENERADOR es una turbina eólica que convierte la energía cinetica del viento incidente en energía eléctrica, mediante un generador de corriente. La captación de la energía eólica se produce mediante la acción del viento sobre las palas. El principio aerodinámico por el cual el conjunto de palas gira, es similar al que hace que los aviones vuelen. Según este principio, el aire es obligado a fluir por las caras superior e inferior de un perfil inclinado, generando una diferencia de presiones entre ambas caras, y dando origen a una fuerza resultante que actúa sobre el perfil, Si se descompone esta fuerza en dos direcciones se obtiene una fuerza de sustentación, de dirección perpendicular al viento y una fuerza de arrastre, de dirección paralela al viento.

FIGURA 1.8. Parque eólico de Aerogeneradores de eje

horizontal Bíi Hioxho (viento fuerte) en Juchitán

Oaxaca, generando 2MW cada uno. Algunos derechos

reservados por el universal.com.mx, dirección web:

http://www.redpolitica.mx/estados/la-lucha-indigena-

contra-las-eolicas-en-juchitan , 2014 Con excepción de los molinos de eje vertical, hoy, en todos los aerogeneradores, la fuerza dominante es la de sustentación, pues permite obtener, con menor peso y costo, mayores potencias por unidad de área de rotor.

1.4.1 TIPOS DE AEROGENERADORES

1.4.1.1. Tipo de Eje

Eje horizontal o HAWT (Horizontal Axis Wind Turbine): Su principal característica, es que su eje de rotación se encuentra en paralelo al suelo y a la dirección del viento, sus aspas no soportan grandes velocidades en comparación con los VAWT, pero son más eficientes que los anteriores por el gran diámetro de sus palas. Los HAWT se orientan mediante una veleta, mientras que los grandes utilizan sensores de dirección y se orientan por servomotores o motoreductores.

Eje vertical o VAWT (Vertical Axis Wind Turbine): Su principal característica es que su eje de rotación se encuentra en posición perpendicular al suelo, son capaces de captar el viento en cualquier direccion, por lo que resultan ser más económicos que los HAWT. Una de sus desventajas es que necesitan vencer la torca inicial que suele ser mayor que los HAWT.

FIGURA 1.9.-Aerogenerador de eje Horizontal

FIGURA 1.10.-Aerogeneradores de eje vertical



10

1.4.1.2. Orientación Respecto al Viento

A barlovento: También denominado a proa. La mayoría de los aerogeneradores de eje horizontal tienen este tipo de diseño. Consiste en colocar el rotor de cara al viento, siendo la principal ventaja el evitar el abrigo del viento tras la torre. Como desventaja, necesita mecanismos de orientación del rotor, y que esté situado a cierta distancia de la torre.

A sotavento: También denominado a popa. Como ventaja presenta que el rotor puede ser más flexible, y que no necesita mecanismo de orientación. Su principal inconveniente es la fluctuación de la potencia eólica, debida al paso del viento por el rotor y por el abrigo de la torre, por lo que crea más cargas de fatiga en la turbina que con el diseño anterior (Barlovento).

FIGURA 1.11-Rotor a Barlovento

FIGURA 1.12-Rotor a Sotavento

1.4.1.3. Número de Palas en aerogeneradores de eje horizontal

• Una pala: Constituidos de una única pala y de un contrapeso. Presentan velocidades de giro muy elevadas.

• Bipala: Constituidos de dos palas son los más económicos y ligeros, por el contrario, necesitan una velocidad mayor para producir la misma cantidad de energía que el resto.

• Tripala: La mayoría de los aerogeneradores de hoy en día, presentan esta constitución, la principal razón es que presentan un 4% más de rendimiento que los de dos aspas.

• Multipala: No es muy común, pero presenta multitud de palas y normalmente es utilizado para la extracción de agua en pozos.

FIGURA 1.13a-Una pala

FIGURA 1.13b-Bipala

FIGURA 1.13c-Tripala

FIGURA 1.13d-Multipala

Imagen tomada de la página 17 del libro Fundamentals, Resource Analysis and Economics., (2006) [4].



11

1.4.2. COMPONENTES DE LOS AEROGENERADORES DE EJE HORIZONTAL

Palas.- La pala es uno de los elementos básicos de un aerogenerador que conforma al rotor, Si se toma una sección transversal de la pala, se observará un perfil aerodinámico ver figura (1.14). Los perfiles tienen distintos nombres y clasificaciones, según su geometría pueden ser biconvexos, plano-convexos y de doble curvatura. En general, los tipos de perfiles utilizados en las máquinas eólicas rápidas son de la serie NACA (National Advisory Committee of Aeronautics), y vienen determinados por un conjunto de cifras que definen su geometría. ver figura (1.15).

El perfil aerodinámico se conforma de las siguientes partes: 1. La cuerda: es una línea recta que une el borde de ataque y el de salida del perfil. 2. La curvatura media: es la línea media entre el extradós y el intradós. 3. Curvatura máxima: es la distancia máxima entre la línea de curvatura media y la línea de cuerda. 4. Espesor máximo: es la distancia máxima entre la superficie superior e inferior (extradós e intradós).

5. Radio del borde de ataque: es una medida del afilamiento del borde de ataque. Puede variar desde 0, para perfiles supersónicos afilados, o incrementando el radio según convenga para obtener perfiles achatados.

FIGURA 1.14 Partes del perfil aerodinámico.

Las palas suelen estar fabricadas de material compuesto de matriz polimérica (poliéster) con un refuerzo de fibras de vidrio o carbono para dar mayor resistencia. Se clasifican según su unión al buje en:

De paso fijo: No permite la rotación de la pala sobre su eje.

De paso variable: Permite la rotación controlada de la pala sobre su eje por medio de rodamientos.

FIGURA 1.15 Arreglo geométrico en la configuración

de perfiles de 4 dígitos en los Perfiles NACA



12

Rotor. Se compone de un buje en donde se

conectan las palas, y es el que captura la potencia del viento mediante las palas del aerogenerador, y la transmite a un eje principal de baja velocidad.

FIGURA 1.16 Palas de un aerogenerador de eje

horizontal

Carenado (Nariz): El carenado del rotor es una cubierta frontal en forma de cono que sirve para desviar el viento hacia el tren de potencia y mejorar la ventilación en el interior, eliminar turbulencia indeseable en el centro frontal del rotor y mejorar el aspecto estético.

Torre: La torre del aerogenerador soporta la góndola y el rotor. En los grandes aerogeneradores las torres tubulares pueden ser de acero, de celosía o de hormigón. Las torres tubulares tensadas sólo se utilizan en aerogeneradores pequeños

Góndola: La góndola es un cascarón que sirve de protección contra la intemperie a los diferentes componentes del aerogenerador que contiene, en ésta se realiza el funcionamiento interno de la turbina eólica, en donde el eje principal transmitirá la fuerza del viento al una caja de engranes y posteriormente al Generador eléctrico. En la góndola también se encuentra el sistema de orientación, que controla la posición de la turbina en relación con el viento, encontrando la actitud de la góndola, para obtener máxima potencia del viento y ser eficiente la mayor parte del tiempo. Así como también el control de cambio de paso de las palas y la unidad de guiñada, entre otros componentes. Se fabrica regularmente de fibra de vidrio, y de geometría aerodinámica para reducir costos y peso. En su parte exterior lleva instalado un anemómetro y una veleta conectados a los sistemas de control de aerogenerador, y unos respiraderos para garantizar la refrigeración del generador.

FIGURA. 1.17 Góndola de un aerogenerador de eje horizontal. Algunos derechos por gmoutlook.com dirección web:

http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/101961-2988353.jpg



13

En el interior de la góndola se encuentran los siguientes elementos:

El eje principal es una pieza tubular de acero macizo de gran diámetro, unido solidariamente al rotor y que gira a velocidades de entre 22 y 64 rpm, según el modelo de aerogenerador y las condiciones de operación. Sin embargo un generador estándar de generación eléctrica necesita velocidades de giro alrededor de 1500 rpm, por lo que es necesario un multiplicador que aumente la velocidad de giro transmitida.

Caja de engranes es un arreglo de engranes que convierte la baja velocidad de giro y alta potencia del eje principal, en una velocidad de giro adecuada para el funcionamiento del generador a costa de la potencia.

Generador: El generador convierte la energía mecánica que el rotor extrajo del viento en energía eléctrica. Los generadores que comúnmente se emplean en los aerogeneradores son: Generador síncronos de imanes permanentes y Generador asíncrono o de inducción.

Generador síncrono de imanes permanentes (de velocidad constante): Se emplea frecuentemente en la pequeña potencia, permite aprovechar el viento en un amplio rango de velocidades, desde 2,5-3 m/s (velocidad de inicio de generación) hasta 11-13 m/s (velocidad de protección). Un generador de imanes permanentes puede funcionar a bajas velocidades, por lo que es posible acoplar el rotor directamente al eje del generador, por lo que no requieren caja de engranes, se caracteriza porque su campo inductor o de excitación es producido por imanes permanentes y no por bobinas por lo que no requiere de corriente de excitación. Su salida electrica es trifásica por lo que debe ser rectificada para almacenarla en baterías.

Generador asíncrono o de inducción (velocidad variable): Se emplea freccuentemente en gran potencia. Debido a la gran diferencia de giro entre el rotor y el generador se necesita una caja de engranes. Estos generadores requieren una corriente de excitación para poder generar. Al estar conectados a la red, ésta proporciona la corriente de excitación que es una corriente alterna que crea un campo magnético alterno de la misma frecuencia en el inductor. Es decir, cuando la velocidad de giro del rotor sea algo superior a la velocidad de sincronismo, los sitemas de control deberán conectar a la red y desconectarla cuando la velocidad sea inferior, pues en este caso el generador actuaría como un motor absorbiendo potencia de la red.

Sistemas de control: Los sistemas de control en un aerogenerador tienen dos

importantes cometidos: el primero es el aprovechamiento máximo de la fuerza del viento mediante la orientación del rotor, el segundo es la protección del aerogenerador ante velocidades de viento que podrían dañar la instalación. Para el cometido de la orientación el aerogenerador, esté cuenta con equipos anemométricos y de medida de la dirección del viento, instalados sobre la góndola. Los datos recogidos pasan al ordenador de control que, según un algoritmo determinado, decidirá como deberá mover la góndola con servomotores o motoreductores y al sistema de corona dentada (motor de giro) instalados en la base de la góndola en su unión con la torre. Es necesario aclarar que el control sobre la orientación del rotor no se realiza a tiempo real, sino que el algoritmo, con los datos recogidos, debe ser capaz de garantizar que realmente el viento ha cambiado de



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dirección de forma estable, antes de que se produzca el giro de la góndola, ya que en caso contrario daría lugar a un movimiento errático del sistema que reduciría su eficiencia.

En los casos en laque el viento ha superado la velocidad nominal de trabajo, en la que se alcanza la máxima potencia producida por el equipo y llega a la velocidad de parada, existen dos métodos de control, para evitar que puedan producirse daños:

*Activo: Se usa para evitar cargas en la caja de engranes y en el generador, se lleva a cabo mediante un dispositivo mecánico, las palas giran el perfil (varían su ángulo de paso) enfrentando al viento, cambiando su aerodinámica, por lo que para velocidades mayores de viento para las que están diseñadas a trabajar de forma óptima, se acciona el mecanismo de cambio de paso, orientando y capturando menos potencia del viento, y en el caso de que el viento caiga de repente, el mecanismo aplicado es el inverso. El control comprueba varias veces por minuto la potencia generada, al igual que en el caso anterior y modifica el ángulo de paso al óptimo.

*Pasivo: En este caso las palas no poseen ningún tipo de mecanismo de variación del ángulo ofrecido al viento, sino que permanecen fijas al rotor en todo momento. En su lugar, las palas con este mecanismo de control se diseñan de tal manera que para velocidades demasiado elevadas del viento se producen turbulencias en la parte de la pala de baja presión, por lo que la diferencia de presiones entre un lado y otro de la pala disminuye. Es decir, pasado un límite de velocidad del viento, éste disminuye la fracción de energía transmitida al movimiento de las palas por las turbulencias ocasionadas, rebajando la velocidad de giro del rotor. Este método de control es mucho más económico, pero menos exacto y eficiente que el activo, aún así, alrededor de dos tercios de los aerogeneradores instalados hoy en día utilizan este método.

Anemómetro: mide la velocidad del viento en todo momento. Transmite este dato al controlador, el cual lo registra y actúa en consecuencia sobre el freno si esto fuera necesario.

Veleta: Detecta la dirección en la que

sopla el viento. Este aparato la manda los datos al controlador, para que éste actúe sobre el motor de orientación en consecuencia.

FIGURA. 1.18 Orientación del aerogenerador por veleta



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Electro freno: reduce las revoluciones del rotor cuando es necesario. Actúa cuando la velocidad del viento es demasiado alta, y existe el riesgo de rotura del rotor o las aspas. Está gobernado por el controlador.

El freno mecánico: suele ser hidráulico y debe ser instalado por normatividad y se utiliza en caso de fallo del freno aerodinámico, o durante las labores de mantenimiento de la turbina.

1.4.3. FUNCIONAMIENTO DE LOS AEROGENERADORES La obtención de la potencia de un aerogenerador, se consigue al convertir la fuerza proveniente del viento, en un par que actúa sobre las palas del rotor. La cantidad de energía transferida al rotor por el viento depende del área de barrido y la velocidad del viento. El área de barrido de las palas determina cuanta energía del viento es capaz de capturar el aerogenerador. A mayor diámetro de pala, la superficie es mayor y por lo tanto la energía que absorbe el rotor es alta. La velocidad del viento es un parámetro muy importante para la cantidad de energía que un aerogenerador puede transformar en electricidad. A mayor velocidad de viento, la energía que capte el aerogenerador es mayor. Entonces, la energía cinética del viento es capturada por el rotor del aerogenerador gracias a sus palas, que cuando el viento incide sobre ellas, estas giran en torno al eje del rotor o eje de baja velocidad que esta acoplado al buje, el giro del eje de baja velocidad, mueve a la caja de engranajes o multiplicadora que hace girar el eje a alta velocidad al que esta acoplado el generador que es el encargado de convertir la anergia de movimiento en energía eléctrica

FIGURA. 1.19 Aerogenerador de eje Horizontal.

Algunos derechos reservados por Washington Examiner, Dirección web: http://cdn.washingtonexaminer.biz/cache/1060x600-40ee7544d29d91fbad6f199bd2579bc4.jpg



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1.5. DISCO DE CORRIENTE

Se puede apreciar en la figura (1.20), un disco imaginario, llamado “Disco de corriente, que se dibuja alrededor del rotor de la turbina eólica. En esta figura se muestra cómo el flujo de aire que se mueve hacia la derecha ocupará un gran volumen en la parte posterior del rotor. El disco de corriente (rotor) de la turbina eólica debe, obviamente, frenar el viento cuando captura su energía cinética y la convierte en energía rotacional. Esto implica que el viento se moverá más lentamente en la parte derecha del rotor que en la parte izquierda, como se ve en la figura (1.20)

Dado que la cantidad de aire que pasa (por segundo) a través del área barrida por el rotor desde la izquierda debe ser igual a la que abandona el área del rotor por la derecha, el aire ocupará una mayor sección transversal (diámetro) detrás del plano del rotor, de acuerdo con la ecuación de balance de masa. El flujo de aire no será frenado hasta su velocidad final inmediatamente detrás del disco de corriente. La ralentización se producirá gradualmente en la parte posterior del rotor hasta que la velocidad llegue a ser prácticamente constante. Debido a que el aire al acercarse al disco de corriente reduce la velocidad, la presión del aire aumenta a medida que el viento se acerca al rotor, ya que éste actúa como una barrera; así, inmediatamente después de cruzar el rotor la presión del aire disminuye por debajo de la presión atmosférica,

FIGURA.1.20 Flujo de aire que pasa por el Disco de corriente. Imagen tomada de la página 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8].

para después aumentar de forma gradual hasta llegar a una presión estándar, como se muestra en la figura (1.21). Es de considerar que el disco actuador induce una variación de la velocidad que debe ser superpuesta a la velocidad del flujo, en otras palabras, después del disco de corriente la turbulencia del flujo a baja velocidad se mezcla con el flujo de alta velocidad del área circundante. Por lo tanto la turbulencia disminuirá gradualmente tras el rotor conforme se aleja de la turbina.



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FIGURA.1.21 Extracción de energía en el disco de corriente. Imagen tomada de la página 43

del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8].

1.6. LEY DE BETZ Betz publicó en 1926 un trabajo en donde da una

evaluación para la transferencia de potencia máxima que

el viento puede realizar sobre algún artefacto material. Su

resultado se conoce como la Ley de Betz. En él, el autor

establece que, en ningún caso puede darse el evento de

que el viento transfiera más allá de un 59.3% de su

potencia.

Para demostrarlo el autor establece una igualdad

estrictamente cinemática entre la potencia del viento,

calculada a partir de la segunda ley de la mecánica como:

𝑃 ≡ ∙ = 𝜌2 ∙ (2 − 1)𝐴 (1.1)

Donde 𝒗 representa la rapidez del viento justo en el plano, de las palas y esta misma, ver figura (1.20 ) evaluada bajo la primera ley de la termodinámica en la forma:

𝑃 =1

2𝜌𝑣 (𝑣2

2 − 𝑣12)𝐴

(1.2)

FIGURA 1.22 Libro Publicado en 1926 por el alemán Albert Betz “Wind Energie und ihre Ausnutzug durch Windmülen,” “Wind Energy and its Extraction through Windmills,” ©Todos los derechos reservados por Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation M. Ragheb . Obtenida de la dirección web: http://mragheb.com/NPRE%20475%20Wind%20Power%20Systems/Wind%20Energy%20 Conversion%20Theory%20Betz%20Equation..pdf, 2/10/2017

Al igualarlas puede verse que:

𝑣 =1

2 (𝑣1 + 𝑣2 )

(1.3)

es decir que en el plano de palas el viento tiene una rapidez que es la media de ambas; a la entrada y a la salida. Finalmente, haciendo uso de la ecuación de balance de masa en la forma

= 𝜌𝑣𝐴 = 𝑐𝑡𝑒 (1.4)

Sustituyéndola en (1.2 ) y usando el resultado en ( 1.4 ) se obtiene:

𝑃 = 1

4(𝑣1 + 𝑣2)(𝑣1

2 − 𝑣22) ≡ −

1

2𝑃0( 𝜂

3 + 𝜂2 − 𝜂 − 1) (1.5)



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donde 𝜼 representa la relación de las rapideces de entrada y de salida del viento (𝑣2

𝑣1⁄ ) y 𝑷𝟎 la

potencia de éste (𝑣1

3

𝑣0⁄ ). El máximo se encuentra derivando (1.5).

(𝑑𝑃

𝑑𝜂)𝜂𝑚

= − 1

2𝑃0( 3𝜂𝑚

2 + 2𝜂𝑚 − 1) = 0 (1.6)

FIGURA. 1.23.- Modelo de Betz Imagen tomada de la página 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8]. Interpretación Mónica Soberanes Alanis.

de donde se encuentra que el máximo valor de la potencia transferida por el viento al plano de las palas es

𝑷 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟑 𝑷𝟎 (1.7) Encontrando así el límite teórico o coeficiente de Betz; resultado que implica que ninguna máquina eólica, por muy sofisticada que sea, puede superar.

Consideraciones prácticas.- La ecuación de Betz proporciona el límite superior de las posibilidades de un aerogenerador, pero en sí es poco aproximada, pues no tiene en cuenta ciertos factores como: La resistencia aerodinámica de las palas La pérdida de energía por la estela generada en la rotación La compresibilidad del fluido La interferencia de las palas La pérdida de energía por el decremento en la temperatura del viento al pasar por el disco. En realidad habrá que tener en cuenta además el rendimiento de los diversos mecanismos que componen el aerogenerador, por lo que considerando el siguiente balance del mismo para los distintos componentes, suponiendo que el rendimiento de Betz puede alcanzarse, es:

Rendimiento de Betz 59,5% Rendimiento de la hélice 85% del anterior. Rendimiento del multiplicador 98% del anterior Rendimiento del alternador 95% del anterior Rendimiento del transformador 98% del anterior.

Por lo tanto, se obtiene un rendimiento global teórico de la instalación del orden del 46%.


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Piérdelo todo y lo ganarás todo

Los guerreros viajeros no se quejan, toman todo lo que se les da, el Infinito como dessafío

Don juan. Carlos Castaneda

CAPÍTULO 2

EL CUERPO RÍGIDO

2.1 INTRODUCCION

En este capítulo se estudiará de forma metódica el movimiento de rotación de la góndola de un aerogenerador de eje horizontal, considerando las causas que producen este movimiento, utilizando la teoría de la mecánica del cuerpo rígido. Para atacar este problema, se mencionan diversos conceptos de la mecánica, como la fuerza, la torca, momento de inercia, y numerosas definiciones propias de la rotación de un cuerpo rígido y las memorables ecuaciones de Euler.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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2.2. EL CUERPO RÍGIDO

El cuerpo rígido es un sistema de muchas partículas que se encuentran vinculadas unas con otras de tal manera que en todo instante sus distancias relativas son constantes, es decir las partículas materiales que constituyen un cuerpo rígido se hallan siempre a distancias relativas invariantes. Así, dados dos puntos materiales cualesquiera de un cuerpo rígido, la distancia entre ellos, medida desde un marco de referencia anclado en algún punto en el espacio es,

|𝑟𝑖 − 𝑟| = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (2.1)

No importa cómo se desplace el cuerpo por el espacio, esos puntos (todos), se moverán de manera tal que sus distancias relativas permanecerán inalterables. La expresión (2.1) es válida para todos los puntos de ese cuerpo; esto es para

𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁; 𝑖 ≠ 𝑗.

Siendo N el número total de partículas materiales que integran ese cuerpo rígido.

Es necesario puntualizar, que el cuerpo rígido es un sistema de partículas, esto significa que cuando se ve urgido por fuerzas aplicadas, su estado de movimiento cambiará, esto es, como si todas las fuerzas aplicadas se concentraran en su centro de masa y todas las partículas siguieran a ese centro de masa.

Ahora bien, conocer el cambio de estado de movimiento del centro de masa es indicativo del cambio de movimiento en todo el sistema, en otras palabras el cuerpo se desplaza por el espacio siguiendo la trayectoria de su centro de masa.

Entonces si la trayectoria del centro de masa es conocida, cualquier otro punto material del cuerpo rígido, el que sea, se moverá siguiendo al centro de masa y a lo mas podrá desplazarse en relación a él. Así, se supone por el momento que hay un sistema de coordenadas anclado en el centro de masa, y cualquier otro punto material solo puede moverse alrededor de él sobre la superficie esférica ejecutando giros o mejor dicho “pivoteos” alrededor del centro de masa.

Todo punto del cuerpo rígido, por consiguiente se mueve con un movimiento de traslación y rotación (alrededor de su centro de masa). Tal como lo estudio el matemático francés Michael Chasles (1793-1880), Profesor de la Sorbona de Paris que en su Teorema dice que ‘El movimiento más general del cuerpo rígido se puede descomponer en una traslación y un pivoteo’. En donde la traslación más sencilla de describir es la del centro de masa del cuerpo, y el pivoteo se puede referir al centro de masa o al de algún otro punto del cuerpo rígido. Por lo que el describir el movimiento general de un cuerpo rígido, en realidad se puede desglosar en dos problemas independientes, uno que se platea y resuelve con los métodos de la mecánica de una sola partícula puntual, en donde

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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se involucra al centro de masa, y el otro que se refiere a la descripción de los pivoteos de un cuerpo rígido.

Entonces el pivoteo de un cuerpo rígido es lo que se desea estudiar, ya que la traslación del centro de masa esta, en principio resuelta, al menos teóricamente. Lo que procederá en adelante a suponer que el cuerpo rígido no viaja por el espacio, solamente se consideran los pivoteos y se ignoran las traslaciones.

Antes de proseguir, es necesario saber que el pivoteo es un cambio de orientación del cuerpo en el espacio, el cual se le refiere frecuentemente como un cambio en su actitud. Un pivoteo rota un cuerpo alrededor de cierto eje y sobre un punto fijo. En efecto al ocurrir un pivoteo, hay un eje, una línea recta en el espacio que, al menos instantáneamente permanece fija y alrededor de la cual, todos los puntos del cuerpo ejecutan movimientos circulares. Esa línea recta se le llama eje instantáneo de giro, el cual solamente lo es por breves instantes y puede ser una línea imaginaria en el espacio o bien puede ocurrir que esté formada por puntos materiales del propio cuerpo, en donde todos ellos tienen un punto fijo en común. Un punto fijo en el espacio que es común a todos los ejes instantáneos de giro de un cuerpo rígido que solamente gira sin trasladarse en el espacio. Ese punto fijo común es el llamado pivote de movimiento. Todos los puntos del cuerpo por los que pasa el eje instantáneo de giro, están momentáneamente en reposo; tan pronto como el eje cambia, ellos vuelven a moverse.

Se estudia el cambio de orientación de la góndola de un aerogenerador, analizado desde el punto de vista del cuerpo rígido en rotación, desde el origen de un sistema coordenado que coincide con un pivote. El cuerpo gira alrededor de un eje instantáneo y con él giran todos los puntos materiales a excepción de aquellos que yacen sobre el eje.

Así que si se observa un punto material del cuerpo en un instante 𝑡0 se encuentra en la posición marcada por el radio vector 𝑟0. Al girar, va ocupando diferentes posiciones sucesivas en el espacio. En un instante posterior 𝑡, se hallará en la posición marcada por el nuevo radio vector 𝑟. Ambos vectores; el inicial 𝑟0 y el final 𝑟, tiene el mismo origen y apuntan al mismo punto material del cuerpo rígido, pero al girar, y ocupar distintas posiciones en el espacio, el punto material es señalado por los vectores distintos. Se puede asociar el cambio de posición del punto material del cuerpo, con una transformación del radio vector, con el cual se le ubica desde el origen O.

Una transformación que mapea el vector 𝑟0 a 𝑡 = 𝑡0 con el vector 𝑟 en un instante posterior se representa de forma general así:

𝑇: 𝑟0 → 𝑟(𝑡) (2.2)

Pero es mucho más conveniente representar matemáticamente a (2.2) con matrices, porque representa un giro del radio vector alrededor de un eje y sobre un punto fijo. Esta transformación es llamada ROTACION. y se escribe de la siguiente manera

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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𝑟(𝑡) = ℝ(𝑡) ∙ 𝑟0 (2.3)

En donde ℝ(t) representa un matriz de 3x3, función del tiempo que al operar sobre 𝑟0 lo transforma en 𝑟(𝑡). A tal matriz se la llama matriz de rotación. La cual posee una serie de propiedades que la hacen sumamente interesante.

Primero. Hay que destacar que para un mismo punto material hay todo un conjunto de matrices de rotación que al operar sobre alguna de sus posiciones instantáneas lo mapea; lo ‘desplaza’ a una nueva ubicación en el espacio euclideo tridimensional, entonces el conjunto de matrices de

rotación es infinito. ℜ = ℝ1,ℝ2,ℝ3,…. Ya que el número de posiciones sucesivas de un punto material es equivalente a una matriz de rotación.

Entonces, una rotación se puede descomponer en dos rotaciones sucesivas que llevan al punto desde una posición inicial, a otra intermedia, y luego a una posición final en el espacio; es decir, la composición de dos matrices de rotación da como resultado una nueva matriz de rotación. La regla de composición es la multiplicación matricial de renglones por columnas.

ℝ1 𝑜 ℝ2 = ℝ3 ∈ ℜ (2.4)

Segundo. La matriz unidad 𝟙; es aquella que está formada por ceros y unos en su diagonal principal, esta también pertenece al conjunto de ℜ; ésta matriz, no provoca ninguna rotación en el punto material, y tiene la propiedad de que al actuar sobre alguna otra matriz de rotación o al ser actuada por alguna matriz de rotación, las deja sin cambio; esto es

𝟙 ∙ ℝ ≡ ℝ ∙ 𝟙 = ℝ (2.5) Tercero. Si una matriz ℝ del conjunto ℜ, representa la rotación de un cuerpo material de un cuerpo rígido, la matriz ℝ−1es aquella que representa un rotación en sentido contrario a la anterior, pero de igual tamaño, Matemáticamente esta situación se representa asi: dada una matriz ℝ de ℜ existe otra ℝ−1 del mismo conjunto, llamada inversa de ℝ tal que:

ℝ ∙ ℝ−1 ≡ ℝ−1 ∙ ℝ = 𝟙 (2.6)

Estas propiedades constituyen una estructura algebraica muy conocida de las matemáticas y muy importante en la física llamada “grupo”.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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Para estudiar la actitud de un aerogenerador se tratará de un grupo de Rotaciones en tres dimensiones, así que los pivoteos de un cuerpo rígido se describen con este grupo. Llamado grupo de rotaciones de un cuerpo rígido en 3D.o grupo ortogonal en tres dimensiones.

𝑂(3) (2.7) Este grupo es infinito ya que el número de elementos que lo componen es infinito. Se trata de un grupo de los llamados continuos o de Lie; ésto último de acuerdo a Sophus Lie, físico noruego que en 1896 publicó un trabajo bellísimo sobre estos grupos. Otra característica importante del grupo ortogonal en 3D es que debe preservar la distancia entre puntos de un cuerpo rígido. Si la distancia entre dos puntos cualesquiera está dada por (2.1), pero al ocurrir una rotación cada uno de los puntos, emigra a otro sitio en el espacio, de acuerdo con (2.3); entonces.

𝑟𝑗 − 𝑟𝑖 = ℝ ∙ (𝑟𝑗0 – 𝑟𝑖0 ), (2.8)

Asi que tomando el cuadrado del valor absoluto de esta diferencia de vectores se debe tener, de acuerdo con (2.1)

|𝑟𝑗 − 𝑟𝑖 |2 = (𝑟𝑗0 – 𝑟𝑖0 )

𝑇∙ ℝ𝑇 ∙ ℝ ∙ (𝑟𝑗0 – 𝑟𝑖0 ) ≡ |𝑟𝑗0 − 𝑟𝑖0 |

2 (2.9)

En donde T en la parte superior derecha de la matriz significa una matriz transpuesta, esto es, una matriz que se obtiene de la original, intercambiando renglones por columnas y viceversa. Pero se puede observar que para satisfacer el requisito que el cuadrado de la norma de la diferencia de los vectores ante una rotación sea invariante se debe cumplir que

ℝ𝑇 ∙ ℝ = 𝟙 (2.10)

Lo que significa (2.10) es que las matrices ℝ del grupo O(3) (grupo de rotaciones del cuerpo rigido) son auto ortogonales; esto es que su producto interno da la identidad. Pero la propiedad de ortogonalidad implica dos resultados muy interesantes, como:

1.− ℝ𝑇 = ℝ−1

(2.11)

Es decir que la transpuesta de una matriz del grupo de rotaciones en 3D es igual a su inversa. Si se calcula en ambos miembros de (2.10) el determinante, se tiene 2.− 𝑑𝑒𝑡(ℝ𝑇 ∙ ℝ) = (detℝ𝑇) (𝑑𝑒𝑡 ℝ) = (detℝ)2 = 𝟙 (2.12)

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El Cuerpo Rígido


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Puesto que el determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices y, además, el determinante de una matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

Por lo tanto de (2.12) se infiere de inmediato que todas las matrices de O(3) tienen un determinante no nulo; esto es, son no−singulares y su valor es

detℝ = ± 1 (2.13)

Es por eso que el grupo ortogonal tiene dos piezas La sucesión de dos

rotaciones propias es a su vez una rotación propia,

Grupo propio O+(3)

Todas las matrices de rotación con 𝑑𝑒𝑡 = (+1)

La transpuesta de una rotación propia es a su vez propia y la matriz unidad es propia

(𝑑𝑒𝑡𝟙 = +1)

Grupo Ortogonal

O(3) Un ejemplo de una transformación R_ es una inversión total como en la figura 2.1.

Pieza impropia O−(3)

Todas las matrices de rotación con 𝑑𝑒𝑡 = (−1)

Esta ocurre cuando los sistemas coordenados de un sistema cartesiano se transforma en su negativo como:

𝑥 → 𝑥 ′ = −𝑥 𝑦 → 𝑦 ′ = −𝑦 𝑧 → 𝑧 ′ = −𝑧

Se dice que estas dos piezas están topológicamente desconectadas entre sí pues no es posible por una sucesión de rotaciones obtener una rotación impropia de una propia, ni viceversa.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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FIGURA 2.1. Ejemplo de una transformación R_ de la pieza impropia de O(3) es una inversión total

La matriz que opera la transformación en las rotaciones impropias cuyo determinante es igual a menos uno. Es evidentemente

ℝ_ ≡ ‖−1 0 00 −1 00 0 −1

‖ (2.14)

Las rotaciones impropias juegan un papel de poca importancia dentro de la teoría del cuerpo rígido, por lo que en este contexto no se mencionaran más.

En cambio el subgrupo de rotaciones propias es sumamente relevante en este estudio. Una rotación propia es cualquier pivoteo de los tres ejes coordenados, sobre el origen, que preserva la ortogonalidad entre ellos. En particular una rotación simple es un ejemplo de una rotación propia. Como se muestra en la figura 2.2

FIGURA 2.2. La Transformación ℝ+ del subgrupo propio de O(3) es una rotación simple. Ejemplificando así una rotación simple alrededor de OX dada por el ángulo 𝛼

Si se giran los ejes coordenados OY y OZ, alrededor de OX, rígidamente por un ángulo 𝛼 El eje de giro es el eje de las abscisas, aun que puede ser alrededor del eje de las ordenadas o de las cotas, los otros dos ejes giran preservando su ortogonalidad ya sea en sentido de las manecillas del reloj (rotación simple inversa) o en contra de las manecillas del reloj (rotación simple directa). Haciendo una rotación simple en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se tiene que:

ℝ+ = ‖1 0 00 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼0 −𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼

‖ (2.15)

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El Cuerpo Rígido


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Resulta de inmediato demostrar que la matriz ℝ+ tiene un determinante igual a uno, que deja al eje de las absisas invariante y que su inversa es precisamente igual a su transpuesta

ℝ+𝑇 = ‖

1 0 00 𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑠𝑒𝑛𝛼0 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼

‖ (2.16)

Ya que al multiplicar 2.15 por 2.16 y viceversa, se obtiene como resultado la matriz unidad, que es el elemento neutro multiplicativo del grupo. Pero los grupos propios 𝑂+(3) tienen una propiedad adicional: que pueden ser constituidos a partir de ciertos elementos básicos por un concepto de integración. En efecto, el grupo continuo de transformaciones en 3D tienen en sus elementos las llamadas rotaciones infinitesimales, que son pivoteos pequeñísimos de un cuerpo rígido con respecto a cierto eje instantáneo de giro. Estos se pueden representar matemáticamente como

ℝ = 𝟙 + 𝜀 (2.17)

Donde 𝜀 es llamada la matriz de rotación infinitesimal Así la matriz de rotación se da por la suma de la matriz identidad más otra que representa la parte infinitesimal del pivoteo y de acuerdo a la propiedad de ortogonalidad de las matrices de rotación de (2.10), se debe satisfacer para estas transformaciones que:

(𝟙 + 𝜀𝑇) ∙ (𝟙 + 𝜀) = 𝟙 (2.18)

Desarrollando este producto, cancelando la matriz idéntica a ambos miembros y conservando solamente aquellos de primer grado en la parte infinitesimal se obtiene

𝜀 ≈ −𝜀𝑇 (2.19)

Entonces (2.19) demuestra que la parte infinitesimal de la transformación (2.17) es, en si mismo, una matriz antisimétrica, por lo tanto, se trata de un arreglo en cuya diagonal principal se hallan ceros y los tres elementos fuera de la diagonal principal y por arriba de ella son iguales numéricamente, pero de signos opuestos a los tres elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal, de la forma siguiente:

𝜀 = ‖

0 𝜀1 𝜀2

−𝜀1 0 𝜀3

−𝜀2 −𝜀3 0‖

(2.20)

De esta manera, una transformación infinitesimal queda totalmente descrita si se conocen tres cantidades

𝜀1, 𝜀2, 𝜀3

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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2.3 ÁNGULOS DE EULER El problema de describir los pivoteos de un cuerpo rígido, fué uno de los tantos problemas

que atacó el matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), quien durante su estancia en Berlín,

Alemania, en una visita que tuvo de el italo−frances Joseph Louis Lagrange (1736 −1813); otro

grande de la mecánica, cuando se planteó el problema de la mecánica de los cuerpos rígidos. El

vínculo entre estos dos genios dio como resultado el tratamiento matricial que describe el

movimiento de estos cuerpos.

Euler propuso una técnica para descomponer un pivoteo cualquiera de un cuerpo rígido en

tres rotaciones simples sucesivas, esta técnica se logra con los ángulos de Euler. Estos ayudan a

estudiar y comprender los movimientos de un cuerpo rígido, cuando se les supone libres de

translaciones. Aunque es necesario hacer ciertas consideraciones preliminares, en primer lugar se

supondrá que el cuerpo rígido no se traslada, únicamente pivotea alrededor de un punto fijo en el

espacio. En segundo lugar, se supone la existencia de un marco de referencia inercial dotado de un

sistema coordenado cartesiano tridimensional. El origen del sistema coordenado se ubica

precisamente en el punto fijo; en el pivote, alrededor del cual gira el cuerpo. A este sistema se le

llamará marco de referencia fijo en el espacio.

Un segundo marco de referencia es necesario. Se trata de un observador fijo en el pivote del

cuerpo rígido y dotado de un sistema coordenado cartesiano, tridimensional que se mueve con el

cuerpo rígido. Este es el llamado marco de referencia fijo al cuerpo El sistema de coordenadas

del marco de referencia fijo al cuerpo no es inercial en general, pues al seguir al cuerpo rígido en

sus pivoteos está sujeto, igual que esté, a aceleraciones.

La forma en cómo Euler propuso las rotaciones simples con los ángulos que llevan su

nombre es la siguiente: si se considera un cuerpo rígido cualquiera que pivotea en el espacio con un

punto fijo. Con un sistema cartesiano fijo en el espacio (inercial) (0𝑥, 0𝑦, 0𝑧) que tiene su eje en el

pivote del cuerpo rigido, y un sistema coordenado cartesiano fijo al cuerpo (no

inercial) (0𝑋, 0𝑌, 0𝑍) tomando al eje de las cotas OZ como el eje de giro del cuerpo y una vez

escogida esta dirección, los otros dos ejes del sistema se trazan simplemente perpendiculares al eje

de las cotas y ortogonales entre si.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


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La inclinación del eje de las cotas 0Z del sistema fijo en el cuerpo, con respecto al eje 0z del sistema fijo en el espacio, se denotara por 𝜃 y este ángulo será llamado ángulo de nutación.

Ahora bien el eje de las 0Z fijo al cuerpo, por construcción es normal al plano X0Y de este

mismo sistema, del modo que el eje 0z del sistema fijo al espacio es perpendicular al plano x0y, asi que al inclinarse el cuerpo rígido, con él se inclina su eje 0Z y simultáneamente, su plano X0Y con respecto al plano x0y del espacio. Asi que ambos planos también forman un ángulo 𝜃 entre si, tal como se muestra en la figura 2.3. Asi dos planos que se intersecan, lo hacen en una línea.

FIGURA 2.3 El eje 0Z del cuerpo y el eje 0z del sistema fijo en el espacio forman un ángulo 𝜃. Es el mismo que se forma entre el plano X0Y del sistema fijo al cuerpo y x0y del sistema fijo en el espacio, La línea común de ambos planos es la línea de nodos (𝑙. 𝑛.).

En este caso, los dos planos x0y y X0Y se intersecan en la llamada Línea de nodos. Esta línea es común a ambos planos en todo momento y no es fija, sino que gira y oscila alrededor del origen en común 0, conforme el cuerpo pivotea. En un instante, el eje de las abscisas del sistema fijo en el espacio forma un ángulo que se denotara por 𝜙 , con la línea de nodos; este ángulo es el segundo parámetro de Euler y se llama ángulo de precesión. (Ver figura 2.4).

De igual modo, el eje de las abscisas del sistema coordenado fijo al cuerpo forma un ángulo 𝜓 con la línea de nodos, éste es el llamado ángulo de rotación. En la figura 2.4 se muestran estos dos ángulos. Tanto el ángulo de precesión como el ángulo de rotación son variables, pues mientras el cuerpo rígido pivotea, va barriendo diferentes valores de 𝜙 , desde cero hasta 2𝜋 y del mismo modo ocurre con el angulo de rotación. Estos tres son los ángulos de Euler.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


29

FIGURA 2.4. Se muestran los ángulos de precesión 𝜙 y rotación 𝜓 que genera la línea de nodos (𝑙. 𝑛.) con los ejes de las abscisas de los sistemas fijo en el espacio y fijo al cuerpo, respectivamente. También se muestra el ángulo de nutación 𝜃. La intersección de ambos planos es la línea de nodos

𝜃 Nutación 𝜙 Precesión 𝜓 Rotación

Lo interesante de estos parámetros es que sirven para describir completamente los pivoteos del cuerpo rígido y se pueden definir en forma sencilla como la superposición de tres rotaciones simples; cada una respecto de uno de los ángulos de Euler. Los ángulos de Euler son entonces un sistema de ángulos que describen la orientación de un cuerpo que esta fijo en un punto y a sus ejes respecto a un marco de referencia inercial.

Con lo anterior, se puede decir que el lector, tiene un panorama más claro de la actitud de un objeto, Así que es momento de atacar el problema de la actitud del aerogenerador, comenzando por su dinámica.

2.4 DINÁMICA DE LA ACTITUD. Se supone que todas las partes del aerogenerador se encuentran confinadas, perfectamente fijas y empacadas en el interior de una carcasa de pared delgada, sólida y rígida, que tiene forma de un elipsoide de revolución oblato, con un eje de simetría que enfronta al viento, a un ángulo de ataque determinado. El cuerpo de este artefacto se supone rígido y con una masa total constante, que esta uniformemente distribuida en toda su extensión. Debido a la acción del viento, aparece sobre el aerogenerador una torca que tiende a hacerlo cambiar de actitud. El cuerpo reacciona ante este agente aerodinámico, de acuerdo con la dinámica de los cuerpos rígidos. Este estudio trata sobre la dinámica de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal, ideal, como el que aquí se ha descrito.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


30

2.5 CINEMÁTICA DE LA ACTITUD

Comenzando con el estudio de actitud del aerogenerador, se pone como restricción el movimiento de traslación y solo se considera el movimiento de rotación alrededor de cierto eje instantáneo sobre un punto fijo. Este punto fijo es llamado pivote de movimiento. No necesariamente el pivote y el centro de masa coinciden. De hecho, el cuerpo del aerogenerador se suele fijar al llamado centro de sustentación que ocupa una posición distinta al centro de masa.

FIGURA 2.5 Sistema de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z)

En la figura 2.5. Se muestra un aerogenerador de eje horizontal con dos sistemas coordenados adosados a él: uno es el sistema coordenado inercial que esta fijo en el espacio, con coordenadas x, y, z y el otro es el sistema coordenado fijo en el cuerpo, no inercial, con coordenadas X, Y, Z, en algún instante. Ambos sistemas coordenados tiene orígenes comunes; donde el primer sistema, no cambia de orientación, el segundo (fijo al cuerpo) si lo hace.

Por lo anterior, se tienen dos sistemas de coordenadas, y por lo tanto, dos sistemas de ecuaciones de movimiento. En la figura 2.6 se muestra esquemáticamente un aerogenerador con los dos sistemas coordenados, que recibe al viento paralelamente en el sistema de coordenadas inercial fijo en el espacio.

FIGURA 2.6 Dos Sistemas de coordenadas se adosan al centro de masa del aerogenerador, con los dos sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z).

La actitud instantánea del aerogenerador se determina a través de dos ángulos: El primero, 𝝓 es el llamado ángulo azimutal o guiñada. Este es el resultado de hacer girar al eje de las cotas (oz) del sistema fijo al espacio, hasta alcanzar con el eje de las abscisas, a la llamada lineal nodal (l.n.), este giro, hace coincidir momentáneamente a la línea nodal con el eje X del sistema fijo en el cuerpo, tal como se muestra en la figura 2.7.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


31

El segundo es al que se le conoce como el ángulo de ataque, zenital o también de cabeceo 𝜽. Este es, por una parte, el ángulo que debe hacerse girar alrededor del eje de las ordenadas del sistema coordenado fijo al cuerpo de la línea nodal, hasta que esta línea coincida con el eje de simetría instantáneo del cuerpo (su eje de las abscisas OX).

FIGURA 2.7. Sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) . Se muestran, el ángulo azimutal 𝜙 alrededor de Oz y el angulo de ataque 𝜃 alrededor del eje de las ordenadas del sistema fijo al cuerpo.

Por otra parte, este es el ángulo que forma el eje del cuerpo con la dirección del viento.

Para hacer la transformación

que mapea al vector r ′ a t=t0 con el vector r, en un instante posterior se deben relacionar estos dos sistemas de coordenadas, lo cual se representa asi:

Τ: r ′ → r(t) De modo que girando el radio vector alrededor del eje de las cotas sobre su punto fijo, la rotación se presenta como:

𝑟 ′ = ℝ ∙ 𝑟 (2.21)

Donde:

𝑟 ′ = ‖𝑋𝑌𝑍‖

Es el radio vector de un punto material desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo.

= ‖𝑥𝑦𝑧‖

Es el radio vector de ese mismo punto desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio.

y ℝ es una matriz de 3x3 llamada Matriz de Rotación que es la que representa el pivoteo. Pero para describir la Matriz ℝ se tiene que descomponer el sistema en dos rotaciones simples como se había explicado anteriormente.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


32

La correspondencia entre el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo y el sistema de coordenadas fijo en el espacio se da mediante la matriz de rotación ℝ:

𝑟 ′ = ℝ ∙ 𝑟 Por lo tanto la matriz de rotación es la superposición de 𝔸 y 𝔹, entonces:

ℝ ≡ 𝔸 ∙ 𝔹 (2.22) Sustituyendo a ℝ en (2.21), se puede escribir:

𝑟 ′ = (𝔸 ∙ 𝔹) ∙ 𝑟 donde:

𝔸= ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃

0 1 0−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃

‖ y 𝔹= ‖𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0

−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 00 0 1

‖

Siendo 𝔸 𝑦 𝔹 las matrices de rotación donde los ángulos (𝜃 y 𝜙) Son parámetros de la matrizℝ. Se expresan como el producto de dos rotaciones simples, mono paramétricas a los que se conocen como ángulos de Euler (Leonhard Euler 1707-1783). La primera rotación se da para crear el sistema coordenado de la línea nodal se consigue a partir del sistema fijo en el espacio, mediante una rotación simple formando un ángulo 𝜙, tomando como pivote al eje de las cotas Oz como se muestra en la figura 2.8.y esta rotación genera un movimiento de guiñada dado por: El sistema coordenado de la línea nodal

𝐿. 𝑛 . ≡ 𝔹 ∙ 𝑟 donde 𝔹 se define como

𝔹= ‖𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0


‖

(2.23)

O bien

‖

𝑙. 𝑛.1𝑙. 𝑛.2𝑙. 𝑛.3

‖ = ‖𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0


‖ ‖𝑥𝑦𝑧‖ = ‖

𝑥𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜙−𝑥𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑧‖

(2.24)

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


33

FIGURA 2.8 Rotación alrededor de OZ del sistema de coordenadas fijo en el espacio

La matriz (2.24) transforma del sistema de coordenadas fijo en el espacio a otro sistema

de coordenadas intermedio al que se le ha llamado l. n1, 𝑙. 𝑛2, 𝑙. 𝑛3 , mediante una rotación simple.

FIGURA 2.9 Rotación alrededor del 𝑙. 𝑛.2, provocando un movimiento de Cabeceo

Y una vez realizada ésta rotación, se puede llegar hasta el sistema coordenado fijo al cuerpo instantáneamente, a través de otra rotación simple, tomando como pivote al eje de las ordenadas del nuevo sistema 𝑙. 𝑛.2, esta rotación forma un ángulo 𝜃 llamado cenital a lo largo del plano 𝑙. 𝑛.1OX, y este giro provoca un movimiento de cabeceo dado por:

𝑟 ′ ≡ 𝔸 ∙ 𝐿. 𝑛 (2.25)

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


34

O Bien

‖𝑋𝑌𝑍‖ = ‖

𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃0 1 0

−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃‖ ‖

𝑙. 𝑛.1𝑙. 𝑛.2𝑙. 𝑛.3

‖

Resolviendo se tiene

‖𝑋𝑌𝑍‖ = ‖


−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃‖ ‖

𝑥𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜙−𝑥𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑧‖ = ‖

𝒙𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝝓 + 𝒛𝒔𝒆𝒏𝜽−𝒙𝒔𝒆𝒏𝝓 + 𝒚𝒄𝒐𝒔𝝓

−𝒙𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝓 − 𝒚𝒔𝒆𝒏𝜽𝒔𝒆𝒏𝝓 + 𝒛𝒄𝒐𝒔𝜽‖

(2.26)

Esta matriz transforma al sistema de coordenadas intermedio (𝑙. 𝑛1, 𝑙. 𝑛.2 , 𝑙. 𝑛.3) al sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. 𝑋, 𝑌, 𝑍, Con estas dos rotaciones simples, sucesivas, se tiene el efecto de poner en correspondencia al sistema fijo en el espacio, con el sistema fijo en el cuerpo. Sustituyendo 𝔸 𝑦 𝔹 en (2.22)

ℝ= ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃


‖ ‖𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0


‖

ℝ = ‖

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0

−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃‖

(2.27)

Esta es la forma general de la matriz de pivoteo que pone en correspondencia a ambos sistemas coordenados.

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


35

Como se verá en seguida, la cantidad de movimiento angular es proporcional a la velocidad angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia, de modo que éste juega el rol de la masa, cuando hay rotaciones. Con lo anterior, para encontrar el momento de inercia, se analiza un elemento diferencial de masa 𝑑𝑚 del cuerpo rígido, que en este caso es la góndola del aerogenerador.

FIGURA 2.10 El aerogenerador pivotea alrededor de un punto

fijo. Cada elemento de masa se mueve con velocidad y posee un

Momento angular .

Partiendo de la Mecánica Clásica si el Momento Angular es:

= 𝑥 𝑝 Derivando

𝑑𝐿

𝑑𝑡

= 𝑥

𝑑𝑝

𝑑𝑡

+

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑥 𝑝

El segundo término se elimina por ser un producto de vectores paralelos, así solo queda:

𝑑𝐿

𝑑𝑡

= 𝑥

𝑑𝑝

𝑑𝑡

Aplicando la hipótesis del Medio Continuo de Stokes se tiene:

= ∫ 𝑟 𝑥 𝑑𝑚

𝑑𝑉 𝑣 𝑑𝑉

𝑉

= ∫ 𝑟 𝑥 𝜌 𝑣 𝑑𝑉𝑉

Pero si

𝑣 = 𝑟 = 𝑥 𝑟,

Sustituyendo

= ∫ 𝜌( 𝑟 𝑥( 𝑥 )) 𝑑𝑉𝑉

(2.28)

Desarrollando el triple producto vectorial se tiene:

= ∫ 𝜌( ( 𝑟 ∙ 𝑟 ) − ( 𝑟 ∙ 𝑤) 𝑟) 𝑑𝑉𝑉

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


36

= ∫ 𝜌( | 𝑟 |2 − ( 𝑟 ∙ 𝑤) 𝑟) 𝑑𝑉𝑉

Cualquiera de los puntos materiales de un cuerpo rigido que pivotea alrededor de un punto fijo gira con la misma velocidad angular, entonces es la misma para todo los puntos del cuerpo,

entonces se puede sacar del integrando, de modo que la diferencial del momento angular queda descrito de la siguiente manera

= ∫ 𝜌( | 𝑟 |2 𝟙 − ( 𝑟 𝑟) )𝑉

∙ 𝑑𝑉

Donde 𝟙 es la Matriz unitaria, o bien

= ∫ 𝝆( | 𝒓 |𝟐 𝟙 − ( ) )𝑽

𝒅𝑽 ∙ (2.29)

Entonces, el Momento de Angular es:

= 𝕀 ∙ (2.30)

Donde 𝕀 es el llamado Tensor de Inercia del cuerpo, definido como:

𝕀 = ∫ 𝜌( | 𝑟 |2 𝟙 − ( 𝑟 𝑟) )𝑉

𝑑𝑉

(2.31)

O bien expresándolo en sus componentes cartesianas

𝕀 =

‖

‖∫ 𝜌( 𝑦2 + 𝑧 2)𝑉

𝑑𝑉 −∫ 𝜌𝑥𝑦𝑉

𝑑𝑉 −∫ 𝜌𝑥𝑧𝑉

𝑑𝑉

−∫ 𝜌𝑥𝑦𝑉

𝑑𝑉 ∫ 𝜌( 𝑥2 + 𝑧 2)𝑉

𝑑𝑉 −∫ 𝜌𝑦𝑧𝑉

𝑑𝑉

−∫ 𝜌𝑥𝑧𝑉

𝑑𝑉 −∫ 𝜌𝑦𝑧𝑉

𝑑𝑉 ∫ 𝜌( 𝑥2 + 𝑦 2)𝑉

𝑑𝑉‖

‖

𝕀 = ‖

𝐼𝑥 𝑃𝑥𝑦 𝑃𝑥𝑧

𝑃𝑥𝑦 𝐼𝑦 𝑃𝑦𝑧

𝑃𝑥𝑧 𝑃𝑦𝑧 𝐼𝑧

‖

(2.32)

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


37

Los elementos de esta matriz que aparecen sobre su diagonal principal, se les conoce como los Momentos de Inercia alrededor de OX, OY y OZ, respectivamente.

𝕀𝑥 = ∫ 𝜌( 𝑦2 + 𝑧 2)𝑉

𝑑𝑉

𝕀𝑦 = ∫ 𝜌( 𝑥2 + 𝑧 2)𝑉

𝑑𝑉

𝕀𝑧 = ∫ 𝜌( 𝑥2 + 𝑦 2)𝑉

𝑑𝑉

(2.33)

Mientras que los elementos del tensor de inercia que se encuentran fuera de la diagonal principal, se les conoce como los Productos de inercia.

𝑃𝑥𝑦 = −∫ 𝜌𝑥𝑦𝑉

𝑑𝑉

𝑃𝑥𝑧 = −∫ 𝜌𝑥𝑧𝑉

𝑑𝑉

𝑃𝑦𝑧 = −∫ 𝜌𝑦𝑧𝑉

𝑑𝑉

(2.34)

Como se observa, el Tensor de inercia 𝕀 es una Matriz simétrica, con a lo más seis elementos reales: tres Momentos de inercia y tres Productos de inercia. Ahora, si se evalúa el tensor de inercia durante el pivoteo desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo, los puntos materiales parecen estar fijos y por lo tanto, los momentos de inercia y los productos de inercia resultan constantes, Entonces, calculando la derivada temporal del momento angular dado en (2.30) se denota como:

= 𝕀 ∙ + x (𝕀 ∙ 𝒘 )

(2.35)

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


38

Pero si el tensor de inercia 𝕀 exhibe momentos de inercia sobre su diagonal principal pero los productos de inercia, esos escalares que aparecen fuera de ella son todos nulos , A este sistema de coordenadas se le llama sistema de ejes principales, y entonces el tensor de inercia es:

𝕀 ≡ ‖

𝐼1 0 00 𝐼2 00 0 𝐼3

‖

(2.36)

Usando la expresión (2.36) para el tensor de inercia diagonalizado, en fórmula vectorial (2.35) para las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido que pivotea sobre un punto fijo, se tiene:

𝑳 = 𝐼1𝑥 + ( 𝐼3 − 𝐼2)𝑤𝑦𝑤𝑧

𝑳 = 𝐼2𝑦 + ( 𝐼1 − 𝐼3)𝑤𝑥𝑤𝑧

𝑳 = 𝐼3𝑧 + ( 𝐼2 − 𝐼1)𝑤𝑥𝑤𝑦

(2.37a)(2.37b)(2.37c)

Donde (2.37a),(2.37b) y (2.37c) son las llamadas Ecuaciones de Euler del Cuerpo Rígido. El vector del Momento angular (2.30) se escribe en coordenadas cartesianas asi:

= 𝑖 𝐼1𝑤𝑥 + 𝑗 𝐼2𝑤𝑦 + 𝐼3𝑤𝑧

(2.38)

Para terminar con este capítulo, se debe escribir las componentes de la velocidad angular instantánea de la carcasa del aerogenerador (𝑡).Desde el sistema fijo en el espacio la velocidad angular de precesión es:

𝑃𝑅𝐸 = ‖00

‖

(2.39)

asi que, si se describe desde el sistema fijo al cuerpo:

𝑃𝑅𝐸 = 𝔸𝔹‖00

‖

(2.40)

Capitulo 2

El Cuerpo Rígido


39

𝑃𝑅𝐸 = 𝔸‖𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜙 0


‖‖00

‖ = 𝔸‖00

‖ (2.41)

𝑃𝑅𝐸 = ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑠𝑒𝑛𝜃


‖‖

00

‖ = ‖𝑠𝑒𝑛𝜃

0𝑐𝑜𝑠𝜃

‖

(2.42)

Por su parte, la velocidad angular de cabeceo o nutación es 𝑁𝑈𝑇 tal como se observa en la figura 2.6, al hacer girar a la línea nodal dos por el ángulo 𝜃 es:

𝑁𝑈𝑇 = ‖00‖

(2.43)

Al multiplicar por la matriz de rotación 𝔸 la velocidad de nutación 𝑁𝑈𝑇 queda descrita desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo en dirección de las abscisas y es:

𝑁𝑈𝑇 = 𝔸‖00‖ = ‖


−𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝑐𝑜𝑠𝜃‖‖

00‖ = ‖

00‖

(2.44)

Entonces, si se suman las dos contribuciones, se tiene que desde el sistema fijo al cuerpo la velocidad angular está dada por:

= 𝑃𝑅𝐸 + 𝑁𝑈𝑇 (2.45) Resultando que las tres componentes de la velocidad angular son:

𝒘𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 (2.46a)

𝒘𝒚 = (2.46b)

𝒘𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 (2.46c)

Estas son las componentes del vector velocidad del cuerpo rígido que aquí se ha considerado, en

términos de las velocidades angulares azimutal y de cabeceo 𝑦 respectivamente.


40

Para que yo deje esta tierra y me enfrente a lo desconocido, necesito toda mi fuerza,de todo mi dominio, de toda mi suerte;

pero sobre todo, necesito cada ápice de los cojones de acero de un guerrero-viajero. Para quedarte aquí y batallar como un guerrero-viajero

necesitas todo lo que yo mismo necesito. Don juan.

Carlos Castaneda

CAPÍTULO 3

MECÁNICA DE FLUIDOS

3.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se muestra el desarrollo del fascinante y complejo modelo teórico de la mecánica de fluidos en forma resumida. Se hace una revisión de los conceptos que más interesan de esta teoría, para el desarrollo del tema de esta tesis. Asi, se hace una descripción breve de las ecuaciones de balance de masa y de momento, para abordar el tema del modelaje de flujos, desde la perspectiva de la teoría de la variable compleja. Con esta herramienta matemática es posible estudiar el flujo de un fluido perfecto que remonta un obstáculo geométrico dado. Particularmente, en el estudio de los efectos del viento sobre el cuerpo exterior o carcasa de un aerogenerador de eje horizontal, será importante plantear el problema desde el punto de vista de las transformaciones conformes de Joukowski. Con este enfoque, las fuerzas de levantamiento y arrastre sobre ese cuerpo podrán ser calculadas.

Capitulo 3

Mecánica de Fluidos


41

3.2. ECUACIONES DE BALANCE La mecánica de fluidos forma parte de una teoría más general llamada “Mecánica de los Medios Continuos”, que fue desarrollada por George Gabriel Stokes (1819-1903) en la segunda mitad del siglo XIX. Para la estructuración del modelo con el cual el flujo de fluidos puede ser estudiado, Stokes planteó un sistema de expresiones diferenciales, a las cuales les llamo “ecuaciones de balance”. Estas expresiones son, entre otras más que aquí no serán consideradas, las ecuaciones de balance de masa y de momento. Con ellas se puede establecer ecuaciones diferenciales de flujo, cuya resolución permite, ocasionalmente, conocer la conducta de los fluidos. A continuación se hace un resumen de las ecuaciones de balance.

3.2.1. LA ECUACIÓN DE BALANCE DE MASA. Esta expresión diferencial es consecuencia directa del postulado que afirma que la masa total de un fluido, ni se crea, ni se destruye, es una constante de movimiento. La forma matemática de la ecuación de balance de masa es la siguiente:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 (𝜌) = 0

(3.1)

Donde 𝝆 es el símbolo que representa a la “densidad de masa” del fluido; es decir, la relación de la masa, al volumen. Se debe entender que la densidad es una función de la posición y del tiempo, es decir,

𝜌 = 𝜌 ((𝑡), 𝑡) [𝐾𝑔

𝑚3⁄ ] (3.2)

Por su parte, al producto 𝜌, donde es el “campo de velocidades” del fluido, se le conoce como el “flujo másico”:

𝜌 [𝐾𝑔

𝑚2 ∙ 𝑠⁄ ] (3.3)

Aunque en general la densidad de masa es una variable, para el caso de la mayoría de los líquidos que son incompresibles y en muchos problemas que involucran gases como el caso del viento que pasa al través de un obstáculo sólido que le sirve de frontera, a una velocidad menor a la velocidad del sonido, se considera en la ingeniería que es una constante. Si bien esta consideración es inexacta, la experiencia ha mostrado en gran número de ecuaciones que no es un error apreciable el que se comete si se acepta esta hipótesis. En este trabajo se aceptará esta afirmación. Con estas consideraciones, la ecuación de balance de masa tiene una forma más simple como la siguiente:

𝑑𝑖𝑣 = 0 (3.4)

Capitulo 3



42

En esta forma la ecuación de balance de masa se va a usar a lo largo del presente trabajo. Debe entenderse que, en tres dimensiones y usando coordenadas cartesianas, la fórmula (3.4) se ve de la siguiente forma:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(3.5)

Donde 𝑢, 𝑣 y 𝑤 son las tres componentes del campo de velocidades en esta descripción. Si se estudia el flujo en dos dimensiones, entonces, la ecuación de balance de masa se muestra enseguida:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

(3.6)

En esta forma va a ser utilizada la ecuación. Esto se podrá hacer puesto que el cuerpo sólido expuesto al flujo del viento tiene simetría axil, de modo tal que solamente dos dimensiones tendrán que considerarse.

3.2.2. LA ECUACION DE BALANCE DE MOMENTO. Las ecuaciones de balance de momento son fundamentales para la descripción de los flujos. Son la consecuencia directa de las leyes de Newton de la mecánica, que expresan el vínculo entre agentes físicos que actúan sobre estos cuerpos deformables y las respuestas de estos, en forma de flujos, Las ecuaciones de balance de momento son las siguientes:

𝜌𝜕

𝜕𝑡+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝜌𝑓 + 𝑑𝑖𝑣 𝝈

(3.7)

En estas expresiones diferenciales, además de la densidad de masa 𝝆 y el campo de velocidades ,

aparecen, en el miembro de la derecha de (3.7), la “fuerza de cuerpo” que es un vector que

representa a la fuerza neta aplicada, por unidad de masa al cuerpo y, además, la divergencia del

llamado “tensor de esfuerzos” del fluido. Este tensor es una matriz de 3x3 que representa las

reacciones internas que se generan al interior de los fluidos, como consecuencia de las fuerzas y las

torcas aplicadas. En general, el tensor de esfuerzos 𝝈 contiene a los llamados “esfuerzos normales”

y a los “esfuerzos cortantes”. Los primeros son aquellos que se ejercen sobre la superficie de los

fluidos, perpendicularmente a sus fronteras y se denotan como 𝝈𝒙, 𝝈𝒚 y 𝝈𝒛; estos son los

elementos que aparecen a lo largo de la-

Capitulo 3



43

- diagonal principal del tensor, como se muestra en (3.8). Los esfuerzos cortantes son los que se aplican transversalmente a las superficies de los fluidos y se denotan como 𝝉𝒙𝒚, 𝝉𝒙𝒛 y 𝝉𝒚𝒛; estos

elementos aparecen por arriba y por debajo de la diagonal principal de la matriz 𝝈, como también se muestra a continuación:

𝝈 = (

𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧

) (3.8)

3.3. EL FLUIDO PERFECTO

3.3.1. LAS ECUACIONES DE EULER.

En el caso de los “fluidos perfectos”, el tensor de esfuerzos (3.7) tiene un aspecto mucho más simple y particularmente, si se consideran flujos en 2-D, tiene la siguiente forma:

𝝈 = ‖−𝑝 00 −𝑝

‖ (3.9)

Siendo 𝑝 la presión manométrica del fluido. Se trata, como se ve en (3.9) de una matriz de 2x2, cuyos esfuerzos normales son iguales

𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = −𝑝

Y que carece de esfuerzos cortantes. Este tensor de esfuerzos es típico de los llamados “fluidos perfectos”; aquellos que jamás exhiben esfuerzos cortantes. Si se calcula la divergencia del tensor de esfuerzos (3.9) se obtiene de inmediato:

𝑑𝑖𝑣𝝈 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 (3.10)

Donde 𝒑 representa la “presión” ejercida sobre la cara (cualquier cara) del fluido; siendo

𝑝 [𝑃𝑎]

Asi, en el caso de fluidos perfectos, las ecuaciones de balance de momento son las siguientes:

𝜌𝑑

𝑑𝑡≡ 𝜌

𝜕

𝜕𝑡+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝜌𝑓 − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝

(3.11)

Estas son conocidas en la ciencia como las “ecuaciones de Euler” del fluido perfecto. Para resolver estas ecuaciones diferenciales, es necesario dar la fórmula para la fuerza de cuerpo. En muchos problemas prácticos de la ingeniería la fuerza del cuerpo es la siguiente:

𝑓 = − (3.12)

Capitulo 3 Mecánica de Fluidos


44

Siendo el vector una constante que representa, la aceleración de la gravedad, con una componente no nula en la dirección vertical. En el caso de un fluido que fluye en estado estacionario, en dos dimensiones, las ecuaciones de Euler son las siguientes:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥

(3.13a)

𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦= −𝑔 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦

(3.13b)

Como se ve, se trata de un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultaneas, con coeficientes variables, inhomogeneas. No es fácil resolverlas, a pesar de las simplificaciones que se han adoptado. Asi que es indispensable manipular a (3.11) para expresarla en una forma más sencilla. Con frecuencia se utiliza el siguiente procedimiento: el término

𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑

de acuerdo con el cálculo vectorial puede escribirse como:

𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (1

2 𝜌||2) − 𝜌 x 𝑟𝑜𝑡

(3.14)

De modo que las ecuaciones de Euler en (3.11) para este caso se escriben, con la ayuda de la identidad (3.14) de la siguiente forma:

𝑔𝑟𝑎𝑑 [1

2 (𝜌||2) + 𝑝] = − 𝜌 + 𝜌 x 𝑟𝑜𝑡

(3.15)

Aquí es posible aceptar dos condiciones adicionales, con las cuales se simplifica aun más el resultado de este procedimiento; la primera de ellas consiste en suponer que la fuerza de cuerpo debida a la gravedad es conservadora, así que se puede escribir también como un gradiente:

− 𝜌 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 (3.16)

Siendo 𝑼 el potencial gravitacional (densidad de masa por gravedad por altura). La segunda condición que se impone es que el flujo sea irrotacional; es decir que no forme remolinos o vórtices. Esto significa que:

𝑟𝑜𝑡 = 0 (3.17) Usando ambas condiciones en (3.15) se obtiene:

𝑔𝑟𝑎𝑑 (1

2 𝜌||2 + 𝑝 + 𝑈) = 0



45

De donde se sigue el siguiente resultado:

1

2 𝜌||2 + 𝑝 + 𝑈 = 𝜌𝑒

(3.18)

Donde e representa la energía total del fluido por unidad de masa, o energía especifica. Esta energía es constante y a la fórmula (3.18) se le conoce como la “Ecuación de Bernoulli”. Es la expresión que afirma que la energía total (especifica) se conserva. Se puede observar que esta fórmula tiene la típica estructura de la suma de la energía cinética mas la energía potencial. La ecuación de Bernoulli es una notable simplificación de las ecuaciones de Euler. No obstante y a pesar de las condiciones que se han impuesto, aun representa muy serias dificultades para su resolución.

3.3.2 EL FLUIDO PERFECTO INCOMPRESIBLE E IRROTACIONAL EN 2-D.

Tal como se tiene hasta este punto del desarrollo, para resolver el problema del flujo de un fluido en estado estacionario; que sea incompresible, que no forme remolinos; que fluya en dos dimensiones bajo la acción de la gravedad, es necesario plantear expresiones diferenciales: 1) Ecuación de Bernoulli:

1

2 𝜌(𝑢2 + 𝑣2) + 𝑝 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝜌𝑒

(3.19)

2) Condición de irrotacionalidad (no−vórtices):

𝑟𝑜𝑡 ≡ (𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦) = 0

(3.20a)

3) Condición de incompresibilidad:

𝑑𝑖𝑣 ≡ 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

(3.20b)

Podría dar la impresión de que con todo este proceso, las expresiones matemáticas a las que se ha llegado son triviales. Pero, no es asi, de hecho, aun será necesario otras consideraciones para estar en condiciones de resolver el problema. En el siguiente párrafo de este trabajo se expone el llamado “Teorema de Kelvin”, con el cual, se dará otro paso para la solución al flujo de fluidos perfectos.



46

3.3.3 TEOREMA DE KELVIN. Un primer resultado que se consigue de la ecuación de Euler es conocido como el Teorema de Kelvin. Este teorema demuestra que la “Circulación” de un fluido, definida por:

𝛤 ≡ ∮ ∙ 𝑑𝑟𝒞

(3.21)

es decir, como la integral cerrada de línea del producto de la velocidad por el elemento

diferencial de línea 𝒅𝒓 , a lo largo de un contorno 𝓒 , dentro de un flujo, es constante. Para demostrar este teorema se calcula la derivada total de la circulación 𝜞 con respecto al tiempo y se obtiene que:

𝑑𝛤

𝑑𝑡= 0

(3.22)

Asi que en efecto la circulación 𝛤 es constante.

FIGURA 3.1. Contorno cerrado en el fluido.

La demostración se conduce de la siguiente forma de acuerdo con la definición (3.21):

𝑑𝛤

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡∮ ∙ 𝑑𝑟𝒞

= ∮ (𝑑

𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑟 + ∙ 𝑑𝑣 )

𝒞

(3.23)

Pero el segundo término en el extremo de la derecha de la integral anterior es igual a cero, ya que:

∮ ∙ 𝑑𝑣 𝒞

= 1

2∮ 𝑑( | |2)𝒞

= 0

Puesto que la integral cerrada de línea de la diferencial de un escalar es idénticamente igual a cero.



47

Por otra parte, el primer término de la derecha de la integral (3.23) se puede procesar haciendo uso de la ecuación de balance de momento de Euler (3.11) en el caso que aquí se ha considerado:

∮𝑑

𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑟

𝒞

= ∮ 𝜌𝑓 ∙ 𝒞

𝑑𝑟 − ∮ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 ∙ 𝒞

𝑑𝑟

Nuevamente debido a que el producto

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑝

Cuando se tiene un flujo estacionario, entonces la segunda integral de la derecha es:

∮ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 ∙ 𝒞

𝑑𝑟 = ∮ 𝑑𝑝 = 0𝒞

Y finalmente, suponiendo que la fuerza de cuerpo 𝜌𝑓 es conservadora, se ve que:

∮ 𝜌𝑓 ∙ 𝒞

𝑑𝑟 = − ∮ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 ∙ 𝒞

𝑑𝑟 = −∮ 𝑑𝑈 = 0 𝒞

Por la misma razón que se ha dado, de que la integral cerrada de línea de un escalar es nula. Asi en efecto, se ha podido demostrar que la circulación de un flujo, definida en (3.21) es una constante de movimiento, tal como lo establece el teorema de Kelvin. Este resultado será de gran utilidad más adelante, cuando se obtengan soluciones para diferentes tipos de flujos.

3.4. MODELAJE DE FLUJOS

Una herramienta de gran utilidad en el estudio de los flujos es la que se conoce como “modelaje de flujos”. Se trata de un método; una estrategia, que consiste en proponer soluciones de las ecuaciones diferenciales y luego identificar el tipo de flujo que ellas representan. Es un camino en sentido opuesto al que se sigue tradicionalmente en la investigación científica, pues en tanto que en otros campos del conocimiento se plantean las ecuaciones diferenciales y se hallan las soluciones de ellas, aquí primeramente se proponen las soluciones.



48

3.4.1. EL POTENCIAL COMPLEJO Y LA VELOCIDAD COMPLEJA

El punto de partida para desarrollar la estrategia de modelaje de fluidos, consiste en hallar las soluciones para las condiciones de irrotacionalidad (3.20a) y de incompresibilidad (3.20b). En cuanto a la primera, si el rotacional de la velocidad es igual a cero, entonces se puede ver fácilmente que proponiendo:

𝑟𝑜𝑡 = 0 y en consecuencia:

(𝑥, 𝑦) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜙 (𝑥, 𝑦)

(3.24)

es decir:

𝑢 =𝜕𝜙

𝜕𝑥

(3.24a)

𝑣 =𝜕𝜙

𝜕𝑦

(3.24b)

es decir, que la velocidad sea igual al gradiente de cierta función escalar

𝜙 (𝑥, 𝑦)

a la que se le llamará en adelante el “Potencial de Velocidad”, entonces, si se sustituye a (3.24a) y (3.24b) en (3.20a) se obtiene:

𝜕2𝜙

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕2𝜙

𝜕𝑦𝜕𝑥= 0

(3.25)

Este resultado es una identidad; es la condición de integrabilidad de Cauchy-Riemann; que depende de la superficie a integrar y garantiza que el rotacional de la velocidad es igual a cero, asi que (3.20a) se cumple idénticamente. Haciendo el mismo procedimiento pero sustituyendo ahora (3.24a) y (3.24b) en (3.20b) se encuentra lo siguiente:

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜙

𝜕𝑦2= 0

(3.26)

El resultado (3.26) es la ecuación de Laplace en 2−D:

𝛻2𝜙 = 0 (3.26a) Esto es importante, ya que hay una infinidad de soluciones de (3.26a). Esto quiere decir que, resolviendo la ecuación de Laplace se consiguen expresiones del potencial de velocidad 𝝓 y con este, las componentes del campo de velocidades quedan determinadas.



49

Por otra parte, se pueden hallar soluciones para la condición de incompresibilidad (3.20b). Si la divergencia de la velocidad es igual a cero, entonces se puede ver fácilmente que proponiendo:

𝑑𝑖𝑣 = 0 (3.27)

Se resuelve (3.27) se propone que:

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦

(3.27a)

𝑣 = −𝜕𝜓

𝜕𝑥

(3.27b)

Donde 𝜓(𝑥, 𝑦) es un nuevo campo escalar al que se le denomina “Función de Corriente”. Sustituyendo a (3.27a) y (3.27b) en (3.20b) se obtiene:

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕2𝜓

𝜕𝑦𝜕𝑥= 0

(3.28)

Que es nuevamente una identidad debido a la condición de integrabilidad de Cauchy-Riemann. Ahora, sustituyendo (3.27a) y (3.27b) en (3.20a) se encuentra lo siguiente

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2= 0

(3.29)

Que es nuevamente la ecuación de Laplace en 2−D:

𝛻2𝜓 = 0 (3.30)

En resumen, dos funciones son soluciones de las condiciones de irrotacionalidad (3.20a) y de incompresibilidad (3.20b) y ambas soluciones conducen a conocer el campo de velocidades del fluido.

Esto significa que basta con ellas para resolver el problema de flujo de un fluido, sin necesidad de integrar las ecuaciones de Euler o la Ecuación de Bernoulli.

Pero si el potencial de velocidad 𝝓 (𝒙, 𝒚) y la función de corriente 𝝍(𝒙, 𝒚) resuelven las ecuaciones (3.20a) y (3.20b), entonces cualquier combinación lineal de ellas también es solución.

En particular, se ha definido una combinación lineal de estas funciones que ha sido de extraordinario valor para el estudio de los flujos. Se trata del Potencial Complejo:

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦) (3.31)

Usando la teoría de variable compleja, donde:

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

(3.32)



50

Se puede definir entonces el Potencial Complejo como:

𝐹(𝑧) = 𝜙(𝑧) + 𝑖𝜓(𝑧) (3.33)

Ahora bien, si se deriva el potencial complejo (3.33), aparece la llamada Velocidad Compleja Siendo 𝒖 y 𝒗 las componentes cartesianas de la velocidad del fluido.

𝑊(𝑧) =𝑑𝐹(𝑧)

𝑑𝑧=

𝜕𝜙

𝜕𝑥− 𝑖

𝜕𝜓

𝜕𝑥= 𝑢 − 𝑖𝑣

(3.34)

Por otra parte, el vector velocidad puede expresarse en coordenadas polares en 2-D. Esto se puede apreciar mejor acudiendo a la figura 3.2, donde se ha dibujado el vector , con sus dos componentes cartesianas 𝒖 y 𝒗 y además, se ve como se puede descomponer, asi mismo en una

FIGURA 3.2.Descomposicion del vector en sus componentes

cartesianas 𝑢 y 𝑣 y en sus componentes polares 𝑢𝑅 𝑦 𝑢𝜃.

componente 𝒖𝑹, llamada “radial” a lo largo de la línea que une al origen con el extremo posterior de y otra componente 𝒖𝜽 , llamada “transversal” que es perpendicular a la anterior y se une a la punta de la flecha del vector. Se puede ver muy fácilmente, que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas:

𝑢𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 + 𝑢𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 (3.35a) o bien:

𝑢 = 𝑢𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑢𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 (3.35b) De igual manera

𝑢𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑣 − 𝑢𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (3.36a) o también:

𝑣 = 𝑢𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑢𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 (3.36b)

Sustituyendo las expresiones (3.35b) y (3.36b) en (3.34) se obtiene:

𝑊 = 𝑢 − 𝑖𝑣 = (𝑢𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑢𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑖( 𝑢𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑢𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) Arreglando términos

𝑊 = 𝑢𝑅(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑖𝑢𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) (3.37) O bien, recordando el Teorema de Moivre de la variable compleja que afirma que :



51

𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑒−𝑖𝜃 (3.38)

Sustituyendo (3.38) en (3.37) se tiene a la velocidad compleja en coordenadas polares, la cual se utilizara con frecuencia en el desarrollo de este trabajo.

𝑊 = (𝑢𝑅 − 𝑖𝑢𝜃)𝑒−𝑖𝜃 (3.39)

3.4.2. MODELAJE DE FLUJO DE FLUIDOS.

Con las definiciones dadas anteriormente es posible ahora proponer ciertas expresiones particulares del potencial complejo e investigar cual es el flujo que corresponde a ellas. ( i ) EL FLUJO UNIFORME Como un primer ejemplo se considera, la siguiente fórmula para el potencial complejo:

𝐹 = 𝑈0𝑧 (3.40) Siendo 𝑼𝟎 una constante con dimensiones de velocidad. Recordando que la variable compleja es

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Sustituyendo a 𝑧 en (3.40) se ve que la función tiene una parte real y otra imaginaria, de la siguiente forma;

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑈0𝑥 + 𝑖𝑈0𝑦 Entonces, de acuerdo con (3.31), se ve que el potencial de velocidades 𝜙(𝑥, 𝑦) y la función de corriente 𝜓(𝑥, 𝑦) para este caso son:

𝜙 = 𝑈0𝑥 ψ = 𝑈0𝑦

(3.41)

Se trata de dos funciones que describen ciertos lugares geométricos en el plano XOY. La primera de ellas describe una familia de rectas verticales paralelas, a las que se llama “líneas equipotenciales” 𝜙, en tanto que la segunda describe una familia de rectas horizontales paralelas, llamadas “líneas de corriente” 𝜓. Estas dos familias se muestran en la figura 3.3., como líneas que



52

FIGURA 3.3. Diagrama del Flujo Laminar o Uniforme en donde se muestran las líneas verticales que son equipotenciales 𝜙 y las líneas horizontales son de corriente 𝜓. Ambas, siempre van a ser perpendiculares entre si.

derivando con respecto a 𝑧 la función potencial compleja dada en (3.40), se obtiene la correspondiente velocidad compleja, tal como se definió en (3.34). Para este caso se obtiene:

𝑊(𝑧) =𝑑𝐹(𝑧)

𝑑𝑧= 𝑈0

(3.42)

Siendo 𝑈0 una constante y de acuerdo con la fórmula general de la velocidad del fluido donde se expresan sus dos componentes la real y la imaginaria (3.34), se compara el resultado de (3.42) y se ve que:

𝑢 = 𝑈0

𝑣 = 0

(3.43)

Por lo tanto, se trata de un flujo uniforme que viaja de izquierda a derecha, si la constante 𝑈0 es positiva, tal como se ve en la figura 3.3. ( ii ) VÓRTICE Y CIRCULACIÓN. Se considera ahora la siguiente fórmula para el potencial complejo:

𝐹(𝑧) = 𝑖𝑘𝑙𝑛𝑧 (3.44) Donde 𝑘 representa una constante real. Si se expresa el potencial complejo (3.44) en

coordenadas polares recordando a la variable compleja 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 el potencial complejo queda de la siguiente forma:

𝐹(𝑟, 𝜃) = 𝑖𝑘𝑙𝑛(𝑟𝑒𝑖𝜃) = 𝑖𝑘𝑙𝑛𝑟 − 𝑘𝜃 (3.45)

De modo que, comparando las partes real e imaginaria de (3.45) con las correspondientes de la formula general (3.33) se ve que:

𝜙(𝑟, 𝜃) = −𝑘𝜃 (3.46a)

𝜓(𝑟, 𝜃) = 𝑘𝑙𝑛𝑟 (3.46b)



53

Ahora las líneas equipotenciales resultan ser rectas que son radiales desde el origen de coordenadas, formando un haz como el que se ha dibujado en la figura 3.4.

FIGURA 3.4. Vórtice o remolino. El fluido se mueve a lo largo de circunferencias concéntricas. Las líneas equipotenciales son radiales; las líneas de corriente son círculos.

Por su parte las líneas de corriente son círculos concéntricos. La derivada de (3.44) con respecto a 𝑧 da la velocidad compleja:

𝑊(𝑧) = 𝑑𝐹(𝑧)

𝑑𝑧=

𝑖𝑘

𝑧

(3.47)

En coordenadas polares:

𝑤(𝑧) = 𝑖𝑘

𝑟 𝑒−𝑖𝜃

(3.48)

Comparando (3.48) con (3.39) se obtienen las componentes polares de la velocidad:

𝑢𝑅 = 0 (3.49a)

𝑢𝜃 = −𝑘

𝑟

(3.49b)

En la figura 3.4 se ha dibujado el patrón de velocidades que corresponde a este ejemplo. Se trata de una familia de circunferencias concéntricas, que se desarrollan en sentido inverso; es decir, en el mismo sentido que giran las manecillas del reloj y cuyas velocidades disminuyen a medida que

están más alejadas del origen, en una proporción que va como 1

𝑟 Este flujo se conoce como un

Vórtice o Remolino. Si la función fuese ahora:

𝐹(𝑧) = −𝑖𝑘𝑙𝑛𝑧 (3.50) Se modela nuevamente un vórtice, pero este se desarrolla en sentido directo; esto es en contra de las manecillas del reloj. En este caso la velocidad compleja puede comprobarse fácilmente y resulta:

𝑤(𝑟, 𝜃) = −𝑖𝑘


(3.51)

En general, si se expresa al vector velocidad en coordenadas polares, presenta la siguiente forma:

= 𝑟𝑢𝑅 + 𝜃𝑢𝜃 (3.52)



54

Siendo, 𝒓 y 𝜽 los vectores unitarios ortogonales, en la dirección radial y en la dirección tangencial, respectivamente. Por su parte, el elemento de línea 𝒅, en este mismo sistema de coordenadas es:

𝑑𝑟 = 𝑟𝑑𝑟 + 𝑟𝜃𝑑𝜃 (3.53)

En donde 𝑑𝑟 es el elemento diferencial en la dirección radial y 𝑟𝑑𝜃 es en la dirección tangencial, perpendicular al anterior. Como consecuencia de lo anterior, el producto escalar de la velocidad por el elemento vectorial de línea es; de acuerdo con (3.52) y (3.53) lo siguiente:

∙ 𝑑𝑟 = 𝑢𝑟𝑑𝑟 + 𝑟𝑢𝜃𝑑𝜃 (3.54)

En el caso de un vórtice en sentido directo, como es el ejemplo dado en (3.51), identificando las componentes radial y tangencial de la velocidad adecuadamente, se obtiene para el producto (3.54) el siguiente resultado:

∙ 𝑑𝑟 = 𝑘𝑑𝜃 (3.55)

Por lo tanto, la circulación en este caso particular de un vórtice directo, esta dada por (3.20) en general y en este caso es:

𝛤 = ∮ ∙ 𝑑𝑟𝒞

= 𝑘 ∮ 𝑑𝜃 = 2𝜋𝑘 2𝜋

0

(3.56)

Entonces, la constante 𝑘 que se ha descrito en (3.50) y (3.51) tiene el valor:

𝑘 = 𝛤

2𝜋

(3.57)

En términos de la circulación 𝛤.



55

( iii ) FUENTES Y SUMIDEROS. Basta con proponer una función potencial compleja que sea muy parecida a aquella que dio lugar a los vórtices, (3.44), con la única diferencia que el coeficiente sea real, para conseguir un flujo diferente. En efecto, si se supone ahora que la función sea:

𝐹 = 𝑘𝑙𝑛𝑧 (3.58) Con 𝑘 constante real. En este caso, siguiendo un procedimiento idéntico al anterior se encuentra de inmediato que:

𝜙(𝑟, 𝜃) = 𝑘𝑙𝑛𝑟 (3.59a)

𝜓(𝑟, 𝜃) = 𝑘𝜃 (3.59b) Estas soluciones corresponden a líneas equipotenciales 𝜙(𝑟, 𝜃) con forma de circunferencias concéntricas a partir del origen y líneas de corriente 𝜓(𝑟, 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 que son rectas que parten de 0 radialmente en todas direcciones.

FIGURA 3.5.Una fuente centrada en el origen. El fluido forma líneas radiales que parten de 0 en todas direcciones, llamada líneas de corriente, mientras que las equipotenciales son circunferencias concéntricas.

La velocidad compleja se encuentra de la misma manera que antes; derivando a 𝐹(𝑧) con respecto a 𝑧 lo que se encuentra es:


𝑑𝑧=

𝑘


(3.60)

Lo cual significa que:

𝑢𝑅 =𝑘

𝑟

(3.61a)

𝑢𝜃 = 0 (3.61b) Como se ve, este caso es el opuesto al de los vórtices. Ahora las líneas radiales se alejan del origen cuando 𝒌 es positiva. Este flujo se conoce como una “fuente” en 0. Si por el contrario 𝒌 es una constante negativa, entonces las líneas de flujo llegan al origen 0 desde el infinito. En este caso se tiene una “sumidero”.

En ambos; la fuente o el sumidero, la velocidad del fluido disminuye como el inverso de la distancia 𝒓.



56

( iv ) EL DOBLETE

Otro ejemplo muy interesante de modelaje de flujos es el caso del llamado “doblete”. Este flujo se obtiene cuando se considera una fuente y un sumidero de igual intensidad, que se encuentran ubicados uno al lado del otro, a lo largo del eje de las abscisas 0x, a distancias iguales del origen 0, como se muestra en la figura 3.6. En este caso, el potencial complejo es la suma de una fuente en (c, 0), más un sumidero en (−c, 0):

𝐹(𝑧) = 𝑘 𝑙𝑛 (𝑧 − 𝑐) − 𝑘 𝑙𝑛 (𝑧 + 𝑐) (3.62) O bien, lo que es equivalente:

𝐹(𝑧) = 𝑘 𝑙𝑛 (𝑧 − 𝑐

𝑧 + 𝑐)

(3.63)

Si se supone que 𝐜 es una distancia muy pequeña, comparada con aquellas en donde se observa al fluido; es decir,

|c

z| ≪ 1

entonces es posible escribir (3.63) en forma aproximada como:

𝐹(𝑧) ≈ 𝑘 𝑙𝑛 (1 −𝑐

𝑧)2

≈ 𝑘 𝑙𝑛 (1 −2𝑐

𝑧)

(3.64)

NOTA: Para obtener el resultado aproximado (3.64) se hace el siguiente procedimiento:

𝑙𝑛 (𝑧 − 𝑐

𝑧 + 𝑐) = 𝑙𝑛 (

1 −𝑐𝑧

1 +𝑐𝑧

) = 𝑙𝑛 (1 −𝑐

𝑧) (1 +

𝑐

𝑧)−1

≈ 𝑙𝑛 (1 −𝑐

𝑧)2

Luego, suponiendo que |c z⁄ | es suficientemente pequeño como para poder despreciar sus potencias superiores a la primera, se obtiene (3.64) al desarrollar el binomio cuadrado. Por otra parte, es posible procesar aun más el logaritmo que ha quedado en el extremo de la derecha de (3.64) si se considera que

𝑙𝑛(1 − 𝑥) = ∫𝑑𝑥

1 − 𝑥 ≡ −∫(1 − 𝑥)−1𝑑𝑥 = −∫(1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯) 𝑑𝑥



57

Rescribiendo la ec anterior

𝑙𝑛(1 − 𝑥) = ∫𝑑𝑥

1 − 𝑥 ≡ −∫(1 − 𝑥)−1𝑑𝑥 = −∫(1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯) 𝑑𝑥

asi que en consecuencia:

𝑙𝑛(1 − 𝑥) = −(𝑥 +1

2𝑥2 +

1

3𝑥3 + ⋯)

Si el argumento 𝑥 en la integración anterior es un infinitésimo de primer orden, entonces se puede escribir el resultado en forma aproximada;

𝑙𝑛(1 − 𝑥) ≈ −𝑥 (3.65) Por lo tanto el potencial complejo del doblete es aproximadamente el siguiente:

𝐹(𝑧) ≈ −2𝑘𝑐

𝑧

Esta fórmula es exacta si se imagina que la distancia entre la fuente y el sumidero se hace cada vez más y más pequeña, en la misma medida que la intensidad 𝑘 se hace más y más grande, pero de forma tal que el producto de ambos parámetros permanezca constante en magnitud. En tal caso:

𝐹(𝑧) = lim𝑐→0𝑘→∞

(−2𝑘𝑐

𝑧) ≡ −

𝑏

𝑧

(3.66)



58

Al parámetro 𝒃 que resulta del producto de la distancia 𝟐𝒄 por 𝒌 se le llama la “intensidad del doblete”. Ahora bien, usando la definición del potencial complejo dada en (3.31) entonces, de acuerdo con el resultado obtenido para el doblete en (3.66) se puede ver que se cumple la siguiente igualdad:

FIGURA 3.6.El doblete. Una fuente y un sumidero de iguales intensidades se encuentran a ambos lados del origen a muy pequeña distancia uno del otro Las líneas quebradas son las equipotenciales y las líneas de corriente. Las líneas dirigidas son líneas de flujo.

𝜙 + 𝑖𝜓 = −𝑏

𝑥 + 𝑖𝑦

Y para despejar esta expresión, se multiplica y se divide el miembro de la derecha por

𝑥 − 𝑖𝑦 Lo que se obtiene con esta operación es lo siguiente:

𝜙 + 𝑖𝜓 = −𝑏(𝑥 − 𝑖𝑦)

𝑥2 + 𝑦2

Ahora es posible, separar las partes real e imaginaria de ambos miembros de la expresión anterior; lo que se consigue con ello es el resultado que se escribe a continuación:

𝜙 = −𝑏𝑥

𝑥2 + 𝑦2

(3.67)

𝜓 = −𝑏𝑦

𝑥2 + 𝑦2

(3.68)

De la expresión (3.67), despejando se obtiene lo siguiente:

𝑥2 +𝑏

𝜙𝑥 + 𝑦2 = 0



59

Si se completa el trinomio perfecto para la coordenada 𝑥, sumando y restando la misma cantidad

𝑏2

4𝜙2

Se obtiene

(𝑥 −𝑏

2𝜙)2

+ 𝑦2 = 𝑏2

4𝜙2

(3.69)

Esta ecuación representa dos familias de círculos; una para valores positivos de 𝑏

2𝜙 y la otra para

valores negativos de esta misma entidad y con radios iguales al valor absoluto de ella. En la figura

3.6, estas familias se muestran como circunferencias centradas en (± 𝑏

2𝜙 , 0). Estas son líneas

equipotenciales. Por su parte, la expresión (3.68) se puede progresar en forma idéntica a la anterior para obtener la ecuación del lugar geométrico siguiente:

𝑥2 + (𝑦 −𝑏

2𝜓)2

= 𝑏2

4𝜓2

(3.70)

Nuevamente, (3.70) representa dos familias de círculos con centro en ( 0, ±𝑏

2𝜓) y radios

𝑏

2𝜓.

Estas son las líneas de corriente que se muestran también en la figura 3.6. La velocidad compleja para el doblete se obtiene derivando el potencial complejo (3.66) con respecto a 𝑧:

𝑊(𝑧) = −𝑏

𝑧2

(3.71)

La forma más sencilla de visualizar el flujo es expresando primero a la velocidad compleja (3.71) en coordenadas polares:

𝑊(𝑟, 𝜃) = − 𝑏

𝑟2𝑒2𝑖𝜃= −(

𝑏

𝑟2𝑒−𝑖𝜃) 𝑒−𝑖𝜃 = −(

𝑏

𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖

𝑏

𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑒−𝑖𝜃

(3.72)

Luego, separando las partes real e imaginaria de (3.72) y comparando cada una de ellas con las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares dadas en (3.39) se obtiene:

𝑢𝑅 = −𝑏

𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃

(3.73a)

𝑢𝜃 = 𝑏

𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃

(3.73b)



60

Ahora es posible calcular las componentes cartesianas de la velocidad 𝒖 y 𝒗, a partir de la ley de transformación (3.35b) y (3.36b):

𝑢 = 𝑢𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑢𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑏

𝑟2 (𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = −

𝑏

𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑣 = 𝑢𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑢𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = −2𝑏

𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = −

𝑏

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃

De donde, elevando al cuadrado cada término y sumando:

||2 = 𝑢2 + 𝑣2 = 𝑏2

𝑟4

(3.74)

La ecuación anterior representa dos familias de circunferencias como las que se han dibujado con líneas continuas, dirigidas, en la figura 3.6, Estas son líneas de flujo. Podría pensarse que el caso del doblete tiene un valor puramente teórico y en nada se puede asociar a algún flujo que ocurre realmente en la naturaleza. A continuación se mostrará cómo este modelo conduce de manera directa a resultados del mundo real.

3.5 FLUJO QUE REMONTA UN OBSTÁCULO CILÍNDRICO. Una aplicación muy importante de la estrategia de modelaje de fluidos es el problema que se estudiará a continuación. Se trata de determinar el flujo de un fluido ideal que enfronta un obstáculo cilíndrico rígido, de sección circular, que se encuentra transversalmente a su paso. Se supondrá así mismo, que el fluido fluye con un ángulo de ataque dado y que el flujo es suficientemente lento para no formar vórtices ni otro tipo de efecto turbulento a su paso por el cilindro. Con esta aplicación se abren las puertas de la aerodinámica, como se verá adelante.

3.5.1. FLUJO SIN CIRCULACIÓN.

Ya se vio cómo, proponiendo expresiones particulares del potencial complejo se modelan flujos y también se sabe que la superposición de funciones que son soluciones de las ecuaciones de flujo que dan lugar a otras soluciones. Considérese la suma de las funciones para un flujo uniforme que se desplaza de izquierda a derecha con velocidad 𝐔 e incide con un “ángulo de ataque” 𝛂 y un doblete como el que se vio en la sección anterior. El flujo uniforme se modela con la función:

𝐹1(𝑧) = 𝑈𝑒−𝑖𝛼𝑧 (3.75)



61

En tanto que el doblete se describe con la función siguiente:

𝐹2(𝑧) = + 𝑏

𝑧𝑒𝑖𝛼 (3.76)

Siendo b la intensidad del doblete y α el ángulo de ataque del fluido. El factor

𝑒−𝑖𝛼

debe acompañar a la variable compleja z para indicar que el flujo se desplaza con ese ángulo. La suma de las funciones anteriores da por resultado un potencial complejo que también es solución de las ecuaciones de flujo:

𝐹(𝑧) = 𝑈𝑒−𝑖𝛼𝑧 +𝑏

𝑧 𝑒𝑖𝛼

(3.77)

El signo más que se ha usado ahora en el doblete indica que en este caso, la fuente se encuentra a la izquierda y el sumidero a la derecha, de manera que el flujo descrito por Fz (z) va en sentido opuesto al que se ilustra en la figura 3.6. En coordenadas polares, la función (3.77) adquiere la forma siguiente:

𝐹(𝑟, 𝜃) = 𝑈𝑟𝑒𝑖(𝜃−𝛼) + 𝑏

𝑟𝑒−𝑖(𝜃−𝛼)

(3.78)

La velocidad compleja se encuentra derivando (3.77) con respecto a z:


𝑑𝑧= 𝑈𝑒−𝑖𝛼 −

𝑏

𝑧2 𝑒𝑖𝛼

O bien:

𝑊(𝑧) = 𝑈 (𝑒−𝑖𝛼 − 𝐵

𝑧2𝑒𝑖𝛼)

(3.79

En donde se ha sacado al parámetro U como factor común y se ha adoptado una constante

𝐵 ≡ 𝑏

𝑈

(3.80)

En coordenadas polares, la velocidad compleja tiene la forma que se ve a continuación:

𝑊(𝑟, 𝜃) = 𝑈 (𝑒𝑖(𝜃−𝛼) − 𝐵

𝑟2 𝑒−𝑖(𝜃−𝛼)) 𝑒−𝑖𝜃 (3.81)

Y usando el teorema de Moivre para escribir las exponenciales complejas dentro del paréntesis de (3.81) en términos de senos y cosenos, se obtiene, después de agrupar, lo siguiente:

𝑊(𝑟, 𝜃) = 𝑈 [(1 −𝐵

𝑟2) 𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛼) + 𝑖 (1 +

𝐵

𝑟2) 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)] 𝑒−𝑖𝜃

(3.82)



62

Por lo tanto, de acuerdo con la definición (3.39), se ve que las correspondientes componentes polares de la velocidad son:

𝑢𝑅(𝑟, 𝜃) = 𝑈 (1 −𝐵

𝑟2) 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 𝛼)

(3.83a)

𝑢𝜃(𝑟, 𝜃) = −𝑈 (1 +𝐵

𝑟2) 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)

(3.83b)

Muy lejos del origen, a izquierda y derecha, el fluido fluye con una velocidad que, de acuerdo con (3.83), cuando r→ ∞ es la siguiente:

𝑢𝑅(𝑟, 𝜃) ≈ 𝑈𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛼) (3.84)

𝑢𝜃(𝑟, 𝜃) ≈ −𝑈𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)

FIGURA 3.7. Un Flujo uniforme con velocidad U tiene un angulo de ataque. Las componentes radial y tangencial de la velocidad son 𝑢𝑅 y 𝑢𝜃

Se puede ver en la figura 3.7. un flujo uniforme con velocidad 𝑈 y sus componentes radial y tangencial 𝑢𝑅 y 𝑢𝜃, respectivamente. Se observa que cumplen con las formulas (3.84). Por otra parte, cerca del origen de coordenadas, se vuelven importantes los términos correspondientes al doblete, en tanto que aquellos que describen al flujo uniforme son despreciables. Por tanto, lejos del origen, el fluido se comporta uniformemente y cerca de 0 sobresale el doblete que se estudio anteriormente.

Pero hay una región que presenta una propiedad interesante. Si se considera el valor de la distancia radial



63

FIGURA 3.8. Cuando el flujo se acerca al origen se forma un doblete los puntos de estancamiento están en los dos extremos de la circunferencia limite.

𝑅0 = √𝐵 ≡ √𝑏

𝑈

(3.85)

Se observa de (3.83a) que

𝑢𝑅(𝑅0 , 𝜃) = 0 (3.86)

En tanto que (3.83b) tiene el valor de:

𝑢𝜃(𝑅𝑜, 𝜃) = −2𝑈𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼)

(3.87)

Esto significa que, cuando el valor de la coordenada radial es precisamente el que se tiene en (3.85), la componente radial de la velocidad del fluido es nula. Esto es que, el fluido que es externo no puede atravesar una circunferencia con ese radio 𝑹𝟎 hacia el interior, ni el fluido interno del doblete puede atravesar hacia fuera de ese mismo radio. Esa circunferencia de radio 𝑹𝟎 dada por (3.85) constituye una frontera física real para ambos flujos: el externo y el interno. Por tanto puede sustituirse el flujo interior (doblete) por un cilindro rígido y sólido con ese mismo radio. El flujo exterior lo va a remontar como si en el interior hubiera un doblete de intensidad 𝒃. Las expresiones (3.83) describen entonces este flujo; es decir, el flujo que remonta un obstáculo cilíndrico con sección recta circular de radio 𝑹𝟎 , con la condición de que la variable radial sea

𝑟 ≥ 𝑅0

Sobre la superficie del obstáculo, la componente radial de la velocidad es nula, tal como se mostro en (3.86). Pero la componente tangencial, sobre la superficie del obstáculo no es nula, excepto en dos puntos de él; uno cuando el ángulo θ adquiera un valor tal que

𝜃𝑠 − 𝛼 = 0

O bien 𝜃𝑠 = 𝛼 (3.88a)

Y el otro cuando: 𝜃𝑠 = 𝛼 + 𝜋 (3.88b)

A estas se les llama “ángulos de estancamiento” y a los correspondientes puntos sobre la superficie de la circunferencia, se les conoce como “puntos de estancamiento”. Estos puntos



64

se muestran en los dos extremos de la circunferencia límite (con radio R) en la figura 3.8. estos puntos son aquellos donde llega el fluido con velocidad cero y sale el fluido hacia la derecha, con velocidad cero:

𝑢𝜃(𝑅𝑜, 𝛼) = 𝑢𝜃 (𝑅𝑜, 𝛼 + 𝜋) = 0 (3.89)

3.5.2. FLUJO CON CIRCULACIÓN. Es necesario complicar un poco más el estudio de los fluidos. Supóngase ahora un fluido que remonta un obstáculo cilíndrico, como en el problema anterior, pero se considera, adicionalmente, un vórtice con intensidad Γ/2π como el que se presentó en la sección 3.4.2. (ii). Sumando ambos casos se tiene un potencial complejo compuesto, como el siguiente:

𝐹(𝑧) = 𝑈 (𝑧𝑒−𝑖𝛼 +𝑅𝑜

2

𝑧𝑒𝑖𝛼) −

𝑖𝛤

2𝜋𝑙𝑛 (𝑧𝑒−𝑖𝛼) (3.90)

La velocidad compleja que corresponde a este flujo es la siguiente:

𝑊(𝑧) = 𝑈 (𝑒−𝑖𝛼 −𝑅𝑜

2

𝑧2𝑒𝑖𝛼) −

𝑖𝛤

2𝜋𝑧

(3.91)

O bien, en coordenadas polares, después de usar el teorema de Moivre y agrupar:

𝑊(𝑟, 𝜃) = 𝑈 [(1 −𝑅𝑜

2

𝑟2)𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛼) − 𝑖 [(1 +𝑅𝑜

2

𝑟2)𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼) +𝛤

2𝜋𝑟]] 𝑒−𝑖𝜃

(3.92)

Donde Ro es el radio límite calculado en (3.85) y Γ es la circulación definida en (3.56). Las componentes polares de la velocidad se obtienen de inmediato a partir de (3.92) y la definición (3.39):

𝑢𝑅(𝑟, 𝜃) = 𝑈 (1 −𝑅𝑜

2

𝑟2)𝑐𝑜𝑠 (𝜃 − 𝛼) (3.93a)

𝑢𝜃(𝑟, 𝜃) = 𝑈 (1 +𝑅𝑜

2

𝑟2)𝑠𝑒𝑛 (𝜃 − 𝛼) +𝛤

2𝜋𝑟

(3.93b)



65

Se observa nuevamente de (3.93a) que sobre la circunferencia del obstáculo, la componente radial de la velocidad del fluido es nula, ya que para

𝑟 = 𝑅𝑜

Se tiene que: 𝑢𝑅(𝑅𝑜, 𝜃) = 0

Pero para el mismo valor del radio, la componente tangencial de la velocidad es

𝑢𝜃(𝑅𝑜, 𝜃) = 2𝑈𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼) +𝛤

2𝜋𝑅𝑜

(3.94)

Ahora, la componente tangencial se hace nula cuando el ángulo θ toma un valor θs tal que:

𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑠 − 𝛼) = −𝛤

4𝜋𝑈𝑅𝑜

(3.95)

FIGURA 3.9. Grafica de la función sean 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 − 𝛼). Los puntos de estancamiento ocurren para 𝜃 = 𝜃𝑠.

En la figura 3.9 se muestra una gráfica de la función de sen(θ − α) y se señalan los valores del ángulo que satisfacen la condición (3.95). Se observa que esos valores son entre 𝛼 + 𝜋 y 𝛼 + 2𝜋, para que el argumento sea negativo. Este hecho muestra que los puntos de estancamiento, por expresarlo de algún modo, han emigrado, como consecuencia de la circulación y lo han hecho hacia abajo de la línea del diámetro de la circunferencia.



66

FIGURA 3.10. Por efecto de la circulación Γ los puntos de estancamiento bajan.

A su vez, la migración de los puntos de estancamiento tiene el efecto de modificar las líneas de flujo como se ve en la figura 3.10. Ahora las líneas de flujo ya no presentan la misma simetría que en el ejemplo anterior. Ahora, si bien sigue existiendo una simetría izquierda-derecha, ya no la hay arriba-abajo, como se observa en la misma figura. Este rasgo será importante mas adelante, pues él será el que determine la presencia de fuerzas de sustentación o levantamiento en los cuerpos inmersos en flujos.

3.6. LAS LEYES INTEGRALES DE BLASIUS.

Es el momento de cambiar un poco el tema y dejar de lado el modelaje de flujos. Con los logros avanzados hasta aquí es suficiente para los fines que persigue este trabajo. El tema que a continuación se presenta es no menos fascinante. Se trata de dos resultados obtenidos en la primera mitad del siglo XX por un científico de apellido Blasius. Se presentan como las leyes integrales y permiten calcular los efectos de un flujo sobre un cuerpo sólido que se encuentra inmerso en él. Esos efectos son las fuerzas y las torcas y son las causas de que un perfil, como el de una ala de un avión se sustente y permita el vuelo de cuerpos pesados.

3.6.1. LA PRIMERA LEY INTEGRAL. Considérese un cuerpo sólido, cilíndrico, de sección recta arbitraria, como se muestra en la figura 3.11. Imagínese que ese cuerpo se halla inmerso en un flujo de un fluido ideal, estacionario, que lo remonta, como se ve en la figura 3.11.



67

FIGURA 3.11. Un obstáculo cilíndrico de sección irregular enfronta un flujo desde la derecha. El flujo provoca en el cuerpo una fuerza de levantamiento, y otra de arrastre. Un contorno cerrado 𝒞 encierra al cuerpo

El fluido, originalmente uniforme, pasa por encima y por debajo del perfil. Al pasar por el cuerpo, el fluido ejerce alguna fuerza. Por la tercera ley de la mecánica, el sólido exhibe una reacción a esa fuerza externa. Supóngase que la reacción tiene dos componentes: una horizontal en el sentido positivo, opuesta al flujo, a la que se llamará “fuerza de arrastre” y se denota simplemente como:

𝐴

La otra es la llamada “fuerza de sustentación” o “fuerza de levantamiento” que se simboliza como

𝐿

De acuerdo con la mecánica, ambas fuerzas se generan en el centro de masa del cuerpo. En ese punto se coloca el origen O de un sistema coordenado. Pero estas fuerzas de reacción son de igual intensidad y en sentido opuesto a la fuerza que experimenta el fluido:

𝐹𝐴𝑖 + 𝐹𝐿 𝑗 ≡ − ≡ − ∫ 𝜌𝑓𝑑𝑉

𝑉(𝑡)

(3.96)

Siendo 𝝆 la densidad de masa, la fuerza de cuerpo y la integral se debe realizar sobre algún volumen V(t) del fluido que contiene al cuerpo sólido. Es conveniente tomar como volumen de integración una región constituida por un contorno cerrado 𝓒 como el de la figura 3.11, que es la cara de un cilindro que tiene una profundidad de una unidad (1m). Es necesario recordar en este punto del desarrollo, las ecuaciones de Euler para el flujo de un fluido perfecto, que se plantearon en (3.11); estas ecuaciones diferenciales, en el caso estacionario presentan la siguiente estructura:

𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝜌𝑓 − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 (3.97)



68

Es necesario hacer unos cuantos cambios en estas ecuaciones, para poderlas utilizar propiamente en la fórmula (3.96). Lo primero que se puede hacer, es transformar el miembro de la izquierda de (3.97). Se ve que éste puede ser reescrito en la forma siguiente:

𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝑑𝑖𝑣 (𝜌 ) − 𝑑𝑖𝑣 (𝜌) (3.98) Pero, dado que el fluido que aquí se estudia es incompresible, entonces, de acuerdo con la ecuación de balance de masa (3.1), el término de la extrema derecha en (3.98) es igual a cero. En estas condiciones se puede escribir, como consecuencia de (3.1) y (3.98) que:

𝜌 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝑑𝑖𝑣 (𝜌 ) (3.99)

El producto directo 𝝆 se conoce como el “tensor de convección” del fluido. Por otra parte, al gradiente de la presión que aparece en el miembro de la derecha de (3.97) también se le puede hacer un pequeño cambio; es posible escribirlo de la siguiente forma:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝 = 𝑑𝑖𝑣 (𝑝 𝟙) (3.100) Siendo 𝟙 la matriz unidad

𝟙 ≡ ‖1 00 1

‖ (3.101)

Por lo anterior, es claro que (3.97) puede ser reescrita como:

𝜌𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 (𝜌 + 𝑝𝟙) (3.102)

En esta forma, es posible sustituir la fuerza del cuerpo que aparece en (3.102) en la integral (3.96). Lo que se consigue con ello es, una integral de volumen de la divergencia que se obtuvo en el resultado (3.102). Una integral de divergencia de cierto objeto matemático se puede escribir, mediante el teorema de Gauss en una integral de flujo; así, (3.96) se puede reescribir de la siguiente forma:

𝐹𝐴𝑖 + 𝐹𝐿𝑗 = −∮(𝜌 + 𝑝𝟙) ∙ 𝑑𝑆

𝑆

(3.103)

Siendo dS el elemento diferencial de la superficie frontera del volumen sobre el cual se había planteado la integración (3.96).



69

FIGURA 3.12 El obstáculo cilíndrico, de sección irregular y altura unidad es rodeado por una cubierta cuyo contorno es 𝒞 y de altura 1. Se muestra el elemento diferencial de área 𝑑𝑠.

En la figura 3.12 se ilustra esta idea: el obstáculo cilíndrico de sección recta irregular ha sido rodeado por una cubierta cilíndrica de sección elíptica, con una frontera 𝒞 al frente y una longitud o profundidad de una unidad.

El elemento diferencial de área dS se construye como el producto vectorial:

Con este resultado se puede calcular enseguida el integrando (3.103) resultando:

𝑑𝑆 = −x𝑑𝑟 = |𝑖 𝑗 0 0 −1𝑑𝑥 𝑑𝑦 0

| =

𝑖𝑦 − 𝑗𝑑𝑥

(3.104)

(𝜌 + 𝑝𝟙) ∙ 𝑑𝑆 = 𝜌(𝑢 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥) + 𝑝(𝑖 𝑑𝑦 − 𝑗 𝑑𝑥)

Por lo tanto, la integral (3.103), escrita para cada una de sus componentes, da como resultado las siguientes expresiones:

𝐹𝐴 = −∮ 𝜌𝑢(𝑢 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥) − ∮ 𝑝 𝑑𝑦𝒞𝒞

(3.105a)

𝐹𝐿 = −∮ 𝜌𝑣(𝑢 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥) + ∮ 𝑝 𝑑𝑥𝒞𝒞

(3.105b)

La presión 𝒑 también se puede eliminar de las integrales (3.105) si se recuerda la ecuación de Bernoulli (3.17):

𝑝 = 𝜌𝑒 − 𝑈 −1

2𝜌(𝑢2 + 𝑣2)

(3.106)



70

Y se sustituye este resultado de vuelta en (3.105a) y (3.105b); lo que se obtiene es lo siguiente:

𝐹𝐴 = −∮1

2𝜌(𝑢2 − 𝑣2) 𝑑𝑦 + ∮ 𝜌𝑢𝑣 𝑑𝑥

𝒞

− (𝜌𝑒 − 𝑈)∮ 𝑑𝑦𝒞𝒞

(3.107a)

𝐹𝐿 = −∮ 𝜌𝑢𝑣 𝑑𝑦 − ∮1

2𝜌(𝑢2

𝒞

− 𝑣2) 𝑑𝑥 + (𝜌𝑒 − 𝑈)∮ 𝑑𝑥𝒞𝒞

(3.107b)

Ahora hágase la siguiente operación:

𝐹𝐿 + 𝑖𝐹𝐴 = −∮1

2𝜌(𝑢2 − 2𝑖𝑢𝑣 − 𝑣2) (𝑑𝑥 + 𝑖 𝑑𝑦) + (𝜌𝑒 − 𝑈)∮ (𝑑𝑥

𝒞

− 𝑖𝑑𝑦)𝒞

O bien, recordando que la diferencial de la variable compleja y su conjugado son:

𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑖 𝑑𝑦

𝑑𝑧∗ = 𝑑𝑥 − 𝑖 𝑑𝑦

Se puede escribir ahora:

𝐹𝐿 + 𝑖𝐹𝐴 = −1

2𝜌 ∮ (𝑢 − 𝑖𝑣)2𝑑𝑧 + (𝜌𝑒 − 𝑈)∮ 𝑑𝑧∗

𝒞𝒞

y ya para terminar: la integral en el extremo de la derecha del resultado anterior es igual a cero, ya que

∮ 𝑑𝑧∗ = ∫ 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 0

2𝜋

0𝒞

Y multiplicando lo que queda por (−i), se obtiene finalmente:

𝐹𝐴 − 𝑖𝐹𝐿 =1

2𝑖𝜌 ∮ [𝑊(𝑧)]2

𝒞

𝑑𝑧 (3.108)

Esta es la primera ley integral de Blasius, donde se ha hecho uso de la definición dada para la velocidad compleja en (3.34).



71

3.6.2. LA SEGUNDA LEY INTEGRAL.

La segunda ley integral de Blasius permite calcular la torca que ejerce un fluido al incidir sobre un cuerpo sólido. Como se recordará, la torca se define como el momento de la fuerza

≡ 𝑟 𝑥 (3.109)

O bien, como el flujo es bidimensional, la magnitud del momento de la fuerza es simplemente, de acuerdo con (3.105a) y (3.105b):

𝑀 = 𝑥𝐹𝐿 − 𝑦𝐹𝐴 = ∮ [𝑝𝑥 𝑑𝑥 + 𝑝𝑦 𝑑𝑦 − 𝜌𝑣(𝑢 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥)𝑥 + 𝜌𝑢(𝑢 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑥)𝑦]𝒞

Los primeros dos términos a la derecha corresponden a la presión multiplicada por la diferencial del cuadrado de la distancia desde el punto sobre 𝒞 hasta el centro de masa del cuerpo en el origen del sistema de coordenadas. Los otros dos términos representan al momento debido a las fuerzas de convección. Simplificando el resultado anterior se obtiene:

𝑀 = ∮ [𝑝𝑥 𝑑𝑥 + 𝑝𝑦 𝑑𝑦 + 𝜌(𝑢2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑣2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑢𝑣𝑦 𝑑𝑥 − 𝑢𝑣𝑥 𝑑𝑦)]𝒞

Nuevamente, invocando a la ecuación de Bernoulli (3.17)

𝑀 = −𝜌 ∮ [1

2(𝑢2 + 𝑣2)(𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦) − (𝑢2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑣2𝑥 𝑑𝑥) − 𝑢𝑣(𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦)]

𝒞

Donde se ha hecho uso del hecho de que todo los demás términos de la ecuación de Bernoulli se hacen cero pues:

(𝜌𝑒 − 𝑈)∮ (𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦) =1

2(𝜌𝑒 − 𝑈)∮ 𝑑|𝑟|2

𝒞𝒞

= 0

Un nuevo re arreglo de la integral de momento conduce al siguiente resultado:

𝑀 = −1

2𝜌 ∮ [(𝑢2 − 𝑣2)(𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦) + 2𝑢𝑣(𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥)]

𝒞

Pero la integral anterior corresponde a lo siguiente:

𝑀 = −ℛ𝑒 [1

2𝜌 ∮ [𝑊(𝑧)]2𝑧 𝑑𝑧

𝒞

] (3.110)



72

Que significa: “la parte real” del complejo que esta encerrado en el paréntesis rectangular en (3.110).El resultado anterior es la segunda ley integral de Blasius. Ambas leyes integrales van a ser de gran utilidad para calcular el levantamiento, el arrastre y el momento de la fuerza a los que está sujeto un aerogenerador de eje horizontal, debidos al embate del viento sobre su cuerpo exterior.

3.7. LAS TRANSFORMACIONES DE JOUKOWSKI.

3.7.1. LA TRANSFORMACIÓN DE JOUKOWSKI.

Un último cuerpo de conocimientos es indispensable revisar ahora para estar en condiciones de dar el asalto final y resolver el problema de determinar la actitud de un aerogenerador de eje horizontal. Esto se conoce como las transformaciones de Joukowski. En términos generales, se trata de un conjunto de transformaciones del plano complejo, de las llamadas “conformes”, con la propiedad de que preservan ángulos y direcciones locales de curvas y que tienen una estructura muy particular.

Las transformaciones (conformes) de Joukowski se describen de la siguiente forma: es una función del tipo general.

𝑓(𝜉) = 𝑧 (3.111)

Que establece una regla de correspondencia entre la variable compleja ξ (se lee Kxi), definida en cierta región del plano complejo y una variable z en otra región del mismo plano. La regla de correspondencia o mapeo, como también se le llama, tiene la siguiente forma particular:

𝑧 = 𝜉 +𝑎2

𝜉

(3.112)

Se dice también que la transformación de Joukowski realiza una forma de traducción de objetos geométricos que están descritos “en el plano 𝜉” a las correspondientes “imágenes” de esos objetos en el plano 𝒛.

El inverso de la transformación de Joukowski es:

𝜉 =1

2[𝑧 + √𝑧2 + 4𝑎2]

(3.113)



73

En (3.112) y (3.113), aparece una constante 𝒂 positiva. Esta es la llamada constante conforme y debido a ella es que se le da este apelativo a la transformación. Una propiedad general de las transformaciones de Joukowski es que para valores muy grandes de la variable; es decir, cuando

𝜉 → ∞ Entonces ambas descripciones; la del plano 𝜉 y la del plano z coinciden y se obtiene aproximadamente la transformación idéntica. En cambio, cerca del origen del sistema 𝜉, la transformación (3.112) tiende al infinito. Por esta razón, lo objetos geométricos que se someten a este mapeo deben evitar transformar valores muy pequeños de 𝜉. Si se toman las diferenciales de las variables en la fórmula para la transformación (3.112), se ve que:

𝑑𝑧

𝑑𝜉= 1 −

𝑎2

𝜉2

(3.114)

De donde se ve que existe un punto singular en el origen del plano 𝜉; sin embargo, esta singularidad carece de importancia, pues en todos los problema prácticos en los que se aplica la transformación de Joukowski, el origen de las coordenadas esta siempre ocupando por un cuerpo sólido, así el fluido ni siquiera llega a acercarse a ella. Si se suma en ambos miembros de (3.112) la constante 2a, se obtiene lo siguiente:

𝑧 + 2𝑎 =(𝜉 + 𝑎)2

𝜉

(3.115a)

Igualmente, restando a ambos miembros de (3.112) la constante 2a, se consigue:

𝑧 − 2𝑎 =(𝜉 − 𝑎)2

𝜉

(3.115b)

Así que dividiendo (3.115a) entre (3.115b), se obtiene la relación que se describe a continuación: 𝑧 + 2𝑎

𝑧 − 2𝑎= (

𝜉 + 𝑎

𝜉 − 𝑎)2

El resultado anterior es interesante. Para resaltar sus rasgos importantes, se puede expresar en coordenadas polares:

𝑟2𝑟1

𝑒𝑖(𝜃2−𝜃1) = (𝜇2

𝜇1)2

𝑒2𝑖(𝛽2−𝛽1) (3.116)



74

Siendo r1 y r2 dos radios en el plano z que parten de los puntos (−2a, 0) y (2a, 0), respectivamente y señalan un mismo punto de ese plano, como se ve en la figura 3.13(a). El ángulo que forma cada uno de esos radios con el eje de las abscisas es θ2 y θ1, respectivamente. Por otra parte, los parámetros μ1 y μ2 representan los dos radios que parten de los puntos (a, 0) y (−a, 0), respectivamente y los dos ángulos que forman con el eje de las abscisas del plano ξ los ángulos β1 y β2, como se ve en la figura 3.13 (b). Se puede observar que la expresión (3.116) exhibe una elongación y una rotación, pues, al pasar del plano z al plano ξ la relación entre las distancias se eleva al cuadrado y la relación de los ángulos se duplica; es decir:

𝑟2𝑟1

→ (𝜇2

𝜇1)2

(𝜃2 − 𝜃1) → 2(𝛽2 − 𝛽1)

FIGURA 3.13(a). La imagen de la transformación de Joukowski en el plano z duplica los ángulos y eleva al cuadrado la relación de los radios.

FIGURA 3.13(b). En el plano 𝜉 un punto 𝑃′ señalado por (𝜇1, 𝛽1) y (𝜇2, 𝛽2) se transforma mediante la transformación de Joukowski en el punto 𝑃 del plano 𝑧.

La transformación de Joukowski es una herramienta formidable para resolver algunos problemas de flujos externos; es decir, aquellos que se desplazan por el espacio y encuentran a su paso de objetos sólidos macroscópicos que remontan, como fue el caso del obstáculo cilíndrico que se vio anteriormente. Con la transformación de Joukowski, un cuerpo de forma, más o menos irregular puede ser “generado” a partir de una geometría muy simple, como se verá en seguida. Entonces, conociendo el flujo a lo largo de un cuerpo, como un cilindro de sección recta circular, mediante una transformación adecuada, puede convertirse en un flujo que remonta un perfil diferente.



75

3.7.2. EL SEGMENTO DE RECTA. Como un ejemplo sencillo de la aplicación de la transformación de Joukowski, se

plantea ahora el problema de determinar el flujo perfecto que incide sobre la superficie plana, con cierto ángulo de ataque. Para ello se parte de un obstáculo cilíndrico de sección recta circular, con un radio Ro, como el que se estudio, (ver figura 3.14(a)). Supóngase que ese cuerpo esta descrito en el plano ξ y es en esa descripción que se ha hecho el estudio del flujo. Ahora considérese la transformación de Joukowski

FIGURA 3.14(a). Una circunferencia de radio Ro , centrada en el origen de coordenadas del plano 𝜉 con abscisa 0ξ y ordenada 0𝜂

FIGURA 3.14 (b). La circunferencia de radio 𝑅𝑜 en el plano 𝜉 de la figura anterior da lugar a un segmento de recta de longitud 4𝑅𝑜, centrado en el origen 0 del plano 𝑧.

𝑧 = 𝜉 +𝑅𝑜

2

𝜉

(3.117)

Que mapea el plano 𝜉 en el plano z. La ecuación de una circunferencia de radio Ro, centrada en el origen del plano ξ esta dada, en coordenadas polares, por:

𝜉 = 𝑅𝑜𝑒𝑖𝛽 (3.118)

Siendo β el ángulo que forma un radio con el eje de las abscisas. Sustituyendo la fórmula (3.118) en la expresión para la transformación de Joukowski (3.117), se obtiene:

𝑧 = 𝑅𝑜(𝑒𝑖𝛽 + 𝑒−𝑖𝛽) = 2𝑅𝑜𝑐𝑜𝑠𝛽 (3.119)

Ahora, recordando que

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

e identificando en (3.119) las componentes de la variable compleja, se ve que debe cumplirse lo siguiente:

𝑥 = 2𝑅𝑜𝑐𝑜𝑠𝛽 (3.120)

𝑦 = 0

Las anteriores son la formas paramétricas de un segmento de recta horizontal, de longitud 𝟒𝑹𝒐, centrado en el origen del sistema coordenado z, tal como se ve en la figura 3.14(b).



76

Imagínese ahora el flujo de un fluido que remonta u obstáculo cilíndrico en el plano ξ, incidiendo con un ángulo de ataque α y con una circulación Γ, tal como se vio en la sección 3.5.2. El potencial complejo para este fenómeno, de acuerdo con (3.90) es:

𝐹(𝜉) = 𝑈 (𝜉𝑒−𝑖𝛼 +𝑅𝑜

2

𝜉𝑒𝑖𝛼) −

𝑖𝛤

2𝜋𝑙𝑛 (𝜉𝑒−𝑖𝛼)

(3.121)

Ahora, en el plano z, la expresión (3.121) para el potencial complejo del flujo ante un obstáculo cilíndrico, se convierte, por medio de la transformación de Joukowski inversa, dada en la fórmula (3.113), en el potencial complejo del fluido que remonta un obstáculo plano horizontal:

𝐹(𝑧) =1

2𝑈 [(𝑧 + √𝑧2 − 4𝑅𝑜

2)𝑒−𝑖𝛼 +4𝑅𝑜

2𝑒𝑖𝛼

𝑧 + √𝑧2 − 4𝑅𝑜2] −

𝑖𝛤

2𝜋𝑙𝑛 [(𝑧 + √𝑧2 − 4𝑅𝑜

2)𝑒𝑖𝛼] (3.122)

Derivando con respecto a z la fórmula (3.122), se obtiene la expresión que corresponde a la velocidad compleja para este flujo:

𝑊(𝑧) =1

2𝑈 [(1 +

𝑧

√𝑧2 − 4𝑅𝑜2)𝑒−𝑖𝛼 + (1 −

𝑧

√𝑧2 − 4𝑅𝑜2)𝑒𝑖𝛼] −

𝑖𝛤

2𝜋√𝑧2 − 4𝑅𝑜2

(3.123)

Esta es la expresión con la cual se puede dibujar las líneas de flujo del fluido cuando pasa a través del perfil del plano horizontal. Los puntos de estancamiento corresponden a aquellos valores de z = zs para los cuales la velocidad compleja (3.123) se vuelve igual a cero, es decir:

(1 +𝑧𝑠

√𝑧𝑠2 − 4𝑅𝑜

2)𝑒−𝑖𝛼 + (1 −

𝑧𝑠


2)𝑒𝑖𝛼 −

𝑖𝛤

𝜋𝑈√𝑧𝑠2 − 4𝑅𝑜

2= 0

(3.124)

O bien agrupando:

𝑐𝑜𝑠𝛼 +−𝑖


2(𝑧𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +

𝛤

2𝜋𝑈) = 0

(3.125)

Ahora, despejando y elevando al cuadrado el resultado (3.125) se obtiene lo siguiente:

(𝑧𝑠2 − 4𝑅𝑜

2) 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = −(𝑧𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +𝛤

2𝜋𝑈)2

Y en consecuencia:

𝑧𝑠2 − 4𝑅𝑜

2𝑐𝑜𝑠2𝛼 +𝑧𝑠𝛤

𝜋𝑈 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +

𝛤2

4𝜋2𝑈2= 0



77

Con este resultado es posible despejar el valor de la variable compleja para el cual se da el punto de estancamiento:

𝑧𝑠 = −𝛤

2𝜋𝑈 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ±

1

2𝑅𝑜 √(16 −

𝛤2

𝜋2𝑈2𝑅𝑜2)𝑐𝑜𝑠2𝛼

O bien:

𝑧𝑠 = −𝛤


1

2𝑅𝑜 √(1 −

𝛤2

16𝜋2𝑈2𝑅𝑜2)𝑐𝑜𝑠 𝛼

(3.126)

Como los puntos de estancamiento deben estar en alguna parte de la superficie del segmento recto, entonces no puede haber un valor de la ordenada (la parte imaginaria de zs ) que sea distinto de cero; en otras palabras:

𝑦𝑠 = 0 Por lo tanto, descomponiendo (3.126) solo la parte imaginaria, se obtiene que:

𝑥𝑠 = −𝛤


1

2𝑅𝑜 √(1 −

𝛤2

16𝜋2𝑈2𝑅𝑜2)𝑐𝑜𝑠2𝛼

(3.127)

FIGURA 3.15. Flujo que remonta una superficie plana, horizontal, de ancho 4𝑅0 y con angulo de ataque 𝛼 , donde en 2𝑅0 se muestran sus puntos de estancamiento.



78

3.7.3 LA ELIPSE. Otra aplicación importante de la estrategia de la transformación de Joukowski

que se ha presentado en este contexto, es la siguiente: supóngase que ahora se tiene un obstáculo cilíndrico de sección recta circular y radio R, pero esta dimensión es mayor que el radio crítico de la transformación de Joukowski; esto es

𝑅 > 𝑎

Siendo a ese radio crítico tal que al pasar al plano z se tiene

𝑧 = 𝜉 +𝑎2

𝜉

(3.129)

Pero la circunferencia dada por

𝜉 = 𝑅𝑒𝑖𝛽 (3.130)

En el plano ξ se convierte, de acuerdo con (3.129) en:

𝑧 = 𝑅 (𝑒𝑖𝛽 +𝑎2

𝑅2𝑒−𝑖𝛽)

en el plano z. La expresión anterior se puede desarrollar haciendo uso del teorema de Moivre como:

𝑧 = 𝑅 [(1 +𝑎2

𝑅2)𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑖 (1 −𝑎2

𝑅2) 𝑠𝑒𝑛 𝛽] (3.131)

Así que separando las partes real e imaginaria de la variable compleja z= x + iy se consigue:

𝑥 = 𝑅 (1 +𝑎2

𝑅2)𝑐𝑜𝑠 𝛽

(3.132)

𝑦 = 𝑅 (1 −𝑎2

𝑅2)𝑠𝑒𝑛 𝛽



79

Despejando (3.132) las funciones trigonométricas y luego elevando al cuadrado y sumando los resultados se obtiene lo siguiente:

𝑥2

𝑅2 (1 +𝑎2

𝑅2)2 +

𝑦2

𝑅2 (1 −𝑎2

𝑅2)2 = 1

(3.133)

FIGURA 3.16. La transformación de Joukowski de una circunferencia con radio R a da como resultado una elipse.

Esta es la ecuación para una elipse con semi−eje mayor

𝐴 ≡ 𝑅 (1 +𝑎2

𝑅2) (3.134a)

Y con semi−eje menor

𝐵 ≡ 𝑅 (1 −𝑎2

𝑅2) (3.134b)

Centrada en el origen del plano z. Esto se ha dibujado en la figura 3.16, donde se exhibe, en el lado izquierdo, una circunferencia de radio R mayor que el radio crítico de la transformación de Joukowski (3.129), centrada en el origen del plano ξ y luego, por virtud de la transformación, esa figura da lugar a una elipse oblata, con semi-ejes mayor A y menor B, centrada en el origen del plano z. Si se imagina que la circunferencia

𝜉 = 𝑅𝑒𝑖𝛽 (3.135)

Corresponde a un obstáculo cilíndrico en el plano ξ que enfronta un flujo uniforme de un fluido perfecto que incide sobre él con un ángulo de ataque α y una circulación Γ, el potencial complejo para ello es el siguiente:



80

𝐹(𝜉) = 𝑈 (𝜉𝑒−𝑖𝛼 +𝑅2

𝜉𝑒𝑖𝛼) −

𝑖𝛤

2𝜋𝑙𝑛 (𝜉𝑒−𝑖𝛼)

(3.136)

Para investigar cuál es el correspondiente potencial complejo en el plano z, hay que acudir a la transformación de Joukowski inversa que se vio en (3.113)

𝜉 =1

2[𝑧 + √𝑧2 − 4𝑎2]

(3.137)

Y sustituirla en (3.136). Lo que se obtiene es lo siguiente:

𝐹(𝑧) =1

2𝑈 [(𝑧 + √𝑧2 − 4𝑎2) 𝑒−𝑖𝛼 +

𝑅2

𝑎2(𝑧 − √𝑧2 − 4𝑎2) 𝑒𝑖𝛼]

−𝑖𝛤

2𝜋𝑙𝑛 [(𝑧 + √𝑧2 − 4𝑎2) 𝑒−𝑖𝛼]

(3.138)

Esta fórmula corresponde al flujo de un fluido perfecto, uniforme que incide sobre un obstáculo cilíndrico de sección recta elíptica, con velocidad U, a un ángulo de ataque α y con una circulación Γ. La velocidad compleja en este caso es:

𝑊(𝑧) =1

2𝑈 [(1 +

𝑧

√𝑧2 − 4𝑎2) 𝑒−𝑖𝛼 +

𝑅2

𝑎2(1 −

𝑧

√𝑧2 − 4𝑎2) 𝑒𝑖𝛼] −

𝑖𝛤

2𝜋

1

√𝑧2−4𝑎2

(3.139)

Desarrollando las exponenciales imaginarias de acuerdo con el teorema de Moivre y agrupando convenientemente lo términos, se obtiene a partir de (3.139) lo siguiente:

𝑊(𝑧) =1

2𝑈 [(1 +

𝑅2

𝑎2)𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑖 (1 −𝑅2

𝑎2)𝑠𝑒𝑛𝛼]

+𝑧𝑈

2√𝑧2 − 4𝑎2[(1 −

𝑅2

𝑎2)𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑖 (1 +𝑅2

𝑎2)𝑠𝑒𝑛𝛼] −𝑖𝛤

2𝜋

1

√𝑧2−4𝑎2

(3.140)

Usando las definiciones dadas en (3.134a) y (3.134b) para los ejes mayor y menor de la elipse, es posible simplificar un poco el resultado (3.140); en efecto, se le puede expresar así:



81

𝑊(𝑧) =1

2𝑈

𝑅

𝑎2[𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖 𝐵𝑠𝑒𝑛𝛼] −

𝑧𝑈

√𝑧2 − 4𝑎2

𝑅

2𝑎2[𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼] −

𝑖𝛤

2𝜋

1

√𝑧2 − 4𝑎2

(3.141)

Y para facilitar aun más el manejo algebraico de la velocidad compleja dada en (3.141) se usarán las siguientes definiciones: sean

𝑃 ≡𝑅

2𝑎2[𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝛼]

(3.142)

𝑄 ≡𝑅

2𝑎2[𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝛼]

(3.143)

Entonces

𝑊(𝑧) = 𝑈 [𝑃 −𝑧

√𝑧2 − 4𝑎2𝑄] −

𝑖𝛤

2𝜋

1

√𝑧2 − 4𝑎2

(3.144)

Los puntos de estancamiento, como siempre, son aquellos valores de la variable compleja, zs, para los cuales, la velocidad compleja es igual a cero. En este caso, esos puntos, de acuerdo con (3.144) son: aquellos, para los cuales se cumple que:

𝑃 −𝑄𝑧𝑠

√𝑧𝑠2 − 4𝑎2

=𝑖𝛤

2𝜋𝑈√𝑧𝑠2−4𝑎2

O bien, despejando:

𝑃√𝑧𝑠2−4𝑎2 = 𝑄𝑧𝑠 +

𝑖𝛤

2𝜋𝑈

Suponiendo que los efectos de la circulación son pequeños, se eleva al cuadrado:

𝑃2(𝑧𝑠2−4𝑎2) = 𝑄2𝑧𝑠

2 + 𝑖𝑄𝛤

𝜋𝑈𝑧𝑠 −

𝛤2

4𝜋2𝑈2

O bien:

(𝑃2 − 𝑄2)𝑧𝑠2 −

𝑖𝑄𝛤

𝑈𝜋𝑧𝑠 +

𝛤2

4𝜋2𝑈2−4𝑎2𝑃2 = 0

Resolviendo para 𝑧𝑠



82

𝑧𝑠 =𝑖𝑄

2( 𝑃2 − 𝑄2) [

𝑖𝛤

𝑈𝜋 ± 𝑃 √16𝑎2 − ( 𝑃2 − 𝑄2) −

𝛤2

𝜋2𝑈2]

(3.145)

Ahora que se ha obtenido un resultado concreto para la ubicación de los puntos de estancamiento, hay que emprender el camino de regreso; es necesario recordar de (3.142) y (3.143) el significado de los coeficientes P y Q en términos de los parámetros del cuerpo. Además se puede ver con facilidad que:

(𝑃2 − 𝑄2) ≡𝑅2

4𝑎4 [(𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐵𝑠𝑒𝑛𝛼 )2– (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝛼)2] =

𝑅2

4𝑎4 (𝐴2 − 𝐵2 )

= 𝑅2

4𝑎4 (𝐴2 − 𝐵2)

(3.146)

Y como A y B están definidos por (3.134a) y (3.134b), respectivamente, entonces

𝐴2 − 𝐵2 =𝑅2

4𝑎4 [(𝑅 +

𝑎2

𝑅)

2

– (𝑅 − 𝑎2

𝑅)

2

] =𝑅2

𝑎2

(3.147)

Por lo tanto, regresando a (3.145); incorporando en ese resultado las definiciones (3.142), (3.143) y el que se obtuvo en (3.147) se obtiene:

𝑧𝑠 =𝑖𝛤

4𝑅𝜋𝑈 [ (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼 ) ± (𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝐵𝑠𝑒𝑛𝛼 )√1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2]

(3.148)

Finalmente, recordando que 𝒛𝒔 = 𝒙𝒔 + 𝒊𝒚𝒔, donde 𝒙𝒔 representa a las abscisas de los puntos de estancamiento y 𝒚𝒔 a las ordenadas, se puede separar la expresión anterior en su parte real y su parte imaginaria y se consigue el resultado siguiente:

𝑥𝑠 = −𝛤𝐴

4𝑅𝜋𝑈 𝑠𝑒𝑛𝛼 ± √1 − (

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2) 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼

(3.149a)

𝑦𝑠 =𝛤𝐵

4𝑅𝜋𝑈 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± √1 − (

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2) 𝐵𝑠𝑒𝑛𝛼

(3.149a)



83

Finalmente, si se recuerdan los resultados (3.132) donde se describen las coordenadas cartesianas de la elipse en función de las coordenadas polares, los punto de estancamiento (3.149) se pueden describir igualmente en coordenadas polares, usando esas fórmulas; lo que se obtiene es lo siguiente:

cos βs = −𝛤

4𝑅𝜋𝑈 𝑠𝑒𝑛𝛼 ± √1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2 𝑐𝑜𝑠𝛼

(3.150a)

sen βs =𝛤

4𝑅𝜋𝑈𝑐𝑜𝑠𝛼 ± √1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2 𝑠𝑒𝑛𝛼

(3.150b)

Donde βs es el ángulo polar desde el origen hasta los puntos de estancamiento. Pero hay que dejar estas fórmula en términos de los parámetros de la elipse; así, la excentricidad se define como la relación de los semi−ejes menor a mayor.

ϵ ≡B

A

(3.151)

Así que, de acuerdo con (3.151), (3.134a) y (3.134b)

ϵ ≡𝑅 (1 −

𝑎2

𝑅2)

𝑅 (1 +𝑎2

𝑅2)=

𝑎2

𝑅2 (1 + ϵ) = (1 − ϵ)

(3.152)

𝑎 = R√1 − 𝜖

1 + 𝜖

(3.153)

Aunque los resultados anteriores han quedado expresados en función de las condiciones de ataque del fluido sobre el cuerpo de sección recta elíptica, como son su velocidad U y el ángulo de ataque α y también, de los parámetros propios de la elipse, como su excentricidad ϵ y su semi−eje mayor A, aun ha quedado sin definir cuál debe ser la circulación Γ que resuelva definitivamente este problema. Esto puede resolverse también si se acepta la llamada “condición de Kutta”. Esta expresa que el punto de estancamiento



84

posterior debe estar situado justamente en el vértice del cuerpo. Este punto corresponde aquí al punto (A, 0) como se ve en la figura 3.17. En este punto el valor que tiene el ángulo polar es:

βs = 0

FIGURA 3.17. La condición de Kutta establece que el punto de estancamiento posterior debe estar situado en (A,0).

así que

cos βs = 1 (3.155)

sen βs = 0 Usando la condición de Kutta en (3.154b) se encuentra que para un valor del ángulo α que no sea igual a π

2⁄ , el término en el paréntesis

rectangular debe ser nulo; esto significa que:

1 = −𝛤

4𝑅𝜋𝑈 𝑠𝑒𝑛𝛼 ± √1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2 𝑐𝑜𝑠𝛼

(3.156a)

0 =𝛤

4𝑅𝜋𝑈𝑐𝑜𝑠𝛼 ± √1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2 𝑠𝑒𝑛𝛼

(3.156b)

Elevando al cuadrado a (3.156b) se tiene:

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2𝑐𝑜𝑠2𝛼 ± (1 −

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2) 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 0

𝛤2

16𝜋2𝑅2𝑈2 (𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼) = 𝑠𝑒𝑛2𝛼

De donde, despejando a la Γ se obtiene:



85

Γ = 4πRUsen α (3.157)

Pero de (3.153)

𝑎 = R√1 − 𝜖

1 + 𝜖

𝑅2 = 𝑎2 (1 − 𝜖

1 + 𝜖)

R = 𝑎√(1 − 𝜖

1 + 𝜖)

Sustituyendo en (3.157)

Γ = 4πU𝑎√(1 − 𝜖

1 + 𝜖) sen α

(3.158)

Obteniendo asi la circulación del flujo que remonta la elipse, el signo positivo de la circulación que aparece en la fórmula (3.158) significa que para este caso, la circulación del fluido a remontar el obstáculo, en sentido directo; es decir, en el sentido contrario de las manecillas del reloj, tal como se ha indicado en la figura 3.17.


86

El universo no tiene límites, y las posibilidades

que se dan en él, son en verdad inconmensurables. Asi es que no caigas preso del axioma “solo creo lo que veo”

Porque es la postura mas tonta que se puede adoptar Don juan.

Carlos Castaneda

CAPÍTULO 4

DINÁMICA DE LA ACTITUD DE UN AEROGENERADOR

DE EJE HORIZONTAL

4.1 DINÁMICA DE LA ACTITUD La orientación de un cuerpo en el espacio, en este caso un aerogenerador, esta descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, las cuales es necesario integrar a fin de conocer la cantidad de movimiento angular (momento angular) y la orientación (actitud) del cuerpo respecto a los dos sistemas de referencia: tres ejes coordenados fijos al cuerpo y otros tres ejes fijos en el espacio. Esta parametrización se logra médiate el uso de ciertos angulos, la matriz de rotación y una matriz anti simétrica llamada Ω que representa la velocidad angular del cuerpo

Capitulo 4 Actitud del aerogenerador


87

El cuerpo externo de un aerogenerador de eje horizontal puede verse como un cuerpo rígido, oblongo, oblato, con un punto de apoyo, a barlovento con respecto al flujo de aire, como se muestra en la figura 4.1.

FIGURA 4.1 Esquema de un aerogenerador de eje horizontal a barlovento.

Como resultado de la acción del viento sobre las palas, se genera un movimiento de rotación sobre ellas. Este movimiento activa un generador eléctrico interconstruido y así se produce la electricidad. Pero el viento ejerce también otra acción sobre este artefacto. Se trata de una fuerza aerodinámica que el fluido provoca en la superficie de la carcasa del aerogenerador, asi como una torca que tiende a hacerlo girar. El cambio de orientación de este cuerpo debido al viento se conoce como el “el cambio de la actitud del aerogenerador”.

En este trabajo se investiga el cambio de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal, debido a la acción del viento sobre su carcasa o góndola.

4.1.1 FUERZAS Y TORCAS

De acuerdo con la mecánica del cuerpo rígido, un cuerpo que pivotea alrededor de

un punto fijo tiene una cantidad de momento angular 𝑳 . Para calcularla se puede imaginar a ese cuerpo como si estuviera constituido por pequeños elementos diferenciales de masa 𝒅𝒎, como se muestra en la figura (2.10). Dicho de otra manera, si se quiere encontrar el momento angular de todo el cuerpo se tiene que integrar las ecuaciones diferenciales en (2.37), ya que cualquier cuerpo material en el espacio euclideo de tres dimensiones cumple con:

= (4.1)



88

donde es la torca o momento de la fuerza que actúa sobre el cuerpo, definida como:

= 𝑟 𝑥

(4.2)

Siendo la fuerza neta total que actúa sobre él.

FIGURA 4.2 Posición relativa instantánea del aerogenerador con respecto, al sistema fijo en el espacio. La dirección del viento coincide (pero en sentido opuesto) con el eje OX. El cuerpo se encuentra apoyado en P.

Continuando con el cálculo, se hacen nuevamente ciertas consideraciones, en donde la góndola del aerogenerador es un sólido que presenta generalmente una distribución axisimétrica de masa, esto es, por la forma como se distribuyen en su interior sus diversos componentes y por la forma elipsoidal de su fuselaje; en tanto, se puede suponer que dos de sus momentos de inercia principales son iguales.

𝐼1 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑂𝑋

𝐼2 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑂𝑌

𝐼3 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑂𝑍

entonces

𝐼2 = 𝐼3 = 𝐼

𝐼1 = 𝐼0

(4.3)

Por otra parte, el punto de apoyo del aerogenerador es aquel donde llega la torre. En la figura ese punto está marcado como P (ver figura 4.2). Desde el sistema fijo al cuerpo, el punto P es aquel cuyo radio vector desde el origen en el centro de masa del mismo es:

𝑟′ = ‖𝑙00‖

(4.4)



89

La fuerza que actúa sobre este artefacto, desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio es:

𝐹 ≡ 𝐹𝐿 + 𝐹𝐴

+ 𝐹𝑔 (4.5)

Donde 𝐹𝐿 es el Levantamiento, 𝐹𝐴

es el arrastre y 𝐹𝑔 es el peso del aparato o góndola, este se aplica en su centro de masa desde este sistema de coordenadas fijo en el espacio. Como se muestra en la figura 4.3.

𝐹𝐿 = ‖

00𝐹𝐿

‖

(4.6)

Donde 𝐹𝐿 , también actúa en el centro de masa y está dirigida paralelamente al eje de las cotas en

sentido positivo o negativo; es decir que desde el sistema fijo al cuerpo, donde esta fuerza viene dada en (3.108)

𝐹𝐿

′= ‖

00

𝜌𝑢Γ𝑐𝑜𝑠𝜃‖

(4.7)

Siendo 𝝆 y 𝒖 la densidad y la magnitud de la velocidad del viento supuestas constantes. Además Γ(θ) representa la circulación de un flujo que envuelve a la carcasa elíptica del aerogenerador. Si el ángulo que tiene el viento (ángulo de ataque) es 𝛼, constante, con relación al eje Ox del sistema fijo al cuerpo, entonces, desde el sistema fijo en el cuerpo es 𝛼 + 𝜃 y tomando la consideración de Kutta (3.158), es :

Γ = 4πU𝑎√(1 − 𝜖

1 + 𝜖) sen α

(4.8)

FIGURA 4.3. Esquema donde se muestra la fuerza 𝐹𝐿

que es la de levantamiento, La fuerza 𝐹𝐴 de arrastre, la masa y la

gravedad, desde el centro de masa CM.



90

La Fuerza de arrastre 𝐹𝐴, está dirigida en el eje de las abscisas del cuerpo y su sentido es opuesto

al viento. Si se considera que la carcasa tiene la forma de un elipsoide de revolución, de acuerdo con la ley integral de Blasius, debe ser nula, Aquí se aceptara este valor.

Es necesario considerar al peso; es decir la fuerza debida a la gravedad; 𝐹𝑔 desde el sistema inercial fijo en el espacio, esta fuerza es

𝐹𝑔 = ‖00

−𝑀𝑔‖

(4.8)

Por lo tanto la Fuerza del peso que actúa sobre el cuerpo se obtiene al multiplicar (2.27) y (4.8) encontrando las componentes de la gravedad en el sistema fijo al cuerpo.

𝐹𝑔 ′= ℝ ∙ 𝐹𝑔 = = ‖

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0

−𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃‖ ‖

00

−𝑀𝑔‖ = ‖

−𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃0

−𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃‖

(4.9)

Por lo tanto la fuerza aplicada neta total, del aerogenerador desde el sistema fijo en el cuerpo es:

𝐹 𝑇𝑂𝑇′ = 𝐹𝐿

′+ 𝐹𝑔

′= ‖

−𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃0

𝜌𝑢Γ𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃‖

(4.10)

Y sus componentes son:

𝐹𝑥′ = −𝑀𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 (4.10a)

𝐹𝑦′ = 0 (4.10b)

𝐹𝑧′ = 𝜌𝑢Γ𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.10c)



91

Finalmente, es posible calcular la torca neta total sobre este cuerpo en la descripción del sistema coordenado fijo a él. Para encontrar la torca, de (4.2) se tiene:

= 𝑟 x

de (4.4) se ve que, 𝑟′ es:

𝑟′ = ‖𝑙00‖

Donde 𝑇𝑂𝑇′ es la torca neta total del aerogenerador con respecto al cuerpo. Sustituyendo en

(4.2) se tiene:

𝑇𝑂𝑇′ = ′𝑥 𝐹 𝑇𝑂𝑇

′ = ‖𝑖 𝑗 𝑙 0 0𝐹𝑥

′ 𝐹𝑦′ 𝐹𝑧

′‖= −𝑗𝑙𝐹𝑧

′

(4.11)

𝑇𝑂𝑇′ = −𝑗𝑙(𝜌𝑢Γ𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑀𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)

(4.12)

𝐴si que de acuerdo con (4.12) las componentes de la torca son:

𝑀𝑥′ = 0 (4.13a)

𝑀𝑦′ = 𝑀𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑢Γ0𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.13b)

𝑀𝑧′ = 0 (4.13c)

Es decir la única componente no_ nula de la torca es 𝑀𝑦

′ .



92

4.1.2. LAS ECUACIONES DE EULER

Si en (2.43) se sustituye (4.1), se encuentran las célebres ecuaciones de Euler que permite estudiar los pivoteos de cualquier cuerpo rígido alrededor de un punto fijo en el espacio.

= 𝕀 ∙ + 𝐱 (𝕀 ∙ 𝒘 )

(4.14)

Estas ecuaciones son las que vinculan las causas de las torcas con los efectos que ellas provocan en los cuerpos que se encuentran en cierto estado inicial de rotación. Escribiendo la ecuación anterior en sus componentes vectoriales, en el sistema de ejes principales,

𝑀𝑥′ = 𝐼1𝑥 + ( 𝐼3 − 𝐼2)𝑤𝑦𝑤𝑧 (4.14a)

𝑀𝑦′ = 𝐼2𝑦 + ( 𝐼1 − 𝐼3)𝑤𝑥𝑤𝑧 (4.14b)

𝑀𝑧′ = 𝐼3𝑧 + ( 𝐼2 − 𝐼1)𝑤𝑥𝑤𝑦 (4.14c)

donde 𝐼1, 𝐼2, 𝑒 𝐼3 son los momentos de inercia del cuerpo, con respecto a OX, OY y OZ respectivamente, cuando estos son los ejes principales del cuerpo. Recordando el caso que aquí interesa, donde el cuerpo del aerogenerador es simétrico axilmente, con respecto a su eje OX y los momentos de inercia alrededor de OY y OZ son iguales, las ecuaciones de Euler para el aerogenerador de eje horizontal son las siguientes de acuerdo a (4.3) y (4.13a),(4.13b),(4.13c).

0 = 𝐼0𝑥 (4.15a) 𝑀𝑦

′ = 𝐼𝑦 + ( 𝐼0 − 𝐼)𝑤𝑥𝑤𝑧 (4.15b)

0 = 𝐼𝑧 − ( 𝐼0 − 𝐼)𝑤𝑥𝑤𝑦 (4.15c)

De (4.15 a) aparece de inmediato un primer resultado importante: 𝑤𝑥 = 𝑘 (𝑐𝑡𝑒) (4.16)

Haciendo uso de la expresión (2.49a), este resultado significa que:



93

𝑤𝑥 ≡ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑘 (4.17)

O también, que

=𝑘

𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝜃 ≠ 0)

(4.18)

Así que el cabeceo del aerogenerador esta acoplado con su movimiento en el ángulo azimutal. Esta condición va a ser de gran utilidad más adelante. Por otra parte, las ecuaciones diferenciales de Euler (4.15a), (4.15b) y (4.15c) se pueden escribir de una forma sugestiva como:

𝐼0𝑑

𝑑𝑡( 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 0

(4.19a)

𝐼𝑑

𝑑𝑡+ ( 𝐼0 − 𝐼)2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑀𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜌𝑢Γ𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

(4.19b)

𝐼𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑜𝑠𝜃) − ( 𝐼0 − 𝐼)𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

(4.19c)

4.2 LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL

4.2.1 LA VELOCIDAD ANGULAR

De acuerdo con lo que se estableció en el capitulo 2, las componentes de la velocidad angular del aerogenerador de eje horizontal, son las siguientes desde el sistema coordenado fijo al cuerpo:

𝑤𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2.46a)

𝑤𝑦 = (2.46b)

𝑤𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (2.46c)



94

FIGURA 4.4. Esquema donde se muestra la fuerza 𝐹𝐿 que es la de levantamiento,

la masa y la gravedad, desde el centro de masa CM. La circulación y las distancias para encontrar la fuerza total neta con respecto al cuerpo.

De donde integrando la primera ecuación (4.19a) se obtiene:

𝑤𝑥 ≡ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑘 (4.17)

Pero recordando la primera componente de la velocidad angular del cuerpo en términos de los ángulos de Euler, se ve que debe cumplirse:

=𝑘

𝑠𝑒𝑛𝜃

(4.18)

(𝜃 ≠ 0)

Ya que la componente x de la Torca es nula. Esto se ve si se acepta que desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio

= 𝐹𝑧 𝐹𝑧 = 𝜌𝑢Γ − 𝑀𝑔

(4.20)

De manera que, desde el sistema fijo en el cuerpo

𝐹𝑧′ = 𝑖′𝐹𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃 − ′𝐹𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.21)

Y la torca:

𝑇𝑂𝑇′ = 𝑟′𝑥 𝑇𝑂𝑇

′ = ‖𝑖′ 𝑗′ ′

𝑙 0 0𝐹𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃 0 𝐹𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃

‖= −𝑗′𝐹𝑧𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃

(4.22)



95

4.2.2 LAS FUERZAS

De acuerdo con (4.10), las componentes de la fuerza que actúa sobre el aerogenerador, desde el sistema coordenado fijo al cuerpo son las siguientes:

𝐹𝑥

′ = 𝐹𝑧𝑠𝑒𝑛𝜃 (4.10a´) 𝐹𝑦

′ = 0 (4.10b´)

𝐹𝑧′ = 𝐹𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.10c´)

4.2.3 LA TORCA. Por lo tanto, la torca que actúa sobre el aerogenerador medida desde el sistema fijo al cuerpo es:

𝑀𝑥′ = 0 (4.23a)

𝑀𝑦′ = −𝐹𝑧 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.23b)

𝑀𝑧′ = 0 (4.23c)

es decir, sólo hay una componente no nula de la torca. Esta componente tiende a hacer girar al aerogenerador alrededor de su eje de las ordenadas.

4.2.4 LAS ECUACIONES DE EULER.

Tomando en cuenta que 𝐼2 = 𝐼3 = 𝐼, en tanto que 𝐼1 = 𝐼0 debido a la simetría del aerogenerador y que únicamente una componente de la torca es no-nula, las ecuaciones de Euler ahora son las siguientes:

𝐼0𝑑

𝑑𝑡( 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 0

(4.24a)

𝐼𝑑

𝑑𝑡+ ( 𝐼0 − 𝐼)2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝐹𝑧 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃

(4.24b)

𝐼𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑜𝑠𝜃) − ( 𝐼0 − 𝐼)𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

(4.24c)



96

Pero de acuerdo con (4.17), (4.24b) y (4.24c) se simplifican de la siguiente manera

+ ( 𝐼0 − 𝐼

𝐼) 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃 = −

𝐹𝑧𝑙

𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃

(4.25b)

𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑜𝑠𝜃) = (

𝐼0 − 𝐼

𝐼) 𝑘

(4.25c)

Derivando (4.25b) con respecto al tiempo

𝜃 + ( 𝐼0 − 𝐼

𝐼) 𝑘

𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑜𝑠𝜃) =

𝐹𝑧𝑙

𝐼𝑠𝑒𝑛𝜃

y sustituyendo en (4.25c)

(4.26)

𝜃 + ( 𝐼0 − 𝐼

𝐼𝑘)

2

=𝐹𝑧𝑙


reescribiendo 4.27

(4.27)

𝑑2

𝑑𝑡2+ (

𝐼0 − 𝐼

𝐼𝑘)

2

=𝐹𝑧𝑙


(4.28)

La ecuación diferencial (4.28) es una de esas ecuaciones que tiene una infinidad de soluciones posibles, pero algunas veces el resultado no es una solución lógica con la fisica, es por esa razón que se debe buscar la solución que satisfaga el sistema. Sean

𝐴 ≡ 𝐼0 − 𝐼

𝐼𝑘 𝑦 𝐵 ≡

𝐹𝑧𝑙

𝐼

(4.29)

La ecuación (4.28) por resolver es:

𝑑2

𝑑𝑡2≡

𝑑

𝑑𝑡≡ 𝜃 = (𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2)

(4.30)

Si se supone que, por regla de la cadena

𝑑

𝑑𝑡≡

𝑑

𝑑𝜃

(4.31)



97

entonces:

𝑑

𝑑𝜃= (𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2)

(4.32)

Por lo tanto;

𝑑 = (𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2)𝑑𝜃 ≡ 𝑑𝑔(𝜃)

𝑑𝜃 𝑑𝜃

(4.33)

donde:

𝑑𝑔(𝜃)

𝑑𝜃≡ (𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2)

(4.34)

asi que integrando:

(𝑡) = 0 + ∫ (𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2)𝜃

𝜃0

𝑑𝜃 = 0 − [𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2𝜃] 𝜃𝜃0

(4.35)

y en consecuencia:

(𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 + 0 − (𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 ) (4.36)

Siendo 𝜽𝟎 y 𝟎 el angulo y su aceleracion medidos en 𝒕𝟎, ellos son todos constantes. Por otro lado, se denotará en adelante como una sola constante a Ω0 como:

Ω0 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 + 0 (4.37) entonces:

(𝑡) = Ω0 − (𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 ) (4.38)

Ahora, multiplíquese por toda la expresión anterior:

(𝑡) ≡𝑑

𝑑𝑡 (

1

22) = Ω0 − (𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 )

(4.39)

o 𝑑2 ≡ 2[ Ω0 − (𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 )]𝑑𝜃 (4.40)



98

Integrando

2(𝑡) = 02+ 2 Ω0(𝜃 − 𝜃0) − 2𝐵(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃0 ) − 𝐴2(𝜃2 − 𝜃0

2) (4.41)

Nuevamente sea:

𝐶2 = 02− 2 Ω0𝜃0 + 2𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃0 + 𝐴2𝜃0

2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (4.42)

Entonces:

2(𝑡) = 𝐶2 + 2 Ω0𝜃 − 2𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2𝜃2 (4.43)

Por lo tanto:

(𝑡) = ± √𝐶2 + 2 Ω0𝜃 − 2𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2𝜃2 (4.44)

Y esta expression se puede escribir como una cuadratura:

𝑡 − 𝑡0 = ±∫𝑑𝜃

√𝐶2 + 2 Ω0𝜃 − 2𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐴2𝜃2

𝜃

𝜃0

(4.45)

Esta es una integral eliptica del tercer tipo. Lo mejor que se puede hacer para resolverla es suponer que el angulo de nutación que barre el A.G. es pequeño; es decir que se puede aceptar la aproximación

𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃

(4.46)

Con esta, es posible escribir el radical en el denominador como:

𝑡 − 𝑡0 = ±∫𝑑𝜃

√𝐶2 + 2 (Ω0 − 𝐵)𝜃 − 𝐴2𝜃2

𝜃

𝜃0

(4.47)



99

𝑡 − 𝑡0 = ±∫𝑑𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴2 )2

− ( Ω0 − 𝐵

𝐴2 )2

+ 2 (Ω0 − 𝐵)𝜃 − 𝐴2𝜃2

𝜃

𝜃0

(4.48)

𝑡 − 𝑡0 = ±∫𝑑𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴2 )2

− ( Ω0 − 𝐵

𝐴2 − 𝐴𝜃 )2

𝜃

𝜃0

(4.49)

𝑡 − 𝑡0 = ±∫𝑑𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴2 )2

√1 −

(

Ω0 − 𝐵𝐴 − 𝐴𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴)2

)

2

𝜃

𝜃0

(4.50)

Ahora es momento de hacer una transformación de variable; sea:

𝑢 =

Ω0 − 𝐵𝐴

− 𝐴𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴 )2

𝑑𝑢 =−𝐴𝑑𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴 )2

(4.51)

Por lo tanto; la cuadratura anterior se convierte en:

𝑡 − 𝑡0 = ±1

𝐴∫

𝑑𝑢

√1 − 𝑢2

𝜃

𝜃0

(4.52)

Eligiendo el signo menos

𝑡 − 𝑡0 = ±1

𝐴[𝑐𝑜𝑠−1𝑢]

𝑢𝑢0

(4.53)

Asi mismo, se puede escoger el valor de 𝑢0 como igual a la unidad, de manera que

𝑐𝑜𝑠−1𝑢0 = 0

(4.54)

𝑢0 = cos 0 = 1



100

Despejando:

𝐴(𝑡 − 𝑡0) = 𝑐𝑜𝑠−1𝑢

𝑢 = cos𝐴(𝑡 − 𝑡0) (4.55)

Entonces, sustituyendo (4.51) en (4.55):

Ω0 − 𝐵𝐴

− 𝐴𝜃

√𝐶2 + ( Ω0 − 𝐵

𝐴)2

= cos𝐴(𝑡 − 𝑡0)

(4.56)

Despejando entonces a 𝜃, se tiene:

𝜽(𝒕) = 𝛀𝟎 − 𝑩

𝑨𝟐 [𝟏 − √𝟏 + (

𝑪

𝛀𝟎 − 𝑩)𝟐

𝐜𝐨𝐬𝑨(𝒕 − 𝒕𝟎)]

(4.57)

Para apreciar mucho mejor esta solución, se harán las siguientes consideraciones:

𝑎 = Ω0 − 𝐵

𝐴2

(4.58)

𝑏 = √1 + (𝐶

Ω0 − 𝐵)2

(4.59)

𝑐 = 𝐴 (4.60)

𝜽(𝒕) = 𝒂 [𝟏 − 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒄𝒕] (4.61)

Rercordando que 𝜽 es el ángulo de cabeceo se puede ver que graficando la solución anterior se encuentra:

𝜃(0) = 𝑎 [1 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(0)] = 𝑎(1 − 𝑏)

𝜃(𝜋 2⁄ ) = 𝑎 [1 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜋 2⁄ )] = 𝑎

𝜃(𝜋) 𝑎 [1 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜋)] = 𝑎(1 + 𝑏)

𝜃(3𝜋2⁄ ) 𝑎 [1 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝜋

2⁄ )] = 𝑎

𝜃(2𝜋) 𝑎 [1 − 𝑏𝑐𝑜𝑠(2𝜋)] = 𝑎(1 − 𝑏)



101

FIGURA 4.5. Grafica del cabeceo en el aerogenerador deacuerdo a la solución (4.61)

Analizando a Ω0 de (4.37), en donde la aceleración inicial de la góndola es cero, por esta

consideración 0 = 0, por lo tanto se tiene:

Ω0 = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃0 + 𝐴2𝜃0 (4.62)

Si se recuerda la la serie del coseno, y se supone que los angulos son pequeños, los terminos de sergundo orden resultan despreciables, asi se obtiene:

Ω0 = 𝐵 + 𝐴2𝜃0 (4.63)

Analizando a la siguiente constante C2 de (4.42) y , recordando la consideracion (4.46) y proponiendo que la velocidad inicial del movimiento de la gondola del aerogenerador sea

cero, esto es 0 = 0, esto es:

𝐶2 = −2 Ω0𝜃0 + 2𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃0 + 𝐴2𝜃02 (4.64)

Encontrando que:

𝐶2 = −2(𝐵 + 𝐴2𝜃02)𝜃0 + 2𝐵𝜃0 + 𝐴2𝜃0

2 (4.65)

𝐶2 = −2𝐴2𝜃0

2 + 𝐴2𝜃02 = −𝐴2𝜃0

2 (4.66)

Entonces: la constante 𝐶

Ω0−𝐵 que se encuentra dentro de la raíz b de (4.59) queda:

𝐶

Ω0 − 𝐵= −

1

𝐴

(4.67)



102

Regresando a la ecuación del angulo de cabeceo (4.57) y sustituyendo el valor de las constantes:

𝜃(𝑡) =𝐴2𝜃0

𝐴2 [1 − √1 − (

1

𝐴)2

cos𝐴(𝑡 − 𝑡0)]

(4.68)

Finalmente, sustituyendo el valor de la constante A dada en la ecuación (4.29) se encuentra:

𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎

[

𝟏 −√

𝟏 +𝟏

(𝑰

𝑰𝟎 − 𝑰)𝟐

𝒌𝟐

𝐜𝐨𝐬 ( 𝑰𝟎 − 𝑰

𝑰) 𝒌𝒕

]

(4.69)

Con la solución (4.69), se encuentra el ángulo de nutación o cabeceo del aerogenerador, notese que está en función del ángulo de posición inicial en el cabeceo, de los momentos de inercia, de la fuerza de levantamiento, del peso de la góndola descritas en (4.10), y simplificadas en (4.29), también es una función de una constante k que debe suponerse como una constante igual a uno, esto signifca que el resultado es solo una escala de k, y de una frecuencia coseno, claro, todo esto en función del tiempo. Esto significa que; el ángulo de nutación o cabeceo de la góndola del aerogenerador, se moverá mediante la función 𝜃(𝑡) y nutará asi, hasta equiparlo con algun medio de control. Pero para encontrar el angulo de precesión 𝜙, aun falta analizar la constante que se encuentra dentro de raíz en el resultado anterior (4.69).

(𝐼

𝐼0 − 𝐼)2

(4.70)

Analizando la relación

𝐼0𝐼

> 1 (4.71)

𝐼0𝐼

− 1 > 0 (4.72)



103

Esto quiere decir que:

(𝐼

𝐼0 − 𝐼)𝑘 =

1

(𝐼0𝐼

− 1) 𝑘 < 1

(4.73)

entonces

[𝐼

𝐼0 − 𝐼𝑘]

2

≪ 1 (4.74)

√1 +

1

(𝐼

𝐼0 − 𝐼)2

𝑘2

= [1 + (𝐼

𝐼0 − 𝐼𝑘)

2

]

12⁄

≈ 1 +1

2(

𝐼

𝐼0 − 𝐼𝑘)

2

(4.75)

Si se toman los elementos cuadráticos como despreciables, la ecuación (4.69) queda:

𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎 [𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 ( 𝑰𝟎 − 𝑰

𝑰)𝒌𝒕]

(4.76)

Para encontrar la velocidad de precesión , se retoma de la ecuacion (4.18) y con la

consideración (4.46):

=𝑘

𝜃(𝑡)

(4.77)

Sustituyendo el resultado (4.76) en (7.77)

=𝑘

𝜃0 [1 − cos ( 𝐼0 − 𝐼

𝐼 ) 𝑘𝑡]

(4.78)

Encontrando asi la velocidad de precesión y recordando que la constante k=1, Integrando se

obtiene finalmente:

𝝓(𝒕) = −𝑰

(𝑰𝟎 − 𝑰)𝜽𝟎 [

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 ( 𝑰𝟎 − 𝑰

𝑰 )𝒌𝒕

𝐬𝐞𝐧( 𝑰𝟎 − 𝑰

𝑰)𝒌𝒕

]

(4.79)

El resultado (4.76), junto con (4.79), constituyen las dos expresiones con las cuales queda descrita la conducta del aerogenerador; es decir, su actitud, ante el flujo de viento que incide sobre él.


104

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El objetivo de esta tesis ha sido la descripción de la actitud de un aerogenerador de eje

horizontal; entendida como la orientación que presenta ante el flujo de aire, cuando éste remonta

su cuerpo. Esa descripción se ha hecho, sobre la base de la mecánica clásica y particularmente

fundamentada en la llamada dinámica del cuerpo rígido. Además, se ha aplicado a este trabajo el

conocimiento sobre la dinámica de fluidos. Tal objetivo se ha cumplido.

Ahora es posible saber que un objeto como la góndola de un aerogenerador de eje horizontal,

presenta dos tipos de movimientos, como respuestas al embate del viento: por una parte, exhibe

una tendencia a girar en forma armónica alrededor de su eje vertical realizando un movimiento

de guiñada o precesion hacia la izquierda o hacia la derecha de la dirección de incidencia

instantánea del viento. Por otra parte, presenta un cabeceo, alrededor de su eje nodal

instantáneo. Ambos movimientos son el resultado de las fuerzas aerodinámicas que se generan

cuando este fluido remonta la superficie elipsoidal del cuerpo externo del aerogenerador.

Pudieron identificarse tres fuerzas aerodinámicas: la fuerza de levantamiento o sustentación, la

fuerza de arrastre, que es la reacción que opone el aerogenerador a la acción del viento y una

tercera, a la que se dio el nombre de fuerza de guiñada, transversal al cuerpo y que en esencia es

del mismo tipo que la de sustentación, debida a la geometría elipsoidal de la gondola pero que,

para un cuerpo del aerogenerador, con simetría axil, es nula. Adicional a esto, con este mismo

procedimiento se pudo mostrar que ninguna torca se genera sobre este objeto. Finalmente, se

puede apreciar en los resultados que 𝜽(t), es una función que depende de la geometría de la

góndola y de la velocidad de precesión, mientras que la velocidad de precesión es una función

del tiempo, del angulo de cabeceo y también de la geometría de la góndola. Esto quiere decir que

si se coloca una góndola sobre un punto fijo (torre) y se deja que el viento la envuelva, cuando

ninguna superficie de control se ha construido en este sistema, la góndola empezará a cabecear

por efectos del viento entre dos ángulos límites, además que comenzará a preceder tal como se

muestra en la figura (C.1).


105

Es por esto que se debe de instrumentar, la góndola del aerogenerador con superficies de control,

ya sean mecánicas o mediante servomecanismos programados y haciendo uso de algoritmos de

control, para poder darle la actitud correcta.

Todo este conocimiento, es de vital importancia para la construcción de aerogeneradores de eje

horizontal, pues, conocidas, tanto las causas, como los efectos de los movimientos del cuerpo

alrededor de sus soportes, y con los resultados matemáticos a los que se llega, es posible diseñar

elementos estructurales que lo aguanten y en su caso, medios para controlarlos.

El control de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal es un tema que se recomienda

continuar en este trabajo, partiendo del conocimiento en esta tesis de Maestría, dándole

continuidad a los resultados obtenidos, programando sensores o servo mecanismos que muevan

actuadores para orientar la góndola en un ángulo controlado donde se aproveche el viento

incidente y aumente la eficiencia de los aerogeneradores de eje horizontal. Esto ya no se hará

aquí, pues forma la esencia de otro trabajo, desarrollado por otros estudiantes de esta misma

SEPI_ESIME_IPN.

FIGURA C.1 . Esquema donde se muestran los dos ángulos de movimiento, el de cabeceo 𝜃(𝑡) y el de precesión 𝜙(𝑡) que se

presentan en el movimiento de la góndola de un aerogenerador, sin superficies de control.

REFERENCIAS Actitud del aerogenerador


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Verba volant scripta manent

(las palabras vuelan, lo escrito queda)

ACTITUD DE UN AEROGENERADOR

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