Actividad 5 Partes a,B,C.

8/15/2019 Actividad 5 Partes a,B,C.

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Instituto Universitario AeronáuticoFacultad Ciencias de la Administración

INGENIERÍA DE SISTEMASMatemática I

Alumno: Andrés Guillermo Figueroa Año: !"#

Actividad 5

Parte A. Individual.

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:

1.Escriba su orma matricial A!"#.2.Escriba su orma vectorial. $erbalice el simbolismo como está %ec%o en lose&em'los del material de lectura obli(atorio di(ital )'ara observar su (rado decom'rensi*n+.,.E-'rese el con&unto soluci*n en t rminos de vectores/ identi i0ue una base devectores 'ara dic%o con&unto.

.Identi i0ue un vector # 0ue 'ertene ca al es'acio (enerado 'or las columnas deA.5.Identi i0ue un vector # 0ue no 'ertene ca al es'acio (enerado 'or las columnasde A.

Punta&e má-imo: 13 'untos.

Resoluci*n.

Para la actividad 2C %ab4a ele(ido el enunciado .

Después de tanto buscar algo original, me tope con una revista de problemas de ingenioy rompecabezas, y mi sorpresa fue mayor cuando ví que muchos de esos problemasque no había querido encarar por demandar mucho tiempo (conocido también comofuerza bruta, ir probando hasta que se encuentra la solución) ahora se tornaban

sencillos y sistemáticos !omé uno de los problemas y me puse a resolverlos, el problema dice así"#ada símbolo en el siguiente cuadrado tiene un valor $l total aparece %unto a una hilerao deba%o de una columna &qué n'mero debe reemplazar a los signos de interrogación

6 7 8 9 ;9 9 9 8 57 6 7 6 <8 9 7 8 5,; = 5> 1

unque no lo creas se resuelven planteando *$+ +o primero que debemos hacer esasignar a cada símbolo una letra

$agina " de "%


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Recordemos como los solucionamos?

Cada s4mbolo en el si(uiente cuadrado tiene un valor. El total a'arece &unto a una %ilerao deba&o de una columna 0u n@mero debe reem'la ar a los si(nos de interro(aci*n;

6 7 8 9 ;9 9 9 8 57 6 7 6 <8 9 7 8 5,

; = 5> 1

#ásicamente los 0ue el 'roblema nos dice es 0ue/ la suma de los valores asociados alos s4mbolos esta re'resentado 'or los n@meros al inal de cada ila o columna.Podemos entender cada ila y cada columna como una ecuaci*n de la 0ue conocemos elresultado de la suma de las inc*(nitas.Podemos reor(ani ar la in ormaci*n y as4 e-'resar todo en ilas.

6 7 8 9 ;9 9 9 8 57 6 7 6 <8 9 7 8 5,6 9 7 8 ;7 9 6 9 =8 9 7 7 5>9 8 6 8 1

$isto de este modo es mas ácil entenderlo como un sistemas de ecuaciones lineales.En ro&o esta resaltado las ecuaciones 0ue debemos resolver.

A%ora vamos a re'resentar el con&unto de datos como un sistema de ecuacioneslineales. Para esto vamos a asi(nar a cada s4mbolo una letra ) /-/y/ + y con esto armarel sistema de ecuaciones.Lue(o a ese sistema lo vamos a resolver 'or el m todo de Bauss Dordan.Con los valores obtenidos vamos a reem'la arlos en las ecuaciones de las 0ue noconocemos el valor.Asi(namos a cada s4mbolo un letra.

67 -8 y9

$agina de "%


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Reem'la amos en la tabla

- y ;y 5

- - <y - y 5,

- y ;- =y - - 5>

y y 1

A%ora e-'resemos la tabla como un con&unto de ecuaciones.

Reor(ani amos las ecuaciones y ordenamos las inc*(nitas de manera 'ara 'oder armarun sistema de ecuaciones lineales. o vamos a tener en cuenta las ecuaciones de las0ue no conocemos el valor.

Fe la resoluci*n de este SEL obtenemos:

Con&unto soluci*n: S=( w , x , y , z )=( 6,18,12,11 )

$agina & de "%

w + x+ y+ z= ¿ ? z+ z+ z+ y= 45

x+ w + x+ w = 48 y+ z+ x+ y= 53

w+

z+

x+

y=

¿ ? x+ z+ w + z= 46 y+ z+ x+ x= 59 z+ y+ w + y= 41

0 w+ 0 x+ 1 y+ 3 z= 452 w+ 2 x+ 0 y+ 0 z= 48

0 w+ 1 x+ 2 y+ 1 z= 531 w+ 1 x+ 0 y+ 2 z= 460 w+ 2 x+ 1 y+ 1 z= 591 w+ 0 x+ 2 y+ 1 z= 41

w= 6 x= 18 y= 12 z= 11


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A%ora reem'la amos los valores obtenidos en las ecuaciones de las 0ue no conocemoslos resultados.

Como vemos/ el resultado es .

$scriba su forma matricial -./

El SEL con el 0ue traba&amos era el si(uiente:

Este sistema de ecuaciones ya esta ordenado y com'leto. Puesto 0ue dos matrices soni(uales si tienen el mismo tamaGo y sus elementos corres'ondientes son i(uales/ es'osible reem'la ar las ecuaciones de este sistema 'or la ecuaci*n matricial.

$agina ' de "%

0 w+ 0 x+ 1 y+ 3 z= 452 w+ 2 x+ 0 y+ 0 z= 480 w+ 1 x+ 2 y+ 1 z= 531 w+ 1 x+ 0 y+ 2 z= 460 w+ 2 x+ 1 y+ 1 z= 591 w+ 0 x+ 2 y+ 1 z= 41

⇒[0 0 1 32 2 0 00 1 2 11 1 0 20 2 1 11 0 2 1

]⋅[w x y z]=[454853465941]⇒ A . X = B

0 w +0 x+1 y+3 z= 452 w +2 x+0 y+0 z= 480 w+1 x+2 y+1 z= 531 w +1 x+0 y+2 z= 460 w +2 x+1 y+1 z= 591 w +0 x+2 y+1 z= 41

1 w+1 x+1 y+ z= ¿?1 w+1 z+1 x+1 y= ¿?

(1⋅6 )+(1⋅18 )+(1⋅12 )+(1⋅11 )= 47(1⋅6 )+(1⋅11 )+(1⋅18 )+(1⋅12 )= 47


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En donde HA es la matri de coe icientes? H! es la matri de variables y H# la matride t rminos inde'endientes.

0 $scriba su forma vectorial 1erbalice el simbolismo como está hecho en los e%emplosdel material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión)

EL SEL 'uede e-'resarse en t rminos de vectores. Para esto es necesario re'ensarlo en

t rminos de vectores.Resulta 0ue el vector # es combinaci*n lineal de los vectores columna de A.Jambi n se dice 0ue # 'ertenece al es'acio (enerado 'or los vectores columnade la matri A.

Cada vector columna re'resenta la cantidad de veces 0ue se re'ite el s4mbolo asociadoa cada letra.Recordemos 0ue asi(namos a cada s4mbolo un letra.

67 -8 y9

La 're(unta es e-isten valores reales 0ue 'uedan asi(narse a las letras de modo tal0ue el vector de la derec%a se obten(a como suma de m@lti'los escalares de losvectores datos; K bien e-isten valores reales 0ue 'uedan asi(narse a las letras de

$agina ( de "%

[020101]

. w +

[021120]

. x+

[102012]

. y+

[301211]

. z=

[454853465941] A1 w+ A2 x+ A3 y+ A4 z= B

B∈Gen { A1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 }


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modo tal 0ue el vector de la derec%a se obten(a como Hcombinaci*n de los vectoresdatos;$isto de esta orma es ácil inter'retar la orma vectorial del SEL.

2 $3prese el con%unto solución en términos de vectores, identifique una base devectores para dicho con%unto

Jodo SEL admite 0ue su con&unto soluci*n se inter'rete/ tambi n/ en t rminos devectores. As4/ la soluci*n 'uede ser un @nico vector/ nin(@n vector o in initos vectores.En el e&ercicio anterior %ab4amos e-'resado el con&unto soluci*n de la si(uiente manera:

A%ora lo e-'resamos en t rminos de vectores.

El con&unto soluci*n es un vector i&o.

4 5dentifique un vector / que pertenezca al espacio generado por las columnas de

El vector C/ 'ertenece al es'acio (enerado 'or las columnas de A/ ya 0ue es la suma dela 'rimera y la se(unda columna de A.

$agina # de "%

S=( w , x , y , z )=( 6,18,12,11 )

S=

{[w

x y z ]

/w = 6 ; x = 18 ;Y = 12 ; z = 11

}=

{6

181211}

C =

[041221

]


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6 5dentifique un vector / que no pertenezca al espacio generado por las columnas de

El vector F no 'ertenece al es'acio (enerado 'or las columnas de A.

$agina % de "%

D=

[15

0400]


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Parte #. Individual.

Retome el SEL de la Actividad # y cambie de modelo matemático. Esto es:

1.Escriba su orma matricial A!"#.2.Escriba su orma vectorial. $erbalice el simbolismo como está %ec%o en lose&em'los del material de lectura obli(atorio di(ital )'ara observar su (rado decom'rensi*n+.

,.E-'rese el con&unto soluci*n en t rminos de vectores/ identi i0ue una base devectores 'ara dic%o con&unto..Identi i0ue un vector # 0ue 'ertene ca al es'acio (enerado 'or las columnas de

A.5.Identi i0ue un vector # 0ue no 'ertene ca al es'acio (enerado 'or las columnasde A.

Punta&e má-imo: 13 'untos.

En la actividad # %ab4amos seleccionado el si(uiente enunciado:

Una empresa fabrica tres tipos de armazones para motociclos: ciclomotor,cross y enduro. Para su fabricación se necesitan unidades de aluminio, fibrade carburo y cromo como se indica a continuación. La empresa posee 400unidades de aluminio, 1500 de cromo y 600 unidades de fibra de carburo. ila empresa utilizó la totalidad de las e!istencias en el "00# $cu%ntasunidades de cada motociclo fabricó&

Aluminio ibra deCarburo

Cromo

Ciclomotor 1 1 2

Cross 1 1 ,

Enduro 1 2 5

Se 0uiere conocer la cantidad de unidades de arma *n de motos abricados.

$agina ) de "%


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Fe acuerdo a la tabla / 'odemos deducir la si(uiente relaci*n.Aluminio

1M Ciclomotor N 1MCrossN 1MEnduro" 33

ibra de Carburo.

1M Ciclomotor N 1MCrossN 2MEnduro"=33

Cromo.2M Ciclomotor N ,MCrossN 5MEnduro"1533

#ien/ a%ora asi(no a las inc*(nitas una letra/ / reem'la o las inc*(nitas y 'lanteo elsistema de ecuaciones lineales.

Ciclomotor: x1Cross: x2

Enduro: x3

La soluci*n encontrada ue:

Concluimos 0ue durante el 233,/ se abricaron 133 arma ones de ciclomotor? 133arma ones de Cross y 233 arma ones de Enduro.

$agina * de "%

x1 + x2+ x3= 400 x1 + x2 +2 x3= 600

2 x1 +3 x2+5 x3= 1500

S ={( x 1 , x 2 , x 3 )/ x 1 = 100, x 2 = 100, x 3 = 200 }


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$scriba su forma matricial -./

El SEL con el 0ue traba&amos era el si(uiente:

Este sistema de ecuaciones ya esta ordenado y com'leto. Puesto 0ue dos matrices soni(uales si tienen el mismo tamaGo y sus elementos corres'ondientes son i(uales/ es'osible reem'la ar las ecuaciones de este sistema 'or la ecuaci*n matricial.

En donde HA es la matri de coe icientes? H! es la matri de variables y H# la matride t rminos inde'endientes.

$agina "! de "%

⇒[1 1 11 1 22 3 5].[

x1 x2 x3]=[

400600

1500 ]⇒ A . X = B

x1 + x2+ x3= 400 x1 + x2 +2 x3= 600

2 x1 +3 x2+5 x3= 1500

x1 + x2+ x3= 400 x1 + x2 +2 x3= 6002 x1 +3 x2+5 x3= 1500


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0 $scriba su forma vectorial 1erbalice el simbolismo como está hecho en los e%emplosdel material de lectura obligatorio digital (para observar su grado de comprensión)

EL SEL 'uede e-'resarse en t rminos de vectores. Para esto es necesario re'ensarlo ent rminos de vectores. As4 el SEL anterior/ se 'iensa como la si(uiente suma de vectores.

Resulta 0ue el vector # es combinaci*n lineal de los vectores columna de A.Jambi n se dice 0ue # 'ertenece al es'acio (enerado 'or los vectores columnade la matri A.

Cada vector columna re'resenta la cantidad de material 0ue se utili a 'ara 'roducir unti'o es'eci ico de arma *n 'ara moto.

La 're(unta es e-isten valores reales 0ue 'uedan asi(narse a las letras de modo tal0ue el vector de la derec%a se obten(a como suma de m@lti'los escalares de losvectores datos; K bien e-isten valores reales 0ue 'uedan asi(narse a las letras de

modo tal 0ue el vector de la derec%a se obten(a como Hcombinaci*n de los vectoresdatos;$isto de esta orma es ácil inter'retar la orma vectorial del SEL.

$agina "" de "%

[112]

. x1+[113]

. x2 +[125]

. x3=[ 400600

1500 ] A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 = B

B∈Gen { A1 ; A 2 ; A 3 ; }


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2 $3prese el con%unto solución en términos de vectores, identifique una base devectores para dicho con%unto

Jodo SEL admite 0ue su con&unto soluci*n se inter'rete/ tambi n/ en t rminos devectores. As4/ la soluci*n 'uede ser un @nico vector/ nin(@n vector o in initos vectores.En el e&ercicio anterior %ab4amos e-'resado el con&unto soluci*n de la si(uiente manera:

A%ora lo e-'resamos en t rminos de vectores.

El con&unto soluci*n es un vector i&o.

4 5dentifique un vector / que pertenezca al espacio generado por las columnas de

El vector E/ 'ertenece al es'acio (enerado 'or las columnas de A/ ya 0ue es la suma dela 'rimera y la se(unda columna de A.

6 5dentifique un vector / que no pertenezca al espacio generado por las columnas de

El vector si bien 'ertenece al es'acio (enerado 'or las columnas de A/ no escoherente con lo que se podría esperar como resultado del problema, ya queno podríamos fabricar una cantidad negativa de armazones de motos

$agina " de "%

S={( x1 , x 2 , x 3 )/ x1 = 100, x2= 100, x3 = 200 }

S={[ x1 x2 x3]/ x1= 100 ; x 2= 100 ; x 3= 200}={100100200 }

E= [225]

F = [− 2

0

− 6]


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Parte C. Individual.Retome la Actividad ,#/ a0uella en 0ue identi ic* los v rtices de la letra 'ara modi icarsu 'osici*n en el 'lano multi'licando matrices/ y cambie el modelo matemático. Lo'ensará como una trans ormaci*n lineal:

1.Identi i0ue la 'rimera trans ormaci*n lineal 0ue identi icaremos 'or J.

Hre le-i*n res'ecto del e&e -

2.Identi i0ue el es'acio de salida y el de lle(ada.

⟼

Es decir/ un 'unto bidimensional es llevado a otro bidimensional a trav s de J.Es'acio de salida :Es'acio de lle(ada:

,.Identi i0ue la e-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de salida.

! J!⟼

La e-'resi*n (en rica del vector de salida es:

X =

[ x

y]$agina "& de "%

T =[1 00 −1]

T :ℝ2 →ℝ2

ℝ2

ℝ2

T [ x y][ x y]


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.Identi i0ue la e-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de lle(ada.

5.Re'ita 1+ 2+/ ,+ y +'ara la se(unda trans ormaci*n lineal 0ue identi icaremos'or S.

O"2

Es'acio de salida y de lle(ada.

Es decir/ un 'unto bidimensional es llevado a otro bidimensional a trav s de S.Es'acio de salida :Es'acio de lle(ada:

E-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de salida

! S!⟼

X =[ x y]

$agina "' de "%

TX =[ x− y]

S= 1 k 0 1

/k ∈ R

S :ℝ2 →ℝ2

ℝ2

ℝ2


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E-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de lle(ada.

=.Re'ita 1+ 2+/ ,+ y + 'ara la com'osici*n de ambas trans ormaciones lineales

0ue identi icaremos 'or .


E-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de salida.

⟼

$agina "( de "%

S=[ x+2 y y ]

T =[1 00 −1]; S =[1 20 1]

TX =[1 0

0 −1].

[ x y]=[

x− y]S∘T ( X )=[1 20 1 ].[ x− y]=[ x− 2 y− y ]

S∘T ( X ) X

X =[ x y]

S∘T :ℝ2 →ℝ2


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.Re'ita 1+ 2+/ ,+ y +'ara la com'osici*n de ambas trans ormaciones lineales 0ue

identi icaremos 'or .


E-'resi*n (en rica de un vector en el es'acio de salida.

⟼

$agina "# de "%

S∘T ( X )=[ x− 2 y− y ]

T = 1 00 −1 ; S =

1 20 1

T ∘S :ℝ

2

→ℝ2

T ∘S ( X ) X

X =[ x y]

SX =

[1 2

0 1 ].

[ x y]

=

[ x+2 y

y ]T ∘S ( X )=[1 00 −1].[ x+2 y y ]=[ x− 2 y− y ]


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