Actividad5A

Olmos Rizzato, Cecilia

Matematica I

Actividad 5A

Enunciado 9 Archivo 3

Una Pyme barrial fabrica papeles para impresora de calidades 1, 2 y 3 utilizando tres sustancias diferentes: AK, BS y CL. La Pyme tiene un stock de 60 unidades de AK, 36 unidades de BS y 66 unidades de CL y el número de unidades de materia prima para fabricar una resma según la calidad es de:

Calidad 1 Calidad 2 Calidad 3

AK 4 4 8

BS 3 2 5

CL 3 6 7

Interesa averiguar cuántas resmas podrá fabricar intentando agotar el stock.

a) Plantee el SEL que modeliza la situación. Previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.

b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y también http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.

c) Construya el conjunto solución. Verifique.d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus conclusiones, grafique

si es posible.e) Demuestre que la solución del SEL no depende del ordenamiento (1ª, 2ª...) que se hace de las

EL al plantear el SEL.f) Suba el trabajo a la plataforma Scribd o similar, tome el código de inserción y embébalo en el

foro de la actividad. Así compartirá con sus pares la respuesta. Cuide de comunicar asegurando que el mensaje llegue de forma clara, correcta y completa.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%7Bx%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1%7D

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/


Matematica I

Resolución

a) Modelamos la situación y explicitamos los datos desconocidos y conocidos:

Datos conocidos:

Stock de sustancias:o AK= 60o BS= 36o CL= 66

Número de unidades de materia prima para fabricar una resma según la calidad

Calidad 1 Calidad 2 Calidad 3

AK 4 4 8

BS 3 2 5

CL 3 6 7

Datos desconocidos:

Cantidad de resmas a fabricar de cada calidad hasta agotar el stock:o Cantidad a fabricar de la Calidad 1 hasta agotar stock, llamémoslo xo Cantidad a fabricar de la Calidad 2 hasta agotar stock, llamémoslo yo Cantidad a fabricar de la Calidad 3 hasta agotar stock, llamémoslo z

Dado el número de unidades de materia prima para fabricar una resma según la calidad y al tener el total en stock con los que contamos de cada sustancia, podemos determinar cuántas resmas podemos realizar hasta agotar el stock de las mismas.Con la información que contamos, nos permite armar 3 EL:

Utilizando la sustancia AKEl stock total de la sustancia AK es 60 lo que es igual a 4 unidades de la calidad 1, más 4 unidades de la calidad 2, más 8 unidades de la calidad 3

4x + 4y + 8z = 60

Utilizando la sustancia BS

El stock total de la sustancia BS es 36 lo que es igual a 3 unidades de la calidad 1, más 2 unidades de la calidad 2, más 5 unidades de la calidad 3


Matematica I

3x + 2y + 5z = 36

Utilizando la sustancia CL

El stock total de la sustancia CL es 66 lo que es igual a 3 unidades de la calidad 1, más 6 unidades de la calidad 2, más 7 unidades de la calidad 3

3x + 6y + 7z = 66

Con las tres ecuaciones anteriores formamos el siguiente SEL que modeliza el problema planteado:

{4 x+4 y+8 z=603x+2 y+5 z=363 x+6 y+7 z=66 }

b) Utilización de paquetes informáticos para resolver el problema

OnlineMSchool


Matematica I

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

4 4 8 60 3 2 5 36 3 6 7 66

Dividamos 1-ésimo por 4 1 1 2 15 3 2 5 36 3 6 7 66

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 3; 3 1 1 2 15 0 -1 -1 -9 0 3 1 21

Dividamos 2-ésimo por -1 1 1 2 15 0 1 1 9 0 3 1 21

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1; 3 1 0 1 6 0 1 1 9 0 0 -2 -6


de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 1; 1 1 0 0 3 0 1 0 6 0 0 1 3

Resultado:x1 = 3x2 = 6x3 = 3


Matematica I

Wolfram Alpha

Wiris

Como podemos observar, desde todos los paquetes informáticos llegamos al mismo resultado, donde el SEL solo admite un valor asignado a cada una de sus variables.


Matematica I

c) Construimos el conjunto solución y verificamos los resultados

S={(x,y,z)/x=3, y=6, z=3}

Verificación: Ecuación utilizando la sustancia AK

4x + 4y + 8z = 60

4(3) + 4 (6) + 8 (3) = 60

12 + 24 + 24 = 60

60 = 60 Se cumple la igualdad

Verificación: Ecuación utilizando la sustancia BS

3x + 2y + 5z = 36

3(3) + 2 (6) + 5 (3) = 36

9 + 12 + 15 = 36


Verificación: Ecuación utilizando la sustancia CL

3x + 6y + 7z = 66

3(3) + 6 (6) + 7 (3) = 66

9 + 36 + 21 = 66


El SEL no admite más que un valor asignado a sus variables. La 3-upla (3,6,3) satisface el SEL.

d) La solución grafica es la intersección de los tres planos construidos a partir de cada ecuación, por lo que es posible graficarla:Para poder graficarla, despejamos la ecuación, dejando sola la variable z:

4x + 4y + 8z = 608z=60-4x-4yZ=60/8-(4/8)x-(4/8)yZ=15/2


Matematica I

Z=-(1/2)x-(1/2)y+15/2

3x + 2y + 5z = 365z=36-3x-2yz=36/5-(3/5)x-(2/5)yz=-(3/5)x-(2/5)y+36/5

3x + 6y + 7z = 667z=66-3x-6yZ=66/7-(3/7)x-(6/7)yZ=-(3/7)x-(6/7)y+66/7


Matematica I

e) Demostrar que no depende del ordenamiento:

Como el primer coeficiente de la primera ecuación no es 1, no importa que ecuación se coloque primera o segunda o tercera, siempre llegamos a la misma conclusión.

Para ello, realizamos el cálculo intercambiando la primera y la segunda ecuación y llegamos a la misma solución:

Solución:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

3 2 5 36 4 4 8 60 3 6 7 66

Dividamos 1-ésimo por 3 1 2/3 5/3 12 4 4 8 60 3 6 7 66

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 4; 3 1 2/3 5/3 12 0 4/3 4/3 12 0 4 2 30

Dividamos 2-ésimo por 4/3 1 2/3 5/3 12 0 1 1 9 0 4 2 30

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 2/3; 4 1 0 1 6


Matematica I

0 1 1 9

0 0 -2 -6


de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 1; 1 1 0 0 3 0 1 0 6 0 0 1 3 Resultado:

x1 = 3x2 = 6x3 = 3

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