Actividades Complementarias de Derivadas
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Actividades complementarias 10 Derivadas Propuesta A 1. Halla la tasa de variación media de la función 2 () 4 fx x = − en los intervalos [ ] 0, 2 y [a, a + h]. 2. Halla la tasa de variación instantánea de las siguientes funciones en los puntos que se indican. a) 3 () 1 fx x = + en 1 x =− b) () 1 x fx x = + en 2 x =− c) () 2 fx x = + en 2 x = 3. Calcula la pendiente de la tangente a la gráfica de las siguientes funciones en los puntos que se indican. ¿Qué ángulo forma la tangente con el eje de abscisas? ¿Cuál es su ecuación? a) 2 () 1 fx x x = + − en x = 1 b) 2 () 3 fx x = + en 1 x =− 4. Dadas dos funciones f(x) y g(x) de las que se conoce f(2) = 3, g(2) = –1, − =− '( 1) 3 g , = '(2) 0 g , = '(3) 5 g , '( 1) 2 f − = y '(2) 4 f = , calcula: a) ( ) + − '( 1) f g b) ( ) · '(2) fg c) ' (2) f g d) ( ) '(2) f g e) ( ) '(2) g f 5. Halla los valores de a y b para que la función 3 1 si 0 () si 0 x x fx ax b x + ≤ = + > sea continua y derivable en x = 0. 6. Si 2 1 () , () 1, () 2 fx gx x hx x x = = + = , calcula: a) ( )'(2) g h b) ( ) '(1) h g f c) ( )'(4) f h g d) ( )'( ) g f h x 7. Se considera la función = + − 3 () 11 fx x x . Calcula la derivada de la función inversa de f(x) en x = –9. 8. Halla la función derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a) 2 () sen ( ) ax x = c) = 2 () arccos ( ) cx x e) () tg(2 ) ex x = b) = () arc sen(2 ) bx x d) ( ) = 2 () arccos dx x f) 2 () tg fx x = . 9. Calcula la derivada de las funciones: a) ( ) = () ln ·cos ax x x c) ( ) = () cos ·ln cx x x e) = () · x ex xe g) = 2 () 2· x gx x b) = () ln ·cos bx x x d) = 2 () x dx e f) = ln () x fx e h) = 1 () ln hx x . 10. La posición respecto del origen, en metros, de un móvil viene dada por la función = − 2 () 3 1 st t , donde el tiempo t viene dado en segundos. a) Halla la velocidad media del móvil en el intervalo temporal [1, 4]. b) Obtén la velocidad instantánea para t = 2 segundos. 11. Teniendo en cuenta que ln(50) ≈ 3,912, calcula mediante aproximación con diferenciales ln(54), ln(46) y ln(40). Compara los resultados obtenidos con los que se obtienen con la calculadora y halla el error relativo que se comete en cada caso. ¿Por qué se comete más error en unos casos que en otros? 12. Se tiene un globo esférico de radio r = 2 m. Por efecto de la dilatación de los gases que contiene, su radio aumenta un dr = 3 cm. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?
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Física y Quimica 3º ESO
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Actividades complementarias
10 DerivadasPropuesta A
1. Halla la tasa de variacin media de la funcin 2( ) 4f x x= en los intervalos [ ]0, 2 y [a, a + h].
2. Halla la tasa de variacin instantnea de las siguientes funciones en los puntos que se indican.
a) 3( ) 1f x x= + en 1x = b) ( )1
xf xx
=
+ en 2x = c) ( ) 2f x x= + en 2x =
3. Calcula la pendiente de la tangente a la grfica de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Qungulo forma la tangente con el eje de abscisas? Cul es su ecuacin?
a) 2( ) 1f x x x= + en x = 1 b) 2( )3
f xx
=
+ en 1x =
4. Dadas dos funciones f(x) y g(x) de las que se conoce f(2) = 3, g(2) = 1, = '( 1) 3g , ='( 2 ) 0g , ='(3) 5g ,'( 1) 2f = y '(2) 4f = , calcula:
a) ( )+ '( 1)f g b) ( ) '( 2 )f g c) '(2)f
g d) ( ) '(2)f g e) ( ) '(2)g f
5. Halla los valores de a y b para que la funcin 3 1 si 0( )
si 0x xf xax b x
+ = + > sea continua y derivable en x = 0.
6. Si 21( ) , ( ) 1, ( )2
f x g x x h x xx
= = + = , calcula:
a) ( ) '(2)g h b) ( ) '(1)h g f c) ( ) '(4)f h g d) ( ) '( )g f h x
7. Se considera la funcin = + 3( ) 11f x x x . Calcula la derivada de la funcin inversa de f(x) en x = 9.
8. Halla la funcin derivada de las siguientes funciones trigonomtricas:
a) 2( ) sen ( )a x x= c) = 2( ) arccos ( )c x x e) ( ) tg(2 )e x x=
b) =( ) arc sen(2 )b x x d) ( )= 2( ) arccosd x x f) 2( ) tgf x x = . 9. Calcula la derivada de las funciones:
a) ( )=( ) ln cosa x x x c) ( )=( ) cos lnc x x x e) =( ) xe x x e g) = 2( ) 2 xg x x
b) =( ) ln cosb x x x d) = 2( ) xd x e f) = ln( ) xf x e h) = 1( ) lnh xx
.
10. La posicin respecto del origen, en metros, de un mvil viene dada por la funcin = 2( ) 3 1s t t , donde el tiempot viene dado en segundos.
a) Halla la velocidad media del mvil en el intervalo temporal [1, 4].
b) Obtn la velocidad instantnea para t = 2 segundos.
11. Teniendo en cuenta que ln(50) 3,912, calcula mediante aproximacin con diferenciales ln(54), ln(46) y ln(40).Compara los resultados obtenidos con los que se obtienen con la calculadora y halla el error relativo que secomete en cada caso. Por qu se comete ms error en unos casos que en otros?
12. Se tiene un globo esfrico de radio r = 2 m. Por efecto de la dilatacin de los gases que contiene, su radio aumenta un dr = 3 cm. Cunto ha aumentado su volumen?
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Propuesta B
1. Halla la tasa de variacin media de la funcin 3( )f x x= en los intervalos [3, 1] y [a, a + h].
2. Halla la tasa de variacin instantnea de las siguientes funciones en los puntos que se indica.
a) 2( ) 1f x x= en x = 3 b) 1( ) xf xx
= en x = 2 c) xxf =)( en x = 1
3. Calcula la pendiente de la tangente a la grfica de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Qungulo forma la tangente con el eje de abscisas? Halla la ecuacin de la normal.
a) ( ) 3 2f x x= + en x = 2 b) 2( ) 1f x x= + en x = 0
4. Dadas dos funciones f (x) y g (x) de las que se conoce f(2) = g(2) = 1, = 3'(1)4
g , = 1'( 2 )3
g , '(1) 2f = y
'(2) 4f = , calcula:
a) ( )+ '(1)f g b) ( ) '( 2 )f g c) '(2)f
g d) ( ) '(2)f g e) ( ) '(2)g f
5. Halla los valores de a y b para que la funcin 2 1 si 1( ) si 12 2
ax bx xf x xbx +
= >
sea continua y derivable en todo R.
6. Si =1( ) xf x x e en (0, +), calcula la derivada de la funcin f(x) en x = ln 4, es decir, '(ln4)f , y la ecuacin dela recta tangente a f(x) en ese punto.
7. Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonomtricas:
a) = 2( ) cos ( )a x x c) ( ) cos(2 ) tg(2 )c x x x= e) 1( ) arctge xx
=
b) 2( ) arcsen( )b x x= d) 2( ) secd x x= f) 1( ) arctg1
xf xx
= +
8. Calcula la derivada de las funciones:
a) = 2( ) 5 xa x c) =( ) ln( )xc x e e) ( )( ) arctge x x= g) = 21( ) log
3g x
x x
b) ( ) ( 1) xb x x e= d) = 3( ) 3 xd x x f) =( ) lnf x x h) 1 sen( ) ln1 sen
xh xx
=
+
9. La curva de ecuacin + + + =3 2 23 28 0x x y y pasa por el punto (2, 2). Calcula la derivada de la funcin y enese punto. Cul es la ecuacin de la tangente a la curva en ese punto?
10. Halla la derivada de las funciones siguientes aplicando la derivacin logartmica.
a) = ( ) 5 4xf x x b) ( )= + 2( ) 3 1 xg x x
11. Halla la funcin diferencial de las siguientes funciones:
a) +=+
7 45
xyx
b) ( )0senx A t= +
12. Utiliza diferenciales para aproximar el valor de 3,0015 4 3,0013 3 3,001 y compara el resultado con elnmero obtenido directamente con la calculadora.
