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Actividades

I Números reales

Una empresa de telecomunicaciones encarga a tres de sus operarios la instalación de una red local deordenadores para un centro administrativo. Por todo el trabajo de instalación reciben un total de 7 872 €. Si cada operario monta 48, 54 y 62 ordenadores, respectivamente, ¿cuánto ha de percibir cada uno por eltrabajo realizado para repartirse de forma justa los 7 872 €?

Dos miembros de una expedición recorrieron 25 km en sentidos opuestos. La hora de partida fue simultánea,las nueve y cuarto de la mañana. Uno se encontró con terreno más complicado y caminó a una velocidad de4 km/h, mientras que el otro lo hizo a 6 km/h.

a) ¿A qué hora se encontraron los dos miembros de la expedición?

b) ¿Cuántos kilómetros caminó cada uno hasta encontrarse con el otro?

La unión de intervalos, �, incluye todos los números reales de cada uno de los intervalos. La intersección deintervalos, �, incluye los números reales que se encuentren a la vez en los intervalos. Dados los intervalos I � [2, 6), J � [–1, �] y K � (1,5, 4), describe el conjunto de los números reales que forman los intervalosresultantes en cada apartado y represéntalos en la recta real.

a) I, J y K

b) I � J, I � J

c) I � J � K

d) I � J � K

En la figura, se representan dos rectángulos ABCD y EFGH. Las aproximaciones a las unidades de los lados de ambos rectángulos son: AB � 10 cm, BC � 6 cm, EF � 5 cm y FG � 3 cm, con todas las cifras redondeadas a la unidad.

a) Calcula cada intervalo en el que se encuentran los valores exactos de los lados de ambos rectángulos, AB,BC, EF y FG.

b) Si las medidas de las áreas máximas y mínimas de los rectángulos ABCD y EFGH son:

Área ABCDmax � 10,5 � 6,5 � 68,25 cm2 y Área ABCDmin � 9,5 � 5,5 � 52,25 cm2

Área EFGHmax � 5,5 � 3,5 � 19,25 cm2 y Área EFGHmin � 4,5 � 2,5 � 11,25 cm2

Calcula el área sombreada máxima.

c) Halla el área sombreada mínima.

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sA B

D C

E F

GH

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Actividades

II Radicales

En 22,4 L de cualquier gas hay 6,023 � 1023 moléculas. ¿Cuántas moléculas habrá en el interior de una botellavacía que tiene una capacidad de 250 cm3? Expresa el resultado en notación científica, redondeado a trescifras significativas.

Opera y simplifica la siguiente operación de potencias:

[(a2/3 � a10/25)15/6] : [(a1/2 � a�3/2)2/3]�1/4�

Demuestra con un contraejemplo que las siguientes afirmaciones son falsas:

a) La raíz cuadrada de cualquier número real positivo es siempre menor que dicho número.

b) El producto de dos números irracionales distintos es siempre otro número irracional.

Opera, racionaliza y expresa el resultado simplificado:

a) ��5

f 2

f 3��

b) ��

4

5

2

2

+

�

32

4�2��

c) ��a2

a

+

2 �

2�a

b

b

2

+ b�2��

d) �x �

�x�2�

�

x

�y� +

y�y

� �

Calcula:

a) ��1

a�� + �

3�2

a�� + a � �

a��a�

a�+ 1� � �

9�1

a�� + �

18

8

�a��

b) ��1

x�� + ��x�

x +

�

y

�y�� : ��x

x��

+ �y

y��

�1

y�� y � x �

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0S4MTCR-AA-02.qxd 12/7/07 15:03 Página 3

Actividades

III Polinomios

Una máquina realimentada funciona de la siguiente manera: entra en ella una fracción f � �ba

� y se obtiene,

como salida, el valor numérico que resulta de sustituir esta fracción inicial en la fracción algebraica �11

�

�

ff

� .

Este resultado, que es la primera salida, se toma como una nueva entrada y se repite el proceso para

obtener así otro resultado, que es la segunda salida.

a) ¿Cuál es la primera salida que se obtiene si se comienza el proceso con la fracción f � �25

� ?

b) ¿Cuál será la cuarta salida?

c) ¿Cuál será la salida número 1 000?

El lado más corto de un rectángulo de 10 cm de perímetro mide x cm.

a) Calcula el área del rectángulo, expresándolo en términos de x.

b) Demuestra que si el área del rectángulo mide 6 cm2, se cumple la igualdad x2 � 5x � 6 � 0.

c) Descompón factorialmente el polinomio x2 � 5x � 6. ¿Qué representan las raíces de este polinomio?

Escribe la descomposición factorial de los polinomios que cumplen estas condiciones:

a) El grado del polinomio P (x) es 3; sus raíces son x � 1, x � �2 y x � 3, y el coeficiente del término de mayorgrado es 2.

b) El grado del polinomio Q(x) es 3; x � 1 es una raíz doble, x � 2 es una raíz simple, y el coeficientedel término de mayor grado es 5.

c) El grado del polinomio R(x) es 2, sus raíces son r y s, y el coeficiente del término de mayor grado es n.

d) ¿Cuál es el polinomio del apartado anterior? Encuentra una relación entre sus raíces y el coeficiente del término de grado 1, y entre sus raíces y el término independiente.

El valor numérico de una fracción algebraica puede no existir si el resultado muestra la forma �n0

�. Cuando el

resultado del valor numérico de una fracción algebraica es �00

�, se debe a que se anulan el numerador y el

denominador para dicho valor a. Por el teorema del resto, esto significa que ambos términos de la fracciónson divisibles entre (x � a), por lo que se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos enfactores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.Calcula el valor numérico de estas fracciones algebraicas, y si no existen, halla el verdadero valor, si lo tiene:

a) F(x) � �x2 �

3x5�

x �

66

� para x � 3 c) F(x) � �x2

3�

x �

x �

66

� para x � �2

b) F(x) � �x2

2�

x2

3�

x �

82

� para x � 2 d) F(x) � �xx3

2

�

�

34xx2� para x � 0

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1� f1� f


Actividades

IV Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Se está diseñando la caja que contiene un reproductor de MP3. Las dimensiones óptimas de la caja siguen las siguientes relaciones: el largo es 3 cm mayor que el alto, mientras que el ancho es 2 cm mayor que elalto. El volumen total de la caja es de 280 cm3. Halla las dimensiones de la caja. Para ello, plantea primerouna ecuación que resuelva el problema e indica de qué tipo es. Después, resuelve el problema con lasolución de la ecuación.

El depósito de combustible de un Fórmula 1 se llena mediante dos mangueras en 7 s. Una de las dos tiene elpaso más estrecho y aporta combustible a un ritmo menor: 2 s más lento. Halla el ritmo de llenado de lasmangueras. Plantea primero una ecuación que resuelva el problema e indica de qué tipo es.

Una pelota de golf lanzada al aire sigue una trayectoria cuya altura, h, se puede conocer al cabo de untiempo, t, mediante la ecuación h � xt � yt2. Experimentalmente, se ha comprobado que cuando llega a los40 m de altura han pasado 2 s, y que alcanza los 45 m a los 3 s.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para hallar x e y.

b) Resuelve el sistema de ecuaciones, y escribe la ecuación de la trayectoria altura-tiempo que sigue lapelota en ese experimento.

Tres números enteros suman 7. La suma de los dos números menores menos el tercero es �1. Además, lasuma del doble del primero y el segundo menos el tercero es 0.

a) Con los datos del problema, plantea un sistema de ecuaciones que lo resuelva.

b) Calcula los tres números del enunciado.

La trayectoria que sigue una hormiga sobre el suelo sigue la ecuación x � y � 5, donde x es el tiempo en segundos e y, la distancia en cm. Sobre la misma zona, una mantis religiosa hambrienta persigue a la hormiga, de forma que la ecuación de esta trayectoria es 2y � x � 1.

a) ¿Cuándo y dónde atrapará la mantis a la hormiga? Representa gráficamente las trayectorias de losinsectos.

b) Si la mantis siguiese la ecuación y � �x � 3, ¿conseguiría atrapar a la hormiga?

Resuelve la ecuación y el sistema de ecuaciones siguientes:

a) �3

67x �� 2x2 �� 65� � x � 1 b) xy � �6x � y � 1 �

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Actividades

V Inecuaciones

Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con las condiciones dadas:

a) 3x � 1 � 23, si x es un número entero negativo.

b) 4x � 8 � x � 40, si x es un número par.

c) �110�x � � � �

35

� � �2�, si x es un número múltiplo de 2 y de 5, y menor que 50.

Halla el mayor número primo, tal que x2 500.

Halla un valor entero de x que cumpla x �200� x � 1.

¿Para qué valores de x el polinomio 2x � 1 tiene valores numéricos mayores que �x � 10?

Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de números y potencias cuya base es unavariable, como por ejemplo 3x2. Una exponencial es una expresión formada a partir de potencias, pero elexponente es una variable, por ejemplo, 2x. El valor numérico de 2x para x 4 es 24 16. Contesta lassiguientes preguntas considerando que la x solo puede tomar valores enteros.

a) ¿Cuál es el número entero más pequeño que verifica que 2x � 100?

b) ¿Cuál es el número entero más pequeño que verifica que ��14

��x

�3100�?

c) ¿Cuál es el menor número entero que satisface xx � 1 000?

Para resolver la inecuación �1x

� �12

� se eliminan los denominadores realizando el producto cruzado, de forma

que se obtenga 2 x, es decir, x � 2. Pero al comprobar con x �1 2, se verifica la inecuación �1 �12

�.

a) ¿Dónde está el error?

b) Resuelve adecuadamente la inecuación anterior.

Un operario tiene que realizar una tarea en dos jornadas, x e y, en menos de 10 h. Además, el número de horas trabajadas el primer día debe ser menor o igual que las trabajadas el día siguiente más 4 h de trabajo secundario.

a) Plantea el sistema de inecuaciones y resuélvelo gráficamente. Recuerda que como las horas trabajadasson un número natural, hay que tomar solo los puntos con coordenadas naturales dentro del recintocreado.

b) ¿Cuántas horas como máximo puede trabajar el primer día? ¿Cuántas trabajaría el segundo?

c) ¿Podría trabajar 5 h el primer día? ¿Por qué?

d) ¿Cuáles son todas las formas posibles de repartirse el horario de trabajo en las dos jornadas?

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Actividades

VI Semejanza

En la siguiente figura, los triángulos de vértices ABC y ADE son semejantes. Halla x.

La figura siguiente representa dos triángulos rectángulos semejantes, ABC y AC�C:

a) Demuestra que x 2 � m(m + n).

b) Halla una expresión análoga para y2.

c) Comprueba el teorema de Pitágoras con las expresiones de x 2 e y2.

Un rectángulo de 13 cm por 7 cm es semejante a otro de 3 cm por x cm. ¿Cuáles pueden ser los valores de x?

Un supermercado ofrece una tarrina de quesitos con un 10 % extra de contenido al mismo precio que latarrina original. La tarrina original es un cilindro de 2 cm de espesor y de 12 cm de diámetro. La tarrina conel 10 % extra tiene el mismo espesor, ¿cuál es su radio?

Dos prismas rectangulares de aristas a, b y c y a�, b� y c� son semejantes de razón r �a�––a

.

a) Calcula sus volúmenes.

b) Halla la razón de semejanza entre sus volúmenes.

Las esferas son siempre objetos semejantes. Si además son homogéneas y del mismo material se pueden usar

las razones de semejanza conociendo sus masas puesto que su densidad m––V

es la misma. Si un rodamiento

esférico tiene una masa de 0,14 kg y otra esfera del mismo material y composición tiene un radio de 10 cm y

una masa de 17,5 kg ¿qué radio tiene el rodamiento?

2

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1

2

A

34

C

B

DE

x


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A

C BCm

x y

n�

13 cm

7 cm


Actividades

VII Razones trigonométricas de ángulos agudos

Halla los lados indicados con una incógnita en las siguientes figuras:

a) c) e)

b) d) f )

Halla el ángulo indicado de las siguientes figuras:

a) c)

b) d)

Una tiza rectangular de 10 cm por 1 cm está apoyada sobre una pizarra vertical de la forma siguiente:

¿Cuál es la altura del punto más alto de la tiza?

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2

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s1 cm

25º

piz

arra 10 cm

31º 42º

x

y

9

50

x

65º

y

60º10

x

33º

28º

12

x

27º

y 39º

7

x 50º3

x

41º

10

5

15

x

70º56º

8

x

M

39º

20

3020º

x

15º30

x

40º

39º

(punto medio)


Una hoja DIN A4 de 29,7 cm por 21 cm se dobla hasta hacer coincidir las esquinas opuestas. ¿Qué longitudtiene la raya del pliegue?

Deduce la relación fundamental o el teorema de Pitágoras trigonométrico con los valores que aparecen en eltriángulo rectángulo adjunto.

En la actualidad están de moda las actividades de orientación. En ella se utilizan los rumbos. Un rumbo es ladirección formada por los ángulos tomando como origen la aguja de la brújula y el giro en el sentido de lasagujas del reloj. Es decir, que el origen siempre es el rumbo norte o 0º. En una prueba de orientación unparticipante recorre 500 m con rumbo 100º y cambia a rumbo 160º para recorrer otros 600 m.

a) Dibuja un esquema del recorrido.

b) Halla la distancia entre el punto inicial y el final.

c) Halla el rumbo que hubiese tomado si hubiese realizado el recorrido en línea recta.

De la siguiente figura halla DC sabiendo que AC � 10 m y que BD � 6.

Un cohete pirotécnico se eleva en tres fases. En la primera asciende verticalmente 100 m. En la segunda sigueun ángulo de 15º con la vertical y vuela otros 20 m. En la última fase, vuela 5 m con 25º respecto a la verticaly estalla formando un fuego artificial.

a) Dibuja un esquema del recorrido.

b) Halla la altura del cohete en el momento de estallar.

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VII Razones trigonométricas de ángulos agudos

Actividades

A C

B

D

42º

b

�

a

r


Actividades

VIII Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Determina el valor de α en cada caso, sabiendo que es un ángulo del primer giro positivo y:

a) sen 57º � cos α, si 0º < α < 90º.

b) cos 78º � �cos α, si π rad < α < 3π

–––2

rad.

c) tg 41º � tg α, si α ∈ III cuadrante.

d) sen 280º � �sen α, si α ∈ II cuadrante.

Haz una tabla con ayuda de una calculadora con senos de los ángulos desde 0º a 360º que se diferencien en30º. Dibuja una gráfica de y � sen α entre 0º < α < 360º. Utiliza como escala 1 cm por cada 30º en el eje X y 5 cm como 1 unidad en el eje Y.

a) Haz una tabla con ayuda de una calculadora con las tangentes de los ángulos desde 0º a 360º que sediferencien en 30º. Dibuja la gráfica de y � tg α. Utiliza como escala 1 cm por cada 30º en el eje X y 1 cmpara 1 unidad en el eje Y.

b) Dibuja las rectas verticales que pasan por α � 90º y α � 270º. Estas líneas se denominan asíntotas de lacurva. Para los valores de α cercanos a 90º y 270º la curva se acerca a las asíntotas pero nunca las toca.

Halla dos soluciones de α entre 0º y 360º, si:

a) sen α � 0,896

b) cos α � �0,433

c) tg α � 2,77

d) cos α � 0, 777

e) tg α � �4

f ) sen α � �0,05

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Halla todas las soluciones entre 0º y 360º de la ecuación cos2 α �1––4

.

El segmento OP viene definido por el origen y el punto P(�4, 3), y forma un ángulo α con el semieje positivo deabscisas. Otro segmento tiene su origen en P y final en el punto Q(�6, 5). El segmento PQ forma un ángulo βcon el OP. Halla los ángulos α y β.

La ley de Snell permite calcular los ángulos de incidencia o refracción que producen los rayos de luz alatravesar distintos medios. La ley se puede expresar como: n1� sen α � n2� sen β, donde α es el ángulo deinicidencia, β es el ángulo de refracción, y n se conoce como índice de refracción. Para determinados ángulosno se produce refracción sino que se refleja rebotando la luz sobre el segundo medio; en esos casos, la ley nose cumple. Para n1 � 1,1 y n2 � 1.

a) Calcula el valor de β para los siguientes valores de α: 0º, 20º, 40º, 60º, 80º, 90º.

b) ¿Existe algún ángulo mediante el cual rebote el rayo de luz, es decir, se refleje en vez de refractarse?

Resuelve: cos α � 2 · sen α.

Un vehículo se mueve a velocidad constante entre dos puntos A y C, pero pasa antes por una población B. Latrayectoria es recta entre A y B, y entre B y C. El ángulo con vértice en B que forma la trayectoria ABC es de135º. A velocidad constante tarda 1 hora entre A y B, y 3 horas entre B y C. ¿Cuánto tardaría si pudiese ir enlínea recta entre A y C?

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VIII Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Actividades


Actividades

IX Vectores

Dados los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), calcula:

a) La distancia entre A y B. c) El módulo de AB→

.

b) El punto medio entre A y B. d) El vector BC→

� AB→

.

Dado el punto O (0, 0) y A (2, 0) halla las coordenadas de un punto B tal que el triángulo OAB sea equilátero.

Dos vectores u→y v→ tienen la misma dirección si v→�� ku→. También se dice en este caso que u→y v→ sonlinealmente dependientes. Si la anterior relación no se cumple significa que no tienen la misma direccióny que son linealmente independientes. Verifica si las siguientes parejas de vectores tienen la mismadirección e indica cuándo son linealmente independientes.

a) a→� (2, 3) y b→

� (6, 9) c) a→� (5, 2) y b→

� (�1, 3)

b) a→� (�3, 4) y b→

� � 9––21

, �8––14� d) a→� (5, 2) y b

→� (10, 6)

Dos vectores u→ y v→, que tienen distinta dirección, pueden generar al resto de los vectores libres medianteexpresiones de la forma w→� au→� bv→ siendo a y b dos números reales. En ese caso se dice que w→escombinación lineal de u→y v→, y que u→y v→ forman una base que genera todo el plano XY. Dados u→� (6, �8), v→� (1, �2) y w→� (�2, 6):

a) Comprueba que u→y v→ forman una base.

b) Expresa w→como combinacion lineal de u→y v→.

Dos vectores u→y v→ tienen de módulo |u→|� 8 y |v→|� 5. Se sabe que la dirección de u→es la dirección del eje Xy su sentido el OX mientras que v→ tiene la dirección del eje Y y su sentido el OY. Halla:

a) El vector w→� u→� v→.

b) El módulo de w→.

Muchas magnitudes físicas son vectoriales, por ejemplo, la fuerza, la velocidad y la aceleración. En el caso delas fuerzas la unidad de medida es el newton, N. Una fuerza de 10 N indica que su intensidad alcanza esevalor, es decir, que su módulo es de 10 N. Dadas dos fuerzas perpendiculares que actúan sobre una masacomo se ve en la figura, halla:

6

5

4

3

2

1

a) La suma de las fuerzas que actúan sobre la masa de forma gráfica y numérica.

b) La intensidad de la misma.

c) La dirección y el sentido en el que se moverá la masa.


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s4N

3N


Actividades

X Ecuaciones de la recta

La concentración de dos productos químicos, C y K, en una reacción viene dada por una ecuación de la formaK � mC + p. En un experimento se obtienen los siguientes valores numéricos de las concentraciones:

Dibuja la gráfica de la recta y deduce los valores de m y de p que le corresponden. Escribe la ecuaciónexplícita resultante.

Un biólogo observa la evolución de un cultivo de bacterias a través del microscopio. El cultivo se encuentraen una solución acuosa junto con un nuevo fármaco. Por la acción del fármaco, el número de bacteriasdesciende paulatinamente. La siguiente tabla representa el número de bacterias que ve el biólogo cada 3minutos a través del microscopio.

a) Representa gráficamente en el eje X el tiempo, y en el eje Y el número de bacterias.

b) ¿Cuándo habrán desaparecido todas las bacterias?

c) ¿A qué ritmo desciende la población de bacterias?

d) Determina la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos anteriores.

e) ¿Cuál será el número de virus que habrá a los 12 minutos? ¿Y a los 10?

f ) ¿La ecuación anterior es válida siempre o hay que indicar para qué conjuntos numéricos es válida?

Dada la recta r de ecuación 2x – 2y + 5 � 0 y la recta s de ecuación �3x + 2y – 6 � 0, determina el ánguloagudo que forman entre sí.

Dada la recta r de ecuación x – 3y � 1 � 0 y la recta s de ecuación x � 2y + 3 � 0, determina el ánguloagudo que forman entre sí.

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3

2

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C 1 2,4 3,6 4,2 5,8

K

Tiempo:0 m

* * * * *

* * * * *

* * * * *

Tiempo:3 m

* * * * *

* * * *

* * * *

Tiempo:6 m

* * * *

* * * *

* * *

Tiempo:9 m

* * *

* * *

* * *

4,0 6,1 7,9 8,8 11,2


Actividades

XI Características de una función

A partir de la siguiente gráfica:

a) Determina su dominio.

b) Halla los límites laterales en x � �1.

c) Halla los límites laterales en x � 5. ¿Qué te indican esos resultados?

d) Estudia su continuidad.

A partir de la siguiente gráfica:

a) Determina su dominio y su recorrido.

b) Halla los límites laterales en x � �1.

c) Halla los límites laterales en x � 0. ¿Qué te indican esos resultados?

d) Halla los límites laterales en x � 2.

e) Estudia su continuidad.

f ) ¿Tiene asíntotas?

Halla el dominio y el recorrido de la función f(x) � �––9––x2 � 1.

Escribe una función con cada una de las siguientes características:

a) Dom f(x) � � � {�2}.

b) Tiene una asíntota vertical en x � 1.

4

3

2

1


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X

Y

O

3

5

2

1

�1�1

X

Y

O

32

2�1�1

�3


Dada la función definida a trozos f(x) �

a) Represéntala gráficamente.

b) Determina su dominio y recorrido.

c) Estudia su continuidad.

Dada la gráfica de la función f(x) � 12–––x

� x – 6 definida en el intervalo (0, � � ). El punto más bajo de la

gráfica correponde a x � 2√3–.

Halla la TVM en [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5] y [5, 6].

Dada la función f(x) �

Dibuja su gráfica y determina su dominio y recorrido.

7

6

5


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XI Características de una función

Actividades

�3

––––x�1

si x � 2

6 si 4 � x � 7

�x � 7 si x � 7

�2

X

Y

O

321

2 31 4 6 75 8 109

654

987

10

11

��2 si x < �1

�x � 1 si �1 � x < 4

3 si x > 4


Actividades

XII Función afín y función cuadrática

La pendiente de la recta tangente en un punto de una función expresa la derivada de la función en ese punto.

Se puede obtener la derivada de una función en un punto trazando la recta tangente a la gráfica de la función en

ese punto. Como la recta tiene una pendiente fija a se calcula mediante TVM[x1, x2] � ––––––f(x2) � f(x1)–––––– � a, siendo

f (x2) – f (x1) la altura entre dos puntos de la recta tangente, y x2 – x1 la anchura entre dichos puntos. Se trata de

un procedimiento muy aproximado, por tanto hay que dibujar con precisión. Una forma adecuada de actuación

es repetir el dibujo varias veces y hacer la media de los resultados obtenidos.

Dibuja la gráfica de f(x) � x2 � 3x en el intervalo [�2, 5] con la siguiente escala: 1 cm � 1 unidad para la x; 1 cm � 1 unidad para la y. Halla mediante el procedimiento gráfico:

a) La derivada de la función en x � 3. Redondea el resultado a una cifra entera.

b) La derivada de la función en x � �1. Redondea el resultado a una cifra entera.

c) El valor de la x para el cual la derivada de la función es 0.

d) Explica qué es el punto anterior para la función y si representa un extremo relativo.

A partir de la siguiente tabla que relaciona la fuerza que se ejerce sobre un muelle y la longitud de este,encuentra la ecuación de la función afín (conocida por ley de Hooke ) que determinan al llamar f(x) a lafuerza y x a la longitud.

2

1

a) ¿Qué fuerza se debe ejercer para que la longitud sea de 0,62 m?

b) ¿Qué longitud adquirirá con una fuerza de 15 N?

c) Haz la representación gráfica de la función sabiendo que el muelle está completamente comprimido parax � 0 m y que se rompe para x � 0,80 m. ¿Qué dominio y recorrido tiene?

Una función se construye con esta frase: «Piensa un número y elévalo al cuadrado. Si te da más de 49 divide elcuadrado entre 2».

3

a) Rellena la tabla y haz una representación gráfica.

b) Halla la ecuación de la función.

c) Estudia su continuidad y crecimiento.

d) Determina su dominio y recorrido.


Ma

te

má

ti

ca

s

x2 – x1

xx ((eenn mm)) 0,50 0,53 0,56 0,61 0,64

ff((xx)) ((eenn NN))

xx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ff ((xx))

10,0 10,6 11,2 12,2 12,8


Actividades

XIII Funciones inversa, exponencial y logarítmica


Ma

te

má

ti

ca

s

Una progresión geométrica se puede considerar como una función exponencial restringida a los valores natura-les de la x. Si la función exponencial se expresa como f(x) � k � r x, la progresión geométrica se expresa como an � a1 · r n�1. Las tasas de crecimiento o de decrecimiento de poblaciones de bacterias siguen ritmos exponen-ciales o de progresión geométrica.

Un cultivo biológico empieza en t � 0 con una única bacteria que se reproduce por bipartición, de maneraque el número de bacterias se dobla cada 5 minutos.

a) Dibuja una gráfica que muestre el crecimiento desde t � 0 hasta t � 60 minutos. Los pasos deben ser cada5 minutos.

b) Haz una estimación que muestre cuánto tardará en haber 600 bacterias.

c) Halla la ecuación de la función exponencial y de la progresión geométrica de este proceso biológico.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) �1––2

c) 22x � 3 � 8

b) � 7

–––14

d) 25x � 3 � 125

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) log3 x � log3 y � �1 c) 2 log x � log y � 1

2 log3 x �3 log3 y � 13 2 log x � 2 log y � 3

b) log2 (x � y) � �1 d)

2 log2 x �3 log2 y � 13

Existe un número irracional tan importante como π que se denomina número e, cuyo valor aproximadoes 2,718 281828459... El número e es la base de los denominados logaritmos naturales o neperianos ytambién es la base de la función exponencial f (x) � k � ex. Se expresan como ln N � x ⇒ ex � N.En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N � N0 � ekt era válida paradeterminar el crecimiento de la población mundial al tomar t en años.

Si la población inicial N0 � 10 personas y mantiene una tasa de crecimiento N � 10 � e0,1 · t medido t en años.

a) ¿Cuántas personas habrá al cabo de 10 años? ¿Y al cabo de un siglo?

b) Despeja t de la ecuación N � 10 · e0,1 � t.

c) ¿Cuándo habrá 1000 personas?

4

3

2

1

2 � 3x � 2y+1= 19

3x �3 � 2y+1= 6

�

�

�

�

log3 x

6

4

log2 x


Actividades

XIV Estadística

Los datos incluidos en una tabla de frecuencias pueden ser usados para calcular frecuencias acumuladas.Cuando estos nuevos valores se sitúan sobre una gráfica, forman una curva de frecuencias acumuladas,también denominada curva en forma de S u ojiva. De ella se obtienen gráficamente los cuartiles. Cuando losdatos son continuos se suelen agrupar los datos en intervalos denominados intervalos de clase. En unaencuesta sobre el salario de los españoles se pregunta a 2000 personas. Los resultados se muestran en estacurva de frecuencias acumuladas.

a) ¿Cuántos trabajadores ganan menos de 2000 €/mes?

b) ¿Cuántos trabajadores ganan más de 1000 €/mes?

c) Halla la mediana y el rango intercuartílico.

Un veterinario pesa a las crías de conejo de una granja. La siguiente tabla muestra dichos pesos:

a) Dibuja, aproximadamente, la curva ojiva.

b) Halla la mediana y el rango intercuartílico.

En un histograma, la frecuencia de los datos viene dada por el área de cada barra. El eje vertical de un

histograma no es la frecuencia sino la densidad de la frecuencia, . Dibuja el

histograma de la distribución de edades de los viajeros de un autobús de línea.

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s

n.º de personas

salario500

2000

500

1000 1500 2000

1750150012501000

750

250

Peso (g) Frecuencia F. acumulada

(0, 10] 2 2

(10, 20] 4 6

(20, 30] 5 11

(30, 40] 9 20

(40, 50] 11 31

(50, 60] 16 47

(60, 70] 14 61

(70, 80] 9 70

(80, 90] 6 76

(90, 100] 4

Edades Frecuencia

[0, 20) 14

[20, 40) 18

[40, 50) 10

[50, 70) 15

[70, 100) 9

80

frecuenciaamplitud del intervalo de clase


Actividades

XV Probabilidad

Resuelve:

a) Vn, 3 � 20 � n c) V5, 4 �

b) � d) C4, n � Pn � V4, n

Calcula � n

2 � � � n � 1

3 �

Demuestra que � m

m – n� � � m

n �. Si � m

21� � � m

5 �; ¿cuánto vale m?

De una baraja española de 40 cartas se extraen 4 cartas sin reponerlas en el mazo. Halla la probabilidadde que:

a) Todas sean de oros.

b) Dos sean de oros.

Se tienen dos bolsas A y B llenas de bolas de billar. En la bolsa A hay tres bolas rayadas y dos lisas. La bolsa Bcontiene una rayada y tres lisas. Se escoge al azar una de las dos bolsas y de ella se extrae una bola rayada.¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la bolsa B? Imagina que se realiza la experiencia n veces con n muy grande.

En un bombo de sorteos hay 10 bolas marcadas con las cifras decimales de 0 al 9. ¿Qué probabilidad hay deque extrayéndolas de una en una salgan ordenadas de forma creciente?

Para realizar un examen de tipo test, solo un estudiante ha tenido tiempo de asimilar el 65 % de loscontenidos que entran en dicho test. El test consta de 100 preguntas, cada una con cinco posibilidades de lascuales solo una es la correcta. Para superar el test se exigen 60 puntos, puntuando cada respuesta correctacon �1 punto y cada respuesta incorrecta con �0,5 puntos. Cuando el estudiante realiza el examen,contesta correctamente a aquellas preguntas que sabe. Pero decide contestar al azar las que no sabe.

a) Si se elige una pregunta cualquiera del test, ¿cuál es la probabilidad de que la haya contestadocorrectamente?

b) ¿Cuántas se espera que haya contestado correctamente?

c) ¿Qué puntuación se espera que obtenga? ¿Es una buena opción contestar al azar las que no sabe?

Se tienen tres cajas A, B y C que contienen bolas de colores. La caja A contiene dos azules y dos rojas. La Btiene una azul y tres rojas, y la C una roja y cuatro azules. Si se extrae una bola roja, ¿cuál es la probabilidadde que sea de la caja A?

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s

Vn, 3

Pn

16

Pn

6


Actividades - iescampanillas.es · Plantea primero una ecuación que resuelva el problema e indica...

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