Administracion Coherente de Riesgos Con Futuros Del MexDer

8/19/2019 Administracion Coherente de Riesgos Con Futuros Del MexDer

1/72

Trabajo acreedor aSegundo Lugar

Categoría Investigación

Administración Coherente de Riesgos conFuturos del MexDer.

Francisco Venegas Martínez


2/72

ADMINISTRACIÓN COHERENTE

DE RIESGOS CON FUTUROS

DEL MEXDER

(Categorı́a Investigación, Área Finanzas)

Por: Mr. MM3

Resumen

En este trabajo de investigación se derivan varias propiedades de las medidas coherentesde riesgo. Se examinan diversas medidas de riesgo de uso frecuente y se indaga si soncoherentes o no. Cuando no hay coherencia se proporcionan contraejemplos. Esta investi-gación va más allá de verificar si una medida de riesgo es coherente o no. En este sentido,con base en el concepto de cópula de distribuciones y las propiedades de las colas de com-binaciones convexas de distribuciones Gaussianas, se muestra que el uso de la volatilidadcomo una medida de riesgo conlleva a limitaciones más serias que no satisfacer un con-

junto de axiomas de coherencia. Espećıficamente, la volatilidad es incapaz de distinguirdiferencias entre las colas de distribuciones, con lo cual se subestiman pérdidas potenciales.Asimisimo, se muestra que el valor en riesgo (VaR), la medida de riesgo m ás utilizadaspor intermediarios financieros, no es una medida coherente. La metodoloǵıa del VaR noproporciona información cuando el tamaño potencial de la pérdida excede el umbral deter-minado por el VaR. Afortunadamente, se puede construir una medida coherente de riesgoque śı toma en cuenta dicha información, la llamada esperanza condicional de la cola delVaR. No sólo la propiedad de subaditividad es la que con menos frecuecia es satisfecha poruna medida de riesgo. Al respecto, se proporciona un ejemplo de una medida de riesgo, entérminos del precio de una opcion europea de venta, que no es invariante bajo traslaciones.También, se proporciona una demostración sencilla del teorema de representación de me-

didas coherentes de riesgo en términos de una familia de probabilidades condicionales. Seestablecen varias reglas sencillas para construir medidas coherentes a partir de otras me-didas coherentes. Por último, se muestra que en un portafolio de contratos a futuro sobreCETES, el VaR aumenta en lugar de disminuir cuando se diversifica añadiendo contratoscon vencimientos diferentes. Mientras que si se utiliza una medida coherente de riesgo, setiene que diversificar siempre conduce a una reducción en riesgo.

Clasificación JEL: G11, G13

Palabras clave: Medidas de riesgo, contratos a futuro

1


3/72

Abstract

In this paper several properties of coherent measures of risk are derived. Many commonlyused measures of risk are examined to investigate whether they are coherent or not. In casethey are not coherent, counter-examples are provided. This research goes beyond verifyingwhether a risk measure is coherent or not. On the basis of the concept of copula of

distributions and properties of the tails of convex combinations of Gaussian distributions,it is shown that the use of volatility as a measure of risk entails more serious limitationsthan just not satisfying a set of coherence axioms. Specifically, volatility is not capable of distinguishing differences between the tails of distributions, which leads to underestimatingpotential losses. Moreover, it is shown that value at risk (VaR), the measure of risk mostused by financial intermediaries, is not a coherent measure. The VaR methodology doesnot provide information when the potential size of a loss exceeds the threshold determinedby VaR. Fortunately, it can be constructed a coherent measure of risk that does takes intoaccount such information, the so-called conditional expectation of the tail of VaR. It isalso shown that subaditivity is not the property that is less frequently satisfied by a riskmeasure. In this regard, it is constructed an example of a risk measure, in terms of the priceof a European call option, that is not invariant under translations. Furthermore, a simpledemonstration of the representation theorem of coherent measures of risk is provided interms of a family of conditional probabilities. Several simple rules are stated to constructcoherent measures from other coherent measures. Finally, it is shown that in a portfolio of futures contracts on zero-coupon bonds (CETES), the VaR increases instead of decreasingwhen such a portfolio is diversified by adding contracts with different expiration dates. Incontrast, when a coherent measure of risk is used, diversification must always lead to areduction in risk.JEL Classification: G11, G13 Keywords: Risk measures, futures contracts

1. Introducción

El desarrollo de métodos para cuantificar el riesgo de mercado con base en modelos anaĺıti-cos no es un asunto de interés contemporaneo. Su inicio se sitúa en la década de los treintacon el trabajo de Macaulay (1939). Desde entonces varias medidas de riesgo se encuentrandisponibles en la literatura. Sin embargo, la mayoŕıa de estas medidas no cumplen conpropiedades básicas ni deseables. Por ejemplo, algunas medidas no reflejan la reducciónde riesgo cuando se diversifica y otras más subestiman pérdidas potenciales.

El trabajo seminal de Artzner et al. (1999), sobre medidas coherentes de riesgo,

ha conducido a cambios y transformaciones profundas en la forma de cuantificar riesgos.Artzner (1999) expresa las propiedades básicas y/o deseables de una medida coherente deriesgo a través de un conjunto de axiomas. En los últimos años, la literatura sobre medidascoherentes de riesgos a crecido de manera considerable. En este sentido, es importantemencionar los trabajos de Acerbi (2001), Delbaen (2000), Jarrow (2002), Yang y Siu (2001)y Venegas-Mart́ınez (2003) and (2005).

Uno de los objetivos que persigue este trabajo es derivar un conjunto de propiedadesadicionales a las que se conocen en la literatura que una medida coherente de riesgo debe

2


4/72

satisfacer. Asimismo, se examinan varias medidas de riesgo de uso frecuente para indagarsi son coherentes o no. Cuando no hay coherencia se proporcionan en detalle varios contra-ejemplos. Esta investigación va más allá de verificar si una medida de riesgo es coherente ono. En este sentido, con base en el concepto de c ópula de distribuciones y las propiedadesde las colas de combinaciones convexas de distribuciones Gaussianas, se muestra que el

uso de la volatilidad como una medida de riesgo conlleva a limitaciones más serias quesatisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia. Espećıficamente, la volatilidad esincapaz de distinguir diferencias entre las colas de distribuciones, con lo cual se subestimanpérdidas potenciales.

Asimsimo, el presente trabajo muestra que el valor en riesgo (VaR), una de las medidadmás utilizadas por intermediarios financieros, no es una medida subaditiva y, por lo tanto,no es coherente. Esta metodoloǵıa de uso común subestima pérdidas potenciales puesno proporciona información cuando el tamaño potencial de la pérdida excede el umbraldeterminado por el VaR. Afortunadamente, se puede construir una medida de riesgo que śıtoma en cuenta dicha información, la llamada esperanza condicional de la cola del valor enriesgo. Al respecto, se muestra que la esperanza condicional de la cola del valor en riesgo,o VaR condicional, es una medida coherente de riesgo.

No sólo la propiedad de subaditividad es la que con menos frecuecia es satisfechapor una medida de riesgo. En este sentido, se proporciona un ejemplo de una medida deriesgo, en términos del precio de una opcion europea de venta, que no es invariante bajotraslaciones. En este caso, el valor de mercado de los t́ıtulos (de capital y/o deuda) de unaempresa sigue un movimiento geométrico Browniano y existe en el mercado un put quepaga dicho valor de mercado si la empresa se declara en bancarrota en una fecha futurapredeterminada, y cero en otro caso, bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo.También, se presenta una demostración sencilla del teorema de representación de medidascoherentes de riesgo en términos de una familia de probabilidades condicionales. En este

trabajo tambíen se establecen varias reglas sencillas para construir medidas coherentes apartir de otras medidas coherentes.

Por último, se se muestra en un portafolio de contratos futuros de CETES, el VaR enlugar de reducir aumenta cuando se diversifica añadiendo contratos con otros vencimientos.Mientras que si se utiliza una medida coherente de riesgo, en particular la esperanzacondcional del VaR, se tiene que diversificar siempre conduce a una reducción en riesgo.

El presente trabajo de investigación se encuentra organizado de la siguiente manera.En la próxima sección se define, en términos generales, una medida de riesgo. En la sección3 se enlistan y justifican los axiomas que definen una medida coherente de riesgo. En lasección 4 se deriva un conjunto de propiedades adicionales que una medida coherente de

riesgo debe satisfacer. En el transcurso de la sección 5 se muestra que la varianza no es unamedida coherente de riesgo. En las secciones 6 y 7 se exhibe que el uso de la varianza comouna medida de riesgo conlleva a limitaciones más serias que satisfacer o no un conjuntode axiomas de coherencia. En la sección 8 se presentan en forma breve algunos resultadosde la metodoloǵıa de VaR. En la sección 9 se muestra que el valor en riesgo (VaR) noes una medida coherente de riesgo. A través de la sección 10, se proporciona un ejemplode una medida de riesgo, en términos del precio de una opcion europea de venta, que noes invariante bajo traslaciones. En la seccíon 11 se muestra que la esperanza condicional

3


5/72

de la cola del VaR es una medida coherente de riesgo. En la sección 12 se demuestra elteorema de representación de medidas coherentes de riesgo en términos de una familia deprobabilidades condicionales. En la seccíon 13 se establecen varias reglas para construirmedidas coherentes a partir de otras medidas coherentes. En la sección 14 se muestraque en un portafolio de contratos futuros de CETES el VaR en lugar de reducir aumenta

cuando se diversifica añadiendo contratos con otros vencimientos. Mientras que si se utilizauna medida coherente de riesgo, en particular la esperanza condcional del VaR, se tieneque una reducción en riesgo. Por último, en la sección 15, se presentan las conclusiones ylimitaciones del trabajo.

2. Medidas de riesgo

El posible cambio en el valor de un portafolio, en una fecha futura, será visto, de ahora enadelante, como una variable aleatoria. Una medida de riesgo se define como una funciónde dicha variable aleatoria. En forma más precisa, considere un intervalo de tiempo [t, T ].El valor inicial, en t, de un portafolio que consiste de w1 unidades del activo S 1t y w2

unidades del activo S 2t está dado por

Πt = w1S 1t + w2S 2t.

El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniedo las cantidades w1y w2 contantes, es decir, sin rebalancear el portafolio, satisface

X := ΠT − Πt = w1D1T + w2D2T donde

D1T = S 1T − S 1t, D2T = S 2T − S 2t.

Si S 1T : Ω1 −→ IR y S 2T : Ω2 −→ IR son variables aleatorias definidas sobre dos espaciosmuestrales, entonces X : Ω −→ IR, con Ω = Ω1 × Ω2, es una variable aleatoria asociadaal cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X está definida sobre unespacio de probabilidad fijo (Ω, F , IP). Se define la familia

A = {X | X : Ω −→ IR} .De ahora en adelante, la variable aleatoria X será llamada cambio en el valor del portafolioy A denotará el conjunto de todos los posibles cambios en el valor del portafolio. Evidente-mente, el esquema anterior puede generalizarse, sin dificultad, a un portafolio con m ás dedos activos. Si se desea que X represente el cambio en valor de un solo activo, entonces se

toman, simplemente, w1 = 1 y w2 = 0. Una medida de riesgo será vista como una funciónρ : A −→ IR. En términos generales, una medida de riesgo será definida con base en unamedida de probabildad IP.

Por otro lado, si en lugar del cambio en valor del portafolio, ΠT − Πt, se considera elrendimiento del portafolio,

ΠT − ΠtΠt

= α1S 1T − S 1t

S 1t+ α2

S 2T − S 2tS 2t

,

4


6/72

donde

α1 = w1S 1t

Πt, α2 =

w2S 2tΠt

y α1 + α2 = 1,

se tiene que los rendimientos (cambios porcentuales en los precios) de los activos estánacotados inferiormente por

−1, mientras que los cambios en valor de los activos D1T y

D2T pueden tomar cualquier valor en IR.En ocasiones, la variable aleatoria X asociada al cambio en el valor de un portafolio

entre dos fechas, recibe el nombre de riesgo, lo cual parece apropiado y en cuyo casoρ(X ) debeŕıa leerse como “medida de riesgo del riesgo X ,” lo cual genera repetición detérminos. Compare esta situación con el caso de una medida de probabilidad, la cual esllamada simplemente probabilidad, si a la medida de riesgo se le llama simplemente riesgo,entonces ρ(X ) debeŕıa leerse como “riesgo del riesgo.” Para evitar estos problemas determinologı́a se insiste en hacer referencia a X como el cambio en valor de un portafolio, oincluso de manera simple como un elemento de A y en el peor de los casos como la posici ónX .

3. Propiedades deseables de una medida coherente de riesgo

Las propiedades deseables de una medida coherente de riesgo ρ se enlistan y justifican acontinuación:

(i) Monotońıa no creciente. Si X, Y ∈ A son tales que X ≤ Y , entonces

ρ (X ) ≥ ρ (Y ) .

Es decir, si partiendo de un mismo portafolio, el cambio en el valor del portafolio X es menor que el de Y , entonces, por la pérdida de valor de X , el riesgo de X deberá

ser mayor que el de Y .

(ii) Subaditividad. Si X, Y ∈ A, entonces

ρ (X + Y ) ≤ ρ (X ) + ρ (Y ) .

Esta propiedad expresa que una fusión de portafolios no crea riesgo adicional. En elcontexto de portafolios de inversión esta propiedad dice que la diversificación reduceel riesgo. El cumplimiento de la subaditividad permite prácticas de administración deriesgos más eficientes. Por ejemplo, si dos áreas de análisis de una misma instituciónfinanciera calculan, de manera independiente, las medidas ρ (X ) y ρ (Y ) de los riesgos

que tomarán y la medida de riesgo que utilizan es subaditiva, el director general puedeestar seguro de que ρ (X )+ρ (Y ) es una garant́ıa aceptable relativa al riesgo de X +Y .

(iii) Homogeneidad positiva (homogeneidad de grado uno con constantes positivas). Siα ≥ 0 y X ∈ A, se tiene que

ρ (αX ) = αρ (X ) .

Esta propiedad establece que el tamaño del portafolio influye directamente en el riesgo.No es lo mismo invertir una unidad monetaria en activos financieros que invertir un

5


7/72

millón en los mismos activos. En el segundo caso es un millón de veces más riesgoso.En este contexto, tamb́ıen se dice que ρ(·) es una función homogénea de grado uno.Observe, por último, que la subaditividad implica que ρ(nX ) ≤ nρ(X ) para todan ∈ IN.

(iv) Invarianza bajo traslaciones. Si X ∈ A y α ∈ IR, se tiene que ρ(X + α) = ρ(X ) − α.Si se tiene un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar y pedir prestadoa una tasa de interés libre de riesgo, r, y si se escribe

ρ(X + α) = ρ

X + α

r r

,

se puede interpretar a α como el interés, libre de riesgo, que paga un depósito bancariosobre una inversión inicial α/r. De esta manera, la propiedad de invarianza bajotraslaciones dice que el riesgo disminuye en dichos intereses. Si α es negativa, ésta

se interpreta como un adeudo al banco, lo que incrementa el riesgo en el portafolio.Además, si se escribe α = ρ(X ), entonces ρ(X + ρ(X )) = 0, ya que ρ(X + ρ(X )) =ρ(X ) − ρ(X ) = 0. De esta manera, α = ρ(X ) se puede interpretar como la cantidadmonetaria que se requiere para eliminar el riesgo de X . Es decir, ρ(X ) funciona comocomo cobertura de X .

Por último, observe que en términos estrictos, ρ(X ) no es invariante bajo traslacionespor el cambio de signo en α dentro y fuera de ρ. Sin embargo, en la literaturaespecializada esta propiedad ha adoptado dicho nombre y lo mismo se hará en eltrancurso del presente caṕıtulo. Un buen nombre para esta propiedad podŕıa ser“invarianza monetaria”.

4. Tratamiento axiomático de una medida coherente de riesgo

A continuación se formaliza el concepto de medida coherente de riesgo con base en laspropiedades anteriores.

Se dice que una medida de riesgo ρ es coherente, en el sentido de Artzner et al (1999), sipara X, Y ∈ A y α ∈ IR se cumple lo siguiente:

(i) Y ≥ X ⇒ ρ(X ) ≥ ρ(Y ),

(ii) ρ(X + Y ) ≤ ρ(X ) + ρ(Y ),

(iii) ρ(αX ) = αρ(X ), α ≥ 0,

(iv) ρ(X + α) = ρ(X ) − α, α ∈ IR.

6


8/72

4.1 Propiedades adicionales de una medida coherente de riesgo

Algunas proposiciones sobre la función ρ que se desprenden de los axiomas son:

(a) La función ρ es convexa en A. Es decir, si X, Y ∈ A y λ ∈ [0, 1], entonces

ρ(αX + (1 − α)Y ) ≤ αρ(X ) + (1 − α)ρ(Y ).Esto se sigue de los axiomas de subaditividad y homogeneidad positiva. La propiedadde convexidad de la función objetivo en los problemas de optimización de portafolios esesencial ya que ésta, junto con otras condiciones, garantiza la existencia de soluciones.

(b) La función ρ es continua en A. Este resultado se sigue de la convexidad de ρ. De estamanera, cambios pequeños en X conducen a cambios pequeños en ρ(X ).

(c) El conjunto B = {X | ρ(X ) ≤ 0} es es cerrado y convexo. Esto se debe a la continuidady convexidad de ρ en A. Por lo tanto, el conjunto B contiene todos sus puntos ĺımite.

(d) ρ(α) = −

α para toda α ∈

IR. En efecto, las propiedades de homogeneidad positivae invarianza bajo traslaciones conducen a que 0 = ρ(0) = ρ(α − α) = ρ(α) + α, locual implica que ρ(α) = −α. El mismo resultado se obtiene a partir de la propiedadde invarianza bajo traslaciones con X = 0. De lo anterior, se concluye que en unainversión libre de riesgo, el riesgo es reducido justamente en el rendimiento de lainversión, lo cual hace que el rendimiento de la inversión y el riesgo se eliminen entreśı. Por supuesto, se supone, como antes, la existencia de un sistema bancario en elque lo agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa de interés constante y librede riesgo.

(e) ρ(X + ρ(X + ρ(X ))) = ρ(X ). En efecto, ρ(X + ρ(X + ρ(X ))) = ρ(X )−ρ(X + ρ(X )) =ρ(X )

−ρ(X ) + ρ(X ) = ρ(X ). De esta manera, si se toman al mismo tiempo una

cobertura ρ(X ) de X y la posición contraria a dicha cobertura, el efecto total seanula.

(f ) ρ(α) es continua para para toda α ∈ IR. Sea (αn)n∈IN, αn ↓ α. Debido a la propiedad(d), se tiene que

limn→∞

ρ(αn) = − limn→∞

αn = −α = ρ(α) = ρ

limn→∞

αn

.

En consecuencia, la continuidad de ρ(·) se mantiene para inversiones libres de riesgo.(g) Si α > 0, entonces ρ(X + α) ≤ ρ(X ) + α, mientras que si α 0, entonces ρ(X + α) ≤ ρ(X ) ≤ ρ(X − α). Por lo tanto, un depósito en unbanco reduce el riesgo y un adeudo lo incrementa.

(i) Si X ≤ 0, entonces ρ(X ) ≥ 0. Basta aplicar la propiedad de monotońıa no creciente.Lo anterior implica que una reducción en el cambio de valor en el portafolio siempreconlleva riesgo.

7


9/72

( j) Si a ≤ X ≤ b, entonces a ≤ −ρ(X ) ≤ b. En efecto, observe que X − b ≤ 0 y queX −a ≥ 0, entonces ρ(X )+b = ρ(X −b) ≥ ρ(0) = 0 y ρ(X )+a = ρ(X −a) ≤ ρ(0) = 0.Aśı, ρ(X ) ≥ −b y ρ(X ) ≤ −a. Por lo tanto, −b ≤ ρ(X ) ≤ −a.

(k) Sea ||X − Y ||∞ = supω∈Ω |X (ω) − Y (ω)|, entonces

|ρ(X ) − ρ(Y )| ≤ | |X − Y ||∞.

En efecto, evidentemente, ||X − Y ||∞ ≥ X − Y ó Y + ||X − Y ||∞ ≥ X . Por lo tanto,

ρ(X ) ≥ ρ(Y + ||X − Y ||∞) = ρ(Y ) − ||X − Y ||∞,

lo cual implica que||X − Y ||∞ ≥ ρ(Y ) − ρ(X ).

Si se procede de la misma forma partiendo de ||X − Y ||∞ ≥ X − Y , se puede verque

||X

−Y

||∞

≥ −(ρ(Y )

−ρ(X )), con lo cual se obtiene al resultado previamente

planteado.

(l) Si se reescribe ρ(X ) := ρ(w1, w2), donde w1 y w2 son las cantidades de activos queconforman el portafolio, entonces el teorema de Euler conduce a

ρ(w1, w2) = w1∂ρ

∂w1(w1, w2) + w2

∂ρ

∂w1(w1, w2).

De esta manera, si w1 y w2 cambian simultaneamente en la misma proporción, en-tonces ρ(w1, w2) cambia en exactamente dicha proporción.

(m) ∂ρ/∂w1 y ∂ρ/∂w2 son funciones homogéneas de grado cero. Este resultado tambiénse sigue del teorema de Euler.

5. Medidas de riesgo más usuales

En esta sección se enlistan algunas de las medidas de riesgo más populares que se definenen términos de una medida de probabilidad. Sea X una variable aleatoria definida sobreun espacio de probabilidad (Ω, F , IP).

(a) Se define la varianza de X como:

ρ(1)(X ) := VarIP[X ] = EIP X − EIP [X ]2 .La volatilidad σIP(X ) se define como la ráız cuadrada de la varianza.

(b) Se define el valor en riesgo (VaR), al nivel 1 − q , 0 < q


10/72

(c) Se define la esperanza condicional de la cola del VaR, para 0 < q VaRX1−q

.

6. La varianza no es una medida de riesgo coherente

Aun cuando la varianza representa una de las formas más utilizadas para medir riesgos,posiblemente por la gran difusión de la teoŕıa de portafolios desarrollada por Markowitz,la varianza no satisface ninguno de los axiomas de coherencia.

La varianza no satisface la propiedad de homogeneidad positiva ya que las constantessalen al cuadrado, ni es invariante bajo traslaciones pues la varianza de una variable m ásuna constante es igual a la varianza de la variable. Observe también que si X y Y sonvariables aleatorias definidas sobre (Ω, F , IP),

ρ(1)(X + Y ) =VarIP[X + Y ]

=VarIP[X ] + VarIP[Y ] + 2CovIP(X, Y )

=ρ(1)(X ) + ρ(1)(Y ) + 2CovIP(X, Y ).

Por lo tanto, el cumplimiento o no de la subaditividad depende del signo de CovIP(X, Y ).La única ventaja que presenta la desviación estándar (o volatilidad),

σIP(X ) =

VarIP[X ],

es que satisface la propiedad de homogeneidad positiva, σIP(αX ) = ασIP(X ).

7. Otras limitaciones más serias de la varianza como medida deriesgo

Insistir en utilizar a la varianza como una medida de riesgo conlleva a limitaciones másserias que satisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia. Los siguientes ejemplosmuestran que la varianza es incapaz de detectar diferencias entre las colas de dos distribu-ciones y, por lo tanto, no distingue diferencias entre las probabilidades de ocurrencia de

valores extremos de dichas distribuciones.

7.1 La varianza no detecta efectos de colas pesadas

Considere la distribución normal bivariadaD1T D2T

∼ N

00

,

1 ρρ 1

,

9


11/72

entonces su función de distribución conjunta está dada por

F D1T ,D2T (x, y) =

x−∞

y−∞

1

2π

1 − ρ2 e

−(u2−2ρuv+v2)/2(1−ρ2)dudv.

Si ρ = 0, es decir, si D1T y D2T son variables aleatorias no correlacionadas, entonces

F D1T ,D2T (x, y) =

x−∞

y−∞

1

2π

1 − ρ2 e−

1

2(u2+v2)dudv

=

x−∞

1√ 2π

e−1

2u2du

y−∞

1√ 2π

e−1

2v2dv

= Φ(x)Φ(y),

en cuyo caso D1T y D2T son variables aleatorias independientes. Claramente, el rećıprocosiempre se cumple, es decir, variables aleatorias independientes son no correlacionadas. Acontinuación, se examina un caso, fuera del mundo Gaussiano, en donde variables aleatoriasno correlacionas, no necesariamente son independientes. Con este propósito, se define,primero, la función C (x, y) como

C (x, y) =

x0

y0

[1 + f (u) g (v)]dudv

= xy +

x0

f (u)du

y0

g(v)dv

, para 0 ≤ x, y ≤ 1,

donde

f (u) = 1[α,1−α](u) − 1 − 2α2α

1[0,α)∪(1−α,1](u),

g(v) = −1[α,1−α](v) + 1 − 2α2α 1[0,α)∪(1−α,1](v)y

14 ≤ α ≤ 12 .

Aśı, f (v) = −g(v). De lo anterior, se tiene que 1 + f (u) g (v) = 1 + (1)(−1) = 0 para toda(u, v) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α]. Por otro lado,

10

f (u)du = − α0

1 − 2α2α du + 1−αα du − 1

1−α1 − 2α2α du

= − 1 − 2α2

+ 1 − 2α − 1 − 2α2

= 0.

Por lo tanto, 10

g(v)dv = − 10

f (v)dv = 0.

10


12/72

De la misma forma,

10

uf (u)du = − 1 − 2α2α

α0

udu +

1−αα

udu − 1 − 2α2α

11−α

udu

= − 1 − 2α2α

α22 + (1 − α)2

2 − α2

2 − 1 − 2α

2α1

2 − (1 − α)2

2

= − (1 − 2α)α4

+ 1 − 2α

2 − 1 − 2α

4 (2 − α) = 0.

En consecuencia, 10

vg(v)dv = − 10

vf (v)dv = 0.

Observe también que C (1, 1) = 1 · 1 + 0 · 0 = 1, C (0, 0) = 0. Por otro lado, el productof (u)g(v) sólo puede tomar los siguiente valores:

−1, −1 − 2α2α

, 1 − 2α

2α y

1 − 2α

2α

2.

En virtud de que

0 ≤ 1

−2α

2α ≤ 1,

se tiene 1 + f (u)g(v) ≥ 0. Dado que C (x, y) representa el volumen acumulado por 1 +f (u)g(v) hasta (x, y), la función C (x, y) es creciente en ambos argumentos. Se puedeconcluir entonces que C (x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1, es una función de distribución con marginalesuniformes en [0,1]. Concretamente,

C U

(x) = C (x, 1) = x · 1 +

x

0

f (u)du

1

0

g(v)dv

= x

y

C V

(y) = C (1, y) = 1 · y + 1

0

f (u)du

y0

g(v)dv

= y.

La función de distribución bivariada F U,V

(x, y) = C (x, y) se llama cópula uniforme. En

11


13/72

este caso, la covarianza entre U y V satisface

Cov(U, V )

=

1

0 1

0 u − 12

v − 12(1 + f (u)g(v))dudv

= 10

10

uv − 12(u + v) + 14

(1 + f (u)g(v))dudv

=

10

udu

10

vdv

+

10

uf (u)du

10

vg(v)dv

− 12

10

udu +

10

vdv +

10

uf (u)du

10

g(v)dv

+

10

vg(v)dv

10

f (u)du

+ 14 +

14

10

f (u)du

10

g(v)dv

= 10

udu 10

vdv − 12 10

udu + 10

vdv + 14= 14 − 12 + 14 = 0.

Es decir, U y V son variables aleatorias no correlacionadas. Evidentemente, U y V noson independientes, ya que para (x, y) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α], se tiene que c(x, y) = 0; laindependencia estocástica exigiŕıa que C (x, y) ≡ 1 en [0, 1] × [0, 1].

Ahora suponga que se tienen dos variables aleatorias D1T y D2T con funcíon dedistribución conjunta

F

D1T ,

D2T

(x, y) = C (Φ(x), Φ(y)),

dondeΦ(x) =

x−∞

1√ 2π

e−1

2v2dv.

Observe que F D1T ,D2T (x, y) no es normal bivariada, ya que si(Φ(x), Φ(y)) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α] ,

se tiene que

F

D1T ,

D2T

(x, y) =

Φ(x)α

Φ(y)α

[1 + f (u) g (v)] dvdu

= Φ(x)α

Φ(y)α

0dvdu = 0.

Claramente, F D1T ,D2T (x, y) = C (Φ(x), Φ(y)) tiene marginales Gaussianas estándar ya queF D1T (x) = F D1T ,D2T (x, ∞) = C (Φ (x) , Φ (∞)) = C (Φ (x) , 1) = Φ (x)

yF D2T (y) = F D1T ,D2T (∞, y) = C (Φ (∞) , Φ (y)) = C (1, Φ (y)) = Φ (y) ,

12


14/72

con Cov( D1T , D2T ) = 0. Es fácil verificar que D1T y D1T no son variables aleatoriasindependientes ya que C (Φ(x), Φ(y)) = Φ (x) Φ (y) . En conclusión, el ejemplo desarrolladoproporciona dos variables aleatorias D1T y D2T normales estándar con covarianza cero queno son independientes. Con el fin de determinar la función de densidad conjunta de

D1T

y D2T , considereC (Φ(x), Φ(y)) =

Φ(x)0

Φ(y)0

[1 + f (u) g (v)] dudv

=

x−∞

y−∞

1 + f

Φ−1(u)

g

Φ−1(v)

Φ−1(u)

Φ−1(v)

dudv.

De esta manera, el integrando constituye la densidad de D1T y D2T . Dicha densidad seanula en puntos (x, y) ∈ [Φ−1X (α), Φ−1X (1 − α)] × [Φ−1Y (α), Φ−1Y (1 − α)]. En la figura 6.1se compara la densidad de C (Φ(x), Φ(x)) con la densidad normal bivariada. Dado que elvolumen bajo ambas densidades tiene que ser igual a la unidad y la densidad 1 + f g seanula en el conjunto [Φ−1

X

(α), Φ−1

X

(1−

α)]×

[Φ−1

Y

(α), Φ−1

Y

(1−

α)], entonces su volumentiene que compensar en las colas, haciéndolas más pesadas. Por lo tanto, la densidad deC (Φ(x), Φ(y)) tiene colas más pesadas que la densidad normal bivariada. Aśı, la proba-bilidad de que ocurran valores extremos, tanto positivos como negativos, es mayor enC (Φ(x), Φ(y)) que en la distribución normal bivariada.

a) Densidad de C (x, y) b) Densidad Normal bivariada

Figura 6.1 Densidades de la Cópula Gaussiana y la normal bivariada.

Considere ahora dos portafolios

X = w1D1T + w2D2T ,

13


15/72

donde D1T y D2T provienen de la normal bivariada de la sección 6.1, y

Y = w1 D1T + w2 D2T donde

D1T y

D2T provienen de la cópula Gaussiana. Observe

ρ(1)(X ) = Var[X ] = w21 + w21 = Var[Y ] = ρ

(1)(Y ).

Sin embargo, la cópula Gaussiana tiene colas más pesadas que la normal bivariada y porlo tanto el riesgo de Y debe ser mayor que el de X .

7.2 Otro ejemplo en donde la varianza no detecta efectos de colaspesadas

Considere ahora la distribución normal bivariada

D1T D2T = N 00 , 1 ρ0ρ0 1 para un ρ

0 dado, y considere la distribución conjunta

F ρ0

D1T ,D2T (x, y) =

x−∞

y−∞

1

2π

1 − ρ20

exp

−u

2 − 2ρ0

uv + v2

2

1 − ρ20

dudv.Defina ahora la distribución

G

D1T ,

D2T

(x, y) = λF ρ1

D1T ,D2T (x, y) + (1 − λ) F ρ2

D1T ,D2T (x, y)

con ρ1 < ρ2, 0 < λ z } = 1 − Φ

z 2 (1 + ρ

0)

14


16/72

y la cola de D1T + D2T bajo G cumple conIPG

D1T + D2T > z =λ1 − IP

F ρ1

D1T + D2T > z + (1 − λ)1 − IPF ρ2

D1T + D2T > z =λ

1 − Φ

z 2 (1 − ρ1)

+ (1 − λ)

1 − Φ

z 2 (1 − ρ2)

.

Si se utiliza la siguiente propiedad de la cola de la distribución normal estándar:

1 − Φ (x) = φ(x)

1

x + o

1

x2

,

la cual se demuestra como sigue

limx→∞

1 − Φ (x)φ(x)

x

= limx→∞

−φ(x)xφ(x)(−x) − φ(x)

x2

= limx→∞

1

1 + 1x2

= 1

donde Φ(x) = φ(x), se tiene que

1 − Φ

z 2(1 − ρi)

1 − Φ

z

2(1 − ρ0) = φ

z 2(1 − ρi)

2(1 + ρi)

z + o (·)

φ

z

2(1 + ρ0)

2(1 + ρ0

)z + o (·)

≈1√ 2π

exp − z 24(1 + ρi)

1√ 2π

exp

− z 2

4(1 + ρ0

)

1 + ρi1 + ρ

0

= exp

−z

2

4

1

1 + ρi− 1

1 + ρ0

1 + ρi1 + ρ

0

.

Sin embargo, ρ0

, ρ1 y ρ2 satisfacen

1

1 + ρ2 − 1

1 + ρ0

0.

Por lo tanto,

limz→∞

1 − Φ

z 2(1 − ρ2)

1 − Φ

z 2(1 − ρ

0)

= ∞15


17/72

y

limz→∞

1 − Φ

z 2(1 − ρ1)

1 − Φ

z

2(1 − ρ0) = 0.

Aśı,

limz→∞

IPG D1T + D2T > z

IPF ρ0 {D1T + D2T > z }

= limz→∞

λ1 − Φ

z 2(1 + ρ1)

1 − Φ

z 2(1 + ρ

0)

+ (1 − λ)

1 − Φ

z 2(1 + ρ2)

1 − Φ

z

2(1 + ρ0)

=0 + ∞ = ∞.Esto quiere decir que los cuantiles altos de G son mucho mayores que los cuantiles altosde F ρ0 . Por lo tanto, valores extremos bajo G tienen mayor probabilidad de ocurrir quebajo F ρ0 . Aśı, si se escribe X = D1T + D2T y Y = D1T + D2T , el riesgo asociado a X esmayor que el de Y . Sin embargo,

ρ(1)(X ) = Var[X ] = 2(1 + ρ0

) = Var[Y ] = ρ(1)(Y ).

Observe también que bajo ambas distribuciones G y F ρ0 , Cov(X, Y ) = ρ0

= 0. En conse-

cuencia, la covarianza, ρY (X ) := Cov(X, Y ) con Y fija, tampoco es una medida coherentede riesgo, lo cual implica que la beta obtenida a través del CAPM (Capital Asset PricingModel) tampoco es una medida coherente de riesgo.

7.3 Un ejemplo más de que la varianza no es una medida coherentede riesgo

Considere la función de densidad conjunta

f D1T ,D2T

(u, v) = 1

4π 1 − ρ2e−(u2−2ρuv+v2)/2(1−ρ2) + e−(u

2+2ρuv+v2)/2(1−ρ2)

.Se puede verificar que, para cualquier valor ρ ∈ [−1, 1], D1T ∼ N (0, 1), D2T ∼ N (0, 1),Cov(D1T , D2T ) = 0, y D1T y D2T no son independientes. Sea X

(ρ) = w1D1T + w2D2T .Claramente, Var[X (ρ)] = w21 + w

22 para cualquier valor de ρ ∈ [0, 1]. La figura 6.2 muestra

la funciones de densidades conjuntas para los valores ρ = 0.1 y ρ = 0.9. Se puede observarel comportamiento diferente de las colas de las densidades para estos valores, lo cual esignorado por la varianza.

16


18/72

a) ρ = 0.1 b) ρ = 0.9

Figura 6.2 Densidades conjuntas con diferentes valores de ρ.

8. Valor en riesgo (VaR)

En 1995, el banco J. P. Morgan publicó un documento técnico en donde se proponı́a unmétodo novedoso para cuantificar el riesgo de mercado asociado a todas las posiciones desu banco a través del cálculo de un solo número, lo que se conoce como valor en riesgo (oVaR por las iniciales en inglés del término Value at Risk). Casi desde entonces, el valoren riesgo es una las medidas que se utilizan con mayor frecuencia, por los intermediariosfinancieros, en la estimación de pérdidas potenciales, ya sea en el valor o en el rendimientode un portafolio, en un periodo de tiempo y con un nivel de confianza dado. La literaturasober VaR es abundante. Vale la pena mencionar los trabajos de Ahn et al. (1999), Dufiey Pan (1997), Jorion (2001).

8.2 Mapeo de flujos para simplificar el cálculo y actualización deVaR

Usualmente, la estimación y actualización del VaR de un portafolio de activos requiere deun número considerable de cálculos, sobre todo cuando el portafolio contiene productosderivados como forwards, opciones o swaps. En este sentido, cuando los cambios (abso-lutos o porcentuales) del portafolio, y de los derivados que en él participan, se puedenexpresar en función de cambios (absolutos o porcentuales) de activos financieros “simples”

(acciones, divisas, bonos cupón cero, etc.), entonces se obtiene una reducción importanteen el número de cálculos. De preferencia, es deseable que dicha dependencia sea lineal, encuyo caso los activos financieros “simples” son llamados vértices. Es importante destacarque cuando no se tiene dicha linealidad, se puede siempre recurrir al teorema de Taylor paralinealizar alrededor de un punto. Afortunadamente, el supuesto de normalidad, con unatransformación adecuada de la matriz de varianzas-covarianzas, aunado a la propiedad delinealidad (una combinación lineal de variables aleatorias normales es normal) disminuyesignificativamente el número de cálculos.

17


19/72

8.3 El concepto de valor en riesgo (paramétrico)

En esta sección se presenta la definición formal del valor en riesgo parámetrico del cambioen el valor de un portafolio. Por simplicidad, se considera un portafolio que combina dosactivos risgosos.

Considere un intervalo de tiempo [t, T ]. El valor inicial, en t, de un portafolio queconsiste de w1 unidades del activo S 1t y w2 unidades del activo S 2t está dado por

Πt = w1S 1t + w2S 2t.

El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniedo las cantidades w1y w2 contantes, se puede escribir de la siguiente manera:

X := ΠT − Πt = w1(S 1T − S 1t) + w2(S 2T − S 2t).

Si S 1T : Ω1

−→IR y S 2T : Ω2

−→ IR son variables aleatorias definidas sobre dos espacios

muestrales, Ω1 y Ω2, entonces X : Ω −→ IR, con Ω = Ω1 × Ω2, es una variable aleatoriaasociada al cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X está definidasobre un espacio de probabilidad fijo (Ω, F , IPθ), donde θ es un vector de parámetrosasociados con la distribución de X . Si se desea que X represente el cambio en valor de unsolo activo, entonces se toman, simplemente, w1 = 1 y w2 = 0. Evidentemente, el esquemaanterior puede generalizarse, sin dificultad, a un portafolio con más de dos activos.

El valor en riesgo de X al nivel 1 − q denotado por −VaRX1−q, se define como el peorvalor del portafolio, en un periodo de tiempo dado, [t, T ], para un intervalo de confianzadel (1 − q )100%. En forma más precisa,

IPθ−VaRX1−q ≤ X = 1 − q.

Claramente, la cantidad −VaRX1−q también satisface

IPθ

X ≤ −VaRX1−q

= q.

Es decir,

VaRX

1−q = − inf {x ∈ IR | IPθ {X ≤ x} ≥ q }= − sup {x ∈ IR | IPθ {X ≤ x} ≤ q } .

Esta definición es aplicable tanto a variables aleatorias continuas como discretas. De loanterior se desprende, inmediatamente, que

VaRX

1−q = − inf {x ∈ IR | IPθ {X > x} ≤ 1 − q } .

Como puede observarse, el número VaRX

1−q es una estimación estad́ıstica del peor valor deX con cierto grado de confianza en un intervalo de tiempo dado. La figura 8.1 ilustra elconcepto del valor en riesgo.

18


20/72

Figura 8.1 Valor en riesgo de X al nivel 1 − q .8.4 Valor en riesgo y la función de cuantiles

Si X es una variable aleatoria definida en (Ω, F , IPθ), la función

QX(q ) = inf {x ∈ IR | IPθ {X ≤ x} ≥ q }=sup {x ∈ IR | IPθ {X ≤ x} ≤ q }

es llamada la función de cuantiles de X . La función QX(q ) es creciente y continua porla derecha. Claramente, si la variable aleatoria es continua, entonces

QX(q ) = F

−1X (q ).

Observe que si X es una variable aleatoria continua, entonces

E[g(X )] =

10

g(QX(q ))dq.

En efecto, por definición

E[g(X )] =

∞−∞

g(x)dF X(x),

Defina el siguiente cambio de variable x = QX(q ) = F −1X (q ), entonces QX(−∞) = 0,QX(∞) = 1 y

E[g(X )] = 10

g(QX(q ))dF X(F −1X (q ))

=

10

g(QX(q ))dq.

Evidentemente, el VaR y la función de quantiles están relacionados mediante

VaRX

1−q = −QX(q ).

19


21/72

8.5 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el teoremade Euler

En esta sección se demuestra que el valor en riesgo tiene la propiedad de homogeneidadpositiva. Asimismo, se discute sobre la relación que existe entre el VaR y el teorema deEuler sobre funciones homegéneas de grado uno.

Sean λ > 0 y Y = λX , entonces

F Y (y) = IP{Y ≤ y} = IP {λX ≤ y} = IP

X ≤ yλ

= F X

yλ

,

de aquı́ se obtieneVaRY 1−q = − inf {y ∈ IR | F Y (y) ≥ q }

= − inf {λx ∈ IR | F Y (λx) ≥ q }

= − inf

λx ∈ IR | F X

λx

λ

≥ q

= − inf {λx ∈ IR | F X (x) ≥ q }= − λ inf {x ∈ IR | F X (x) ≥ q }=λVaRX1−q.

Observe que al multiplicar X por λ, cada wi, i = 1, 2, es multiplicada por λ. Por lo tanto,si se escribe VaRX1−q := VaR1−q(w1, w2), se tiene que

VaR1−q(λw1, λw2) = λVaR1−q(w1, w2).

Es decir, si VaRX1−q se ve como función de w1 y w2, se tiene que Var1−q(w1, w2) es ho-mogénea de grado uno. En consecuencia, el teorema de Euler produce

VaR1−q(w1, w2) = w1∂ VaR1−q

∂w1(w1, w2) + w2

∂ VaR1−q∂w2

(w1, w2). (1)

Si λ


22/72

Por supuesto, si X es una variable aleatoria continua entonces VaR−X1−q = −VaRXq .

8.6 Valor en riesgo bajo el supuesto de normalidad

Posiblemente, el supuesto normalidad en el VaR ha contribuido de manera muy importante

a que el mismo VaR sea tan popular. Bajo este supuesto, el calculo del VaR se convierteen una expresión muy sencilla y fácil de recordar.

Si el cambio de valor en un portafolio durante [t, T ], X , es visto como una variablealeatoria continua y F es su función de distribución, entonces VaRX1−q = F

−1(q ), es decir,

VaRX1−q es el quantil q de F . Por ejemplo, si el cambio en el valor de Πt satisface

dΠt = µdt + σdW t

donde µ ∈ IR, σ > 0 y (W t)t∈[0,T ] es un movimiento Browniano definido en un espacio deprobabilidad equipado con su filtración aumentada, (Ω, F , (F t)t∈[0,T ], IP), entonces

X = ΠT − Πt ∼ N (µ(T − t), σ2(T − t)).

En este caso, se tiene que

IP

X − µ(T − t)

σ√

T − t ≤ −z q F t

= q,

lo cual implica que

IP

X ≤ µ(T − t) − z qσ√

T − tF t

= q.

En consecuencia,VaR

X

1−q =z qσ√

T − t + EIP[−X F t ]=z qσ

√ T − t − µ(T − t).

A partir de las tablas de quantiles de la función de distribución acumulada de una variablenormal estándar, se tiene que si 1 − q = 0.95, z q = 1.65, y si 1 − q = 0.99, z q = 2.33. Siel rendimiento medio y la volatidad son anualizados, valores t́ıpicos de T − t son 5/360 (5dı́as) y 10/360 (10 d́ıas). Si se definen µd = µ/360 y σd = σ/

√ 360 como el rendimiento y

la volatilidad diarios, se tiene que

VaRX

1−q = z qσd√

T

−t

−µd(T

−t),

y, en este caso, T − t toma los valores de 5 (d́ıas) y 10 (d́ıas).

8.7 Valor en riesgo del cambio en valor de la suma de dos portafoliosbajo el supuesto de normalidad

Como se ha visto, en la sección anterior, el supuesto de normalidad simplifica, considera-blemente, el cálculo del VaR del cambio en valor de un portafolio. Este supuesto tambíen

21


23/72

facilita los cálculos del valor en riesgo del cambio en valor de la suma (combinaci ón) dedos portafolios. En efecto, si X ∼ N (µ

X(T − t), σ2

X(T − t)) y Y ∼ N (µ

Y (T − t), σ2

Y (T − t))

con Cov(X, Y ) = σXY

(T − t), entonces

VaRX+Y

1−q =z qσX+Y √

T − t − µX+Y

(T − t)=z q

σ2X

+ 2σXY

+ σ2Y

√ T − t − (µX

+ µY

)(T − t).

8.8 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio

En las dos secciones anteriores se ha calculado el VaR del cambio en valor de un portafolio.El siguiente ejemplo muestra que cuando los rendimientos de los activos son normales elcálculo del valor en riesgo de un portafolio tambíen es muy sencillo. Por simplicidad, seconsidera un portafolio con dos activos cuyos rendimientos están correlacionados entre śı.

Considere dos movimientos Brownianos (W t)t∈[0,T ] y (U t)t∈[0,T ] correlacionados entre

śı, de tal forma queCov(dW t, dU t) = ρdt

Se supone que los precios, S 1t y S 2t, de dos activos son conducidos, respectivamente, por

dS 1t = µ1S 1tdt + σ1S 1tdW t

ydS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2tdU t,

donde µ1, µ2 ∈ IR y σ1, σ2 > 0. El cambio porcentual en valor del portafolio satisfacedΠtΠt = α

1

dS 1tS 1t + α

2

dS 2tS 2t ,

donde

α1 = w1S 1t

Πt, α2 =

w2S 2tΠt

y α1 + α2 = 1.

En este caso,

E

dΠtΠt

= (α1µ1 + α2µ2) dt.

Var

dΠtΠt

=

α21σ

21 + α

22σ

22 + 2α1α2σ1σ2ρ

dt.

Por lo tanto,

VaRdΠ/Π1−q = z q

α21σ

21 + α

22σ

22 + 2α1α2σ1σ2ρ

√ dt − (α1µ1 + α2µ2) dt.

Por otro lado, si se considera el cambio de valor en el portafolio, se tiene que

dΠt = w1S 1tdS 1tS 1t

+ w2S 2tdS 2tS 2t

.

22


24/72

Ahora,E[dΠt] = (w1S 1tµ1 + w2S 2tµ2) dt

yVar [dΠt] =

w21S 21tσ

21 + w

22S

22tσ

22 + 2w1w2σ1σ2ρ

dt.

De esta manera,

VaRdΠ1−q =z q

w21S

21tσ

21 + w

22S

22tσ

22 + 2w1w2S 1tS 2tσ1σ2ρ

√ dt

− (w1S 1tµ1 + w2S 2tµ2) dt.Por lo tanto, se cumple la propiedad

VaRdΠ/Π1−q =

1

ΠtVaRdΠ1−q.

La cantidad VaRdΠ/Π1−q es también conocida como VaR diversificado.

8.9 VaR del rendimiento de un portafolio y factorización de Cho-lesky

En esta sección se presenta el método de factorización de Cholesky y su aplicación en elcálculo del VaR del rendimiento de un portafolio. Suponga que un portafolio consiste de nactivos, entonces el rendimiento del portafolio es la media de los rendimientos ponderadapor la participación de cada activo en el valor del portafolio. Si los rendimientos delos activos siguen distribuciones normales y son no correlacionadas, la factorización deCholesky permite transformar los rendimientos originales en variables aleatorias con cierta

estructura de correlación.Pora llevar a cabo una exposición sencilla de las ideas centrales, se considera un

portafolio con sólo dos activos. Suponga que los precios, S 1t y S 2t, de dos activos financierosson conducidos, respectivamente, por

dS 1t = µ1S 1tdt + σ1S 1t√

dt ε1

ydS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2t

√ dt ε2,

donde µ1, µ2 ∈ IR, σ1, σ2 > 0, ε1, ε2 ∼ N (0, 1) y Cov(ε1, ε2) = 0. La información sobre ε1y ε2 se puede resumir como

ε :=

ε1ε2

∼

00

,

1 00 1

.

Considere la transformación: η1 = ε1,

η2 = ρε1 +

1 − ρ2 ε2,(2)

23


25/72

entonces se tiene queVar[η1] = Var [ε1] = 1,

Var [η2] = ρ2Var [ε1] +

1 − ρ2Var [ε2] = 1

y

Cov (η1, η2) =Cov

ε1, ρε1 +

1 − ρ2 ε2

=ρVar [ε1] +

1 − ρ2Cov(ε1, ε2)=ρ.

¿Cómo se eligió la transformación (2)? La respuesta está en la factorización (descomposi-ción) de Cholesky. Si se denota

C =

1 ρρ 1

.

Claramente, la matriz C es simétrica y definida positiva, entonces existe una matriz A,

también llamada la ráız cuadrada de C, tal que

C = AAT,

donde A es triangular inferior. Equivalentemente,

1 ρρ 1

=

a11 0a12 a22

a11 a12

0 a22

=

a211 a11a12a11a12 a

212 + a

222

,

lo cual implica que1 =a211,

ρ =a11a12,

1 =a212 + a222,

ó 1 ρρ 1

=

1 0ρ

1 − ρ2

1 ρ0

1 − ρ2

.

Ahora bien, la transformación (2) se puede reescribir como

η = Aε.

En este caso

E

η ηT

= EAε εT AT

= AE

ε εT A

T = AAT = C.

En conclusión, η1, η2 ∼ N (0, 1) y Cov(η1, η2) = ρ. La información sobre η1 y η2 se puederesumir como:

η :=

η1η2

∼

00

,

1 ρρ 1

.

24


26/72

Aśı pues, con base en la transformación (2), se puede escribir


dtε1

y

dS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2t√ dtη2,donde

η2 = ρε1 +

1 − ρ2ε2, ε1, ε2 ∼ N (0, 1)y

Cov (ε1, ε2) = 0.

Equivalentemente,dS 1t = µ1S 1tdt + σ1S 1tdW 1t

y

dS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2tdW 2t,donde

dW 2t = ρdW 1t +

1 − ρ2dU ty

Cov (dW 1t, dU t) = 0.

Por lo tanto,

Cov (dW 1t, dW 2t) = ρVar [dW 1t] +

1 − ρ2Cov (dW 1t, dU t) = ρdt.

Por último, con base en lo anterior, es posible construir un sistema de ecuaciones diferen-ciales estocásticas en el que los rendimientos tengan la matriz de varianzas-covarianzas C.En efecto, si se escribe

dS 1t = µ1S 1tdt + S 1tdW 1t

ydS 2t = µ2S 2tdt + S 2tdW 2t,

dondedW 2t = ρdW 1t +

1 − ρ2dU t

y

Cov (dW 1t, dU t) = 0,

entonces

Var

dS 1tS 1t

= Var

dS 2tS 2t

= dt

y

Cov

dS 1tS 1t

, dS 2t

S 2t

= ρdt.

25


27/72

Por lo tanto, si, en particular, µ1 = µ2 = 0, entonces


1 + 2α1α2(ρ − 2)

√ dt.

8.10 VaR del rendimiento de un portafolio y componentes princi-pales

En esta sección se presenta el método de componentes principales y su aplicación en elcálculo del VaR del rendimiento de un portafolio. Suponga que un portafolio consistede n activos. Como se sabe, el rendimiento del portafolio se calcula en términos de losrendimientos de los n activos. Concretamente, el rendimiento del portafolio es la mediade los rendimientos ponderada por la participación de cada activo en el valor total delportafolio. En el método de componentes pricipales dichos rendimientos se tranforman en nnuevas variables llamadas componentes principales. La transformación involucra el calculo

de valores y vectores propios de la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos.Dichas componentes principales son combinaciones ĺıneales de los rendimientos originalesy cada una de ellas explica una parte de la varianza total de la transformación. Después deordenar las componentes por su peso explicativo en la varianza total, aquellas que tenganuna contribución insigificante a la varianza total pueden eliminarse. De esta manera ladimensión del problema inicial se reduce en el problema transformado. Por ejemplo, si lasúltimas k componentes principales se eliminan, el problema transformado consiste de n −kvariables. Por último, observe que dado que las componentes principales son combinacioneslineales de los rendimientos originales, cualquier información que estos puedieran aportaren la explicación de la varianza total de la tranformación es tomada en cuenta.

Por simplicidad en la exposición, se considera un portafolio con dos activos. Losprecios, S 1t y S 2t, de dos activos financieros son conducidos por las siguientes ecuacionesdiferenciales parciales:


dtη1


√ dtη2,

dondeη2 = ρη1 +

1 − ρ2ε

η1, ε ∼ N (0, 1) y Cov (η1, ε) = 0.En este caso,

η :=

η1η2

∼

00

,

1 ρρ 1

,

con ρ > 0. En lo que sigue se denota

C =

1 ρρ 1

.

26


28/72

En primer lugar se determinan los eigenvalores (valores propios), λ1 y λ2, y los eigenvectores(vectores propios), v1 y v2, de C, es decir, se determinan λi y vi = (0, 0)T , i = 1, 2, talesque

Cvi = λivi, i = 1, 2. (3)

Observe que C

es una matriz simétrica definida positiva. En efecto, dado que ρ > −1, six = (x1, x2)T = (0, 0)T ,

xT Cx = x21 + 2x1x2ρ + x

22 > x

21 − 2x1x2 + x22 = (x1 − x2)2 ≥ 0.

Ahora bien, si se premultiplica (3) por vi, se sigue que λi||vi||2 = vT i Cvi > 0, es decir,λi > 0, i = 1, 2. En este caso, (3) se puede reescribir como

(C− λI)vi = 0.

Para que el sistema anterior tenga una solución no trivial, vi, se debe cumplir que

det(C− λI) = 0, (4)

donde I es la matriz identidad de 2 × 2. Es decir, 1 − λ ρρ 1 − λ

= 0ó

(1 − λ)2 = ρ2,

lo cual produce dos soluciones λ1 = 1+ρ y λ2 = 1−ρ. Dado el supuesto ρ > 0, se sigue queλ1 > λ2. La ecuación (4) es conocida como el polinomio caracteŕıstico de C. Claramente,

det(C) = λ1λ2 = (1 + ρ)(1 − ρ) = 1 − ρ2

ytraza(C) = λ1 + λ2 = 2.

Los vectores propios se determinan a trav́es de los sistemas:

−ρ ρρ −ρ v11v12 = 00 y ρ ρρ ρ v21v22 = 00 .Por lo tanto,

v1 =

11

y v2 =

1−1

Claramente, eigenvectores correspondientes a distintos eigenvalores son linealmente inde-pendientes. Si esto no fuera aśı, entonces v1 = αv2 para algún α = 0, ası́ Cv1 = λ1v1

27


29/72

implica Cαv2 = λ1αv2, en consecuencia, λ1 = λ2. Observe que, en este caso, vT 1 v2 = 0,

es decir son v1 y v2 son ortogonales. Si se normalizan estos vectores, es decir,

u1 =

1/

√ 2

1/√

2

y u2 =

1/

√ 2

−1/√ 2

,

entonces u1 y u2 son eigenvectores ortonormales. De hecho, el teorema espectral dice quelos eigenvectores de toda matriz simétrica con entradas reales son ortogonales. Sean

Ω =

u11 u21u12 u22

=

1/

√ 2 1/

√ 2

1/√

2 −1/√ 2

y Λ =

λ1 00 λ2

=

1 + ρ 0

0 1 − ρ

las matrices de eigenvectores y eigenvalores, respectivamente de C. La matriz Ω = [u1,u2]es simétrica, Ω = ΩT , e invertible, Ω = ΩT = Ω−1. Es decir Ω es una matriz ortogonal.Aśı, ΩΩT = Ω2 = I. Observe también que

CΩ = ΩΛ,

lo cual, evidentemente, equivale a

Cu1 = λ1u1 y Cu2 = λ2u2.

Por lo tanto, se puede escribir

C = ΩΛΩ−1 = ΩΛΩT .

A esta factorización se le llama eigendescomposición y en ocasiones eigendiagonalización.Defina ahora la transformación

γ = ΩT η. (5)

Claramente, E[γ ] = (0, 0)T y

Var

γ

=ΩT Var

η

(ΩT )T

=ΩT Var

η

Ω

=ΩT CΩ

=ΩT ΩΛΩT Ω

=Λ.

Es decir la transformación (5) preserva la media pero modifica la matriz de varianzas-covarianzas, de C a Λ. De acuerdo con (5), se tiene que

γ 1 =u11η1 + u12η2 =

1√ 2

(η1 + η2)

γ 2 =u21η1 + u22η2 = 1√

2(η1 − η2) .

(6)

28


30/72

A la primera ecuación se le conoce como primera componente principal y a la segundacomo segunda componente principal. En ocasiones, el vector propio asociado con el valorpropio más grande, λ1, es llamado la primer componente principal, etc. Observe que

Var [γ 1] = 1

2 (2 + 2ρ) = 1 + ρ = λ1,

Var [γ 2] = 1

2 (2 − ρ) = 1 − ρ = λ2,

y

Cov(γ 1, γ 2) = 1

4Cov (η1 + η2, η1 − η2) = 1

4(1 − ρ + ρ − 1) = 0.

Por lo anterior,

det(C) = Var[γ 1] × Var [γ 2] y trasa(C) = Var[γ 1] + Var [γ 2] .Asimismo, se tiene que

u1 = arg max

max{x:||x||=1}

VarxT η

.

Si ahora se escribe, con base en las transformaciones (2) y (6), se tiene que


dtγ 1


√ dtγ 2,

γ 1 = 1√

2(ε1 + η2) , γ 2 =

1√ 2

(ε1 − η2) ,

η2 = ρε1 +

1 − ρ22, ε1, ε2 ∼ N (0, 1), Cov (ε1, ε2) = 0,Var [ε1] = Var [η2] = 1, Cov (ε1, η2) = ρ.

Por lo tanto,

Var [γ 1] =1

2Var [ε1 + η2]

=1

2Var

(1 + ρ)ε1 +

1 − ρ2ε2

=1

2

(1 + ρ)2 + 1 − ρ2

=1 + ρ,

Var [γ 2] =1

2Var [ε1 − η2]

=1

2Var

(1 − ρ)ε1 −

1 − ρ2ε2

=1

2

(1 − ρ)2 + 1 − ρ2

=1 − ρ,

29


31/72

Cov (γ 1, γ 2) =1

2Cov

(1 + ρ)ε1 +

1 − ρ2ε2, (1 − ρ)ε1 −

1 − ρ2ε2

=1

2

(1 + ρ)(1 − ρ) − (1 − ρ2)

= 0.

Aśı pues, con base en lo anterior, se puede escribir

dS 1t = µ1S 1tdt + σ1S 1tdW 1t

y

dS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2tdW 2t,

donde

dW 1t = 1√ 2

(dU 1t + dU 2t) , dW 1t = 1√ 2

(dU 1t − dU 2t)

dU 2t = ρdU 1t +

1 − ρ2dV t,

Cov (dU 1t, dV t) = 0.

De esta manera,

Var[dW 1t] =1

2

Var [dU 1t + dU 2t]

=1

2Var

(1 + ρ)dU 1t +

1 − ρ2dV t

=(1 + ρ)dt,

Var[dW 2t] =1

2Var [dU 1t − dU 2t]

=1

2Var

(1 − ρ)dU 1t −

1 − ρ2dV t

=(1 − ρ)dt,

Cov (dW 1t, dW 2t)

=1

2Cov

(1 + ρ)dU 1t +

1 − ρ2dV t, (1 − ρ)dU 1t −

1 − ρ2dV t

=1

2

(1 + ρ)(1 − ρ) − (1 − ρ2)dt

= 0.

30


32/72

Si se supone que µ1 = µ2 = 0, se cumple que

VaRdΠ/Π1−q =

α1VaR

dS 1/S 11−q

2+

α2VaRdS 2/S 21−q

2

=z q

α1σ1

λ12

+

α2σ2

λ22 √ dt

=z q

α21σ

21λ1 + α

22σ

22λ2

√ dt

=z q

2α21σ

21

λ1

λ1 + λ2

+ 2α22σ

22

λ2

λ1 + λ2

√ dt.

¿Cuál es la utilidad del método de componentes principales en el cálculo del Var? Larespuesta a esta pregunta es simple. Suponga que ρ = 0.95, entonces

Var [dW 1t] = (1 + ρ)dt = 1.95dt.

Ası́, la varianza de dW 1,t con respecto de la varianza total es λ1/(λ1+λ2) = 1.95/2 = 0.975,mientras que dW 2t sólo explica el 0.025 (= λ1/(λ1+λ2)) de la varianza total. Si α2 = 1/

√ 2,

α1 = 1 − (1/√

2), σ1 = 1/√

10 y σ2 = 0.05, entonces

2α22σ22

λ2

λ1 + λ2

= (0.0025)(0.025) = 0.0000625.

Por lo tanto, la segunda componente principal puede eliminarse ya que su contribuci ón a

la varianza total es insigificante. De esta manera, un problema de dimensión 2, de dosactivos, puede reducirse a un problema de dimensión 1, de la combinación lineal de los dosactivos y


2α21σ

21

λ1

λ1 + λ2

√ dt = z q(0.1293)

√ dt.

8.11 Valor en riesgo incremental del rendimiento de un portafolio

En el cálculo del VaR del rendimiento de un portafolio, es natural preguntar cu ál de los

activos contribuye más al riesgo total. El cálculo aislado del VaR para cada uno de losactivos no es la aproximación correcta debido a que se omiten los efectos de correlacióncon los otros activos. En esta sección se determina la contribución de cada uno de losactivos en el VaR del rendimiento de un portafolio. Para ello se utiliza la propiedad dehomogeneidad positiva y el teorema de Euler en (1).

Suponga que las dinámicas de los precios, S 1t y S 2t, de dos activos son conducidas,respectivamente, por

dS 1t = µ1S 1tdt + σ1S 1tdW t

31


33/72

y

dS 2t = µ2S 2tdt + σ2S 2tdU t,

de tal forma que

Cov(dW t, dU t) = ρdt,

donde µ1, µ2 ∈ IR y σ1, σ2 > 0. El valor en riesgo del rendimiento de portafolio, calculadocon anterioridad en la sección 8.6, satisface


α21σ

21 + α

22σ

22 + 2α1α2σ1σ2ρ

√ dt − (α1µ1 + α2µ2) dt.

El VaR incremental de un activo se define como la razón de cambio entre el VaR y laproporción del valor del portafolio que se invierte en el activo. Por supuesto, para estohay que ver el VaR como función de los porcentajes en que participan los activos en elportafolio. De esta manera, el VaR incremental con respecto de α1, denotado por VaRI

α11−q,

está dado por:

VaRIα11−q =∂ VaR1−q

∂α1(α1, α2) − µ1dt

=z q2

2α1σ1 + 2α2σ12

Var [dΠt/Πt]

√ dt − µ1dt

=z qCov

dS 1tS 1t

, α1dS 1tS 1t

+ α2dS 2tS 2t

Var [dΠt/Πt]

√ dt − µ1dt

=z qCovdS 1t

S 1t, dΠt

Πt

Var [dΠt/Πt]√ dt − µ1dt

=z q β 1σΠ√

dt − µ1dt,

donde

σΠ

=

Var [dΠt/Πt]

y

β 1 =Cov

dS 1tS 1t

, dΠtΠt

Var [dΠt/Πt]

.

Por lo tanto, en virtud del teorema de Euler, se puede escribir

VaR1−q(α1, α2) =α1VaRIα11−q + α2VaRI

α21−q.

Es decir, el VaR del rendimiento de un portafolio es una combinación lineal convexa de losvalores en riesgo incrementales. De esta manera, las posiciones se pueden cambiar paramodificar el VaR. Esta procedimiento es más eficiente comparado con el uso de valores

32


34/72

en riesgo en forma individual. Si se denota β Π

= α1β 1 + α2β 2 y µΠ = α1µ1 + α2µ2, laexpresión anterior se puede reescribir como

VaR1−q(α1, α2) =α1VaRIα11−q + α2VaRI

α21−q

=z q(α1 β 1 + α2 β 2)σΠ √ dt − (α1µ1 + α2µ2) dt=z qβ ΠσΠ

√ dt − µ

Πdt.

8.12 Índice de Herfindahl-Hirschman

El ı́ndice de Herfindahl-Hirschman proporciona una medida de concentración del valor enriesgo de los activos del portafolio. De acuerdo con la sección anterior, se puede escribir

VaRdΠ/Π1−q =

nk=1

xk,

donde

xk = αkVaRIαk1−q.

El ı́ndice de Herfindahl-Hirschman se define como

IHH =n

k=1

y2k

donde

yk = xk

VaRdΠ/Π1−q

Para ilustrar la utilidad de este ı́ndice suponga, por ejemplo, que un portafolio contiene 4

activos para los cuales y1 = 0.45, y2 = y3 = 0.25 y y4 = 0.05. En este caso,

IHH = 0.33

La interpretación de este ı́ndice radica es que su inverso 1/IHH = 3 significa que el portafo-lio bajo consideración, de 4 activos, es equivalente a uno con tres activos que contribuyenigualmente al VaR original.

33


35/72

8.13 VaR-promedio, AVaR (Average VaR), y esperanza condicionalel VaR

Un concepto muy útil en administración de riesgos es el VaR-promedio, el cual consisteen tomar el promedio de pérdidas potenciales con respecto al cuantil q . Aśı pues el VaR-

promedio se define comoAVaRX1−q =

1

q

q0

VaRX1−sds.

Si, por ejemplo,

F X(x) = 1 − e−λx, x > 0, λ > 0,

es decir, X es una variable aleatoria exponencial con parámetro λ > 0, se puede demostrarque

VaRX1−q = ln(1 − q )

λ

Por lo tanto, se sigue que

AVaRX1−q =1

q

q0

VaRX1−sds

=1

q

q0

ln(1 − s)λ

ds

= 1

qλ

q0

ln(1 − s)ds.

Considere ahora el cambio de variable u = 1 − s. En este caso, la ecuación anterior puedeescribirse como

AVaRX1−q = − 1

qλ

1−q1

ln(u)du

= − 1qλ

(u ln(u) − u)

1−q

1

= − 1qλ

[(1 − q ) ln(1 − q ) − (1 − q ) + 1]

=

− 1

λ1 − q

q ln(1 − q ) + 1 .

Por otro lado, la metodoloǵıa de valor en riesgo no proporciona información alguna cuandoel tamaño esperado del cambio de valor en el portafolio excede el umbral −VaRX1−q. Poresta razon es conveniente introducir la siguiente medida de riesgo si se define esperanzacondicional de la cola del VaR como

E X1−q = −EIP

X | X < −VaRX1−q

,

34


36/72

se puede reescribir

E X1−q = EIP−X | X < −VaRX1−q

= E

−X − VaRX1−q + VaRX1−q

X < −VaRX1−q= VaR

X

1−q + E−X − VaRX1−q− VaRXq − X > 0

= VaRX1−q − E

X + VaRX1−qVaRXq + X


37/72

8.14 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el peor casode VaR (Pc-VaR)

En esta sección se determina el peor valor del VaR del rendimiento de un portafolio condos activos en función del coeficiente de correlación de dichos activos. Si, en particular,µ1 = µ2 = 0, entonces

VaRdΠ/Π1−q = √ ZTCZ,donde

Z =

α1VaR

dS 1/S 11−q

α2VaRdS 2/S 21−q

y C =

1 ρρ 1

.

Si ρ ≤ 1, entonces

VaRdΠ/Π1−q

=√ ZTCZ

=α1VaRdS 1/S 11−q 2 + 2α1α2VaRdS 1/S 11−q VaRdS 2/S 21−q ρ + α2VaRdS 2/S 21−q 2≤

α1VaRdS 1/S 11−q

2+ 2α1α2VaR

dS 1/S 11−q VaR

dS 2/S 21−q +

α2VaR

dS 2/S 21−q

2=α1VaR

dS 1/S 11−q + α2VaR

dS 2/S 21−q .

Esta cota superior es llamada el peor caso de VaR (Pc-VaR). Obviamente, si ρ = 1,entonces C es la matriz unidad (todas las entradas de la matriz son iguales a 1) y

VaRdΠ/Π1−q =

√ ZTCZ

=

α1VaRdS 1/S 11−q

2+ 2α1α2VaR

dS 1/S 11−q VaR

dS 2/S 21−q +

α2VaR

dS 2/S 21−q

2=α1VaR

dS 1/S 11−q + α2VaR

dS 2/S 21−q .

Es decir, la cota superior es alcanzada cuando ρ = 1.

8.15 Valor en riesgo de un portafolio y el modelo CAPM (Modelodiagonal)

A continuación se examina, bajo un conjunto de supuestos, la relación que existe entre elvalor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el modelo CAPM (por las iniciales inglésde Capital Asset Pricing Model). Una de las formas del modelo CAPM establece que:

E [dRit] − rdt = β i (E[dRmt] − rdt) , (7)

donde

dRit = dS it

S it= µidt + σidW it, i = 1, 2, (8)

36


38/72

y

β i = Cov(dRit, dRmt)

Var[dRmt] .

El sub́ındice m hace referencia al mercado. Se supone que

Cov(dW 1t, dW 2t) = ρ12dt.

Observe que en este caso, el rendimiento del portafolio satisface

dRΠ := dΠt

Πt= α1

dS 1tS 1t

+ α2dS 2tS 2t

,

donde

α1 = w1S 1t

Πt, α2 =

w2S 2tΠt

y α1 + α2 = 1.

Por lo tanto,Var [dRΠ] = α21σ21 + α22σ22 + 2α1α2σ12dt (9)

yE [dRΠ] = (α1µ1 + α2µ2)dt. (10)

Suponga ahora quedRit = φidt + β idRmt + dU it, i = 1, 2, (11)

donde U it es normal con E[dU it] = 0 y Var[dU it] = σ2iudt, y dRmt es normal con E[dRmt] =

µmdt y Var[dRmt] = σ2mdt. Se supone además que

Cov(dU it

, dRmt

) = 0

yCov(dU 1t, dU 2t) = 0.

Observe que si en la ecuación anterior se escribe φi = r(1 − β i) y se toman esperanzas, seobtiene de nuevo la expresión 7). Se puede verificar, a partir de 11), que

σ12dt = β 1β 2σ2mdt (12)

yσ2i dt = β 2i σ2m + σ2iudt, i = 1, 2. (13)

Observe además que de acuerdo con (8) y (11)

σidW it = β idRmt + dU it,

lo cual produce de nuevo (13),

σ2i dt =

β 2i σ2m + σ

2iu

dt, i = 1, 2,

37


39/72

como era de esperarse. Las cantidades (12) y (13) se pueden reexpresar matricialmentecomo

Σ =

σ21 σ12σ21 σ

22

=

β 1β 2

( β 1 β 2 ) σ

2m +

σ21u 0

0 σ22u

.

Ahora bien, si se sustituyen (12) y (13) en (9), se sigue que

Var [dRΠ] =

α21β 21 + α

22β

22 + 2α1α2β 1β 2

σ2mdt + (α

21σ

21u + α

22σ

22u)dt.

Asimismo, de (8) y (11) se tiene que

µi = φi + β iµm,

con lo cual

E [dRΠ] = (α1φ1 + α2φ2)dt + (α1β 1 + α2β 2)µmdt.

Esta expresión se puede simplificar aún más si se denotan φΠ = α1φ1 + α2φ2, β Π =α1β 1 + α2β 2 y σ

2Π,u = α

21σ

21u + α

22σ

22u, de tal suerte que

Var [dRΠ] =

β 2Πσ2m + σ

2Π,u

dt

E [dRΠ] = (φΠ + β Πµm)dt.

En consecuencia,

VaRdRΠ1−q = z q

β 2Πσ

2m + σ

2Π,u

√ dt − (φΠ + β Πµm)dt.

Si la cantidad σ2Π,u es despreciable (usualmente lo es), se tiene que

VaRdRΠ1−q = z qβ Πσm√

dt − (φΠ + β Πµm)dt.

Si, en particular, φ1 = φ1 = µm = 0, entonces

VaRdRΠ1−q = α1β 1z qσm√

dt + α2β 2z qσm√

dt.

Esta expresión, bajo los supuestos establecidos, permite calcular el valor en riesgo delrendimiento de un portafolio mediante las betas de los activos y la volatilidad del mercado.Compare este resultado con el VaR incremental estudiado en la sección 8.9.

38


40/72

8.16 Valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo librede riesgo

En esta sección se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo librede riesgo. El portafolio consiste de una acción y un depósito bancario.

Considere un movimiento Browniano (W t)t∈[0,T ]. Se supone que el precio, S t, de unaacción es conducido por la ecuación diferencial estocástica

dS t = µS tdt + σS tdW t,

donde µ ∈ IR y σ > 0. Considere un portafolio

Πt = wS t + M,

donde M es una cantidad que se deposita en un banco y que paga una tasa de interésconstante y libre de riesgo r . El cambio en el valor del portafolio satisface

dΠt = wdS t + M rdt,

En este caso,

E[dΠt] = (wµS t + M r)dt

y

Var [dΠt] = w2σ2S 2t dt.

De esta manera,

VaR

dΠ

1−q = z qwσS t

√ dt − (wµS t + M r)dt.

En consecuencia,

VaRwdS +Mrdt1−q = wVaRdS 1−q − Mrdt.

8.17 Valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo conriesgo crédito

A continuación se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo conriesgo crédito. En paricular, el portafolio consiste de una acción y bono, en este último

existe una probabilidad positiva de que los intereses se recuperen parcialmente en T .Se supone que el precio, S t, de una acción es conducido por una ecuación diferencial

estocástica de la forma


donde µ ∈ IR, σ > 0 y (W t)t∈[0,T ] es un movimiento Browniano. Considere un portafolio

Πt = wS t + M,

39


41/72

donde M es una cantidad que se destina a comprar un bono. Existe una probabilidad Qde que los intereses se recuperen parcialmente en T , es decir, si δ es la tasa de recuperaciónde los intereses, entonces

IPδ {δ = δ 0} = Q, 0 < δ 0 < 1,

yIPδ {δ = 1} = 1 − Q.

El cambio en valor del portafolio satisface

dΠt = wdS t + Mrδ dt,

Sea X = ΠT − Πt, entonces

EW [X | δ, F t ] = (wµS t + M rδ )(T − t),

yE [X | F t] = Eδ [EW [X | δ, F t ]] = (wµS t + M r(1 − Q(1 − δ 0)))(T − t).

Por otro lado,VarW [X | δ, F t ] = w2σ2S 2t (T − t).

Por lo tanto,

Var [X | F t ] =Varδ [EW [X | δ, F t ]] + Eδ [VarW [X | δ,F t ]]=w2σ2S 2t (T − t).

En consecuencia,

VaRX1−q = z qwσS t√

T − t − (wµS t + M r(1 − Q(1 − δ 0)))(T − t).

La expersión anterior puede ser reescrita como

VaRX1−q = wVaRS t1−qσS t

√ T − t + µ

M (T − t),

donde µM

= pago esperado de los de intereses del bono. Si −VaRS t1−q es el peor valor delcambio en el valor del activo, al (1 − q )100% de confianza en [t, T ], entonces la cantidad−wVaR

S t1−q se reduce en el pago esperado de los de intereses del bono, µM .

8.18 Valor en riesgo de productos derivados, aproximación Delta-Gamma

En esta sección se cálcula el valor en riesgo de un portafolio que contiene productos deriva-dos. En lo que sigue, por simplicidad, se considera el caso de un portafolio con un activoy una opción europea de compra sobre dicho activo.

40


42/72

Considere un movimiento Browniano (W t)t∈[0,T ] definido sobre un espacio fijo de pro-babilidad equipado con su filtración aumentada, (Ω, F , (F t)t∈[0,T ], IP). Se supone que elprecio, S t, de un activo subyacente, v.g., una acción, es conducido por


donde µ ∈ IR y σ > 0. Si c = c(S t, t) el valor de la opción europea de compra, entonces elcambio marginal en el precio de la opción, durante [t, t + dt], satisface (via el lema de Itô)

dc =

∂c

∂t +

∂c

∂S tµS t +

12σ

2S 2t∂ 2c

∂S 2t

dt +

∂c

∂S tσS tdW t.

Considere ahora un portafolio con ω1 unidades del activo subyacente y ω2 unidades de unaopción de compra sobre el subyacente, entonces el valor del portafolio está dado por

Πt = ω1S t + ω2c(S t, t).

El cambio en el valor del portafolio, durante el instante dt, se calcula mediante

dΠt =

ω1 + ω2

∂c

∂S t

µS tdt

+ ω2

∂c

∂t + 12σ

2S 2t∂ 2c

∂S 2t

+

ω1 + ω2

∂c

∂S t

σS tdW t

=

(ω1 + ω2∆) µS t + ω2

θ + 12Γσ

2S 2t

dt + (ω1 + ω2∆) σS tdW t,

donde

θ = ∂c

∂t, ∆ =

∂c

∂S ty Γ =

∂ 2c

∂S 2t.

Por lo tanto,

VaRdΠ1−q =z q (ω1 + ω2∆) σS t√

dt

+

ω1µS t − ω2

θ + ∆µS t + 12Γσ

2S 2t

dt.

En particular, si ω1 = 1 y ω2 = 0,

VaR

dS

1−q = z qσS t

√ dt − µS tdt.

De la misma forma, si ω1 = 0 y ω2 = 1,

VaRdc1−q =z qσ∆S t√

dt − θ + ∆µS t + 12Γσ2S 2t dt=∆VaRdS 1−q −

θ + 12Γσ

2S 2t

dt.

41


43/72

8.19 Valor en riesgo de un derivado con base en una aproximacióncuadrática del precio del derivado

Cuando un portafolio incluye productos derivados es conveniente considerar el sesgo de ladistribución del cambio de valor del derivado para calcular el VaR. En este sentido, cuandola Gamma es positiva el sesgo de la distribución del cambio de valor del derivado es positivo,mientras que cuando la Gamma es negativa el sesgo de la distribución es negativo.

Sea c = c(S t) el precio de una opción europea de compra. Considere la aproximacióncuadrática del cambio en precio del derivado,

dc ≈ ∂c∂S t

dS t + 12

∂ 2c

∂S 2t(dS t)

2.

Por lo tanto,

Var [dc] ≈ ∆Var [dS t] + 14Γ2Var (dS t)

2

+ ∆ΓCov

dS t, (dS t)

2

.

Si los momentos impares de dS t se anulan, entonces

Cov

dS t, (dS t)2

= E(dS t)

3− E [dS t] E (dS t)2 = 0.

En consecuencia,Var [dc] ≈ ∆Var [dS t] + 14Γ2Var

(dS t)

2

y

VaRdc1−q ≈ z q

∆Var [dS t] + 14Γ

2Var [(dS t)2].

En particular, si S t sigue un proceso de la forma

dS t = σS tdZ, dZ ∼ N (0, 1),

se tiene queVar [dc] ≈∆Var [dS t] + 14Γ2Var

(dS t)

2

=∆S 2t σ2 + 14Γ

2Var

(dS t)2

=∆S 2t σ2 + 14Γ

2

E

(dS t)4− E (dS t)22

=∆S 2t σ2 + 14Γ

2

3S 4t σ

4 − S 4t σ4

=∆S 2t σ2 + 12Γ2S 4t σ4.Observe que en este caso Var[(dS t)

2] = 2(Var[dS t])2. Claramente,

VaRdc1−q ≈z q

∆S 2t σ2 + 12Γ

2S 4t σ4

=z qS tσ

∆ + 12Γ2S 2t σ

2 .

42


44/72

8.20 Valor en riesgo y expansión de Cornish y Fisher

Usualmente en el cálculo del valor en riesgo de un portafolio con productos derivados, seel tercer momento de la distribución del precio del derivado se ignora. Sin embargo, dichomomento proporciona información relevante sobre el sesgo de la distribución.

En lo que sigue, se supone que la dinamica del activo subyacente carece de tendencia.En particular, se supone que

dS t = σS tdZ, dZ ∼ N (0, 1),es decir dS t/S t tiene distribución N (0, σ2). En este caso, (dS t/σS t)2 tiene distribuciónχ21. Por lo tanto,

E

dS tσS t

2 = 1 y Var

dS tσS t

2 = 2.

Si c = c(S t) el precio de una opción europea de compra, la aproximación cuadrática delcambio en precio del derivado, dc, satisface

dc ≈ ∆S t dS tS t

+ 12ΓS 2t

dS tS t

2.

Por lo tanto,µdc := E[dc] ≈ 12Γ2S 2t σ2. (14)

También, dado queσ2dc := Var [dc] ≈ ∆S 2t σ2 + 12Γ2S 4t σ4,

se tiene que E (dc)2 ≈∆S 2t σ2 + 12Γ2S 2t σ2 + (E [dc])2=∆S 2t σ

2 + 34Γ2S 2t σ

2.(15)

Por otro lado,

(dc)3 ≈ ∆3S 3t

dS tS t

3+ 32∆

2ΓS 4t

dS tS t

4+ 34∆Γ

2S 5t

dS tS t

5+ 18Γ

3S 6t

dS tS t

6.

Consecuentemente,

E (dc)3 ≈ 32∆2ΓS 4t EdS tS t 4+ 18Γ3S 6t EdS tS t

6 ,ya que los momentos impares de la distribución normal con media cero se anulan. Asimis-mo, por propiedades de la distribución normal

E

dS tS t

4 = 3σ4 y E

dS tS t

6 = 15σ6.

43


45/72

En consecuencia,E

(dc)3 ≈ 92∆2ΓS 4t Eσ4 + 158 Γ3S 6t σ6. (16)

El valor en riesgo corregido por sesgo con la expansión de Cornish y Fisher, VaR-CFdc1−q,se define en forma similar al valor en riesgo:

VaR-CFdc1−q =z qσdc − µdc=z q ∆S 2t σ2 + 12Γ2S 4t σ4 − 12Γ2S 2t σ2=z qS tσ ∆σ2 + 12Γ2S 2t σ2 − 12Γ2S 2t σ2,

donde z q es el percentil q corregido por sesgo de la expansión de Cornish y Fisher,z q = z q + 16(z 2q − 1)κdc3 (17)y

κdc3 = 1

σ3dcE(dc − E[dc])3

=E

(dc)3− 3E (dc)2µdc + 2µ3dc

σ3dc

=92∆

2ΓS 4t σ4 + 158 Γ

3S 6t σ6 − 3 ∆S 2t σ2 + 34Γ2S 2t σ2 12Γ2S 2t σ2 + 2 12Γ2S 2t σ23

∆S 2t σ2 + 12Γ

2S 4t σ43/2

=92∆

2ΓS 4t σ4 + 158 Γ

3S 6t σ6 − 32∆Γ2S 4t σ4 − 98Γ4S 4t σ4 + 14Γ6S 6t σ6

∆S 2t σ

2 + 12Γ2S 4t σ

4

3/2

=92∆2 − 32∆Γ − 98Γ3ΓS 4t σ4 + Γ3 + 152 14Γ3S 6t σ6∆S 2t σ

2 + 12Γ2S 4t σ

43/2=

92∆

2 − 32∆Γ − 98Γ3

ΓS 4t σ

4 +

Γ3 + 152 14Γ

3S 6t σ6

∆ + 12Γ2S 2t σ

23/2

S 3t σ3

,

en donde se han utilizado las fórmulas 14)-16). Por último, es importante justificar laprocedencia de la expresión 17). Cornish y Fisher en (1937) desarrollaron una expansión

para el cuantil, z q, de una distribución F (x) en términos los cuantililes de la distribuciónnormal estándar Φ(x) y de los cumulantes de

F (x). Se supone que dichos cumulantes son

conocidos. Concretamente, si zq−∞

d F (x) = q = zq−∞

dΦ(x),

entonces z q =z q + 16 z 2q − 1κ3 + 124 z 3q − 3z qκ4 − 136 2z 3q − 5z qκ23+ 1120

z 4q − 6z 2q + 3

κ5 − 124

z 4q − 5z 2q + 2

κ3κ4

+ 1324

12z 4q − 53z 2q + 17

κ33 + · · · ,

44

8/19/2019 Administracion Coher

Administracion Coherente de Riesgos Con Futuros Del MexDer

Documents

Transcript of Administracion Coherente de Riesgos Con Futuros Del MexDer