ADRIANA MILENA ÁVILA REYESLICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

600 a.CPitágoras

300 a.CEuclides

1632Fermat

1732Euler

1914Lehmer

1752Goldbach

D.H Lehmer

Los números primos han inquietado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales y han surgido numerables problemas que fascinan y motivan la imaginación, aunque algunos aun permanecen sin solución

Existe siempre un primo por lo menos entre para cada entero n>1?

¿Contiene la secuencia de Fibonacci un número infinito de primos?

Decimos que a es un numero primo si a es mayor que 1 y sus únicos divisores positivos son 1 y a, en caso contrario a se llama compuesto.

en consecuencia, los números primos menores que 100 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Proposición: los números primos son infinitos

Demostración de Euclides.

Esta demostración aparece en el año 300 antes de Cristo en el IX libro de la colección de trece llamada “ELEMENTOS”

de Euclides y es un bonito ejemplo del método de demostración por reducción al absurdo.

demostración ejemplo

Supongamos que hay un numero finito de números primos ,

Supongamos que los únicos números primos que existen son 2,3,5 y 7

Sea N= 2*3*5*7+1 y 2 es un divisor primo de N

Como n es un número compuesto , debe dejarse dividir por al menos uno de los primos.

N=211

Pero al dividir n por cada me deja residuo 1.

Lo que contradice la definición de divisibilidad

Por lo tanto existen infinitos números primos

Demostración. Sea a >1 un entero, demostraremos que existe un primo p>a tal que p es de la forma 4x+1.

Sea m=(a!)²+1, obsérvese que m es impar y m >1

Sea p el menor número primo que divide a m, es claro que 2,3,…,a-1,a no son divisores de m ;así que p>a y p divide a m =(a!)²+1.

Además tenemos, (a!)²+1=kp, para algún k entero.

Por lo tanto (a!)² (-1)( modulo p)

Elevando ambos miembros de esta congruencia a la potencia (p-1)/2, obtenemos

Por el teorema de euler-fermat tenemos que

y por lo tanto

Así que

Luego

Así que , y esta diferencia debe ser divisible por p (p es primo mayor que 2), entonces la única posibilidad es que z= 0

Es decir que Luego

Finalmente se tiene que p=4x+1

Fermat descubrió que todo número primo de la forma 4x+1 tal como 5,13,17,29,37,…..es una suma de dos cuadrados.

Demostración.

Supongamos que hay un número finito de primos de esta forma, y sea p el mayor de todos ellos.

Consideremos ahora el entero a = 4(3*5*7*…* p )-1

a no puede ser primo ya que a > p

Además, ningún primo menor o igual que p divide a a , por lo que todos los factores primos de a exceden a p .

Pero no es posible que todos los factores primos de a sean de la forma 4x+1, puesto que el producto de dos de tales números es de la misma forma.

Luego algún factor primo de a debe ser de la forma 4x-1, lo que constituye una contradicción.

PRIMOS DE MERSENNE

NUMERO PRIMO DE FERMAT

NUMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN

NUMEROS PRIMOS GEMELOS

NÚMEROS PRIMOS REVERSIBLES

237,156,667-1

11,185,272 dígitos

GRÁCIAS

5 =1²+2²

13=2²+3²

17=1²+4²

29=2²+5²

37=1²+6²

41=4²+5²

DEFINICIÓN : si a y b son enteros, decimos que a divide a b si existe un entero c tal que b=a*c

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Mn = 2n − 1.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo.

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma 22n + 1,con n natural eran números primos

Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es número primo. Ejemplo: con p=2, 2x2+1=5 que también es un número primo.

Dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si .

son aquellos que al leerlos al revés (de derecha a

izquierda) dan un nuevo número primo. Ej. 13 y 31

o 1201 y 1021