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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

ESCUELA DE POST-GRADODOCTORADO EN RECURSOS HIDRICOSCurso:METODOS NUMERICOS

Tema:

AGUAS SUBTERRANEAS (SOLUCION NUMERICA DE FLUJO SUBTERRANEO)

Docente:

Dr. Abel Meja Marcacuzco

Alumno: Abelardo Manrique Daz Salas

La Molina Diciembre de 2007

INDICEPag.I. INTRODUCCION51.1Objetivos6II. AGUA EN LAS ROCAS72.1 Hidrogeologa72.2 Tipos de formaciones geolgicas7i. Acuferos7ii. Acuitardos7iii. Acuicludos8iv. Acufugos82.3 Agua subterrnea82.4 Tipos de acuferos8i. Acufero libre, fretico o no confinado8ii. Acufero confinado, cautivo o a presin8iii. Acufero semiconfinado9iv. Acufero semilibre92.5 Energa del agua en los acuferos10i. Potencial o carga total o energa total10ii. Energa potencial10iii. Energa de presin hidrosttica11iv. Energa cintica11v. Trabajo realizado por unidad de peso112.6 Parmetros que definen a una roca como acufero12i. Capacidad de una roca para almacenar agua12a. Coeficiente de almacenamiento en acuferos libres13a.1Porosidad eficaz de la rocaa.2Porosidad intergranular3a.3Porosidad por fisuracin14a.4Porosidad por disolucin14b. Coeficiente de almacenamiento en acuferos confi-nados o semiconfinados14ii. Movimiento del agua a travs de las rocas15a) Ley de Darcy15b) Gradiente hidrulico16III. ECUACION GENERAL DE FLUJO SUBTERRANEO Y SU SOLUCION173.1 Ecuacin general del flujo en rgimen transitorio y en rgimen permanente173.2 Solucin de la ecuacin general de flujo subterrneo19i. Condiciones de contorno19a) Potencial impuesto20b) Flujo impuesto20c) Flujo condicionado por el valor del potencial hidrulico20ii. Mtodo de solucin20a) Mtodo grfico20b) Mtodo analtico20c) Mtodo numrico21c.1Mtodo de elementos finitos22c.2Mtodo de diferencias finitas23c.2.1Ecuacin de Laplace en diferencias231) Diferencias finitas232) Derivadas de orden superior25IV. APLICACIONES274.1 Aplicaciones de MATLAB284.2 Resultados294.3 Obtencin de las curvas de nivel fretico29V. CONCLUSIONES31VI. RECOMENDACIONES32VII. BIBLIOGRAFIA33

RELACION DE FIGURASN DESCRIPCIONPAG2.1DISTINTOS TIPOS DE ACUIFEROS92.2TIPOS DE POROSIDAD EN LOS ACUIFEROS (A) POROSIDAD POR DISOLUCION, (B) PORODISAD INTERGRANULAR. (C) POROSIDAD POR FISURACION.132.3(A) POROSIDAD ALTA EN MEDIO INTERGRANULAR HOMOGENEO. (B) POROSIDAD BAJA POR HETEROGENEIDAD GRANULOMETRICA.142.4ESQUEMA DE EXPERIMENTO DE DARCY.3,1BALANCE DE MASA DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL ACUIFERO173.2INTERPRETACION GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS243.3MALLA USADA PARA LA SOLUCION DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE LA ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL ELIPTICA. ECUACION DE LAPLACE.264.1CROQUIS DE UN ACUIFERO CON SUS NIVELES FREATICOS EN LAS FRONTERAS.274.2DISTRIBUCION DE LOS NIVELES DE LA NAPA FREATICA DE UN ACUIFERO30

RELACION DE PLANOSN DESCRIPCIONPAG1RED DE FLUJO

IINTRODUCCIONLa mayor parte del agua que existe en la Naturaleza, el 97.5 %, es agua salada almacenada en los ocanos y en algunos lagos. Slo el 2.5 % de agua restante es agua dulce que se encuentra almacenada en las rocas, en casquetes polares y glaciares, ros, lagos, biomasa y atmsfera en forma de vapor. De estos 2.5 % de agua dulce el 30.1 % constituyen Las aguas subterrneas dulces y el 68.7% son aguas de los glaciares y de los casquetes polares. Dado esta realidad por su importancia en magnitud es necesario evaluar las aguas subterrneas.El presente trabajo trata sobre aguas subterrneas, se ha dado nfasis en cuanto a los criterios de evaluacin que permitan interpretar el comportamiento de las aguas subterrneas. El comportamiento del flujo subterrneo matemticamente se describe mediante la ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. La ecuacin de Laplace que un caso especial de ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver mediante tres mtodos: mtodo grfico, mtodo analtico y mtodo numrico. Como una aplicacin del curso de Mtodos Numricos en el presente trabajo se ha empleado el mtodo numrico para solucionar la ecuacin de LAPLACE y como la solucin es compleja porque se trabaja con varias ecuaciones con varias incgnitas se ha empleado el software MATLAB para solucionar dichas ecuaciones. La aplicacin de MATLAB a un ejemplo ha dado buenos resultados. Para graficar las niveles freticos se ha utilizado AUTOCADLAND.El trabajo se ha organizado en siete captulos. En captulo I se trata sobre la importancia de aguas subterrneas y de los objetivos, en el captulo II se describen los acuferos y sus parmetros. En el captulo III se realiza la interpretacin matemtica del flujo subterrneo. En el captulo IV se aplica a un ejemplo la solucin de la ecuacin de LAPLACE.. En los captulos V y VI se indican las conclusiones y recomendaciones . Finalmente en el captulo VIII se presenta la bibliografa.El trabajo es una aplicacin del curso de Mtodos Numricos dictado en la Escuela de Post Grado de la Universidad Nacional Agraria La Molina, en el Programa de Doctorado en Recursos Hdricos.

1.1Objetivos Evaluar el comportamiento del flujo subterrneo mediante mtodos numricos. Realizar mapas de nivel fretico.

IIAGUA EN LAS ROCASLa mayor parte del agua que existe en la Naturaleza, el 97.5 %, es agua salada almacenada en los ocanos y en algunos lagos. Slo el 2.5 % de agua restante es agua dulce que se encuentra almacenada en las rocas, en casquetes polares y glaciares, ros, lagos, biomasa y atmsfera en forma de vapor.El agua dulce en la hidrsfera se reparte de la siguiente manera: Glaciares y casquetes polares: 68.7 % Aguas subterrneas dulces: 30.1 % Lagos de agua dulce: 0.26 % Ros: 0.006 % Biomasa: 0.003 % Vapor en la atmsfera: 0.04 % Cinagas y suelo: 0.891 %Dado la importancia en magnitud y calidad del agua subterrnea en el presente trabajo se evala el agua subterrnea.

2.1HidrogeologaEs parte de la geologa que estudia el agua del subsuelo y especialmente el agua subterrnea o escorrenta subterrnea.

2.2Tipos de formaciones geolgicasEn relacin a las aguas subterrneas, las unidades geolgicas se pueden clasificar en:

i. AcuferosSon rocas que almacenan y transmitan agua. La palabra acufero proviene del altn (aqua=agua y ferre=llevar). El agua almacenada en estas unidades geolgicas es conocida con el nombre de agua subterrnea. Dentro de estas formaciones se pueden encontrar materiales muy variados como gravas del ro, calizas muy agrietadas, areniscas porosas poco cementadas, arenas de playa, etc.

ii. AcuitardosSon formaciones geolgicas semipermeables que, conteniendo apreciables cantidades de agua la transmiten lentamente, por lo que no son aptos para el emplazamiento de captaciones subterrneas. Es el caso de depsitos de limos y arcillas arenosas, areniscas, rocas compactas con alteracin y/o fracturaciones moderadas.

iii. AcuicludosSon formaciones geolgicas que conteniendo agua en su interior incluso hasta la saturacin, no la transmite y por lo tanto no es posible su explotacin. Se pueden citar como ejemplos los depsitos de arcillas de cualquier origen, que a pesar de contener enormes cantidades de agua, no la drenan por gravedad ni la dejan pasar.

iv. AcufugosSon rocas que ni almacenan ni trasmiten agua. Es el caso de macizos granticos y de las rocas plutnicas.

2.3Agua subterrneaEs el agua de los acuferos. Estas agua surgen principalmente a partir de la agua infiltrada desde la superficie del terreno que alcanza las grietas y orificios del subsuelo, donde queda almacenada o bien continua fluyendo.

2.4Tipos de acuferosAtendiendo al grado de confinamiento, es decir a la presin hidrosttica del agua encerrada en los mismos, se distinguen a los siguientes tipos:

i. Acufero libre, fretico o no confinadoEs aquel acufero que presenta una superficie libre de agua sujeta a la presin atmosfrica. Se supone que el peso de la roca no ejerce ninguna presin sobre el agua que en ella se almacena, es decir que el esqueleto del acufero es una estructura independiente y estable (si se vaca de agua, las rocas no se desmoronan).

ii. Acufero confinado, cautivo o a presinEs aquel acufero que est asilado de la atmsfera por unidades geolgicas impermeables. El acufero confinado est siempre saturado de agua, y en todos sus puntos el agua se encuentra a una presin mayor que la atmosfrica. El agua se encuentra confinada a dos estratos impermeables.iii. Acufero semiconfinadoSon una variante de los acuferos confinados y se caracterizan porque estn limitados en su parte superior por una capa semipermeable (acuitardo) y en su parte inferior por una impermeable (acufugo o acuicierre) o tambin por otro acuitardo. En este tipo de acuferos puede ignorarse la componente horizontal del flujo.

iv. Acufero semilibreEn estas formaciones geolgicas la capa confinante superior es un estrato semipermeable o acuitardo, de caractersticas tales que la componente horizontal del flujo no puede ignorarse. Es el caso de acuferos formados por granos gruesos, limitado en la parte inferior por una formacin impermeable y en la parte superior por una formacin de granos finos. En la figura N2.1, se muestra los distintos tipos de acuferos.

FIGURA N 2.1DISTINTOS TIPOS DE ACUIFEROS

2.5Energa del agua en los acuferosEn el suelo el agua fluye a travs de poros interconectados que resultan de la disposicin de las partculas individuales y de la agregacin de las mismas. Pero para que se produzca el movimiento se requiere de energa (diferencia de potencial) y capacidad del medio poroso para transmitir agua.La altura que alcanza el agua subterrnea en el interior de un sondeo ranurado exclusivamente en un punto de un acufero, es consecuencia directa de la energa que tiene el agua en ese punto. A esta energa se le denomina potencial hidrulico en este punto. Por tanto en una altura de agua en un sondeo, se mide en unidades de longitud.A efectos de poder establecer relaciones entre los niveles piezomtricos o freticos en diferentes puntos de un acufero sedan todos ellos segn una referencia comn. Esta referencia suele ser la misma que se toma origen para la mediad de cotas topogrficas.i. Potencial o carga total() o energa totalDenominado tambin como carga hidrulica, carga piezomtrica o carga total. El trabajo o energa en general, viene representado por el producto de una fuerza por una distancia en el sentido del movimiento, la expresin matemtica esta dada por:(2.1)Donde: energa o trabajo fuerza distancia en la direccin del movimientoLa energa total est por la suma de las tres energas: Energa potencial, energa de presin y la energa cintica

ii. Energa potencialEst dada por la siguiente expresin:(2.2)Donde: peso altura

iii. Energa de presin hidrostticaEst dada por la siguiente expresin:(2.3)Donde: presin volumen

iv. Energa cinticaEsta dad por la siguiente expresin:(2.4)Donde: masa velocidadEntonces la energa total o el potencial hidrulico es :(2.5)(2.6)

v. Trabajo realizado por unidad de pesoCuando la carga unitaria se toma como la unidad de peso se tienen:(2.7)Expresando cada trmino de (2.6) en funcin del peso, se tiene:De: entonces: (2.8)De: entonces: (2.9)Reemplazando (2.8) y (2.9) en (2.6) se tiene: (2.10)Por tanto, la energa por unidad de peso del agua se expresa por:(2.11)La ecuacin (2.11) es denominada como ecuacin de Bernoulli que se expresa por:(2.12)Donde: carga o energa de posicin por unidad de peso carga o energa de presin por unidad de peso= carga o energa cintica por unidad de pesoConsiderando en condiciones normales, la velocidad del flujo subterrneo es baja, por tanto la componente cintica de la energa que es proporcional al cuadrado de la velocidad puede despreciarse, quedando la ecuacin (2.12) de la siguiente forma:(2.13)

2.6Parmetros que definen a una roca como acuferoDe acuerdo a la definicin de acufero son dos los parmetros que permiten considerar a los acuferos como verdaderos embalses subterrneos: su capacidad de almacenar agua y su capacidad para permitir que el agua circule en su inferior.

i. Capacidad de una roca para almacenar aguaLa capacidad para almacenar agua se mide a partir del coeficiente de almacenamiento S, que se define como el volumen de agua que proporciona una columna de acufero de base unitaria y altura el espesor saturado del acufero al descender en una unidad el potencial hidrulico.

a. Coeficiente de almacenamiento en los acuferos libresEl volumen de agua que puede obtenerse de acuerdo con la definicin del coeficiente de almacenamiento se corresponde con el agua almacenada en los poros interconectados del medio y que puede ser drenada por gravedad.

a.1Porosidad eficaz de la rocaEs el volumen de poros interconectados con relacin al volumen de la roca, expresado en porcentaje. La porosidad eficaz es diferente a la porosidad total que se refiere al nmero total de huecos, interconectados entre si o no. La porosidad eficaz es menor que la porosidad total.

FIGURA N 2.2 TIPOS DE POROSIDAD EN LOS ACUIFEROS (A) POROSIDAD POR DISOLUCION. (B) POROSIDAD INTERGRANULAR. (C) POROSIDAD POR FISURACION.

a.2Porosidad intergranularEste tipo de porosidad es tpico de las rocas detrticas no consolidadas. En ellas los poros constituyen una red intrincada de canales de pequeo dimetro por los que circula el agua subterrnea. Generalmente esta red de canales est distribuida por todo el volumen de la roca (ver la figura N 2.2).La heterogeneidad de tamao de los clastos tiene un efecto directo sobre la porosidad (ver figura 2.3)Ejemplos de acuferos con este tipo de porosidad son: Depsitos fluviales Las fosas tectnicas rellenas de materiales no consolidados Depsitos elicos Las llanuras o planas costeras Los depsitos glaciares

FIGURA N 2.3(A) POROSIDAD ALTA EN MEDIO INTERGRANULAR HOMOGENEO. (B) POROSIDAD BAJA POR HETEROGENEIDAD GRANULOMETRICA

a.3Porosidad por fisuracinEste tipo de porosidad suele ser el caracterstico de las rocas sedimentarias consolidadas plutnicas y metamrficas. Como consecuencia de una serie de procesos tectnicos las rocas presentan fisuras. Las fisuras no suelen estar distribuidas homogneamente en todo el volumen de la roca en donde generalmente se encuentran zonas fisuradas junto a zonas en las que la ausencia de fisuras es total (ver figura 2.2)

a.4Porosidad por disolucinEs la porosidad de los medios krsticos en los que a partir de pequeas fisuras y planos de estratificacin el agua va disolviendo la roca y acaban por formarse verdaderos redes de drenaje tridimensionales por las que pueden circular autnticos ros de agua subterrnea.

b. Coeficiente de almacenamiento en acuferos confinados o semiconfinadosEn caso de acufero confinado o semiconfinado el volumen de agua que puede liberarse, segn la definicin de este parmetro, est en relacin con los fenmenos elsticos que se producen en el sistema como consecuencia de la variacin de la presin intersticial al disminuir el potencial hidrulico .Este no supone el vaciado fsico del acufero. Su orden de magnitud est muy condicionado por los valores de los coeficientes de compresibilidad del agua y del acufero. En la generalidad de los casos suele estar entre y . La expresin matemtica es:(2.14)Donde: coeficiente de almacenamiento (adimensional) Peso especfico del agua Porosidad eficaz (adimensional) mdulo de compresibilidad del agua mdulo de compresibilidad del acufero Espesor saturado del acufero

ii. Movimiento del agua a travs de las rocasEl movimiento del agua a travs de medios porosos en la zona saturada se explica mediante la ley emprica de Darcy.

a. Ley de DarcyDarcy realiz un experimento como lo mostrado en la siguiente figura. El experimento lo realiz con un suelo arenoso, cuando diseaba los filtros de arena para el agua potable de la ciudad de Dijon. Darcy lleg a la conclusin de que la cantidad de agua que fluye a travs de un medio poroso (muestra de arena) por unidad de tiempo, en otras palabras el caudal o la descarga, es proporcional a la seccin transversal A, a la diferencia entre las cargas del fluido en las superficies de salida y entrada de la muestra, es decir la prdida de carga e inversamente proporcional a la longitud de la muestra de la muestra de arena o trayectoria del flujo. Esta proporcionalidad matemticamente es expresada por:(2.15) (2.16)Donde: volumen de agua que atraviesa la muestra por unidad de tiempo rea de la seccin transversal = potenciales en los puntos 1 y 2 respectivamente prdida de carga Constante de proporcionalidad llamada conductibilidad hidrulica que depende de la naturaleza de la arena y del fluido (agua)

FIGURA N 2.4Esquema del experimento de Darcy.

b. Gradiente hidrulicoLa gradiente hidrulica se define como el cociente entre la diferencia de carga entre dos puntos y la distancia medida a lo largo de la lnea de corriente del flujo entre esos dos puntos. La expresin matemtica es:(2.17)Aplicando el concepto de gradiente hidrulica , las ecuaciones de la ley de Darcy, se puede expresar como:(2.18)(2.19)

IIIECUACION GENERAL DE FLUJO SUBTERRANEO Y SU SOLUCIONMediante la ley de Darcy y utilizando la ley de la conservacin de masa a un elemento del acufero, se deduce la ecuacin general de flujo subterrneo, tanto para rgimen permanente (potencial constante a lo largo del tiempo) como para rgimen transitorio ( potencial variable a lo largo del tiempo).

3.1Ecuacin general del flujo en rgimen transitorio y en rgimen permanenteConsiderando un pequeo elemento de un acufero de dimensiones orientado en el espacio segn unos ejes cartesianos X,Y,Z (ver la siguiente figura) y aplicando el principio de conservacin de masa (entradas de masa de agua menos salidas es igual a la variacin de masa en el almacenamiento del elemento).

FIGURA N 3.1BALANCE DE MASA EN UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE ACUIFERO

La masa de agua que entre en el elemento de acufero en un instante segn la direccin del eje X se puede expresar como el volumen de agua que entra en ese instante (seccin por velocidad y por tiempo) multiplicando por la densidad del agua..(3.1)Donde: seccin perpendicular al flujo= velocidad del flujo en la direccin del eje X densidad del agua intervalo de tiempo consideradoEn eses mismo instante por la cara opuesta, separada de la anterior por , sale el volumen de dada por la siguiente ecuacin:.(3.2)La diferencia entra la masa que entra por una cara del elemento y la que sale por la cara opuesta a de ser igual, para que se cumpla el principio de la conservacin de masa, a la variacin en el almacenamiento en esa direccin. La diferencia de calcula aplicando la frmula de Taylor. Despreciando los trminos superiores a la primera derivada queda: (3.3)Considerando un volumen unitario , un tiempo unitario dt=1, y eliminando de ambos miembros de la ecuacin se tiene: (3.4)Teniendo en cuenta la ley de Darcy:(3.5)Considerando medio homogneo e isotrpico se tiene:(3.6)Realizando un razonamiento semejante para las otras dos direcciones del espacio se tiene:(3.7)(3.8)Sumando las tres expresiones queda:(3.9)La ecuacin (3.9) representa un balance de flujos de agua en la unidad de tiempo en el elemento unitario de acufero que se ha considerado. El trmino de la derecha representa las entradas menos las salidas de agua y el trmino de la izquierda representa la variacin del volumen almacenado, que puede expresarse como:(3.9)Donde: coeficiente de almacenamiento especfico, por tratarse de un elemento de acufero de espesor unitario. Al ser el rea de base del elemento de acufero tambin la unidad , el segundo miembro de la ecuacin (3.9) expresa el volumen de agua que gana o pierda el elemento del acufero considerando segn vare el potencial hidrulico a lo largo del tiempo.Por tanto se puede escribir la siguiente ecuacin:(3.10)Que es la ecuacin general del flujo en rgimen transitorio o no estacionario (h vara a lo largo del tiempo) en medio homogneo e isotrpico.Si el rgimen es permanente o estacionario, h es constante a lo largo del tiempo. Por lo tanto se anula el segundo miembro de la ecuacin (3.10), quedando la ecuacin general del flujo dada por:(3.11)

3.2Solucin de la ecuacin general del flujo subterrneoLa ecuacin general del flujo subterrneo es una ecuacin diferencial en derivadas parciales de segundo orden que admite infinitas soluciones. La solucin de un problema concreto a partir de la ecuacin general del flujo subterrneo exige la definicin de las caractersticas particulares del sistema del flujo subterrneo, conocidas como las condiciones de contorno, incluyendo su geometra (forma y dimensiones) y su relacin con las unidades hidrogeolgicas y otros elementos adyacentes.

i. Condiciones de contornoExisten tres tipos de condiciones de contorno: potencial impuesto, flujo impuesto y flujo condicionado por el valor del potencial hidrulico.

a) Potencial impuestoEs la condicin de contorno de primera clase o de Dirichilet. En este tipo de lmite el potencial se conserva constante a lo largo del tiempo. Si el potencial es el mismo en todos los puntos del contorno , constituye una lnea, una superficie equipotencial. Suele estar asociado a contactos entre el acufero y masas de agua de importancia: lagos, mares, ros caudalosos etc.

b) Flujo impuestoEs la condicin de contorno de segunda clase o de Neumann. Existe un flujo de agua definido que sale del acufero o penetra en l. Este flujo puede ser nulo en el caso de contacto entre el acufero y una unidad impermeable. Las divisorias de aguas tambin se ajustan a este tipo de condicin de contorno.

c) Flujo condicionado por el valor del potencial hidrulicoEs la condicin de contorno de tercera clase o de Cauchy. Se aplica a las entradas y salidas de agua del acufero a travs de capas semiconfinadas que lo separan de otra fuente de recarga externa. El flujo que sale del acufero o penetra en l depende de la diferencia de potencial entre el acufero y la fuente externa de la conductividad hidrulica vertical del acuitardo o capa semiconfinante, de su extensin superficial y de su espesor.Una vez establecidas las correspondientes condiciones de contorno, la solucin de la ecuacin general del flujo es nica y corresponde al problema que se ha planteado.

ii. Mtodos de solucinLa solucin de la ecuacin general del flujo puede abordarse de tres maneras diferentes: grficamente, analticamente y numricamente.

a) Mtodo grficoLa solucin grfica de la ecuacin general del flujo subterrneo slo es aplicable en rgimen permanente. Es conocida con el nombre de mtodo de las redes de flujo.Este mtodo no se describe en forma detallada porque no es tema del presente trabajo.

b) Mtodo analticoLa solucin analtica de la ecuacin general del flujo es uno de los temas a los que se presta mayor atencin en las investigaciones hidrogeolgicas a partir del trabajo de Darcy. Establecida la ecuacin general del flujo subterrneo para rgimen estacionario y no estacionario, los primeros trabajos de investigacin en la determinacin de las soluciones particulares estn relacionados con el movimiento del agua subterrnea hacia los pozos, captaciones de aguas subterrneas.Las ecuaciones usadas para son:1) Ecuacin de Thiem para acufero confinado en rgimen permanente2) Ecuacin de De Glee para acufero semiconfinado en rgimen permanente3) Ecuacin de Dupuit para acufero libre en rgimen permanente4) Ecuacin de Theis para acufero confinado en rgimen transitorio5) Ecuacin de Hantush para acufero semiconfinado en rgimen transitorio6) Ecuacin de Neuman para acufero libre en rgimen transitorioLos mtodos analticos no se describen a detalle porque no es materia del presente trabajo.

c) Mtodo numricoLa posibilidad de resolver la ecuacin diferencial del flujo subterrneo mediante mtodos numricos con la ayuda de computadoras para abordar la solucin de problemas complejos impuls el desarrollo de los modelos digitales de flujo.Permiten la simulacin del flujo subterrneo en una, dos y tres dimensiones, en medios homogneos, heterogneos, isotrpicos y anisotrpicos, y en la prctica totalidad de las circunstancias que pueden que pueden concurrir sobre un sistema hidrogeolgico, siempre que sea posible asumir la validez de la ley de Darcy.Son herramientas imprescindibles en la planificacin hdrica puesto que permiten formular hiptesis de actuacin sobre el medio hidrogeolgico y predecir el impacto de de estas actuaciones. Tambin lo son para la definicin de permetros de proteccin, para una explotacin racional de los recursos hdricos subterrneos y para los estudios de recuperacin de acuferos y zonas hmedas entre otros.El fundamento de los modelos digitales de flujo es sustituir el sistema hidrogeolgico como medio fsico continuo, representado por la ecuacin general del flujo y sus correspondientes condiciones de contorno, por otro medio aproximado a l constituido por un nmero, , finito de elementos discretos o celdas. A este proceso se le llama discretizacin.La ecuacin general del flujo, cuyo sentido fsico es un balance de flujos en un dominio continuo para un tiempo determinado, se sustituye por un sistema de ecuaciones con incgnitas, una para cada uno de los elementos o celdas definidos, que se resuelve para un intervalo de tiempo determinado.Cuanto mayor sea el grado de discretizacin, ms aproximada ser la solucin a la exacta, pero tambin ser el tiempo de clculo y las necesidades de la memoria de la computadora.El intervalo de tiempo, o tiempo de simulacin, puede discretizarse tambin en varios pasos de tiempo, iguales o diferentes entre s. En este caso la distribucin del potencial hidrulico calculada para un paso de tiempo determinado se utiliza como inicial para el paso siguiente .. Si se solicita al modelo que proporcione resultados (potenciales hidrulicos) al final de cada paso de tiempo, ser posible analizar cul ha sido la evolucin de los potenciales hidrulicos a lo largo del tiempo de simulacin.La elaboracin de un modelo digital exige definir la zona a modelar y sus condiciones de contorno de acuerdo con los objetivos del estudio. Tambin exige conocer la distribucin de parmetros hidrogeolgicos, recarga y acciones sobre el sistema para cada uno de los pasos de tiempo que constituyen el tiempo de simulacin.La solucin de la ecuacin general del flujo mediante mtodos numricos puede abordarse por varios mtodos. Los ms conocidos son el mtodo de los elementos finitos y el da las diferencias finitas.De los dos mtodos considerados se va ver con ms detalle el mtodo de diferencias finitas porque es el mtodo ms adaptado para flujos subterrneos.

c.1Mtodo de elementos finitosEn el presente trabajo el mtodo de elementos finitos se explica slo como una referencia de los mtodos numricos porque hay que considerar que se trata de un mtodo matemtico complejo, que estrictamente slo es conservativo con respecto a la masa si se considera el sistema simulado globalmente y que existe muy poco software disponible a nivel de hidrogelogo usuario.Una vez aproximado el medio fsico continuo mediante un nmero finito de puntos o nudos, se procede a unir cada uno de ellos con sus adyacentes, resultando la discretizacin del modelo conceptual en una serie de elementos finitos de tamao y forma variables. Generalmente se utiliza la forma triangular.Dentro de cada elemento el potencial hidrulico , en cualquiera de sus puntos, se obtiene por interpolacin a partir del potencial en los nudos que constituyen los vrtices, utilizando una serie de funciones base que ponderan la influencia del potencial de cada nudo sobre el punto considerado en el interior de cada elemento, la ecuacin matemtica es: (3.12)Donde: potencial hidrulico en un punto del elemento considerado potencial hidrulico en el nudo i nmero de vrtices (nudos) de ese elemento funcin de interpolacin correspondiente al nudo i.

c.2Mtodo de diferencias finitasEs un mtodo sencillo e intuitivo puesto que en esencia est basado en la realizacin de un balance de caudales en cada una de las celdas en las que se ha discretizado el sistema. Debido a esta es conservativo en cualquier zona del sistema.Es un mtodo que exige una distribucin regular de nudos con celdas asociadas a ellos cuadrados o rectangulares. Es posible refinar la malla, pero afectando todas las filas y columnas que intervienen en el refinamiento, en toda su extensin.

c.2.1Ecuacin de la Laplace en diferencias

1) Diferencias finitasLas deferencias finitas es una aproximacin de derivadas parciales de una ecuacin diferencial a travs de frmulas de diferencias, que satisfaga esa ecuacin de diferencias en puntos de una regin. Por definicin la derivada de una funcin en un punto esta dada por: (3.13)La ecuacin (2.13) en forma aproximada se puede tomar como: (3.14)Donde: intervalo de paso (incremento)La ecuacin (3.14) es llamada diferencia progresiva, dado que en el clculo aparecen los valores de u en los puntos y . Los cuales se pueden observar en la siguiente figura.En forma anloga, podemos definir una aproximacin de diferencia regresiva dada de la siguiente forma:(3.15)Un esquema de diferencia central est dado por la siguiente ecuacin: (3.16)

FIGURA N 3.2INTERPRETACION GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS.

Una forma alternativa de obtener frmulas de diferencias aproximadas es a travs de las series de Taylor truncadas. De esta manera es posible estimar el error cometido en cada tipo de aproximacin.La expresin de la serie de Taylor del valor de en en el punto en esta dada por:(3.17)Que puede ser expresada de otra forma: (3.18)Teniendo que es aproximacin de diferencias progresivas.En forma anloga a la ecuacin (3.17) se puede escribir: (3.19)Teniendo que es aproximacin de diferencias regresivas.Para obtener la ecuacin de la diferencia central, restar la ecuacin (3.19) de (3.17), obtenindose: (3.20)O

(3.21)Con un error de truncamiento .

2) Derivadas de orden superiorPara obtener aproximaciones de diferencias de orden superior, al sumar las ecuaciones (3.14) y (3.16) y de las ecuaciones (3.17) y (3.19) se obtiene:

(3.22)Despreciando las derivadas de rdenes superiores de la ecuacin (3.22) se obtiene: (3.23)La ecuacin (2.23) es una aproximacin de diferenciales centrales para la derivada de segundo orden con error de .En forma general para un flujo subterrneo bidimensional expresado mediante la ecuacin (3.19) a partir de la ecuacin (3.123) se puede expresar la ecuacin de Lapalce por: Las diferenciales centrales basadas en el esquema de la malla de la figura siguiente son: (3.24)y (3.25)

FIGURA N 3.3MALLA USADA PARA LA SOLUCION DE LA DIFERENCIAS FINITAS DE UNA ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL ELIPTICA. ECUACION DE LAPLACE.

Las ecuaciones (3.24) y (3.25) tienen errores de y , respectivamente.Sustituyendo las ecuaciones (3.24) y (3.25) en (3.11) se obtiene: (3.26)En la figura N3.3 se observa que y reagrupando trminos se obtiene: (3.27)La ecuacin (3.27) es la solucin de la ecuacin de LAPLACE, que se conoce con el nombre de ecuacin laplaciana en diferencias.Como se ha indicado para la solucin de la ecuacin se deben especificar las condiciones de frontera, para obtener una solucin nica.

IVAPLICACINComo se ha indicado el comportamiento del flujo subterrneo se evala mediante la ecuacin de Laplace. Dado el croquis indicado en la figura N 4.1, hallar las superficies equipotenciales y la direccin del flujo.

FIGURA N 4.1CROQUIS DE UN ACUIFERO CON SUS NIVVELES FREATICOS EN LAS FRONTERAS.

En el nodo (1,1) se plantea la siguiente ecuacin:(4.1)En la ecuacin (4.1) por las condiciones de frontera se conoce:, por consiguiente la ecuacin (4.1) se expresa mediante la siguiente ecuacin:(4.2)Ecuaciones similares se pueden desarrollar para los otros nodos interiores de la figura N 4.1. El resultado se muestra en la ecuacin (4.3). (4.3)

4.1Aplicacin de MATLABLa ecuacin (4.3) se puede resolver mediante el uso del MATLAB, como se muestra a continuacin:La ecuacin 4.3 se resuelve mediante matrices para lo cual se tienen las siguientes matrices:

4-10-100000-14-10-100000400-1000-1004-10-1000-10-14-10-1000-10-1400-1000-1004-100000-10-14-100000-10-14

A=

7505075050175100150

B=

Para hallar los valores de h en MATLAB se realiza la siguiente operacin:A=[4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;0 0 0 0 0 -1 0 -1 4]B=[75;0;50;75;0;50;175;100;150]h=A\B(4.4)4.2ResultadosRealizando las operaciones con matrices A y B y con la ecuacin (4.4). Se obtienen los resultados siguientes h = 42.8571 33.2589 33.9286 63.1696 56.2500 52.4554 78.5714 76.1161 69.6429Ordenando los valores de h se tienen (ver las figuras N 4.1 y N4.2.

6 56.25

9En medio magntico se incluye el programa en MATLAB.

4.3Obtencin de las curvas de nivel freticoLas curvas equipotenciales se han obtenido aplicando el software AUTOCADLAND cuyos resultados se muestran en el plano N1.

FIGURA N 4.2DISTRIBUCION DE LOS NIVELES DE LA NAPA FREATICA DE UN ACUIFERO.

VCONCLUSIONES

1. El flujo subterrneo se puede explicar mediante las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.2. Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden se pueden resolver mediante mtodos numricos como son las diferencias finitas, adecuadas para solucin de la ecuacin de LAPLACE.3. Con las diferencias finitas se forman una serie de ecuaciones simultneas de acuerdo al nmero de celdas planteadas, que su solucin analtica es compleja.4. Las ecuaciones simultneas se resuelven de manera rpida mediante el empleo del software MATLAB.5. La red de flujos en el presente caso se ha obtenido mediante el AUTOCAD LAND con buenos resultados.6. El mtodo numrico es apropiado en la evaluacin de aguas subterrneas o en la construccin de red de flujo por debajo de las estructuras hidrulicas como las presas.

VIRECOMENDACIONES

1. Se recomienda dibujar la red de flujo con MATLAB2. Generar algoritmos para aplicar MATLAB para estudio de aguas subterrneas en explotacin mediante pozos.3. Se recomienda aplicar el mtodo de elementos finitos en aguas subterrneas y comparar con el mtodo de diferencias finitas.

VIIBIBLIOGRAFIA1. BROWEL, Luis; EIGER, Srgio, ROSMAN, Paulo, TUCCI, Carlos y CIRILO, Jos. Metodos Numericos em Recursos Hidricos. Associacao Brasileira de Recursos Hidricos. Brazil. 1989.2. CHAPRA, Steven Y CANALE, Raymond. Mtodos Numricos Para Ingenieros. McGraw-Hill. Mxico. 2003.3. FRANCISS, F. Hidrulica de Meios Permeaves. Universidad de Sao Paulo. Ro de Janeiro, 1980.4. MARTINEZ, Pedro E, MARTINEZ, Pedro y CASTAO, Silvino. Fundamentos de Hidrogeologa. Ediciones Mundi Prensa. Espaa. 2005.5. MUOZ, Rafael y RITTER, Axel. Hidrologa Agroforestal. Mundi Prensa. Espaa. 2005.6. NAKAMURA, Shoichiro. Anlisis Numrico y Visualizacin Grfica con MATLAB: Pearson Educacin. Mxico. 1997.7. PEREZ, Diosdado. La explotacin del Agua Subterrnea. Un nuevo Enfoque. Editorial Cientfica Tcnica. La Habana. 1995.8. VILLON, Mximo. Hidrologa. Editorial Villn. Lima. 2002.