AIEP Cuaderno de Aprendizaje Introducción a la Matemática 2012
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Cuaderno de Aprendizaje
Introduccin a laMatemtica
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Este CUADERNO DE APRENDIZAJE tiene como objetivo ser una ayuda para el logro de tus aprendizajes.
Este material, basado en el Programa del Mdulo, est estructurado de modo que oriente tu estudio y actividades prcticas.
Primeramente te encontrars con un APRENDIZAJE ESPERADO, el cual te seala el gran aprendizaje que debes alcanzar.
Luego, aparecen los CRITERIOS DE EVALUACIN; stos son los indicadores que te permiten demostrar que ya has aprendido.
Criterio 1.1.- Calcula expresiones aritmticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Nmeros Reales, utilizando calculadora cientfica.
CmoutilizarelCuadernodeAprendizaje:
A continuacin de cada Criterio, encontrars:- Dos preguntas de respuesta abierta con su desarrollo y solucin.- Una pregunta de seleccin mltiple con su solucin.
La idea es que aprendas a travs de las preguntas que se te ofrecen.
Algunas actividades pueden ser:- Preprate para tus pruebas segn los Criterios de Evaluacin; realiza ejercicios
de acuerdo a ellos. Ten presente que las evaluaciones de tus docentes se deben basar en estos Criterios. Si requieres ms explicacin sobre el significado de stos, pdesela sin problema a ellos.
- Determinar si llegaste a la respuesta correcta.- En caso de estar correcta la respuesta, verificar si el desarrollo que hiciste de la
pregunta coincide de un modo general con la solucin dada o tambin si existe otra alternativa igualmente correcta para llegar al resultado.
- En caso de no llegar al resultado correcto, ubica en el desarrollo de la pregunta propuesta, dnde estuvo el problema.
- Ejercita mucho.
Estimado Estudiante:
EjemplodeCriteriodeEvaluacin:
Esperamosqueestematerialseaunaporteparati.
Muchoxito!
Direccin de Desarrollo Curricular y EvaluacinVicerrectora Acadmica
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CUADERNO DE APRENDIZAJE
MDULO: INTRODUCCIN A LA MATEMTICA
APRENDIZAJE ESPERADO:
1. Resuelven ejercicios numricos y problemas de aplicacin sencillos, aplicando la operatoria y propiedades de los nmeros reales, con ayuda de calculadora cientfica.
Criterio 1.1 .- Evala expresiones aritmticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Nmeros Reales, utilizando calculadora cientfica
1. Encuentre el valor que se obtiene al resolver la siguiente expresin ( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +++ (utilice calculadora para verificar el resultado).
Solucin:
( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +++
[ ] [ ] 7316887 +
[ ] [ ] 719167 +
719112 ++
Respuesta: 138
-
2. Encontrar el valor de; 3,14521,6
545,0
37
++ Exprese el resultado en forma
fraccionaria (utilice calculadora para verificar el resultado)
Solucin:
3,14521,6
545,0
37
++
45
90551
54
95
37
+
.
1013
72551
3625
37
++
Respuesta: 120959
-
3. Encuentre el valor de
+
27
43
81
73
52
A) 11201313
B) 11201302
C) 11201313
D) 11201302
Alternativa correcta: C
Solucin:
411
81
3529
+
3211
3529
Respuesta: 11201313
Criterio 1.2.-. Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros naturales
4. Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envan 854 kg, al da siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos das despus 156 kg ms que la primera vez. Cuntos kilgramos faltan por enviarle?
Solucin:
( ) ( )15685412854854 +++
Por lo tanto, faltan por enviarle:
294706.2000.3 = Kilos
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5. Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden A qu hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas?
Solucin:
Debemos encontrar el mnimo comn mltiplo entre 12, 18 y 60
Mnimo comn mltiplo: 180 segundos = 3 minutos
Respuesta: Por lo tanto vuelven a coincidir a las 6:33
6. Para realizar una inauguracin de un monumento se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cctel calientes y 12 porciones de cctel fro. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, ccteles calientes y ccteles fros Cul es el mayor nmero de personas que es posible atender en esta recepcin?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12
Alternativa correcta: D
Solucin:
Los divisores de 48 son: { }48,24,16,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 24 son: { }24,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 12 son: { }12,,6,4,3,2,1 Por lo tanto el mximo comn divisor es: 12
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Criterio 1.3.- Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros enteros
7. El dueo de una cadena de supermercados hace el siguiente resumen de la evolucin de sus finanzas a lo largo de un ao determinado:
Enero --Marzo: ganancias de 30.000.- dlares mensuales Abril --Julio: prdidas de 10.000.- dlares mensuales Agosto: prdida de 3.000.- dlares Septiembre Diciembre: ganancias de 25.000.- dlares mensuales
Cul fue el balance final de ao?
Solucin:
( ) ( ) ( ) 4000.25000.34000.103000.30 +++
Resultado: Ganancias por 000.147 dlares
8. En un estanque de combustible hay 800 litros de petrleo. Por la parte superior un tubo vierte en el estanque 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo salen 30 litros por minuto. Cuntos litros de petrleo habr en el estanque despus de 15 minutos de funcionamiento?
Solucin:
)1530(1525800 +
725450375800 =+
Resultado: 725 litros
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9. Tenemos una bomba que extrae agua de un pozo a 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura Qu nivel supera el agua?
A) 1.023 metros B) 1.100 metros C) 1.200 metros D) 1.350 metros
Alternativa correcta: A
Solucin: 023.197548)975(48 =+= metros.
Criterio 1.4.- Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros racionales
10. De una piscina inicialmente llena de agua se saca un da la cuarta parte y luego la tercera parte del agua que quedaba, finalmente hay 450 3m Determine la capacidad total de la piscina.
Solucin:
Inicialmente: 1 (lleno)
Primer da: se extrae 41
Segundo da: se extrae 41
411
31
=
Entonces: 21
41
411 = de la piscina queda finalmente
345021
m
31 mx
3900
21
450mx ==
Capacidad de la piscina: 3900 m
-
11. Un estanque se llena con 3.000 litros de agua. Un da se gast 61
del estanque y otro da 1.250 litros. Qu fraccin de agua queda en el estanque?
Solucin:
50061000.3 =
.750.1250.1500 ltrs=+
250.11750000.3 =
Por lo tanto queda: 125
000.3250.1
=
12. En una fbrica de textiles se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para maximizar la produccin es el siguiente: 3
1 del tiempo, se dedica a la fabricacin de camisas,
41 de la jornada para pantalones, 21 del tiempo que se ocupa para la fabricacin de camisas, se
utiliza para bordar los botones, 31 del tiempo destinado a pantalones, se usa para afinar detalles,
21
del tiempo utilizado para los bordar los botones, se destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. Cuntas horas se dedican a esta actividad?
A) Media hora B) Una hora C) Una hora y media D) Dos horas
Alternativa correcta: B
Solucin:
1211
121
121
61
41
31
=++++
Por lo tanto para actividades recreativas, se utiliza 121 hora112. =
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
2. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar correctamente con razones y proporciones, con ayuda de calculadora cientfica
Criterio 2.1 Identifica el concepto de razn e interpreta su valor en el contexto de casos
13. Una empresa importadora de verduras, export en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates, para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso dlar, la exportacin se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razn entre la importacin del mes de Febrero del 2010, en relacin a Marzo del 2010 e interprete el resultado
Solucin:
Se establece la razn entre ambas exportaciones: 14
300.1200.5
20102010
==
delMarzodelFebrero
Se concluye que la importacin en Febrero del 2010 es cuatro veces superior a la del mes de Marzo del 2010.
14. Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregn. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregn $15.400, determine cuntas veces es mayor el valor del pino oregn respecto al pino corriente.
Solucin:
0397,2550.7400.15
= veces mayor
-
15. Dos compaas internacionales del rea informtica realizarn inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dlares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compaa supera a la primera en inversin es de:
A) AB 25,1= B) AB 15,1= C) AB 125,1= D) AB 889,0=
Alternativa correcta: C
Solucin:
veces125,120
5,22=
Criterio 2.2 Resuelve problemas, aplicando teoremas y propiedades de las razones.
16. Una compaa realiza una inversin en el ao 2009 del orden de los 25 millones de pesos, inversin que supera 1,25 veces la realizada el ao anterior para la adquisicin de los mismos productos. Determine la inversin realizada el ao 2008.
Solucin:
pesosdemillonesx
x
aoInversinaoinversin
2025,1
25
25,125
25,120082009
==
=
=
-
17. La remuneracin de un trabajador este mes ha disminuido con respecto al mes anterior en la razn 3: 8. Si la remuneracin de este mes es de $456.430. Cul es el valor de la remuneracin correspondiente al mes anterior?
Solucin:
147.217.1$375,0
430.456
375,0430.45683430.456
=
=
=
==
x
x
x
xanteriormesingresoactualmesingreso
18. La produccin actual del diario La Primera es del orden de los 85,6 millones de pesos, pero ante una eventual recesin, la produccin se limitar a 53,4 millones de pesos. En cunto se ha reducido la produccin de acuerdo a esta informacin?
A) 0,6234 veces B) 1,603 veces C) 0,546 veces D) 0,3766 veces
Alternativa correcta: D
Solucin:
6234,06,854,53
=
3766,06234,01 =
-
Criterio 2.3 Calcula el trmino desconocido de una proporcin, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones.
19. Cual es el valor de x en la proporcin, calcule:
x
18156
=
Solucin:
452706
15186
=
=
=
x
x
x
20. Cul es el valor de x en la proporcin, calcule:
9324338
38
43
432
43
:
44332
=
=
=
=
=
x
x
x
x
Solucin
x
-
21. El valor de x en la proporcin: x
51
7423
= es:
A) 8
105
B) 105
8
C) 74
D) 47
Alternativa Correcta: B
Solucin:
354
23
=x
1058
23
354
==x
-
Criterio 2.4: Resuelve problemas contextualizados aplicando teoremas y propiedades de las razones y proporciones.
22. En la bodega de la empresa de zapatillas Niki se entrega el siguiente recuento: La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razn entre los mismos es de 3: 5 encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro.
Solucin:
paresVparesD
kk
kk
kVkV
kDkDVD
VD
290174
584648
46453
55
33
53
464
=
=
=
=
=+
==
==
=
=+
-
23. Las recomendaciones de higiene sealan que para que exista una adecuada desinfeccin se debe realizar con tres productos: A , B y C .Cuntos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 250 ml, en la relacin : A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3?
Solucin:
95,556,7436,11973,325067
250152032
1515
2020
3232
15:20:32::1520
5354
2032
4548
250
===
=
=
=++
==
==
==
=
=
=
=
=
=++
CBAk
kkkk
kCkC
kBkB
kAkACBA
CBBA
CBA
-
24. Un agente de la bolsa de comercio puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X ms dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z estn en la razn 5: 2 Cunto pag por cada una de las acciones?
A) X=$330.000 Z= $148.000 B) X =$340.000 Z= $138.000 C) X =$300.000 Z= $178.000 D) X =$125.789 Z= $ 50.316
Alternativa: B
Solucin:
yexSean el precio unitario de las acciones tipo A y B respectivamente
25
000.47823
=
=+
yx
yx
Alternando medios, tenemos.
kyx ==25
Por lo tanto:
kyky
kxkx
22
55
==
==
Reemplazando x e y en funcin de k en 3x + 2y = 478.000 tenemos:
89,157.25000.478415
000.478)2(2)5(3
=
=+
=+
kkk
kk
Por lo tanto: x = $125.789 y = $50.316
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
3. Resuelven problemas de variacin proporcional, en el contexto de la especialidad y la vida cotidiana.
Criterio 2.5 Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fenmenos naturales, econmicos y/o sociales.
25. Establezca si las magnitudes de los siguientes ejercicios corresponden a una proporcionalidad directa o inversa
a. El nmero de bienes de un cierto tipo que compra y la cantidad que debe cancelar por los bienes
b. la velocidad de un avin y el tiempo que tarda en realizar un viaje
c. Si tiene $20.000 para adquirir libros, el nmero de libros que se pueden adquirir y el precio de los libros.
Solucin:
a. Directamente proporcional b. Inversamente proporcional c. Inversamente Proporcional
26. Se da la siguiente relacin entre el consumo de un bien (x) y su precio (y), si k es la constante de proporcionalidad Qu relacin existe entre el consumo del bien y el precio?
2yk
x =
Solucin:
El consumo es inversamente proporcional al cuadrado del precio
-
27. Se da la siguiente relacin entre los ingresos de una empresa de comida rpida (i), el nmero de productos vendidos diariamente (p) y el nmero de das que atienden aquellos lugares de comida rpida (d). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces,
dkpi = , entonces se da la siguiente relacin entre las variables
A) i es directamente proporcional con d e inversamente proporcional con p B) i es directamente proporcional con p con d C) i es directamente proporcional con p e inversamente proporcional con d D) i es inversamente proporcional con p y directamente proporcional con d
Alternativa: C
i es directamente proporcional con P e inversamente proporcional con D
CRITERIO 2.6 Plantea frmulas en base a problemas dados, aplicando conceptos de variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas.
28. El volumen V de una madera que produce un rbol de eucaliptus es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su dimetro d. Escriba algebraicamente la relacin.
Solucin:
2dhV =
-
29. En la elaboracin de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrs, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volmenes de aguarrs:
Aguarrs (ml)( x) 165 330 495 660 825 990 Cera (gramos)(y) 82,5 165 247,5 330 412,5 495
a. Cul es la relacin de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad
b. Si se requieren 750 ml de aguarrs, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos)
Solucin:
a. Relacin directamente proporcional.
2495990
5,412825
330660
5,247495
165330
5,82165
======
2=k
b. gramosxy
yx
3752
7502
2
===
=
30. Un control de calidad estipula que la presin (P) de un lquido en un envase de transporte convencional, debe ser inversamente proporcional al volumen (V) que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta (T). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces, la relacin anterior queda expresada algebraicamente como:
A) TVkP =
B) V
TkP =
C) TVkP =
D) 2VTkP =
Alternativa Correcta: B
VTkP =
-
Criterio 2.7 Grafica e interpreta grficos de variaciones proporcionales, directas e inversas, relacionados con situaciones y fenmenos comerciales, econmicos, etc.
31. El siguiente grfico entrega el comportamiento de las variables N de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas.
a. Qu tipo de relacin existe entre las variables? b. Determine la constante de proporcionalidad c. Si usted compra 12 latas de bebidas Cul es el precio a cancelar?
Solucin:
a. Relacin directamente proporcional
b. 350................3050.1
2700
1350
====
c.
200.4$12350 ===
x
ykx
-
32. Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camin caben 8.000 Kg Cuntos viajes tendr que hacer para transportar la chatarra? La informacin se entrega en la siguiente tabla.
N de camiones 1 2 3 5 6
N de viajes 150 75 50 30 25
a. Graficar la informacin anterior. b. Qu tipo de relacin existe entre las variables? c. Si se utilizaran 10 camiones Cuntos viajes tendra que realizar?
Solucin:
a.
b. Relacin inversamente proporcional
c,
156
150
==
=
camionesdeN
viajesdeNk
camionesdeN
N de viajes
020406080
100120140
1 2 3 4 5Nmero de camiones
N de
via
jes
-
33. En la figura 1, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresin algebraica de tal relacin es:
A) QP 60= B) 90=QP
C) QP60
=
D) PQ 103=
Alternativa correcta: C
Criterio 2.8 Resuelve problemas de proporcionalidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad.
34. En la construccin de un mall, 6 camiones transportan un total de 80.000 toneladas de material, empleando 6 horas de trabajo. Si se reduce a 4 la cantidad de camiones y la cantidad de material a transportar se duplica, determine el nuevo tiempo a utilizar que se deber emplear bajo estas nuevas condiciones.
Solucin:
horasx
x
x
hrsxtoneladascamionestrabajohrstoneladascamiones
18
316
000.160000.80
646
...............000.160....................4.6..............000.80....................6
=
=
=
Q
P
6 15
10
4
Figura 1
-
35. En una industria alimenticia operan 12 mquinas, las cuales trabajando 6 das a la semana, a diez horas diarias, producen 35 unidades de un cierto producto. Determine cuntas unidades se deben producir en 10 das si el nmero de mquinas se reduce a la cuarta parte y la cantidad de horas diarias de trabajo es de 8 horas
Solucin:
unidadesxx
x
x
x
unidadesxdiariashrsdasmquinasunidadesdiariashrsdasmquinas
1267,11
353
3358
10106
31235
................8...........10............335..............10...........6..........12
=
=
=
=
=
-
36. Los ingresos que obtiene un restaurante de comida china son directamente proporcionales al nmero de platos que venden diariamente, e inversamente proporcionales al nmero de das que atiende el restaurante. Si por la venta de 500 platos en 7 das reciben ingresos del orden de los $7.500.000. Determine el ingreso, si se venden 300 platos trabajando 5 das a la semana
A) $6.300.000 B) $8.928.571 C) $7.300.000 D) $6.500.000
Alternativa: A
Solucin:
000.300.6$000.500.15725
2125000.500.7
75
300500000.500.7
....$..........5...........300000.500.7...$..........7...........500
=
=
=
=
x
x
x
x
xdasplatosdasplatos
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
4. Resuelven problemas de aplicacin, utilizando frmulas y conceptos de porcentajes.
Criterio 2.9 : Calcula porcentajes de cantidades dadas
37. Calcular el 5,4% de 6.500
Solucin:
%4,5%100500.6
x
351100.351004,5
100500.6
=
=
=
x
x
x
El 5,4% de 6.500 es 351
38. Qu tanto por ciento es 2.940 de 8000?
Solucin:
%75,36000.294000.8
100940.2000.8
%940.2%100000.8
=
=
=
x
x
x
x
2.940 es el 36,75% de 8.000
-
39. De qu nmero 12 es el 25%?
A) 50 B) 70 C) 75 D) 48
Alternativa: D
Solucin:
48200.125
25100
12
%2512%100
=
=
=
x
x
x
x
-
Criterio 2.10 Aplica propiedades de los porcentajes en la resolucin de problemas.
40. Segn una encuesta socioeconmica, en la poblacin Adulto Mayor se verifica que:
El 60% son mujeres y el 40% hombres. El 15% de las mujeres y el 45% de los hombres estn econmicamente activos.
Segn estos datos, el % de la poblacin Adulto Mayor que est econmicamente activa es:
Solucin
27,045,040,015,060,0 =+ Por lo tanto el 27% de la poblacin Adulto Mayor es la que est econmicamente activa
41. En una investigacin realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entreg la siguiente informacin: De un da investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales slo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres.
a. Cuntas mujeres hay en el colegio? b. Cul es la cantidad total de alumnos?
Solucin:
bresx
bresxmujeresb
mujeresxmujeresx
mujeresa
hom70030
30070hom........%.........70
300........%.........30.
30070
100210%.100...........
%70............210.
=
=
=
=
Por lo tanto el total de alumnos es de 1.000 personas
-
42. Si gastara el 30% de mi dinero y recibiera una cantidad igual al 25% de lo que tengo, me quedara con $1.250 menos que ahora. Cunto dinero tengo?
A) $1.190 B) $1.313 C) $27.500 D) $25.000
Alternativa Correcta: D
Solucin:
Sea x la cantidad de dinero que tiene
000.25$250.105,0
250.125,130,1
=
=
=+
x
x
xxxx
-
Criterio 2.11 Resuelve problemas de comisin, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad.
43. Por una asesora realizada, Ud. recibe $750.000, los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios, de lo que legalmente se le retiene un 10%, calcule la retencin.
Solucin:
44. En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer da la rebaja es de un 20%, el segundo da la rebaja es de un 12% y el tercer da se descuenta $1.500 por cada pantaln, para quedar con un valor de $ 7.500. Determine el valor del pantaln antes de iniciar la liquidacin.
Solucin:
784.12$%100...................$
%80...................227.10$227.10$
%100...................$%88..................000.9$
000.9$500.1500.7
=
=
=+
x
x
x
x
El valor del pantaln antes de iniciar la liquidacin.es de $12.784
333.83$000.750333.833:tan333.833$
10090000.750
%100$%90000.750$
=
=
=
retienelesetoloPorx
x
x
-
45. A un trabajador, se le cancelan sus ingresos, en base a comisiones. En el mes de Marzo el 15% de sus comisiones fueron de $60.000, entonces su ingreso mensual fue de:
A) $500.000 B) $450.000 C) $400.000 D) $350.000
Alternativa Correcta: C
Solucin:
%100.............................$%15..............................000.60$
x
000.400$=x
Criterio: 2.12 Calcula tasa de incremento e ndices en la resolucin de problemas.
46. Si el kilo de carne costaba $8.000 en el mes de Septiembre del 2010, aumenta su valor a $8.570 en Octubre del 2010, calcular la tasa de incremento.
Solucin:
%13,7100000.8
000.8570.8=
=
-
47. El rendimiento sobre una inversin, se define como: 100xtotalActivo
netasUtilidades
Si una empresa tiene una utilidad neta de 36.000 unidades monetarias y un activo de 300.000 unidades monetarias, determine el porcentaje de rendimiento sobre la inversin.
Solucin:
Porcentaje de rendimiento: %12100000.300000.36
=x
48. EI IPC del mes de Septiembre fue de un 0,9% y en Octubre del mismo ao 1,1%, determine la variacin porcentual.
A) 15,4% B) 22,2% C) 23,45% D) 25,61%
Alternativa Correcta: B
Solucin:
%2,221009,0
9,01,1=
x
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
5. Operan con potencias, races y logaritmos, utilizando sus propiedades.
2.13.- Opera con potencias, utilizando sus propiedades
49. Realizar la siguiente operacin: ( ) ( ) ( ) = 49 222
Solucin: ( ) ( )( ) 642
226
39
=
50. Determinar el valor de: 12
813
411
Solucin:
12
825
45
258
54 2
625128
258
2516
=
-
51. El valor de 3
52
equivale a:
A) 125
8
B) 58
C)58
D) 125
8
Alternativa: D
Solucin: 125
852 3
=
2.14.- Opera con races utilizando sus propiedades
52. Simplificar la siguiente expresin: 1471275 +
Solucin:
3532532575 ===
0373235
=
=+
37349147323412
==
==
-
53. Racionalizar 35
3
Solucin:
( ) ( )
( ) ( )
23353
353353
353353
3535)35(3
3535
353
22
+=
+=
+=
+
+=
+
+
-
54. El valor de ( ) ( )523523 + es: A) 3 B) 20 C) -17 D) -20
Alternativa Correcta: C
Solucin:
( ) ( )17203
52322
=
2.15.- Resuelve expresiones numricas con logaritmos vulgares y naturales, utilizando sus propiedades.
55. Sabiendo que 4771,03log = , utilice las propiedades logartmicas para determinar el valor de: Log 81.
Solucin:
Como 4381= , entonces 43log81log =
9084,181log
4771,043log481log
=
=
=
-
56. Las ventas de un producto, vienen dadas por la siguiente expresin bxmV += )(ln . Si sabemos que 184,19 == bm , y x representa la produccin del producto. Determine las ventas, si se producen 200 unidades.
Solucin:
menteaproximadaunidadesVVV
12118)298317367,5(4,19
18)200(ln4,19
=
+=
+=
57. El valor de :10log 5 es
A) 1,43068 B) 1,00000 C) 2,30259 D) 0,69897
Alternativa Correcta: A
Solucin:
43068,15log
10log=
2.16.- Resuelve expresiones y problemas de aplicacin utilizando potencias, races y logaritmos.
58. Qu cantidad de dinero, gasta una persona despus de siete semanas, si gasta siete euros diarios?
Solucin:
3437777 3 == Euros diarios
-
59. Se tiene una pizarra cuadrada de 1.204 2cm Cunto mide cada lado de la pizarra?
.32
024.1
024.1 2
2
cma
a
a
aA
=
=
=
=
60. El valor de n en la expresin :0245,1log
)220251,00245,1log(1 esn =
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
Alternativa Correcta: B
Solucin:
10)9(1
0245,1log804249,0log1
=
=
=
n
n
n
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
6. Operan correctamente con lgebra elemental, con apoyo de calculadora cientfica.
2.17.- Realiza operaciones bsicas con polinomios: Adicin, Sustraccin, Productos
61. Sumar los siguientes polinomios:
52623
52853252
3
24
3
234
++=
+=
+=
++=
xxSxxxR
xxQxxxxP
Solucin:
5262352853252
3
24
3
234
++
+
+
++
xx
xxx
xx
xxxx
32193 234 ++++ xxxx
62. Reduzca la siguiente expresin: ( ) )7578(93 232 ++++ xxxxxx Solucin:
102
757893
23
232
+
+++++
xxx
xxxxxx
-
63. Al efectuar el producto de ( ) ( )xx 3253 + , se obtiene. A) 615 2 + xx
B) 615 2 ++ xx C) 615 2 + xx D) 615 2 + xx
Alternativa Correcta: C
Solucin:
Multiplicando trmino a trmino: ( ) ( )xx 3253 + 2151096 xxx +=
2.18 Desarrolla productos notables: cuadrado de binomio y producto de una suma por su diferencia.
64. Desarrollar ( )22 23 yx + , utilizando cuadrado de un binomio Solucin:
( ) 22422 412923 yyxxyx ++=+
65. Desarrollar ( ) ( )nmnm 2222 22 + , utilizando suma por su diferencia
Solucin:
( ) ( ) ( ) ( ) 2422222 44222222 nmnmnmnm ==+
-
65. Al desarrollar ( )223 2st se obtiene:
A) 4326 22 stst + B) 4326 44 stst + C) 4326 24 stst + D) 46 4st
Alternativa Correcta: B
Solucin:
4326
222323
44
)2(22)(
stst
sstt
+
+
2.19 Factoriza expresiones algebraicas
66. Factorizar las siguientes expresiones:
.
2
22
251
41
.
165649.
nb
yxyxa
+
Solucin:
( )
+
+
nn
nb
yx
yxyxa
51
21
51
21
51
21
.
)47()4(4727.
22
2
22
-
67. Factorizar las siguientes expresiones:
3124.802.
224
2
+++
+
yyybppa
Solucin:
( ) ( )
( ) ( )143)3()3(4
3124.108.
22
222
224
++
+++
+++
+
yy
yyy
yyybppa
68. Al Factorizar la expresin 2323 23 +++ aaa resulta:
A) ( ) ( )123 2 ++ aa B) ( ) 223 aa + C) ( ) ( )212 ++ aa D) ( ) ( )31 + aa
Alternativa Correcta: A
Solucin:
( ) ( )( ) )1(23
23232323
2
2
23
++
+++
+++
aa
aaa
aaa
-
2.20 Resuelve problemas de aplicacin, utilizando operaciones bsicas, productos notables y factorizaciones.
69. Los costos de una empresa corresponden a la expresin ( )1023 2 + xx pesos, y los ingresos de la misma representan la expresin )3()3( + xx pesos. Determinar la frmula que da cuenta de la utilidad de esta empresa.
Solucin:
( ) ( )
12210239
)1023(33
2
22
2
+=
+=
++=
xxUxxxU
xxxxU
70. Se inicio una empresa con un aporte de capital total de ( )10832 xx dlares, si la empresa est integrada por ( )12x socios. Determine la cantidad de dinero que aporto cada uno de los socios.
Solucin:
( ) ( )
( ) dlaresxrecibesociocadatoloPor
x
xx
x
xx
9tan
)12(129
1210832
+
+=
-
71. Una persona invierte ( )18352 234 +++ xxxx pesos en el armado de computadores. Si con este capital debe cubrir un pago de ( )102 4 +x pesos, por sueldo a los trabajadores, y con el resto pagar ( )25x pesos en la compra de productos informticos. Entonces la cantidad de dinero que le quedar despus de realizar las operaciones indicadas es de:
A) 462452 234 +++ xxxx B) 46185 23 + xxx C) 46185 23 ++ xxx D) 46185 23 + xxx
Alternativa Correcta: C
Solucin: ( ) ( )[ ]( ) [ ]
46185251020218352
251020218352)2510(20218352
23
24234
24234
24234
++
++++
++++++
++++++
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
APRENDIZAJE ESPERADO:
7. Resuelven, con ayuda de calculadora cientfica, problemas sencillos relacionados con el rea econmica, comercial, tecnolgica, etc., que impliquen operar correctamente con ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones lineales y ecuaciones logartmicas y exponenciales.
-
2.21 Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.
72. Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisin del 5% por las ventas que realice. Qu cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $ 200.000?
Solucin:
000.120.1$05,0000.56000.5605,0
000.20005,0000.144
=
=
=
=+
x
x
x
x
Por lo tanto debe vender $1.120.000
73. Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades entre dos socios, de modo que la parte del que recibe menos equivale a los 7
5 de la parte del socio que recibe ms. Determinar qu
cantidad recibe cada socio.
Solucin: Sea x : socio que recibe ms dinero ( )x000.48 : Socio que recibe menor cantidad de dinero
( )
000.20000.28
12000.33657000.336
75000.48
=
=
=
=
=
yx
x
xx
xx
-
74. En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el nmero de habitaciones del segundo piso son:
A) 32 B) 16 C) 40 D) 20
Alternativa Correcta: B
Solucin: x : Habitaciones primer piso y : Habitaciones segundo piso
32216483
482
=
=
=
=+
x
x
x
xx
-
2.22.- Resuelve ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.
75. La longitud de una casa excede a su ancho en cuatro metros. Si cada dimensin se aumenta en cuatro metros, el rea ser el doble. Hallar las dimensiones de la casa.
Solucin:
:x Largo de la casa :4x Ancho de la casa :4+x Largo de la casa aumentado en 4 metros
xx =+ 44 : Ancho de la casa aumentado en 4 metros
( ) xxxx 44 2 = rea original de la casa
( ) xxxx 44 2 +=+ rea de la casa una vez que se han aumentado sus dimensiones en 4
metros ( )
( )
120
012012
0482824424
2
2
22
22
=
=
=
=
=
=+
=+
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Por lo tanto el largo de la casa es de 12 metros y el ancho 8 metros
anchoxolrea arg=
-
76. Un jardn rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho est rodeado por un camino de arena uniforme. Determine el ancho del camino si se sabe que su rea es de 540 2m .
Solucin:
( )
453013542
4054016845403450234)250(
21
2
2
==
=+
=+
=++
xx
xx
pordividiendoxxxx
El ancho del camino mide 3 metros
77. Para cercar una finca rectangular de 750 2m se han utilizado 110 metros de cerca, entonces las dimensiones de la finca son: (ver dibujo)
A) 20 y 25 metros B) 15 y 20 metros C) 5 y 10 metros D) 30 y 35 metros
Alternativa Correcta: D
Solucin:
( )
3530075055
75055
21
2
==
=+
=
xx
xx
xx
-
2.23 Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral.
78 Una persona tiene un depsito de 2.000 dlares en dos bancos. Uno le paga un inters de un 6% anual y el otro 8%. Si gan un total de 144 dlares de intereses durante un ao. Cunto deposit en cada banco?
Solucin:
14408,006,0000.2=+
=+
yxyx
Multiplicando la primera ecuacin por 06,0 obtenemos
14408,006,012006,006,0
=+
=+
yxyx
Sumando ambas ecuaciones
800200.1
2402,0
=
=
=
x
yy
Por lo tanto deposit 800 dlares al 6% y 1.200 dlares al 8%
-
79. Entre las 7:00 y 9:00 de la maana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $160 por el pasaje y los adultos $580 por el pasaje y el ingreso total obtenido en ese horario es de $496.000 Cuntos escolares y cuantos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la maana?
Solucin:
Sea x la cantidad de escolares e y la cantidad de adultos
000.496580160000.1
=+
=+
yxyx
Multiplicando la primera ecuacin por 160 tenemos.
000.496580160000.160160160
=+
=
yxyx
Sumando ambas ecuaciones
200800
000.336420
=
=
=
x
yy
Por lo tanto 200 escolares y 800 adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y las 9:00 de la maana.
-
80. Una pizzera tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos, la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros, entonces el nmero de pizzas cuatro quesos vendidas es de:
A) 28 B) 40 C) 46 D) 50
Alternativa Correcta: C
Solucin:
Sean x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos
3886474=+
=+
yxyx
Resolviendo sistema de ecuaciones, tenemos:
4628
=
=
yx
EL nmero de pizzas cuatro quesos vendidas es de 46.
-
2.24 Resuelve ecuaciones exponenciales y logartmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral
81. Un equipo de ftbol considera que la cantidad de dlares x que gana semanalmente en publicidad en y unidades de su producto (camisetas, gorros, etc) est dada por
=
xy
500400ln200 . Calcular la cantidad de unidades que se deben vender para que la
ganancia publicitaria sea de 139 dlares.
Solucin:
51,20139500
400ln200
=
=
y
y
Por lo tanto se deben vender aproximadamente 21 unidades, para que el ganancia publicitaria sea de 139 dlares
-
82. El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relacin teN 016,0000.1 = ,
donde t se mide en aos y N en millones de litros. Calcular la cantidad de agua que debe quedar cuando haya trascurridos 20 aos, y cuantos aos deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.
Solucin:
aos
et
e
litroseN
eN
t
t
32,43016,0
5,0ln
ln016,05,0ln
ln/000.1500
15,726000.1
1000
016,0
20016,0
016,0
=
=
=
==
=
Debe quedar 726,15 litro de agua despus de 20 aos, y deben transcurrir aproximadamente casi 44 aos para que el agua se reduzca a la mitad.
-
83. Se adquiere mobiliario por $300.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor despus de t aos est dado por la frmula teV 2,0000.300 = . Cuntos aos aproximadamente deben transcurrir para que el mobiliario tenga un valor de $100.000?
A) 5,5 aos B) 4,8 aos C) 4,4 aos D) 3,9 aos
Alternativa Correcta: A
Solucin:
aost
et
e
e
t
t
5,52,0
333,0lnln2,0333,0ln
ln/333,0000.300000.100
2,0
2,0
==
=
=
=
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
8. Operan con funciones bsicas, relacionando su estudio con la resolucin de problemticas del mbito de la economa, los negocios, la tecnologa y otros fenmenos socioeconmicos, con ayuda de calculadora cientfica.
3.1.- Identifica el concepto de funcin, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente.
84. Dados los siguientes grficos, cul (es) representan una funcin:
Solucin:
El grfico I no representa una funcin, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la misma imagen.
Los grficos II y III son funciones ya que todos los elementos del dominio tienen una imagen nica.
-
85. Hallar el dominio de las siguientes funciones definidas mediante las ecuaciones siguientes:
3)(.4
1)(.1)(. 22 +=
== xxfcx
xfbxxfa
Solucin:
a. Como la raz cuadrada de un nmero negativo no est definida, es necesario que 01x . El conjunto de los nmeros reales 1x satisface la desigualdad. As, el dominio de la funcin es el intervalo [ ),1
b. La nica restriccin sobre x es que 42 x debe ser distinta de cero, ya que no se permite la divisin entre cero; pero ( ) ( ) ( ) 2202242 ===+= xoxsixxx .As en este caso, el dominio de la funcin consta de los intervalos ( ) ( ) ( ) ,22,2,2, y
c. En este caso, cualquier nmero real satisface la ecuacin, de modo que el dominio de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales
86. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
2)(. xxfa =
Solucin:
Si consideramos la funcin que a cada nmero le asocia su cuadrado, y = x2, su dominio ser todos los nmeros reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier nmero. Pero la variable dependiente y slo tomar valores mayores que 0, ya que el cuadrado de un nmero es siempre positivo .Por lo tanto el recorrido de la funcin son todos los nmeros reales positivos.
b. xxf 2)( =
Solucin:
El dominio de la funcin es el conjunto de todos los reales El recorrido de la funcin es el conjunto de los reales positivos
-
87. El dominio de la funcin 1)( 2 += xxf es:
A) ( ), B) ( ), C) ( ) , D) ( )1,
Alternativa Correcta: C
Solucin:
Como 2x es siempre positivo, el dominio de la funcin es ( ) ,
3.2 Calcula imgenes y pre-imgenes en funciones reales sencillas
88. Dada la funcin: 12)( 2 += xxxf Calcular.
( ) )(.)2(.1. afcfbfa
Solucin:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1212)(.1112812222.
21121112)1(.
22
2
2
+=+=
=++=+=
=+=+=
aaaaafcfbfa
-
89. Dada la funcin 25
+=
x
xy , calcular:
)(.)2(.)3(. 111 afcfbfa
Solucin:
( )
1251
25
25)1(25
5252
25
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
x
xy
yy
x
yyxyxxy
xyxyxxy
x
xy
( )
125)(
31
12225)2(
5,513
325)3(
1
1
1
+=
=
+=
=
+=
a
aaf
f
f
90. Calcular )5(f , dada la funcin: =)(xf ( ) ( )321
+
xx
x
A) 61
B) 71
C) 72
D) 31
Alternativa Correcta: B
Solucin:
( )( ) 71
142
352515)5( ==+
=f
-
3.3 Representa grficamente funciones reales sencillas, en el plano cartesiano.
91. Graficar la funcin: 12 2 += xy
Solucin:
92. Graficar la funcin: 52 += xy
Solucin:
-
93. El siguiente grfico representa la funcin:
A) 3=x B) 3=x C) 3=y D) 3=y
Alternativa Correcta: D
Solucin:
El grfico corresponde a la funcin 3=y
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
9. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin lineal como modelo.
3.4 Identifica la funcin lineal y la caracteriza a travs de sus parmetros, ceros y grfica.
94. Dadas las siguientes funciones:
I. 32 = xy II. 232 += xxy III. 3xy = IV. 53 += xy
Cul(es) representa(n) funciones lineales?
Solucin:
Las funciones I y IV representan una funcin lineal, ya que ambas tienen la forma nmxy +=
-
95. Dada la siguiente funcin lineal 53 += xy , determine:
a. pendiente de la funcin lineal b. interseccin con el eje de las abscisas c. interseccin con el eje de las ordenadas d. Grfico de la funcin lineal
Solucin: a. La pendiente de la funcin lineal es 3
b. Interseccin con el eje de las abscisas (Hacemos y = 0)
3553
053
=
=
=+
x
x
x
c. interseccin con el eje de las ordenadas (Hacemos x = 0) 5=y
d. Grfico de la funcin lineal
96. Dada la funcin lineal 215)( += xxf podemos afirmar que.
A) Tiene pendiente positiva. .
B) Corta al eje de las abscisas en 5 C) Corta al eje de las ordenadas en 21
D) Corta al eje de las abscisas en 21
Alternativa Correcta: C
Solucin:
Es una funcin lineal con pendiente negativa -5, corta al eje de las abscisas en 101 y al eje de las
ordenadas en 21
-
3.5 Analiza e interpreta la pendiente e intercepto
97. 000.100.18273,55)( += xxC es la funcin de costo estimada para una empresa metalrgica para los aos 2000 - 2015. Donde C es el costo total en dlares por ao y x es la produccin de acero en toneladas por ao. Interprete la el valor de la pendiente
Solucin:
La pendiente 55,73 dlares, significa que si la produccin aumenta 1 tonelada, el costo aumenta en 55,73 dlares.
98. Calcular e interpretar la pendiente de la siguiente funcin lineal: 14,015,0 += pq , que representa la funcin estimada de demanda anual de arroz en un cierto pas para el perodo 2001- 2011.
Solucin:
La pendiente es 15,0 , lo que nos dice que si el precio aumenta en una unidad, entonces la cantidad demandada disminuye en 0,15 unidades
99. Dada la funcin de costo 000.2020)( += xxC , que corresponde a la fabricacin de un cierto bien en una empresa. En esta funcin 20.000 representa:
A) Costo variable B) Costo fijo C) Costo unitario D) Costo total
Alternativa Correcta: B
Solucin: El valor 20.000 representa el costo fijo del producto
-
3.6 Calcula ecuacin de la recta en sus formas principal y general.
100. Determinar la ecuacin de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos )4,5()2,3( 21 PyP =
Solucin:
( )112
121 xx
xx
yyyy
=
( )335242
+=+ xy
( )332 =+ xy
932 =+ xy
113 = xy Ecuacin de la recta en su forma principal
0113 = yx
101. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto )3,1( =P , siendo su pendiente 2, en sus formas principal y general.
generalformasuenrectaladeecuacinyx
principalformasuenrectaladeecuacinxyxyxy
012
12223
)1(23
=
=
+=+
+=+
-
102. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos )3,2()7,4( y viene dada por:
A) 135 = xy B) 135 = xy C) 135 += xy D) 135 += xy
Alternativa Correcta: C
Solucin:
( )
1352057
)4(574
42737
+=
+=+
=+
+=+
xyxyxy
xy
3.7 Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin lineal como modelo.
103. Encuentre la expresin lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufas ingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros.
Solucin:
( ) )000.2,15(500.4,40 21 == PP
( )( )
500100000.4100500.4
40100500.4
404015
500.4000.2500.4
+=
=
=
=
xyxyxy
xy
-
104. Dadas las ecuaciones de oferta (O) y demanda (D) de un artculo xpOxpD 2:;28: == +1 Determinar el precio p (pesos) y la cantidad x (en unidades)
de equilibrio del mercado
9327
1228
=
=
+=
x
x
xx
19928
28
=
=
=
pp
xp
Por lo tanto la cantidad en equilibrio es de 9 unidades y el precio $19
105. Un supermercado recibe 25 dlares por cada unidad de produccin vendida de una marca de licores. Sus costos variables por unidad son de 15 dlares y un costo fijo de 1.200 dlares Cul es el nivel de utilidad si se producen y venden 200 unidades?
A) 600 dlares B) 800 dlares C) 900 dlares D) 950 dlares
Solucin:
dlaresUxxU
xxxUxxIxxC
800)200(200.110)(
)200.115(25)(25)(
200.115)(
=
=
+=
=
+=
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
10. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin cuadrtica como modelo.
3.8 Representa grficamente funciones cuadrticas indicando sus elementos caractersticos.
106. Dada la funcin cuadrtica 322 ++= xxy . Graficar, indicando sus elementos caractersticos
Solucin:
Interseccin de la parbola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)
132
422
1242032
1/032
21
2
2
==
=
+=
=
=++
xx
x
x
xx
xx
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos ( )0,3)0,1( y
Interseccin de la parbola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
3=y
Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )3,0(
Determinacin del vrtice de la parbola:
( )4,14
412;
22
=
=
V
V
Grfico:
-
107. Graficar la funcin: 442 + xx
Interseccin de la parbola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)
222
042
16164044
21
2
==
=
=
=+
xx
x
x
xx
Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos )0,2(
Interseccin de la parbola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)
4=y
Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )4,0(
Determinacin del vrtice de la parbola:
( )0,24
1616;
24
=
=
V
V
Grfico:
-
108. El siguiente grfico corresponde a una parbola, cuya ecuacin es:
A) 322 += xxy B) 322 ++= xxy C) 322 2 ++= xxy D) 322 2 += xxy
Alternativa Correcta: A
-
3.9 Utiliza los elementos caractersticos de una funcin cuadrtica para interpretar su comportamiento.
109. La ganancia trimestral de una empresa (en miles de dlares) est dada por 307
31)( 2 ++= xxxG , interprete los parmetros a, b y c
Solucin:
La funcin ganancia, es una funcin cuadrtica y, por tanto su grfica es una parbola. Adems, el coeficiente 2x es 03
1 b y corta al eje de las ordenadas (eje y) en 30.
110. Dada la funcin de ganancia del problema anterior 30731)( 2 ++= xxxG .Interprete el
valor del vrtice de la parbola.
Solucin:
La abscisa del vrtice de la parbola es 5,10221
32
72
==
=
a
b
La ordenada correspondiente es 75,664
267302217
221
31
221 2
==+
+
=
f
La parbola abre hacia arriba, por lo tanto su vrtice es el punto ms alto sobre la parbola, por lo que la ordenada del vrtice proporciona el valor mximo de la ganancia trimestral Esto significa que la mxima ganancia trimestral es de 66.750 dlares, este valor se presenta cuando la empresa gasta 10.500 dlares trimestrales en publicidad.
111. Dada la funcin cuadrtica 252)( 2 += xxxf , entonces
A) La parbola abre hacia arriba B) La parbola tiene un valor mnimo C) La parbola se desplaza hacia la izquierda D) La parbola en 0=x , es 2
Alternativa Correcta: D
Solucin: La parbola abre hacia abajo )(
-
3.10 Aplica mtodos grfico y analtico para resolver ecuaciones de segundo grado.
112. Desarrolle de manera grfica y analtica el comportamiento de la siguiente ecuacin cuadrtica: 07164 2 =+ xx
Solucin:
5,021
5,3278
12168
112256162
4
2
1
2
==
==
=
=
=
x
x
x
x
a
acbbx
113. Desarrolle de manera grfica y analtica el comportamiento de la siguiente ecuacin cuadrtica:( ) 92 2 =x
Solucin:
( )
152
642
3642
20164054944
92
21
2
2
2
==
=
=
+=
=
=+
=
xx
x
x
x
xx
xx
x
-
114. Utilizando el discriminante, la ecuacin cuadrtica 0432 2 =+ xx , tiene:
A) Dos races reales iguales B) Dos races reales diferentes C) La ecuacin no tiene soluciones reales D) Nada se puede afirmar
Alternativa Correcta: C
Solucin:
23329
42
==
= cab
Como el discriminante es negativo, la ecuacin no tiene soluciones reales
-
3.11 Utiliza la funcin cuadrtica para modelar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la especialidad.
115. El costo promedio por unidad (en dlares) al producir x unidades de un bien es 20002,006,020)( xxxC += Qu nmero de unidades producidas minimizaran el costo
promedio? Cual es el correspondiente costo mnimo por unidad?
Solucin:
unidadesa
b 1500004,006,0
2==
150 unidades minimizaran el costo promedio
2)150(0002,015006,020)150( +=C
dlaresC 5,15)150( = , es el costo mnimo por unidad
116. El costo de producir x artculos al da est dado en dlares por: 21,0480)( xxxC ++= . Si cada artculo puede venderse en 10 dlares, determine el punto de equilibrio.
Solucin:
21,0480)( xxxC ++=
xxI 10)( =
Punto de equilibrio:
xxx 101,0480 2 =++
08061,0 2 =+ xx
Resolviendo la ecuacin de segundo grado, obtenemos:
2040 21 == xx
-
117. El ingreso mensual (en dlares) obtenido por vender x unidades de un producto est dado por: 2025,04)( xxxI = Determine el nmero de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso.
A) 160 unidades B) 80 unidades C) 40 unidades D) 20 unidades
Alternativa Correcta: B
Solucin:
unidadesa
b 8005,04
2=
=
-
APRENDIZAJE ESPERADO:
11. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin exponencial y logartmica como modelo.
3.12 Identifica la funcin exponencial de la forma y = xba , y la caracterizan a travs de sus parmetros, ceros y grfica, cuando
10 b .
118. Dada la funcin xy 2= , identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica
Solucin:
Es una funcin exponencial, ya que es de la forma xbay = . Su dominio es ( ) , , su imagen es ( ),0 . Su grfica pasa por el punto ( )1,0 , es una curva continua sin saltos. Como
1>b , la funcin crece de izquierda a derecha
-
119. Dada la funcin x
y
=
21
caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica
Solucin:
Su dominio es ( ) , , su imagen es ( ),0 . Su grfica pasa por el punto ( )1,0 es una curva continua sin saltos, como 1e , esto implica que 110
-
3.13 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial.
121. La demanda semanal de una nueva lnea de refrigeradores, t meses despus de introducido al mercado est dada por la siguiente expresin: 0500.1000.2)( 05,0 >= tetD t Cul es la demanda del producto despus de dos aos?
Solucin:
oresrefrigeradDeD
548.1)24(500.1000.2)24( 2405,0
=
=
122. Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10% por ao, entonces despus de t aos, el valor de una casa comprada en P pesos, est dada por tPtv 1,1)( = . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el ao 2004. Cul ser su precio en el ao 2011?
Solucin:
684.948.77)7(1,1000.000.40)7( 7
=
=
v
v
-
123. El ingreso I (en dlares) de un cierto producto como funcin de la demanda x, viene dado por la expresin:
25150)(x
exxI
= , si se venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:
A) 55.417,92 dlares B) 1015,01 dlares C) 2030,35 dlares D) 1050,32 dlares
Alternativa Correcta: B
Solucin:
dlaresIeI
01,1015)50(50150)50( 25
50
=
=
3.14 Identifica la funcin logartmica de la forma y = xba log+ , y la caracterizan a travs de sus parmetros, ceros y grfica.
124. Dada la funcin xy log= identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica
Solucin:
Funcin logaritmo con dominio ),0( , su imagen. ),( .Su grfica es una curva continua que pasa por el punto ( )0,1 , la cual crece de izquierda a derecha.
-
125. Dado el grfico logartmico, caractercelo a travs de sus parmetros, ceros y grficas
Solucin:
.
La grfica corresponde a una funcin creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al eje y en la medida que x se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto ( )0,1
-
126. Dados los siguientes grficos. Cul de ellos representa una funcin logartmica?
I II III IV
A) Grfico I B) Grfico II C) Grfico III D) Grfico IV
Alternativa Correcta: D
Solucin:
El grfico I corresponde a funcin exponencial creciente, el grfico II es la funcin 132
=
x
xy , el
grfico III es una funcin exponencial decreciente y el grfico IV corresponde a una funcin logartmica
-
3.15 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial y logartmico
127. Se adquiere un horno industrial en $ 450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor despus de t aos est dado por la frmula: teV 2,0000.450 = En cunto tiempo la mquina tendr un valor de $200.000?
Solucin:
aost
t
et
naturalaritmoaplicandoe
e
e
t
t
t
1,42,0
44444,0lnln2,044444,0ln
log44444,0000.450000.200
000.450000.200
2,0
2,0
2,0
=
=
=
=
=
=
-
128. La temperatura de una taza de caf t minutos despus de ser servida est dada por t
eT 0446,04021 += donde T se mide en grados Celsius.
a. Cul es la temperatura del caf al ser servido? b. Cundo estar el caf lo suficientemente fro para poder beberlo (aproximadamente 50 Celsius)
Solucin:
CelciusTeTeTa
6140214021.
0
0044,0
=
+=
+=
21,70446,0725,0ln
ln0446,0725,0lnlog725,0
4029
4029402150.
0446,0
0446,0
0446,0
0446,0
==
=
=
=
=
+=
t
et
naturalaritmoaplicandoe
e
e
eb
t
t
t
t
Por lo tanto el caf estar lo suficientemente fro dentro de 7,21 minutos
-
129. La poblacin actual de Chile (ao 2010) es de 17 millones de habitantes, si la tasa de crecimiento es de un 1,1% anual, entonces, suponiendo la misma tasa de crecimiento, la poblacin actual se duplicara dentro de:
A) 59,24 aos B) 60,54 aos C) 61,25 aos D) 63,36 aos
Alternativa Correcta: D
Solucin:
n
if iPP )1( +=
fP Poblacin final
iP Poblacin inicial
i Tasa de crecimiento
n Nmero de perodos
36,63011,1log2log
011,1log2loglog011,12
011,11734
)011,01(1734
=
=
=
=
=
+=
n
n
n
aritmoAplicandon
n
n
La poblacin se duplicar dentro de 63,36 aos
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plic
ando
pro
pie
dade
s y
el t
eo
rem
a fu
nda
me
nta
l de
la
s pr
opor
cio
nes
.
2.4.
- R
esu
elve
pr
oble
ma
s co
nte
xtu
aliz
ado
s a
plic
an
do te
ore
ma
s y
pro
pie
dade
s de
la
s ra
zone
s y
pro
porc
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es.
-Ra
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pto
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terp
reta
cin
-Pr
opo
rcio
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nce
pto
, Te
ore
ma
Fu
nda
me
nta
l. -T
rmin
o de
sco
noci
do de
u
na
pr
opo
rci
n
Pro
ble
ma
s de
a
plic
aci
n
3. R
esu
elve
n pr
oble
ma
s de
va
riaci
n
pro
porc
ion
al,
en e
l co
nte
xto
de
la
esp
ecia
lida
d y
la vi
da co
tidia
na
.
2.5.
- Id
entif
ica va
riaci
on
es pr
opo
rcio
nal
es
dire
ctas
, in
vers
as y
con
junta
s en
fe
nm
en
os nat
ura
les,
ec
onm
icos
y/o
so
ciale
s
2.6.
- Pl
an
tea
f
rmu
las
en
ba
se a
pr
oble
mas
da
dos,
a
plica
ndo
conce
pto
s de
va
riaci
ones
pr
opo
rcio
na
les
dire
ctas
, in
vers
as y
con
junta
s.
2.7.
- G
rafic
a e
in
terp
reta
gr
fico
s de
va
riaci
one
s pr
opo
rcio
na
les,
dire
cta
s e
in
vers
as, re
lacio
na
dos
con
si
tua
cio
nes
y
fenm
enos
com
erc
iale
s, ec
onm
icos
, e
tc.
2.8.
- R
esu
elve
pr
oble
ma
s de
pr
opo
rcio
na
lida
d re
laci
ona
dos
con
la
vida
co
tidia
na
y
con
la
e
spe
cial
ida
d.
Varia
cin
pr
opo
rcio
nal
:
Varia
cin
di
rect
a Va
riaci
n In
vers
a
Varia
cin
Co
njun
ta
-G
rfic
os de
la
pr
opo
rcio
na
lidad
di
rect
a e
in
vers
a.
Inte
rpre
taci
n gr
fica
-Re
solu
cin
de
pr
oble
ma
s de
va
riaci
n co
njun
tare
laci
on
ados
co
n la
vid
a co
tidia
na
y co
n la
espe
cia
lida
d.
4. R
esu
elve
n pr
oble
ma
s de
ap
lica
cin
,
utili
zando
f
rmu
las
y co
nce
ptos
de
porc
enta
jes.
2.9.
- Ca
lcula
po
rcen
tajes
de
ca
ntid
ade
s da
das.
2.10
.- Ap
lica
pr
opi
eda
des
de lo
s po
rcen
tajes
e
n la
re
solu
cin
de
pro
ble
ma
s.
2.11
.- R
esuel
ve pr
oble
ma
s de
co
misi
n, de
scu
ento
s y
reca
rgo
s,
rela
cion
ado
s co
n la
es
pecia
lida
d.
2.12
.- Ca
lcula
ta
sa de
in
crem
ento
e
n
dice
s e
n la
re
solu
cin
de
pro
ble
ma
s.
-Ta
nto
po
r ci
ento
Pro
ble
ma
s de
a
plic
aci
n:
-R
eca
rgo
s y
desc
ue
nto
s - Co
misi
one
s
-Ta
sas
e n
dice
s
5. O
pera
n co
n po
tenci
as, ra
ce
s y
loga
ritm
os,
u
tiliza
ndo
su
s pr
opi
eda
des.
2.13
.- O
pera
co
n po
ten
cia
s, u
tiliza
ndo
su
s pr
opi
edade
s.
2.14
.- O
pera
co
n ra
ce
s utili
zan
do su
s pr
opi
eda
des.
2.15
.- R
esuel
ve e
xpre
sio
nes
nu
mr
ica
s co
n lo
garit
mo
s vu
lgare
s y
na
tura
les,
utili
zan
do su
s pr
opi
eda
des.
2.16
.- R
esuel
ve e
xpre
sio
nes
y
prob
lem
as
de a
plic
aci
n u
tiliza
ndo
pote
ncia
s, ra
ces
y
loga
ritm
os.
-Po
tencia
s:
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decim
al.
Pote
nci
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e
xpo
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ne
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o
-Ra
ces
:
Ope
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Prop
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ccio
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decim
al.
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stria
l. Es
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0
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: A
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Carg
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Fech
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0
Val
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Peda
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ente
: Pa
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lca
no
Carg
o:
Enca
rgad
o Pr
oye
cto
y
Dise
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rric
ula
r
Fech
a: en
ero de
201
0
-Lo
garit
mo
s:
Defin
icin
de
lo
garit
mo
Sist
em
as
de lo
garit
mo
s: Lo
garit
mo
s vu
lgar
es
y na
tura
les
Prop
ieda
des
de lo
s lo
garit
mo
s O
pera
toria
co
n lo
garit
mo
s.
6. O
pera
n co
rre
cta
me
nte
co
n l
gebr
a e
lem
en
tal,
con
a
poyo
de
ca
lcula
dora
cien
tfic
a.
2.17
.- R
ealiz
a o
pera
cion
es b
sica
s co
n po
lino
mio
s: Ad
ici
n,
Sust
racc
in, Pr
odu
ctos
.
2.18
.- D
esar
rolla
pr
odu
cto
s n
ota
ble
s: cu
adra
do de
bi
no
mio
y
pr
oduct
o de
un
a su
ma
por
su di
fere
ncia
.
2.19
.- Fa
cto
riza
e
xpre
sio
ne
s al
gebr
aic
as.
2.20
.- R
esuel
ve pr
oble
ma
s de
a
plic
aci
n, u
tiliza
ndo
o
pera
cion
es
bsic
as, pr
odu
ctos
n
ota
ble
s y
fact
oriz
acio
nes
.
Trm
ino
s se
me
jante
s -O
pera
cion
es b
sica
s co
n po
lino
mio
s -Pr
odu
cto
s n
ota
ble
s:
Cua
dra
do de
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no
mio
Sum
a po
r su
di
fere
ncia
-Fa
cto
riza
cin
:
Polin
om
io co
n t
rmin
os
com
un
es
Prod
uct
o de
do
s bi
no
mio
s co
n u
n t
rmin
o co
mn
Dife
renci
a de
do
s cu
adr
ado
s
Trin
om
io qu
e e
s u
n cu
adr
ado
pe
rfect
o
7. R
esu
elve
n, co
n a
yuda
de
calcu
lado
ra cie
ntf
ica, pr
oble
ma
s se
ncillo
s re
laci
ona
dos
con e
l re
a
eco
nm
ica, co
me
rcia
l, te
cno
lgi
ca,
etc
., qu
e im
pliq
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n o
pera
r co
rrec
tam
en
te co
n ec
uac
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es de
prim
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y se
gundo
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ado
, si
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acio
nes
lin
ea
les
y e
cua
cion
es
loga
rtm
ica
s y
exp
one
nci
ale
s
2.21
.- R
esuel
ve ec
uac
ion
es
de pr
ime
r gr
ado
, o
rien
tan
do su
e
studi
o a
situ
acio
nes
re
ale
s de
la
e
spe
cial
idad
y
el m
un
do la
bora
l. 2.
22.- R
esuel
ve ec
uac
ion
es
de se
gun
do gr
ado
orie
nta
ndo
su
e
studi
o
a si
tuac
ion
es
rea
les
de la
es
peci
alid
ad
y e
l mu
ndo
la
bora
l. 2.
23.- R
esu
elve
si
ste
ma
s de
e
cuac
ion
es de
pr
ime
r gr
ado
co
n do
s
inc
gnita
s, o
rien
tan
do su
es
tudi
o a
si
tuac
ion
es
de la
es
peci
alid
ad
y e
l m
un
do la
bora
l. 2.
24.- R
esu
elve
ec
uac
iones
ex
pon
en
cia
les
y lo
gart
mica
s, or
ienta
ndo
su es
tudi
o a
si
tuac
ion
es
de la
e
spec
ialid
ad
y e
l mu
ndo
la
bora
l.
Ecu
aci
n de
pr
ime
r gr
ado
: Re
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cin
y
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s
Ecu
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ado
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n y
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pr
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-Si
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de e
cua
cione
s de
pr
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r gr
ado
co
n
dos
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s: Re
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, gr
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as.
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as.
-Ec
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ion
es lo
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mica
s: Re
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cin
y
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pr
obl
em
as.
3 Un
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d: La
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s co
mo
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nci
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sica
s,
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bito
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cios,
la
tecn
olo
ga
y
otro
s fe
nm
en
os
soci
oec
onm
ico
s, co
n a
yuda
de
3.1.
- Id
en
tifica
e
l co
nce
pto
de fu
nci
n, su
do
min
io y
reco
rrid
o,
ope
rando
co
n la
nom
encl
atu
ra co
rres
pon
dien
te.
3.2.
- Ca
lcu
la im
ge
nes
y
coim
gen
es en
fu
nci
ones
re
ale
s se
nci
llas.
3.3.
- R
epre
sen
ta gr
fica
me
nte
fu
nci
ones
re
ale
s se
ncil
las,
e
n e
l pla
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sia
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nci
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.
9. R
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s de
la
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ad
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mo
mo
delo
.
3.4.
- Id
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tific
a la
fu
nci
n lin
ea
l y la
ca
ract
eriz
a a
tra
vs
de su
s pa
rm
etro
s, ce
ros
y gr
fica
.
3.5.
- An
aliza
e
in
terp
reta
la
pe
ndi
en
te e
inte
rcep
to.
3.6.
- Ca
lcu
la ec
uac
in
de
la
re
cta
en
su
s fo
rma
s pr
incip
al y
ge
ne
ral.
3.7.
- R
esu
elv
e pr
obl
em
as
de la
vi
da co
tidia
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y
de la
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ialid
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lo.
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l: Ca
ract
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tativ
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rfic
o Ap
lica
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ne
s
10. R
esu
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prob
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de la
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