Al final lo resuelven colocando un poste vertical con...

11Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 202

Al instalar el tobogán, los técnicos se encuentran con un problema: el sue-lo es tan irregular que no saben cómo seguir las instrucciones del plano.

Al final lo resuelven colocando un poste vertical con ayuda de la ploma-da y situando la rampa y la escalera del tobogán según ciertos ángulos res-pecto al poste.

1 ¿Qué ángulo forma la rampa con el poste? ¿Y la escalera?

• Ángulo que forma la rampa con el poste:

180° – 30° – 90° = 60°

• Ángulo que forma la escalera con el poste:

180° – 70° – 90° = 20°

2 ¿En qué consiste una plomada? ¿Qué ángulo forma la plomada con la superfi-cie del agua?

Una plomada es una cuerda con un plomo en el extremo. La plomada forma unángulo de 90° con la superficie del agua.

PÁGINA 203

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 ¿Qué ángulo forma una línea trazada con la plomada con otra trazada con elnivel?

90° 8 Ángulo recto

2 Dibuja un ángulo agudo, uno recto, otro obtuso, otro llano y otro cóncavo.

3 Dibuja en tu cuaderno dos ángulos adyacentes y otros dos ángulos opuestospor el vértice.

Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice

AGUDO RECTO OBTUSO LLANO CÓNCAVO

Pág. 1

Unidad 11. Rectas y ángulos


4 Halla el complementario y el suplementario de cada uno de los siguientesángulos:a) 43° b) 22° c) 45° d) 60° e) 78° f) 85°

a) Complementario: 47° b) Complementario: 68°

Suplementario: 137° Suplementario: 158°

c) Complementario: 45° d)Complementario: 30°


e) Complementario: 12° f ) Complementario: 5°


PÁGINA 204

1 Dibuja dos segmentos concatenados, AB y BC. Trazasus mediatrices y llama P al punto en que se cortan.

— Comprueba que PA—

= PB—

= PC—

.

— Razona por qué P está a la misma distancia (equi-dista) de A, de B y de C.

Por estar P en la mediatriz de AB, la distancia de P a A es igual a la distanciade P a B.

Por estar P en la mediatriz de BC, la distancia de P a B es igual a la distanciade P a C.

Por tanto, la distancia de P a A, B y C es la misma.

2 Dibuja en tu cuaderno dos ángulos rsì y stì como se ve en la figura.

Traza sus bisectrices b y b', que se cortan en un punto P.

Razona que las distancias de P a r, a s y a t coinciden.

Por estar P en la bisectriz de rsì, la distancia de P a r es igual a la distancia de Pa s.

Por estar P en la bisectriz de stì, la distancia de P a s es igual a la distancia de Pa t.

Por tanto, la distancia de P a r, a s y a t es la misma.

b

b'

r

t

Ps

A

B

A

B

C

P

Pág. 2



PÁGINA 205

1 Dos ángulos de lados perpendiculares pueden ser iguales, pero también puedenser suplementarios. Justifícalo con un dibujo.

Los ángulos son iguales. Los ángulos son suplementarios

2 De estos ángulos di dos que sean iguales por ser:

a) Opuestos por el vértice. b) Correspondientes.

c) Alternos internos. d) Alternos externos.

a) Aì

= Cì

; Bì

= Dì

; Eì

= Gì

; Fì

= Hì

b) Aì

= Eì

; Bì

= Fì

; Cì

= Gì

; Dì

= Hì

c) Cì

= Eì

; Dì

= Fì

d) Aì

= Gì

; Bì

= Hì

PÁGINA 207

Cálculo mental 1

Efectúa.

a) 23° 35' + 48° 22' b) 31° 40' + 23° 20' c) 31° 42' + 23° 25'

a) 23° 35' + 48° 22' = 71° 57' b) 31° 40' + 23° 20' = 55° c) 31° 42' + 23° 25' = 55° 7'

Aì

Bì

Cì

Dì E

ì

Fì

Gì

Hì

Pág. 3



Cálculo mental 2

Efectúa.

a) 87° 58' – 36° 25' b) 87° – 36° 20' c) 87° 10' – 36° 20'

a) 87° 58' – 36° 25' = 51° 33' b) 87° – 36° 20' = 50° 40' c) 87° 10' – 36° 20' = 50° 50'

Cálculo mental 3

Efectúa.

a) (20° 10') Ò 3 b) (20° 20') Ò 3 c) (20° 25') Ò 3

a) (20° 10') Ò 3 = 60° 30' b) (20° 20') Ò 3 = 61° c) (20° 25') Ò 3 = 61° 15'

Cálculo mental 4

Efectúa.

a) (42° 36') : 3 b) 91° : 3 c) (91° 30') : 3

a) (42° 36') : 3 = 14° 12' b) 91° : 3 = 30° 20' c) (91° 30') : 3 = 30° 30'

1 Efectúa las siguientes operaciones:

a) 47° 25' + 56° 11' + 17° 49' b) 37° 53' – 29° 49'

c) 68° 42' + 11° 3' + 43° 39' d) 52° 41' – 36° 55'

a) 121° 25' b) 8° 4'

c) 123° 24' d) 15° 46'

2 Realiza estas operaciones:

a) (38° 43') Ò 8 b) (24° 55') Ò 10 c) (27° 42') Ò 5

d) (76° 39') : 5 e) (89° 21') : 2 f) (115° 44') : 7

a) 309° 44' b) 249° 10' c) 138° 30'

d) Cociente: 15° 19' e) Cociente: 44° 40' f ) 16° 32'

Resto: 4' Resto: 1'

PÁGINA 208

1 En un triángulo rectángulo, Aì

mide 42° 20'. ¿Cuánto

mide Cì

?

Cì

= 180° – Bì

– Aì

= 180° – 90° – 42° 20' = 47° 40'

A

B C

Pág. 4



2 Si un ángulo de un rombo mide 39°, ¿cuánto miden losdemás?

Como los ángulos de los rombos son iguales dos a dos, habrá dos ángulos que mi-den 39° cada uno. Los otros dos ángulos medirán, cada uno:

(360° – 2 · 39°) : 2 = 141°

3 ¿Cuánto miden los ángulos iguales de una cometa con esta forma?

Como son iguales, cada uno medirá (360° – 100° – 40°) : 2 = 110°.

4 ¿Es posible construir un cuadrilátero con un solo ángulo recto? ¿Y con solo dos?¿Y con solo tres?

PÁGINA 209

5 Averigua cuánto suman todos los ángulos de un decágono cualquiera y cuánto midecada ángulo de un decágono regular. Hazlo de dos formas:

a) Volviendo a hacer todo el razonamiento: ‘‘Un decágono regular se puede des-componer en ocho triángulos…”.

b) Aplicando las fórmulas anteriores.

a) Un decágono regular se puede descomponer en ocho triángulos. Los ángulos decada uno de ellos suman 180°. Entre los ocho, los ángulos suman 8 · 180° = 1 440°.Por tanto, los ángulos de un decágono cualquiera suman 1 440°.

Cada ángulo de un decágono regular mide 1 440° : 10 = 144°.

Un cuadrilátero con tres ángulosrectos tiene que tener el cuarto án-gulo recto obligatoriamente:

360° – 3 · 90° = 90°

Por tanto, no puede haber un cua-drilátero con solo 3 ángulos rectos.

Cuadrilátero consolo dos ángulosrectos.

Cuadriláterocon un solo án-gulo recto.

40°

100°

Pág. 5



b) Suma de los ángulos de un decágono: (10 – 2) · 180° = 1 440°

Cada uno de los ángulos de un decágono reegular mide:

= 144°

6 Justifica que el ángulo así construido mide 60°.

El triángulo que se formaría si uniésemos el punto donde secortan los arcos trazados con el compás con los extremos delsegmento sería equilátero. Por lo que los ángulos de ese trián-gulo tendrían que ser iguales. Como la suma de los ángulosde un triángulo es 180°, cada uno de los ángulos tiene quemedir 180 : 3 = 60°. El ángulo dibujado sería uno de los án-gulos del triángulo, por lo que medirá 60°.

7 Los ángulos señalados en rojo se lla-man ángulos exteriores o externos delpolígono.

Copia esta figura en un papel, recorta losángulos externos, júntalos como ves en lafigura de la derecha y comprueba que su-man 360°.

Respuesta abierta.

8 Justifica que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°.

La suma de los ángulos de un polígono de n lados es (n – 2) · 180°.

Los ángulos exteriores son suplementarios a los ángulos del polígono, por lo que lasuma de cada ángulo del polígono más el exterior correspondiente es 180°.

En un polígono de n lados, la suma de todas estas sumas será n · 180°.

Por tanto, la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es:

n · 180° – (n – 2) · 180° = 360°

PÁGINA 2111 Teniendo en cuenta que cada arco señalado en la circunferencia es de 60°, di el

valor de los ángulos marcados en rojo.

B

A

F

E

D

C

1

2

3

23

4 51

4

5

60°

(10 – 2) · 180°10

Pág. 6



ìCAE = = 60°

ìCBF = = 90°

ìCDE = = 120°

ìCED = = 30°

ìBFC = = 30°

2 Averigua cuál es la medida angular de los cinco arcos iguales en que se ha dividi-do la circunferencia. Di el valor de los ángulos señalados en rojo.

AB)

= BC)

= CD)

= DE)

= EA)

= 360° : 5 = 72°ìBAE = = 108°

ìDBE = = 36°

ìDCE = = 36°

ìBED = = 72°

ìCED =

ìADE = = 36° ò

ìDPE = 180° – 2 · 36° = 108°

3 Dibuja una semicircunferencia y recorta una esquina de una hoja de papel (ángu-lo recto).

Comprueba que, siempre que hagas pasar los lados del ángulo por los extremosdel diámetro, el vértice estará situado sobre la semicircunferencia.

Respuesta abierta.

PÁGINA 212

1 Di cuáles de las siguientes figuras son simétricas respecto a algún eje. Dibuja el ejede simetría y, si tienes un pequeño espejo a mano, comprueba que lo es.

a) b) c) d) e)

72°2

2 · 72°2

72°2

72°2

3 · 72°2

B

A

P

E D

C

60°2

60°2

4 · 60°2

3 · 60°2

2 · 60°2

Pág. 7



a)

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: e1, e2, e3 y e4.

b)

El pentágono regular tiene cinco ejes de simetría: e1, e2, e3, e4 y e5.

c) No tiene ejes de simetría.

d)

El trapecio isósceles tiene un eje de simetría: e1.

e) No tiene ejes de simetría.

PÁGINA 213

2 Copia en tu cuaderno las siguientes figuras y señala todos sus ejes de simetría.

e1

e1 e1 e1e2e2

e3

e3 e4

e2

e1

e3

e2

e4

e5

e1

e3

e2

e4

e1

Pág. 8



3 Completa en tu cuaderno cada figura para que sea simétrica respecto al eje seña-lado:

4 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican:

Comprueba el resultado con un espejo.

e1

e2

e1

e2

Pág. 9


11Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 214

P E R A C I O N E S C O N Á N G U L O S

1 Efectúa las siguientes sumas:

a) 15° 13' + 35° 23'

b) 18° 50' + 22° 15'

c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54'

a) 50° 36' b) 41° 5' c) 93° 51'

2 Resuelve estas restas:

a) 181° 19' – 121° 52' b) 143° 12' – 97° 24'

a) 59° 27' b) 45° 48'

3 Haz los productos siguientes:

a) (58° 14') · 3 b) (37° 43') · 5

c) (62° 12') · 7 d) (5° 58') · 2

a) 174° 42' b) 188° 35'

c) 435° 24' d) 11° 56'

4 Resuelve estas divisiones:

a) (277° 34') : 11 b) (201° 52') : 8

c) (127° 55') : 5 d) (174° 30') : 6

a) 25° 14' b) 25° 14'

c) 25° 35' d) 29° 5'

5 Halla el complementario de:

a) 45° 13'

b) 70° 52'

a) 90° – 45° 13' = 44° 47°

b) 90° – 70° 52' = 19° 8'

6 Halla el suplementario de:

a) 93° 15'

b) 15° 02'

a) 180° – 93° 15' = 86° 45'

b) 180° – 15° 02' = 164° 58'

7 Halla en grados y minutos el ángulo interior de un heptágono regular.

= 128° 34,29'5 · 180°7

O

Pág. 1



O N S T R U C C I O N E S C O N R E G L A , E S C U A D R A Y C O M P Á S

8 Construye un ángulo de 60°.

9 Construye un triángulo que tenga los tres ángulos de 60°.

10 Construye un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 90° y 30°.

11 Construye un triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90°.

12 Construye un ángulo de 120° y otro de 150°.

120° 150°

90°

45°

45°

60° 90°

30°

60° 60°

60°

60°

CPág. 2



13 Traza un segmento y construye su mediatriz. ¿Qué propiedad tienen suspuntos?

Todos los puntos, P, de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento:

PA—

= PB—

14 Traza un ángulo y construye su bisectriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos?

Todos los puntos, P, de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo:

dist (P, r ) = dist (P, s )

E L A C I O N E S A N G U L A R E S

15 Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:

a) Aì

= 180° – 37° = 143° Bì

= 37° Cì

= 37°

b) Mì

= 180° – 132° = 48° Nì

= 132°

c) Aì

= 180° – 90° – 37° = 53°

d) Pì

= Qì

= = 77°180° – 26°2

a) b)

c) d)

132°

37°

26°

37°

A^

A^

B^

C^

N^

P^

Q^

M^

R

s

P

r

A B

P

Pág. 3



16 Calcula el valor de los ángulos desconocidos.

a) Aì

= 360° – 90° – 90° – 71° = 109°

b) Pì

= Nì

= = 60°

c) Bì

= 26°; Aì

= Cì

= 180° – 26° = 154°

d) Nì

= = 17° 30'; Mì

= 180° – 35° = 145°; Pì

= 90° – 17° 30' = 72° 30'

e) Aì

= = 108°; Bì

= = 72°

f ) Mì

= Nì

= 90° + 45° = 135°

17 Halla el valor de los ángulos indicados.

a)

A^

A^

B^

B^

C^

C^

E^

D^

D^

b)

110°

160°

63°

50°

c) d)

e)

A^

B^

C^

40°

f )

360°5

3 · 180°5

35°2

360° – 120° – 120°2

a) b)

c) d)

120° 120°

71°

A^

A^

N^

P^

26° 35°P^

M^

B^ C

^

e) f )

A^

B^

N^

M^

N^

Pág. 4



a) Aì

= = 55° b) Bì

= = 25°

c) Cì

= Dì

= 90° d) Aì

= Bì

= Cì

= = 80°

e) Dì

= 2 · 63° = 126°; Eì

= 63° f ) Aì

= Bì

= 2 · 40° = 80°; Cì

= 40°

PÁGINA 215

18 Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a lassiguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el ángulo central?

b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo?

c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono?

a) = 72° b) = 54° c) 2 · 54° = 108°

19 El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles.

Halla la medida de los ángulos Aì

, Bì

y Cì

.

Los ángulos del triángulo equilátero I miden 60°. Por lo que el ángulo Dì

medirá:

90° – 60° = 30°.

Así: Aì

= = 75°

Bì

= 360° – 2 · 75° – 60° = 150°

Cì

= = 15° A^

D^

B^

C^

180° – 150°2

180° – 30°2

a

aaa a

a

I

II IIA^

B^

C^

180° – 72°2

360°5

160°2

50°2

110°2

Pág. 5



I M E T R Í A S

20 Observa las letras del abecedario:

A B C D E F GH I J K M NÑ O P Q R S TU V W X Y ZDi cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.

Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.

No tienen ejes de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z.

Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L, M, T, U, V, W, Y. Así:

A B C D E K M T U V W YTienen dos ejes de simetría: H, I, X. Así:

H I XLa O tiene infinitos ejes de simetría. Todas las rectas que pasen por el centro de lacircunferencia son ejes de simetría.

21 Completa cada figura para que sea simétrica respecto del eje señalado.

SPág. 6



22 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que seindican:

23 Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:

Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus doscaras.

¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por lasdos caras?

a)

b)

c)

ba c

e1

e2

e1

e2

Pág. 7



Para que se vea lo mismo por las dos caras, hay que situar el espejo sobre alguno delos ejes de simetría de cada figura:

24 Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo:

Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así:

Pero, ¡atención!, no tenemos un espejo en la mano. Tienes que imaginártelo.

Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las si-guientes figuras:

A

BC

DE

MN

P

A B C D E

M NP

F

F

b)

e2e4

e1e1

e2

e2

e3e3

a) c)

Pág. 8


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