Alabeo y torsin restringida en uniones soldadas a tope sometidas a torsin

Dr. Rafael Goytisolo Espinosa1, Dr. Hernn Hernndez Herrera2,

Ing. Osdiel Hernndez Prez3, Dr. Jorge Moya Rodrguez4

1. Profesor Titular, Dr. en Ciencias Tcnicas. Facultad de Mecnica. Universidad de Cienfuegos. E-mail: ragoyti@ucf.edu.cu

2. Profesor Asistente, Dr. en Ciencias Tcnicas. Facultad de Mecnica. Universidad de Cienfuegos.

3. Reserva Cientfica. Facultad de Mecnica. Universidad de Cienfuegos. 4. Profesor Titular, Dr. en Ciencias Tcnicas. Facultad de Mecnica. Universidad Central de Las

Villas. Introduccin

En el trabajo3 se destaca como en la literatura tcnica de Elementos de Mquinas slo algunos autores como: Faires 1, Hall 4, Reshetov 6 y Shigley 8,9 abordan el tema del clculo de las uniones soldadas con la mayor profundidad, sin embargo, ninguno de ellos toma en cuenta en los clculos de las tensiones tangenciales que surgen en los cordones durante la torsin las particularidades de los Perfiles de Paredes Delgadas. Lo mismo sucede en la literatura sobre Estructuras Metlicas como: Mukanov 5, que tratan incluso el clculo a fatiga de las mismas, pero slo abordan los casos ms simples de carga y tampoco contemplan las particularidades de los cordones como Perfiles de Paredes Delgadas. Slo en el Tratado General de Soldadura de los autores Schimpke, Horn y Ruge7 se menciona la necesidad de tomar en cuenta estas particularidades, sin abordar las expresiones para el clculo de las tensiones en los casos de configuracin geomtrica compleja y sin profundizar en los problemas relacionados con el alabeo y la torsin restringida. En el Trabajo3 se dan nuevas expresiones para el clculo de las tensiones tangenciales que surgen en los cordones durante la torsin de costuras de filete de configuracin geomtrica compleja. En el presente trabajo se aborda la aplicacin de la Teora de la Torsin de los Perfiles de Paredes Delgadas al clculo de las tensiones tangenciales de torsin en las uniones a tope, y se estudia la influencia que implica la restriccin del alabeo de la seccin en las tensiones que surgen en los cordones de soldadura.

Desarrollo

Las tensiones tangenciales mximas se calcularon por la clsica expresin de la torsin donde Wt adoptar la expresin correspondiente de acuerdo con el tipo de seccin de paredes delgadas.

WtMt

Mt = (1) Mt Momento torsor sobre la costura, que acta con relacin al eje centroidal longitudinal. Wt Parmetro geomtrico que depende del tipo de seccin de paredes delgadas. Los perfiles de paredes delgadas, se dividen en abiertos y cerrados. El carcter de la distribucin de las tensiones tangenciales a travs del espesor de la pared es diferente en ellos y se establece fcilmente utilizando la analoga de la membrana. Esta diferencia se ilustra en la Fig. 1.

Fig. 1. Analoga de la membrana para un perfil de paredes delgadas abierto (a) y cerrado (b).

Membranaa)

Membranab)

Para el caso del perfil abierto se puede admitir que las tensiones se distribuyen linealmente dentro del espesor de la pared. De un lado de la lnea media del contorno las tensiones tangenciales tienen un sentido y del otro lado sentido contrario (Fig. 1 a), en la lnea media del contorno la tensin es cero. En el caso del perfil cerrado se distribuyen uniformemente a travs del espesor (Fig. 1 b). El clculo de las tensiones en el caso de los perfiles abiertos se fundamenta en el hecho de que la magnitud y distribucin de las tensiones en la seccin no se modifica mucho si se endereza el perfil. Es decir, las tensiones en un perfil abierto de configuracin curvilnea sern aproximadamente las mismas que en uno rectilneo. En este caso, uno de los lados es el permetro s y el otro es el espesor

. Como: s , utilizando la expresin para una seccin rectangular, se tiene que = = 0,333

y la tensin tangencial mxima se calcula como:

t

tmax W

M= (2)

3

2 sWt= (3)

Cuando se trata de un perfil de paredes delgadas abierto compuesto que no puede ser enderezado y transformado en un rectngulo (Fig. 2), la ecuacin para el clculo de las tensiones es la siguiente:

Fig. 2 Perfil de paredes delgadas abierto no desarrollable. Por la analoga de la membrana se establece que la mayor tensin se produce en el tramo de mayor espesor max. De donde max se produce para i = max, o sea:

nn

t

t

t

sssM

WM

32

321

31

maxmax ...

3

+++== (3)

Siendo: max

32

321

31

max 3...

+++== nntt sssIW (4)

En el caso de una barra de paredes delgadas de perfil cerrado las tensiones se distribuyen uniformemente dentro del espesor (Fig. 2 b). En la literatura de Resistencia de Materiales se demuestra que en este caso que el producto no vara a lo largo del permetro de la seccin. La tensin tangencial mxima se calcula por la siguiente expresin, donde la tensin mxima se produce donde el espesor es mnimo.

*2 minmax A

Mt= (5)

min*2 = AWt (6) En este caso A es el rea encerrada en la lnea media del contorno.

Aplicando las expresiones descritas al clculo de las tensiones en perfiles en paredes delgadas soldados a tope y sometidos a torsin, se obtuvieron nuevas expresiones para el clculo de las

1

2

4

3

S1 S4

S3

S2

zM

y

xl

z

tensiones tangenciales mximas para diferentes uniones soldadas a tope de configuracin geomtrica compleja sometidas a torsin. En la Tabla 1 se muestran las expresiones obtenidas considerando las uniones como Perfiles de Paredes Delgadas. Las mismas no aparecen descritas en ninguna de las fuentes bibliogrficas consultadas.

En la Fig. 6 se muestra una viga de seccin I soldada a tope en su seccin media. Las dimensiones de la seccin y por lo tanto del cordn de soldadura son las que se sealan. En la figura se da tambin la tensin equivalente segn la 4ta Hiptesis de Resistencia de Von Mises, obtenida en la seccin de la soldadura, procesando la unin con el Sofware MEF Cosmos Design Start. La seccin de la unin se corresponde con la el Perfil 5 mostrada en la Tabla 1. La tensin mxima calculada por la expresin correspondiente ser: Teniendo en cuenta que en este caso: s1 = s2 = s3 = 10 mm; l1 = l2 = b = 100 mm y l3 = h = 200 mm

)2(3

2 hbMt

mx +=

16.6338000

1024)1801002(10

1083 52

5

mx ==+= MPa

En la Fig. 6 tambin se muestra el cuadro de tensiones en la seccin ubicada en la mitad de la viga donde la misma est soldada ampliada. Como se puede inferir del cuadro de colores la tensin mxima es uniforme en todo el contorno y la tensin equivalente alcanza una magnitud aproximada de: eq = 115.3 MPa segn el criterio de Von Mises. La Tensin tangencial mxima segn este propio criterio de Von Mises se puede calcular por la expresin:

3eq

mx

= = 66.6 MPa, el clculo analtico aplicando la Teora de los Perfiles de Paredes Delgadas (Tabla 1) arroj =mx 63.16 MPa, lo que es una excelente correspondencia con el Mtodo de Elementos Finitos.

En los Perfiles de Paredes Delgadas se produce durante la torsin el fenmeno del alabeo que se muestra en la Fig. 3. Este alabeo es mucho mayor en los Perfiles Abiertos que en los Cerrados, donde el mismo es prcticamente insignificante.

Fig. 3 Alabeo de la seccin en un perfil abierto Fig. 4 Perfil I soldado en un extremo y sometido a torsin restringida. Si uno de los extremos de la barra es soldado, entonces se produce una restriccin al fenmeno del alabeo que se conoce como torsin restringida. En la Fig. 4 se muestra un Perfil I bajo el efecto de torsin restringida. En la torsin restringida, adems de las tensiones tangenciales primarias provocadas por el momento M (Fig. 5 a) surgirn tensiones tangenciales secundarias originadas por la restriccin del alabeo (Fig. 5 b) de manera que el momento torsor resultante en cada seccin ser igual a la suma de los dos momentos, de modo que: 21 MMMt += (10) El momento M1 ser igual a: = tIGM1 It es la caracterstica geomtrica de la seccin depende de la geometra de la misma.

M

M

DA

CB

z

x

y

dz

Tabla 1 Expresiones propuestas para el clculo de las tensiones tangenciales mximas en uniones soldadas a tope de configuracin geomtrica compleja sometidas a torsin libre

No Tipo de seccin Expresiones propuestas para el clculo de mt Expresin general Para espesor s = cte

1

lsMt

Mt = 23 ls

MtMt

= 23

2

)(3

32

31 ssl

sMt mxMt +

= 22

3sl

MtMt

=

3

322

311

3slslsMt mx

Mt +=

)(3

212 lls

MtMt +

=

4

333

223

11

3slslsl

sMt mxMt ++

=

)(3

3212 llls

MtMt ++

=

5

333

322

311

3slslsl

sMt mxMt ++

=

)(3

3212 llls

MtMt ++

=

6

332

322

311

3slslsl

sMt mxMt ++

=

)2(3

212 lls

MtMt +

=

7

343

333

322

311

3slslslsl

sMt mxMt +++

=

)2(3

3212 llls

MtMt ++

=

8

mnMt sll

Mt=

21

5.0 sll

MtMt

=21

5.0

9

mn

Mt sdMt

= 22 sdMt

Mt = 22

Fig. 5 Tensiones tangenciales provocadas por el efecto de torsin restringida.

El momento de las tensiones tangenciales secundarias 2 con relacin al centro de torsin P ser:

2

22

dz

dIEM = (11)

Fig. 6 Perfil abierto no desarrollable soldado a tope en su seccin media y sometido a torsin libre.

Y la expresin (10) queda entonces como:

2

2

dz

dIEIGM tt = (12)

Designando por:

IEIG t

=2 (13)

Se obtiene que:

ttIG

M

dz

d=

222

2 (14)

La ecuacin (14) se conoce como ecuacin diferencial de la torsin restringida. La solucin de esta ecuacin diferencial para el caso analizado es:

( ) ( ) ( )[ ]zzsenhlIG

M

tt += coshtanh1 (15)

El desplazamiento angular del extremo libre ser:

( )

== llIGlM

dzt

tl

tanh11

0 (16)

M

z

M

l=100 cm

b=10 cm

h=20 cm

=1 cm

1

Px

Px

ds

r

a) b)

Las tensiones normales en la seccin del empotramiento se calculan como:

( )lIGME

dzdE

tt

z

===

tanh0

(17)

Y los momentos M1 y M2 sern quedarn definitivamente como: ( ) ( ) ( )( )zzsenhlMIGM tt +== coshtanh11 (18) ( ) ( ) ( )( )zzsenhlMM t = coshtanh2 (19) Se analizar la misma barra de perfil I evaluada en el caso de la torsin libre. Para el empotramiento: M2 = Mt [ ]22

2

22 /1075,0

3400 cmkNMM

WM

tt

min=== . Para el extremo libre [ ]kNcmMM t= 3335,02

[ ]222

22 /1025,0

3400

3335,0 cmkNMMWM

tt

min===

La tensin tangencial resultante: 21 +=r (20)

Para el empotramiento, z = 0: ttr MM =+= 22 1075,01075,00

Para el extremo libre z = l: ( ) [ ]2222 /1025,51025,0105 cmkNMM ttr =+= Las tensiones normales en la seccin del empotramiento sern:

( )lIGME

tt

= tanhmax (21)

[ ]2224

4

/101.169414,01075,142010

3401077,0

102cmkNM

Mt

tmax =

=

Si se utiliza: Mt = 5108 N-m (80 kN-cm) igual al tomado en el caso de la torsin libre. 88.1280101.16101.16 22 === tM KN/cm2 = 128.8 MPa 6.0801075.01075.0 22 === tM KN/cm2 = 6 MPa

Sustituyendo en la expresin de max de Von Mises se tiene que:

23 22

mx += MPa6.64

2638.128 22 =+=

Los diagramas de las fuerzas internas y tensiones en la torsin restringida se dan en la Fig. 7.

En la Fig. 8 se observa el cuadros de tensiones en una seccin muy prxima al empotramiento de la barra analizada con un extremo empotrado y se muestran tambin los cuadros de tensiones en otras secciones alejadas del empotramiento. Como se puede apreciar en estas figuras el cuadro de tensiones en el empotramiento es diferente al del resto de la barra. En el empotramiento hay efectos locales, dados por un lado, por la restriccin que representa el empotramiento al alabeo (Torsin Restringida) y por otro lado la concentracin de tensiones que representa el cambio de direccin del flujo de fuerzas en esta unin soldada a tope en T. En el propio empotramiento, de acuerdo con el cuadro de colores, se aprecian zonas con un color naranja donde las tensiones pueden alcanzar

valores de =eq 167.5 MPa. O sea: == 3eq

mx

96.7 MPa; 1.45 veces mayores que en la torsin libre donde la concentracin de tensiones es casi nula, en el resto coincide con la torsin libre. En el anlisis realizado en la Fig. 7 se aprecia como en la barra de perfil I empotrada en un extremo, el efecto de la torsin restringida provoca que la tensin tangencial resultante en la seccin va disminuyendo del extremo libre al extremo empotrado, sin embargo, la tensin normal que aparece en la seccin por el efecto de la restriccin al alabeo aumenta en la medida que nos acercamos al empotramiento, modificndose totalmente el estado tensional, pero se puede apreciar como a pesar

de este cambio la tensin tangencial mxima mx del estado tensional en cada seccin prcticamente no vara. Esto se corresponde en gran medida en lo que se aprecia en los cuadros de tensiones de Elementos Finitos donde con excepcin del empotramiento en las restantes secciones

mx = const. = 66.6 MPa. El efecto de elevacin de tensiones en el empotramiento se debe fundamentalmente a la concentracin de tensiones.

MtkN cm

1

kN /cm^2

z

z

z

510^-2 M kN/cm^2

z

M kN cm

M +

0,4510^-3 M radrad

z

z

l=100 cm

kN /cm^2

z

z

z

2

kN /cm^2 0,2510^-2 M kN/cm^2

r 1 2

kN /cm^2

M1kN cm

0,6665M kN cm

M2kN cm

0,3335M kN cm

0,7510^-2 M kN/cm^2

0,7510^-2 M kN/cm^2

5,2510^-2 M kN/cm^2

16,110^-2 M kN/cm^2

z

Fig. 7 Diagramas de momentos torsores, tensiones y desplazamientos angulares para la torsin

restringida

Conclusiones 1. Mediante la aplicacin de la Teora de los Perfiles de Paredes Delgadas se obtuvieron nuevas

expresiones para el clculo de las tensiones tangenciales mximas en uniones soldadas a tope de perfiles de paredes delgadas de configuracin geomtrica compleja abiertos y cerrados.

2. La aplicacin del MEF para una seccin I permiti apreciar claramente que esta se comporta como un perfil de paredes delgadas, las tensiones se distribuyen uniformemente a lo largo de todo el contorno del perfil donde la tensin es mxima y a lo largo de la lnea media de todo el contorno la tensin es cero.

3. El clculo de las tensiones por la expresin propuesta para un perfil I de determinadas dimensiones arroj un valor de mx = 63.16 MPa y mediante el Mtodo de Elementos Finitos para ese mismo perfil arroj mx = 66.6 MPa, lo que es una correspondencia casi perfecta con una diferencia del orden de un 5%.

4. Se graficaron las tensiones que surgen en este tipo de seccin aplicando la Teora de la Torsin Restringida y se demuestra que la tensin tangencial resultante producto de los efectos primarios y secundarios de la Torsin Restringida van disminuyendo desde el extremo libre hacia el empotramiento, sin embargo, la tensin normal que surge en la seccin al restringirse el alabeo va aumentando al pasar del extremo libre al extremo empotrado, a pesar de los cambios en el tipo de tensin y su magnitud, se pudo comprobar que la tensin tangencial mxima del estado tensional que surge en las distintas secciones mx permanece prcticamente constante.

Fig. 8 Cuadro de tensiones en diferentes secciones a lo largo de la longitud de la barra en la torsin

5. El comportamiento anterior se confirma al aplicar el MEF a dicha barra empotrada, donde se aprecia que con excepcin de la zona muy prxima al empotramiento el cuadro de tensiones prcticamente no vara y mx = 66.6 MPa coincide con la torsin libre. En el empotramiento se observan efectos muy locales que segn el criterio de los autores se deben bsicamente al efecto de concentracin de tensiones, producto del cambio del flujo de fuerzas en esa seccin.

Referencias Bibliogrficas 1. Faires V.M. Diseo de Elementos de Mquinas. Mxico: Editorial UTEHA, 1985.-- 802 p. 2. Feodosiev V I. Resistencia de Materiales. Mosc: Editorial MIR, 1985.-- 583 p. 3. Hall, A. et al Diseo de Mquinas. Madrid: Editorial. Dossat, 1971.-344 p. 4. Hernndez Herrera, Hernan. Desarrollo y perfeccionamiento de las expresiones para el clculo

de las tensiones mximas en las uniones soldadas con costuras de filete. Dr. Ing. Rafael Goytisolo Espinosa, tutor .Tesis de Doctorado, UCF, 2006.90h.

5. Mukanov, K. Design of Metal Structures. Mosc: Editorial MIR, 1968. -- 517 p. 6. Reshetov, D. Elementos de Mquinas. La Habana: Editorial Pueblo y Educacin, 1985.- 830 p. 7. Schimpke, P. Tratado General de Soldadura. Proyecto y clculo de construcciones soldadas. La

Habana: Editorial Pueblo y Educacin, 1980.-- 394 p. 8. Shigley, J; Mitchell L. Diseo en Ingeniera Mecnica. Mxico: Ed. Mc Graw Hill, 1985.-915 p. 9. Shigley, J. E.; Mischkie C. Diseo en Ingeniera Mecnica. Mxico: Editorial Mc Graw Hill

Interamericana, 2001.-- 943 p.

(MPa)