Índice.

Introducción. ............................................................................................................ 1

Objetivos. ................................................................................................................ 2

Deducción de la ecuación diferencial que rige la transferencia de calor en

superficies extendidas. ............................................................................................ 3

Determinación de las constantes arbitrarias, perfil de temperatura, razón de

transferencia de calor y eficiencia para diferentes condiciones de frontera. ........... 6

Caso 1, aleta infinitamente larga .................................................................. 6

Caso 2, Temperatura especifica en la punta de la aleta. ........................................ 8

Caso 3, punta de la aleta aislada. ......................................................................... 10

Caso 4, convección en la punta de la aleta. .......................................................... 12

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Introducción.

En muchas aplicaciones de transferencia de calor en ingeniería se requiere

aumentar la razón de flujo de calor de cierto dispositivo, máquina o componente

hacia el ambiente o a otros fluidos, esto se puede lograr ya sea aumentando el

coeficiente de convección, aumentando el área superficial expuesta al aire

ambiental o aumentando la diferencia de temperatura entre el dispositivo y el

fluido con el que se trabaje, el aumento de área expuesta se logra atreves de la

agregación de superficies extendidas o también llamadas aletas que son de gran

interés ya que son dispositivos simples que requieren poco mantenimiento pero

que pueden aumentar drásticamente la evacuación de calor donde se este

utilizando.

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Objetivos.

Objetivo general:

- Adquirir destreza y el conocimiento necesario para realizar cálculos de

transferencia de calor que involucran un aumento de evacuación de calor

por medio de superficies extendidas.

Objetivos específicos:

- Realizar suposiciones y aproximaciones para poder modelar y explicar

cómo se realiza la transferencia de calor atreves de superficies extendidas.

- Adquirir el conocimiento para deducir el perfil de temperatura, calor

evacuado y eficiencia de superficies extendidas a partir de la ecuación

diferencial que rige a este fenómeno.

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Deducción de la ecuación diferencial que rige la transferencia de

calor en superficies extendidas.

Suposiciones para la deducción de la ecuación:

- La transferencia de calor por conducción es unidimensional.

- El proceso de transferencia es de régimen estacionario.

- El coeficiente de transferencia de calor por conducción se mantiene

constante a lo largo de todo el material de la aleta.

- El coeficiente de transferencia de calor por convección se mantiene

invariable sobre todas las superficies de las aletas.

- La transferencia de calor por radiación es insignificante por lo cual es

despreciable.

- No hay generación de calor en la superficie extendida.

Balance de energía para un elemento de volumen que pertenece a

la superficie extendida.

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De donde que es la temperatura de la base de la aleta, es el perímetro

del área perpendicular a la transferencia de calor por conducción, el la longitud

de la aleta y es el área superficial de la aleta expuesta a convección.

Aplicando la ley de Fourier se tiene:

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Aplicando un cambio de variables donde es el exceso de temperatura

se tiene:

Para el caso especial en el cual el área perpendicular a la transferencia de calor

por conducción se mantiene constante que también implica que el perímetro se

mantiene constante se tiene que:

De lo cual resulta una E.D.O.L homogénea con coeficientes constantes la cual se

resuelve de la siguiente manera:

Ecuación característica de la E.D.O.L:

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La solución general de la E.D.O.L es:

Determinación de las constantes arbitrarias, perfil de temperatura,

razón de transferencia de calor y eficiencia para diferentes

condiciones de frontera.

En la base de la aleta existe condición de frontera térmica de primera clase

ordinaria y se define como:

La ecuación 1.2 es válida para los cuatro casos de condiciones de frontera en la

punta de la aleta que se desarrollan a continuación.

Caso 1, aleta infinitamente larga

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La ecuación que satisface las condiciones 1.1 y 1.2 es únicamente el término

de donde , al sustituir 1.1y 1.2 en la ecuación 1.0 además de

realizar el cambio de variables se obtiene el perfil de temperatura:

Matemáticamente hablando, la temperatura de la punta de la aleta alcanzará el

valor de la temperatura ambiente cuando x sea infinitamente grande, en la realidad

este valor se alcanza para longitudes considerablemente grandes.

Derivando con respecto de x la ecuación 1.3 y evaluando el valor de :

Aplicando la ley de a Fourier se obtiene la razón de transferencia de calor en la

aleta:

La eficiencia de una aleta se define como:

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Caso 2, Temperatura especifica en la punta de la aleta.

En la punta de la aleta se tiene una condición de frontera térmica de primera clase,

es decir;

Para determinar el valor de las constantes arbitrarias se debe resolver

simultáneamente las ecuaciones 1.1 y 1.5:

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Derivando con respecto de x el perfil de temperatura 1.6 y evaluándolo en de

:

Aplicando la ley de a Fourier se obtiene la razón de transferencia de calor en la

aleta:

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Calculando la eficiencia:

Caso 3, punta de la aleta aislada.

En la punta de la aleta se tiene condición de frontera de térmica de segunda clase

homogénea es decir:

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Para determinar el perfil de temperatura se debe resolver simultáneamente las

ecuaciones 1.1 y 1.9:

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Derivando con respecto de x el perfil de temperatura 2.0 y evaluándolo en de

:

Aplicando la ley de a Fourier se obtiene la razón de transferencia de calor en la

aleta:

Calculando la eficiencia:

Caso 4, convección en la punta de la aleta.

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Para facilitar los cálculos para este caso se modela una nueva aleta que tenga una

longitud tal que se comporte como una aleta con punta aislada lo cual produce un

error menor al 1%, a esta longitud se le llama longitud de aleta corregida y se

define como:

Por lo cual se pueden utilizar las expresiones deducidas para una aleta con punta

aislada al intercambiar la longitud por la longitud corregida, las expresiones son:

Perfil de temperatura:

Razón de calor:

Eficiencia: