Álgebra-1_Expresiones alg.ppt
-
Upload
dragonrojo1964 -
Category
Documents
-
view
18 -
download
0
Transcript of Álgebra-1_Expresiones alg.ppt
![Page 1: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/1.jpg)
Colegio Hermanos Carrrera
Departamento de Matemática – Prof. Roberto Medina Unidad 2
Álgebra y funciones Objetivos:- Conceptos algebraicos básicos - Valoración de expresiones algebraicas - Reducción de términos semejantes - Notación algebraica - Ecuaciones literales, función lineal y afín - Composición de funciones
![Page 2: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/2.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
• Álgebra: es la rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas.
• El álgebra elemental, se encarga de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, elevar a una potencia y obtener una raíz), pero que a diferencia de la aritmética, utiliza también letras (a, x, y).
• Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su solución.
![Page 3: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/3.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
La palabra Álgebra proviene del nombre de un matemático árabe del siglo IX, llamado Muhanmad Ibn Musá Aljwarizmi, quien escribió el primer libro o tratado sobre el Álgebra. También la palabra algoritmo, que designa un procedimiento especificado paso a paso para resolver un problema, proviene de este matemático.
![Page 4: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/4.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Muhanmad Ibn Musá Aljwarizmi (? – 850) Matemático árabe. Escribió
una obra titulada Libro de la reducción, cuya versión latina tuvo gran influencia en la matemática europea hasta mediados del siglo XV. En ella indicó las primeras reglas del cálculo algebraico como:
- la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo
- la anulación de términos idénticos en ambos miembros.
- También estudió las ecuaciones de segundo grado y otros problemas matemáticas.
![Page 5: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/5.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
I.- Conceptos algebraicos básicos:
Término algebraico: es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica.
Ejem:
3x, 5xy2, -2mnp3, x2y3z, πr2,
![Page 6: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/6.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Un término algebraico consta de los siguientes elementos, ejemplo:
– 5axy2z3 Signo: + o - , y es parte del coeficiente numérico Coeficiente numérico: es un número entero,
fraccionario, o decimal, que multiplica o divide al factor literal, incluido el signo
Factor literal o variables: es la letra o conjunto de letras que es multiplicada por el coeficiente numérico
Grado: es la suma de los exponentes del factor literal
![Page 7: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/7.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Para el ejemplo anterior, tenemos:
– 5axy2z3
Que - 5, es el coeficiente numérico; axy2z3 el factor literal, y el grado, es la suma de los exponentes de las letras, es decir, 7
Coeficiente numérico
– 5
Factor literal
axy2z3
Grado 1+1+2+3=7
![Page 8: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/8.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Complete la tabla:
Término algebraico
Coeficiente numérico
Factor literal Grado
5x2yz3
-3xw2
-z
0,25x2y2z2
-1000xy
![Page 9: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/9.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Expresiones algebraicas: es una combinación de letras y números ligadas o unidos por los signos de las operaciones: adición, o sustracción
Ejem:
x+y+z, 2x2y – 3xy2, 5x2 – 3y, 0,2x - 3
![Page 10: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/10.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Variables y constantes: en las expresiones algebraicas, son constantes, los valores de los coeficientes numéricos, es decir, valores que no cambian; en cambio, los factores literales, son elementos variables, que pueden tomar distintos valores numéricos según el tipo de problema a resolver
![Page 11: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/11.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Evaluación de expresiones algebraicas: evaluar o valorar una expresión algebraica, significa asignar un valor numérico (o literal) a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
![Page 12: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/12.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejem.: Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, considerando que: a = 2, b = 5, c = -3, y d = -1
a) 5a2 – 2bc – 3d = b) 7bc – 3ad =
c) -3b2 – 2c2 + (a+d)2 = d) a + b + c + d =
e) a2 – b2 + c3 – d3 = f) ab – cd =
![Page 13: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/13.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Reducción de términos semejantes y uso de paréntesis: se denominan términos semejantes de una expresión algebraica a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
Ejem: en la expresión 5a2b + 3axb – 7a2b + 12axb – 25ax2b + 120
![Page 14: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/14.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Son términos semejantes:
5a2b + 3axb – 7a2b + 12axb – 25ax2b + 120
5a2b y – 7a2b; y también lo son
3axb y 12axb pues tienen iguales factores literales, en cambio
– 25ax2b y 120 son términos independientes sin semejantes
![Page 15: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/15.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos (considerando sus signos, + o - ), conservando el factor literal que le es común.
Ejem.: al reducir términos semejantes en la expresión 5x – 9y + 3x2 – 12x +20y + 25 =
Se llega a: -7x + 11y + 3x2 + 25 =
![Page 16: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/16.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Encuentra los términos semejantes y reduce en:
a) 5b + 3axb – 7b + 12axb – 25ax2b =
b) bx2 + 3axb – 7bx2 + axb + 11 =
c) abcx2 + 120bc - 12abcx2 + ac2 =
d) 5x + 3y – 2z – 15x + 55y + 20z =
e) 5x2 – 2y2 + z3 + 10x2 +220y2 – z3 =
![Page 17: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/17.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Definición de Monomio, Binomio, Trinomio, Multinomio y Polinomio:
Monomio. Un Monomio es una expresión algebraica de un sólo término algebraico que contiene; un signo (+, -), un número llamado coeficiente numérico y una o varias literales (letras) conocidas también como variables, incógnitas o factor literal, con sus respectivos exponentes.
Ejem.: x2, a2b3, 0.5z2, - 10mn3
![Page 18: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/18.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Binomio. Un Binomio es una expresión algebraica formada por dos términos algebraicos o dos monomios, separados por el signo más + o menos -
Ejem.:
3x3 + x, 10x- y2, -5( x + y ), – 2t + x
![Page 19: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/19.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Trinomio. Un Trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos algebraicos o tres monomios, separados por el signo más + o menos –
Ejem.:
3x − x2 + 5x3, y2 + 2x2y2 − 5x2,
2a – 2b + 2c, x2 + y2 + z2
![Page 20: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/20.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Multinomio. un Multinomio es una expresión algebraica formada por cuatro o más términos algebraicos o monomios, separados por el signo más + o menos - ;
Ejem.: 5mn – m – n – 12m3n3 − 5
Cuando está expresado en una sola variable se le llama Polinomio en la variable x.
Ejem.: -250 - 8x + 2x2 − 5x3 − 5x4
![Page 21: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/21.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Polinomio de una variable: es una expresión algebraica en la variable x, de la forma general:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0
Donde los coeficientes a0, a1, a2, …, an, son números reales, generalmente enteros.
Ejem.: P(X) = -5x4 + x3 + 12x2 – 25x + 2
![Page 22: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/22.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación): para sumar dos o más polinomios, se suman termino a termino los coeficientes de igual grado de los polinomios.
Ejem: P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0
Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + …+ b2x2 + b1x + b0
![Page 23: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/23.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Entonces la suma de los polinomios P(x) y Q(x) es dada por:
P(x) + Q(x) = (an + bn ) xn + (an-1 + bn-1 ) xn-1 + (an-2 + bn-2 ) xn-2 + …+ (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 )
P(x) = 3x3+5x2-10x-20
Q(x) = -12x4-2x3+5x2+25x+30
P(x) + Q(x) = -12x4+(3-2)x3 + (5+5)x2 + (-10+25)x + (-20+30)
![Page 24: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/24.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Esto da como resultado final:
P(x) + Q(x) = -12x4+x3 + 10x2 + 15x + 10
De manera anàloga la resta serìa:
P(x) - Q(x) = -(-12x4)+(3-(-2))x3 + (5-5)x2 + (-10-25)x + (-20-30)
P(x) - Q(x) = 12x4+ 5x3 -35x -50
Aplicando lo visto calcule:
![Page 25: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/25.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios: calcular P(x) + Q(x) si se tienen los polinomios:
1) P(x) = 3x3+x2-10x-12
Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100
2) P(x) = 30x3+x2-10x-12
Q(x) = -3x4-30x3+10x2+25x
3) P(x) = 30x3+x2-10x-12
Q(x) = 2x5-x4-x3+x2+x +1
![Page 26: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/26.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Calcular P(x) – Q(x) si se tienen los polinomios:
4) P(x) = 3x3+x2-10x-12
Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100
Calcular Q(x) – P(x) si se tiene
5) P(x) = 3x3+x2-10x-12
Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100
![Page 27: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/27.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Multiplicaciòn de polinomios: para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada tèrmino algebraico de un polinomio, por cada uno de los tèrminos del otro polinomio, y despuès se reducen tèrminos semejantes, es decir, se combinan los tèrminos de iguales factores literales
Ejem.: al multiplicar P(x)= x2-10x-12 por Q(x)= -2x3+x2+100 se obtiene:
![Page 28: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/28.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
P(x)*Q(x) = (x2-10x-12)(-2x3+x2+100 )
= (x2) (-2x3) + (x2) (x2) + (x2) (100) +
(-10x) (-2x3) + (-10x) (x2) + (-10x) (100) +
(-12) (-2x3) + (-12) (x2) +(-12) (100)
= -2x5 + x4 + 100x2 + 20x4 – 10x3 – 1000x + 24x3 -12x2 – 1200
Reordenando terminos:
P(x)*Q(x) = -2x5 + 21x4 + 14x3 + 88x2
– 1000x – 1200
![Page 29: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/29.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios: determina el resultado de las multiplicaciones de polinomios:
P(x) = x2-10x-12 R(x) = x3+100x2 – 12
Q(x) = -2x3+100 S(x) = 5x2 + 2
1) P(x)Q(x) =
2) P(x)R(x) =
3) P(x)S(x) =
4) Q(x)R(x) =
5) Q(x)S(x) =
![Page 30: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/30.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Productos notables: se denominan notables a un conjunto de productos entre tèrminos algebraicos que se caracterizan por tener una forma fàcil de recordar y representar; ellos son:
- Cuadrado de binomio - Binomio con termino común - Cubo de binomio
- Suma por diferencia
![Page 31: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/31.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Cuadrado de binomio: viene dado por la expresion:
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2
El cuadrado del primer tèrmino, màs (o menos) el doble del primero por el segundo, màs el cuadrado del segundo tèrmino
![Page 32: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/32.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios:
1) (2x+5)2 =
2) (x+7)2 =
3) (3x-1)2 =
4) (x-3)2 =
5) (2x+5y)2 =
![Page 33: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/33.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Binomio con termino común: viene dado por la expresion:
(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab
El cuadrado del primer tèrmino, màs la suma de los tèrminos independientes por el primer tèrmino, màs el producto de los tèrminos independientes
![Page 34: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/34.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios:
1) (x+5)(x+7) =
2) (2x+3)(2x+1) =
3) (3ax+2b)(3ax+6) =
4) (3x-5)(3x+10) =
5) (5a+1)(5a+11) =
![Page 35: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/35.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Cubo de binomio: viene dado por la expresion:
(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
El cubo del primer tèrmino màs, el triple del primero al cuadrado por el segundo, màs el triple del primero por el segundo al cuadrado, màs el segundo tèrmino al cubo
![Page 36: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/36.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios:
1) (x+3)3 =
2) (x - 5)3 =
3) (2a+3b)3 =
4) (-2x+1)3 =
5) (3ax+5b2)3 =
![Page 37: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/37.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Suma por diferencia: viene dado por la expresion:
(x+y)(x-y) = x2 – y2
El cuadrado del primer tèrmino, menos el cuadrado del segundo tèrmino
![Page 38: Álgebra-1_Expresiones alg.ppt](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/55cf9698550346d0338c8bea/html5/thumbnails/38.jpg)
Unidad 2 Álgebra y funciones
Ejercicios:
1)(x+3)(x-3) =
2)(x+5)(x-5) =
3)(2x+a)(2x-a) =
4)(ax+b)(ax-b) =
5)(2x-1)(2x+1) =