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Introducción al álgebra

Propiedad Intelectual CpechPPTCANMTALA03002


APRENDIZAJES ESPERADOS

• Minimizar las respuestas erróneas en conceptos básicos del álgebra, al no cometer errores comunes.


Contenidos

1. Definiciones

1.1 Término algebraico

1.2 Expresión algebraica

2. Operaciones algebraicas2.1 Adición y sustracción

2.2 Multiplicación

1.3 Términos semejantes

3. Planteamiento de enunciados

4. Inducción en el álgebra


1.1 Término algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”.

Ejemplos:

23x5y8,2q

5pmn3p, 3a4b,

1. Definiciones


Es la relación entre términos algebraicos, mediante la adición y/o sustracción.

1.2 Expresión algebraica

Ejemplos:

1) 9x7 – 4 5y

2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q

3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2


• Clasificación:

Monomio

Expresión algebraica que consta de un término algebraico.

Ejemplos:

Polinomio

Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

36x5, 73p4q28ab3,


2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos

algebraicos.

Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7

Ejemplo:

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

2m3n4 + 7ab


Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.

Ejemplo:

- Los términos y son semejantes.

- Los términos y NO son semejantes.

1.3 Términos Semejantes

7m3n 2m3n

3p2 9p5


2. Operaciones algebraicas

2.1 Adición y Sustracción

Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes.

Ejemplo:

mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p

= (5 – 8) mn5p

= (– 3) mn5p

= – 3mn5p


Ejercitemos

18x + 9 ∙ = x 3

1.

Error común18x + 9 ∙ = x

3

9x

= 27x 3


(Simplificando)

18x + 3x =

3

¿Cómo se resuelve correctamente?

18x + 9 ∙ = x 3

1

(Reduciendo términos semejantes)

21x

Ejercitemos


Ejercitemos

Error común

x

5+

x

15= 2.

x

10

1

10

2x

20=


Ejercitemos x

5+

x

15= 2. (Aplicando m.c.m.)

3x + x 15

=

2x

5

1

5Otro error común


x

5+

x

15= (Aplicando m.c.m.)

3x + x 15

= (Reduciendo términos semejantes)

4x 15


Ejercitemos


Ejercitemos

3. 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =

Error común

16x2

4x + 3x2 + 2x2 + 7x =

7x2 + 9x2 =


Ejercitemos

3. 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =

Otro error común

4x + 7x + 2x2 + 3x2 =

11x2 + 5x4

(Reordenando los términos)



Ejercitemos

3. 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =

Otro error común

(4 + 3 + 2 + 7)x6 =

16x6



Ejercitemos

4x + 7x + 2x2 + 3x2 =

11x + 5x2


(Reordenando los términos) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =


Ahora a practicarResuelve los ejercicios 1, 2, 3, 4, 8 y 9 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.


6a ∙ 3ab =

2.2 Multiplicación

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.

Ejemplo:

• Monomio por monomio:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

• Monomio por polinomio:

18a2b

5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) =

10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4


Recordemos que:La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición es:

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c


Ejercitemos

Error común

3(x + 7) + 2(x + 3) = 1.

3x + 7 + 2x + 3 =

5x + 10


(Distribuyendo)


Ejercitemos

3x + 21 + 2x + 6 =

5x + 27



3(x + 7) + 2(x + 3) = 1. (Distribuyendo)


Ejercitemos

Error común

Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)?

2.

5 (x + 6) =

5x + 6

(Distribuyendo)

Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área.


Ejercitemos

5x + 30


Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)?

2.

5 (x + 6) = (Distribuyendo)

Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área.


Ahora a practicarResuelve los ejercicios 5 y 13 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.


Permite expresar la información mediante operaciones con números y letras.

Lenguaje algebraico

Ejemplos:

3(x + 4)El triple, de x aumentado en 4

3x + 4El triple de x, aumentado en 4

6xEl séxtuple de un número x

x – 3Un número x disminuido en 3

x + 8Un número x aumentado en 8

La tercera parte de un número x

Lenguaje algebraicoLenguaje usual

3

x

Una coma puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.

3. Planteamiento de enunciados


Ejercitemos

Error común

1. “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q

aumentada en 5 años” se puede expresar como

P: edad de mi padre

Q: mi edad

Luego, el enunciado se puede expresar como

P = 3Q + 5

Sea:


Ejercitemos

Otro error comúnQ = 3(P + 5)



P: edad de mi padre

Q: mi edad


Sea:


Ejercitemos


P = 3(Q + 5)



P: edad de mi padre

Q: mi edad


Sea:


Ahora a practicarResuelve los ejercicios 6 y 7 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.


El álgebra trabaja con un método conocido como “método inductivo”.

Este método determina que, para probar una generalidad, siempre debemos realizar la demostración con el menor número del conjunto en que estamos trabajando y luego probar la misma generalidad para “n” y “n + 1”. Con esto demostramos la generalidad para cualquier número.


Este método nos puede parecer muy complicado, y si bien en la PSU no alcanzamos a demostrar, sí debemos aprender a utilizarlo para deducir afirmaciones que sabemos que NO son correctas o creemos que NO son correctas.



1. Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) (a + b) es un número entero distinto de cero.II) (a · b) es un número entero distinto de cero.III) es un número entero.

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) Ninguna de ellas.

Ejemplo:

a

b



Resolución

Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cadauna de ellas encontramos un ejemplo numérico que nocumpla con la afirmación entonces la descartamos comoverdadera.

Afirmación I:

Si a = – 2 y b = 2 , entonces aplicando la suma tenemos que

– 2 + 2 = 0

La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre.



Afirmación II:

Si a = – 2 y b = 0, entonces aplicando la multiplicación,tenemos que

– 2 · 0 = 0


Resolución




Afirmación III:

Si b = 3 y a = 2, entonces aplicando la división NO resultaun número entero.


Resolución


Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera.


Recordemos que:Esta forma de probar afirmaciones SÓLO nos sirve para aquellas que creemos y/o sabemos que no son verdaderas. NO para probar afirmaciones verdaderas, sino para probar falsas.


Ahora a practicarResuelve los ejercicios que faltan de la guía y el profesor los corregirá finalmente en la pizarra.


Siempre al resolver un ejercicio de álgebra ten presente NO cometer los errores comunes.


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Equipo Editorial: Área Matemática

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