Álgebra
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El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia las reglas de las operaciones y las cosas que pueden ser construidas con ellas, incluyendo los términos, los polinomios, las ecuaciones y las estructuras algebraicas
Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe والمقابلة الجبر que significa) (كتاب"Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas
Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b,c, x, y, z).
Permite la generalización de ecuaciones y de inecuaciones aritméticas para ser indicadas como leyes (por ejemplo para toda y ), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.
Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.
Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x - 10 dólares”).
¿Por qué las ecuaciones de segundo grado?
¿De dónde surgen las ecuaciones de segundo grado?
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
Un terreno rectangular tiene un
área de 600 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros,
¿cuánto mide el otro lado?
Un terreno rectangular tiene un área de 560 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros, ¿cuánto mide el otro lado?
La letra representa al lado conocido.
La letra representa al lado desconocido.
representa el área, que es conocida.
a
b
A
Un terreno rectangular tiene un área de 560 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros, ¿cuánto mide el otro lado?
Entonces
ó sea
Ésta es la ecuación que tenemos
q
50 600
ue resolver.
a b
b
A
Un terreno rectangular tiene un área de 560 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros, ¿cuánto mide el otro lado?
50 600
Dividiendo ambos miembros de
la ecuación entre 50, tenemos
50 600
50 50ó sea
600 6012
50 5
b
b
b
Un terreno rectangular tiene un área de 560 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros, ¿cuánto mide el otro lado?
50 600
12
¡El otro lado mide 12 metros!
b
b
Un terreno rectangular tiene un
área de 560 metros cuadrados.
Uno de sus lados mide 50 metros,
¿cuánto mide el otro lado?
¡El otro lado mide 12 metros!
Dos hermanos ganaron 1,300 pesos
durante sus vacaciones de verano.
El mayor ganó 1 1/2 más que el otro.
¿Cuánto ganó cada uno de ellos?
Dos hermanos ganaron 1,300.00 pesos durante sus vacaciones de verano.
El mayor ganó 1 1/2 más que el otro. ¿Cuánto ganó cada uno de ellos?
31300
25
13002
2 1300520
5El chico ganó 520
El grande ganó 780
x x
x
x
Dos hermanos ganaron 1,300 pesos
durante sus vacaciones de verano.
El mayor ganó 1 1/2 más que el otro.
¿Cuánto ganó cada uno de ellos?
El chico ganó 520
El grande ganó 780
Un terreno cuadrado tiene un
área de 400 metros cuadrados,
¿cuánto mide el terreno?
Un terreno cuadrado tiene un
área de 400 metros cuadrados,
¿cuánto mide el terreno?
2
2 400
400 20
¡El terreno mide 20 metros por lado!
l l A
l A
l
l
Un terreno cuadrado tiene un
área de 400 metros cuadrados,
¿cuánto mide el terreno?
¡El terreno mide 20 metros por lado!
Un cuadrado de alfombra requiere 5 metros
más de longitud para cubrir un piso rectangular
cuya área es de 84 metros cuadrados.
Calcúlense las dimensiones de la pieza
adicional de alfombra que debe comprarse.
5 84l l
Un cuadrado de alfombra requiere 5 metros más de longitud para cubrir
un piso rectangular cuya área es de 84 metros cuadrados. Calcúlense las
dimensiones de la pieza adicional de alfombra que debe comprarse.
2
1 2
5 84
5 84 0
7 12 0
7 y 12
l l
l l
l l
l l
Un cuadrado de alfombra requiere 5 metros más de longitud para cubrir
un piso rectangular cuya área es de 84 metros cuadrados. Calcúlense las
dimensiones de la pieza adicional de alfombra que debe comprarse.
1 27 y 12
Por tanto,
7 y 12
La pieza debe ser de 5 7
l l
l a
Un cuadrado de alfombra requiere 5 metros más de longitud para cubrir
un piso rectangular cuya área es de 84 metros cuadrados. Calcúlense las
dimensiones de la pieza adicional de alfombra que debe comprarse.
Un cuadrado de alfombra requiere 5 metros
más de longitud para cubrir un piso rectangular
cuya área es de 84 metros cuadrados.
Calcúlense las dimensiones de la pieza
adicional de alfombra que debe comprarse.
La pieza debe ser de 5 7
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas.
3 1 9x x
3 1 9x x
Primer miembro Segundo miembro
Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada.
3 1 9
En este caso, la solución es
5
x x
x
Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
2
Una ecuación del tipo
0
en la cual , y son constantes
arbitrarias, con 0, se llama
ecuación de segundo grado.
ax bx c
a b c
a
23 5 2 0
es una ecuación
de segundo grado.
x x
2 34.678 2 0
es una ecuación
de segundo grado.
x x
2 24 3 28 3 27 9
es una ecuación
de segundo grado.
x x x x
2 4 6 3
es una ecuación
de segundo
NO
grado.
x x
Si además de 0,
se tienen que 0 ó 0
se llama ecuación de
segundo grado simple.
a
b c
2 0; , , ; 0ax bx c a b c a R
2 0; 0ax c a
Si además de 0, se tienen 0 se
llama ecuación de segundo grado simple.
a b
2
2
2 2
Estas son ecuaciones de segundo
grado simples:
16 0
123.345 234
45 4 23
x
x
x x
2
2
2
0; 0ax c a
ax c
cx
a
cx
a
2 0; 0 c
ax c a xa
Sí 0 la solución es real
Sí 0 la solución es compleja (imaginaria)
c
a
c
a
24 81 0x
2
2
2
4 81 0
4 81
81
4
81 9
4 29 9
y 2 2
x
x
x
x
x x
2 9 94 81 0 y
2 2x x x
2
2
4 81 0
94 81 0
2
814 81 0
4
32481 0
481 81 0
x
2 9 94 81 0 y
2 2x x x
2
2
4 81 0
94 81 0
2
814 81 0
4
32481 0
481 81 0
x
2 0; 0ax bx a
Si además de 0, se tienen 0 se
llama ecuación de segundo grado simple.
a c
2
2
2 2
Estas son ecuaciones de segundo
grado simples:
3 15 0
37 34
415 4 2
x x
x x
x x x x
2
1 2
0; 0
0
0
ax bx a
x ax b
bx x
a
27 49 0x x
2
1 2
7 49 0
7 49 =0
490 y 7
7
x x
x x
x x
217 49 0 ; 0x x x
27 0 49 0 0
0 0
227 49 0 ; 7x x x
27 7 49 7 0
7 49 343 0
343 343 0
0 0
Si además de 0,
se tienen 0 y 0,
se llama ecuación de
segundo grado completa.
a
b c
2 0; , , ; 0ax bx c a b c a R
2
2 2
2
2 3 7 0
1 4 7
52
7
x x
x x x
x x
2 0; , , ; 0, 0, 0ax bx c a b c a b c R
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
El producto de dos
o más factores es cero,
si cualquiera de los
factores es cero.
El producto de dos o más factores es cero,
si cualquiera de los factores es cero.
Si
0
implica que
0 ó que 0.
p q
p q
El producto de dos o más factores es cero,
si cualquiera de los factores es cero.
0 0 ó 0p q p q
El producto de dos o más factores es cero,
si cualquiera de los factores es cero.
Así que si 0 tenemos
0 ó 0
y por tanto
ó
x r x s
x r x s
x r x s
Las ecuaciones de segundo grado
se resuelven por el metodo de factorización,
efectuando los siguientes pasos:
1. Se trasladan todos los términos de la
ecuación al miembro de la izquierda, con lo
que el lado derecho queda igual a cero.
2. Se factoriza, en caso de ser
posible, el miembro de la
izquierda en factores de primer
grado.
3. Se iguala cada factor a cero
y se resuelven las dos ecuaciones
de primer grado así formadas.
Las ecuaciones de segundo grado se resuelven por el
metodo de factorización, efectuando los siguientes pasos:
1. Se trasladan todos los términos de la ecuación al
miembro de la izquierda, con lo que el lado derecho
queda igual a cero.
2. Se factoriza, en caso de ser posible, el miembro de la
izquierda en factores de primer grado.
3. Se iguala cada factor a cero y se resuelven las dos
ecuaciones de primer grado así formadas.
215 8 2x x
2
2
15 8 2
15 2 8 0
x x
x x
2
2
2
15 2 8
15 15 2 15 8 15
15 15 2 15 120
15 12 15 10
15 12 15 10
1515 12 15 10
5 315 12 15 10
3 55 4 3 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
15 8 2
15 2 8 0
5 4 3 2 0
5 4 0 ó 3 2 0
x x
x x
x x
x x
5 4 0
5 4
4
5
x
x
x
215 8 2 5 4 0 ó 3 2 0x x x x
3 2 0
3 2
2
3
x
x
x
215 8 2 5 4 0 ó 3 2 0x x x x
2
2
15 8 2
15 2 8 0
5 4 3 2 0
5 4 0 ó 3 2 0
4 2 ó
5 3
x x
x x
x x
x x
x x
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2 2 22x x x
El proceso de resolver una ecuación
de segundo grado completando un cuadrado
consiste de cinco pasos que enunciamos a
continuación:
1. Se trasladan y se ordenan los términos de
la ecuación, de tal modo que
2
en el miembro
de la izquierda queden los que contienen a
y a como primero y segundo, respectivamente,
y en el miembro de la derecha el término constante.
x x
2
2. Se dividen ambos miembros de la
ecuación entre el coeficiente de .
3. Se suma a los dos miembros el
cuadrado de la mitad del coeficiente
de .
x
x
4. Se igualan las raíces cuadradas de los dos
miembros de la ecuación obtenida en el paso 3,
anteponiendo el signo a la raíz cuadrada del
término constante. Este paso produce dos
ecuaciones de primer gr
ado.
5. Se resuelven para las dos ecuaciones de
primer grado obtenidas en el paso anterior.
x
El proceso de resolver una ecuación de segundo grado completando
un cuadrado consiste de cinco pasos que enunciamos a continuación:
1. Se trasladan y se ordenan los términos de la ecuación, de tal modo
q 2ue en el miembro de la izquierda queden los que contienen a y
a como primero y segundo, respectivamente, y en el miembro de
la derecha el término constante.
2. Se dividen ambos miembros de la ecuaci
x
x
2
2
ón entre el coeficiente de .
3. Se suma a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de .
4. Se igualan las raíces cuadradas de los dos miembros de la ecuación
obtenida en el paso 3, an
x
x
teponiendo el signo a la raíz cuadrada del
término constante. Este paso produce dos ecuaciones de primer grado.
5. Se resuelven para las dos ecuaciones de primer grado obtenidas
en el paso anterior.
x
2
2
2
2
2
2
2
2 3 14 0
2 3 14
37
23 9 9
72 16 16
3 112 9 121
4 16 16 16
3 121 11 11
4 16 4 43 11 3 11
4 4 4
x x
x x
x x
x x
x
x
x
2 3 112 3 14 0 ;
4x x x
22 3 14 0
7 , 2
2
x x
r s
2 72 3 14 0 ; , 2
2x x r s
27 7
2 3 14 02 2
49 212 14 0
4 249 21
14 02 2
49 21 280
249 49
02
0 0
2 72 3 14 0 ; , 2
2x x r s
22 2 3 2 14 0
2 4 6 14 0
8 6 14 0
14 14 0
0 0
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2 1 0x
2
2
1 0
1
1 ¡¡¡¡¡¡
x
x
x
1i
21 5x x
2
2
2
2
2 22
2
1 5
5 1
5 1
1 1
5 5
1 1 1 1
5 10 5 10
1 1 1
10 5 100
x x
x x
x x
x x
x x
x
2
2
1 1 1
10 5 100
1 19
10 100
1 19
10 100
1 191
10 10
1 19
10 10
x
x
x
x
x i
2
1 2
1 5
1 19
10 10
1 19 1 19
10 10 10 10
x x
x i
x i x i
con y números reales
es la parte real
es la parte imaginaria
a ib
a b
a
b
Si 0 tenemos los
números reales
b
con y números realesa ib a b
Los números complejos se denotan por ;
es decir,
Los números reales son un subconjunto
de los números reales; es decir,
a ib
C;
C
R C
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2 4
2
b b acx
a
2 0; , , ; 0ax bx c a b c a R
2
2
2
2 22
0
2 2
ax bx c
ax bx c
b cx x
a a
b b c bx x
a a a a
2 22
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
b b c bx x
a a a a
b c bx
a a a
b c bx
a a a
b c bx
a a a
2
2
2
2
2
2
2 4
4
2 4
4
2 2
4
2
b c bx
a a a
b b acx
a a
b b acx
a a
b b acx
a
2 4
2
b b acx
a
2 0; , , ; 0ax bx c a b c a R
22 42 5x x
22 42 5x x
2
Primero ponemos la ecuación en la forma normal:
2 5 42 0x x
22 42 5x x
22 5 42 0
Identificamos los coeficientes:
2 5 42
x x
a b c
22 42 5x x
2
2
2 5 42 0
2 5 42
4Sustituimos en la fórmula
2
x x
a b c
b b acx
a
22 42 5x x
2
2
2 5 42 0
2 5 42
5 5 4 2 42
2 2
x x
a b c
x
22 42 5x x
2
2
2 5 42 0
2 5 42
5 5 4 2 42
2 2
Por último, realizamos las operaciones
x x
a b c
x
22 42 5x x
2
2
1 2
2 5 42 0
2 5 42
5 5 4 2 42
2 2
5 25 336 5 361 5 19
4 4 47
6 2
x x
a b c
x
x x
2
1 2
2 42 5
6 7
x x
x x
2
2
2 42 5
2 6 42 5 6
2 36 42 30
72 42 30
30 30
x x
2
1 2
2 42 5
6 7
x x
x x
2
2
2 42 5
7 72 42 5
2 2
49 352 42
4 2
49 3542
2 2
49 2 42 35
2 249 84 35
2 235 35
2 2
x x
2 2 2p x px q q
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
0
4
2
4 1 4 4
2 2
2 1 2 1 1 2 1
2 2 2
p x px q q
p x px q q
a p b p c q q
p p p q qx
p
p p p q q p p q qx
p p
p p q p p q q
p p p
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2
Una ecuación del tipo
0
se dice que es de forma cuadrática.
El simbolo denota una expresión
en y debe observarse que dicha
expresión aparece en los dos corchetes.
a f x b f x c
f x
x
2
Una vez resuelta la forma cuadrática
0
habrá que resolver una ecuación del
tipo
En ocasiones se podrá y en otras no.
a f x b f x c
f x c
22 26 17 6 70 0x x
22 2
2
2
2
1 2
6 17 6 70 0
6
17 70 0
17 17 4 1 70
2 1
17 289 280 17 9 17 3
2 2 210 7
x x
z x
z z
z
z z
22 2
2
2 21 2
6 17 6 70 0
6
6 10 6 7
x x
z x
x x
22 2
2
2 21 2
2 21 2
1,1 2,1
1,2 2,2
6 17 6 70 0
6
6 10 6 7
4 1
2 1
2 1
x x
z x
x x
x x
x x
x x
22 26 17 6 70 0
2, 2, +1, 1
son raíces de la ecuación.
x x
2
4 51 1
x x
x x
2
2
4 51 1
1
4 5
x x
x x
xz
x
z z
2
2
4 5
5 4 0
4 1 0
4 z=1
z z
z z
z z
z
224 5 con tenemos 4 5
1 1 1
x x xz z z
x x x
414 1
4 4
3 4 0
4
3
x
xx x
x x
x
x
11
1
0 1 ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
x
xx x
6 3216 35x x
6 3
3
2
2
1 2
216 35
216 35
35 216 0
35 1225 4 1 216 35 1225 864
2 2
35 361 35 19
2 227 8
x x
x
6 3
3
1 2
216 35
27 8
x x
x
3
3
27
27
3 3 3 33, 3 , 3
2 2 2 2
x
x
i i
6 3
3
1 2
216 35
27 8
x x
x
3
3
8
8
2, 1 3 , 1 3
x
x
i i
6 3
3
1 2
216 35
27 8
x x
x
3 3 3 33, 3 , 3
2 2 2 2
2, 1 3 , 1 3
i i
i i
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
Ya que los cuadrados de dos cantidades
iguales son iguales entre sí, se obtiene el
siguiente principio: Cualquier raíz de una
ecuación dada puede ser también raíz de
otra ecuación que se obtenga al igualar
los cuadrados de los dos miembros de la
ecuación propuesta.
¡El recíproco no es válido!
Para resolver una ecuación que incluye
radicales de segundo orden, se efectúan
los pasos siguientes:
1. Se deja en uno de los miembros un
solo radical, trasladando al otro miembro
los demás términos.
2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de
la ecuación obtenida y se igualan entre sí.
3. Si la ecuación que se obtiene no contiene
radicales se resuelve para . Si por el contrario,
contiene uno o más
x
radicales se repiten los
pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin
radicales. Luego se resuelve esta última
ecuación para .x
4. Se sustituyen en la ecuación original los
valores obtenidos para en el paso anterior
y se determinan los valores de que son
raíces y los que no lo son.
x
x
Para resolver una ecuación que incluye radicales de segundo
orden, se efectúan los pasos siguientes:
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al
otro miembro los demás términos.
2. Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenida
y se igualan entre sí.
3. Si la ecuación que se obtiene no contiene radicales se resuelve para .
Si por el contrario, contiene uno o más rad
x
icales se repiten los pasos 1 y 2 hasta
obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación para .
4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos para en el
paso
x
x
anterior y se determinan los valores de que son raíces y los que no lo son.x
2 2 5 1x x
2
2
2
2 2 5 1
2 5 2 1
2 5 2 1
2 5 4 4 1
4 6 4 0
x x
x x
x x
x x x
x x
2
2
2 2 5 1
4 6 4 0
4
2
6 36 64 6 100 6 10
8 8 81
2 2
x x
x x
b b acx
a
x
r s
2 2 5 1
12
2
2 2 2 2 5 1
4 9 1
4 4
x x
r s
1 3 !!!!!!!!!!!!!!!!!
12 2 5 1 2
2
1 12 2 5 1
2 2
1 1 5 1
1 4 1
1 2 1
x x r s
2 2 5 1
La única solución es 2
x x
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
Un problema que se puede resolver mediante
una ecuación incluye varias cantidades de las
cuales unas son conocidas y otras desconocidas.
Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones
de esas cantidades.
Si el problema se puede resolver mediante
una ecuación de una variable, entonces
las cantidades desconocidas deben
expresarse en términos de una sola letra.
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación
incluye varias cantidades de las cuales unas son conocidas
y otras desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten
observar la igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades.
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
Para ello se sugiere el siguiente esquema:
El procedimiento para resolver un problema
mediante el uso de una ecuación no siempre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
1. Leer cuidadosamente el problema y
estudiarlo hasta que quede
perfectamente clara la situación que
plantea.
2. Identificar las cantidades comprendidas
en el problema, tanto las conocidas como
las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas
y representarla mediante una letra,
generalmente .
Después expresar las otras cantidades
desconocidas en términos de esta letra.
x
4. Buscar en el problema los datos que
indiquen qué cantidades o combinaciones
apropiadas, encontradas en el paso anterior.
5. Formular la ecuación, igualando las
cantidades o combinaciones apropiadas
encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida y
comprobar la solución.
Para ello se sugiere el siguiente esquema:
1. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta
que quede perfectamente clara la situación que plantea.
2. Identificar las cantidades comprendidas en el problema,
tanto las conocidas como las desconocidas.
3. Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla
mediante una letra, generalmente . Después expresar las
otras cantidades desconocidas en t
x
érminos de esta letra.
4. Buscar en el problema los datos que indiquen qué cantidades
o combinaciones apropiadas, encontradas en el paso anterior.
5. Formular la ecuación, igualando las cantidades o
combinaciones apropiadas encontradas en el paso anterior.
6. Resolver la ecuación obtenida y comprobar la solución.
Al resolver un problema mediante el uso
de una ecuación de segundo grado, el
problema tiene sólo una solución en tanto
que la ecuación tiene dos soluciones.
En tales casos se descarta la raíz que no
satisface las condiciones del problema.
Encuéntrense dos enteros consecutivos cuyo
producto exceda a su suma en 41 unidades.
2
2
2
1 2
Encuéntrense dos enteros consecutivos cuyo
producto exceda a su suma en 41 unidades.
1 1 41
2 42
42 0
1 1 4 1 42
2 1
1 1 168 1 169 1 13
2 2 214 12
7 y 62 2
n n n n
n n n
n n
n
n
n n
7 y 8
7 8=56
7+8=15
56 15 41
6 y 5
6 5 30
6 5 11
30 11 41
El área de un triángulo es de 42 metros
cuadrados.
Encuéntrese la base y la altura, si la
última excede a la primera en 5 metros.
2
2
2
42 52
542
2
542
2
5 84
5 84 0
b aa b
b b
b b
b b
b b
El área de un triángulo es de 42 metros cuadrados.
Encuéntrese la base y la altura, si la última excede a la primera en 5 metros.
2
2
1 2
5 84 0
5 5 4 1 84
2
5 25 336 5 361
2 25 19
27 12
b b
b
b
b
b b
El área de un triángulo es de 42 metros cuadrados.
Encuéntrese la base y la altura, si la última excede a la primera en 5 metros.
La base mide 7 metros y la altura 12 metros
2
2
2 2 15
0.1 1
10
102 2 15
20 2 15
2 15 20 0
15 225 160 15 65
4 4
b a
a b
ba
aa
a a
a a
a
Dos hermanos lavaron las paredes de su
cuarto en tres horas. Calcúlese el tiempo
que requeriría cada uno de ellos para
lavar solo las paredes de un cuarto similar
si el más joven necesita dos horas y media
más que su hermano mayor para hacer el
trabajo.
1 2
1 2 2 11 2
1 1 1 11
1
21 1 1
21 1
21 1
1 1 1 1
3
1 1 5
2
1 1 1 5 1 5
5 3 2 3 22
5 1 52
2 3 61 7 5
03 6 2
2 7 15 0
7 49 120 7 169 7 13
4 4 420 6 3
5, 4 4 2
5 horas el hermano ma
vT T T
v v T TT T
T T T TT T
T T T
T T
T T
yor
7 1/2 horas el hermano menor
1 2 15 10 25
5 15 75 75
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2
La fórmula
4
2permite obtener información importante
de las raices de una ecuación de segundo
grado sin resolver la ecuación.
b b acx
a
2
2
2
Si es la solución con el + y es la solución con el ,
entonces las dos soluciones de
0
son
4
2y
4
2
r s
ax bx c
b b acr
a
b b acs
a
2 4
2
b b acx
a
2 24 4 y
2 2
b b ac b b acr s
a a
2
El término
4
se llama discriminante y generalmente
se denota por la letra (también es
común usar ).
b ac
D
Si los coeficientes
, ,
son números racionales:
1. Si 0, entonces / 2 .
Por consiguiente, las raíces son
racionales e iguales.
a b c
D r s b a
2 y donde 42 2
b D b Dr s D b ac
a a
Si los coeficientes , , son números racionales:
2. Si 0, entonces es imaginario puro, y
consecuentemente y son imaginarios.
a b c
D D
r s
2 y donde 42 2
b D b Dr s D b ac
a a
Si los coeficientes , , son números racionales:
3. Si 0, pueden presentarse dos casos. Primero,
si es un cuadrado perfecto, entonces es un número
racional y en consecuencia y son racionales
a b c
D
D D
r s
. Segundo,
si no es un cuadrado perfecto, es un número irracional,
y, por tanto, y son irracionales. En cualquier caso, y
son desiguales, puesto que y 2 2
D D
r s r s
b D b Dr s
a a
2 y donde 42 2
b D b Dr s D b ac
a a
0 Racionales e iguales
0, cuadrado perfecto Racionales y desiguales
0, sin ser cuadrado perfecto Irracionales y desiguales
0 Imaginarios
Discriminante Raíces
D
D
D
D
2 y donde 42 2
b D b Dr s D b ac
a a
Si , y son reales, pero no necesariamente
racionales, la información que se obtiene acerca
de y es menos explícita.
1) Si 0, entonces / 2 .
Por consiguiente, las raíces son reales e iguale
a b c
r s
D r s b a s.
2) Si 0, las raíces son reales y desiguales.
3) Si 0, las raíces son imaginarias.
D
D
2 y donde 42 2
b D b Dr s D b ac
a a
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2 2
2 2
2 2
4 4
2 2
4 4
2
22
2
4 4
b b ac b b ac
a a
b b ac b b ac
a
b b
ab b
a
b ac
a
b ac
2 24 4
2 2
b b ac b b ac b
a a a
Por tanto, tenemos
br s
a
2 2
2 2
2
22 2
2
2 2 2 2
2 2 2
4 4
2 2
4 4
4
4
4
4 4 4
4 4 4
b b ac b b ac
a a
b b ac b b ac
a
b b ac
a
b b ac b b ac ac c
a a a a
2 24 4
2 2
b b ac b b ac c
a a a
Por tanto, tenemos
crs
a
2
2
En resumen:
0
4
2
ax bx c
b b acx
ab
r sa
crs
a
2
La suma de las dos raíces de una ecuación de
segundo grado es igual al cociente de los
coeficientes de y con signo opuesto y que
el producto de las dos raíces es el cociente del
término constante ent
x x
2re el coeficiente de .x
22 4
0; 2
;
b b acax bx c x
ab c
r s rsa a
Estos resultados son útiles para:
1. Verificar las soluciones encontradas
de una ecuación de segundo grado.
2. Determinar las propiedades de un
conjunto de ecuaciones de segundo grado.
22 4
0; 2
;
b b acax bx c x
ab c
r s rsa a
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2
2
Teorema:
Si y son raíces de la ecuación
0
entonces y son factores de
r s
ax bx c
x r x s
ax bx c
2
2
Teorema: Si y son raíces de la ecuación 0
entonces y son factores de
r s ax bx c
x r x s ax bx c
2
2
2
Tenemos que y
Por tanto, y .
Sustituyendo en tenemos
b cr s rs
a ab a r s c ars
ax bx c
ax a r s x ars
a x r s x rs
a x r x s
2
2
Teorema: Si y son raíces de la ecuación 0
entonces y son factores de
r s ax bx c
x r x s ax bx c
2ax bx c a x r x s
2ax bx c a x r x s
2
2
Si , y son racionales y si además 4
es un cuadrado perfecto, entonces los factores
anteriores son todos racionales.
Por consiguiente, el trinomio de segundo grado
, en donde , y son
a b c b ac
ax bx c a b c
2
racionales,
se puede espresar como el producto de dos
factores racionales de primer grado, siempre
que 4 sea un cuadrado perfecto.b ac
2ax bx c a x r x s
Evidentemente, la ecuación
0
en la cual es diferente de cero,
es una ecuación cuyas raíces son
y .
a x r x s
a
r s
2ax bx c a x r x s
Si y son enteros, generalmente se hace 1.
Sin embargo, si y son racionales y uno de ellos
o ambos son fracciones, se escribe como el
denominador o como el producto de los
denominadores. De ese m
r s a
r s
odo, la ecuación
resultante tiene coeficientes enteros.
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
2
En Geometría Analítica se demuestra que la
gráfica de la función de segundo grado
es siempre una parábola y que dicha parábola
tiene sus ramas abiertas hacia arriba
si es positivo y hacia abajo
ax bx c
a
si es negativo.a
El vértice de la parábola es el punto más
bajo de la curva cuando ésta se abre
hacia arriba, y es el punto más alto
cuando se abre hacia abajo.
Los ceros de una función de segundo grado
son las abscisas de los puntos en donde la
gráfica cruza al eje de las .X
2 3 1x x
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0-1.6 8.4
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0-1.6 8.4-1.5 7.8
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0-1.6 8.4-1.5 7.8-1.4 7.2
2 3 1x x 2 3 1x x x
-2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0-1.6 8.4-1.5 7.8-1.4 7.2-1.3 6.6
2 3 1x x -2.0 11.0-1.9 10.3-1.8 9.6-1.7 9.0-1.6 8.4-1.5 7.8-1.4 7.2-1.3 6.6-1.2 6.0-1.1 5.5-1.0 5.0-0.9 4.5-0.8 4.0-0.7 3.6-0.6 3.2-0.5 2.8-0.4 2.4-0.3 2.0-0.2 1.6-0.1 1.30.0 1.00.1 0.70.2 0.40.3 0.20.4 0.00.5 -0.30.6 -0.40.7 -0.60.8 -0.80.9 -0.91.0 -1.01.1 -1.11.2 -1.21.3 -1.21.4 -1.21.5 -1.31.6 -1.21.7 -1.21.8 -1.21.9 -1.12.0 -1.0
2 3 1x x 2.0 -1.02.1 -0.92.2 -0.82.3 -0.62.4 -0.42.5 -0.32.6 0.02.7 0.22.8 0.42.9 0.73.0 1.03.1 1.33.2 1.63.3 2.03.4 2.43.5 2.83.6 3.23.7 3.63.8 4.03.9 4.54.0 5.04.1 5.54.2 6.04.3 6.64.4 7.24.5 7.84.6 8.44.7 9.04.8 9.64.9 10.35.0 11.05.1 11.75.2 12.45.3 13.25.4 14.05.5 14.85.6 15.65.7 16.45.8 17.25.9 18.16.0 19.0
2 3 1x x
2 3 1x x -1.62 8.5-1.52 7.9-1.42 7.3-1.32 6.7-1.22 6.1-1.12 5.6-1.02 5.1-0.92 4.6-0.82 4.1-0.72 3.7-0.62 3.2-0.52 2.8-0.42 2.4-0.32 2.1-0.22 1.7-0.12 1.4-0.02 1.10.08 0.80.18 0.50.28 0.20.38 0.00.48 -0.20.58 -0.40.68 -0.60.78 -0.70.88 -0.90.98 -1.01.08 -1.11.18 -1.11.28 -1.21.38 -1.21.48 -1.21.58 -1.21.68 -1.21.78 -1.21.88 -1.11.98 -1.02.08 -0.92.18 -0.82.28 -0.62.38 -0.5
2 3 1x x
2
2
1 2
3 3 4 1 1 3 9 4 3 5
2 1 2 2
3 5 3 5 y
2
4
2
2
b b acx
a
x
x x
21 2
3 5 3 53 1 ; y
2 2x x x x
1
2
3 52.618033988... 2.618
2
3 50.382966012... 0.383
2
x
x
21
3 53 1 ; 2.618...
2x x x
2
22
3 5 3 53 1
2 2
3 3 5 5 3 52 3 3 1
2 2 2 2 2 2
9 3 5 5 9 3 5 9 6 5 5 18 6 5 41
4 2 4 2 2 40
21
3 53 1 ; 2.618...
2x x x
22.618 3 2.618 1
0.000076
22
3 53 1 ; 0.382...
2x x x
2
22
3 5 3 53 1
2 2
3 3 5 5 3 52 3 3 1
2 2 2 2 2 2
9 3 5 5 9 3 5 9 6 5 5 18 6 5 41
4 2 4 2 2 40
20.383 3 0.383 1
0.00231
22
3 53 1 ; 0.382...
2x x x
21 2
3 5 3 53 1 ; y
2 2x x x x
1
2
3 52.618033988... 2.618
2
3 50.382966012... 0.383
2
x
x
2 3 1x x
2.50 -0.2502.51 -0.2302.52 -0.2102.53 -0.1892.54 -0.1682.55 -0.1482.56 -0.1262.57 -0.1052.58 -0.0842.59 -0.0622.60 -0.0402.61 -0.0182.62 0.0042.63 0.0272.64 0.0502.65 0.0722.66 0.0962.67 0.119
2 3 1x x
2 3 1x x 2.610 -0.01792.611 -0.01572.612 -0.01352.613 -0.01122.614 -0.00902.615 -0.00682.616 -0.00452.617 -0.00232.618 -0.00012.619 0.00222.620 0.00442.621 0.00662.622 0.00892.623 0.01112.624 0.01342.625 0.01562.626 0.0179
0.30 0.1900.31 0.1660.32 0.1420.33 0.1190.34 0.0960.35 0.0730.36 0.0500.37 0.0270.38 0.0040.39 -0.0180.40 -0.0400.41 -0.0620.42 -0.0840.43 -0.1050.44 -0.1260.45 -0.1480.46 -0.1680.47 -0.1890.48 -0.2100.49 -0.230
2 3 1x x
27 6 3x x
27 6 3x x -2.00 13.0-1.90 10.9-1.80 8.9-1.70 7.0-1.60 5.3-1.50 3.7-1.40 2.3-1.30 1.0-1.20 -0.1-1.10 -1.1-1.00 -2.0-0.90 -2.7-0.80 -3.3-0.70 -3.8-0.60 -4.1-0.50 -4.3-0.40 -4.3-0.30 -4.2-0.20 -3.9-0.10 -3.50.00 -3.00.10 -2.30.20 -1.50.30 -0.60.40 0.50.50 1.80.60 3.10.70 4.60.80 6.30.90 8.11.00 10.01.10 12.11.20 14.31.30 16.61.40 19.11.50 21.81.60 24.51.70 27.41.80 30.51.90 33.72.00 37.0
27 6 3x x
2
2
3
6 6 4 7 3 6 36 84
2 7 14
6 120 6 2 5 3 6 2 2 5 3
14 14 14
6 2 30 3 30
4 7
2
1
4b b a
x
cx
a
27 6 3x x
1
2
3 300.3538893681... 0.354
7
3 301.211032225... 1.211
7
x
x
21 2
3 30 3 307 6 3 ; 0.354 y 1.211
7 7x x x x
21
3 307 6 3 ; 0.354
7x x x
22
3 307 6 3 ; 1.211
7x x x
2 7 8x x
2 7 8x x -2.00 9.4-1.90 10.0-1.80 10.4-1.70 10.8-1.60 11.2-1.50 11.4-1.40 11.6-1.30 11.8-1.20 11.9-1.10 11.9-1.00 11.9-0.90 11.8-0.80 11.6-0.70 11.4-0.60 11.1-0.50 10.7-0.40 10.3-0.30 9.8-0.20 9.3-0.10 8.70.00 8.00.10 7.30.20 6.50.30 5.60.40 4.70.50 3.70.60 2.70.70 1.60.80 0.40.90 -0.81.00 -2.11.10 -3.51.20 -4.91.30 -6.41.40 -8.01.50 -9.61.60 -11.21.70 -13.01.80 -14.81.90 -16.62.00 -18.6
2 7 8x x -4.00 -14.3-3.80 -10.8-3.60 -7.5-3.40 -4.5-3.20 -1.8-3.00 0.7-2.80 3.0-2.60 5.0-2.40 6.7-2.20 8.2-2.00 9.4-1.80 10.4-1.60 11.2-1.40 11.6-1.20 11.9-1.00 11.9-0.80 11.6-0.60 11.1-0.40 10.3-0.20 9.30.00 8.00.20 6.50.40 4.70.60 2.70.80 0.41.00 -2.11.20 -4.91.40 -8.01.60 -11.21.80 -14.82.00 -18.62.20 -22.62.40 -26.92.60 -31.42.80 -36.23.00 -41.33.20 -46.63.40 -52.13.60 -57.93.80 -64.04.00 -70.3
2
2
2
1 2
7 8
4
2
7 7 4 8 7 49 32
2 2
7 49 32 7 49 32
2 2
x x
b b acx
a
x
x x
2 7 8x x
1
2
7 49 323.060276674... 3.060
2
7 49 320.8321074715... 0.832
2
x
x
2 7 8x x
21 27 8 ; 3.060 0.832x x x x
217 8 ; 3.060x x x
227 8 ; 0.832x x x
23 2x x
-4.00 -54.0-3.90 -51.5-3.80 -49.1-3.70 -46.8-3.60 -44.5-3.50 -42.3-3.40 -40.1-3.30 -38.0-3.20 -35.9-3.10 -33.9-3.00 -32.0-2.90 -30.1-2.80 -28.3-2.70 -26.6-2.60 -24.9-2.50 -23.3-2.40 -21.7-2.30 -20.2-2.20 -18.7-2.10 -17.3-2.00 -16.0-1.90 -14.7-1.80 -13.5-1.70 -12.4-1.60 -11.3-1.50 -10.3-1.40 -9.3-1.30 -8.4-1.20 -7.5-1.10 -6.7
-1.00 -6.0-0.90 -5.3-0.80 -4.7-0.70 -4.2-0.60 -3.7-0.50 -3.2-0.40 -2.9-0.30 -2.6-0.20 -2.3-0.10 -2.10.00 -2.00.10 -1.90.20 -1.90.30 -2.00.40 -2.10.50 -2.30.60 -2.50.70 -2.80.80 -3.10.90 -3.51.00 -4.01.10 -4.51.20 -5.11.30 -5.81.40 -6.51.50 -7.31.60 -8.11.70 -9.01.80 -9.91.90 -10.9
2.00 -12.02.10 -13.12.20 -14.32.30 -15.62.40 -16.92.50 -18.32.60 -19.72.70 -21.22.80 -22.72.90 -24.33.00 -26.03.10 -27.73.20 -29.53.30 -31.43.40 -33.33.50 -35.33.60 -37.33.70 -39.43.80 -41.53.90 -43.74.00 -46.04.10 -48.34.20 -50.74.30 -53.24.40 -55.74.50 -58.34.60 -60.94.70 -63.64.80 -66.34.90 -69.1
23 2x x
23 2x x
2
1 2
2
1 1 4 3 2 1 1 24
2 3 6
1
4
23 1 23
6 6
1 23 1 23
6
2
6
x
i
b b a
i ix
cx
a
x
23 2x x
8.0 Introducción8.1 Definición de la ecuación de segundo grado8.2 Solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización8.3 Solución de las ecuaciones de segundo grado completando un cuadrado perfecto8.4 Números complejos8.5 La fórmula de la ecuación de segundo grado8.6 Las ecuaciones de la forma cuadrática8.7 Ecuaciones que incluyen radicales de segundo orden8.8 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado8.9 Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado8.10 Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado8.11 Factores de un trinomio de segundo grado con una variable8.12 Gráfica de una función de segundo grado8.13 Valores máximos y mínimos de una función de segundo grado
El vértice de la parábola es el punto
más bajo de la curva cuando ésta se
abre hacia arriba, y es el punto más
alto cuando se abre hacia abajo.
La abscisa del vértice es el valor de la
para la cual la función tiene el valor máximo
o el valor mínimo.
Se puede obtener tal valor de mediante el
método de completar un cuadrado.
x
x
Un terreno rectangular se cercó y se
dividio en dos partes iguales con una
cerca paralela a uno de sus lados.
Si se emplearon 6000 metros de cerca,
sabiendo que con ellos se obtenía la
mayor superficie posible, encuéntrese
las dimensiones del terreno.
