Algebra II Bimestre-productos Notables

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

9POTENCIA DEEXPONENTE ENTERO

NOTACIÓN

an

Base

Exponente

= P PotenciaPotenciación

DEFINICIÓN DE EXPONENTE ENTERO POSITIVO

+∈= ZZn;a.a..........a.a.aaveces"n"

n444 3444 21

≥n 2

Ejm:

= =

• = =

4

6

• 3 3.3.3.3 81

2 2.2.2.2.2.2 64

DEFINICIÓN DE EXPONENTE CERO

)0a(;1a0 ≠=Ejemplo:

• 50 = 1• (−3)0 = 1• −30 = −1

TEOREMAS

1. Bases Iguales.

)0a(;nmana

ma*nmanama* ≠−=+=.

Ejm:

* 23 . 24 = 23+4 = 27

* 53+n = 53 . 5n = 125 . 5n

* −= =7

7 4 34

22 2

2

*− = =

n nn 2

2

3 33

93

2. Exponentes Iguales.

* ambm = (a.b)m * = ≠

mm

m

a a; b 0

bb

Ejemplo:

22

2

2

7777

2222

)5,2(25

2

5*

35)3.5(15*

366)2.3(23*

=

=

⋅==

===⋅

3. Potencia de Potencia.

(am)n = am.n = (an)m

Ejemplo:

* (32)4 = 32.4 = 38

* [(23)2]5 = 23.2.5 = 230

Nota:

i) Todo número elevado a un exponente ‘‘par’’resultará siempre positivo.

Obs.: −24 = −16

ii) Todo número elevado a un exponente ‘‘impar’’,saldrá positivo si su base es (+) y saldrá negativa,si su base es (−).

Obs.: −(−2)3 = − (−8) = 8

* (+) = (+)impar

* (-) = (-)

⇒ (2) = 83

⇒ 3 3

* (+) = (+)par

* (-) = (+)par

⇒ (2) = 164

⇒ (-2) = 164

Potencia de Exponente Entero

Nivel I

1. Resolver:

* 34 = ________________________

* 22 . 25 = ________________________

*7

45

5= ________________________

* 30 + 2

0 + 2

20 = ________________________

* (23)2 + (32)2 = ________________________

* =3 4 5

3 42 2 2

(2 )

. . ________________________

2. Calcular:

=2 3 4 3

3 2 2(x x x )

R(x x )

. ..

3. Reducir:

= − + − − − − +

0 00 0 0 02 5

C 8 (320) ( 3) (2 ) 19 4

4. Hallar:

= − + − − − +

00 0 31

H ( 2) ( 5) 25

5. Hallar:044

207043

125V +++=

6. Efectuar:

)12325(26

253914 22A +−−

+=

7. Reducir: -22

3+ -2

32

8. Reducir:

L = 32 + (32)3 - 272 + 5

9. Calcular:

= ⋅ ⋅ + ⋅

602 50

7

7D 7 7 49 42

7

10.Calcular:

444 3444 21

444 8444 76

veces)n20(

xx.........xxx

2nx

veces"10"

2x.......2x2x2xI

+

+=

......

Nivel II

11.Calcular:

=8

22

A8

12.Calcular:

=27

3

3R

27

13.Calcular:

⋅=

16 2

82 16

D8

14.Reducir:

=⋅ ⋅

3 4

3 215 .6

L9 4 125

15.Simplificar:

44 344 21444 3444 21

444 8444 76

veces"n2"

x.........xxx

2n210x

veces)3n(

xx.......xxx

veces)2n7(

xx.........xxxA

...

......

−

+

−

=

16.Calcular:

=6 5 3

4 10 2(21) (35) (80)

A(15) (14) (30)

Pract iquemos

ÁLGEBRA17.Reducir:

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

19 16 13

30 5 1835 40 27

E30 45 14

18.Reducir:

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

n n n

n n n6 35 341

R62 15 77

19.Efectuar:

=

++

+−++

+−44 344 21

44 844 7644 844 76

44 344 21veces)4ba(

veces)5ba(veces)3ba(

veces)2ba(

xx.........xxxxx.........xxx

xx....xxxxx.....xxx

S......

......

20.Si: nn = 2+ +

=n 1n 1nCalcular: M n

Nivel I

1. Efectuar en cada caso:

a) x5 . x7 . x9 . x11

b)12 10

8 6

a . b

a . b

c) x . x2 . x3 . x4 . .. x9

d) x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5

2. Reducir: x3y4x5y6x7y8

3. Efectuar: (x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)

4. Reducir:− −

− −

6 5 4 3 2

5 4 3 2

x . x . x . x . x

x . x . x . x . x

5. Calcular:

= − + − − − − +

0 00 0 0 03 1

C 7 (240) ( 5) (3 ) 14 2

6. Hallar:

= + + +1 0 2 02 4 0 2V 3 5 9 2

7. Calcular:

= − + − + −3 2 2A ( 2) ( 7) ( 3)

8. Realizar:

( ) ( ) ( ) ( ) = + − + −

34 3 5 15 9 4 9M 3 5 3 5

9. Siendo: A = 162 ; B = 216

Obtener: 2

B

A

10.Si: = =7 18

4 4

4 3I ; A

8 81Hallar: I + A

Nivel II

11.Calcular:

⋅=

16 2

8

3 81N

9

12.Si: aa = 3

Calcular: =3 a

2 a(a )

T(a )

13.Reducir:

⋅ ⋅=

⋅

2

436 10 27

E6 5

14.Reducir:

⋅ ⋅=

⋅

2 2

2 215 25 63

E35 45

15.Si: ⋅ ⋅

= = +⋅

2 144

36 10 27I ; A 2 2

6 5

Hallar : I + A

Tarea domiciliaria

Potencia de Exponente Entero

16.Reducir:

+ +=

+ +

4 5 3

8 10 64 4 4

L2 2 2

17.Calcular:

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅

3 3 2 4 3 6

4 5 22 4 16 (3 ) (2 )

A8 8 81

18.Calcular:

= ⋅ ⋅ −

364 30 5

R 5 5 29 425

19.Si: + +

− +

⋅=

⋅

a 2 a 2b

a 2 b 2

2 4T

8 16

Hallar: T2

20. Hallar: 1xxxM

+=

Si: xx = 3

21.Si: nn = 2

Hallar: 1nn3nV

+=

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

10M U L T I P L I C A C I Ó NA L G E B R A I C A

I. MULTIPLICACIÓN DE DOS O MASMONOMIOS.Se efectúa aplicando las reglas de la potenciación y lossignos y las propiedades: asociativa y conmutativa delproducto.

Propiedad: Bases Iguales: am . an = am+n

1. Ejm: Efectuar:

a. x2 . x3 = x2+3 = x5

b. x4x5y2y3 = x9y5

2. Ejm:

Multiplicar los monomios

(-4x4y3) ∧ (+5x7y2)

Sol:

(-4x4y3) . (+5x7y2) = (-4) (+5) (x4) (x7) (y3) (y2) = -20x11y5

II. MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIOPORUN POLINOMIO.Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cadauno de los términos del polinomio; sumando luego losproductos obtenidos.

3. Ejm. (Método de multiplicación lineal)Multiplicar: (2x+3x2+4x3) por 2x

Solución:

4. Ejm. Multiplicar: 2x3 – 3x4 por (-3x)

Multiplicación de dos polinomios.

Se efectúa multiplicando cada uno de los términos deun polinomio con todos los términos del otro polinomio;sumando después los productos obtenidos.

Es conveniente ordenar los polinomios según laspotencias crecientes (o decrecientes) de una de lasvariables.

5. Ejm:

Multiplicar (x3+2x) por (x − 3)

Resolución:

Ordenando según las potencias decrecientes de ‘‘x’’

+ α−

+ α

− − α −

− + −

3

4 2

3

4 3 2

x 2x ...........( )x 3

x 2x Multiplicando ( )por x

3x 6x Multiplicando( )por ( 3)

x 3x 2x 6x

6. Ejm:

Multiplicar: (x3 + 2x) por (x-3)(Método de multiplicación líneal)

(x - 3) . (x + 2x) = x + 2x - 3x - 6x3 4 2 3

Ordenando según las potencias:

x4 – 3x3 + 2x2 – 6x

432

32

32

x8x6x4

)x4)(x2()x3)(x2()x2)(x2(

)x4x3x2(.)x2(

++=

++=

++

54

43

43

x9x6

)x3)(x3()x2)(x3(

)x3x2()x3(

+−=

−−+−=

−−

Multiplicación Algebraica

Nivel I

1. Efectuar:

a) x5 . x12 . x3 = .................................................

b) 3x9 . 2x4 = ....................................................

c) (-4x7) (-7x5y2) = ............................................

2. Efectuar:

a) (2x3) (-7x5y2) = ............................................

b) (-5x3y4) (-4x4y5) = ........................................

c) (-2x4y) (+5x3z4) (-6y7z2) = ............................

3. Multiplicar: D = (-4x3y5) (+3x4z6) (-7y2z3)

4. Multiplicar: A = (-4a5bc) (-3a3b3c3) (8a2bc) (-5ab4)

5. Multiplicar: N = (23x4y3) (32x5z7) (52y4w6) (25z3y4)

6. Multiplicar: I = (-5xm-3yn+7zp+2) (-27x5-my3-nz3-p)

7. Multiplicar: T = (+243x6ym+1zn-5) (-432x2y9-mz13-n)

8. Multiplicar: O = (+5x4) (-3x3) + (-6x2) (-4x5) – (x6) (+5x)

9. Multiplicar: E = (+7x2y3) (x3 – 5x2y + 3xy4 – y3)

10.Multiplicar: N = (-3x5y4) (4 - 4x6y3 + 53x4)

Nivel II

11. Multiplicar: x7y5 (57x5y7 + 75x12 – 4y25)

12.Si: I = (-4x2) (x5 – 6x3 + 5x2 + x – 3)C = (+3x) (2x6 +3x4 – 7x3 – 5x2 + 8x)

Calcular: I + C

13.Multiplicar:

R = x4y7 (x5y2 – 6x3y3 + 3x2) – 5x2y5 (x7y4 + x5y5 – 2x4y2)

14.Multiplicar: (x + 3) por (x – 1)

a) x2 + 3x –1 b) x2 + 2x – 3c) x2 – 2x + 3 d) x2 – 3x – 3e) N.A.

15.Multiplicar: (7x – 3) por (4 + 2x)

a) 14x2 + 22x – 12 b) 14x2 + x + 12c) 14x2 – 22x + 12 d) 14x2 – 22x – 12e) 14x2 – x + 12

16.Multiplicar: (3x + 2) por (x – 1)

a) 3x2 – x – 2 b) 3x2 + x + 2c) x2 – 3x + 2 d) 3x2 + x – 2e) 3x2 – x + 2

17.Multiplicar: (5x – 3) por (2x + 3)

a) 10x2 + 9x – 9 b) 10x2 + 11x – 6c) 10x2 + 9x + 6 d) 10x2 – 9x + 2e) 10x2 – 3x + 9

18.Multiplicar: (x – 1) por (x2 + x + 1)

a) x3 +3x2 + x + 1 b) x3 – 3x2 + 3x – 1c) x3 – 1 d) 3x3 + 1e) 3x3 + x2 + x –1

19.Multiplicar: (x + 2) por (x2 – 2x + 4)

a) x3 + 8 b) x3 + 8x + 8c) x3 – 8x2 + 16x – 8 d) x3 – 8e) x3 – 8x2 + 8

20.Multiplicar: (x + 2) por (x2 – x + 1)

a) x3 + x2 – x + 2 b) x3 + 3x2 – x – 2c) x3 – x2 + 2x – 2 d) x3 – x2 + x – 2e) x3 + x2 – x –2

Nivel III

21.Multiplicar: (x + 2) por (x2 + x – 1)

a) x3 + 2x2 – x – 2 b) x3 + 3x2 + x – 2c) x3 – 3x2 + x – 2 d) x3 – 2x3 + 3x – 2e) x3 + 2x2 – x + 2

22.Multiplicar: A = (24xm+7yn+2) (33x3-my8-n + 43x2-ny7-n)

23.Dado el siguiente polinomio:

D(x,y,z) = (77x6y5z4) (73x7y4 – 75x4y9z3 + 74y13y2z13)

Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D)

Pract iquemos

ÁLGEBRA24.Multiplicar: (x2 + x + 1) por (x2 – x + 1)

a) x4 + x2 + 1b) x4 – x3 + x2 + 1c) x4 + x3 + 2x2 + 1d) x4 – x2 + 1e) x4 – x3 + x2 – 1

25.Multiplicar: (x2 + xy + y2) por (x2 – xy + y2)

a) x4 + x3y3 + xy2 + y2

b) x4 – x2y2 + y4

c) x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4

d) x4 + x2y2 + y4

e) x4 + x3y – x2y3 + xy2 – y4

26. Multiplicar: (x2 – x + 2) por ( x2 – x – 2)

a) x4 – 2x3 + x2 – 4b) x4 + 2x3 + x2 + 4c) x4 – x2 + 4d) x4 + x2 + 4e) x4 – x3 + x2 – 4

Tarea domiciliaria

Nivel I

1. Efectuar:

a) x5 . x13 . x26 = .....................................................

b) 4x5 . 8x6 = .........................................................

c) (2x4) (−4x5) (−7x3) = ........................................

2. Efectuar:

a) (5x7) (8x4y5) = .................................................

b) (−6x4y3) (−8x3y4) = ...........................................

c) (2x3y2) (+3x4y3) (+4x5z4) = ..................................

3. Multiplicar: (9x5y7) (7x6x8) (−12y7z4)

4. Multiplicar: (−7a5b2c) (-4a8b5c3) (3ab4c) (8a2b6c5)

5. Multiplicar: (33x5z4) (25x3y8) (5y7w11) (102z12w9)

6. Multiplicar: (8xm-4yn+3zp-3) (32x9-my4-nz7-p)

7. Multiplicar: (343x12y5-mzn+2) (121x8ym+15z18-n)

8. Multiplicar: (6x7) (−2x3) − (+5x6) (−3x4) + (4x8) (8x2)

9. Multiplicar: (13x6y4) (2x7 − 9x3y5 + 4x2y3 − y8)

10.Multiplicar: (−4x7y6) (9 + 5x9y5 + 34x8)

Nivel II

11.Si: R(x) = (5x3) (x9 – 4x5 + 7x3 + x2)J(x) = (4x2) (2x10 + 5x6 – 9x4 – x3)

Calcular: C = R(x) + J(x)

12.Multiplicar: (x + 5) por (x – 4)

13.Multiplicar: (2x + 1) por (3x – 2)

14.Multiplicar: (3x + 5) por (7x – 3)

15.Multiplicar: (x – 3) por (x2 + 3x + 9)

27. Multiplicar: (x3 – y + x2) por (x3 + x2 + y)

a) x9 – x3y + xy4 + x4 – y2

b) x6 + 2x5 + x4 – y2

c) x6 + x4 + y2

d) x6 – x5 + x4 – y2

e) x9 + x5 +x4y + x3y2 + x2 – y2

28. Multiplicar: (x3y + xy2 + yx2 + y3) por (x2 – xy + y2)

a) x5 + x3y2 + x2y3 + y5

b) x5 – x3y2 + x2y3

c) x5 – x4y + xy4 – y5

d) x5 + x4y3 + x3y2 + x2y3 + xy4 + y5

e) x5 + x4 + xy4 + y5

29.Multiplicar: (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) por (x3 – x2 + x – 1)

30.Multiplicar: (x7 – x5 + x3 – x + 1) por (x4 – x2 + 1)

Multiplicación Algebraica

16.Multiplicar: (x – 7) por (x2 + 7x + 49)

17.Multiplicar: (x + 3) por (x2 – 3x + 9)

18.Multiplicar: (2x – 3) por (4x2 + 3x + 9)

19.Multiplicar: (x2 – 2x + 3) por (x2 – 2x – 3)

20.Multiplicar: (42x9-my7+n) (25x2+my4-n + 83xm+1y3-n)

Nivel III

21.Si se tiene el polinomio:

H(x,y) = (–3x6y7) (4x9y5 + 5x13 – 9y15)

Calcular: A = G.A.(H) + G.R.(y) + G.R.(x)

22.Multiplicar:

R (x,y)= 4x7y5 (x3y7–5x4y6 + x2)–6x5y3(x5y9–3x6y8 + x4y2)

23. Dado el polinomio:

D(x,y,z) = (34x5z3) (33x9y7 + 32x8y12z6 + 35y17z18)

Calcular: G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) + G.A.(D)

24.Multiplicar: (x3 + 2y + x) por (x3 + x – 2y)

25.Multiplicar: (x4 + x2 + 1) por (x4 – x2 + 1)

26.Multiplicar: (x2 + xy2 + y4) por (x2 – xy2 + y4)

27.Multiplicar: (x8 + x4y4 + y8) por (x8 – x4y4 + y8)

28.Multiplicar: (x3 + x2 + x + 1) por (x2 – x + 1)

29.Multiplicar: (x3y + x4 + xy3 + x2y2 + y4) por (x – y)

30.Multiplicar: (x3 + x2y + xy2 + y3) por (x3 – x2y + xy2 – y3)

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCEVALOR NUMÉRICO 11

Es el resultado obtenido luego de reemplazar a lasvariables de una expresión algebraica por cantidades oconstantes definidas.

Ejemplo: Si: E(x; y) = 2x2 + 5xy - y3

Hallar el valor numérico (V.N.) de E(x,y) si se sabe quex = 3, y = 2.

Solución:

E(3;2) = 2(3)2 + 5(3)(2) − (2)3 = 2(9) + 5(6) − 8∴ E(3;2) = 18 + 30 − 8 = 40

Ejemplo:

Si: P(x;y) = 2x2 + 5xy - y

2

Calcular: P (5; 0)

Solución:

x = 5; y = 0

P(5; 0) = 2(5)2 + 5(5)(0) - (0)

2

P(5; 0) = 2(25) + 0 - 0

∴ P(5; 0) = 50

Nivel I

1. Si: A(x) = 2x + 5; calcular el valor numérico en cadacaso.

* A(1) * A(-2) * A(3)* A(-4) * A(+5) * A(-6)* A(+7) * A(-8) * A(9)

2. Si: B(x) = -3x - 7; calcular el valor de numérico en cadacaso.

* B(0) * B(1) * B(-2)* B(-3) * B(-4) * B(5)* B(-6) * B(7) * B(-8)

3. Si: C(x) = x2 + 2; calcular el V.N. en cada caso:

* C(1) * C(-1) * C(2)* C(-2) * C(3) * C(-4)* C(5) * C(-6) * C(7)

4. Si: E(x) = −2x3 + 1; calcular el valor numérico en cadauno:

* E(0) * E(2) * E(1)* E(5) * E(−1) * E(−2)* E(−4) * E(a) * E(b)

5. Si: L(x;y) = −3x2y3 + 2; calcular el valor numérico encada caso.

* L(0;0) * L(2;1) * L(1;2)* L(5;3) * L(−1;4) * L(−2;−3)* L(−4;−2) * L(a;3) * L(b;2)

6. Si: E(x;y;z) = -2x3y2z + 3; calcular el valor en cadacaso:

* E(0;0;1) * E(2;3;−1) * E(1;−3;2)* E(5;3;−1) * E(−1;3;−4) * E(-2;−3;−2)

7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valorde la variable indicada:

a) N(x) = −2x2 + 4x + 5; Para: x = −2

b) I(y) = 3y3 + 2y2 + y − 13; Para y = 3

c) T(m) = −m4 + m3 − 2m2 + 8m + 3; Para m = −2

8. Hallar el valor numérico de los siguientes términos para:a = 1; b = 5; c = 4; m = -1; n = -2

a) 8bcm b) -bm2n c) 4a2b3c

d) 40ab2c2 e) cm3n f) -b2n2

g) a2bcm3n h) -4m2n i) a3bcm2n

9. Si: A(z) = 3z3 + 2z2 + 3z - 15Calcular: M = 2A(3) - 3A(2)

10.Si: f(x) = 3x - 5 ⇒ f(1) = ______________

Pract iquemos

Valor Numérico

Nivel II

11.Si: g(x) = x2 - 3x + 2 ⇒ g(0) = ______________

12.Si: h(x) = x2 - 4x + 5 ⇒ h(1) = ______________

13.Si: p(x) = (x - 4)2 + 2 ⇒ p(0) = ______________

14.Si: q(x) = (x+5)2 - 7 ⇒ q(1) = ______________

15.Si: r(x) = (x2 - 4x + 6)2 - 3 ⇒ r(0) = __________

16. Si: s(x) = (x+2)(x-3)+5 ⇒ s(1) = __________

17.Si: t(x) = (x2+2)2 -(x - 3)+2 ⇒ t(0) = __________

18.Si: w(x) = (x3+2x+5)(x5-x2+2) ⇒ w(1)= __________

19.Si: z(x) = (x5 - 2x + 1)20 ⇒ z(0) = __________

20.Si: m(y) = (y7 - 2)2(y4 + 3)3 ⇒m(1) = __________

Nivel III

21.Si: P(x) = 5x + 7 y Q(x) = 2x − 5

Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)]

22.Sea: E(3x − 1) = 6x + 2; calcular:

a) E(2); d) E(11); g) E(−7)b) E(5); e) E(−1); h) E(a)c) E(8); f) E(−4); i) E(3b)

23.Si: L(x − 2) = x2 − x + 3

Calcular = L(7) + L(5) − L(6)

24.Sea: T(2x − 7) = 8x − 17

Hallar: A = T(9) + T(−9)

25.Sea: M(3x − 1) = 4x − 13

Hallar: I = M(8) + M(5) + M(2)

26.Sea: N(2x − 5) = 3(2x − 5)7 + 2(2x − 4)3 + 5

Hallar: I = N(1) − N(−1) + N(0)

27.Sea: A(x) = x + 3; además: A[P(x)] = 2x + 7

Hallar: P(5)

28.Sea: P(x) = 4x − 5; además: P[Q(x)] = 5x − 8

Hallar: Q(5)

29.Dado el polinomio:

P(x) = 4x2 + bx + c; Si: P(0) = 3 y P(1) = -2

Calcular el valor de: E = 3b − 5c + 8

30.Dado el polinomio:

I(x) = 3mx − 9; Si: I(−2) = 9

Hallar el valor de ‘‘m’’.

Nivel IV

31.Si: P(x;y) = x2 + y2 − xy + x − y + 3

Calcular: L = [P(0;0) − 2P(1;1)] - [P(−1;2) − P(3;2)]

32.Si: P(x;y) = 2xy2 − x2y + x − y

Q(x) = 2x3 − 2x2 + 3x + 2

Calcular el valor de: E = Q[P(−2;−2)] + P[Q(1);Q(0)].

33.Sea: P(x + 3) = 2x - 5; además: P[Q(x) + 2] = 3x − 7

Hallar: Q(7)

34.Sea: F(2x − 3) = 4x + 5; además: F[G(x) − 1] = 6x − 7

Hallar: G(5)

35.Sea: P(x) = 2x − 6; además: P[2Q(x) + 1] = 4x − 10

Hallar: Q(3)

ÁLGEBRA

Nivel I

1. Si: A(x) = 3x - 7; calcular el valor numérico en cada caso.

* A(2) * A(-3) * A(4)* A(-5) * A(6) * A(-7)* A(8) * A(-9) * A(10)

2. Si: B(x) = -2x + 5; calcular el valor numérico en cada caso.

* B(0) * B(1) * B(-2)* B(3) * B(-4) * B(5)* B(-6) * B(7) * B(-8)

3. Si: C(x) = x2 + 3; calcular el valor numérico en cadacaso.

* C(1) * C(-1) * C(2)* C(-2) * C(3) * C(-4)* C(5) * C(-6) * C(7)

4. Si: M(x) = −5x3; calcular el valor numérico en cada caso.

M(0); M(2); M(1);M(5); M(−1); M(−2);M(−4); M(a); M(b)

5. Si: N(x;y) = −2x2y; calcular el valor numérico en cadacaso.

N(0,0); N(2,1); N(1,2);N(5,3); N(−1;4); N(-2,−3);N(−4,−2); N(a;3); N(b;−2)

6. Si: P(x,y,z) = −2x3y2z4; calcular el valor numérico encada caso.

P(0,0,1); P(2,3,−1); P(1,−3,2);P(5,3,−1); P(-1,3,−4); P(1,2,−1)

7. Hallar el valor numérico de cada polinomio para el valorde la variable indicada:

I. P(x) = -3x3 + 5x2 + 7x − 18; para x = 2II. Q(y) = 5y5 − 2y3 + 4y2 - 25y + 5; para y = −1III. R(m) = 6m2 − 13m + 7; para m = 3IV. G(x) = 4x2 + 3x − 8; para x = −2

8. Halla el valor numérico de los siguientes términos para:

a = 1; b = 2; c = -3; p = -2; q = 1

a) abc b) b2pq c) 3acqd) b2cp3 e) bp3q2 f) -4abcg) abcpq h) 4ab2pq3 i) -3a3b4cpq5

9. Si: P(z) = 2z4 − 3z2 − 5z + 11

Calcular el valor de: E = 2P(−3) − 3P(2)

10.Si: f(x) = 4x + 7 → f(1) = _________

Nivel II

11.Si: g(x) = x2 + 4x - 5 → g(0) = _________

12.Si: h(x) = x2 -5x + 13 → h(1) = _________

13.Si: p(x) = (x-3)2 + 2 → p(0) = _________

14.Si: q(x) = (x+6)2 - 5 → q(1) = _________

15.Si: r(x) = (x2 - 3x + 2)2 + 3 → r(0) = _________

16.Si: t(x) = (x2+4)2 -(x3-3)+4 → t(1) = _________

17.Si: w(x) = (x7-3x2+2)(x8-x4+3) → w(0) = _________

18.Si: g(x) = (x19

-3x24+1)19 → z(1) = _________

19.Si: s(x) = (x+1)4 (x-2)3 (x+3)2 → s(0) = _________

20.Si: m(y) = (y5-3)4 (y4+2)3 → m(1) = _________

Nivel III

21.Si: P(x) = -2x2 + 3x + 5

Calcular el valor de: E = 2P(2) + 3P(−3)

22.Si: P(x,y) = x3 − 3x2 + 2xy2 − y3

Calcula:

a) P(0,0);b) P(2,3);c) P(−3,3);d) P(−2,−3)

23.Si: P(x) = 3x - 6 y Q(x) = 2x + 5

Calcular: N = P(4) + P(3) + P[Q(0)]

24.Sea: E(2x − 3) = 4x + 5; calcular:

a) E(5) d) E(1) g) E(2a)b) E(3) e) E(−3) h) E(b)c) E(−7) f) E(7)

25.Si: L(x + 3) = x2 + x − 1

Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4)

Tarea domiciliaria

Valor Numérico

26.Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 1

Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0)

27.Sea: T(4x − 7) = 5x − 9

Calcular: A = T(9) + T(−3)

28.Sea: M(3x − 2) = 5x − 9

Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13)

29.Sea: A(x) = x + 5 y A(P(x)) = 2x + 3

Hallar: P(2)

30.Sea: P(x) = 3x + 1 P[Q(x)] = 5x + 7

Hallar: Q(3)

Nivel IV

31.Calcular: E = [P(0,0) − 2P(1,1)] − [P(−2,−3) − P(4,5)]

32.Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1

Calcular el valor de:

a) Q[P(2,1)]b) P[Q(1); Q(2)]

33.Sea: F(2x − 3) = 4x + 5; además F[G(x)] = 6x − 7

Hallar: G(4)

34.Sea: P(x + 2) = 2x + 5; además: P[F(x)-3] = 4x-11

Hallar: F(7)

35.Sea: Q(x + 2) = 3x − 5; además: Q[P(x) − 4] = 9x + 1

Hallar: P(5)

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

12GRÁFICAS LINEALES

Plano Cartesiano

Sobre una recta numérica cada punto corresponde a unnúmero. En un plano, cada punto corresponde a un parordenado de números tomado de Z x Z. Para representareste producto cartesiano, trazamos un eje X y un eje Yperpendiculares entre sí. Su intersección se llama origen yse designa con el símbolo O. Las flechas indican lasdirecciones positivas. A este sistema se le llama sistema decoordenadas cartesianas.

Par ordenado

Sea: P = (x,y)

El primer miembro de un par ordenado se llamacoordenada en x, o abscisa. El segundo miembro sellama coordenada en y u ordenada. A estos dos númerosse les llama coordenadas de un punto.

3

2

1

1 2 3-3 -2 -1-1

-2

-3

0

y

x

Punto A(-3,1)

Plano Cartesiano

La ubicación de un punto cualquiera del plano sedetermina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y.

El primer número del par ordenado (-3;1) determina eldesplazamiento horizontal respecto al cero.

* Positivo para los números ubicados a la derecha.* Negativo para los números ubicados a la izquierda.

El segundo número de par ordenado (-3;1) determinael desplazamiento vertical respecto al cero.

* Positivo para los números ubicados hacia arriba.* Negativo para los números ubicados hacia abajo.

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadascuadrantes. Indicadas por números romanos y numeradasen contra del sentido de las manecillas del reloj a partir delcuadrante superior derecho.

Ejemplo N° 1

Representa gráficamente los pares ordenados:

(-3; 2), (-1; -4), (4; 3), (5; 5)

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

0

y

(-3,2)

(-1,-4)

(4,3)

(5,5)

Gráfica de un polinomio de primer grado o linealEs de primer grado o lineal si el grado absoluto del polinomioes 1

Notación:

Y = P(x) = ax + b; (a ≠ 0)

Gráficas Lineales

Si un polinomio tiene dos variables, debes encontrarpares ordenados de números con la propiedad de que alsustituir los números en vez de las variables éstas verificanla igualdad.

Ejemplo

Determina si los pares ordenados siguientes pertenecen ala igualdad "y".

(-1; -4) ∧ (7; 5) ; y = 3x - 1

a) Verificamos para el punto (-1; -4), donde x=-1 e y=-4,luego sustituye -1 en vez de "x" y - 4 en vez de "y".

y = 3x - 1-4 3(-1) -1-4 -3 -1-4 -4 → se verifica la igualdad

La proposición es cierta, de modo que (-1;-4) pertenecea la gráfica de y = 3x - 1.

b) Verificamos para el punto (7; 5), donde x=7 e y=5, luego:sustituye 7 en vez de "x" y 5 en vez de "y".

y 3x - 15 3(7) -15 21 - 15 20 → no se verifica la igualdad

La proposición es falsa, de modo que (7;5) no pertenecea la gráfica de y = 3x - 1.

Observaciones importantes

* La gráfica de un polinomio de primer grado es siempreuna recta.

* Para trazar la gráfica se hace una tabla de valores.

Directrices para la representación gráfica

1. Utiliza papel milimetrado.2. Marca los ejes con símbolos para las variables.3. Utiliza flechas para indicar las direcciones positivas.4. Marca algunos números sobre los ejes para indicar

la escala.5. Representa algunos pares ordenados y completa la

gráfica.

Ejemplo N° 1

Representa gráficamente: y = 3x - 1.

Solución:

Primero encuentra algunos pares ordenados que verifiquenla igualdad. Podemos escoger cualquier número por el quetenga sentido reemplazar "x" y después determinar "y".

Sea x = 0. En tal caso, y = 3(0) -1 = -1. Así (0,-1)Es un par ordenado.

Sea x = -1. En tal caso, y = 3(-1) -1 = -4. Así (-1,-4)Es un par ordenado.

Sea x = 1. En tal caso, y = 3(1) -1 = 2. Así (1,2)Es un par ordenado.

Sea x = -2. En tal caso, y = 3(-2) -1 = -7. Así (-2,-7)Es un par ordenado.

Sea x = 2. En tal caso, y = 3(2) -1 = 5. Así (2,5)Es un par ordenado.

Anotamos los valores que verifican la igualdad.

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5-3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

0

y

y=3x-1

(2; 5)

(1; 2)

(0; -1)

(-1; -4)

x y = 3x - 1

0 -1

1 2

5

-1 -4

2

-2 -7

Pares ordenados

(0; -1)

(1; 2)

(2; 5)

(-1; -4)

(-2; -7)

Después representamos estos puntos. Si pudiésemosmarcar todos los pares ordenados, éstos formarían unalínea recta. Podemos trazar la línea con una regla, y rotularlacomo y = 3x - 1. (observe el gráfico)

ÁLGEBRAEjemplo N° 2

Representar gráficamente: y = x+2

Solución: Tomamos valores de "x" al azar y tabulamos:

x y = x + 2

-3 -1

-1 1

3

2 4

1

Pares ordenados

(-3;-1)

(-1;1)

(1;3)

(2;4)

* Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesiano.

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

0

y

(-3; -1)

(-1; 1)

(1; 3)

(2; 4)

y = x + 2

Pract iquemosNivel I

1. Representa gráficamente los pares ordenados:

a) (-2;-2) b) (1;-4) c) (5;6)d) (-3;5) e) (0;8) f) (3;2)g) (-5;2) h) (-4;3) i) (-4,0)

2. Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.

a) (1;7),(2;9) ; y = 2x + 5b) (-1;4),(0;6) ; y = -2x + 3

3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? Siuna igualdad no es lineal, di porqué

a) xy = 9 b) 2r + 7= 45 c) 4x3 = 7yd) 8x-17y = 5 e) 4x - 3 f) x5 - 1 = y

* Representa gráficamente:

4. P(x) = 4 - x

5. P(x) = 5 + x

6. P(x) = x - 6

7. P(x) = -3 + x

8. y = -2x - 10

9. y = -x

10. x = 4

Nivel II

11. y = -3

12. y = 0

13. x = -5

14. -2x = 6y

15. 3x = -8y

16. 2y = 5x

17. 2x - 6y = -2

18. 3y = 2x - 6

19. 3y = 4x - 12

20. 5x = 3y + 15

Gráficas Lineales

Tarea domiciliaria

Nivel I

1. Representa gráficamente los pares ordenados:

a) (-3;3) b) (2;-5) c) (1;-6)d) (-4;-2) e) (0;5) f) (2;1)g) (-7;0) h) (-5;6) i) (-2;-4)

2. Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.

a) (1;2); (2;1) ; y = 3x - 5b) (2;-6); (-1;2); y = -4x + 2

3. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? si unaigualdad no es lineal, di por qué.

a) xy = 7

b) x - y = 3

c) r + s = 6

d) 2r - 5s = 7

e) 9c - d3 = 4z

f) x + y = 2z


4. P(x) = 6 - x

5. P(x) = x - 3

6. P(x) = x - 8

7. P(x) = -5 + x

8. -y = -3x + 9

9. 10 + 2y = 4x

10. -y = x

Nivel II

11. x = 2

12. y = -4

13. y = x

14. x = -5

15. 5x = 6y

16. 2x = -7y

17. 2y = 3x

18. 2x + 4y = -6

19. 2x = 3y + 6

20. 4x = 3y + 12

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

13GRÁFICAS DE POLINOMIOSC U A D R Á T I C O S

Un polinomio es cuadrático cuando el grado absoluto delpolinomio es "2"

NOTACIÓN:2

Término CuadráticoTérmino Lineal

Término Independiente

a: coeficiente principal

CLASES DE POLINOMIOS DE SEGUNDOGRADO

Los polinomios de segundo grado se clasifican encompletos e incompletos.

* Completos Cuando todos sus coeficientes son distintosde cero: Ejm.:

P(x) = 3x2 + 7x - 4

Q(x) = -2x2 - 4x + 3

P(x) = 5x2 - 2x + 4

* Incompletos Cuando carece del coeficiente deltérmino independiente o término lineal. Ejm.:

P(x) = x2

Q(x) = -2x2 + 5

P(x) = 3x2 + 2x

GRÁFICA DE UN POLINOMIO DESEGUNDO GRADO

Si y = P(x) = ax2

Ejemplo:

1. Graficar: P(x) = x2

a) Para trazar la gráfica de un polinomio de segundo gradose hace una tabla de valores:

Por ejemplo:

x P = x(x)

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2

2 4

Pares ordenados

(-2;4)

(-1;1)

(0;0)

(1;1)

(2;4)

b) Se localiza los puntos obtenidos en un plano cartesianoy luego se unen por medio de una línea.

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

0

y

(-2; 4) (2; 4)

(1; 1)(-1; 1)

Ahora:

2. Grafiquemos el polinomio P(x) = -x2.

a) Tabla de valores:

x P = -x(x)

-2 -4

-1 -1

0 0

1 -1

2

2 -4

Pares ordenados

(-2;-4)

(-1;-1)

(0;0)

(1;-1)

(2;-4)

Gráficas de pol inomios cuadráticos

b)

2

1

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0

y

(0; 0)

(1; -1)(-1; -1)

(-2; -4) (2; -4)

Observaciones

* La gráfica de un polinomio de segundo grado es siempreuna parábola.

* La parábola tiene un punto especial llamado vértice.

Si: y = P(x) = ax2 + bx + c; (a ≠ 0)

a)

h

y

Y=P(x)=ax +bx+cSi: (a>0)

2

k V(h;k)

Si el coeficiente principal del polinomio es positivo (a>0),entonces la parábola se abre hacia arriba y tiene unvalor mínimo en "k".

b)

h

V(h;k)y

Y=P = ax +bx+c(x)Si: (a<0)

2

k

Si el coeficiente principal del polinomio es negativo(a<0), entonces la parábola se abre hacia abajo y tieneun valor máximo en "k".

* V(h;k) : Vértice de la parábola.

Donde:

= −b

h2a

−

=24ac b

k4a

Nota: Si P(x) = ax2 + bx + c; (a ≠ 0) podemos hallar "k",reemplazando el valor numérico P(h).

P(h) = k

Ejemplo: Graficar F(x) = x2 - 6x + 5

Solución:

a) Hallando el vértice.

⇒ h = a2b−

→ h = )1(2)6(−

− ∴ h = 3

Para hallar "k", reemplazamos el valor numérico F(h)⇒ k = F(h) → k = F(3) = (3)2 - 6(3) + 5 ⇒ k = -4

b) Tabulando

x

1

2

3

4

5

y = x2 - 6x + 5

0

-3

-4

-3

0

Paresordenados

(1; 0)

(2; -3)

(3; -4)

(4; -3)

(5; 0)

→ h

Graficando:

h

y

F =x - 6x + 5(x) 2

V(3;-4)

1 2 3 4 5-1

-2

-3

-4

-5

-6

k

ÁLGEBRANota:

a) Para trazar la gráfica de un polinomio de 2do grado sehace una tabla de valores (consultar con tu profesor).

b) Se localizan los puntos obtenidos en un plano cartesianoy luego se unen por medio de una línea.(Utilizar de preferencia un pistolete)Para realizar graficas de un polinomio de 2do grado serecomienda hacerlo en papel milimetrado con ayuda yasesoramiento de un profesor.

Nivel I

1. Determina cuáles de los polinomios siguientes soncuadráticos y cuáles no.

a) y = x b) y = x2 + 5 c) y=x2 - 3x + x3

d) -y = 2x2-x e) y2 = x2 + 5

2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.

a) P(x) = 3x2 b) Q(x) = -x2 +4x+ 3c) R(x) = 2x2 + x d) S(x) = -2x2 - 4

3. En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente:

a) P(x) = x2 - 3x - 2 b) Q(x) = -x2 - 7c) R(x) = 2x2 - x + 8 d) S(x) = -3x2 - 2x + 4

4. Graficar los siguientes polinomios:

a) P(x) = 2x2 b) Q(x) = -2x2

c) R(x) = 3x2 d) S(x) = -3x2

5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura:

y

x0-2-3 -1-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3-4

-5


a) P(x) = x2 +3 b) Q(x) = -x2 + 3c) R(x) = 2x2 + 1 d) S(x) = -2x2 + 1

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas para P(x),Q(x) y para R(x), S(x)?


a) P(x) = x2 - 2 b) Q(x) = x2 + 2c) R(x) = 3x2 - 1 d) S(x) = 3x2 + 1



a) P(x) = x2 +2x b) Q(x) = -x2 + 2xc) R(x) = 2x2 + 4x d) S(x) = -2x2 + 4x



a) P(x) = x2 - 2x b) Q(x) = -x2 - 2xc) R(x) = 2x2 - 4x d) S(x) = -2x2 - 4x


10.Graficar los siguientes polinomios:

a) P(x) = x2 - 2x + 2 b) Q(x) = -x2 - 2x + 2c) R(x) = 2x2 - 4x + 3 d) S(x) = -2x2 - 4x + 3


Nivel II

11.Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientespolinomios:

a) P(x) = x2 + 2 b) Q(x) = x2 + 1c) R(x) = x2 + 4x d) S(x) = x2 + 6x

12.Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientespolinomios:

a) P(x) = - x2 + 3 b) Q(x) = - x2 - 2c) R(x) = - x2 + 4x d) S(x) = - x2 - 2x

13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomioP(x) = ax2 +4x - 5 pase por el punto (2; 11)?

14.La suma de dos números es 16, si uno de ellos es igual a "x":

a. ¿A qué es igual el otro número?b. Expresa el producto de dichos números como un

polinomio de variable "x".c. ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener?

Pract iquemos

Gráficas de pol inomios cuadráticos

Nivel I

1. Determinar cuáles de los siguientes polinomios soncuadráticos y cuáles no. Fundamente su respuesta.

a) y = x2 + 5xb) x = y + 2c) x2 = 5 - yd) x2 + y = y2 + 3e) x2 + 0,5 = 2yf) - 6x + 7 = x2 + y

2. Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.

a) P(x) = 4x2 - 3b) Q(x) = -x2 +6x -5c) R(x) = 2x2 - xd) S(x) = -4x2

3. En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente:

a) P(x) = 5x2 - x - 8b) Q(x) = -3x2 - 25c) R(x) = 2x2 - 5x + 1d) S(x) = -5x2 - 7x + 9


a) P(x) = 4x2

b) Q(x) = -4x2

c) R(x) = 5x2

d) S(x) = -5x2

5. Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura:

x

y


a) P(x) = x2 +5b) Q(x) = -x2 + 5c) R(x) = 2x2 + 4d) S(x) = -2x2 + 4

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidascomparando P(x), Q(x) y R(x), S(x)?

15.La empresa Dátil's ha hecho un estudio sobre sus ventas,obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadaspor la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventasfueron máximas (5000 unidades)

2001 20032002

x (año)

y (ventas)

50004000300020001000

a. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003?b. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2004?c. ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2000?

Tarea domiciliaria

ÁLGEBRA7. Graficar los siguientes polinomios:

a) P(x) = x2 - 6b) Q(x) = x2 + 6c) R(x) = 2x2 - 5d) S(x) = 2x2 + 5

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidascomparando P(x), Q(x) , R(x) y S(x)?

8. Calcular el valor mínimo de cada uno de los siguientespolinomios:

a) P(x) = x2 + 9b) Q(x) = x2 + 13c) R(x) = x2 + 8xd) S(x) = x2 + 16x

9. Calcular el valor máximo de cada uno de los siguientespolinomios:

a) P(x) = - 2x2 + 9b) Q(x) = - 3x2 - 4c) R(x) = - x2 + 8xd) S(x) = - x2 - 10x


a) P(x) = x2 +8xb) Q(x) = -2x2 + 6xc) R(x) = 2x2 + 12xd) S(x) = -2x2 + 10x

¿Qué puedes concluir de las gráficas obtenidas?

Nivel II


a) P(x) = x2 - 4xb) Q(x) = -x2 - 6xc) R(x) = 2x2 - 14xd) S(x) = -2x2 - 8x



a) P(x) = x2 - 4x -6b) Q(x) = -x2 - 4x + 5c) R(x) = 2x2 - 6x + 7d) S(x) = -2x2 - 4x + 5


13.¿Cuánto vale "a", para que la gráfica del polinomioP(x) = 3x2 +ax - 5 pase por el punto (-2; 13)?

14.La suma de dos número es 36, si uno de ellos es iguala "x":

a. ¿A qué es igual el otro número?b. Expresa el producto de dichos números como un

polinomio de variable "x".c. ¿Cuál es el máximo producto que se puede obtener?

15. La empresa Colpa ha hecho un estudio sobre sus ventas,obteniendo como resultado que sus ventas estarán dadaspor la gráfica que se muestra, en el año 2002 sus ventasfueron máximas (5 000 unidades).

2001 20032002

x (año)

y (ventas)

50004000300020001000

a. ¿Cuántas unidades vendieron en el año 2002?b. ¿Cuántas unidades esperan vender el año 2003?c. ¿Cuántas unidades se vendieron en el año 2001?

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

14P R O D U C T O SNOTABLES I

Son los resultados de ciertas multiplicaciones cuyo productoes fácil de recordar mediante ciertas reglas que acontinuación daremos.

a. Binomio suma cuadrado perfecto

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

b. Binomio diferencia al cuadrado

(x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Efectuar:

1. (x + 3y)2 = (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2

= x2 + 6xy + 9y2

2. (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2(2x)(3y) + (3y)2

= 4x2 - 12xy + 9y2

3. (m + 8n)2 = (m)2 + 2(m)(8n) + (8n)2

= m2 + 16mn + 64n2

4. (2q + 3p2)2 = (2q)2 + 2(2q)(3p2) + (3p2)2

= 4q2 + 12qp2 + 9p4

5. (2r - 5s)2 = (2r)2 - 2(2r)(5s) + (5s)2

= 4r2 - 20rs + 25s2

Nivel I

Desarrollar cada una de las siguientes expresiones:

1. (x + 2)2 =

2. (x + 5)2 =

3. (x - 7)2 =

4. (x - 4)2 =

5. (2x + 3)2 =

6. (4x + 7)2 =

7. (2x + 3y)2 =

8. (3x - 2)2 =

9. (5x - 1)2 =

10. (4x - 3y)2 =

Nivel II

11.Reducir:

S = (2x + 1)2 + (2x - 3)2 - 8x(x - 1)

a) 1 b) 2 c) 4d) 10 e) 12

12.Calcular:

M = (3x + 2)2 - (3x + 1)2 - 3(2x + 1)

a) 1 b) 0 c) -1d) -4 e) -8

13.Simplificar:

S = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 - 3x(x + 4)

a) -1 b) 0 c) 10d) 12 e) 14

14.Reducir:

W = (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 - 3x(x - 4)

a) 0 b) -1 c) 12d) 13 e) 14

15.Reducir:

S = (x + y)2 - 2(x + y)(x - 2y) + (x - 2y)2

a) 6y2 b) 3y2 c) 9y2

d) 16y2 e) 18y2

16.Simplificar:

R = (x + 1)2 - (x + 2)2 - (x + 3)2 + (x + 4)2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

Pract iquemos

Productos Notables I

17.Simplificar:

R = (x + 8)2 + (x - 8)2 + (x + 6)2 + (x - 6)2 - 4x2

a) 64 b) 128 c) 200d) 400 e) 500

18.Si:x + y = 13x.y = 50

Hallar: L = x2 + y2

a) 100 b) 69 c) -69d) 49 e) 59

19.Si:x - y = 12x.y = -20

Hallar: U = x2 + y2

a) 40 b) -40 c) 104d) -44 e) 180

20.Si:a + b = 12

a2 + b2 = 120Hallar: S = a.b

a) 6 b) 12 c) 14d) 18 e) 16

Nivel III

21. (4x2 - 5x)2 =

22. (5x2 + 2y3)2 =

23. (3x3 - 7y2)2 =

24. (m2 + 2n3)2 =

25.2

x2

-2x

=

26.2

2y

-3x

=

27.2

2x3

x32

+ =

28.2

8-4x

=

29.2

416x

+ =

30.

2

xn

n

x

+ =

31.

2

44xy

yx

+ =

Nivel IV

32.Si:x2 + y2 = 25

x.y = 12Hallar: E = x - y

a) 1 b) -1 c) a y bd) a ó b e) 16

33.Reducir:

S = 22

2a

-32a

-32a

222a

2

+

++

+

a) 2 b) 4 c) 9d) 20 e) 25

34.Simplificar:

R = 22

7-3a

7-3a

3a

52-3a

5

+

+

+

a) 121 b) 49 c) 25d) 144 e) 169

35.Hallar "A", si:

22

m2n3

-n3m2

Am2n3

n3m2

=+

+

a) 1 b) - 2 c) - 4d) - 8 e) - 12

ÁLGEBRA

Tarea domiciliariaNivel I

1. Efectuar:

a. (x + 7)2

= _______________________

b. (x2 + 3)

2= _______________________

c. (3x + 2y)

2= _______________________

d. (2x - 9)2

= _______________________

e. (4x3 - 3y

4)2

= _______________________

2. Efectuar:

L = (4x + 1)2 + (4x - 3)

2 - 16x(2x - 1)

3. Simplificar:

R = (x + 3)2 + (x - 3)

2 + 2(4 - x

2)

4. Reducir:

M = (2x + 3)2 - (2x - 3)

2 + 4(5 - 6x)

5. Simplificar:

R = (2x + 3)2 + (2x - 1)

2 - (2x - 6)

2 - 4x(x + 8)

6. Reducir:

W = (x + 2)2 + (x + 1)

2 + (x + 8)

2 - 3x

2 - 22x - 60

7. Si:x + y = 13x.y = 20

Hallar: R = x2 + y

2

8. Si:x - y = 14x.y = - 40

Hallar: R = (x2 + y

2)2

9. Si:x + y = 14

x2 + y

2 = 100

Hallar: L = x.y

10.Si:x - y = 12

x2 + y

2 = 120

Hallar: M = x.y

Nivel II

11.Si:x2 + y

2 = 41

x.y = 20Hallar: S = x + y

12.Reducir:

P = 22

7x

-57x

-57x

427x

4

+

++

+

13.Reducir:

= + − + − + −

2 2x x x xS 5 2 5 7 7

9 9 9 9

14.Simplificar:

W = (x2 + 5x)

2 - 2(x

2 + 5x)(x

2 - 7x) + (x

2 - 7x)

2

15.Reducir:

W = (x + y)2 + (x - y)

2 - 2(x

2 + y

2)

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

15P R O D U C T O SNOTABLES II

c. Diferencia de cuadrados

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:

1. (x + 2)(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

2. (x + 5)(x - 5) = x2 - 52 = x2 - 25

3. (2x - 3y)(2x + 3y) = 4x2 - 9y2

d. Identidad de Steven(Multiplicación de dos binomios con un término común)

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplos:

1. (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + (3)(5)= x2 + 8x + 15

2. (x + 7)(x - 3) = x2 + (7 - 3)x + (7)(-3)= x2 + 4x - 21

3. (x - 5)(x + 2) = x2 + (-5 + 2)x + (-5)(2)= x2 - 3x - 10

4. (x - 4)(x - 6) = x2 + (- 4 - 6)x + (- 4)(- 6)= x2 - 10x + 24

Nivel I

1. Efectuar:

a. (x + 6)(x - 6) = ___________________

b. (x - 11)(x + 11) = ___________________

c. (2x + 1)(2x - 1) = ___________________

d. (9 - x2)(x2 + 9) = ___________________

e. (5 - 3x)(3x + 5) = ___________________

f. (4 + 5x3)(5x3 - 4) = ___________________

g. (34 + 1)(34 - 1) = ___________________

h. (28 - 1)(28 + 1) = ___________________

2. Efectuar:

a. (x + 8)(x + 2) = ___________________

b. (x + 12)(x - 13) = ___________________

c. (2x + 3)(2x + 5) = ___________________

d. (3x + 8)(3x - 11) = ___________________

e. (7x - 5)(7x - 1) = ___________________

f. (x2 + 8)(x2 - 3) = ___________________

g. (a + c + 7)(a + c - 3) = ___________________

h. (5x2 + 12)(5x2 - 8) = ___________________

Nivel II

1. Simplificar:

H = (x + 5)(x - 3) - (x + 7)(x - 5) + 4

2. Reducir:

M = (x+2)(x-2) + (3 - x)(x + 3) + (4+x)(x-4) + (x+5)(5-x)

3. Simplificar:

E = 5)-5)(x(x-)13-x)(13x( ++

4. Simplificar:

S = (x + y)(x - y)(x2+ y

2)(x

4+ y

4)(x

8+ y

8)(x

16+ y

16) + y

32

5. Reducir:E = (x

3 - 3)

2 - (x

3 - 1)(x

3 - 5)

6. Reducir:

M = (m + 2n)2 - (m + 2n)(m - 2n) - 2n(m + 4n)

Pract iquemos

Productos Notables I I

7. Efectuar:

W = 32 16842 1)12)(12)(12)(12(3 +++++

8. Reducir:

R = 16 842 1)13)(13)(13(8 ++++

9. Reducir:

S = (3x - 1)2 - 5(x - 2) - (2x + 3)

2 - (5x + 2)(x - 1)

10.Simplificar:

P = 2(x - 3)2 - 3(x + 1)

2 + (x - 5)(x - 3) + 4(x

2 - 5x + 1)

11.Transformar:

E = 5(x - 2)2 - 5(x + 3)

2 + (2x - 1)(5x + 2) - 10x

2

12.Simplificar:

E = (1 - 2xy)(1 + 2xy) - (x2y2 - 2)

2 + (xy)

4

13.¿Cuánto se le debe sumar a (p + 2q)2 para obtener

(p - 2q)2?

Tarea domiciliariaNivel I

1. Efectuar:

a. (14 + x)(14 - x) = __________________

b. (8 + x)(8 - x) = __________________

c. (6 + 2x)(6 - 2x) = __________________

d. (3n + 2y)(3n - 2y) = __________________

e. (4x + y)(4x - y) = __________________

2. Efectuar:

a. (x + 10)(x + 2) = __________________

b. (x + 12)(x - 6) = __________________

c. (x + 14)(x + 7) = __________________

d. (x - 8)(x + 2) = __________________

e. (x + 12)(x - 6) = __________________

3. Efectuar:

E = (x+6)(x-6) + (x+7)(7-x) + (x+8)(8-x) + (x+9)(x-9)

4. Efectuar:S = (2x + 3)(2x - 7) - (2x - 5)(2x + 1) + 7

5. Calcular el valor de la manera más rápida posible sincalculadora.

W = (1999)(2001) - (1998)(2002)

6. Si: m + n = 12m2 - n2 = 120

Hallar: S = m.n

7. Si: x2 + 3x = 5

Calcular: R = (x + 2)(x + 1)

Nivel II

8. Simplificar:M = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256

9. Efectuar:S = (y2 - 2)(y2 + 2)(y4 + 4)(y8 + 16)

10.Reducir:P = (m - 2n)(m2 + 4n2)(m + 2n)(m4 + 16n4)

11.Si: a + a1

= 25

Hallar:

S = a2 + 2a

1

P = a4 + 4a

1

Luego, indicar: (S.P)

12.Si: x + x1

= 3

Hallar:

S =

+

+

44

22

x

1x

x

1x

13.Si: x - x1

= 3

Hallar:

S =

+

+

44

22

x

1x

x

1x

Ca p ít u l oC

OL

EG

IO

TRILCE

16R E P A S O

Nivel I

1. Calcular:

=. .

.

2 3 4 3

3 2 2(x x x )

R(x x )

2. Calcular:

+

+

=

644474448

144424443

. . .. . .

"10" veces

2 2 2 2 n 2

(20 n) veces

x x x .......x xI

x x x .........x x

3. Reducir:

= − + − − − − +

0 00 0 0 02 5

C 8 (320) ( 3) (2 ) 19 4

4. Hallar:

= − + − − − +

00 0 31

H ( 2) ( 5) 25

5. Multiplicar:(x2 + xy + y2) por (x2 – xy + y2)

a) x4 + x3y3 + xy2 + y2

b) x4 – x2y2 + y4

c) x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4

d) x4 + x2y2 + y4

e) x4 + x3y – x2y3 + xy2 – y4

6. Multiplicar:(x2 – x + 2) por ( x2 – x – 2)

a) x4 – 2x3 + x2 – 4 b) x4 + 2x3 + x2 + 4c) x4 – x2 + 4 d) x4 + x2 + 4e) x4 – x3 + x2 – 4

7. Multiplicar:(x3 – y + x2) por (x3 + x2 + y)

a) x9 – x3y + xy4 + x4 – y2

b) x6 + 2x5 + x4 – y2

c) x6 + x4 + y2

d) x6 – x5 + x4 – y2

e) x9 + x5 +x4y + x3y2 + x2 – y2

8. Multiplicar:

(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) por (x3 – x2 + x – 1)

9. Dado el polinomio:

I(x) = 3mx − 9; Si: I(−2) = 9

Hallar el valor de ‘‘m’’.

10.Si: P(x;y) = x2 + y2 − xy + x − y + 3

Calcular: L = [P(0;0) − 2P(1;1)] - [P(−1;2) − P(3;2)]

Nivel II

11.Si: P(x;y) = 2xy2 − x2y + x − y

Q(x) = 2x3 − 2x2 + 3x + 2

Calcular el valor de: E = Q[P(−2;−2)] + P[Q(1);Q(0)]

12.Si: P(x) = 5x + 7 y Q(x) = 2x − 5

Calcular: N = P(3) + Q(2) + P[Q(3)]

13.Representa gráficamente los pares ordenados:

a) (-2;-2) b) (1;-4) c) (5;6)d) (-3;5) e) (0;8) f) (3;2)g) (-5;2) h) (-4;3) i) (-4,0)

14.Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.

a) (1;7),(2;9) ; y = 2x + 5b) (-1;4),(0;6) ; y = -2x + 3

15.¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? Siuna igualdad no es lineal, di porqué.

a) xy = 9b) 2r + 7 = 45c) 4x3 = 7yd) 8x - 17y = 5e) 4x - 3f) x5 - 1 = y

R e p a s o


16. P(x) = 4 - x

17. P(x) = x - 6

18. 2x - 6y = -2

19. 3y = 2x - 6

20. y = -2x - 10

Nivel III

21.Encuentre el vértice de cada parábola que aparece enla figura: (cada cuadrado tiene una unidad de lado)


a) P(x) = x2 +3b) Q(x) = -x2 + 3c) R(x) = 2x2 + 1d) S(x) = -3x2 + 2



a) P(x) = x2 - 3 b) Q(x) = -x2 - 3c) R(x) = 2x2 - 1 d) S(x) = -3x2 - 2


24.Reducir:

S = 22

2a

-32a

-32a

222a

2

+

++

+

a) 2 b) 4 c) 9d) 20 e) 25

25.Simplificar:

R = 22

7-3a

7-3a

3a

52-3a

5

+

+

+

a) 121 b) 49 c) 25d) 144 e) 169

26.Reducir:

S = (x + y)2 - 2(x + y)(x - 2y) + (x - 2y)2

a) 6y2 b) 3y2 c) 9y2

d) 16y2 e) 18y2

27.Simplificar:

R = (x + 8)2 + (x - 8)2 + (x + 6)2 + (x - 6)2 - 4x2

a) 64 b) 128 c) 200d) 400 e) 500

28.Efectuar:

W = 32 16842 1)12)(12)(12)(12(3 +++++

29.Simplificar:

S = (x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) + y32

30.Reducir:

M = (m + 2n)2 - (m + 2n)(m - 2n) - 2n(m + 4n)

ÁLGEBRA

Nivel I

1. Calcular:

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅

3 3 2 4 3 6

4 5 22 4 16 (3 ) (2 )

A8 8 81

2. Si: aa = 3

Calcular: =3 a

2 a(a )

T(a )

3. Hallar: 1xxxM

+=

Si: xx = 3

4. Calcular:

= ⋅ ⋅ −

364 30 5

R 5 5 29 425

5. Si: nn = 2

Hallar: 1nn3nV

+=

6. Efectuar:

a) x5 . x13 . x26 =b) 4x5 . 8x6 =c) (2x4) (−4x5) (−7x3) =

7. Efectuar:

a) (5x7) (8x4y5) =

b) (−6x4y3) (−8x3y4) =

c) (2x3y2) (+3x4y3) (+4x5z4) =

8. Multiplicar:(9x5y7) (7x6x8) (−12y7z4)

9. Multiplicar:

(8xm-4yn+3zp-3) (32x9-my4-nz7-p)

10.Si: P(x) = 3x - 6 y Q(x) = 2x + 5

Calcular: N = P(4) + P(3) + P[Q(0)]

Nivel II

11.Sea: E(2x − 3) = 4x + 5; calcular:

a) E(5) d) E(1) g) E(2a)b) E(3) e) E(−3) h) E(b)c) E(−7) f) E(7)

12.Si: L(x + 3) = x2 + x − 1

Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4)

13.Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 1

Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0)

14.Sea: T(4x − 7) = 5x − 9

Calcular: A = T(9) + T(−3)

15.Determina si los pares ordenados que se indicanverifican la igualdad.

a) (1;2); (2;1) ; y = 3x - 5b) (2;-6); (-1;2); y = -4x + 2

16.¿Cuáles de las siguientes igualdades son lineales? si unaigualdad no es lineal, di por qué.

a) xy = 7b) x - y = 3c) r + s = 6d) 2r - 5s = 7e) 9c - d3 = 4zf) x + y = 2z


17. P(x) = 6 - x

18. P(x) = x - 3

19. P(x) = x - 8

20.Determina cuáles de los polinomios siguientes soncuadráticos y cuáles no.

a) y = x b) y = x2 + 5 c) y = x2 - 3x + x3

d) -y = 2x2-x e) y2 = x2 + 5

Nivel III

21.Indica si cada uno de los siguientes polinomios escompleto o incompleto, explica por qué.

a) P(x) = 3x2 b) Q(x) = -x2 +4x+ 3c) R(x) = 2x2 + x d) S(x) = -2x2 - 4

Tarea domiciliaria

R e p a s o

22.En cada uno de los siguientes polinomios indica sucoeficiente principal, su coeficiente del término lineal ysu término independiente:

a) P(x) = x2 - 3x - 2b) Q(x) = -x2 - 7c) R(x) = 2x2 - x + 8d) S(x) = -3x2 - 2x + 4


a) P(x) = 2x2

b) Q(x) = -2x2

c) R(x) = 3x2

d) S(x) = -3x2

24.Efectuar:

a. (2x + 7)2 =

b. (5x2 + 3x5)2 =

c. (3x2y + 2xy2)2 =

d. (2x - 9)2 =

e. (4x3 - 3y4)2 =

25.Efectuar:

L = (4x + 1)2 + (4x - 3)2 - 16x(2x - 1)

26.Simplificar:

R = (x + 3)2 + (x - 3)2 + 2(4 - x2)

27.Reducir:

M = (2x + 3)2 - (2x - 3)2 + 4(5 - 6x)

28.Efectuar:

a. (14 + x)(14 - x) =

b. (8 + x)(8 - x) =

c. (6 + 2x)(6 - 2x) =

d. (3n + 2y)(3n - 2y) =

e. (4x + y)(4x - y) =

29.Efectuar:

a. (x + 10)(x + 2) =

b. (x + 12)(x - 6) =

c. (x + 14)(x + 7) =

d. (x - 8)(x + 2) =

e. (x + 12)(x - 6) =

30.Efectuar:

E = (x+6)(x - 6) + (x+7)(7 - x) + (x+8)(8 - x) + (x+9)(x - 9)

ÁLGEBRA

A. CAPACIDAD: Razonamiento y Demostración (6 puntos)

1. Identificar la relación existente entre los enunciados de la columna de la izquierda con los de la derecha. Piense surespuesta. No se admitirá borrones ni tachas, ubicando los números en los casilleros correspondientes. (3 puntos)

COLUMNA IZQUIERDA COLUMNA DERECHA

1 30 + 20 + 22064

2 Si: P(x) = 2x + 3, luego P(0) es: 20x2

3 −

4

2

2

2x2 - 9x + 20

4 (-5x) por (-4x) 4

5 (x - 5)(x - 4) 2

6 Si: P(x) = 3 - x2, luego P(-1) es: 3

2. Analice la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados, respondiendo verdadero con una "V" o falso con una "F"(3 puntos)

a. [-(22)3 + (23)2]0 = 1 ............................................................................. ( )

b. (22 . 23) ÷ (24 . 2) = 1 .......................................................................... ( )

c. (a + b)2 = a2 + b2 ................................................................................ ( )

d. (6 - x)(x + 6) = 36 - x2 .......................................................................... ( )

e. Si: a = -2; b = 3; c = -1; entonces: a2.b.c = 6 ....................................... ( )

f. Si: P(x) = 3x + 2; luego el valor de: P(1) + 2 = 7 ...................................... ( )

B. CAPACIDAD: Comunicación Matemática (4,5 puntos)

3. Interprete el siguiente plano cartesiano y luego responda las preguntas que se indican(2,5 puntos)

a. ¿Cómo se llaman respectivamente a los ejes “x” e “y”?

Eje “x”: ____________ Eje “y”: ____________

b. ¿Cuál es la coordenada del punto “O” y cómo se llama?

_________________________________________

c. ¿A qué cuadrante pertenecen los puntos “A” y “D”?

Punto "A": ____________ Punto "D": ____________

d. Señale las coordenadas de los puntos:

A = ( ; ) C = ( ; )B = ( ; ) D = ( ; )

y

x

A

B

O

CD

50 minutos

Examen bimestral de ÁlgebraAño 2006

R e p a s o

4. Identifique los productos notables que se colocan a continuación, utilizando los enunciados del recuadro. (1 punto)

a. (x + y)2 = _______________________

b. __________________ = x2 - y2

5. Complete los recuadros según corresponda, aplicando los productos notables. (1 punto)

a. (2x + )2 = + + 25

b. (x + ) ( - 5) = x2 + x - 40

C. CAPACIDAD: Resolución de problemas (9,5 puntos)

6. Resolver según corresponda de manera clara, ordenada y limpia.

a. Calcular: =3 3

4

2 .4 .16A

8b. Multiplicar (x + 2) por (x2 - 2x + 4)

Solución: Solución:

(2 ptos.) (1,5 ptos.)

c. Simplificar: H = (x + 5)(x - 3) - (x + 7)(x - 5) + 4 d. Reducir: = + − − + −E (x 3)(x 3) (x 5)(x 5)Solución: Solución:

(1,5 ptos.) (2 ptos.)

7. Graficar: P(x) = 3 - 2x (Recordar: P(x) = y)

Solución:

x y punto Cálculos

0 → si: x = 0; y = ________________

1 → si: x = 1; y = ________________

-1 → si: x = -1; y = ________________

2 → si: x = 2; y = ________________

-2 → si: x = -2; y = ________________

3 → si: x = 3; y = ________________

x + 2xy + y2 2

x + y2 2 (x + y)(x - y)(x - y)2

y

xO

(2,5 ptos.)

Algebra II Bimestre-productos Notables

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