Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Introducción.

3.2 Método de matriz inversa.

3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss-Jordan.

3.4 Regla de Cramer.

3.5 Sistemas lineales homogéneos.

3.6 Método iterativo de Jacobi.

3.7 Método iterativo de Gauss-Seidel.

3.2 Método de la matriz inversa

Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:

A-1 = 1 a22 -a12 a11 -a12 det A -a21 a11 -a21 a22

Ejemplos:

A = 12 4 (12)(1) – (3)(4) = 12-12 =0 3 1 No tiene Inversa

1 1 1A = 4 1 4 2 2 5

Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz identidad.

1 1 1 1 0 0 (-4) (-2) 4 -4 1 -4 4-4 0 -4 1 0 2 -2 2 -2 5 -2 0 -2 0 1

1 1 1 1 0 0 0 -3 /-3 0/-3 -4/-3 1/-3 0/-3 / (-3) 0 0 3 -2 0 1

1 1-1 1 1-4/3 0+1/3 0 0 1 0 4/3 -1/3 0 (-1) 0 0 3 -2 0 1 / 3

1 0 1 -1/3+2/3 1/3 0-1/3 0 1 0 4/3 -1/3 0 0 0 1 -2/3 0 1/3 (-1)

1 0 1 1/3 1/3 -1/3 0 1 0 4/3 -1/3 0 0 0 1 -4/3 -1/3 1/3

A-1 = 1/3 1/3 -1/3 X = b / A 9 4/3 -1/3 0 b = 27 4/3 -1/3 1/3 X = A-1 b 30

Cambia el signo y la posición

1/3 1/3 -1/3 9 9/3 + 27/3 - 30/30 4/3 -1/3 0 27 = 36/3 - 27/3 + 0 4/3 -1/3 1/3 30 - 18/3 + 0 + 30/3

X1 2X2 = 3X3 4

Comprobación:

Sustitución de los valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.

Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9 1(2) + 1(3) + 1(4) = 9 2 + 3 + 4 = 9 9 = 9

Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27 4(2) +1(3) + 4(4) = 27 8 + 3 + 16 =27 27 = 27Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30 2(2) +2(3 ) +5(4) = 30 4 + 6 + 20 = 30 30 = 30

3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado del término común, se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que permite encontrar el valor de las demás.

X = A-1 b

Ejemplo:2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 4X1 + 5X2 + 6X3 = 24 3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 /24 5 6 243 1 -2 4

1 2 3 9 (-4) (-3)4-4 5-8 6-12 24-363-3 1-6 -2-9 4-27

1 2 3 90 -3 -6 -12 /(-3)0 -5 -11 -23

1 2 3 90 1 2 4 (5)0 -5 +5 -11+10 -23+20

1 2 3 90 1 2 4 0 0 -1 -3 / (-1)

X1 X2 X3 R

1 2 3 9 Ecuación 2 0 1 2 4 Ecuación 20 0 1 3 Ecuación 2

Matriz escalonada

Se sustituye el valor de X3 = -3 en las ecuaciones de la matriz obtenida.Sustitución de X3 = -3 en la ecuación 2.

X2 + 2 X3 = 4X2 + 2(3) = 4X2 + 6 = 4X2 = 4-6X2- = -2

X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9X1 + 2 (-2) + 3 (3) = 9X1 - 4 + 9 = 9X1 = 9-9+4X1 = 4

Comprobación:

2X1 + 4X2 + 6X3 = 182(4) + 4(-2) + 6(3) = 188 – 8 + 18 = 1818 = 18

Método de Gauss JordanConsiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente, van a corresponder al valor de las incógnitas.

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18 4X1 + 5X2 + 6X3 = 24 3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 /24 5 6 243 1 -2 4

1 2 3 9 (-4) (-3)4-4 5-8 6-12 24-363-3 1-6 -2-9 4-27

1 2 3 90 -3 -6 -12 /(-3)0 -5 -11 -23

1 2-2 3-4 9-80 1 2 4 (-2) (5)0 -5 +5 -11+10 -23+20

1 0 -1 10 1 2 40 0 -1 -3 / (-1)

1 0 -1+1 1+30 1 2-2 4-60 0 1 3 (-2) (1)

1 0 0 4 0 1 0 -20 0 1 3

Sustitución de valores:

2X1 + 4X2 + 6X3 = 182(4) + 4(-2) + 6(3) = 188 – 8 + 18 = 1818 = 18

3.4 Regla de Cramer

3X1 + 5X2 + 6 X3 =24

3X1 + X2 - 2X3 =42X1 + 4X2 + 6X3 =18

2 4 6 183 5 6 243 1 -2 4

Solución por el método de menores y cofactores:

Obtención del valor de D Se realiza con la matriz de los coeficientes.

2 4 6 2 4 D = 3 5 6 3 5 3 1 -2 3 1

D =-20 + 72 +18 – 90 – 12 + 24 = - 8

Obtención del valor de D1

Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente.

18 4 6 18 4 D1 = 24 5 6 24 5 4 1 -2 4 1

D1 = - 180 + 48 + 144 – 120 – 108 + 192 = 24

Obtención del valor de D2

Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del termino independiente.

2 18 6 18 4 D2 = 3 24 6 24 5 3 4 -2 4 1

D2 = - 96 + 324 + 72 – 4 32 – 48 + 108 = - 72

Matriz de los coeficientes

Termino independiente

Obtención del valor de D3

Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del termino independiente.

2 4 18 2 4 D3 = 3 5 24 3 5 3 1 4 3 1

D3 =40 + 288 + 54 – 270 – 48 + 48 = 14

Sustitución de los valores

X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D

X1= -24 /(-8)= -3 X2= -72 / (-8) = 9 X3= 16 / (-8) = -2

X1 = -24 / -8 = -3 2X1 + 4X2 + 6X3 =18 X2 = -72 / -8 = 9 2(-3) + 4(9) + 6(-2) = 18

X3 = 16 / -8 = -2 -6 +36 –12 = 18

18 = 18

3.5 Sistemas Lineales Homogéneo

Son aquellas en las que los valores del termino independiente son igual con cero.

a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn = 0a21 X1 + a22 X2 + … + a2n X21 = 0 . . . .

. . . . am1 X1 + am2 X2 + … + amn Xn = 0

Hay dos tipos de solución:

La trivial = X1 = X2 = X3 = 0 No trivial = De soluciones

Ejemplo:

Solución por el método de Gauss Jordán.

4X1 - 1X2 = 0 4 -1 0 7X1 + 3X2 = 0 7 3 0 -8X1 + 6X2 = 0 -8 6 0

4 -1 0 /4 7 3 0 -8 6 0

1 -1/4 0 (-7) (8) 7-7 3+7/4 0 -8+8 6-2 0

1 -1/4 0 0 19/4 0 / (19/4)0 4 0

1 -1/4+1/4 0 0 1 0 (+1/4) (-4)0 4-4 0

1 0 0 X1 = X2 = 00 1 0 0 0 0 Solución trivial

3.6 Método Iterativo de JacobiEste método consiste en despejar las variables X1, X2 , X3 … X4 por cada renglón según el numero de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del

despeje para encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11 2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

1 Iteración

2 Iteración

3 Iteración

Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

10X1 + 1X2 = 11 10(1)+1 (1) = 11 11 = 113.7 Método de Iterativo de Gauss – Seidel.Es muy similar al anterior la diferencia es que los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones).

X1 = 11 - 1 X2

10

X2 = 12 - 2 X2

10

X 1 = X2 = 0

X1 = 11 - 1 (0) = 11/10 10

X2 = 12 - 2 (0) = 12/10 10

X1 = 11 - 1 (12/2) = .98 10

X2 = 12 - 2 (11/10) = .98 10

X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002 10

X2 = 12 - 2 (.98) = 1.004 10

2X1 + 10X2 = 122(1) +10(1) = 12 12 = 12

El valor de las incógnitas

Convergente: Se a próxima al valor real.

Divergente: Se aleja del valor real.

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11 2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

1 Iteración

2 Iteración

3 Iteración

Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

10X1 + 1X2 = 11 10(1)+1 (1) = 11 11 = 11

Error aproximado

a = 1.00004-1.002 * 100 = -1.959 = .1959 % 1.00004

X1 = 11 - 1 X2

10

X2 = 12 - 2 X2

10

X2 = 0

X1 = 11 - 1 (0) = 1.1 10

X2 = 12 - 2 (1.1) = .98 10

X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002 10

X2 = 12 - 2 (1.002) = .9996 10

X1 = 11 - 1 (.9996) = 1.00002 10

X2 = 12 - 2 (1.00002) = .999992 10

2X1 + 10X2 = 122(1) +10(1) = 12 12 = 12