TEOREMA 20Sea A una matriz cuadrada nxn: Sia) Si B es una matriz cuadrada del mismo tamaño que satisface AD=I, entonces B=A−1.b) Si B es una matriz cuadrada del mismo tamaño que satisface BA=I, entonces B=A−1.DEMOSTRACIÓNDemostraremos que A es invertible. Así por el teorema 17 si A es invertible entonces por el inciso (bA x⃗=0⃗) solo tiene la solución trivial. Sea X⃗ 0 cualquier solución de A x⃗=0⃗, luego, A X⃗0=0⃗ , multiplicando por la izquierda por B se tiene B A X⃗0=B 0⃗o InX⃗ 0=0⃗ o X⃗ 0=0⃗ luego A es invertible.Como A es invertible, entonces existe A−1, así que multiplicando por la derecha la expresión BA=I por A−1 se tiene:BAA−1=IA o BI= A−1 o B=A−1

TEOREMA 21Si A es una matriz cuadrada nxn entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.a) A es invertible.b) A x⃗=0⃗ solo tiene la solución trivial.c) La forma escalonada reducida de A es Ind) A se puede expresar como un producto de matrices elementales.e) A x⃗=b⃗ tiene exactamente una solución para toda la matriz b⃗nx1.f) A x⃗=b es consistente para toda matrizb⃗nx1.

a) e) Queda demostrado en el teorema 19.e) f) f) a)Si A x⃗=b⃗ es consistente para toda matriz b⃗ es consistente para toda matriz b⃗nx1, entonces en particular los siguientes sistemas de ecuaciones lineales son consistentes.

A x⃗=[100⋮0] , A x⃗=[010⋮

0] ,…, A x⃗=[000⋮

1]

Así por hipótesis deben existir x⃗1 , x⃗2, … , x⃗n soluciones de los sistemas de ecuaciones anteriores.

Construyamos una matriz C cuyas columnas sean estas soluciones, es decirC=[ x⃗1|x⃗2|…∨ x⃗n ] , multiplicando a la matriz C por la izquierda por A se tieneAC= A[ x⃗1|x⃗2|…∨ x⃗n ] = [ x⃗1|x⃗2|…∨ x⃗n ] = [100⋮

0

010⋮0

001⋮0

100⋮0

………⋱…

000⋮1]

Como AC=I, por el teorema 20 se tiene que C= A−1, luego A es invertible.TEOREMA 22Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño si AB es invertible entones A y B deben ser invertibles.

A=[1 23 4 ]B=[3 3

2 2]AB= [1 2

3 4] [3 32 2]=[ 7 7

17 17]1[3 3]+ 2[2 2]= [3 3]+[4 4]3[3 3]+4[2 2]= [4 4]+[8 8]Del ejemplo anterior vemos que aunque A es invertible por el producto de AB no es invertible porque B no es invertible lo cual comprueba al teorema 22.Un problema fundamental. Sea A una matriz rectangular mxn, encontrar todas las matrices b⃗ nx1 tales que el sistema de ecuaciones lineales sea consistente.Observación: Si A es cuadrada e invertible, entonces el teorema 21 resuelve completamente el problema, pero si es cuadrada pero no es invertible o es rectangular, entonces el problema persiste. Ejemplo Encontrar las matrices columna b⃗ que hacen que el sistema A x⃗=b⃗ sea consistente, donde A x⃗=b⃗ es el siguiente sistema de ecuaciones.x1−3 x2+2 x3=b13 x1−7 x2+5 x3=b27 x1−14 x2+13x3=b3

Aplicando eliminación de Gauss-Jordan

[137 −3−7−14

2513|b1b2b3 ][100−322 2

−1−1| b1

b2−3b1b3−7b1] [100−320 2

−10 | b1

b2−3b1b3−b2−4 b1 ]

Así el sistema es consistente si y solo si b3−b2−4b1. Luego el sistema de ecuaciones será consistente si y solo si la matriz columna b⃗3x 1 es de la forma b⃗=[ b1

b2b2+4b1]Ejemplo

Sea [132−11

−1

201 ], encontrar todas las matrices columna b⃗3x 1 tales que A x⃗=b⃗ sea

consistente.Constituyendo l matriz aumentada del sistema tenemos:[A∨b⃗ ] = [132−11−1201|b1b2b3 ] [100−341 2

−6−3| b1

b2−3b1b3−2b1 ] [100−114 2

−3−6| b1

b2−2b1b3−3b1]

[100−310 −1−36 | b1+b3−2b1

b3−2b1b2−3b1−4 b3+8b1 ] [100010−1−3

6 | b3−b1b3−2b1

b2+5b1−4b3] [100010−1−31 | b3−b1

b3−2b1b26

+ 56b1−

23b3]

[100010001| b3−b1+ b26 + 56b1−

23b3

12b2+b3−2b1+

52b1−2b3

b26

+56b1−

23b3 ]

Como vemos que no se exige ninguna condición para la matriz [b1b2b3], entonces el sistema es constante ∀ b⃗3 x 4 .

MATRICES DIAGONAL TRIANGULAR Y SIMÉTRICA Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos iguales a cero.Ejemplo[1 00 −1], [100

010

001] , [−3000

0000

0050

0003]

La multiplicación por matrices diagonales es relativamente fácil, Ejemplo[a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a14a24a34

] [d1000

0d200

00d30

000d4

] = [d1a11d1a21d1a31

d2a12d2a22d2a32

d3a13d3a23d3a33

d4a14d4a24d4a34

] y [d100

0d20

00d3] [

a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a14a24a34

] =Una matriz diagonal es múltiple si y solo si todos sus elementos de la diagonal principal son diferentes de cero.Así si D=[d10⋮

0

0d2⋮0

00⋱0

00⋮dn

] luego D−1=[1/d10⋮0

01/d2⋮0

00⋱0

00⋮1/dn

] EjercicioSi D= [300

0−10

002] , calcular D3 , D−3

D2= [3000

−10

002] [300

0−10

002]= [900

010

004 ]

D2∗D=¿ [900010

004 ][300

0−10

002]=[2700

0−10

008]

¿

Del ejemplo anterior vimos que si D es una matriz diagonal nxn y k es entero positivo, entonces :

dk=[d1k

0⋮0

0d2k

⋮0

00⋱0

00⋮dnk ] d−k=[ 1d1

k

0⋮0

01d2

k

⋮0

00⋱0

00⋮1dn

k ] Y si D es invertible entonces MATRICES TRIANGULARES Una matriz triangular inferior, se llama así, si todos sus elementos arriba de la diagonal principal son cero.Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior i todos sus elementos debajo de la diagonal principal son cero.

Ejemplo[a11000

a12a2200

a13a23a330

a14a24a34a44

] y [a11a21a31a41

0a22a32a42

00a33a43

000a44

]Observación: Las matrices diagonales son tanto triangulares superiores como triangulares inferiores. Las matrices escalonadas son matrices triangulares superiores.Características de las matrices triangulares

Sea A=[aij ] es una matriz cuadrada si A es triangular superior, entonces el i-ésimo

renglón comienza con al menos i-1 ceros.

Sea A=[aij ] una matriz cuadrada. Si A es triangular inferior, entonces la matriz j-esima

columna de A comienza con al menos j-1 ceros.

Si A=[aij ] es una matriz triangular superior entonces [a ij]=0 pera i>j.

TEOREMA 23a) Si A es una matriz triangular superior entonces AT es triangular inferior, y si A es una matriz triangular inferior entonces AT es triangular superior.b) El producto de matrices triangulares superiores es triangular y el producto de matrices triangulares inferiores es triangular inferior.c) Una matriz triangular es invertible si y solo si todos sus elementos de la diagonal principal son diferentes de cero.

d) El producto de matrices triangulares superiores invertibles es superior y el producto de matrices triangulares invertibles inferiores es inferior.e) La inversa de una matriz triangular superior invertible es triangular superior y la inversa de una matriz triangular inferior invertible es triangular inferior.EjemploSean A= [100

310

2−12 ] y B= [200

020

1−21 ] luego AD= [100

010

2−12 ] [200

020

−1−21 ]= [200

620

−5−32 ] Si A=

[100−310

224 ] Encontrar A−1

Sea A= [314007

00

−2] Calcular A−1 (Si existe)MATRICES SIMÉTRICASUna matriz cuadrada A se dice que es simétrica si A= AT .

Ejemplos[−3 11 2] ,[100

010

001] ,[

5−13

−129

397] ,[ 11−2

34

−2795

3460

450

−1]Así una matriz A=[aij ] es simétrica si, a ij= a jiTEOREMA 24Sean A y B matrices simétricas y K 𝝐 ℝ, entonces:

a) AT es simétrica.b) A+ B y A – B son simétricas.c) ¿ es simétrica.DEMOSTRACIÓNa) Como (A¿¿T )T ¿ = A = AT ∴ AT es simetrica.b) Haciendo ¿= AT+BT=A+B∴ A+Bes simétrica de igual forma ¿= AT−BT=A−B∴ A−B essimétrica c) ¿= KAT=KA∴KA es simétrica

EjemploSea A=[281

852

120] y B= [013

152

321]

Luego A+B=[2949104

321] ∴ A+B es simétrica.

También A-B=[ 27−2700

−20

−1] ∴ A-B es simétrica.Tomando K=-2 KA=[ −4−16

−2

−16−10−4

−2−40 ] ∴ KA es simétrica.

TEOREMA 25Si A es una matriz simétrica e invertible, entonces A−1 es simétrica.Ejemplo Sea A=[140

423

031] luego [ A∨I ] = [140 423031|100010001 ] [100 4

−143

031|1

−40

010

001 ]

[100 4114 0133 | 10−40010130 ] [100 0

1−14

14133| 10−4 001−4313

0] [100 4

−143

031|1

−40

010

001 ]

TEOREMA 26TEOREMA 27TEOREMA 28TEOREMA 29TEOREMA 30

-4 -16 0 -4 0 0 4 2 3 0 1 0 0 14 3 -4 1 0