ALGEBRA LINEAL - PROBLEMAS RESUELTOS.pdf

Algebra Lineal

Problemas resueltos

Ma! Isabel Garc*+a Planas

.

Primera edición: septiembre de 1993Segunda edición: septiembre de 1994

Diseño de la cubieta: Antoni Gutiérrez

M. Isabel GarcíaPlanas, 1993

Edicions UPC, 1993

Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.ese-mail: [email protected]

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A !JL" S#MaI

$

Primera edición: septiembre de 1993

Presentaci)on

Mis largos a(nos de experiencia docente en la ETSEIB no s5olo impartiendo clases de5Algebra Lineal a los estudiantes de primer curso; sino preparando las colecciones de

ejercicios que los alumnos resuelven en sus clases de problemas; me han permitido reunir

una colecci5on de 5estos; en los que el alumno encuentra especial di@cultadA Despu5es de

resolverlos con todo detalle me ha surgido la idea de publicarlos para que puedan ser

de utilidad; ya no s5olo a los alumnos de la ETSEIB; sin5o a alumnos de cualquier otra

escuela polit5ecnica e incluso a alumnos de facultades de cienciasA

Algunos de los enunciados de los problemas est5an inspirados en textos te5oricos de5Algebra Lineal y el orden y reparto en cap5Etulos ha sido; obviamente; fuente de inF

spiraci5on el programa de la asignatura de 5Algebra Lineal de la escuela donde ejerzo mi

labor docenteA

H


INDICE

Cap( ) Polinomios !!

Cap( 1 Espacios vectoriales "#

Cap( 7 Sistemas de ecuaciones( Matrices #$

Cap( < Aplicaciones lineales %!

Cap( > Determinantes &#

Cap( ? Diagonalizaci on de endomorBsmos '%

Cap( C Forma reducida de Jordan $$

Cap( F An alisis matricial !!&

Apendice I Grupos !#!

Apendice II Anillo de clases de resto !(!

$


Polinomios y Fracciones racionales

Cap#$tulo ) Polinomios y fracciones racionales

! Hallar el m'aximo com'un divisor1 por el algoritmo de Euclides1 de los polinomios

P 6x7 8 9 :;x! < 9=x" >??x# @Ax$ < ?9x< >

P$6x7 8 ?@9x! < @B>x" 9>:x# ? x$ < ;x< >

Soluci(on*

Recordando el teorema de EuclidesD

MCD6P 6x7% P$6x77 8MCD6P$6x7% R6x77

Siendo R6x7 el resto de dividir P 6x7 entre P$6x7

Sabemos que

MCD6P 6x7% P$6x77 8 MCD6'P 6x7% P$6x77 !' unidad en RHxI

y al ser 9 :; 8 >(@$( y ?@9 8 >(@# 1 multiplicaremos P 6x7 por @ para evitar

fracciones al hacer la divisi'on de P 6x7 por P$6x7 M

@(P 6x7 8 P$6x7( < 6 @B>x" ??;x# < BBx$ < >Bx ;7

R6x7 8 @B>x" ??;x# < BBx$ < >Bx ;

que simpliNcamos por > quedando

R6x7 8 A;x" < B>x# >@x$ 9x< >

P$6x7 8 R6x7 " 6@x< 7 < = luego MCD6P$6x7% R6x77 8 R6x7

por lo queD

MCD6P 6x7% P$6x77 8 R6x7 8 A;x" < B>x# >@x$ 9x< >

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

! Algebra Lineal+ Problemas resueltos

! Hallar las ra'(ces del polinomio P 1x2 3 x x! 4x" 5 6x ! sabiendo que

una de ellas es triple;

Soluci(on*

La descomposici'on en factores primos del polinomio ser'a>

P 1x2 3 1x "2!1x #2

Si " es una ra'(z triple de P 1x2$ es ra'(z doble de P 1x2 y simple de PB1x2 ;

Por lo tanto el MCD1P 1x2$ PB1x22 contiene el factor 1x "2 ; Basta pues hallar

MCD1P 1x2$ PB1x22 y entre sus factoresF por tanteo en P 1x2 F puede extraerse el valor

de " ;

Ahora bienF en este caso concretoF puesto que PB1x2 es de grado dosF resulta m'as

sencillo hallar las ra'(ces de PB y de las dos ver cu'al lo es tambi'en de P 1x2

P 1x2 3 Kx! 4x" Lx5 6

PB1x2 3 !x" Lx L

De PB1x2 3 N tenemos x 3

!$ x 3

P 1 #

"2 !3 NF luego #

"no es ra'(z de P 1x2 F sin embargo P 1 2 3 N luego " 3 es la

ra'(z buscada;

Puesto que dado un polinomio p1x2 3 anxn 5 * * *5 a$ con ra'(ces "#$ * * * $ "n contadas

con su multiplicidadF es an!# 3 1"# 5 * * *5 "n2 F se tiene # 3 !;

+! Probar que P 1x2 3 nxn%" 1n5!2xn%#51n5!2x n es divisible por 1x 2! ;

1Se supone P 1x2 " ROxP y n " N2;

Soluci(on*

Que P 1x2 sea divisible por 1x 2! equivale a que es por lo menos ra'(z triple

de P 1x2 F ra'(z doble por lo menosF de P 1x2 y ra'(z simple por lo menosF de PB1x2 ;


Polinomios y Fracciones racionales !

Veamos

P ( ) * n (n+ ,) + (n+ ,) n * - luego es ra23z deP (x)

P (x) * n(n + ,)xn ! (n+ ,)(n+ )xn + (n+ ,)

P ( ) * n(n + ,) (n+ ,)(n+ ) + (n+ ,) * - luego es ra23z deP (x)

P6(x) * n(n + ,)(n+ )xn (n + ,)(n+ )nxn!!

P6( ) * n(n + ,)(n+ ) (n + ,)(n+ )n * - luego es ra23z de P6(x)

por lo tantoP (x) es divisible por (x )" como pretend23amos probar#

Observamos adem2as que P (x) no es divisible por (x )# pues

P (x) * n$(n+ ,)(n+ )xn!! (n + ,)(n+ )(n )nxn!$

P ( ) * n$(n+ ,)(n+ ) (n+ ,)(n+ )(n )n * n(n+ )(n+ ,) !* -#

! Consideremos P (x) * x" Ax$ + Bx , a coeCcientes realesD

a) Determinar P (x) (polinomio derivado de P (x)) y dar su descomposici2on en

factores primosD

b) Probar que una de las ra23ces de P (x) lo es tambi2en de P (x) y deducir de esto

la descomposici2on en factores primos de P (x) D

c) Calcular MCD(P (x)' P (x)) y determinar dos polinomios P!(x) y P$(x) tales

queI

P!(x)P (x) + P$(x)P (x) * MCD(P (x)' P (x))#

Soluci(on*

a)

P (x) * !x$ Jx+ B * (x )(!x B)#

b) Las ra23ces de P (x) son y %

"L ahora bienI

P (B

!) !* - luego

B

!no es ra23z deP (x)#

P ( ) * - luego es ra23z doble deP (x)

P6( ) * , luego no es ra23z triple de P (x)



Luego

P 'x( ) 'x ( 'x a( ) x! '* + a(x + '*a+ (x a )

)x! !x + ,x *

de donde a ) */

c( de

P 'x( ) 'x ( 'x *(

P 'x( ) 'x ('1x ,(

se deduce que4 MCD'P 'x(& P 'x(( ) 'x ( /

Por el algoritmo de divisi=on 'P 'x( ) P 'x(Q'x( + R'x(( tenemos4

>P 'x( ) P 'x('1x !( + ' *x + *( ) P 'x('1x !( *'x ()

Despejando 'x (

>P 'x( P 'x('1x !( ) *'x (

>*P 'x(

*'1x !(P 'x( ) 'x (

Luego

P"'x( ) >*& P 'x( )

*

'1x !()

! Los restos de dividir un polinomio P 'x( ! RBxC por x & x * y x 1

son respectivamente 1& E& 1

Determinar el resto de dividir P 'x( por el producto

'x ('x *('x 1(

Soluci)on+

Por el algoritmo de divisi=on sabemos

P 'x( ) D'x(Q'x( +R'x( con gradoR'x( . gradoD'x(

P 'x( ) 'x (Q"'x( +R"'x( ) 'x (Q"'x( + 1

P 'x( ) 'x *(Q 'x( +R 'x( ) 'x *(Q 'x( + E

P 'x( ) 'x 1(Q!'x( +R!'x( ) 'x 1(Q!'x( + 1

P 'x( ) 'x ('x *('x 1(Q+ R'x( con R'x( ) ax + bx+ c



Sabemos que el valor num/erico de un polinomio P 4x5 en u es el resto de

dividir el polinomio por x u 7 luego y para i : $ ;$ <

P 4u5 : 4x u5Qi4u5 = Ri4u5 : 4u 54u ;54u <5Q4u5 = R4u5

de donde>P 4 5 : R 4 5 : < : R4 5 : a = b= c

P 4;5 : R!4;5 : ? : R4;5 : @a= ;b= c

P 4<5 : R"4<5 : < : R4<5 : Aa= <b= c

!"!#

queB resolviendo el sistema nos queda>

a : b : c : y R4x5 : x! = x= *

! Encontrar un polinomio P 4x5 ! RDxE de grado cincoB tal que P 4x5 = F sea

divisible por 4x= ;5" y P 4x5 F sea divisible por 4x ;5"

Soluci)on+

Puesto que P 4x5 = F es divisible por 4x = ;5" B tenemos que P 4x5 :

4P 4x5 = F5 es divisible por 4x=;5! 7 y puesto que P 4x5 F es divisible

por 4x ;5" B tenemos que P 4x5 : 4P 4x5 F5 es divisible por 4x ;5! 7

luego P 4x5 4polinomio de grado cuatro5 ser/a

P 4x5 : k4x= ;5!4x ;5! : k4x# Hx! = I5 con k ! R

de donde

P 4x5 : k4x$

!

H

<x" = Ix= c5$ con c ! R e imponiendo que

P 4 ;5 : FP 4;5 : F

$

Nota> Observamos que

P 4x5 = F : 4x= ;5"Q 4x5 :" P 4x5 : 4x= ;5"Q 4x5 F :" P 4 ;5 : FP 4x5 F : 4x ;5"Q!4x5 :" P 4x5 : 4x ;5"Q!4x5 = F :" P 4;5 : F



resulta

) * k+ ,-.

/!0

, ,- / c1

) * k+,-

.

!0

,/ ,- / c1

y resolviendo el sistema tenemos

c * )" k *9.

-:y P +x1 *

.

-:x

-.

!x! /

9.

:x

Otro m<etodo=

De=P +x1 / ) * +x/ -1!C"+x1 con gradoC"+x1 * -

P +x1 ) * +x/ -1!C#+x1 con gradoC#+x1 * -

tenemos=

-) * +x/ -1!C"+x1 +x -1!C#+x1

* +x/ -1!+

-)C"1 / +x -1!+

-)C#+x11

es decir@ hemos de buscar "

#$C"+x1 y "

#$C#+x1 que son los polinomios de grado m<Fnimo

que hacen que se cumpla la identidad de Bezout@ +observese que +x / -1! y +x -1!

son primos entre s<F1G

! Descomponer en fracciones simples sobre R@ la fracci<on

0x# / ,x ,I

+x 1#+x ,1+x# / 01

<Idem sobre CG

Soluci*on,

Planteamos

0x# / ,x ,I

+x 1#+x ,1+x# / 01*

a

x /

b

+x 1#/

c

x ,/

dx/ e

x# / 0



"Observamos que x . / es primo sobre R23 Operando en el segundo miembro8 queda

/x . 9x 9:

"x 2 "x 92"x . /2;

a"x 2"x 92"x . /2 . b"x 92"x . /2 . c"x 2 "x . /2 . "dx. e2"x 2 "x 92

"x 2 "x 92"x . /2

De la igualdad de estas dos fracciones se deduce la igualdad de los polinomios nu@

meradores de las fracciones3 De aquAB se deduce por lo tanto un mAetodo de cAalculo

de los coeCcientes desconocidosD identiCcar los coeCcientes de igual grado de ambos

polinomios8 obteniendo asAB un sistema de cinco ecuaciones con cinco incAognitas3 Otro

mAetodo mAas sencillo para obtener los coeCcientes esD si dos polinomios son iguales8 sus

funciones polinAomicas asociadas son tambiAen iguales8 por lo que8 dando valores a x en

ambos polinomios8 los valores numAericos han de ser iguales3 AsAB8

para x ; es / . 9 9: ; b" 92" . /2 ! b ; G

para x ; 9 es / " 9H . : 9: ; c"9 2 "9 . /2 ! c ; 9para x ; I es 9: ; Ha JI H 9e ! Ha 9e ; 99

para x ; es / 9 9: ; /Ia II JI J" d. e2 ! Ia. /d /e ; HJ

para x ; H es GJ . J 9: ; Ka /I H/ "Hd. e2 ! Ka. Hd. e ; HG

Resolviendo las tres Aultimas ecuaciones resulta a ; 98 d ; I8 e ; 8 luego la

descomposiciAon es9

x .

G

"x 2 .

9x 9

.

x . /

Pasemos ahora a efectuar la descomposiciAon en C3

x . / ya no es primo en C8 x . / ; "x Hi2"x. Hi2 8 por lo que la descomposiciAon

serAaD /x . 9x 9:

"x 2 "x 92"x . /2;

a

x .

b

"x 2 .

c

x 9.

m

x Hi.

n

x. Hi

Comparando esta descomposiciAon con la anterior8 podemos asegurar que a 8 b 8 c

serAan los mismos obtenidos para el caso real8 ym

x Hi.

n

x. Hi;

x . /por lo que

; m"x. Hi2 . n"x Hi2 8 que para x ; Hi se tiene ; /ni # n ; .!

"i

para x ; Hi se tiene ; /mi ! m ; !

"i 8 y la descomposiciAon es

9

x .

G

"x 2 .

9x 9

. !

"i

x Hi.

!

"i

x. Hi



! Descomponer en fracciones simples sobre C# R y Q la fracci1on racional siguiente

t 5 t! t"

t#6t" 7t 89 Q6t8"

Soluci,on.

Puesto que el grado del numerador es mayor que el del denominador= efectuamos la

divisi1on y tenemos

Q6t8 9 t 5 7 5?t! 5 7t# t"

t$ 7t! t#

t$ 7t! t# tiene la misma descomposici1on en factores primos tanto sobre R como

sobre C@

t$ 7t! t# 9 t#6t p786t 5

p78

No as1B sobre Q que t" 7t es primo= por lo que la descomposici1on en fracciones

simples de Q6t8 ser1a la misma tanto sobre R como sobre C y distinta para QC

Veamos para R y C@

Q6t8 9 t 5 7 5A

t#5

B

t"5

C

t5

D

t p75

E

t 5p7

que operando obtenemos

Q6t8 9 t 5 7 56A 5 Bt 5 Ct"86t" 7t 8 5 t#6D6t 5

p78 5 E6t

p788

t$ 7t! t#

9 t 5 7 5P 6t8

t$ 7t! t#

por lo que

?t!57t# t" 9 6A5Bt5Ct"86t" 7t 85t#6D6t 5p785E6t

p788 9 P 6t8

y haciendo uso del hecho@ si dos polinomios son iguales tambi1en lo son sus funciones

polin1omicas asociadas= tenemos

6?t! 5 7tF t" 86G8 9 9 P 6G8 9 A

6?t! 5 7t# t" 8 6G8 9 G 9 P 6G8 9 B 7A

6?t! 5 7tF t" 8 6G8 9 7 P 6G8 9 76A 7B C8

6?t! 5 7t# t" 8 6G8 9 7 9

9 P 6G8 9 ?6B 7C 5 6 5p78D 5 6

p78E8

6?t! 5 7t# t" 8 6G8 9 HH 9 P 6G8 9 H!C 5 H!6D 5 E8



Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos1

A 2 B 2 3 C 2 4 D 2 5p3 E 2 5

p3

y la descomposici8on es

Q9t: 2 t ; 3 ;

t ; 3t!

;4

t;

5p3

t p3;

5p3

t ;p3

Pasemos a la descomposici8on de Q9t: sobre Q1

Q9t: 2 t ; 3 ;A

t ;B

t!;C

t;

M

t! 3t

haciendo5p3

t p3;

5p3

t ;p32

4

t! 3t " Q9t:

por lo que

Q9t: 2 t ; 3 ;

t ; 3t!

;4

t;

4

t! 3t

y puesto que la descomposici8on en fracciones simples es 8unicaA 8esta ser8a la descomB

posici8on sobre QC

!" Descomponer en fracciones simples sobre C la fracci8on racional siguiente

Q9x: 2

9x F:"9x G:"

Soluci*on,

La descomposici8on ser8a

Q9x: 2

"Xn#$

An

9x F:n;

"Xn#$

Bn

9x G:n

donde An A Bn con n 2 * + + + * ! son n8umeros complejos a determinarC

Consideremos F 9x: 2

9x G:"funci8on racionalK desarrollamos F 9x: por la f8ormula

de Taylor en el punto x 2 FA hasta el orden MA obteniendo

F 9x: 2 F 9F: ;F 9F:

N9x F: ; + + +;

F %9F:

MN9x F:% ; G9x:9x F:"



siendo G(x) una funci.on racional que est.a de3nida para x 5 67 usando este desarrollo

tenemos

9

(x 6) (x :) 5

F (6)

(x 6) ;

F (6)

(x 6)!; # # #;

F !(6)

<=(x 6); G(x)

Por la unicidad de los coe3cientes An y Bn tenemos

An 5F !n(6)

(@ n)=

Fn(x) 5 ( @)( @ 9)###( @ n ; 9)(x :)! !n 5 ( 9)n(< ; n)=

<=

9

(x :) "n

luego Fn(6) 5 ( 9)n(< ; n)=

<=

9

( ) "n

y An 5 ( 9) !n(9B n)=<=(@ n)=

9

( )#!!n

y por simetr.Ca tenemosD (observese que obtenemos Bn considerando F#(x) 59

(x 6)n

y repitiendo el proceso anterior)G

Bn 5 ( 9) !n(9B n)=<=(@ n)=

9

#!!n

!" Sobre el cuerpo de los racionalesD descomponer en fracciones simples la fracci.on

racional siguiente

Q(x) 5 (x$ ; 9)

(x; 9)(x% ; )

Soluci)on+

Observamos que x% ; no tiene ra.Cces en QD luego

(x$ ; 9)

(x; 9)(x% ; )5

A

(x; 9);Bx$ ; Cx ;D

(x% ; )



Operando *x + !,

*x+ !,*x! + ,-

A*x! + , + *Bx + Cx +D,*x+ !,

*x+ !,*x! + ,

Igualando numeradores tenemos

A+ B - 5

B + C -

C +D - 5

A+D -

!!!"!!!#

A - 6

B - !6C - 7

D - !7

luego la descomposici:on es

Q*x, -6

*x+ !,+!6x + 7x! 7

x! +

! Descomponer sobre R la fracci:on>

Q*x, -x

*x + !,n

Soluci)on+

Haciendo x + ! - y tenemos x - y ! !@ luego

x n

*x + !,n-

*y ! !,n

yn-

Pn

i"#

%n

i

&*!!,iyn i

yn-

- !!

%n

!

&y

+

%n

&y

+ ) ) )+ *!!,n

%n

!

&y

-

- !!

%n

!

&x + !

+

%n

&*x + !,

+ ) ) )+ *!!,n

%n

n

&*x + !,n


Espacios vectoriales !

Cap#$tulo ) Espacios vectoriales

! Sea R el grupo multiplicativo de los n3umeros reales estrictamente positivos4 Pro6

bar que R R R es un R6espacio vectorial con las operaciones siguientes9

!:x! y! z;! :x!! y!! z!; " R R R !$ " R

:x! y! z; # :x!! y!! z!; < :x $ x!! y $ y!! z $ z!;$ % :x! y! z; < :x ! y ! z ;

En caso de ser dimensi3on >nita determinar una base

Soluci)on+

Es f3acil probar que con la operaci3on # el conjunto R R R es un grupo abeliano9

Asociatividad

!:x! y! z;! :x!! y!! z!;! :x"! y"! z"; " R R R

:x! y! z; # ::x!! y!! z!; # :x"! y"! z";; < :x! y! z; # :x! $ x"! y! $ y"! z! $ z"; << :x $ :x! $ x";! y # y! $ y";! z $ z! $ z";; < ::x $ x!; $ x"! :y $ y!; $ y"! :z $ z!; $ z"; <

< :x $ x!! y $ y!! z $ z!; # :x"! y"! z"; < ::x! y! z; # :x!! y!! z!;; # :x"! y"! z";

:Esta propiedad nos permite escribir :x! y! z; # :x!! y!! z!; # :x"! y"! z"; ;

Conmutatividad

!:x! y! z;! :x!! y!! z!; " R R R

:x! y! z; # :x!! y!! z!; < :x $ x!! y $ y!! z $ z!; < :x! $ x! y! $ y! z! $ z; << :x!! y!! z!; # :x! y! z;

Elemento neutro



x! y! z! R !R !R

"! "! "! " x! y! z! # " # x! " # y! " # z! # x! y! z!

Elemento sim)etrico

$ x! y! z! R !R !R % "$x! "$y! "$z! R !R !R tal que

x! y! z! " "$x! "$y! "$z! # x # "$x! y # "$y%z # "$z! # "! "! "!

Veamos ahora que la operaci3on externa veri7ca las cuatro propiedades necesarias para

que el conjunto sea un espacio vectorial:

Primera ley distributiva

$& R $ x! y! z!! x!! y!! z!! R !R !R

& & x! y! z! " x!! y!! z!!! # & & x # x!! y # y!! z # z!! #

# x # x!! ! y # y!! ! z # z!! ! # x # x ! ! y # y ! ! z

# z ! ! #

# x ! y ! z ! " x ! ! y

! ! z

! ! # & & x! y! z!! " & & x!! y!! z!!!

Segunda ley distributiva

$&! ' R $ x! y! z! R !R !R

&; '! & x! y! z! # x "!! y "!! z "!! # x # x!! y # y!! z # z!! #

# x ! y ! z ! " x!! y!! z!! # & & x! y! z!! " ' & x! y! z!!

Asociatividad de los escalares

$&! ' R $ x! y! z! R !R !R

& # '! & x! y! z! # x !! y !! z !! #

# x!! ! y!! ! z!! ! # & & x!! y!! z!! #

# & & ' & x! y! z!!

Propiedad del elemento unidad del cuerpo

$ x! y! z! R !R !R

" & x! y! z! # x!! y!! z!! # x! y! z!



luego' en efecto R R R es un R-espacio vectorial3

Veamos cu6al es su dimensi6on y si es posible' determinemos una base3

Sabemos que !x " R x < elogx ' luego !=x" y" z> " R R R ' se tiene

=x" y" z> < =elogx" elog y" elogz> < =elogx" ?" ?> # =?" elogy" ?> # =?" ?" elogz> << =logx $ =e" ?" ?>> # =log y $ =?" e" ?>> # =log z $ =?" ?" e>>

luego los vectores =e" ?" ?>" =?" e" ?>" =?" ?" e> " R R R forman un sistema de

generadores3

Claramente son independientes' veamosA

de =%$ $ =e" ?" ?>> # =%% $ =?" e" ?>> # =%& $ =?" ?" e>> < =?" ?" ?>

tenemos

=e# " e#! " e#"> < =?" ?" ?> % e#i < ? !i < ?" " B % %i < C !i < ?" " B

por lo que forman una base de dicho espacio vectorial3

!" Demostrar que el conjunto E de las sucesiones num6ericas

u < =u$" u%" & & &" un" & & &> < =un> n " N

de n6umeros reales provista de dos leyes de composici6on' una interna G y una externa

& ' deInidas medianteA

!u" v " E" !% " R u G v < =un G vn> !n " N% & u < =% & un> !n " N

es un espacio vectorial3

Soluci*on,

Primero' probaremos que la operaci6on =interna> G dota a E de estructura de grupo

abeliano



Asociatividad

u" #v " w$ % #un " #v " w$n$ % #un " #vn " wn$$ % !"

% ##un " vn$ " wn$ % ##u" v$n " wn$ % #u" v$ " w

#&$ R tiene estructura de grupo4 con la operaci6on "

Conmutatividad

#u" v$ % #un " vn$ % #vn " vn$ % #v " u$

Existencia de elemento neutro

veamos que existe e E tal que u" e % u% !u E

si u " e % #un " en$ % u% !u E 4 entonces un " en % un% !n N 4 de donde

en % ;% !n N y e % #;% ;% ' ' ' % ;% ' ' '$ 4 luego e existe y es 6unico=

Existencia de elemento sim2etrico

hemos de ver que !u E existe u ! tal que u " u ! % e

si u " u ! % #un " u !n

$ % e 4 entonces un " u !n

% ;% !n N 4 de donde u !n

%

"un% !n N y u ! % #"un$ ? luego u ! existe y es 6unico=

Veamos ahora que la operaci6on #externa$ # veriAca las cuatro propiedades4 necesarias

para que el grupo abeliano E sea un R Cespacio vectorial

Primera ley distributiva

!u% v E% !( R

(#u" v$ % #(#u" v$n$ % #(#un " vn$$ % #(un " (vn$ %

% #(un$ " #(vn$ % (#un$ " (#vn$ % (u" (v

Segunda ley distributiva

!(% ) R% !u E

#(" )$u % ##(" )$un$ % #(un " )un$ % #(un$ " #)un$ %

% (#un$ " )#un$ % (u" )u

Asociatividad de los escalares



! " ! R! u ! E

" "#u $ "" "#un# $ " ""un## $ ""un# $ """un## $

$ ""u#

Propiedad del elemento unidad del cuerpo

Sea ( ! R y u ! E

( " u $ "( " un# $ "un# $ u

luego E es un R 0espacio vectorial7

!" Sea F "R !R# el espacio vectorial de todas las funciones de R en R 7 Estu0

diar; para qu=e valores de k ! R >

W $ ff ! F "R !R#)f"(# $ kg

es un subespacio vectorial de F 7

Soluci)on+

Recordemos que F es un subespacio vectorial del K 0espacio vectorial E si y solamente

siB

! " ! K u! v ! F entonces uC "v ! F

Sean pues ! " ! R y f! g ! F "R!R# >

" f C "g# ! F "R!R# si y s=olo si " f C "g#"(# $ k

comprobemos si esto es as=D

" f C "g#"(# $ " f#"(# C ""g#"(# $ f"(# C "g"(# $ k C "k $ " C "#k

luego " C "#k $ k ! " ! R si y s=olo si k $ E ; por lo tanto W es subespacio

vectorial si y s=olo si k $ E 7

," Sea fe ! e!! e"g una base del R0espacio vectorial R" 7



"Determinan los vectores ae 0 be!# ce!0de"# ee"0 fe 1 con a# b# c# d# e# f escalares

no nulos1 una base de E 5

Aplicar el resultado a las familias de vectores

a9 :;# ;# <9# :<# ;# ;9# :;# <# ;9

b9 :=# ;# <9# :<# # ;9# :;# <# 9

referidos a la base natural de R" >

Soluci'on)

Puesto que el nAumero de vectores dado coincide con la dimensiAon del espacio1 estos

vectores forman base si y sAolo si son independientes> Recordemos que una colecciAon de

vectores fe # (((# eng de un K Despacio vectorial son independientes si y sAolo siE

* e 0 (((0 *nen F <# * F ((( F *n F <

Veamos pues1

* :ae 0 be!9 0 *!:ce! 0 de"9 0 *":ee" 0 fe 9 F <

:* a0 *"f9e 0 :* b0 *!c9e! 0 :*!d0 *"e9e" F <

Y puesto que fe # e!# e"g es base1 tenemos

* a 0 *"f F <

* b0 *!c F <

*!d0 *"e F <

!!"!!##

* ab0 *"fb F <

* ab0 *!ac F <

*!d0 *"e F <

!!"!!#$

*"fb *!ac F <

*!d0 *"e F <

$#

*"fbd *!acd F <

*!acd0 *"ace F <

$$ *":fbd0 ace9 F <

Luego1 si fbd0 ace %F <$ *" F <# *! F <# * F < y los vectores serAan independientes

y formarAan base :si fbd0 ace F < K cualquier *" & R es soluciAon del sistema y por lo

tanto1 los vectores dados1 no pueden formar base>9>

Aplicando el resultado a las familias dadas1 tenemos

a9 :;# ;# <9 F :;# <# <90 :<# ;# <9$ a F b F ;

:<# ;# ;9 F :<# ;# <90 :<# <# ;9$ c F d F ;

:;# <# ;9 F :;# <# <9 :<# <# ;9$ e F ;# f F ;

!"!#$ fbd F ace



luego' son dependientes .la relaci2on de dependencia es .3 3 45 .4 3 35 6 .3 4 35 7

b5 .9 3 45 6 9.3 4 45: .4 3 45! a 6 9 b 6 3

.4 35 6 .4 3 45: .4 4 35! c 6 d 6 3

.3 4 5 6 .3 4 45: .4 4 35! e 6 3 f 6

!"!#! fbd "6 ace

luego' son independientes' y por lo tanto forman base7

! Sea E un espacio vectorial sobre C de dimensi2on n y sea fuig i n una base7

Por restricci2on del cuerpo de escalares' E puede considerarse como un espacio vectorial

sobre R7

Demostrar que los n vectores fu * * * un iu * * * iung forman una base de E sobre

R 7 Deducir de aqu2C que dim ER 6 % dim EC

NotaE hemos llamado EC ER a E como C espacio vectorial y como R espacio

vectorial respectivamente7

Soluci*on,

Ante todo' notamos que los vectores de EC y ER son los mismos7 Veamos primero que

los vectores dados son independientes en ER I consideremos una combinaci2on lineal

igualada a ceroE

- u : * * *: -nun : -n! iu : * * *: -"niun 6 4 con -j & R j 6 3 * * * n

sumergiendo ER en EC esta igualdad puede escribirse

.- : -n! i5u : * * *: .-n : -"ni5un 6 4 con -j : -n!ji & C

y puesto que fuig son base de EC ' tenemos

-j : -n!ji 6 4 'j 6 3 * * * n

por lo queE

-j 6 -n!j 6 4 'j 6 3 * * * n

y por lo tanto' los vectores fu * * * un iu * * * iung son independientes7 Veamos

ahora que generan ER 7 Si u & ER ' entonces u & EC y por lo tanto

u 6 - u : * * *: -nun con -j & C j 6 3 * * * n



es decir(

j ) aj * bji j ) +% & & & % n con aj % bj R%

luego

u ) 1a * b i2u * & & &* 1an * bni2un )

) a u * b i2u * & & &* anun * bniun )

) a u * & & &* anun * b iu * & & &* bniun

luego( son tambi7en generadores8 Por ser un sistema de generadores independientes son

base( y por lo tanto

dim ER ) <&dim EC

!" Sea E ) R! 8 Decir si los vectores f1+% <% 2% 1<% @% A2% 1+% % B2g son dependientes

o independientes8

Soluci)on+

El m7etodo que vamos a usar aqu7E para la discusi7on de la dependencia o independencia

se apoya en las proposiciones siguientes8

a2 Dados p vectores( p # n ( de un espacio vectorial de dimensi7on n ( xi )

1a i% &&&% an

i2% + # i # p ( si los coeFcientes a

j

ison nulos para i . j con ai

i$) ! 1es

decir( si colocamos los vectores en columna( la matriz obtenida es tal que por encima

de la diagonal principal( los elementos son todos nulos2( entonces los vectores son

independientes 1es una condici7on suFciente( pero no necesaria2H 8 An7alogamente( si los

coeFcientes aj

ison nulos para i / j con ai

i$) ! 1es decir( si colocamos los vectores

en columna( la matriz obtenida es tal que por debajo de la diagonal principal( los

elementos son todos nulos2( tambi7en son independientes8

b2 El rango de un sistema de vectores no var7Ea si a uno de ellos le sumamos una

combinaci7on lineal de los dem7as( por lo tanto para investigar las dependencia o no de

los vectores dados los colocaremos en columna yuxtaponi7endolos y haremos operaciones

elementales de Fla o columna para conseguir los ceros necesarios para conocer el rango

de la matriz( es decir la dimensi7on del subespacio que engendran

x x" x! x x

" x

! x

x " x

! ! + < +

< @

A A

"A %

! + ! !

< + +

< @

"A %

! + ! !

< + !

<

"A



x " x # x

! " $x % x! # x " " x % x"#

x " x

# x ! " x

! # x " " x

! % x "#

Los tres vectores cumplen la condici6on establecida en a89 luego son independientes;

! Hallar !" # ! R para que >!" #" ?" @8 ! R# pertenezca al subespacio F " R

generado por >!" $" B" 8 y >$" !" D" ?8 ;

Soluci)on+

Para que el vector >!" #" ?" @8 pertenezca a F es condici6on necesaria y suFciente

que pueda ponerse en combinaci6on lineal de los generadores de F G

>!" #" ?" @8 " a>!" $" B" 8% b>$" !" D" ?8

obligando pues a la compatibilidad del sistema resultante

! " a% $b

# " $a b

? " Ba% Db

@ " a% ?b

!!!"!!!#

a " B" b " " ! " !" # " !

luego el vector >!" #" ?" @8 ! F si y s6olo si ! " ! y # " ! ;

,! Sea E " R! yW el subespacio engendrado por el vector >!" !8 ; Si U es el

subespacio engendrado por el vector >I" !8 ; Probar que E es suma directa de W y

U ; Sea ahora U el subespacio engendrado por el vector > " !8 ; Probar que tambi6en

se veriFca E " W # U >no unicidad del complementario8;

Soluci)on+

Recordemos que si F" G son subespacios de E # estos forman suma directa si y s6olo

si

F $G " fIg

Si F y G forman suma directa y adem6as se veriFca que

F % G " E



diremos que E es suma directa de estos dos subespacios y lo notaremos por F G 3

Si E es de dimensi5on 6nita y F y G forman suma directa8 para que F 9 G : E

basta comprobar que

dim F 9 dim G : dim E

Tomemos pues x ! W " U 8 es x : )<=* => por ser de W 8 y x : +<?* => por ser de

U 3

Identi6cando )<=* => : +<?* => es

) : ?* + : ?*

luego x : ? y por tanto la suma es directa3 Puesto que dim E : ! y dim W :

dim U : = se tiene

dim W 9 dim U : dimE

luego8 en efecto8 E : W U 3

Sea ahora y ! W " U como antesD y : )<=* => : +< * => 8 de donde

) : + ) : +

y de aqu5E se deduce ) : + : ? 8 es decir8 y : ? F luego W y U forman tambi5en

suma directa y dim W 9 dim U : ! : dim E 8 por tanto es tambi5en E : W U

! Sea P el espacio vectorial de polinomios de una variable de grado inferior o igual

a a coe6cientes en R3

a> Probar que los polinomios p ! P que veri6can p<=> : p <=> : ? <siendo p elpolinomio derivado de p> forman un subespacio vectorial F de P 3 Dar su dimensi5on3

b> Los polinomios <x# =>! y x<x # =>! 8 Json linealmente independientesK Dar una

base de F 3

c> Encontrar dos polinomios para completar la base de F y formar una base de P 3

Determinar un subespacio vectorial complementario E de F en P 3

Soluci)on+

a> Sean p* q ! F F veamos si )p# +q ! F $)* + ! R

<)p# +q><=> : )p<=># +q<=> : ) % ?# + % ? : ?

<)p# +q> <=> : <)p # +q ><=> : )p <=># +q <=> : ) % ?# + % ? : ?


Espacios vectoriales

Luego& en efecto& p "q ! F & y F es pues un subespacio vectorial4

Sea p6x7 8 a x 9 a!x

! 9 a"x9 a# ! F & luego

p6:7 8 a 9 a! 9 a" 9 a# 8 ;

p 6:7 8 a 9 <a! 9 a" 8 ;

"

a" 8 a <a!

a# 8 <a 9 a!

y por tanto&

p6x7 8 a x 9 a!x

! 9 6 a <a!7x9 6<a 9 a!7 8

8 a 6x x9 <7 9 a!6x

! <x9 :7 8 a p"6x7 9 a!p!6x7

y p"6x7' p!6x7 ! F 6 p"6:7 8 p "6:7 8 ; y p!6:7 8 p

!6:7 8 ;7 por lo que son

generadores4

Y son independientes& pues de

a p"6x7 9 a!p!6x7 8 ; @ se tiene a 8 a! 8 ;

luego son base& y dimF 8 <4

Otra formaC

De hecho& basta observar que si p6x7 ! F entonces p6x7 8 6x :7!6ax 9 b7 8 ax6x :7! 9 b6x :7! 8 ap"6x7 9 bp!6x7 luego F es el conjunto de polinomios generado por

p"6x7' p!6x7 con p"6x7 y p!6x7 independientes& por lo que F es un subespacio vectorial

de dimensiGon < y estos dos polinomios determinan una base

b7 Sea 6x :7! 9 "x6x :7! 8 ; & reordenando tGerminos tenemos

"x 9 6 <"7x! 9 6" < 7x9 8 ;

y por tanto& 8 " 8 ; & es decir& son independientes4 En a hemos observado& que

6x :7!' x6x :7! ! F 6pues F es el conjunto de polinomios de grado menor o igual

que tres tales que tienen a : como raGIz de multiplicidad por lo menos dos7& luego& son

base de F 4

c7 Los vectores x! <x9:' x <x!9x son independientes ya que forman una base

de F 4 :' x son vectores independientes de x! <x9 :' x <x! 9 x & ya que

# : 9 " # x9 ,6x! <x9 :7 9 -6x <x! 9 x7 8 ; "-x 9 6, <-7x! 9 6" <,9 -7x9 ,9 8 ;

de donde , 8 - 8 8 " 8 ;



luego G ' ()! x* es un subespacio complementario de F 6

!" Sean A ' fa ! a!! a"g 8 B ' fb ! b!! b"g dos bases del espacio vectorial R" relacionadas

mediante: !"!#a ' b " b! ; !b"

a! ' b! ; b"

a" ' b ; b! ; b"

a< Hallar la matriz que transforma las coordenadas de los vectores de la base B a la

A 6

b< Sea C ' fc ! c!! c"g una nueva base cuyas coordenadas respecto de B son: !"!#c ' b " b! ; b"c! ' "b ; b!c" ' b! " b"

Hallar la matriz de transformaciBon de B a C y de A a C 6

Soluci*on,

a< Recordemos que la matriz S de paso de A a B es la matriz cuadrada cuyas columD

nas son las coordenadas de los vectores de A expresados en la base B 6 Luego:

S '

$% ) G )

" ) )

! ) )

&A matriz de paso de A a B

y esta matriz es tal que si componemos dicha matriz con un vector columna cuyos

componentes son las coordenadas de un vector de R" en la base A 8 el resultado es

el mismo vector Ivector columna< cuyos componentes son las coordenadas del vector8

pero expresado en la base B 6

Obviamente8 la matriz de paso de B a A serBa

S ')

K

$% G ") )

"K !

K ) ")

&A

IobsBervese que necesitamos la expresiBon de los vectores de la base B en funciBon de la

base A 8 por lo que tenemos que invertir el sistema dado<6



b# An&alogamente. la matriz de paso de C a B es

T 5

! 6 6 7

6 6 6

6 7 6

"A

luego. la matriz de paso de B a C es

T 5

! 6 6 6

7 6 6

6 6 7

"A

y si componemos las matrices S y T

T ! S 5

! ; ;

6 ; ;

; 6 ;

"A

nos proporciona. obviamente. la matriz de paso de A a C =

! Estudiar si los vectores w 5 ?7& 6& ;& 6#& w! 5 ?6& 6& ;& 6#& w" 5 ?6& 7& 7& 6#&

w# 5 ?;& ;& 7& 6# forman o no. una base de R#

Soluci)on+

Para que formen base es condici&on necesaria y suCciente que sean linealmente indepenD

dientes. es decir.

' w E '!w! E '"w" E '#w# 5 7 " ' 5 '! 5 '" 5 '# 5 7

lo que equivale a decir. que el sistema

7 # ' E 6 # '! E 6 # '" E ; # '# 5 7

6 # ' E 6 # '! E 7 # '" E ; # '# 5 7

; # ' E ; # '! E 7 # '" E 7 # '# 5 7

6 # ' 6 # '! E 6 # '" 6 # '# 5 7

$%%%&%%%'

tenga soluci&on &unicaF lo que equivale a que

D 5

(((((((7 6 6 ;

6 6 7 ;

; ; 7 7

6 6 6 6

((((((( $5 7



D " # !" $ % luego% en efecto% son base2

Observamos que% para ver si n vectores de un espacio vectorial de dimensi;on n % forman

base basta calcular el determinante de la matriz% formada por los vectores columna que

expresan los vectores dados respecto una base y ver si es o no distinto de cero2

!" En el espacio vectorial R se consideran los subespacios E! y E" generados

por los vectores @A%A%A%AB y @A%CA%A%CAB para E! % y @A%D%$%AB % @A%D%A%DB y @ %A% %AB para

E" 2

Hallar las dimensiones del subespacio intersecci;on y del subespacio suma2

Soluci*on,

Observamos que dimE! " D ya que @A%A%A%AB % @A%CA%A%CAB son independientes2

Veamos cu;al es el subespacio E! " E" G si v # E! "E" % entonces

v " '!@A( A( A( ABH '"@A( A( A( AB "

" )!@A( D( $( ABH )"@A( D( A( DBH )#@ ( A( ( AB

es decir%'! H '" " )! H )" H )#

'! '" " D)! H D)" H )#

'! H '" " )" H )#

'! '" " )! H D)" H )#

!!!"!!!#

$)! " $

D'! " )" H I)#

D'" " )" H D)#

!"!#

por lo que% dando valores cualesquiera a los escalares )"( )# % obtendremos los vectores

de E! " E" % y puesto que hay dos par;ametros libres dimE! " E" " D

Por ejemplo% para )" " A( )# " A % se tiene

w! " @ ( A( ( AB @A( D( A( DB " @D( A( D( AB # E! "E"

para )" " )# " A

w" " @A( D( A( DBH @ ( A( ( AB " @I( ( I( B # E! " E"

observamos que w! y w" son independientes por lo que dimE! " E" % D y puesto

que

E! "E" & E! y dimE! " D



se tiene que E E! ) E y dimE E! ) +,

Sabemos que dim 2E 3E!4 ) dimE 3dimE!!dim 2E E!4 5 luego dim2E 3E!4 )

dimE! ,

2Tenemos que E 3 E! ) E! 5 pues E! " E 3E! y tienen la misma dimensi;on4,


Sistemas de ecuaciones lineales- Matrices !

Cap#$tulo ) Sistemas de ecuaciones lineales2 Matrices

! Dada la matriz

B +

! , - .

, / 0!/ . 1

"A

reducirla a una matriz diagonal mediante transformaciones elementales de :las y colum<

nas=

Soluci(on*

Tomamos la matriz B y restamos la primera :la a la segunda@ y la primera al doble

de la terceraB quedando

B !

! , - .

D . .1D .

"A + B

Tomamos ahora la matriz B y restamos a la tercera :la el triple de la segundaB

quedando

B !

! , - .

D . .1D D /!

"A + B!

Sobre B! B dividimos la tercera :la por /!

B! !

! , - .

D . .1D D .

"A + B"



Sobre B ' sumamos a la segunda 0la diecis3eis veces la tercera y a la primera trece

veces la tercera

B

! 8 !9 !

! : !

! ! :

"A ; B!

Sobre B! ' sumamos a la primera 0la cinco veces la segunda y tenemos

B!

! 8 ! !

! : !

! ! :

"A ; B"

que es ya diagonal= podemos seguir reduciendo dividiendo la primera 0la por 8'

obteniendo

B"

! : ! !

! : !

! ! :

"A ; I

luego B I >

! Determinar la inversa de la matriz

A ;

! : 8

! : A

!: A B

"A donde A "M CRD

por el m!etodo del pivote>

Soluci)on+

Yuxtaponemos la matriz A y la matriz identidad I

BB!

: 8>>> : ! !

! : A>>> ! : !

!: A B>>> ! ! :

"CCA ; A



y hacemos las transformaciones elementales de 1las2 necesarias para convertir A en

I 5 Una vez terminado el proceso la matriz que aparece en el lugar que ocupaba I es

la matriz A inversa de A

A !a"

BB"

! <555 ! = =

= ! >555 = ! =

= ? !!555 ! = !

#CCA

!b"

BB"

! <555 ! = =

= ! >555 = ! =

= = !555 !! ? !!

#CCA

!c"

BB"

! <555 ! = =

= ! =555 > !!! >

= = !555 !! ? !!

#CCA

!d"

BB"

! =555 @ ! < <

= ! =555 > !!! >

= = !555 !! ? !!

#CCA

!e"

BB"

! = =555 ! ! =

= ! =555 > !!! >

= = !555 !! ? !!

#CCA

y por consiguiente

A A

" ! ! =

> !!! >

!! ? !!

#A

BaC A la tercera 1la de A le sumamos la primera2 obteniendo A

BbC A la tercera 1la de A multiplicada por !! le sumamos seis veces la segunda de

A obteniendo A#

BcC A la segunda 1la de A# le restamos dos veces la tercera de A# 2 obteniendo A$

BdC A la primera 1la de A$ le restamos ocho veces la tercera2 obteniendo A%

BeC A la primera 1la de A% le restamos cuatro veces la segunda

! Resolver el sistema



x !y " #z $ %

!x" y !z $ !#x y " z $ &

!"!#

Soluci&on(

El sistema se expresa en forma matricial por

$% 6 ! #

! 6 !# 6 6

&A$%x

y

z

&A $

$% %

!&

&A AX $

$% %

!&

&A con X $

$% x

y

z

&A

Yuxtaponemos a la matriz A la matriz columna

$% %

!&

&A : obteniendo la matriz B y

hacemos transformaciones elementales a B para poder comparar los rangos de A y

B

$% 6 ! # %

! 6 ! !# 6 6 &

&A !

$% 6 ! # %

@ A B 6&@ A B 6A

&A !

$% 6 ! # %

@ A B 6&@ @ @ 6

&A

luego rangoA $ ! : rangoB $ # : y por tanto: el sistema es incompatibleC

)* Discutir segEun los valores de a+ b+ c+ d el sistema a coeGcientes en K siguiente

x" !y " #z " t $ a

!x" #y " z " t $ b

#x" y " z " !t $ c

x" y " !z " #t $ d

!!!"!!!#

suponiendoH aI K $ Q bI K $ Z

Soluci&on(



B"

" # ! a

# ! " b

! " # c

" # ! d

#CA

B"

" # ! a

$ !" !# !% !#a & b

$ !# !' !"$ !!a & c

$ !% !"$ !"! ! a & d

#CA

B"

" # ! a

$ " # % #a! b

$ $ ! a! #b& c

$ $ !( "$a! %b& d

#CA

B"

" # ! a

$ " # % #a! b

$ $ ! !a & #b! c

$ $ $ $ ""! )b& c& d

#CA

B"

"$ #$ !$ $ "$a

$ $ '$ #'$ '$a! $b

$ $ $ $ a& ""b! )c& d

$ $ $ $ ""a! )b& c& d

#CA

B"

$ $ $ $ !)a & b& c& ""d

$ $ $ $ a& b& ""c! )d

$ $ $ $ a& ""b! )c& d

$ $ $ $ ""a! )b& c& d

#CA

a+ para K . Q las transformaciones elementales realizadas son v<alidas= el sistema

tiene soluci<on <unica

x .!)a & b& c& ""d

$y .

a& b& ""c! )d

$

z .a& ""b! )c& d

$t .

""a! )b& c& d

$

b+ para K . Z las transformaciones elementales realizadas son v<alidas= para que haya

soluci<on los elementos !)a&b&c&""d) a&b&""c!)d) a&""b!)c&d) ""a!)b&c&d

han de ser m<ultiplos de $C

"# Estudiar seg<un los valores de a el sistema

ax & y & z . a

x & ay & z . a

x & y & az . a

&'(')

resolvi<endolo en los casos en que ello sea posibleC


Algebra Lineal+ Problemas resueltos

Soluci&on(

Hallemos el valor del determinante de la matriz asociada al sistema

detA 0 det

!a 1 1

1 a 1

1 1 a

"A 0 2a3 452a 15

Luego9 si a !0 4 y a !0 1 el sistema es compatible y determinado y por el m=etodo

de Cramer tenemos que la soluci=on es

x 0

$$$$$$a 1 1

a a 1

a 1 a

$$$$$$2a3 452a 15

0a

a 3 4@

y 0

$$$$$$a a 1

1 a 1

1 a a

$$$$$$2a3 452a 15

0a

a 3 4@

z 0

$$$$$$a 1 a

1 a a

1 1 a

$$$$$$2a3 452a 15

0a

a 3 4@

Si a 0 4( rangoA 0 4( ya que

$$$$ 4 1

1 4

$$$$ !0 B9 y rangoA 0 C siendo A la matriz

obtenida de A yuxtaponi=endole la matriz columna

! a

a

a

"A

rangoA 0 C ya que

$$$$$$ 4 1 41 4 41 1 4

$$$$$$ !0 B

Luego el sistema es incompatibleE

Si a 0 1( rangoA 0 rangoA 0 19 luego el sistema es compatible indeterminado y el

conjunto de soluciones esG

S 0 f2x( y( z5 $ R! j x3 y 3 z 0 1g



! Resolver en M *R+ el sistema

0x1 2y 1 z 3

! !

! 4

!

x 1 0y 2z 3

4 2

2 2

!

2x1 !y z 3

! 5

5 4

!

"#######$#######%

Soluci)on+

A

&'xyz

(A 3

&' 0 2 4

4 0 22 ! 4

(A&' xyz

(A 3

&BBB'+

! !

! "

,+ " #

# #

,+

! $

$ "

,(CCCA 3 B

Tomamos la matriz A del sistema ampliada con la matriz B y procedemos a efectuar

las oportunas transformaciones elementales

&BBB'

0 2 4+

! !

! "

,4 0 2

+ " #

# #

,2 ! 4

+! $

$ "

,(CCCA !

&BBB'

4 0 2+ " #

# #

,0 2 4

+! !

! "

,2 ! 4

+! $

$ "

,(CCCA !

!

&BBB'

4 0 2+ " #

# #

,> 4 ?

+% "" %

,> 4 5

+$ "" $

,(CCCA !

&BBB'

4 0 2+ " #

# #

,> 4 ?

+% "" %

,> > 4

+" &

& "

,(CCCA !

!

&BBB'

4 0 2+ " #

# #

,> 4 >

+& "" &

,> > 4

+" &

& "

,(CCCA !

&BBB'

4 > >+

"

" &

,> 4 >

+& "" &

,> > 4

+" &

& "

,(CCCA

y por lo tanto la soluci@on del sistema es

X 3

0 4

4 >

!Y 3

> 4

4 >

!Z 3

4 >

> 4

!



! Se dice que A M )R* es m-agica si al sumar los elementos de cada 5la6 de cada

columna6 de la diagonal principal6 y de la diagonal secundaria6 se obtiene siempre el

mismo valor; Construir todas las matrices m-agicas sim-etricas;

Soluci)on+

Una matriz A ? )aij* es sim-etrica si y s-olo si aij ? aji luego las matrices m-agicas

sim-etricas ser-an de la forma ! x a b

a y c

b c z

"A

con x A a A b ? s) a A y A c ? s) b A c A z ? s) x A y A z ? s) Bb A y ? s que

interpret-andolo como un sistema de cinco ecuaciones con siete inc-ognitas

xA y A z ! s ? C

y A a A c! s ? C

xA a A b! s ? C

z A bA c! s ? C

y A Bb! s ? C

$%%%%%&%%%%%'

resulta un sistema homog-eneo6 por tanto compatible6 y que vamos a resolver por transE

formaciones elementales BBB!

F F F C C C !FC F C F C F !FF C C F F C !FC C F C F F !FC F C C B C !F

"CCCA "

BBB!

F F F C C C !FC F C F C F !FC !F !F F F C C

C C F C F F !FC C C !F B !F C

"CCCA "

"

BBB!

F F F C C C !FC F C F C F !FC C !F B F F !FC C F C F F !FC C C !F B !F C

"CCCA "

BBB!

F F F C C C !FC C F F C F !FC C F !B !F !F F

C C C B B B !BC C C F !B F C

"CCCA "

"

BBB!

F F F C C C !FC F C F C F !FC C F !B !F !F F

C C C F F F !FC C C C !G C F

"CCCA "

BBB!

F F F C C C !FC F C F C F !FC C G !! C !G B

C C C G C G !BC C C C !G C F

"CCCA "

"

BBB!

F F F C C C !FC G C C C C !FC C G C C G B

C C C G C G !BC C C C !G C F

"CCCA "

BBB!

G C C C C !G C

C G C C C C !FC C G C C G !BC C C G C G !BC C C C !G C F

"CCCA



quedando el sistema de rango cinco1

2x 2c 3 4

2y s 3 4

2z 5 2c 6s 3 4

2a5 2c 6s 3 4

2b5 s 3 4

!!!!!"!!!!!#

!

2x 3 2c

2y 3 s

2z 3 2c5 6s

2a 3 2c 5 6s

2b 3 s

!!!!!"!!!!!#!

x 3 c

y 3s

23 b

z 36s 2c

23 a

por lo tanto la matriz m9agica sim9etrica buscada es$BBB&

c s !c!

s

!

s !c!

s

!c

s

!c s !c

!

'CCCA 3 c

$& ; ; 4

; 4 ;

4 ; ;

'A5

s

2

$& 4 6 ;

6 ; 4

; 4 6

'A

para todo c' s " R <

!" Discutir y resolver en R el sistema1

2x5 6y 5 @z 3 ;

x5 2y 5 Az 3 6

@x5 y 5 !z 3 2

Ax5 @y 5 Bz 3

!!!"!!!#

Soluci)on+

Escrito matricialmenteD el sistema es

A

$& x

y

z

'A 3

$B&

2 6 @

2 A

@ !

A @ B

'CA$& x

y

z

'A 3

$B&

;

6

2

'CA 3 B

Tomamos la matriz A obtenida de A yuxtaponi9endole la matriz columna B y proH

cedemos a efectuar transformaciones elementales de Jla$B&

2 6 @ ;

2 A 6

@ ! 2

A @ B

'CA #

$B&

2 6 @ ;

4 ; 6 64 6 4 ; 6 6

'CA #

$B&

2 6 @ ;

4 ; 6 64 4 4 4

4 4 4 4

'CA #

#

$B&

A K 4 ;6

4 ; 6 64 4 4 4

4 4 4 4

'CA #

$B&

6 2 4

4 ; 6 64 4 4 4

4 4 4 4

'CA



y tenemos rangoA rangoA ! & " # luego el sistema es compatible indeterminado

y el conjunto de soluciones es

f6x( y( z7 ! R +!x8 "y 9( "y 8 !z "!g f6!""

!,( ,(": 8

:

!,7( $, ! Rg

!" Determinar X tal que AX B # siendo

A

! : :

: =

: :

"A y B

! ! :

= !

! :

"A

Soluci)on+

Tomemos la matriz A! obtenida de A yuxtaponiAendole la matriz B y procedamos

a efectuar transformaciones elementales de Cla

A!

! : : j ! :

: = j = !

: : j ! :

"A &

"a#

! : = j = !

: : j ! :

: : j ! :

"A &

"b#

&

! : = j = !

: : j ! :

= = j = =

"A &

"c#

! : = j = !

= : j ! ":= = j = =

"A

Y tenemos que rang A ! y rang A! ! por lo tanto el sistema es compatible y

determinado y la Aunica soluciAon esE

X

$= !

! ":

%

6a7 Permutamos la primera con la segunda Cla

6b7 A la tercera Cla le restamos la segunda

6c7 A la segunda Cla le restamos la primeraH

,-" Sean a( b( c( d( cuatro nAumeros reales estrictamente positivosH Demostrar que

el sistema siguiente no posee ninguna soluciAon en R

x8 y 8 z 8 t a

x" y " z 8 t b

"x " y 8 z 8 t c

""x8 y " "z " Kt d

&'''(''')



Soluci&on(

El determinante del sistema es - - - -

- - - -

- - - -

. - . /

0

- 1 1 1

- 2 1 1

- 1 2 2

.

0 1

luego el sistema no es de rango m6aximo - - -

- - - - - -

0

- 1 1

- 2 2 - 1 2

0 !0 1

luego el sistema es de rango tres y las tres primeras ecuaciones son independientes;

Consideramos pues el sistema

x= y = z 0 a t

x y z 0 b t

x y = z 0 c t

!"#"$

que es compatible y determinado por ser de rango m6aximo@ y resolviendo por CramerB

tenemos

x 0a= b

2 t@ y 0 t

b= c

2@ z 0

a= c

2 t

Para que el sistema inicial sea compatible estos valores de x' y' z halladosB han de

satisfacer la cuarta ecuaci6on@ substituyendo puesB tenemos

.Fa = b

2 tG = Ft

b= c

2G .F

a= c

2 tG /t 0 d

luego la compatibilidad implica

F.a= 2b= 2cG 0 d

y puesto que a' b' c' d son estrictamente positivosB esta igualdad es imposible y el

sistema es incompatible;

))* Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en C

x= y = z 0 a

x= wy = w z 0 b

x= w y = wz 0 b

!"#"$



sabiendo que w es una ra-.z c-ubica de la unidad2

Soluci&on(

El determinante del sistema es 6 6 6

6 w w

6 w w

7 8w 69 8w 69 7 :w8w 69

8Nota< puesto que w! 7 6 > se tiene w" 7 w! """! y w! 6 7 8w 698w @ w @ 6992

Si w8w 69 !7 ! > el sistema es compatible y determinado para todo a! b!" C y

resolviendo el sistema por Cramer>

x 7

a 6 6

b w w

b w w

:w8w 69

7a@ Db

:

y 7

6 a 6

6 b w

6 b w

:w8w 69

7a b:

z 7

6 6 a

6 w b

6 w b

:w8w 69

7a b:

si w8w 69 7 ! > se tiene que w 7 ! o w 6 7 ! > pero si w! 7 6 > es w !7 ! >

luego ha de ser w 6 7 ! > es decir w 7 6 > en cuyo caso!" 6 6 6 a

6 6 6 b

6 6 6 b

#A #

!" 6 6 6 a

! ! ! b a! ! ! b a

#A

y para que el sistema sea compatible> b a 7 ! > y el conjunto de soluciones es

f8x! y! z9 " C!(x@ y @ z 7 ag

si a !7 b > el sistema es incompatible2


Aplicaciones lineales !

Cap#$tulo ) Aplicaciones lineales

! Consideremos las aplicaciones entre R 0espacios vectoriales siguientes4

a5 f 4 R ! R tal que f7x" y" z5 8 7x9 y" x y" z !5

b5 g 4 R ! R! tal que g7x" y" z5 8 7x9 z" y z5

c5 h 4 R! ! R tal que h7x" y5 8 7x9 k" y 9 k" x9 y5 con k " R

Determinar si son o no lineales<

Soluci)on+

Recordemos que una aplicaci>on f 4 E ! F con E" F ? K 0espacios vectoriales es

lineal? si y s>olo si

!5 #v" w " E" f7v 9 w5 8 f7v5 9 f7w5

A5 #v " E" #, " K" f7,v5 8 ,f7v5

comprobemos si? para cada caso? se veriBcan los axiomas4

a5 !5 sean v 8 7x"" y"" z"5" w 8 7x!" y!" z!5 ? entonces

v 9 w 8 7x" 9 x!" y" 9 y!" z" 9 z!5

f7v 9 w5 8 77x" 9 x!5 9 7y" 9 y!5" 7x" 9 x!5 7y" 9 y!5" 7z" 9 z!5 !

f7v5 9 f7w5 8 7x" 9 y"" x" y"" z" !5 9 7x! 9 y!" x! y!" z! !5 8

8 77x" 9 y"5 9 7x! 9 y!5" 7x" y"5 9 7x! y!5" 7z" !5 9 7z! !55 8

8 77x" 9 x!5 9 7y" 9 y!5" 7x" 9 x!5 7y" 9 y!5" 7z" 9 z!5 A55 $8$8 f7v 9 w5D



luego' no puede ser lineal' /y no hace falta probar !6

b6 76 sean v 8 /x " y " z 6" w 8 /x!" y!" z!6 ' entonces

v 9 w 8 /x 9 x!" y 9 y!" z 9 z!6

g/v 9 w6 8 //x 9 x!6 9 /z 9 z!6" /y 9 y!6 /z 9 z!66

g/v6 9 g/w6 8 /x 9 z " y z 6 9 /x! 9 z!" y! z!6 8

8 //x 9 z 6 9 /x! 9 z!6" /y z 6 9 /y! z!66 8

8 //x 9 x!6 9 /z 9 z!6" /y 9 y!6 /z 9 z!66 8 g/v 9 w6

!6 Sea v 8 /x " y " z 6 ' entonces !' " R " 'v 8 /'x " 'y " 'z 6

g/'v6 8 g/'x " 'y " 'z 6 8 /'x 9 'z " 'y 'z 6

'g/v6 8 '/x 9 z " y z 6 8 /'/x 9 z 6" '/y z 66 8

8 /'x 9 'z " 'y 'z 6 8 g/'v6

luego' g es lineal;

c6 76 Sean v 8 /x " y 6" w 8 /x!" y!6 ' entonces v 9 w 8 /x 9 x!" y 9 y!6

h/v 9 w6 8 //x 9 x!6 9 k" /y 9 y!6 9 k" /x 9 x!6 9 /y 9 y!66

h/v6 9 h/w6 8 /x 9 k" y 9 k" x 9 y 6 9 /x! 9 k" y! 9 k" x! 9 y!6 8

8 //x 9 k6 9 /x! 9 k6" /y 9 k6 9 /y! 9 k6" /x 9 y 6 9 /x! 9 y!66 8

8 //x 9 x!6 9 !k" /y 9 y!6 9 !k" /x 9 x!6 9 /y 9 y!66

para que h/v 9 w6 8 h/v6 9 h/w6 ' es necesario y su=ciente que !k 8 k ' es decir

k 8 >;

!6 Sea pues k 8 >? y sea v 8 /x" y6 ' entonces !' " R" 'v 8 /'x" 'y6

h/'v6 8 /'x" 'y" 'x9 'y6

'h/v6 8 '/x" y" x9 y6 8 /'x" 'y" '/x9 y66 8 /'x" 'y" 'x9 'y6 8 h/'v6

luego' h es lineal si y s@olo si k 8 >;

NotaB no hace falta probar ! para k #8 > ya que de todos modos la aplicaci@on no ser@Da

lineal;

Observaci*on- Sean E y F dos espacios vectoriales sobre K de dimensiones /=nitas6 n

y m respec; y una aplicaci@on f B E 8$ F ' f/v6 8 f/x " 0 0 0 " xn6 8 w 8 /y " 0 0 0 " ym6 '



con xi e yi las coordenadas de los vectores v E y w F respecto a bases de E y

F previamente escogidas3 f es lineal si y s4olo si las coordenadas yi son polinomios

homog4eneos de grado 6 en las variables x ' ( ( ( ' xn 7 y 8 a x 9 ( ( (a nxn : ( ( (: ym 8

am

x 9 ( ( ( am

nxn : y la matrriz de la aplicaci4on en las bases dadas es

A 8

B"

a ( ( ( a n

333333

am

( ( ( am

n

#CA

esto es cada <la de la matriz esta formada por los coe<cientes del polinomio correspon>

diente3

! Sea f 7 R! !" R lineal: de la cual se sabe que

fB6' C' !D 8 BE' F' !6D

fBC' G' 6D 8 B!' E' 6CD

fBG' 6' GD 8 BG' 6' CD

&'(')

Hallar la matriz de f en la base natural3

Soluci)on+

Si fe ' e"' e!g es la base natural: para dar la matriz de f en dicha base necesitamos

conocer fBe D' fBe"D' fBe!D expresados en la base natural

B6' C' !D 8 e 9 Ce" 9 !e!

fB6' C' !D 8 fBe 9 Ce" 9 !e!D 8 fBe D 9 CfBe"D 9 !fBe!D 8

8 BE' F' !6D 8 Ee 9 Fe" 9 !6e!

An4alogamente se tiene que

fBC' G' 6D 8 CfBe D 9 fBe!D 8 !e 9 Ee" 9 6Ce!

fBG' 6' GD 8 fBe"D 8 e" 9 Ce!

es decir: tenemos el sistema

fBe D 9 CfBe"D 9 !fBe!D 8 Ee 9 Fe" 9 !6e!

CfBe D 9 fBe!D 8 !e 9 Ee" 9 6Ce!

fBe"D 8 e" 9 e!

&'(')



que# despejando f+e ," f+e!," f+e", # tenemos

f+e , /0

1e 2

34

1e! 2

5

1e" / +

0

1"34

1"5

1,

f+e!, / e! 2 6e" / +7" 3" 6,

f+e", /5

1e

6

1e! 2

86

1e" / +

5

1"

6

1"86

1,

luego# la matriz ser>a

A /

BBB"

"

#7 $

#

%

#3 !

#

$

#6 &!

#

#CCCA

Otra forma de resolver el problemaC

Puesto que +3" 6" 0," +6" 7" 3," +7" 3" 7, son independientes forman una base fv " v!" v"g deR" E

Fijando esta base en el espacio de partida# y Ijando la natural en el espacio de llegada#

la matriz de la aplicaci>on en estas bases es

B /

" 4 0 7

8 4 3

03 36 6

#A

La matriz de paso de la base fe " e!" e"g a la base fv " v!" v"g es

S /

" 3 6 7

6 7 3

0 3 7

#A

/3

1

" 3 7 6

0 7 36 1 8

#A

y tenemos el diagrama C

R"vi

B

# R"ei

S

x''R"

ei


Aplicaciones lineales

Luego A & BS &

BBB"

!

"' #

"

$

"( %

"

#

") &%

"

#CCCA

! Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensi8on n & ( 9Qu8e desigualdad veri;<

can los rangos de dos endomor;smos f( g de E tales que g ! f & ' >

Soluci(on*

Si g ! f & ' ? entonces para todo x " E se tiene g@f@xAA & ' ? lo que implica que

Imf est8a contenido en Kerg B entonces dim Imf # dim Kerg ? lo que equivale a

decir

rango f C rango g # n

@ya que dimkerg C rango g & n A

+! Demostrar que la aplicaci8on f F R! $ R% de;nida por f@x( y( zA & @x )y( zC

yA es linealG Hallar su matriz en las bases naturales y su rangoG Encontrar una base de

Kerg y otra de Imf G

Soluci(on*

Veamos la linealidadF

Sean v & @x ( y ( z A( w & @x%( y%( z%A G

f@v C wA & f@x C x%( y C y%( z C z%A &

& @@x C x%A )@y C y%A( @z C z%A C @y C y%AA &

& @@x )y A C @x% )y%A( @z C y A C @z% C y%AA &

& @x )y ( z C y A C @x% )y%( z% C y%A & f@vA C f@wA

%8 " R sea v & @x( y( zA

f@8vA & f@8x( 8y( 8zA & @8x )8y( 8z C 8yA &

& @8@x )yA( 8@zC yAA & 8@x )y( ) C yA & 8f@vA

luego? en efecto es linealG



Hallemos la matriz de la aplicaci0on2 calculando la imagen de los vectores de la base

natural de R

f78! 9! 9: ; 78! 9:

f79! 8! 9: ; 7 <! 8:f79! 9! 8: ; 79! 8:

por lo tanto

A ;

8 < 9

9 8 8

!

rango A ; < ; dim Imf ; R! 7; n0umero de vectores columna de A que son

linealmente independientes:>

dim Kerf ; ? rangof ; ? <!; 8

una base de Imf puede ser f78! 9:! 79! 8:g @

determinemos ahora una de Kerf

v # Kerf si y s0olo si f7v: ; 9 > Sea pues 7x! y! z: # Kerf entonces

8 < 9

9 8 8

!"# x

y

z

$A ;

x <y

y D z

!;

9

9

!

Por lo tanto Kerf ; f7x! y! z:2x <y ; 9! yD z ; 9g y una base puede serF tomando

y ; 8 las componentes x! z sonF x ; <! z ; 8 y el vector de la base es 7<! 8! 8:>

De hecho2 los dos primeros apartados y seg0un la observaci0on del problema 8 podemos

resolverlo de la maneraF f es lineal ya que la imagen de un vector dado en coordenadas2

es un vector cuyas coordenadas son polinomios homog0eneos de grado 8 en las variables

del vector inicial> La matriz de la aplicaci0on viene dada por los coeIcientes de dichos

polinomios>

!" Un endomorIsmo f # L7E!: tiene por matriz en la base fe"! e!g de E! a

A ;

< ?

? <

!



Hallar su matriz en la base fe ! e

!g dada por

2e 3 e 4 e!

2e ! 3 e! " e

Soluci&on(

Tenemos el diagrama

R!B

""""# R!

!B

y !

B

x E!

f

""""# E!

!A

x !

A

yR!

A

""""# R!

La relaci9on entre ambas matrices es

B 3 S! AS

siendo S 3 &!

A&B la matriz cambio de base que para la base fe ! e!g

S 3

#$

!"

!

!

!

%A

Necesitamos conocer S!

S! 3

'< <

"< <

(

y por lo tanto

B 3

'< <

"< <

('2 ">

"> 2

('

!"

!

!

!

(3

'"< ?

?

(

*+ Sea f A R! "# R" una aplicaci9on lineal deBnida por

fCx! yD 3 C2x" y! x4 y! 2y " xD



a# Dar la matriz de f en las bases naturales de R y R! respectivamente5 calcular

f67! " # 8

b# Dar una base9 y la dimensi:on de Kerf y de Imf 8

c# Dar la matriz de f en las bases fv"! v g 9 fu"! u ! u!g 9 siendo

v" < 6=! >#

v < 6?! 7#

u" < 6>! >! >#

u < 6=! ?! >#

u! < 6?! ?! =#

!"#"$

Calcular f6" v" A 6""

!#v # 8

Soluci'on)

a# f6>! ?# < 6=! >!">#! f6?! ># < 6">! >! =# 9 luego la matriz de f en las bases natuC

rales es

A <

%& = ">

> >

"> =

'A y

f67!>

=# <

%& = ">

> >

"> =

'A) 7

"

*<

%& ""

#

"=

'A

b# Kerf < f6x! y# # R ,f6x! y# < ?g 9 luego

%& = ">

> >

"> =

'A)x

y

*< 6? ? ? # $

=x" y < ?

xA y < ?

"x A =y < ?

!"#"$

Sistema compatible y determinado luego Kerf < f6?! ?#g y dim Kerf < ? 9 por lo

tantodim Imf < dim R " dim Kerf < = y

Imf < E6=! >!">#! 6">! >! =#F

c# Tenemos el diagramaH

R A

""""% R!

S

x,, T

yR

fvigB

! R!fuig



siendo S (

) *

+ ,

!la matriz de paso de la base fv " v!g a la natural y T ("

# + ) *

+ * *

+ + )

$A la matriz de paso de la base fu " u!" u"g a la natural7 Necesitamos

T

T (+

:

"# * : *

) ") *

"+ "+ )

$A

y por lo tanto

B ( T AS (

"# , ,

* ",

""

!,

$A

;nalmente< si hacemos

f>,

)v ? >"

+

,v!@@ (

"# , ,

* ",

""

!,

$A "

!

"

"

!(

"# #

!

+

" "

$

$A (

(A

)u ? u! "

+,

:u"

observamos que "

!v ? >"

"@v! (

"

!>)" +@"

">*" ,@ ( >,"

!@ D luego

A

)u ? u! "

+,

:u" ( >

++

)"A

)"")@

! Sean E" F"G tres K Gespacios vectoriales >de dimensiHon ;nita@< y sean

f I E "# G

g I F "# G

dos aplicaciones lineales7 Demostrar que es condiciHon necesaria y su;ciente para que

exista al menos una aplicaciHon h I E "# F tal que g $ h ( f < que Imf % Img 7

Soluci(on*

Consideremos el diagrama



Eh

! F

f

y g

G

Veamos que la condici/on es necesaria1 Sea y " Imf 3 existe pues x " E 7 tal que

f8x9 : y 3

si g # h : f se tiene g8h8x99 : f8x9 : y 7 es decir7 existe z " F 8z : h8x99 7 tal

que g8z9 : y 1 Por lo tanto7 Imf $ Img 1

Veamos que la condici/on es su<ciente1 Consideremos Kerg $ F y sea F $ F 7 tal

que F : Ker g % F 1

Dado x " E 7 vamos a de<nir h8x9 1 Sea f8x9 " Imf $ Img 7 luego existe y " F tal

que g8y9 : f8x9 con y : y B y! 7 y " Kerg 7 y! " F 1 Luego g8y9 : g8y!9 1

De<nimos h8x9 : y! 1 h est/a bien de<nido7 pues sean y : y B y!. y : y B y! tales

que g8y9 : g8y9 3 entonces y y " Kerg 3 puesto que y! y! " F y y y " Kerg 7se tiene que y! y! " Kerg & F : f!g 3 luego y! : y! 1

! Sea RExF el espacio de los polinomios a coe<cientes reales1 De<nimos D.M G

RExF ! RExF mediante

H9 D8P 8x99 : P 8x9 polinomio derivado1

I9 M8P 8x99 : xP 8x9

a9 Probar que D y M son lineales1

b9 JEs D nilpotenteL 8diremos que f " L8E9 es nilpotente si existe n " N 7 tal que

fn : !91

c9 Probar que DM MD : I 1

d9 Deducir de ello que 8DM9! : D!M! DM 1

Soluci*on,



a# Veamos que se cumplen las dos condiciones

D1p1x# 2 q1x## 3 1p1x# 2 q1x## 3 p 1x# 2 q 1x# 3 D1p1x# 2D1q1x##

D1$p1x## 3 1$p1x## 3 $p 1x# 3 $D1p1x##

luego D es lineal5

M1p1x# 2 q1x## 3 x1p1x# 2 q1x## 3 xp1x# 2 xq1x# 3M1p1x## 2M1q1x##

M1$p1x## 3 x1$p1x## 3 $xp1x# 3 $M1p1x##

luego M es lineal5

b# Si existe n N tal que Dn 3 : ; implica que para todo p1x# R=x> ; es

Dnp1x# 3 :

Sea q1x# 3 an !xn ! 2 ( ( (2 a" ; con an ! !3 :;

Dn1q1x## 3 Dn!!1D1q1x## 3 Dn!!1an !1n2 !#xn 2 ( ( (2 a!# 3

3 ( ( ( 3 an !1n2 !#? !3 :

contradicci@on5 Luego D no es nilpotente5

N@otese que R=x> es de dimensi@on inCnita; y que si nos restringimos a DjRn #x$ E

Rn=x> "# Rn=x> entonces s@F que es nilpotente; pues Dn ! 3 :

c# Dadas f* g End1E# entonces f 3 g $ %x E f1x# 3 g1x# ; en nuestro casoE

1DM "MD#1p1x## 3 D1M1p1x###"M1D1p1x### 3

D1xp1x##"M1p 1x## 3 p1x# 2 xp 1x#" xp 1x# 3 p1x# 3 I1p1x##

luego DM "MD 3 I

d# 1DM#% 3 1DM#1DM# 3 D1MD#M 3 D1DM " I#M 3 1D%M "D#M 3 D%M%"DM

"# Sea E el espacio de las matrices cuadradas a coeCcientes en C de orden H5 DeCnI

imos una aplicaci@on f de E en C de la forma

f1

a b

c d

!## 3 a2 d



a# Probar que f es lineal/

b# Probar que si A" B son dos elementos cualesquiera de E 4 se tiene f5AB# 6

f5BA# /

c# Demostrar que es imposible encontrar dos elementos de E tales que

AB BA 6 I

d# Dar una base de Ker f /

Soluci&on(

a# Sean A 6

a b

c d

!A 6

a b

c d

!

f5A :A # 6 f5

a: a b: b

c: c d: d

!# 6 a: a : b: b 6

6 a: d: a : d 6 f5A# : f5A #

f5-A# 6 f5

-a -b

-c -d

!# 6 -a: -d 6 -5a: d# 6 -f5A#

luego f es lineal/

Otra forma> escogidas bases e 6" !

! !

#4 e" 6

"!

! !

#4 e# 6

"! !

!

#4 e$ 6

"! !

!

#4 para

E y @ para C4 la aplicaciAon se expresa>

f5a" b" c" d# 6 a : d

y ahora podemos aplicar la observaciAon dada en el problema @/

b# Sean A 6

a b

c d

!B 6

a b

c d

!4 entonces

AB 6

aa : bc ab : bd

ca : dc cb : dd

!BA 6

a a: b c a b: b dc a: d c c b: d d

!

f5AB# 6 aa : bc : cb : dd 6 a a: b c: c b: d d 6 f5BA#

c# Puesto que f5AB# 6 f5BA# se tiene que f5AB BA# 6 E4 o sea que4 para

todo A" B ! E se tiene que AB BA ! ker f / Si I 6 AB BA para unas ciertas

matrices A" B se tendrAFa I ! ker f 4 pero f5I# 6 ! "6 EG luego4 para todo A" B ! E

es AB BA "6 I /



"Comparar dicho resultado con el hallado en el apartado c3 del problema anterior56

d5 Si A 8

a b

c d

! ker f es a 8 !d 9 luego

A 8

a b

c d

!8 a

; <

< !;

!= b

< ;

< <

!= c

< <

; <

!8 aA = bA! = cA"

A ) A!) A" ker f 3 generan ker f y son linealmente independientes3 luego son base

de ker f 6

!" Sea E un espacio vectorial sobre K / cuerpo conmutativo de caracter23stica dis4

tinta de dos5 Diremos que p End8E9 es un proyector si y s2olo si p ; p 5

a9 Comprobar que= p es proyector ! I " p es proyector5

b9 Comprobar que= p es proyector# Imp$Kerp ; E

c9 > Es cierto el rec23proco de b@

d9 Si p!) p son proyectores/ comprobar que p!Ap es proyector si y s2olo si p! %p ;p % p! ; B5

Soluci&on(

a9 # 9 8I " p9 ; I A p " Ip " pI ; I A p " Cp ;"a#I A p" Cp ; I " p / luego si

p es proyector I " p tambi2en lo es5

8a9 por ser p proyector

& 9 Puesto que 8I " p9 ; I " p / se tiene que I A p " Cp ; I " p / luego p " p ; B /

es decir/ p ; p

b9 Sea x E 5 Consideremos x" p8x9 F se tiene que

p8x" p8x99 ; p8x9" p 8x9 ; p8x9" p8x9 ; B

luego x " p8x9 Kerf 5

Obviamente/ x ; p8x9 A x" p8x9 ImpAKerp 5

# E ' ImpAKerp ' E # ImpAKerp ; E



Veamos que la suma es directa0 sea x Kerp ! Imp 1 se tiene p3x4 5 6 y existe

y E 9 tal que p3y4 5 x 9 luego 6 5 p3x4 5 p 3y4 5!a"

p3y4 5 x ;

Entonces E 5 Imp"Kerp

3a4 por ser p proyector

c4 Consideremos E 5 R y f tal que su matriz en la base natural sea

A 6

6 6

!;

Se tiene Imf 5 C3D* 64E* Kerf 5 C36* D4E 9 luego R 5 Imf " Kerf ; Sin embargo9 A 6

6 6

!

5

! 6

6 6

!#5 A 6

6 6

!9 luego f no es proyector;

Nota0 En un espacio de dimensiGon Hnita E se tiene siempre que

dim E 5 dim Imf I dim Kerf

para todo f EndE 9 pero esto no implica E 5 Imf "Kerf ; Para ello veamos un

ejemplo0

Sea R y f tal que en la base natural sea

6 D

6 6

!

Tenemos Imf 5 C36* D4E y Kerf 5 C36* D4E 9 luego Imf 5 Kerf y no pueden formar

sumar directa1 pero

dim Imf I dimKerf 5 D I D 5 A 5 dimR

d4 Sean p#* p proyectores; Si p# I p es proyector $ 3p# I p 4 5 p# I p pero

3p# I p 4 5 p # I p I p# % p I p % p# 5 p# I p I p# % p I p % p#

luego p# % p I p % p# 5 6 1 luego p# % p 5 &p % p# 9 por lo tanto

p# % 3p# % p 4 5 &p# % 3p % p#4p# % p 5 p # % p 5 &3p# % p 4 % p#

y componiendo esta Gultima igualdad por p# por la derecha tenemos

3p# % p 4 % p# 5 &33p# % p 4 % p#4 % p# 5 &3p# % p 4 % 3p# % p#4 5 &3p# % p 4 % p#

luego p# % p % p# 5 &p# % p % p# $ Ap# % p % p# 5 6 $!a"

p# % p % p# 5 6 1 por lo que

p# % p 5 &p# % p % p# 5 6



luego p p! ' p! p ' () y rec-.procamente) si p ! p! son proyectores y p p! '

p! p ' ( ) se tiene

6p 7 p!8! ' p! 7 p!! 7 p p! 7 p! p ' p 7 p!

luego p 7 p! ) es un proyector9

6a8 aqu-. es donde interviene la hip-otesis de carac K !' >

! Sean u ' 6>!"@! @8! u! ' 6@! @! (8! u" ' 6@!">! A8! u# ' 6 !"@! 8 vectores

de R" y sea f B R" "# R! una aplicaci-on lineal de la que conocemos f6u 8 '

6@!"@8! f6u!8 ' 6C! @8 y f6u"8 ' 6A! @8 9

a8 DEs posible determinar f6u#8 G) DPor qu-eG

b8 La aplicaci-on f Dser-a inyectivaG Dser-a exhaustivaG

c8 Calcular la matriz de f en las bases naturales de R" y R! respectivamente9

d8 Determinar una base de Kerf 9

Soluci)on+

a8 Es posible hallar f6u#8 ya que fu ! u!! u"g forman base de R" 9

6En efecto)

> @ @

"@ @ ">

@ ( A

' !' ( 8 ) por lo tanto

u# ' au 7 bu! 7 cu" y f6u#8 ' af6u 8 7 bf6u!8 7 cf6u"8

b8 f no puede ser inyectiva) ya que

dim Kerf ' dim R" " dim Imf & A" > ' @ !' (

6dim Imf ' > puesto que Imf ( R! 8 9

f ser-a exhaustiva en caso de que dim Imf ' > 9 Veamos si es as-.B la matriz de f en

la base fu ! u!! u"g de R" y la natural de R! es

A '

!@ C A

"@ @ @

"



y rangoA " # " rango

$ % &

$ $ $

!" rango

$ ' '

$ ( %

!"

" rango

$ ' '

$ $ '

!

c* La matriz de f en las bases naturales ser9a

R ui

A

! R!

S

""y A

R ei

S es la matriz de cambio de base de fu") u!) u g a la natural fe") e!) e g ; y A "

AS!" con

S "

$BBB&

# $ $

$ $ #

$ ' &

'CCCA y S!" "

$BBB&

"

! "

! "

!

"

#

$

#

"

!

"

#

"

#

"

!

'CCCA

A "

$ % &

$ $ $

!$BBB&

"

! "

! "

!

"

#

$

#

"

!

"

#

"

#

"

!

'CCCA "

$& !

!%

#&

"

!

!

!

'A

d* Kerf " f<x) y) z* $ R /f<x) y) z* " 'g$& !

!%

#&

"

!

!

!

'A$& x

y

z

'A "

'

'

!

%x= #'y = $>z " '

x= &y = &z " '

*

Sistema compatible indeterminado de rango )" # cuyo conjunto de soluciones es

Kerf " f<x) y) z* $ R /y " $(

$ z x "

&

$ zg " B<&) $() $ *C

!"# Encontrar los valores de a para los cuales el endomorFsmo de R dado por

f<x) y) z* " <x= ay az) ax = y = z) ax= ay = z* es un automorFsmoG



Soluci&on(

f ser%a automor+smo si el determinante de su matriz asociada2 en cualquier base2 es

distinto de cero5 Busquemos pues la matriz de f en la base natural 8por ejemplo:5

f8;! <! <: = 8;! a! a:f8<! ;! <: = 8a! ;! a:

f8<! <! ;: = 8 a! ;! ;:

luego

A =

! ; a a

a ; ;

a a ;

"A

y det A = ; a @a a! = 8aA ;:8aA ; pB:8aA ; A

pB: 2 luego det A "= < si

y s%olo si a es distinto de

;! ; ApB! ;

pB

)*+ Sea la matriz

A =

! < B ;

< < @

< < <

"A

asociada a la aplicaci%on lineal f de+nida sobre R! respecto la base natural5

a: Hallar los subespacios Im f y Ker f 5

b: Hallar una base de R! para la cual la matriz de f en dicha base sea

B =

! < ; <

< < ;

< < <

"A

Soluci&on(



a# Recordando la de,nici.on de Im f y de Ker f 0

Imf 1 fy ! R '"x ! R con f2x# 1 yg 1

1 3f24) 5) 5#) f25) 4) 5#) f25) 5) 4#6 1

1 325) 5) 5#) 27) 5) 5#) 24) 8) 5#6 1 327) 5) 5#) 24) 8) 5#6

Kerf 1 fx ! R 'f2x# 1 5g ! 5 7 4

5 5 8

5 5 5

"A ! x

y

z

"A 1

! 5

5

5

"A$

7y 9 z 1 5

8z 1 5

$

% Kerf 1 324) 5) 5#6

De hecho< observando la matriz A que es de rango 7 y la primera columna es id.enticamente

nula< ya podemos a,rmar que Kerf 1 324) 5) 5#6

b# Buscamos v! 1 2x!) x") x #) v" 1 2y!) y") y #) v 1 2z!) z") z # tales que formen

base< y si

S 1 )

!x! y! z!

x" y" z"x y z

"A

entonces SB 1 AS

! x! y! z!

x" y" z"x y z

"A ! 5 4 5

5 5 4

5 5 5

"A 1

! 5 7 4

5 5 8

5 5 5

"A !x! y! z!

x" y" z"x y z

"A

por lo tantox" 1 x 1 y 1 5

7y" 1 x!

8z 1 y"

7z" 9 z 1 y!

%&&&'&&&(

y podemos tomar0

v! 1 2 ) 5) 5# v" 1 24) 8) 5# v 1 25) 5) 4#

!"# Se considera la aplicaci.on fk 0 R &' R de,nida por

fk2x) y) z# 1 227& k#x9 2k & 4#y) 724& k#x9 27k& 4#y) kz#



a# Determinar la matriz de fk asociada a la base natural de R

b# Determinar Kerfk

c# Supuesto k5k 6# !7 8 9 demostrar que la matriz Mk puede ponerse de la forma

Mk 7 A < kB donde A y B son dos matrices a determinar9 y dar la expresi?on de

M!ken funci?on de A( B y k y deducir de ello una expresi?on para Mn

k

Soluci'on)

a#

f56( 8( 8# 7 5@ k( @56 k#( 8#

f58( 6( 8# 7 5k 6( @k 6( 8#

f58( 8( 6# 7 58( 8( k#

luego

Mk 7

! @ k k 6 8

@56 k# @k 6 8

8 8 k

"A

b# Observamos que detMk 7 k! 9 luego9 si k !7 89 es rangofk 7 D y9 por tanto9

Kerfk 7 f8g

Sea pues k 7 8

M" 7

! @ 6 8

@ 6 8

8 8 8

"A

y el Kerf" esE ! @ 6 8

@ 6 8

8 8 8

"A ! x

y

z

"A 7

! 8

8

8

"A $ @x y 7 8

Luego Kerf" 7 G56( @( 8#( 58( 8( 6#H

c#

Mk 7

! @ 6 8

@ 6 8

8 8 8

"A< k

! 6 6 8

@ @ 8

8 8 6

"A 7 A < kB

M!k7 5A< kB#! 7 A! < k!B! < kAB < kBA I



Observamos que

A -

! . / !

. / !

! ! !

"A ! . / !

. / !

! ! !

"A -

! . / !

. / !

! ! !

"A - A

B -

! / / !

. . !

! ! /

"A ! / / !

. . !

! ! /

"A -

! / / !

. . !

! ! /

"A - B

AB -

! . / !

. / !

! ! !

"A ! / / !

. . !

! ! /

"A -

! ! ! !

! ! !

! ! !

"A - !

BA -

! / / !

. . !

! ! /

"A ! . / !

. / !

! ! !

"A -

! ! ! !

! ! !

! ! !

"A - !

luego2 M k- A3k B 2 y por lo tanto2 por inducci;on se concluye que Mn

k- A3knB 2

ve;amoslo<

Es v;alido para n - / 2 supuesto cierto para n / < Mn !k

- A 3 kn !B > ve;amoslo

para n <

Mn

k-MkM

n !k

-Mk?A3 kn !B@ - ?A3 kB@?A 3 kn !B@ -

- A 3 kn !AB 3 kBA 3 knB - A 3 kn !! 3 k! 3 knB - A 3 knB

Nota< si k - ! 2 entonces B podr;Ba ser cualquier matriz2 y por tanto no tendr;Ba por

qu;e ser AB - BA - ! D Y si k - /2 Mk - I y Mn

k- I 2 si bien la expresi;on hallada

tiene sentidoD

!" Sea RnIxJ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que

n D Consideremos los endomorLsmos f(D < RnIxJ ! RnIxJ siendo D el operador

derivada< D?p?x@@ - p!?x@ y f tal que f?p?x@@ - p?x@ p!?x@ D Demostrar que

existe f ! 2 y que se puede poner en funci;on del operador D D

Soluci*on,

Sea p?x@ " Kerf # f?p?x@@ - ! - p?x@ p!?x@ 2 luego p?x@ - p!?x@ D Pero

grado p!?x@ $ grado p?x@ 2 y vale la igualdad2 si y s;olo si grado p?x@ - ! 2 luego

p?x@ - a polinomio constante2 pero p!?x@ - ?a@! - ! D Luego a - ! y p?x@ - ! D



Por lo tanto) f es inyectiva y toda aplicaci2on lineal inyectiva de un espacio vectorial de

dimensi2on 5nita en s26 mismo es exhaustiva) y por tanto) existe f 9

Si f se puede poner en funci2on de D esta ha de ser<

f = "!D! > > "nD

n ya que Dn" = @

y ha de cumplirse que f ! f = I

Notar que< f = I " D

I = f ! f = B"!D! > $ $ $> "nD

nC ! BI " DC =

= "!D! > $ $ $> "nD

n " "!D " " "D

n !

n=

= "!I > B" " "!CD > B"# " " CD

# > B"n " "n CDn

por lo tanto"! = !

" " "! = @

"n " "n = @

!!!"!!!#

# "i = ! i = !& & n

y f = D! > $ $ $>Dn 9


Determinantes !

Cap#$tulo ) Determinantes

! Dadas las permutaciones s 1 23! !! 4! 56! t 1 24! 5! 3! !6 7 determinar las permuta8

ciones s t ! t s ! s ! t 7 as9: como el signo de cada una de ellas<

Soluci(on*

Recordando que s 1 2a! b! c! d6 signi?ca s246 1 a 7 s256 1 b 7 s2!6 1 c 7 s236 1 d 7

tenemos

s t246 1 s2t2466 1 s246 1 3

s t256 1 s2t2566 1 s256 1 !

s t2!6 1 s2t2!66 1 s236 1 5

s t236 1 s2t2366 1 s2!6 1 4

!!!"!!!#

s t 1 23! !! 5! 46

t s246 1 t2s2466 1 t236 1 !

t s256 1 t2s2566 1 t2!6 1 3

t s2!6 1 t2s2!66 1 t246 1 4

t s236 1 t2s2366 1 t256 1 5

!!!"!!!#

t s 1 2!! 3! 4! 56

De s 246 1 i tenemos s2i6 1 4 luego i 1 !

De s 256 1 i tenemos s2i6 1 5 luego i 1 3

De s 2!6 1 i tenemos s2i6 1 ! luego i 1 5

De s 236 1 i tenemos s2i6 1 3 luego i 1 4

!!!"!!!#

s 1 2!! 3! 5! 46

De t 246 1 i tenemos t2i6 1 4 luego i 1 4

De t 256 1 i tenemos t2i6 1 5 luego i 1 5

De t 2!6 1 i tenemos t2i6 1 ! luego i 1 3

De t 236 1 i tenemos t2i6 1 3 luego i 1 !

!!!"!!!#

t 1 24! 5! 3! !6



Veamos cu*al es el signo de cada una de estas permutaciones

N3s4 5 6 7 8 5 9 luego s es impar : " 3s4 5 ;N3t4 5 ; luego t es impar : " 3t4 5 ;

"3st4 5 "3s4 ! "3t4 5 3 ;4 ! 3 ;4 5 ;

"3ts4 5 "3t4 ! "3s4 5 3 ;4 ! 3 ;4 5 ;

"3s 4 5 "3s4 5 ;"3t 4 5 "3t4 5 ;

! Hallar el valor del determinante

jAj 5

6 ; 8

> ; ;

; > ;

Soluci(on*

Recordando la de@nici*on de determinante:

si A 5 3aij4& detA 5

Xs

"3s4as as!

! as"

"

se tiene

jAj 5 76 ! ; ! ; 7 > ! > ! 8 7 ; ! ; ! ; ; ! ; ! 8 6 ! > ! ; > ! ; ! ; 5 6 7 ; 8 5 8

+! Hallar el valor del determinante

jAj 5

6 8 ! 9

8 > 9 8

; 6 ; 8

8 9 8 6


Determinantes !

a# Por la regla de Laplace. por ejemplo. por los menores de las dos primeras

columnas5

b# Por los elementos de una l89nea. por ejemplo. de la primera :la5

c# Obteniendo <a priori=ceros en una l89nea y desarrollando luego por los elementos de

8esta ?reducci8on del orden#5

Soluci&on(

a#

jAj @

A !B C !

B D ! B

E A !E B

B ! B !A

?E#

?B#

?A#

?C#

Hay que formar sumas de productos de determinantes B " B . extra89dos de A

de manera que las dos columnas del primer factor se correspondan con la primera y

segunda columnas de A y las dos columnas del segundo factor se correspondan con

la tercera y cuarta columnas de A 5 Cada factor tendr8a dos :las cuya ordenaci8on

ser8a una permutaci8on de fE! B! A! Cg 5

Por ejemplo

?E#

?B#

A !B

B D

% !E B

B !A

?A#?C#K

?E#

?A#

A !B

E A

% ! B

B !A

?B#?C#! etc5

El signo de cada sumando ser8a el signo de la correspondiente permutaci8on de :las5

Por ejemplo. el signo del primer sumando anterior es el signo de la permutaci8on

?E! B! A! C#. que es M . y el del segundo. el de la permutaci8on ?E! A! B! C#. que

es ! 5

Pasemos pues al c8alculo de jAj

jAj @ M

A !B

B D

% !E B

B A

! A !B

E A

% ! B

B !A

M A !B

B !

% ! B

!E B

MM

B D

E A

% C !

B !A

! B D

B !

% C !

!E B

M E A

B !

% C !

! B

@@ C?!E#! EE?!EN# M EN"EB M O?!BB# ! ED"EA M ?!E#"?!E # @ EPP"



b#

jAj $

% !& ' (

& ) ( &

* % !* &

& ( & !%

$ %

) ( &

% !* &

( & !%

! +!&#

& ( &

* !* &

& & !%

,

, '

& ) &

* % &

& ( !%

! (

& ) (

* % !*

& ( &

$$ %!** , &!'* ! '!') ! (!* $ %(* , -& ! *!) ! -( $ *--!

c# Seguiremos un m9etodo que nos permite obtener el m9aximo n9umero de ceros en una

l9Anea +Bla o columna# a base de sumarle a dicha l9Anea una combinaci9on lineal de las

restantesD Por ejemploG como en la segunda columna hay un ceroG empleamos esta

columna para rellenarla de ceros

fila a !"fila b !"fila c !"fila d !"

% !& ' (

& ) ( &

* % !* &

& ( & !%

substituimos la Bla c por c!d!a +combinaci9on lineal de Blas#G es decirG le sumamos

a la Bla c las Blas a y d cambiadas de signo#

fila a !"fila b !"fila c !"fila d !"

% !& ' (

& ) ( &

!' ) ! )

& ( & !%

substituimosG por ejemploG la Bla d por d,

!a G quedando

% !& ' (

& ) ( &

!' ) ! )"#

!) *& "#

!

Desarrollando pues por la segunda columna tenemos


Determinantes

! "#

" $ "

% & !

"'" !

"

( "'

"

" $ "

% &

') "% ')

( '**

! Probar que

Vn (

' x x" " " " xn

' x" x"" " " " xn "

" " " " " " " " " " " " " " "

" " " " " " " " " " " " " " "

' xn x"n

" " " xn n

(

Y !i"j!n

!xj xi#

para n ! " !Es el llamado determinante de Van der Monde#>

Soluci(on*

Vamos a probarlo por inducci@on>

Para n ( "

V" (

' x ' x"

( x" x

Supongamos que es cierto para m ( n 'C veamos que tambi@en lo es para n



Vn " a!

# $ $ $ ! ! ! $

# x" x# x"" x#x" x$

" x""x# ! ! ! xn #

" xn "" x#

# x$ x# x"$ x#x$ x$

$ x"$x# ! ! ! xn$ xn "

$ x#

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

# xn x# x"n xnx# x$

n x"

nx# ! ! ! xn #

n xn "

nx#

" b!

"

x" x# x"

" x#x" x$" x"

"x# ! ! ! xn #" xn "

" x#

x$ x# x"$ x#x$ x$

$ x"$x# ! ! ! xn #

$ xn "$ x#

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

xn x# x"n x#xn # x$

n x"

nx# ! ! ! xn #

n xn "

nx#

" c!

" %x" x#&%x$ x#& ! ! !%xn x#&

# x" x"

" ! ! ! xn ""

# x$ x"$ ! ! ! xn "

$

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

# xn x"n

! ! ! xn "n

" d!

" %x" x#&%x$ x#& ! ! !%xn x#&Vn # "Y

#!i&j!n%xj xi&

%a& restando a la segunda columna la primera multiplicada por x# y a la tercera

la segunda por x# 7 8887 y a la n9sima la %n9#&9sima por x# 8

%b& desarrollando por la primera :la8

%c& si una :la o columna est;a multiplicada por un escalar7 ;este sale fuera8

%d& el determinante es el de Van der Monde de orden n9#8

! Calcular

V "

# # #

b@ c c@ a a @ b

bc ac ab

Soluci(on*

V " a!

# $ $

b@ c a b a c

bc ac bc ab bc

" b!

a b a c

c%a b& b%a c&

""%a b&%a c&

# #

c b

" %a b&%a c&%b c&


Determinantes !

"a# restando la primera columna a la segunda y tercera4

"b# desarrolllando por la primera 5la4

! Calcular

7

z !z 8

8 z !99 z z : 9

sabiendo que z " C es tal que z! 7 9 y z #7 9

Soluci)on+

7 z $ z $ "z: 9#: 8 $ z $ 8: 9 $ "!z#"!9#! 9 $ z $ 8! z $ z $ "!9#! 8 $ "!z#"z : 9# 7

7 z" : z# : z : z

Ahora bien? puesto que

8 7 z! ! 9 7 "z ! 9#"z" : z# : z : z : 9#

se tiene

@oz ! 9 7 8

z" : z# : z : z : 9 7 8

!pero z #7 9

luego z" : z# : z : z : 9 7 8? de donde 7 !9

,! Calcular el determinante de orden n siguiente

An 7

A 9 8 8 % % % 8 8

9 A 9 8 % % % 8 8

8 9 A 9 % % % 8 8

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

8 8 8 8 % % % 9 A



Soluci&on(

Desarrollando por la primera columna tenemos

An 12

2 3 ! ! ! ! ! !

3 2 3 ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! 3 2

3

3 ! ! ! ! ! ! !

3 2 3 ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! 3 2

1

1 a!

2

2 3 ! ! ! ! ! !

3 2 3 ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! 3 2

3 ! 3

2 3 ! ! ! ! ! !

3 2 3 ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! 3 2

112An " An #

4a5 desarrollando el segundo determinante por la primera 7la

Luego tenemos la relaci9on de recurrencia siguiente

An 1 2An " An #

que nos permitir9a deducir el valor de An < tenemos que para n 1 3$ 2$ = es

A" 1 2$ A# 1 =$ A$ 1 >

Supongamos pues que An " 1 n @ veamos que An 1 nA 3

An 1 2An " An # 1 2n 4n 35 1 2n nA 3 1 nA 3

luego An 1 n A 3

)* Sin efectuar el desarrolloC probar que

" 1

3 a bA c

3 b cA a

3 c aA b

1 !


Determinantes !

Soluci&on(

Sabemos que no se altera el valor de un determinante si a una l23nea le sumamos una

combinaci2on lineal de las dem2as5 Sumando a la tercera columna la segunda7 nos queda

8

! a a 9 b9 c

! b b9 c9 a

! c c9 a9 b

8 :a9 b9 c;

! a !

! b !

! c !

8 a!

<

:a; observando que hay dos columnas iguales

)* Calcular las ra23ces de la ecuaci2on

n 8

! 9 x ! $ $ $ !

! ! 9 x $ $ $ !

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

! ! $ $ $ ! 9 x

Soluci&on(

Sumando a la primera columna todas las dem2as tenemos

n 8

n 9 x ! $ $ $ !

n 9 x ! 9 x $ $ $ !

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

n 9 x ! $ $ $ ! 9 x

8 :n9 x;

! ! $ $ $ !

! ! 9 x $ $ $ !

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

! ! $ $ $ ! 9 x

8

8 a!

:n9 x;

! < $ $ $ <

! x $ $ $ <

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

! < $ $ $ x

8 :n9 x;xn " 8 <

:a; restando a cada columna7 a partir de la segunda7 la primera columna

Luego las ra23ces son x 8 !n y x 8 < de multiplicidad nB!5

+,* Sabiendo que ! C7 DE FG7 G CGH7 FI CH7 EFGHF son divisibles por !C7 demostrar

que D es tambi2en m2ultiplo de !C7 siendo D el determinante siguiente



D "

# $

% & ' (

( $ ( !

' ) $ !

& ' ( ! '

sin calcular el valor del determinante8

Soluci&on(

Sabemos que

# $ " #$a

%& '( " #$b

( $(! " #$c

') $! " #$d

&'(!' " #$e

!"""""#"""""$

con a& b& c& d Z

D "#

#<

# ! #< $

% ! #< & ' (

( ! #< $ ( !

' ! #< ) $ !

& ! #< ' ( ! '

"

"#

#<

# ! #< = ! #<! = ! #<" = ! #< = $ $

% ! #< = & ! #<! = ! #<" = ' ! #< = ( & ' (

( ! #< = ! #<! = $ ! #<" = ( ! #< = ! $ ( !

' ! #< = ) ! #<! = ! #<" = $ ! #< = ! ) $ !

& ! #< = ' ! #<! = ( ! #<" = ! ! #< = ' ' ( ! '

"

"#

#<

# $ $

%& '( & ' (

( $(! $ ( !

') $! ) $ !

&'(!' ' ( ! '

"

#

#<

#$a $

#$b & ' (

#$c $ ( !

#$d ) $ !

#$e ' ( ! '

"

"#$

#<

a $

b & ' (

c $ ( !

d ) $ !

e ' ( ! '

"

#$

#< !D


Determinantes !

D " !

" D # puesto que mcd+,- ,.#/ " , y D$ D ! Z 1 se tiene que

D " ,.# h y por tanto D " ,-h

!!" Determinar la inversa de la matriz A " +aij/

A "

! , < <

< , <

< < ,

"A

Soluci)on+

A! ",

det A+Aij/

Siendo

Aji " +",/i$j det

BBBBB!

a a % * * * a j! a j$ * * * a n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ai! # ai! #% * * * * * * * * * * * * ai! #n

ai$ # ai$ #% * * * * * * * * * * * * ai$ #n

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

an an% * * * * * * * * * * * * ann

"CCCCCA

Nota? Aij " At

ji

Luego1 det A " B

A " +",/%&&&& , <

< ,

&&&& " "! A % " +",/&&&&& < <

< ,

&&&& " <

A & " +",/#&&&& < <

, <

&&&& " < A% " +",/&&&&& < <

< ,

&&&& " <

A%% " +",/#&&&& , <

< ,

&&&& " "! A%& " +",/'&&&& , <

< <

&&&& " <

A& " +",/#&&&& < ,

< <

&&&& " < A&% " +",/'&&&& , <

< <

&&&& " <

A&& " +",/(&&&& , <

< ,

&&&& " "!



por lo que la matriz inversa es1

A 23

4

5 6 6

6 5 6

6 6 5


Diagonalizaci)on de endomor.smos !

Cap#$tulo ) Diagonalizaci#on de endomor4smos

! Sea Eun R'espacio vectorial y f un endomor4smo de E cuya matriz en una

determinada base fu # u!# u"g es

A 7

! 8 9 8

: 8 9

; 8 :

"A

Hallar el polinomio caracter=>stico Q?t@ A

Q?t@ 7

$$$$$$8" t 9 8

: 8" t 9

; 8 :" t

$$$$$$ 77 "t" B ?trA@t! " ?A B A!! B A""@tB detA 7

7 "t" B 9t! B CtB D

Nota Aii es el determinante del menor adjunto al elemento aii de la matriz A A

#! Determinar el polinomio caracter=>stico de la matriz

A 7

B!a! ab ab b!

ab a! b! ab

ab b! a! ab

b! ab ab a!

"CA

dando sus ra=>cesA

Soluci*on,



det"A tI# $

"a% b# t ab ab b

"a% b# t a t b ab

"a% b# t b a t ab

"a% b# t ab ab a t

$

$ ""a% b# t#

& ab ab b

& a t b ab

& b a t ab

& ab ab a t

$

$ ""a% b# t#

& ab ab b

' a ab t b ab ab b

' b ab a ab t ab b

' ' ' a b t

$

$ ""a% b# t#

a ab t b ab ab b

b ab a ab t ab b

' ' a b t

$

$ ""a% b# t#"a b t#

a ab t b ab

b ab a ab t

$

$ ""a% b# t#"a b t#

a % b (ab t b ab

a % b (ab t a ab t

$

$ ""a% b# #"a b t#""a b# t#

& b ab

& a ab t

$

$ ""a% b# t#"a b t#""a b# t#

& b ab

' a b t

$

$ ""a% b# t#"a b t# ""a b# t#

y por lo tanto1 las ra34ces son "a% b# ' "a b# ' "a b # 1 y esta 3ultima de multi;

plicidad dos<

! Si A ! Mn"K# es una matriz inversible1 demostrar que AB y BA tienen los

mismos valores propios "siendo K un cuerpo conmutativo#<

Soluci(on*

En efecto1



det"AB I# $ det"ABAA &IAA # $ det"ABAA A&IA # $

$ det"A"BA &I#A # $ detAdet"BA &I#detA $

$ det"BA &I#

! Demostrar que si la matriz A ! Mn"K# veri3ca Am $ 56 el 7unico valor propio

posible de A es el cero "donde K es un cuerpo conmutativo#<

Soluci(on*

Supongamos lo contrario6 es decir6 supongamos que existe & "$ 5 que sea valor propio

de la matriz A 6 lo que equivale a que & sea un valor propio del endomor3smo f del

espacio vectorial Kn cuya matriz en determinada base es A y esto signi3ca que existe

un vector v ! Kn+ v "$ 5 tal que f"v# $ &v "$ 5

Y aplicando f a ambos miembros de la igualdad se tiene

f!"v# $ f"&v# $ &f"v# $ &!v

luego &! es un valor propio no nulo de f! y por tanto de A!

inductivamente tenemos que fm $ &mv "$ 56 en efectoC

Sabemos que es cierto para m $ D+ E supongamos que lo es para m D veamos que

lo es para m

f"fm v# $ f"&m v# $ &m f"v# $ &m &v $ &mv

Por lo tanto tenemos que &m es valor propio no nulo de la matriz Am $ 5 lo cual

es absurdo<

+! Se de3ne f C R" # R" por f"x + x!+ x"# $ "x + x!+ 5# $ "x + x!+ x"# ! R" <

Comprobar que f es lineal y hallar su matriz en la base natural< Hallar el polinomio

caracter7Jstico y los valores propios< KEs f diagonalizableM



Soluci&on(

Veamos la linealidad+

v , -x " x!" x"." w , -y " y!" y". ! R" y % ! R se tiene+

f-v 1 w. , -x 1 y " x! 1 y!" 2. , -x " x!" 2. 1 -y " y!" 2. , f-v. 1 f-w.

f-%v. , f-%x " %x!" %x". , -%x " %x!" 2. , %-x " x!" 2. , %f-v.

Determinemos la matriz de la aplicaci8on f

f-e . , e

f-e!. , e!

f-e". , 2

!"!# -9.

luego la matriz de f en la base natural es+

A ,

$% 9 2 2

2 9 2

2 2 2

&A -=.

El polinomio caracter8?stico es+

det-f " tI. , -9" t.!-"t. , "t" 1 =t! " t

-obvio ya que la matriz es diagonal.

Los valores propios son los valores % ! R tales que #v ! R" v $, 2 con f-v. , %v y

estos valores son las ra8?ces del polinomio caracter8?stico+

-9" t.!-"t. , 2 t , 9 doble" t , 2

f diagonaliza puesto que dimKer-f " I. , = C

En -9. observamos ya que la base natural es la base de vectores propiosD -f es la

Eproyecci8on ortogonalFsobre el plano horizontal XY .D y en -=. vemos que la matriz es

diagonalC



! Diagonalizar la matriz

A -

! ./ .

.0 1 20 2 .1

"A

hallando una base de vectores propios de f <endomor=smo de R cuya

matriz en la base natural es A ?@

Soluci)on+

Busquemos el polinomio caracterCDstico de A E

det<A tI? - t t! F t F / - <t F /?!<t /?

por lo tanto

R - Ker<f F I?! !Ker<f I?

dimKer<f F I? - 1 rango

! .0 .

.0 . 20 2 .G

"A - 1 / - .

luego A diagonaliza y

D -

! / 0 0

0 / 0

0 0 /

"A

la nueva base serCa fv"0 v!0 v g con v"0 v! $ Ker<f F I? y v $ Ker<f I?

Ker<f F I? - f<x0 y0 z?4

! .0 .

.0 . 20 2 .G

"A ! xyz

"A -

! 0

0

0

"Ag -

- f<x0 y0 z?4 /0xF y F Gz - 0g



subespacio de dimensi.on dos/ del que seleccionamos una base

v 2 34! !! 56! v! 2 37! 4! 46

ker3f I6 2 f3x! y! z6*

! 44 4 8

4! 9 8 :! : 44

"A !x

y

z

"A 2

! !

!

!

"Ag 2

2 f3x! y! z6* 77x; y ; 9z 2 !< 7!x 4y 9z 2 !g

subespacio de dimensi.on uno del que seleccionamos una base

v" 2 3 7! 7! =6

! Estudiar la diagonalizaci.on/ seg.un los distintos valores de + # R / de la matriz

A 2

! 7 + + +

+ + ; 7 + 7

! ! 4

"A

dando en el caso en que ello sea posible una matriz S tal que S AS sea

diagonalD

Soluci)on+

Busquemos el polinomio caracter.FsticoG

det3A tI6 2 3t 76!3t 46

luego los valores propios de A son t 2 7 doble y t! 2 4D

Para que A diagonalice/ ha de veriKcarseG

7 $ dim ker3A tiI6 2 multiplicidad de la ra.Fz ti



Estudiemos pues el caso t / !

dim Ker0A I1 / 2 rango

! - - -

- - - !

3 3 !

"A /

$2 ! / 4 para - / 3

2 4 / ! para - !/ 3

luego7 s8olo diagonaliza para - / 3; Sea pues - / 3 y busquemos la matriz S 0matriz

de los vectores propios1;

Sean fv 0 v!g base de Ker 0A I1

! 3 3 3

3 3 !3 3 !

"A !x

y

z

"A /

! 3

3

3

"A $

z / 3

z / 3

%

sean pues v / 0!0 30 310 v! / 030 !0 31

y fv"g base de Ker 0A A I1

! ! 3 3

3 ! !3 3 3

"A ! x

y

z

"A /

! 3

3

3

"A $

x / 3

y z / 3

%

Sea pues v" / 030 !0 !1

luego S /

! ! 3 3

3 ! !

3 3 !

"A y en efecto7 se tiene que D / S AS

D /

! ! 3 3

3 ! 3

3 3 4

"A /

! ! 3 3

3 ! !

3 3 !

"A ! ! 3 3

3 ! !3 3 4

"A ! ! 3 3

3 ! !

3 3 !

"A

NotaD En este caso S / S

! Sea f D R" % R" un endomorEsmo diagonalizable que admite por vectores

propios a los v / 0 !0 40 410 v! / 040 40 !10 v" / 040 !0 41 y sabemos que

f0F0 40 F1 / 030 30 G1 ; Hallar los valores propios de f ;



Soluci&on(

Puesto que f)vi* + "ivi expresaremos los vectores )4# !# 4* y )6# 6# 7* en la base

formada por los vectores propios de f y aplicamos f = al primero

S +

! > ! !

! ! >! > !

"A S +

>

! > ! !

! ! >! > !

"A

por lo tanto

>

! > ! !

! ! >! > !

"A ! 4

!

4

"A +

! >

>

!

"A #

>

! > ! !

! ! >! > !

"A ! 6

6

7

"A +

>

! >?

7>?

"A

luego

f)># ># !* + f)v A v! A !v"* + f)v * A f)v!* A !f)v"* +

+ " v A "!v! A !""v" +>?

v

7

v! A

>?

v"

Y " + #

$"! + %

$"" + %

$ya que fvig es una base del espacio y la expresiCon

de un vector en una determinada base es CunicaD

)* Sea f un endomorFsmo de Rn D Probar que si " # R es un valor propio de

f entonces "p es un valor propio de fp $p # N y los subespacios propios respectivos

E# Ep son tales que E % Ep D Dar un ejemplo en el que E &+ Ep D

Soluci&on(

Sea " un valor propio= existe pues un vector x # Rn# x &+ 6 tal que f)x* + "x J

luego

f!)x* + f)f)x** + f)"x* + "f)x* + "!x



es decir es valor propio de f de vector propio x ,

Supongamos que hemos probado que tambi5en p ! es valor propio de fp ! de vector

propio x 6 entonces

fp7x8 9 f7fp !7x88 9 f7 p !x8 9 p !f7x8 9 p ! x 9 px

luego p es valor propio de fp de vector propio x 6 y obviamente6 para todo vector

x propio de valor propio de f 6 podemos aplicarle el razonamiento anterior6 y se

tiene

E Ep

Veamos que la igualdad en general es falsa> sea f ! End7R"8 tal que su matriz en la

base natural es

! ? ? ?

@ ? ?

? @ ?

"A

tenemos que fe"g es el subespacio de vectores propios de valor propio cero, Sin emA

bargo f es tal que su matriz en la base natural es

! ? ? ?

? ? ?

@ ? ?

"A

y fe ' e"g es el subespacio de vectores propios de valor propio cero y claramente

E $ E

#$% Sea A la matriz

! @ B B

B @ B

B B @

"A



Determinar An * para todo n N .

Soluci'on)

Si D es una matriz diagonal D 5 6#ii7 se tiene claramente Dn 5 6#nii7

Si A es diagonalizable* existe S tal que D 5 S AS y

Dn 5 6S AS7n 5 S AnS luego An 5 SDnS

Veamos si A es diagonalizable>

det6A! tI7 5 !6t ? @7!6t? A7

los valores propios son t 5 !@ doble y t 5 A .

dim Ker6A? I7 5 C! rango

! D D D

D D D

D D D

"A 5 C! @ 5 D

luego A diagonaliza.

Busquemos la matriz S >

v 1 v! Ker6A? I7

! D D D

D D D

D D D

"A !xyz

"A 5

! F

F

F

"A" x? y ? z 5 F"

v 5 6

pD

D1!

pD

D1 F7

v! 5 6

pG

G1

pG

G1!

pG

C7

$%%&%%'

v" Ker6A! AI7

!!! D D

D !! D

D D !!

"A ! xyz

"A"

!Dx? y ? z 5 F

x! Dy ? z 5 F

(" v" 5 6

pC

C1

pC

C1

pC

C7

luego



D "

BBBB"

p

p

#

p!

!

p!

! p!

"

p"

"

p"

"

p"

"

#CCCCA

BBB"

$ % %

% $ %

% % $

#CCCA

BBBB"

p

p!

!

p"

"

p

p!

!

p"

"

# p!

"

p"

"

#CCCCA "

"

" $ # #

# $ #

# # !

#A

Y

Dn "

" ' $(n

' $(n

!n

#A

Finalmente

An " SDnS!# "

"

BBB"

"' $(n 1 #

"!n #

"' $(n 1 #

"!n #

"' $(n$# 1 #

"!n

#

"' $(n 1 #

"!n

"' $(n 1 #

"!n ' $(n #

"1 #

"!n

#

"' $(n$# 1 #

"!n #

"' $(n 1 #

"!n ' $(n

"1 #

"!n

#CCCA

! a( Sea A ! Mn!n'C( 3 Probar que A y At tienen el mismo polinomio carac>

ter?@stico3

b( Sean A ! Mn!n'C( A B ! Mm!m'C( A C ! Mn!m'C( A tales que AC CB " &C 3

Probar que

"p ! N ApC " C'&Im 1B(p

c( Sea E " Mn!m'C( y f un endomorCsmo de E deCnido de la forma f'X( "

AX XB con A ! Mn!n'C( y B ! Mm!m'C( Cjas3 Probar que & ! C es un valor

propio de f si y s?olo si & " ,i -j con ,i y -j valores propios de los endomorCsmos

de Cn y Cm asociados a las matrices A y B respectivamente3



Soluci&on(

a# En efecto+ det ,A $I# - det ,A $I#t - det ,At $I#

b# Ve0amoslo por inducci0on respecto a p 9 Se veri<ca claramente para p - =+ de

AC CB - $ ! C tenemos

AC - $C > CB - C,$Im# > CB - C,$Im > B#

supongamos ahora que es cierto para p y veamos que lo es para p> =

Ap !C - AApC - A,C,$Im >B#p# - ,AC#,$Im >B#p -

- ,C,$Im > B##,$Im >B#p - C,$Im > B#p !

c# Sea f)!* + + +)ng el conjunto de valores propios de A y f,!* + + + * ,jg el conjunto de

valores propios de B

Sea )i un valor propio de A D existe v vector columna de Cn fFg tal que Av - )iv 9

Sea ,j un valor propio de B entoncesD por aD es tambi0en valor propio de Bt D por lo que

existe w vector columna de Cm fFg tal que Btw - ,jw y por tanto wtB - ,jwt

Sea ahora X - v ! wt $Mn&m,C# G

f,X# - AX XB - Av ! wt v ! wtB -

- )iv !wt ,jv ! wt - ,)i ,j#v ! wt - ,)i ,j#X

por lo que )i ,j es un valor propio de f

Rec0Iprocamente

Sea X %- F un vector propio de f de valor propio $ ,f,X# - $X #

Sea P ,t# - , =#n,t )!# + + +,t )n# ,los )i no necesariamente distintos# el polinomio

caracter0Istico de A ,recu0erdese que C es algebraicamente cerrado por lo que todos los

factores primos de P ,t# son de grado =#9

Por el teorema de CayleyLHamilton P ,A# - F por lo que P ,A#X - F9 Ahora bienD

por bD P ,A#X - XP ,$Im > B# 9

Tenemos pues

F - XP ,$Im > B# - X,$Im )!Im# + + + ,$Im )nIm# -

- X,,$ )!#Im >B# + + + ,,$ )n#Im > B# - XC* C $Mm&m,C#



X es una matriz no nula por lo que C no puede ser de rango m2aximo4

det C 5

nYi !

6det 66% &i7Im 8 B77 5 9

existe: pues: alg2un i para el cual det 66% &i7Im 8 B7 5 9 es decir 6% &i7 es un

valor propio de B por lo que existe alg2un j para el cual +j 5 6% &i7 : es decir

% 5 &i +j =


Forma reducida de Jordan

Cap#$tulo ) Forma reducida de Jordan

! Hallar el polinomio anulador de la matriz/

A 0

! 1 2 2

2 1 2

3 1 1

"A

sin utilizar el polinomio caracter67stico8

Hay que buscar un polinomio P <t= 0 a > a!t > > artr tal que P <A= 0

a I > a!A> > arAr sea la matriz nula8

Empecemos suponiendo que P <t= es un polinomio de primer grado/ a >a!t y planteemos

P <A= 0 a I > a!A 0 2 es decir

!a 2 2

2 a 2

2 2 a

"A >

! 1a! 2 2

2 1a! 2

a! 1a! 1a!

"A 0

! 2 2 2

2 2 2

2 2 2

"A

lo cual implica/

a > 1a! 0 2

a! 0 2

$o sea a 0 a! 0 2

Esto nos dice que no puede formarse la matriz nula por combinaci6on lineal no nula de

I y A por lo que P <t= no puede ser de primer grado8

Intentemos ahora con un polinomio de segundo grado P <t= 0 a > a!t > a"t" y

calculemos A"


!! Algebra Lineal+ Problemas resueltos

A "

! # ! !

! # !

# $ #

"A

a!

! ! !

! !

! !

"A % a"

! & ! !

! & !

& &

"A % a

! # ! !

! # !

# $ #

"A "

! ! ! !

! ! !

! ! !

"A

lo cual implica

a! % &a" % #a " !

a" % #a " !

$ a! " !a" " #a

Puede tomarse a! " # " a" " !# " a " 5 para tener P 7t8 normalizado5 por lo que

P 7t8 " t ! #t % # " 7t ! &8

! Sabiendo que un endomor=smo f de R"" tiene 7t% 8 7t! #8#7t%&8$ como poli>

nomio caracter?@stico y 7t % 8 7t ! #87t % &8# como polinomio anuladorB CCu?ales son

sus posibles formas de JordanG

Soluci)on+

DeI

Q7t8 " 7t% 8 7t! #8#7t% &8$

P 7t8 " 7t% 8 7t! #87t% &8#

Se tiene la a descomposici?onI

R"" " Ker7f % I8 "Ker7f ! #I8"Ker7f % &I8#

" E" " E " E#


Forma reducida de Jordan !

Pasemos a la descomposici-on de los Ei en mon-ogenos0 el polinomio anulador de E es

3t 4 5! 6 luego la dimensi-on del mon-ogeno mayor es 8 y coincide con el polinomio

caracter-:stico 3t 4 5! 6 que nos dice que dim E < 8 6 luego en E hay un solo

mon-ogeno E < E 6 y la matriz de f restringida a E es?

!

!

El polinomio anulador de E! es 3t A5 6 luego f restringido a E! diagonaliza6 ya

que la dimensi-on del mon-ogeno mayor es 6 y puesto que el polinomio caracter-:stico

restringido a E! es 3t A5" 6 se tiene que la dimensi-on de E! es B 6 por lo que hay

tres mon-ogenos en E! de dimensi-on y es E! < E! ! E!! ! E!" y la matriz de

f restringida a E! es?

"# A ! !

! A !

! ! A

$A

El polinomio anulador de E" es 3t4 85" 6 luego la dimensi-on del mon-ogeno mayor es

B y puesto que el polinomio caracter-:stico de E" es 3t 4 5# 6 la dimensi-on de E" es

C 6 luego no tenemos un-:vocamente determinada la descomposici-on de E" E

Las posibilidades son?

a5 E" !E"! con dim E" < dimE"! < B

b5 E" ! E"! ! E"" con dimE" < B 6 dimE"! < 8 y dimE"" <

c5 E" ! E"! ! E"" ! E"$ con dimE" < B 6 dimE"! < dimE"" < dimE"$ < E

Y la matriz f restringida a E" es

a5

"BBBBB#

8 ! !

8 !

! 8 8 ! !

8 !

! 8

$CCCCCA b5

"BBBBB#

8 ! !

8 !

! 8 8 !

8 8

$CCCCCA


!" Algebra Lineal+ Problemas resueltos

c#

BBBBB"

" ! !

" !

! " "

" "

#CCCCCA

luego) las posibles formas de Jordan) son

a#

BBBBBBBBBBBBBBB"

!

5

5

5

" "

" " "

"

#CCCCCCCCCCCCCCCA

b#

BBBBBBBBBBBBBBB"

5

5

5

" "

" " "

"

#CCCCCCCCCCCCCCCA


Forma reducida de Jordan !"

c#

BBBBBBBBBBBBBBB"

!

$

$

$

% %

% %

% %

#CCCCCCCCCCCCCCCA

! &Es la matriz

BBBBBBB"

! %

"

! %

"

% !

%

%

#CCCCCCCA

reducida de Jordan de alg8un endomor9smo:

Soluci(on*

Si lo fuese el polinomio anulador ser8>a

P ?t# @ ? % "tA t #?t %#

? % "t A t # es el polinomio anulador de

&! %

"

'pero % "t A t no es primoB

? % "tA t # @ ?t " A

p C

%#?t

" p C

%#

luego la matriz anterior no puede ser reducida de JordanD



! Hallar la forma reducida de Jordan del endomor1smo de R cuya matriz en la

base natural es

A 7

B"

! ! !

! ! 8 !

! ! ! 9

! ! ! !

#CA

Soluci)on+

Hallemos el polinomio caracter;<stico=

det>A tI? 7 t

>Obvio ya que la matriz es triangular?D

dim Ker>A !I? 7 " rangoA 7 " 9 7 > no diagonalizaE pues !7 "?

dim Ker>A !I?! 7 " rangoA! 7 " rango

B"

! ! 8 !

! ! ! F

! ! ! !

! ! ! !

#CA 7 " 8 7 8

dim Ker>A !I?" 7 " rangoA" 7 " rango

B"

! ! ! F

! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

#CA 7 " 7 9

dim Ker>A !I? 7 " rangoA 7 " rango ! 7 "

LuegoE tenemos

fno$ de subespacios de dim # g 7 dim Ker f 7

fno$ de subespacios de dim # 8g 7 dim Ker f! dim Ker f 7

fno$ de subespacios de dim # 9g 7 dim Ker f" dim Ker f! 7

fno$ de subespacios de dim # "g 7 dim Ker f dim Ker f" 7

luego hay un solo subespacio irreducible de dim " y la matriz reducida es



B"

! ! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

#CA

Nota' esto ya se pod-.a preveer1 puesto que al ser

dim Ker5A !I6 7 dim Ker f 7

el subespacio de vectores propios correspondiente al valor propio cero es de dim y en

cada subespacio mon-ogeno hay un subespacio de dim invariante1 luego solo puede

haber un mon-ogeno?

! Dado el endomorAsmo de R cuya matriz en la base natural viene dada por

BBBBBBBBBBB"

!

"

#

" #

"

#

"

#

"

#

"

" #

"

#

" #

"

#

"

#

"

!

"

#

" #

"

#

" #

"

#

"

" #

"

! ! ! C

#CCCCCCCCCCCA

Hallar'

a6 polinomios caracter-.stico y anulador

b6 los subespacios mon-ogenos correspondientes

c6 una base de estos subespacios mon-ogenos1 diciendo qu-e vectores son

propios y escribir en esta base la matriz del endomorAsmo?

Soluci)on+

a6 Polinomio caracter-.stico



Q#t$ % det#A tI$ % #t &$

veamos el anulador2

dim Ker#A &I$ % 3 rango#A &I$ % 3 4 % &

#por ser de dimensi7on dos habr7a dos vectores propios linealmente independientes< con

valor propio dos= Por tanto< como en cada subespacio mon7ogeno hay un vector propio<

habr7a dos subespacios mon7ogenos$

dim Ker#A &I$! % 3 rango#A &I$!$ % 3 % A

dim Ker#A &I$" % 3 rango#A &I$" % 3

luego #t &$" anula a todo el espacio< luego al polinomio anulador es2

P #t$ % #t &$"

b$ Por ser dim Ker#A &I$ % & < hay dos mon7ogenos de dim !

dim Ker#A &I$! dim Ker#A &I$ % A & % & < hay dos mon7ogenos de dim ! &

dim Ker#A &I$" dim Ker#A &I$! % 3 A % < hay un mon7ogeno de dim ! 4 =

luego< hay un mon7ogeno de dim 4 < y un mon7ogeno de dim &

c$ Hallemos una base del primer mon7ogeno fu#0 u!0 u"g

u# $ Ker#A &I$" % R < luego u# puede ser cualquier vector tal que #A &I$!u# %%! y puesto que

Ker#A &I$! % f#x0 y0 z0 t0 k$5

&x

&y D

&z D

&t

&k % !g

Podemos tomar por ejemplo u# % #!0 !0 0 0 !$ < entonces

u! % #A &I$u# % #!0 !0 !0 0 $

u" % #A &I$!u# % #A &I$u! % # 0 !0 !0 !0 $



y u es vector propio - -A .I/u 0 -A .I/ u! 0 !u! 0 ! /1

Hallemos ahora una base del segundo mon<ogeno u"# u# =

u" ! Ker-A .I/$ y u" '! Ker-A .I/

Ker-A .I/$ 0 f-x# y# z# t# k/'

.x

.z >

.t

.k 0 !g

Ker-A .I/ 0 f-x# y# z# t# k/' x> y z > t> k 0 !# x> y z > t k 0 !#

x y > z > t k 0 !# y 0 !g

Observamos que u$ ! Ker-A .I/$ # u$ '! Ker-A .I/ A luego tenemos que tomar la

precauci<on de elegir u" de forma que u"# -A .I/u" 0 u# sean linealmente indepenC

dientes de u$# u 1

Sea pues

u" 0 - # # !# !# !/

y por lo tanto

u# 0 -A .I/u" 0 -!# # # !# !/

y u# es vector propio1

Vayamos a determinar la matriz de f en la base fu!# u$# u # u"# u#g =

-A .I/u! 0 u$ $ Au! .u! 0 u$ $ Au! 0 .u! > u$

-A .I/u$ 0 u $ Au! .u$ 0 u $ Au$ 0 .u$ > u

-A .I/u 0 !$ Au .u 0 !$ Au 0 .u

-A .I/u" 0 u# $ Au" .u" 0 u# $ Au" 0 .u" > u#

-A .I/u# 0 !$ Au# .u# 0 !$ Au# 0 .u#

luegoA la matriz es



J #

BBB"

$

$

$

$

$

#CCCA

y claramente J # S AS . donde

S #

BBB"

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

#CCCA

! Sea f End2R!3 cuya matriz en la base natural es

A #

BBB"

"

! !

!

#CCCA

y sea g End2R!3 cuya matriz en una cierta base9 B # fv * v" * v!g es

A" #

"# #: #$

$ ;

#$ #< #$

#A

=Pueden ser f y g el mismo endomor?smo@

Soluci)on+

Para que A y A" puedan representar el mismo endomor?smo ha de existir una matriz

S tal que S A S # A"

Veamos cFomo podemos determinar dicha matriz9 busquemos 2si existen3 las formas

reducidas de Jordan de f y g I Si son el mismo endomor?smo. coincidirFan y tendremos



A # S JS A! # S ! JS!

con lo cual tendremos

S A S # J

S!A!S ! # J

S A S

# S!A!S

! 0S S!1

A 0S S!1 # A!

y S # S S! es la matriz buscada ya que se veri8ca9 S A S # A!

Estudiemos pues A

det0A ! tI1 # !0t ! 1"

dim Ker0A ! I1 #

luego hay un solo mon>ogeno y J ser>a

J #

!" ! !

!

!

#A

y la base de Jordan es

w " Ker0A ! I1" # R" w ," Ker0A ! I1!- por ejemplo w # 0!- - !1

w! # 0A ! I1w # 0

A- !- 1

w" # 0A ! I1!w # 0A! I1w! # 0 - !- !1

y S #

!BBB"

! !

! !

! !

!

#CCCA S #

!BBB"

!

!

! !

! !

#CCCA



Pasemos a estudiar- ahora- A

det/A tI0 1 /t 0!

dimKer/A I0 1

luego hay un solo mon6ogeno y

J 1

! ! !

!

!

"A

y la base de Jordan es

u" ! Ker/A I0! 1 R!+ u" ,! Ker/A I0 + por ejemplo u" 1 /;+ <+ !0u 1 /A I0u" 1 / + + 0u! 1 /A I0 u" 1 /A I0u 1 / =+ >+ ?0

y S 1

! >

! >

< > =

"A S " 1

! ; = < >

! ?

"A

y por lo tanto@

S 1 S "" S 1

BBB!

< = #

>

! >

"CCCA

!" Sea f 1 /D B I0 @ P /R0 " P /R0 donde P /R0 es el espacio de polinomios de

grado menor o igual que dos a coeEcientes reales y D es la aplicaci6on derivadaG

a0 determinar la forma reducida de Jordan as6I como la base para la cual la matriz

adopta dicha forma


Forma reducida de Jordan

b" probar que f es un polinomio en f y utilizar dicho resultado para determinar

la matriz de f en la base natural fx!" x" g 5

Soluci&on(

a" En la base fx!" x" g 7 la matriz de f adopta la forma

A 9

! : :

; :

:

"A

det<A" tI" 9 "<t " ""

dimKer<A" I" 9 =" rango<A" I" 9 =" ; 9

luego hay un solo mon?ogeno y la matriz reducida de Jordan es

J 9

! : :

:

:

"A

Busquemos la base de JordanB

v # Ker<A" I"" 9 R"C v 2# Ker<A" I"! 9 f<x" y" z"2x9 :gv 9 < " :" :"

v! 9 <A" I"v 9 <:" ;" :"

v" 9 <A" I"!v 9 <A" I"v! 9 <:" :" ;"

luego la base es f< " :" :"" <:" ;" :"" <:" :" ;"g 5

b" El polinomio anulador de f es <t" "" 7 luego

<f " I"" 9 : $ f" " =f! D =f " I 9 :

luego



I " f #f! $ #f " f%f! #f $ #I& " %f! #f $ #I&f

por lo que

f " " f! #f $ #I

Y la matriz A " es5

A " "

! 6 6

! 6

6

"A

!

#

! 6 6

! 6

6

"A$ #

!

"A "

"

! 6 6

! 6

!

"A

! Hallar la forma normal de Jordan del endomor<smo de R# cuya matriz es

A "

B!

# 6 6

? 6 6

@ !

@ A 6

"CA

Hallando la base de R# en la cual la matriz del endomor<smo adopta dicha

forma normalD

Soluci)on+

Calculemos los polinomios caracterFGstico y anulador de A

det%A tI& " det%% # ? & tI!&det%%

! 6 & tI!& "

" %t &#

dim Ker%A tI& " ? rango%A I& " ? ! " !



luego hay dos mon.ogenos

dim Ker/A I0 1 2 rango/A I0 1 2 3 1 2 1 dim R!

luego son dos mon.ogenos de dim 4 y la forma de Jordan es

J 1

B"

3 3 3

3 3

3 3 3

3 3

#CA

Y R! 1 E" ! E con dim Ei 1 4 para i 1 . 4

Busquemos la base de Jordan>

base de E" >

v" " Ker/A I0 . v" 0" Ker/A I0

v" 1 / . 3. 3. 30

v 1 /A I0v" 1 /4. 2. ?. ?0@

base de E >

v# " Ker/A I0 . v# 0" Ker/A I0

v# 1 /3. . 3. 30

v! 1 /A I0v# 1 / . 4. . A0

hay que tomar la precauci.on de que v#. v! sean linealmente independientes de v". v D

!" Determinar la forma reducida de Jordan del endomorFsmo de R# cuya matriz en

la base natural es

A 1

" a a

3 4

#A con a " R



Soluci&on(

Busquemos el polinomio caracter12stico3

det4A tI5 6 4t 5 4t 75

dim Ker4A I5 6

7 a 6 8

a !6 8

Para a 6 8 f diagonaliza= y D es

D 6

!" 8 8

8 8

8 8 7

#A

para a !6 8 el valor propio nos da un 1unico subespacio mon1ogeno= y J es

J 6

!" 8 8

8

8 8 7

#A

Busquemos la base de Jordan3 distinguiremos dos casos

5 a 6 8

v!. v " Ker4A I5 6 f4x. y. z52xB z 6 8g

elegimos v! 6 4 . 8. 5. v 6 48. . 85

v" " Ker4A 7I5 6 f4x. y. z52x 6 8. y B z 6 8g

elegimos v" 6 48. . 5 C

75 a !6 8

v! " Ker4A I5 6 f4x. y. z52xB ay B 4aB 5z 6 8gv! 2" Ker4A I5 6 f4x. y. z52ay B az 6 8. xB z 6 8g



elegimos v ) *a" " +,v! ) *A I,v ) * a" a" a,v" ! Ker*A -I,

v" ) *+" " ,

!" Sea A !Mn*R, y sea H el R 1espacio vectorial generado por las matrices

fI" A" A!" # # # " An g

a, Demostrar que si B ! H y B es inversible= entonces B ! H >

b, Si detA ) + = probar que existe B ! H" B %) + tal que AB ) BA ) +>

Soluci*on,

a, Por el teorema de Cayley1Hamilton= sabemos que el polinomio caracterCDstico -n E

- -n E # # # E -n anula a la matrizG

An E - An E # # # E -nI ) +

por lo que An )P

n

i# -iAn i ! H = con lo cual Am ! H &m ' n = y tiene sentido

la aplicaciConG

f GH ( H

C ( B # C

f es lineal= pues

f*C E C!, ) B*C E C!, ) BC EBC! ) f*C , E f*C!,

f*-C, ) B # *-C, ) -B # C ) -f*C,

f es inyectiva= pues si BC ) BC! = al ser B inversible= tenemos B *BC , )

B *BC!, y por tanto= C ) C! = y puesto que H es de dimensiCon Hnita f es



biyectiva* luego I H tiene antiimagen por la aplicaci3on f 4 es decir* existe C H

tal que f9C: ; B ! C ; I * luego C ; B H

Nota= puesto que las matrices son de orden >nito de B !C ; I * deducimos C ; B ?Si fueran de orden in>nito* podr3Ba ser que B ! C ; I * pero C !B "; I ?

b: Supongamos A "; C4 sea p9': el polinomio anulador de A tenemos que p9A: ;Pr

i!"'iA

i ; C y puesto que detA ; C es '" ; C 9ya que el polinomio anulador

divide al caracter3Bstico y tiene sus mismas ra3Bces:* luego

' AD ! ! !D 'rAr ; C

y sea pues B ; ' I D ! ! !D 'rAr

B es distinta de cero* ya que si B ; C el polinomio anulador de A ser3Ba ' D ! ! !D'rx

r

Si A ; C* entonces #B H * tenemos AB ; BA ; C


An"alisis matricial !

Cap#$tulo ) An#alisis matricial

! Dada la matriz

A +

! , - .

- / -

. - ,

"A

a0 Calcular eA" etA 4

b0 Utilizar dicho resultado para resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferen@

ciales A

$%&%'x + ,xB -y B .z

y + -xB -z

z + .xB -y B ,z

sabiendo que para t + / " x + " y + - " z + ,

Soluci(on*

a0 La exponencial de una matriz viene deFnida porA

eA + limp!"

GI B AB

-HA B

pHAp0

Puesto que existe S tal que A + SDS#! J con D matriz diagonalJ tenemos queA



eA " limp !

#SS" $ SDS" $

%&SD!S" $ $

p&SDpS" ' "

" S limp !

#I $D $

%&D! $

p&Dp'S"

" SeDS"

veamos que en efecto existen las matrices S y D

det#A ! +I' " !#+$ '!#+ ! !'

dim ker#A$ I' " %

luego

D "

!! : :

: ! :

: : !

"A

determinemos S

fv / v!g base de ker#A $ I'

! = % =

% %

= % =

"A !x

y

z

"A "

! :

:

:

"A $ %x$ y $ %z " : $

v " # / :/! '

v! " #:/ %/! '

$%&

v" % ker#A ! !I'

!!> % =

% !! %

= % !>

"A ! x

y

z

"A "

! :

:

:

"A$

!>x $ %y $ =z " :

%x ! !y $ %z " :

$%& $ v" " #%/ / %'

de donde



S "

! # $

# $

$

"A y S "

!

! & $ ' ' $ $

"A

por lo tanto

eD " limp!"

! !

"A/

!

0

"A/

$1

! 2 3!

2 3!

203!

"A/ ! ! !

! ! !

p1

! 2 3p

2 3p

203p

"A"A "

! e

e

e"

"A

y

eA " SeDS "

!

! &e / 'e" $e / $e" 'e / 'e"

$e / $e" 0e / e" $e / $e"

'e / 'e" $e / $e" &e / 'e"

"A

etA " limp!"

2I / tA /

$1t!A! / ! ! !/

p1tpAp3 " SetDS

y

etD "

! e t # #

# e t #

# # e"t

"A

por lo que

etA "

!

! &e t / 'e"t $e t / $e"t 'e t / 'e"t

$e t / $e"t 0e t / e"t $e t / $e"t

'e t / 'e"t $et / $e"t &e t / 'e"t

"A

b3 Pasemos a la resoluci=on del sistema de ecuaciones diferenciales



X#t$ % etAX#"$ con X#"$ %

!

!

)

"A X#t$ %

! x#t$y#t$

z#t$

"A

por lo que

X#t$ %

0

! e t 1 !"e t

2e t 1 "e t

3e t 1 !"e t

"A

! Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

dx

dt% x1 !y =z

dy

dt% y 1 >z

dz

dt% y 1 =z

$%%%%%&%%%%%'

Soluci(on*

El sistema puede expresarse matricialmente

!

dx

dt

dy

dt

dz

dt

"A %

! ! =

" >

" =

"A ! xyz

"A

es decirA dX

dt% AX B

Intentaremos efectuar un cambio de base de modo que la nueva matriz J % S !AS sea

lo mFas sencilla posibleB AsFHA si X % SZ A tenemos dX

dt% S dZ

dty la ecuaciFon queda

S dZ

dt% SJS !SZ A es decir dZ

dt% JZ B

Busquemos la forma reducida de Jordan de A



det"A $I# $ "$ # "$ !#

dim ker"A I# $

luego no diagonaliza y

J $

! 0 0

0

0 0 !

"A

La base de Jordan es

v! ! ker"A I# v! ,! ker"A I# sea pues v! $ " - 7- #

v $ "A I#"v!# $ "!- 0- 0#

v" ! ker"A !I# sea pues v" $ "0- !- #

y la matriz S es

S $

! ! 0

7 0 !

0

"A

El sistema queda

!

dz

dt

dz!

dt

dz"

dt

"A $

! 0 0

0

0 0 !

"A ! z!z z"

"A

cuya soluci=on es>

z! $ C!et

z $ "C!t ? C #et

z" $ C"e t

$%&%'



que volviendo a la base natural

! x

y

z

"A 0

! ! 1

2 1 !

1

"A ! C e

t

3C t 4 C!5et

C"e!t

"A

de donde

x 0 3!C t4 C 4 !C!5et

y 0 2C et 4 !C"e

!t

z 0 C et 4 C"e

!t

$%&%'

! Sea f un endomor8smo del R9espacio vectorial R# tal que su matriz en la base

natural es=

A 0

B! 1 1 1

! > ? ?21 !@ 21 1 1

"CA

a5 Obtener la forma reducida de Jordan de f y la base de Jordan correspondienteE

b5 Calcular e"A E

Soluci)on+

a5 Determinemos la forma reducida de A

det3A )I5 0 3)4 523) 5

dim ker3A4 I5 0 !

luego no diagonalizaI y el valor propio nos proporciona dos monJogenos y la matriz

de Jordan es

J 0

B! 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

"CA


An"alisis matricial !"

Busquemos la base de Jordan

v ker.A / I0! & v ' ker.A / I0 & v 1 .2& 3& 3& 30

v! 1 .A/ I0v 1 .3& 24& 53& 30

v" ker.A / I0 independiente con v!& sea v" 1 .2& 3& 5& 30

v# ker.A / I0 & v# 1 .3& 2& 2& 20

y la matriz cambio de base es

S 1

B"2 3 2 3

3 24 3 2

3 53 5 2

3 3 3 2

#CA y S 1

2

24

B"24 23 !< !=3 2 3 !23 !23 < =

3 3 3 24

#CA

b0 e"A 1 e"SJS

1 Se"JS

e"J 1

B"

e " 3 3 3

5e " e " 3 3

3 3 e " 3

3 3 3 e"

#CA

luego

e"A 1

B"

e " 3 3 3

5=e " 52e " !24e " !2?e " / e"

?3e " @Ae " !4?e " !<=e " / e"

3 3 3 e"

#CA

#$ Determinar las funciones reales de una variable x.t0 E y.t0 E z.t0 E u.t0 tales que

veriFcan el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales

x! 1 x! z / u

y! 1 y / z

z! 1 z

u! 1 u

&'''(''')



y las condiciones iniciales x-./ 0 ! y-./ 0 . ! z-./ 0 ! u-./ 0 ! 1

Soluci&on(

Escribiendo el sistema dado en forma matricial AX 0 X

B"

.

. .

. . .

. . .

#CA B"x

y

z

u

#CA 0

B"x

y

z

u

#CA

Busquemos la forma reducida de Jordan de la matriz A para simpli>car el problema

det-A *I/ 0 -* /

dim ker-A I/ 0 !

luego hay dos monAogenos

dim ker-A I/! 0 "

luego ambos monAogenos son de dimensiAon dosB por lo que la matriz de Jordan adopta

la forma

J 0

B"

. . .

. .

. . .

. .

#CA

Busquemos la base de Jordan

e" ! e# ! ker-A I/! ! e"! e# 1! ker-A I/

e! 0 -A I/e" ! e 0 -A I/e# !

de manera que e"! e!! e#! e sean independientes1



Sea pues

e ) *+! +! ! +, e! ) *! ! ! +! +,e" ) *+! +! +! , e# ) * ! +! +! +,

luego

S )

B"

+ ! +

+ + +

+ + +

+ + +

#CA y S )

B"

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

#CA

etA ) etSJS

) SetJS

etJ ) et

B"

+ + +

t + +

+ + +

+ + t

#CA )

B"

et + + +

tet et + +

+ + et +

+ + tet et

#CA

por lo tanto

etA )

B"

et + !tet tet

+ et tet +

+ + et +

+ + + et

#CA

y la soluci6on del sistema es9

B"

x

y

z

u

#CA ) etA

B"

x*+,

y*+,

z*+,

u*+,

#CA )

B"

et

tet

et

et

#CA

! Dada la matriz

A )

&+

$

$

'



Hallar'

I (A ( A ( (An ( )

Xi!"

Ai

Soluci&on(

Busquemos1 para obtener de forma sencilla An 1 la forma reducida de Jordan de la

matriz A

det<A ! %I= ) <% !

!=<%(

>=

luego A diagonaliza

D )

!#

@

@ !#

$

"

y la matriz cambio de base es'

v# " ker<A !

!I= * v# ) < * >=

v " ker<A (

>I= * v ) <! * !=

S )

! !

> !

"y S!# )

B

!!

!>

"

An ) SDnS!# ) S

!<# =n

<!#

$=n

"S!# )

)

#$

%<# =n ( $

%<#$=n #

%<# =n ! #

%<#$=n

&

%<# =n ! &

%<!#

$=n $

%<# =n (

%<!#

$=n

%A

Xn!"

An )

#$

%

P n!"

<# =n ( $

%

P n!"

<#$=n #

%

P n!"

<# =n ! #

%

P n!"

<#$=n

&

%

P n!"

<!#

=n ! &

%

P n!"

<!#

$=n $

%

P n!"

<# =n (

%

P n!"

<!#

$=n

%A



P n !

#"#$n % ! #es la suma de los t/erminos de una progresi/on geom/etrica de primer

t/ermino y raz/on "

# $8P

n !# "

$$n % $

%# es la suma de los t/erminos de una progresi/on geom/etrica de

primer t/ermino y raz/on "$! j "

$j $8

Por lo que;

!

<

Xn !

#

!$n =

>

<

Xn !

#

>$n %

<

?

<

Xn !

#

!$n

<

Xn !

#

>$n %

?

@

<

Xn !

#

!$n

@

<

Xn !

#

>$n %

>

!

>

<

Xn !

#

!$n =

!

<

Xn !

#

>$n %

>

!

y

Xn !

An %

?

"< ?

@ @

#

! Sea

A %

$% B

B

B

&A

Calcular senA 8

Soluci(on*

Por deDnici/on;



senA #

Xn !

$ %nA"n#$

$!n& %'

Determinemos la forma reducida de Jordan de A

det$A &I% # $&& I%" & $& !%

dim ker$A& I% # !

luego A diagonaliza:

La matriz cambio de base es

v$ - v" ! ker$A& I% independientes v% ! ker$A I% sean pues

v$ # $

p!

!- p!

!- >%

v" # $

p?

?-

p?

?-

!p?

!%

v% # $

p@

@-

p@

@-

p@

@%

luego

S #

!BBBB#

p"

"

p&

&

p%

%

p"

"

p&

&

p%

%

> "p&

&

p%

%

$CCCCA y S"$ #

!BBBB#

p"

" p"

">

p&

&

p&

& "p&

&

p%

%

p%

%

p%

%

$CCCCA

y por lo tanto

senA #

Xn !

$ %nSD"n#$S"$

$!n& %'# S$

Xn !

$ %nD"n#$

$!n& %'%S"$ #

# S

!BBBB#

P n !

'"$(n'"n#$()

$ %"n#$ > >

>P

n !

'"$(n'"n#$()

$ %"n#$ >

> >P

n !

'"$(n'"n#$()

$!%"n#$

$CCCCAS"$ #



# S

BBB"sen$ % & &

& sen$ % &

& & sen$!%

#CCCAS #

#

BBB"

!

"sen$ %

"sen$ % '

"sen$!%

"sen$ % '

"sen$!%

"sen$ % '

"sen$!% !

"sen$ % '

"sen$!%

"sen$ % '

"sen$!%

"sen$ % '

"sen$!%

"sen$ % '

"sen$!% !

"sen$ % '

"sen$!%

#CCCA


Grupos !

Ap"endice I Grupos

! Consideremos el subconjunto GL 1R2 de M 1R2 de3nido por

GL 1R2 5

!a b

c d

"j ad! bc "5 6

#'

a2 Probar que 1GL 1R2( #2 es un grupo no conmutativo< 1 # es el producto habitual

entre matrices2>

b2 Consideremos el subconjunto SL 1R2 de M 1R2 de3nido por

SL 1R2 5

!a b

c d

"j ad! bc 5

#'

Probar que 1SL 1R2( #2 es un subgrupo del grupo 1GL 1R2( #2 >

Soluci)on+

a2 Primero veamos que la operaci?on est?a bien de3nida< es decir dadas

!a b

c d

"(

!a! b!c! d!

"$

Gl 1R2 entonces

!a b

c d

"#!a! b!c! d!

"5

!aa! @ bc! ab! @ bd!ca! @ dc! cb! @ dd!

"5

!a b c d

"$ Gl 1R2

para ello basta calcular a d ! b c

a d ! b c 5 1aa! @ bc!21cb! @ dd!2 ! 1ca! @ bc!21ab! @ bd!2 5

5 1ad! bc21a!d! ! b!c!2 "5 6

Veamos que se veri3can las propiedades de grupo y que falla la conmutatividad



Asociatividad

a b

c d

! a b c d

!! a b!c! d!

!#

aa $ bc ab $ bd ca $ dc cb $ dd

! a! b!c! d!

!#

%aa $ bc &a! $ %ab $ bd &c! %aa $ bc &b! $ %ab $ bd &d!%ca $ dc &a! $ %cb $ dd &c! %ca $ dc &b! $ %cb $ dd &d!

!#

a%a a! $ b c!& $ b%c a! $ d c!& a%a b! $ b d!& $ d%c b! $ d d!&

c%a a! $ b c!& $ d%c a! $ d c!& c%a b! $ b d!& $ d%c b! $ d d!&

!#

a b

c d

! a a! $ b c! a b! $ b d!c a! $ d c! c b! $ d d!

!#

a b

c d

!

a b c d

! a! b!c! d!

!!


! a b

c d

!" GL!%R& ' #

(

(

!tal que

a b

c d

! (

(

!#

(

(

! a b

c d

!#

a b

c d

!

y el elemento neutro es 5unico8 supongamos que existe un elemento

x y

z t

!tal que

! a b

c d

!" GL%R& se tiene

a b

c d

! x y

z t

!#

x y

z t

! a b

c d

!#

a b

c d

!

entonces

por ser

x y

z t

!neutro $

x y

z t

! (

(

!#

(

(

!

por ser

(

(

!neutro $

x y

z t

! (

(

!#

x y

z t

!"##$##% $

x y

z t

!#

(

(

!



Grupos !!

a b

c d

!! GL "R# ad" cb #$ % luego &ad" bc ! R

Sea

d&ad" bc "b&ad" bc

"c&ad" bc a&ad" bc

!! GL "R# y es tal que1

d&ad" bc "b&ad" bc

"c&ad" bc a&ad " bc

!$ a b

c d

!$

a b

c d

!$

d&ad" bc "b&ad" bc

"c&ad" bc a&ad" bc

!$

%

%

!

Claramente para cada

a b

c d

!! GL "R# 9 el elemento sim;etrico es ;unico< "=Compro>

barlo@#

Luego GL "R# tiene estructura de grupo9 veamos que no es abeliano<

Sean

%

!'

%

!! GL "R#

%

!$ %

!$

C

! %

!$

%

!$

C

!

b# Sean A'B ! Sl "R# % GL "R# consideremos B !A ! GL "R# y veamos si

pertenece a SL "R#

det "B !A# $ det B !det A $ &det b $ det A $ & $ $

!" Sea G un grupo tal que para cada x ! G' x $ e 9 siendo e el elemento neutro del

grupo G <

Probar que G es un grupo conmutativo<

Soluci)on+

De x $ e se tiene x $ x !



Para todo par de elementos x! y G se tiene xy G luego

2xy3 4 xyxy 4 e

premultiplicando dicha igualdad por x y postmultiplicando por y tenemos

xyxy 4 e

xxyxyy 4 xey

eyxe 4 xy

yx 4 xy

luego el grupo es conmutativo9

! Encontrar todos los subgrupos normales de S!

Soluci(on*

S! 4 fi! g"! g ! s"! s ! s!g con

i 4

< !

< !

!g" 4

< !

! <

!g 4

< !

< !

!

s" 4

< !

! <

!s 4

< !

! <

!s! 4

< !

< !

!

Componiendo de todas las formas posibles estos elementos? de dos en dos? obtenemos

la siguiente tabla

$ i g" g s" s s!

i i g" g s" s s!

g" g" g i s! s" s

g g i g" s s! s"

s" s" s s! i g" g

s s s! s" g i g"

s! s! s" s g" g i

2NotaA en la tabla x $ y es x columna? y Bla3

Teniendo en cuenta que


Grupos !"

a$ el grupo es de orden seis0

b$ el orden de sus subgrupos ha de ser divisor de seis0

c$ un subconjunto de un grupo 7nito es subgrupo si este es cerrado con respecto la

operaci8on0

simplemente observando la tabla anterior0 vemos cu8ales son los subgrupos de S 0

Subgrupos de orden ; fig

Subgrupos de orden <; fi! s!g! fi! s"g! fi! s g

Subgrupos de orden !; fi! g!! g"g

Subgrupos de orden =; S

Son subgrupos normales los subgrupos fig!S >los impropios$0 as8? como el de 8?ndice

dos0 que puesto que el orden de S es seis0 8este es fi! g!! g"g A Analicemos si alg8un

subgrupo de orden dos es normal0 estudiemos por ejemplo fi! s!g >los otros dos se

estudian de la misma forma$A

Se trata de comparar a # fi! s!g 0 con fi! s!g # a con a $ S un elemento cualquiera;

sea a D s"

s" # fi! s!g D fs"! g!gfi! s!g # s" D fs"! g"g

conjuntos distintos por lo que el subgrupo no es normal0 >ninguno de los tres subgrupos

de orden dos es normal$A

! Sea S un subgrupo de un grupo G y sea x $ G A Probar que

x !Sx D fx !yx j &y $ Sg

es un subgrupo de G

Soluci(on*

Sean y!! y" $ S entonces x !y!x y x !y"x son dos elementos de x !Sx 0 veamos si

se veri7ca la condici8on de subgrupo;

>x !y!x$>x !y"x$ D >x !y!x$>x

!y !" x$ D x !y!>xx !$y !" x D x !y!y !" x



las igualdades anteriores son todas ellas ciertas puesto que x! y ! y! son elementos de

G que tiene estructura de grupo3

Ahora bien7 por ser S subgrupo y y ! 8 y" S 7 luego

9x y x:9x y!x:

8 x y"x x Sx

y por lo tanto x Sx es un subgrupo de G

! Sea A M!9C: y sea S 8 fX GL!9C: j XA 8 AXg 3

a: =Es S un subgrupo de GL!9C:?3

b: Determinar S para el caso en que A 8 #

# #

!

Soluci)on+

a: Sean X ! X! S luego veriBcan X A 8 AX y X!A 8 AX!

Para ver si se veriBca X X ! A 8 AX X

! 9condiciDon de subgrupo:7 veamos primero

que7 si X! S entonces X ! S 3

En efectoF premultiplicando y postmultiplicando la igualdad X!A 8 AX! por X !

tenemos

X ! X!AX ! 8 X ! AX!X

!

AX ! 8 X ! A

X ! A 8 AX !

y Bnalmente

X X ! A 8

$a%X AX

! 8

$b%X AX

!

9a: X ! S

9b: X S

Luego en efecto S es subgrupo3

b: Sea X 8

"x x!x" x&

# S entonces

"x x!x" x&

#"H

H H

#8

"H

H H

#"x x!x" x&

#


Grupos !"

# x # x!

!$

x! x"# #

!

!x! x ! x"# x!

!$

# #

# #

! x $ x" x! $ #

X $

x x## x

!

ahora bien X " GL#-C. luego x #$ #

S $

" x x## x

!j x #$ #

#

!" Probar que -R% %. con a % b $ pa! 5 b! es un grupo isomorfo a -R%5.:

Soluci*on,

Veamos que -R% %. es un grupo abeliano:

. La operaci=on est=a bien de@nida -a % b existe para todo a% b " R y es =unico.

Asociatividad

-a % b. % c $ - pa! 5 b!. % c $

q- pa! 5 b!.! 5 c! $

$ p-a! 5 b!. 5 c! $

pa! 5 -b! 5 c!. $

qa! 5 -

pb! 5 c!.! $

$ a % - pb! 5 c!. $ a % -b % c.


Si e " R es tal que 'a " Ra % e $ e % a $ a

entonces pa! 5 e! $ a a! 5 e! $ a! e! $ #

por lo tanto e $ # y evidentemente es =unico




Si para cada a R existe a R tal que

a ! a 1 a ! a 1 2

entonces

2 1

qa! 5 a! " a! 1 #a! " a 1 a

luego el elemento sim8etrico existe y es 8unico

Conmutatividad

a ! b 1 pa! 5 b! 1

pb! 5 a! 1 b ! a

Luego en efecto es grupo abeliano= establezcamos ahora el isomor@smo con AR"5B

# C AR" !B #$ AR"5B

a #$ #AaB 1 a!

Dicha aplicaci8on est8a bien de@nida ya que #AaB es un n8umero real 8unico= para cada

a R E

Es inyectiva pues #AaB 1 #AbB " a! 1 b! lo que implica a 1 b

Es adem8as exhaustiva pues %a R existe pa tal que #A

paB 1 a

Esta aplicaci8on es mor@smo de grupos= ya que

#Aa ! bB 1 #A pa! 5 b!B 1 A

pa! 5 b!B! 1 a! 5 b! 1 #AaB 5 #AbB

por lo que # es un isomor@smoE

!" Sea G un grupoE Probar que si existe un n8umero entero n tal que AabBn 1 anbn

para todo a" b G entonces

Gn 1 fxn j x Gg y Gn 1 fx G j xn 1 eg

son subgrupos normales de G = y si G es un grupo @nito entonces el orden de Gn

coincide con el 8Indice de Gn

Soluci)on+


Grupos !"

Consideremos la aplicaci-on . G ! G

x ! xn

y comprobemos que es mor3smo de grupos

5ab6 7 5ab6n 7 a!

anbn 7 5a6 5b6

5a6 por hip-otesis

Ker 7 fx # G j 5x6 7 eg 7 Gn luego Gn es subgrupo normal de G

Im 7 fy # G j &x # G tal que 5x6 7 yg 7 fxn j x # Gg 7 Gn luego Gn es un

subgrupo de G : veamos que tambien es normal

'y # G yxny " 7 5yxy "6n # Gn

Y por -ultimo 5G6 7 Gn ( G+Gn : por lo que

ordGn 7 indGn

! Probar que un grupo 5G0 )6 es abeliano si y s-olo si la aplicaci-on . G ! G

de3nida por 5x6 7 x " es un automor3smo de G >

Soluci(on*

La aplicaci-on est-a bien de3nida puesto que cada elemento de G admite un inverso

y este es -unico>

Supongamos ahora que es un automor3smo

5a ) b6 7 5a6 ) 5b6 'a0 b # G

Por de3nici-on de tenemos

5a ) b6 " 7 a " ) b " 5A6

Por de3nici-on de elemento sim-etrico tenemos

5a ) b6 " 7 b " ) a " 5B6



que por ) * y ),*

)a b* - b a - )b* )a* - )b a*

y por ser automor2smo es

a b - b a

Luego G es conmutativo9

Rec;<procamente

La aplicaci;on es biyectiva por ser G grupo )para cada elemento a ! G existe

sim;etrico y es ;unico*A veamos que el hecho de ser el grupo abeliano nos asegura que

es mor2smo

)a b* - )a b* - b a -!a"

a b - )a* )b*

)a* hip;otesis de conmutatividad

! Sea G un grupo9 Probar que el orden de un elemento a ! G es el mismo que el

orden de su inverso a

Soluci(on*

Sea n - ord a el orden de a ! G es decir an - e 9 Puesto que todo elemento a ! G

conmuta con su inverso a y este es tal que aa - e A se tiene

)aa *n - en - e

)aa *n - aa ) ) ) aa - an)a *n

y por lo tanto

an)a *n - e

Ahora bien an - e luego )a *n - e)a *n - e 9 Por lo tanto si m es el orden de a

se tiene que m es divisor de n 9

An;alogamente tenemos )a a*m - em - e de donde

am - eam - )a *mam - e

por lo que n es un divisor de n 9

Finalmente si n es divisor de m y m es divisor de n es que n - m 9


Anillos de clases de restos !

Ap"endice II Anillos de clases de restos

! Sea Z el anillo de los n+umeros enteros0 un subconjunto0 I Z 0 diremos que es un

ideal si y solamente si

!x" y " I

!x " I" !a " Z

#

x$ y " I

a % x " I

Probar que todos los ideales de Z son de la forma

I 8 9a: 8 fa %m j !m " Zg&

Soluci)on+

Sea0 a 0 el menor entero positivo perteneciente a I 0 para todo m " I 0 tenemos

m 8 a % c= r con > ) r ) a

puesto que a " I se tiene que a % c " I y por tanto r 8 m $ a % c " I ? r es positivo

o nulo y por pertenecer a I ha de ser nulo0 luego m 8 a % c es decir I 8 9a: ? 9estos

ideales se llaman principales:B

,! a: Probar que la intersecci+on de dos ideales de Z es siempre un idealB

b: Probar0 con un ejemplo0 que la uni+on de dos ideales de Z no tiene por qu+e ser un

idealB

Soluci)on+



a$ %a$ %b$ & I

Sean x$ y ! I * veamos si x" y ! I 0 De x$ y ! I se tiene

x$ y ! %a$ de donde x " y ! %a$

x$ y ! %b$ de donde x" y ! %b$

De x" y ! %a$ 4 y x" y ! %b$ se tiene x" y ! %a$ %b$ & I

Sean x ! I 4 m ! Z * veamos si m # x ! I 0

De x ! I se tienex ! %a$ luego m # x ! %a$

x ! %b$ luego m # x ! %b$

De m # x ! %a$ 4 y m # x ! %b$ se tiene m # x ! I

%b$ Consideremos los ideales I & %<$4 I! & %"$ y sea %<$ $ %"$ 0

Tenemos que ? ! %<$ 4 ! ! %"$ y ?" ! & @ '! %<$ $ %"$ puesto que @ '! %<$ y @ '! %"$ 4

luego %<$ $ %"$ no es ideal0

!" Probar que mcd%a$ b$ & d 4 siendo d el generador del ideal suma de los ideales de

Z generados por a$ b respectivamente0

Soluci)on+

Recordemos que

I E J & faE b j a ! I$ b ! Jg

es siempre un ideal0

En Z sabemos que los ideales son principales4 luego

%a$ E %b$ & %d$+

Veamos que d es en efecto mcd%a$ b$ 0

%a$ ( %d$ pues )m ! %a$ m E I & m ! %a$ E %b$ & %d$ 0

Por el mismo razonamiento %b$ ( %d$ 0

De %a$ ( %d$ tenemos que a ! %d$ 4 luego a & d # k


Anillos de clases de restos !"

De %b& %d& tenemos que b ! %d& . luego b 1 d " k

de donde d es divisor com7un de a . y b 9 falta ver que es el m7aximo=

De %d& 1 %a& > %b& tenemos que d ! %a& > %b& 9 luego existen m%n ! Z tales que

a "m> b " n 1 d

por lo que si d! es divisor de a y b lo es de a "m > b " n . es decir. lo es de d . por lo

que mcd%a% b& 1 d =

!" Probar que mcm%a% b& 1 c . siendo c ! Z el generador del ideal intersecci7on de los

ideales generados por a% b ! Z =

Soluci)on+

Tenemos. por hip7otesis. que %a& # %b& 1 %c& 9 veamos que c 1 mcm%a.b&=

De %a& # %b& 1 %c& tenemos

%c& %a&% luego c ! %a&

%c& %b&% luego c ! %b&

de dondec 1 a " k! con k! ! Zc 1 b " k con k ! Z

luego c es m7ultiplo de a y b = Veamos que es el m7Enimo= Sea h un m7ultiplo de a y b

cualquierah 1 a " h! de donde h ! %a&

h 1 b " h de donde h ! %b&

y por tanto. h ! %a& # %b& . es decir h 1 c " h" . es tambi7en m7ultiplo de c =

," Probar que para que Z)%n& sea cuerpo. es condici7on necesaria y suGciente que n

sea primo=

Soluci)on+

Supongamos que Z)%n& es cuerpo. es decir $a ! Z)%n& . a %1 H. existe b ! Z)%n& tal

que a " b 1 =



Si n no fuera primo- existir12an n ! n! N 3 ambos distintos de n - tales que n !n! 8 n 3

por lo tanto n ! n! 8 n 8 9:

Puesto que n "8 9 y Z"=n> por hip1otesis es cuerpo- existe m tal que n !m 8 - luego

9 8 9 !m 8 n ! n! !m 8 n !m ! n! 8 ! n! 8 n! - luego n! 8 n y puesto que n! j n -

se tiene n! 8 n contradicci(on3 luego n ha de ser primo- y la condici1on es necesaria:

Veamos que es tambi1en suCcienteD

Sea 9 "8 a 8 fm!nEa! %m Z! con9 % a % ng : Puesto que n es primo- mcd=a! n> 8 3

por lo que existen r! s Z - tales que a ! r E n ! s 8 =recordar que =a> E =n> 8 = >>3

luego a ! r E n ! s 8 - o sea- a ! r E n ! s 8 3 Pero n 8 9- por lo tanto a ! r 8 y

Z"=n> es cuerpo:

"# Determinar todos los divisores de cero de

a> Z"= H> 3 b> Z"= I> 3 c> Z"=H!> :

Soluci*on,

Un elemento a Z"=n> con a "8 9 es un divisor de cero si y solamente si existe

b Z"=n> - b "8 9 tal que

a ! b 8 9

Observamos que si a es divisor de cero- tambi1en lo es b - y a ! b 8 n :

a> H 8 H! ! L- luego los divisores de cero son H- L- !- M - I - N- 93 es decir- las

clases de resto de los divisores propios de H y de los elementos que tienen un factor

que lo es de H:

Observamos que H ! M 8 9- L ! ! 8 9- L ! I 8 9- etc:

b> I 8 H ! L! - luego los divisores de cero son H- L- ! - M- I- N- 9- H- !-

O- M- es decir- las clases de resto de los divisores propios de I y de los elementos

que tienen un factor que lo es de I :

Observamos que H ! N 8 9- ! ! M 8 9- I ! L 8 9- ! ! N 8 9- etc:

c> H! 8 H" ! L- luego los divisores de cero son H- !- I- L - M- 9- H- !- M-

I- H9- HH- N- O- H - es decir- las clases de resto de los divisores propios de H! y

de los elementos que tienen un factor que lo es de H!:


Anillos de clases de restos !"

Observamos que . . / 01 ! 2 / 01 3 4 / 01 . 3 / 01 etc7

! Escribir las tablas de sumar y multiplicar de Z >!? y resolver el sistema de ecua@

ciones.xB 4y /

.xB .y /

Soluci)on+

B 0 . 4

0 0 . 4

. 4 0

. . 4 0

4 4 0 .

0 . 4

0 0 0 0 0

0 . 4

. 0 . 0 .

4 0 4 .

.xB 4y /

.xB .y /

a!! 0xB y / . ! y / .

b!! .xB 4 . / ! .xB . / ! .x / 4

no tiene soluciCon pues no existe ningCun elemento x en Z >!? tal que . x / 47 ObsCervese

que . no es inversible en Z >!? >es un divisor de cero?

>a? sumando ambas ecuaciones7

>b? sustituyendo el valor de x en la primera ecuaciCon7

,! Escribir la tabla de sumar y multiplicar del cuerpo ZF>"? y resolver el sistema

x B .y /

.x B y / 0

Soluci)on+



# $ % & !

$ $ % & !

% & ! $

% % & ! $

& & ! $ %

! ! $ % &

$ % & !

$ $ $ $ $ $

$ % & !

% $ % ! &

& $ & ! %

! $ ! & %

x# %y '

%x# y ' $

a!!

%x# !y ' %

%x # y ' $

b!! !x# $y ' %

! !x ' % ! x ' &

c!! % & # y ' $ ! # y ' $ ! y ' !

(a) multiplicando la primera ecuaci7on por %8

(b) sumando ambas ecuaciones8

(c) sustituyendo el valor de x en la segunda ecuaci7on8

! Descomponer en fracciones simples@ sobre ZA(B) la fracci7on racional siguiente

!

x" # !x# &

Soluci)on+

Hallemos primero las ra7Dces del denominador@ haciendo uso de las tablas del ejercicio

anteriorG(x" # !x# &)(!) ' # # & ' $

(x" # !x# &)(%) ' ! # & # & ' $

luego x" # !x# & ' (x " !)(x " %) ' (x# )(x# &)@ luego

!

(x# )(x# &)'

A

x# #

B

x# &

!

(x# )(x# &)'

A(x# &) # B(x # )

(x# )(x# &)'

(A# B)x # &A# B

(x# )(x# &)

Igualando numeradores tenemos

A# B ' $

&A# B ' !

! A ' %' B ' &


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