Algebra Numeros reales fracciones
-
Upload
juan-carlos-licona -
Category
Documents
-
view
221 -
download
0
Transcript of Algebra Numeros reales fracciones
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 1/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 1
CAPITULO 1. ALGEBRA ______________________________________________________________________
OBJETIVO DEL CAPÍTULO
Identificar y aplicar las propiedades y técnicas fundamentales de álgebra, ya que estádirigido a los estudiantes que, por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sushabilidades algebraicas básicas. ______________________________________________________________________
TEMARIO
1.1. LOS NÚMEROS REALES1.2. FRACCIONES1.3. EXPONENTES1.4. EXPONENTES FRACCIONARIOS
1.5. OPERACIONES ALGEBRAICAS1.6. FACTORIZACIÓN
______________________________________________________________________
1. LOS NUMEROS REALES
Los números 1, 2, 3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como elconjunto de los números naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con laletraℕ, así:
ℕ = {1, 2, 3,…}
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado
siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 + 5 = 13 y 8 5 = 40; la suma 13 y elproducto 40 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números
naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 = 3 y 8 ÷ 2
= 4 son números naturales; pero 5 8 y 2 ÷ 7, no son números naturales. de númerosnaturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar odividir.
Con la finalidad de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de
los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen losnúmeros naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De estemodo, podemos representar el sistema de los enteros mediante
= {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…}
Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos orestamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo,
3 8 5
, ( 3)(5) 15
y 3 8 5
son enteros. Pero aún no podemos dividir un
entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que:
8 ( 2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de losenteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir.
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 2/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 2
Para superar la limitación de la división, extendemos el sistema de los enteros alsistema de los números racionales ℚ. Este sistema consiste de todas las fraccionesa/b, donde a y b son enteros con b ≠ 0.
Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo 2π
que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional.Tampoco 2 1.4142 es un número racional, este número representa la solución de
la ecuación x 2 = 2 y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de lahipotenusa de un triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos númerosque no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forma a/b, se llamannúmeros irracionales. Una diferencia entre los números racionales y los irracionalesestá dada en su representación decimal. Los números racionales pueden ser
representados por decimales con una expansión finita
14 0.25 o por decimales que
se repiten indefinidamente 16
ˆ0.16 0.16666...,
111
0.090909.... 0.090 . En cambio
los números irracionales son representados por números decimales que no terminan yque no tienen ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que serepita.
Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. El número
2 es un irracional y por tanto real. Este conjunto es denotado por la letra ℝ.
FIGURA 1. Esquema General de la clasificación de los númerosℝ
FIGURA 2. Cuadro sinóptico de los números reales
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 3/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 3
Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,
racionales y reales: a) 3; b)3
4; c) 0.2; d) π + 1; e) 101.
Solución:
a)
3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como
3
1
y esreal.
b)3
4es un número racional pues puede ser escrito como
3
4
. También es real.
c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como2
10. También es real.
d) π + 1 es irracional. Observe que como π es irracional su expansión decimal esinfinita no periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansióntambién es infinita no periódica. Es un número real
e) 101 es natural, entero, racional y es real.
Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales,enteros, irracionales, racionales y reales
a) 3π; b) 2 2 ; c) 3.1
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
A continuación enunciamos las propiedades más importantes de los números reales.
Asuma en lo que queda de sección que a, b, c y d son números reales, tenemos
entonces:
A) Propiedad Conmutativa
a + b = b + a (Suma) Ejemplo: 3 + 2 = 2 + 3
a b = b a (Multiplicación) Ejemplo: 3 2 = 2 3
B) Propiedad Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c) (Suma)
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (Multiplicación)
C) Propiedad del elemento neutro
a + 0 = a (suma) a ⋅1 = a (Multiplicación)
D) Propiedad del inverso
a + (−a) = 0 (suma) aa
11 (Multiplicación)
El inverso de la multiplicación también es denotado por a 1 . Esto es aa
1 1
.
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 4/14
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 5/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 5
Ejemplo 4.Resolver:
1 113
1 1
7 7 17
3 3
7(3 ) 7(3) 21
Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b ≠ 0)
aab
b1/
Ejemplo 5.Resolver:
x y x y
x y
x y
x y
x y
3( 2 ) 3[ ( 2 )]
3 3( 2 )3 [3(2 )]
3 [(3 2) ]
3 6
(definición de sustracción)
(propiedad distributiva)
(propiedad asociativa)
Ejercicios propuestos:
a) x y 2( 3 )
b) x y x 2 (4 3 )
c)1 42 3
5 12
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 6/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 6
1.2 FRACCIONES
En la sección 1.1 vimos que la fracción a/b está definido como el producto de a y elinverso de b:
a
b = ab−1
(b ≠ 0)
En particular
bb
11
.
Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usanal manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar este tipode operaciones.
1.2.1 Multiplicación de Fracciones
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dosnumeradores y luego los dos denominadores.
a c ac
b d bd
Ejemplo 1.
a)2 5 2 5 103 9 3 9 27
b) x x x
y y y
2 4 (2 )4 8
3 3 3
c) x x x
x y y y y
4 3 4 (3 )4 123
5 1 5 1 5 5
1.2.2 División de Fracciones:
Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte ydespués se multiplica por la primera. En otras palabras;
a c a d ad
b d b c bc
Ejemplo 2.
a)
3 7 3 9 3 9 27
5 9 5 7 5 7 35
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 7/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 7
b) x x y x y xy
y
3 4 3 (3 ) 3
2 2 4 2 8 8
c) y x y x xy
y x
6 5 5 (5 )(5 ) 255
5 1 6 1 6 6
d) y y x x x y xy 3 3 2 3 1 3(2 )
2 2 1 2 2 4
e) a a b b
b b a a
1
1 1
(Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numerador yel denominador de la fracción).
Practiquemos:
a) 2 33 2
b) x y 7
2 5
1.2.3 Cancelación de factores comunes
El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o dividirsepor un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la fracción.
ac ac
bc b( 0)
Ejemplo 3.
a)9 3 3 3 3
15 5 3
5 3
3
5
b)70 2 5 7 2
84 2 6 7
5 7
2 6 7
5
6
c) x x x
x x
210 2 5 2
20 2 2 5
5 x x
2 2 5 x
x
2
d) x y x x y
x y y xy
2
2
26 2 3
2 2 28
x 3 x y
2 x 2 2 y
x
y y
3
4
1.2.4 Adición y Sustracción de fracciones
Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse o restarsesimplemente sumando sus numeradores.
a b a b
c c c
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 8/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 8
Ejemplo 4.
a)5 11 5 11 16 4
12 12 12 12
4
4
4
33
b) x x x x x
3 5 3 5 2 1
2 2 2 2
Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restarse, lasfracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador. Para ellocalculamos el mcm (mínimo común múltiplo) del denominador respectivo. Ysiguiendo un procedimiento respectivo.
Ejemplo 5.Simplifique:
a) 5 36 4 b) x y 36 4 c) x 1 19 6
Solución:a) El mcm de 6 y 4 es:
6 4 2
3 2 22 2 3 12
3 1 3
1
5 3 5 2 3 3 10 9 10 9 1
6 4 6 2 4 3 12 12 12 12
b) El mcm de 6 y 4 es: 12
x y x y x y x y 3 2 3 3 2 9 2 9
6 4 6 2 4 3 12 12 12
c) El mcm de 9 y 6 es:
9 6 2
9 3 32 3 3 18
3 1 3
1
x x x
x x x x x x
1 1 1 2 1 3 2 3 2 3
9 6 9 2 6 3 18 18 18
Ejercicios Resueltos:
1. Simplifique x
3 13
Solución: Se usa primero la propiedad distributiva
x x 3 1 3 3 1
3 3
Se reescribe el 3 como una fracción para efectuar el
producto
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 9/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 9
= x 3
31 3
Se usa la multiplicación de fracciones
=3 x
1 3
3 Se simplifica usando la cancelación de factores comunes.
= x + 3
2. Calcule las siguientes expresiones numéricas:
a)1
3 42
; b) 35
1
5
3
Solución:
a) Podemos distribuir primero
1 13 4 4 3 4
2 2
Se realiza la multiplicación de fracciones
=1 4 4
3 4 12 2 12 102 1 2
b) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma
3 13
5 5
=3 1
35 5
Las fracciones entre paréntesis tienen igual denominador
=2 2 3
35 5 1
aplicando el mcm en los denominadores.
=2 3 5 2 15 2 15 17
5 1 5 5 5 5 5
3. Simplifique la expresión: x
( 4)2
Solución:
x 1( 4)
2
x
1
4
12
Se usa la ley de cancelación con (1) y se reescribe el 4
x 1
2 4
aplicando división de una fracción.
= x x x 1
2 ( 4) 8 8
4. Realice y simplifique:
a)
42
5 13
; b)1 2
2 52 3
; c)3
3 5 25
Solución:
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 10/14
MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA
IEST SAN JOSE ORIOL Página 10
a)
4 2 4 2 5 4 10 4 62 6 3 6 1 6 15 1 5 1 5 5 5 5 51 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 5 1 5 3 5 3
2 3
5 3
2 2 5 2 5 31 1
5 5 5 5 5
b)1 2 1 3 2 2 3 4 3 4 1
2 5 2 5 2 5 2 5 2 52 3 2 3 3 2 6 6 6 6
12 5
6
Realizamos la multiplicación de fracciones.
5 1 5 1 52 2 2
1 6 1 6 6
Resolvemos la diferencia
2 5 2 6 5 12 5 12 5 7
1 6 1 6 6 6 6 6 6
c)3 3 5 3 5
3 5 2 3 5 5 2 3 10 35 5 1 5
3
1 5
10 3 3 10 10
Ejercicio de desarrollo.
Realice y simplifique las siguientes expresiones numéricas:
a)
2 12
4 3
11 2
, b)2 1
3 5 1
3 5
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 11/14
MATEMATICAS I. PRACTICA CALIFICADA 1
LOS NUMEROS REALES, FRACCIONES.
Docente: Msc. Ing. Juan Carlos Licona Paniagua
LOS NUMEROS REALES
Clasifique si los siguientes números son
racionales, irracionales.
1. 3,232323…
Rpta. ____________
2. 5,5432098772…
Rpta. ____________
3. 4,3333332123…
Rpta. ____________
4. 5,43
Rpta. ____________
5. 98,9887777…
Rpta. ____________
6. 9
Rpta. ____________
7. 2
Rpta. ____________
8. 16
Rpta. ____________
9. 15
Rpta. ____________
10. 25
Rpta. ____________
11. 7
Rpta. ____________
12. 5
Rpta. ____________
Simplifique las siguientes expresiones:
13. 2(4 2)
Rpta. _____________
14. 6 – 2 (3 2)
Rpta. _____________
15. x y 4(2 )
Rpta._________________
16. z x 3(4 2 )
Rpta._________________
17. x 2( 3)
Rpta._________________
18. x 4( 6)
Rpta._________________
19. x y ( 6)
Rpta._________________
20. y x y 3 4( 2 )
Rpta._________________
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 12/14
21. x z x 4 2(3 2 )
Rpta. ________________
22. y x x y 3( 2 ) 2(2 2 )
Rpta. ________________
23. x y z ( )( )( )
Rpta. ________________
24. x y z ( )( )(2 3 )
Rpta. ________________
25. x y ( 2 )( 3)( 4)
Rpta. ________________
26. x y y x 2( 3 )( 2 1) ( )(4 5 )
Rpta. ________________
27. x x 2 5 2( 2)
Rpta. ________________
28. x y x 2( )
Rpta. ________________
29. x 4[2( 1) 3]
Rpta. ________________
30. x [ 3( 4 5) 3]
Rpta._________________
31. x x 4[ (2 5) 2(1 2 )]
Rpta._________________
32. x x 1(2 1)
Rpta._________________
33. x x 1( 3 ) (6 2 )
Rpta._________________
34. xy x y 1
( ) ( )
Rpta._________________
35. xy x y 1( ) (2 3 )
Rpta._________________
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 13/14
FRACCIONES
Evalúe cada una de las siguientes
expresiones. Escriba las respuestas en los
términos más simples.
36. 2 69 5
Rpta. ___________
37.3 8 4
4 5 9
Rpta. ___________
38. x
x
3 2525 9
Rpta. ___________
39. y
x x
2 67
21
Rpta. ___________
40.18 8
11 33
Rpta. ___________
41. x x 7 21
10 5
Rpta. ___________
42. x xy
y
23 64
20 25
Rpta. ___________
43. x xy
y
23 64
20 25
Rpta. ___________
44.1 1
6 2
Rpta. ___________
45.1 1
10 15
Rpta. ___________
46. x x 4
5 10
Rpta. ___________
47. x x
2 3
Rpta. ___________
48. x x
2
7 3
6 4
Rpta. ___________
49. x
x
1 2
6 2
Rpta. ___________
50. x
x x
2 6
2
Rpta. ___________
8/17/2019 Algebra Numeros reales fracciones
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-numeros-reales-fracciones 14/14
51.1 2 1 1
4 5 2 5
Rpta. ___________
52.2 1 7 1
3 12 10 4
Rpta. ___________
53.
1 1
2 31 14 5
Rpta. ___________
54.1 13 4
1 15 6
Rpta. ___________
55.34
18
2
3
Rpta. ___________
Resuelva los siguientes ejercicios
aplicativos de fracciones.
56. Un camión puede cargar 8000 kg y lleva
3/5 de la carga. ¿Cuántos kilos lleva?
Rpta. _________
57. Un depósito de agua tiene 600 litros de
capacidad y está lleno. Gastamos 1/4 y
luego 1/3 de lo que queda. ¿Cuántos litros
quedan en el depósito?
Rpta. ______________
58. Plantamos en un parque 600 árboles: 1/3
son palmeras, 1/2 pinos y el resto olivos. Si
cada palmera cuesta S/. 30, cada pino
cuesta S/.3 y cada olivo S/. 7, ¿Cuánto
dinero cuestan todos los árboles?
Rpta. _______________
59. El depósito de gasolina de un coche
contiene 60 litros y gasta 2/3 en hacer un
trayecto. Si el litro de gasolina cuesta a S/.
0.85 ¿cuánto ha gastado en el trayecto?
Rpta. ________________
60. Una familia gana S/. 18,000.00 al año. Gasta
en comida 3/10, en ropa 1/8, en transporte
1/12 y en otras cosas S/. 3,000.00. ¿Cuánto
ahorra al año?
Rpta. _________________
“Si un hombre es perseverante aunque sea difícil de
entender se hará inteligente y si es débil se hará
fuerte”. (Leonardo Da Vinci)