TRABAJO COLABORATIVO 2

ELISA VIVIANA CANCHALA CASTRO cc 1.085.263.835

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1. – x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8– x+6 z=6

Dado el sistema lineal anterior se escribe su matriz ampliada y se aplica operaciones elementales para transformar la parte correspondiente a la matriz, en su forma escalonada reducida:

[−1 −4 −111 −9 1

−1 0 6 |−15−86 ]−1 f 1[ 1 4 11

1 −9 1−1 0 6 |15−8

6 ] f 2−f 1[ 1 4 110 −13 −10

−1 0 6 | 15−236 ]

f 3+ f 1[1 4 110 −13 −100 4 17 | 15−23

21 ]− 113

f 2[1 4 11

0 11013

0 4 17|15231321 ] f 1−4 f 2[1 0

10313

0 11013

0 4 17|10313231321

]f 3−4 f 2[1 0

10313

0 11013

0 018113

|10313231318113

] 13181 f 3[1 010313

0 11013

0 0 1|1031323131

] f 2−1013 f3[1 0

10313

0 1 00 0 1

|1031311 ]

f 1−10313

f3[1 0 00 1 00 0 1|

011 ]

De la ultima matriz (que se encuentra en su forma escalonada reducida), se tiene la solucion del sistema el cual es el siguiente:

x=0

y=1

z=1

1.2. –7 x+2 y−z+4w=103 x+2 y−z+4w=10

Dado el sistema lineal anterior se escribe su matriz ampliada y se aplica operaciones elementales para transformar la parte correspondiente a la matriz, en su forma escalonada reducida:

[−7 23 −5

−1 4−2 −1|10−9 ]−17 f 1[1 −2

73 −5

17

−47

−2 −1 |−107

−9 ] f 2−3 f 1

[1 −27

0−297

17

−47

−177

57

|−107−337 ]− 7

29f 2[1 −2

70 1

17

−47

119203

−35203

|−107231203 ] f 1+ 27 f 2

[1 00 1

63203

−126203

119203

−35203

|−224203231203 ]

La matriz, ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el método finaliza allí.

El sistema resultante es:

x+ 63203

Z−126203

W=−224203

y+ 119203

Z− 35203

W=231203

Las variables z y w están presentes en las dos ecuaciones. A z y w se las llamara variables libres.

Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a z y w, valores arbitrarios, con eso se obtiene los valores para x y y.

Despejando x en la primera ecuación.

x=−224203

− 63203

Z+ 126203

W

Despejando y en la segunda ecuación.

y=231203

−119203

Z+ 35203

W

Z y w son arbitrarios (cualquiera). Ya que lo que buscamos es un vector [ x , y , z ,w ], que satisfaga el sistema. Por lo tanto podemos escribirlo así.

x=−224203

− 63203

Z+ 126203

W

y=231203

−119203

Z+ 35203

W

z=z

w=w

Que escrito como vector fila será:

[−224203− 63203

Z+ 126203

W ,231203

−119203

Z+ 35203

W , z ,w ](1)

Para cada valor que se le asigne a z y w (las variables libres) se obtiene un vector que satisface las dos ecuaciones.

Se puede asignar a z y w los valores que se dese, se trata de un caso de infinitas soluciones.

La forma de la solución escrita en (1), recibe el nombre de solución general, ya que contiene la forma de todas las posibles soluciones.

Si se desea encontrar un vector cualquiera que satisfaga el sistema, se le asigna un valor a z y w (cualquiera), a este vector se lo llamara solución particular.

Solución particular:

[−224203− 63203

Z+ 126203

W ,231203

−119203

Z+ 35203

W , z ,w ]Si z=0 y w=0, resulta.

[−224203,231203

,0,0] , solucion particular 1.

Otra solución particular, si z=1 y w=0, resulta.

[−287203,112203

,1,0] , solucion particular2.

Como z y w pueden tomar cualquier valor (tantos números reales hay), se pueden generar tantas soluciones particulares como se desee.

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A−1).

x− y−z=03 x− y+3 z=2– x+z=−1

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)

Encontremos el determinante:

DetA=| 1 −1 −13 −1 3

−1 0 1 |=1|−1 30 1|−(−1 )| 3 3

−1 1|+(−1 )| 3 −1−1 0 |=6

Dado que el determinante ≠0, se tiene que es invertible.Ahora encontramos A−1 empleando el método de reducción de Gauss- Jordan.

[ 1 −1 −13 −1 3

−1 0 1 |1 0 00 1 00 0 1 ] f 2−3 f 1[ 1 −1 −1

0 2 6−1 0 1 | 1 0 0

−3 1 00 0 1 ] 12 f 2

[ 1 −1 −10 1 3

−1 0 1 | 1 0 0−32

120

0 0 1 ] f 1+ f 2[ 1 0 20 1 3

−1 0 1|−12 120

−32

120

0 0 1] f 3+ f 1

[1 0 20 1 30 0 3|

−12

120

−32

120

−12

121 ] 13 f 3[1 0 2

0 1 30 0 1|

−12

12

0

−32

12

0

−16

16

13

] f 1−2 f 3

[1 0 00 1 30 0 1|

−16

16

23

−32

12

0

−16

16

13] f 2−3 f 3[1 0 0

0 1 00 0 1|−16 1

623

−1 0 −1−16

16

13

]

De lo último tenemos:

A−1=[−16 16

23

−1 0 −1−16

16

13

]Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación

X=A−1b .

Donde,

b=[ 02−1]Por tanto,

x=[−16 16

23

−1 0 −1−16

16

13

] [ 02−1]x=[−131

0]

La solución es x=−13

; y=1 ; z=0

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1.Contiene a los puntos R=(−6,6,1 ) yQ=(−10,2 ,−3)

v=RQ=(x2−x1 ) i+( y2− y1 ) j+ ( z2−z1) k

v=RQ=(−10+6 ) i+(2−6 ) j+(−3−1 ) k=−4 i−4 j−4 k

Por lo tanto: a=−4 b=−4 c=−4

Ecuaciones vectoriales

OS=¿+t vx i+ y j+z k=−6 i+6 j+1 k+t (−4 i−4 j−4 k )

Ecuaciones paramétricas:

x=x1+ta x=−6−4 ty= y1+tb Entonces y=6−4 tz=z1+tc z=1−4 t

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

Entoncesx+6−4

= y−6−4

= z−1−4

Para encontrar otros puntos que se encuentran en la recta, podemos darle un valor a t en las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo si t=2

x=−6−4(2) x=−14y=6−4(2) Entonces y=−2z=1−4 (2) z=−7

Por lo tanto (−14 ,−2 ,−7 ) , también está en la recta

3.2.Contiene a P= (−5,0 ,−8 )y es paralela a la recta x−9−1

= y+3−6

= z−5−10

Aquí P= (−5,0 ,−8 )=(x1, y1 , z1 ) y v=−1 i−6 j−10 k

x=−5−1ty=0−6 tz=−8−10 t

De donde las ecuaciones simétricas son de la siguiente forma:

x+5−1

= y−0−6

= z+8−10

Para encontrar otros puntos que se encuentran en la recta, podemos darle un valor a t en las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo si t=2

x=−5−1(2) x=−7y=0−6 (2) Entonces y=−12z=−8−10(2) z=−28

Por lo tanto (−7 ,−12 ,−28 ) , también está en la recta

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1.Contiene a los puntos S= (1,−8 ,−2 ) ,Q=(−3,0 ,−8 ) y T= (5 ,−6,1 )

Formamos los vectores SQ y ST (o SQ y QT )

SQ=(x2−x1 ) i+ ( y2− y1 ) j+( z2−z1 ) k

SQ= (−3−1 ) i+ (0+8 ) j+(−8+2 ) k

SQ=−4 i+8 j−6 k

ST=(x2−x1 ) i+( y2− y1 ) j+ ( z2−z1) k

ST=(5−1 ) i+(−6+8 ) j+ (1+2 ) k

ST=4 i+2 j+3 k

Ahora se halla un vector que sea perpendicular a SQ y ST simultáneamente (este nos sirve como vector normal)

SQ x ST=| i j k−4 8 −64 2 3 |=i|8 −6

2 3 |− j|−4 −64 3 |+ k|−4 8

4 2|SQ x ST=36 i+12 j+40 k

Entonces utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo, Q) tenemos:

36 ( x+3 )+12 ( y−0 )+40 ( z+8 )=0

36 x+108+12 y+40 z+320=0

36 x+12 y+40 z=−108−320

36 x+12 y+40 z=−428

4.2.Contiene a los puntos Q= (−7,2,1 )y tiene como vector normal an=−i−2 j+4 k

De (1) se obtiene,

−1 ( x+7 )−2 ( y−2 )+4 ( z−1 )=0

−x−7−2 y+4+4 z−4=0

−x−2 y+4 z=7−4+4

−x−2 y+4 z=7

Para graficar en el plano, se hallan los punto corte con cada uno de los ejes x,y,z ( en los ejes las otras dos variables tienen el valor de cero (0))

Se realiza la gráfica de −x−2 y+4 z=7

i. Si x=0= y, entonces z=74

Tomemos el punto (0,0 , 74 )ii. si x=0=z, entonces y=

−72

Tomemos el punto (0 ,−72 ,0)iii. si y=0=z, entonces y=−7

Tomemos el punto (−7 ,0 ,0 )