Álgebra U3 Final

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa Multiplicación:

Multiplicación de Polinomio por Polinomio.- Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.Ejemplos:1) Multiplicar a+b+c por m+n

(a+b+c)(m+n) =

a(m+n)

+c(m+n)

+b(m+n)=

am +bm

+bn

+cm

+cn

a-4a+3

. (a)(a)

-4(a)+3(a

)

+an2) Multiplicar a-4 por 3+a

(a-4)(3+a) =

a(3+a)

= 3a

-4(3+a)

+a2

-4a

=a2

-a -12-12

-3(4) . a

2

-a -12

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa Multiplicación:

Multiplicación de Polinomio por Polinomio.- Ejemplos:3) Multiplicar 2+a2-2a-a3 por a+1

(2+a2-2a-a3)(a+1) =

=2(a)

+a2(a)

+2(1)

+a2(1)

-2a(1)-a3(a)

-a3(1)

2+-2a+a2-a31+a

. 2-2a

+ a2 -a3

–2a(a)

2a

-2a2 +a32

-a4

-a2 -a4

=2a

+a3+2

+a2 -2a-a4-a3–2a2

=-a4 +2

–a2

.

Multiplicar:

1) a+3 por a-1 2) a-3 por a+13) x+5 por x-4 4) m-6 por m-55) –x+3 por –x+5 6) –a-2 por –a-37) 3x-2y por 2x+y 8) 5x-4y por -3x+2y9) 5a-7b por a+3b 10) 7x-3 por 2x+411) –a+b por 8a-4b 12) 6m-5n por m-n13) -9m+8n por 6m+8n 14) -7y-3 por 2y-1115) x2+xy+y2 por x-y 16) m4+m2n2+n4 por m2-n2

17) a2+a+1 por a2-a-1 18) a3-5a-a por a2-a+519) –a3+2ax2+3x3 por 2a2-3ax-x2

20) a3-3a2b+4ab2 por a2b-2ab2-10b3

21) y2-2y+1 por y4-2y2+222) 3a2+2a2-5a-4 por a3+a2-2a+123) x+2y-z por x-y+z 24) ax+2-ax+1+ax por a+125) an+2+3an+1-2an por an+1+an

26) ma+4-ma+3-2ma+2+ma+1 por -ma-1+ma-2+ma-3

27) -5a2m+2+a2m+1+3a2m por 6a3m-1-8a3m+a3m-3

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones Algebraicas


223223

223

22223

2222

32

2222

222222

25

32

32

por 41

52

21

43

10)

51

101

23

por 21

41

31

41

9)

65

32

41

por 21

51

72

8)

32

23

por 32

31

21

- 7)

231

2por 52

41

83

6)

223

por 21

31

52

5)

23

41

por 32

41

4) 23

32

por 41

31

21

3)

65

31

por 52

2) 21

31

por 32

21

1)

:r Multiplica

nmnmnmnnmm

xxxxx

yxyxxyyxx

aaxxaaxx

xxxx

nmnmnmnm

bababayxyxyx

yxyxbaba

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasLa División:

La División, esta formada por tres elementos: 1) Dividendo, 2)Divisor y 3) Cociente.

Ley de los SignosLa división de signos iguales es positivo (+).La división de diferentes signos es negativo (-).

)4 )3 )2 1)

Casos de la División:

3) División de polinomio por polinomio

1) División de monomios.2) División de Polinomio por Monomio.


División de Monomios.- Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos. . Ejemplos:1) Dividir 4a3b2 entre -

2ab

2) Dividir –5a4b2c entre –a2b

)4( 23ba )2( ababba

24 23

2

4 13a 12b ba22

)5( 24 cba )( 2bacba 245

ba2

15

24a 12b c bca25


Ejemplos:

3) Dividir -20mx2y3 entre 4xy3

4) Dividir –xmynzk entre 3xy2z3

)20( 32 ymx )4( 3xy3

32

420

xyymx

420 m 12x 33y mx5

)( knm zyx )3( 32zxy 323 zxyzyx knm

31 1mx 2ny 3kz 321

31 knm zyx

)4( 34 yax

5) Dividir 4ax4y3 entre 2x2y

)2( 2 yx yxyax

2

34

24

24

a 24x 13y 222 yax


1) −24÷82) −63÷ −73) −5a2 ÷ −a4) 14a3b4 ÷ −2ab2

5) −a3b4c ÷a3b4

6) −a2b÷ −ab7) 54x2y2z3 ÷ −6xy2z3

8) −5m2n÷m2n9) −8a2x3 ÷ −8a2x3

10) −xy2÷2y

11) 5x4y5 ÷ −6x4y12) −a8b9c4 ÷8c4

13) 16m6n4 ÷ −5n3

14) −108a7b6c8 ÷-20b6c8

15) -2m2n6 ÷-3mn6

16) ax ÷a2

17) −3axbm ÷ab2

18) 5ambnc ÷ −6a3b4c19) axbm ÷ -4ambn

20) -3manxx3 ÷-5mxn2x3

21) am+ 3 ÷am+ 2

22) -3am-2 ÷ -5am-5

23) -4ax-2bn ÷-5a3b2

24) 5a2m-1bx-3÷ -6a2m-2bx-4

25) am+nbx+a ÷ amba

3434535365652

543352

21

26 43

83

5 25

87

4

292

3 61

32

2 32

21

1

:Dividir

baba) dcdc) cabcba)

yx) zzxy) x)

mxx


División de un Polinomio por un Monomio.- Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. (Ley distributiva de la división). Ejemplos:

1) Dividir 3a3-6a2b+9ab2 entre 3a

)abba-a( 223 963 a3a

abba-a3

963 223 aa

33 3

a

ba36 2

aab3

9 2

22 32 baba


10

1) 3x2y3 ÷ 5a2x4

2) X3-4x2+x ÷ x3) 6m3-8m2n+20mn ÷ 2 m4) X4-5x3 -10x2+15x ÷ −5x5) ax+am-1 ÷ a2

6) ambn+am-1bn+2-am-2bn-4 ÷ a2b3

7) 4ax+4bm-1-6ax+3bm-2+8ax+2bm-3 ÷ −2ax+2bm-4

2115335

222342

61

52

41

32

4 531

52

3

41

32

32

41

2 x 32

32

21

1

:Dividir

xxxx aaaa) aabbaa)

mnmnmm) xx)


División de Dos Polinomios.- Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y tendremos el primer término del cociente.Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones

AlgebraicasLa División:

1) Dividir 3x2+2x-8 entre x+2

2x 823 2 xx

x3

x623xx4 8

4

x4 80 0

0

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones

AlgebraicasLa División:

1) Dividir 28x2-30y2-11xy entre 4x-5y

0

230yxy24xy24 230y0xy35228x

yx 54 22 301128 yxyx y6x7

14

1)a2+2a-3 ÷ a+32)x2-x-20 ÷ x+53)x2-8x+15 ÷ -x+34)6x2-xy-2y2 ÷ 2x+y5)5a2+8ab-21b2 ÷ a+3b6)-8a2+12ab-4b2 ÷ -a+b7)-54m2+12mn+32n2 ÷ −2m+8n8)x3-y3 ÷ x-y9) x2-9x2+x+3 ÷ x+310) m6-n6 ÷ m2-n2

11) 3y5-12y+5y2+10 ÷ y 2+212) 12a3-35a2b+33ab2-10b3 ÷ 4a-5b

13) m2-5m4n+20m2n3-16mn4 ÷ m2-2mn-8n2

14) m6+m5-4m4+m2-4m-1 ÷ m3+m2-4m-115) n4-2n3+2n-1 ÷ n2-2n+116) 4y4+4y3-13y2-3y-20 ÷ 2y+517) a6-5a5+31a2—8a+21 ÷ a3-2a-718) x6-2x4y2+2x3y3-2x2y4+3xy5-2y6 ÷ x2+xy-

2y2

19) a6+2a5-2a4-3a3+2a2-a-1 ÷ a3+a2-a+1

20) x7-3x6+6x5+x2-3x+6 ÷ x3-2x2+3x+6

21) -m7+5m6n-14m5n2+20m4n3-13m3n4-9m2n5+20mn6-4n7 ÷ -m3+3m2n-5mn2+n3

22) a2-b2+2bc-c2 ÷ a+b-c23) a5+b5 ÷ a+b24) x10-y10 ÷ x2-y2

25) x5+y5 ÷ x4-x3y+x2y2-xy3+y4

26) ma+4-ma+3+6ma+1-5ma+3ma-1 ÷ m2-2m+327) ax+2-2ax+8ax-1-3ax-2 ÷ ax-2ax-1+3ax-2

28) x2a-2+x2a-3-4x2a-4-x2a-7 ÷ xa-1-xa-2-xa-3

29) ax+2-2ax+8ax-1-3ax-2 ÷ ax-2ax-1+3ax-2

30) Ax-ax-1b+bn-abn-1 ÷ a-b322354322345

41

52

21

43

85

67

60101

4099

65

21

)34 nmnnmmnmnnmnmnmm

22432234

3223

22

32

23

31

1813

121

49

)33

23

41

b-35

85

161

)32

21

31

61

365

61

)31

xaxaxaxxaxaa

baabbaa

bababa

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasDivisión de Dos Polinomios con Cociente

Mixto.Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el

divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, así llamados por que constan de entero y quebrado.

Cuando la división no es exacta debemos detenerla cuando el primer término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con relación a una misma letra, osea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y sumamos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.


1) Dividir x2-x-6 entre x+3

División de Dos Polinomios con Cociente Mixto.

62 xx3 x x

2x x30 x4 6

4

x4 12

3

62

xxx

6

4x3

6

x


1) Dividir 6m4-4m3n2-3m2n4+4mn6-n8 entre 2m2-n4

42

8622

42

8642234

22

232

4346nmnmn

mnmnm

nmnnmnmm

División de Dos Polinomios con Cociente Mixto.

4346 8642234 nmnnmnmm 422 nm

2m3

423 nm46m0 234 nm 0 64mn

22mn

234 nm 62mn0 62mn 8n

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasDivisión de Dos Polinomios con Cociente Mixto.

1) a2+b2 ÷ a2

2) x4+2 ÷ a3

3) 9x3+6x2+7 ÷ 3x2

4) 16a4-20a3b+8a2b2+7ab3 ÷ 7a2

5) x2+7x+10 ÷ x+66) x2-5x+7 ÷ x-47) m4-11m2+34 ÷ m2-3

8) x2-6xy+y2 ÷ x+y9) x3-x2+3x+2 ÷ x2-x+110)x3+y3 ÷ x-y11)x5+y5 ÷ x-y12)x3+4x2-5x+8 ÷ x2-2x+113)8a3-6a2b+5ab2-9b3 ÷ 2a-3b14)X5-3x4+9x2+7x-4 ÷ x2-3x+2

Resuelve las siguientes divisiones:

1) Lenguaje algebraico. b) Operaciones AlgebraicasProductos Notables.-

Los productos notables son normas que se establecen para resolver algunas multiplicaciones sin necesidad de aplicar el método adecuado.

Binomio al cuadrado (a+b)2 el cual se resuelve de la siguiente forma:

Si observamos con atención podemos obtener la siguiente regla para resolver el binomio al cuadrado:

(a+b)2

= (a+b)(a+b)

= (a)(a)

+ab

+ab

+(b)(b) =

a2+2ab+b2

El cuadrado del primero mas el doble producto del primero por el segundo

mas el cuadrado del segundo.


Por ejemplo:1) Resuelva el siguiente binomio al cuadrado:

(4a+5b2)2

Primero:

(4a)2

4a

(4a+5b2)2

=16a2

+40ab2

+25b4

5b2

+2(4a)(5b2)

+(5b2)2

El cuadrado del primero :

mas el doble producto del

primero por el segundo

mas el cuadrado

del segundo.

Segundo:

16a2

+40ab2 +25b4


Por ejemplo:1) Resuelva el siguiente binomio al cuadrado: (x-5)2

Primero:

(x)2

x

(4a+5b2)2

=16a2

+40ab2

+25b4

-5

+2(x)(-5)

+(-5)2


mas el doble producto del

primero por el segundo

mas el cuadrado

del segundo.

Segundo:

x2 -10x +25


Binomios conjugados son de la forma: (a+b)(a-b) , el cual se resuelve de la siguiente forma:

Regla para obtener el resultado de binomios conjugados:

(a+b)(a-b)

= (a+b)(a-b)

= (a)(a)

-ab+ab

+(-b)(-b) =

a2-b2

El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.Por ejemplo:

1) Efectúe: (2a+3b)(2a+3b)Primero:

(2a)2

2a

(2a+3b) (2a-3b)=

4a2 -9b2

3b

-(3b)2


menos el cuadrado del

segundo.

Segundo:

4a2 -9b2


Por ejemplo:1) Efectúe: (5an+1+3am)(3am-5an+1)

Primero:

(3am)2

3am

(3am+5an+1)(3am-5an+1)=

9a2

m

-25a2n+2

5an+1

-(5an+1)2


menos el cuadrado del

segundo.

Segundo:

9a2m -25a2n+2

Lo acomodamos de la siguiente manera (3am+5an+1)(3am-

5an+1)


Binomio al cubo: (a+b)3 , el cual se resuelve de la siguiente forma:

Regla para obtener el resultado de binomio al cubo:

(a+b)(a+b) (a+b)

= (a+b)[(a+b) (a+b)]= (a+b) +ab+ba

+(b)(b)] =

El cubo del primero mas el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del

segundo.

[(a)(a)

(a+b)

+2ab

+b2][a2

+(2ab)(a)

+(b2)(a)

=(a2)(a)

+(2ab)(b)

+(b2)(b)

+(a2)(b)

+2a2

b+ab2

= a3

+2ab2

+b3+a2

b+3a2

b= a3

+3ab2

+b3


Por ejemplo:1) Efectúe: (a-b) 3

Primero:

(a)3

a

(a-b) 3=

b

+(b)3

El cubo del primero :

Mas el cubo del segundo.

Segundo:

+3

Mas el triple del cuadrado del

primero por el segundo :a2 b +3

Mas el triple del primero por el cuadrado del

segundo :ab2

a3 +b3+3a2b +3ab2


Producto de dos Binomios con un término común : (x+a) (x+b) , el cual se resuelve de la siguiente forma:

Regla para obtener el resultado de binomio al cubo:

(x+a)(x+b)

= (x)(x)

+(a)(x)

+(a)(b)

El cuadrado del primero mas el producto de la suma de los no comunes por el común,

mas el producto de los no comunes.

+(b)(x)

=(x)2

+ab

+(a+b)x

Álgebra U3 Final

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