Álgebra_3°.pdf

ndice

Captulo 1 Teora de exponentes I 4

Captulo 2 Teora de exponentes II 9

Captulo 3 Notacin P(x) 14

Captulo 4 Grados y polinomios especiales 19

Captulo 5 Repaso I 25

Captulo 6 Productos Notables 30

Captulo 7 Divisin algebraica 36

Captulo 8 Factorizacin I 42

Captulo 9 Factorizacin II 47

Unidad I

Captulo 10 Fracciones Algebraicas 53

Captulo 11 Cantidades Imaginarias I 59

Captulo 12 Cantidades Imaginarias II 64

Captulo 13 Cantidades imaginarias III 69

Captulo 14 Teora de ecuaciones 75

Captulo 15 Repaso II: Productos Notables y Factorizacin 81

Captulo 16 Ecuaciones de segundo grado I 86

Captulo 17 Ecuaciones de segundo grado II 92

Unidad II

lgebra

Captulo 18 Ecuaciones de segundo grado III Planteo 98

Captulo 19 Sistema de ecuaciones I 104

Captulo 20 Sistema de ecuaciones II 110

Captulo 21 Repaso III: Ecuaciones y sistemas 116

Captulo 22 Inecuaciones I 122

Captulo 23 Inecuaciones II 128

Captulo 24 Funciones I 134

Captulo 25 Funciones II 141

Unidad III

Captulo 26 Funciones III 147

Captulo 27 Funcin cuadrtica 153

Captulo 28 Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado 160

Captulo 29 Progresiones I 165

Captulo 30 Progresiones II 171

Captulo 31 Logartmos I 177

Captulo 32 Logartmos II 182

Captulo 33 Logartmos III 188

Unidad IV

Captulo

4

Colegios

TRILCE Central: 6198-100

1

Lectura: La peticin deL invento deL ajedrez

Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presenta su invento a un prncipe de la india. El prncipe qued tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para la cual ledijo: Pdeme lo que quieras, que te lo dar. El inventor del ajedrez formul su peticin del modo siguiente:

Deseo que me entregues un gramo de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, diecisis por la quinta, y as sucesivamente hasta la casilla 64.

La sorpresa fue cuando el sacerdote del prncipe calcul la cantidad del trigo que representaba la peticin del inventor, porque toda la tierra sembrada de trigo era insuficiente para

obtener el trigo que peda el inventor. Cuntos trillones de granos de trigo peda aproximadamente) utiliza la calculadora para hallarlo: 1+2+22+23+24+...+262+263.

FUENTE: http://thales.cica.es

En este captulo aprenderemos

Teora de exponentes I

. Potenciacin (base, exponente, potencia)

. Definiciones

Exponente entero positivo. Exponente cero. Exponente entero negativo.

. Teoremas:

Bases iguales (multiplicacin y divisin) Exponentes iguales (multiplicacin y divisin) Potencia de potencia.

. Ejercicios.

teora de exponentes i

lgebra

5www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria

Sntesis terica

Captulo

6

Colegios


Saberes previos

1. EfectuarE=10+5(1)2(1)

2. CalcularE 25 36= +

3. Reducir:E=3m2m+9m

14. Descomponer cannicamente los siguientes

nmeros.

120 180

5. Factorizar:

P(x)=x3+x5+x4

Aplica lo comprendido

1. Relacionar correctamente

a) 5 5 5 5 5 I. 5

b) 5+5+5+5+5 II. 56

c) 51+51+51+51+ 51 III. 55

d) 55+55+55+55+55 IV. 5

a b c d

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. am x a2m = a3m ( )

II. a5m a3m = a2m ( )

III. a4m + a2m = a6m ( )

IV. (a3)m = a3+m ( )

3. Completar correctamente

a) En la 39, la base es

y el exponente es

.

b) Si una base negativa se eleva a un exponente

par, la potencia resultante es siempre de

signo .

c) Luego de reducir xx5

7 el exponente final es

.

4. Efectuar: 231 70 1 5

1 0 0+ + + -

` ^ ^j h h

5. Simplificar: x y zx y z7 3 9

7 9 11

ferchisIII

ferchisv

lgebra


Aprende ms

1. Relacionar correctamente:

a) (2x)(2x)(2x) I. 21.x

b) (x2+2)+(x2+2) II. 4x2

c) (2x1)1 III. 8x3

d) (2x)2 IV. 2x

a b c d


I. ;xx

x1 R1 6 != ( )

II. 1;x x Ro 6 != ( )

III. ( ) ;x x x R2 5 25

6 != ( )

IV. ;x x x R1 6 != ( )


a) Si una base negativa se eleva a un exponente

impar, la potencia resultante es .

b) 36 indica que la base se

multiplica veces.

c) Luego de reducir ( )( )xx3 2

2 3 el exponente final es

.

4. Reducir: ( ) ( ) ( )2 231 4 33 4 1 0+ + + ; E

a) 4 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

5. Calcular: E361 2 3

4 0 12 5 51 3 7

= + +

` j

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

6. Simplificar: . . .

( ) (( ) )b a b aa b a2 10 6 10

3 2 4 2 2 2

a) a b) b c) ab

d) ba e) 1

7. Reducir: 3

3 3 3x

x x x1 1+ + +

a) 3 b) 13 c) 133

d) 1 e) 313

8. Simplificar: .

. .5 525 125 5

x x

x x x

2 3 9 3

a) 1 b) 51 c) 5

d) x e) 25

9. Simplificar: 100 2775 6 2

2

2 3

#

# #

a) 5 b) 9 c) 4d) 15 e) 6

10. Reducir: E5 5 55 5 5

x x x

x x x

3 2 1

1 2 3=

+ +

+ ++ + +

a) 625 b) 152 c) 25d) 5 e) 1

11. Luego de reducir, indicar el exponente final de " x":

x

x3

8164 ; x > 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Si: a+b=1; ab= 2 , simplifique la expresin:

(ab + ba)(aa + bb) (2a/2 + 2b/2)

a) 0 b) 1 c) ab+1

d) a+1 e) ba+1

13. Si x es positivo, simplificar la expresin:

....

x

x x x x x

n n

nn

3

154

43

32

21

2+

+

a) x1/2 b) xn c) x2

d) x e) 1

14. Los planetas A, B, C se encuentran unidas colinealmente con respecto a un eje de referencia. Si las distancias entre A y B y B y C son 2x+11 y 2x+9 respectivamente y la distancia de A y C es 293+293+294+297, hallar x

a) 86 b) 85 c) 87d) 88 e) 84

15. En cierto planeta un virus se duplica cada segundo. Si A representa la cantidad de virus que se tienen en 31 segundos y B representa la cantidad de virus en 28 segundos. Hallar AB

a) 12 b) 16 c) 4d) 2 e) 8

Captulo

8

Colegios


1Practica en casa

1. Reducir: ( )A51 2012 2013 81

- /1 0 1 4= + + +` j

2. Calcular: 2 (3 ) ( 5 ) ( 2 )B 3 5o o o o= + + +

3. Reducir: E251 2

5o=

` j

4. Calcular: . ( ) . ( )A x x x35 2 4 2=

5. Efectuar: ( ) ( ) ( )E 4 7 5 o3 2=

6. Reducir: . . .A x x x x( ) ( )4 2 3 4o2 2

=

7. Simplificar: .

;x x

x x x 02

2 4 2

3 4^

^^

hh

8. Simplificar: . .

;x x x

x x x x 0o

4 3 11

4 3 2 5 4^

^ ^ ^h h h

1. Calcular el exponente final de x2; luego de

reducir : . .x x x

x x x x

.2 3 10

6 2 3 2

2 2

^` h j

a) 8 b) 3 c) 4d) 2 e) 1,0

2. UNMSM 2008 II

Si 4 , ;x x hallar el valor de x21x z xx x z= =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Si n 3n =

Calcular En

n n n2 5 27 /n

n n n n

3

3 1n n= + + ++

+

a) 211 b) 11 c)

311

d) 113 e)

112

9. Simplificar: . .. .

80 35 2114 15 30

3 3 6

9 4 2

10. Simplificar: 5

5 5x

x x1+

11. Reducir: . ;Exx

xx

xx

xx x x 013

15

5

7

7

9 3 2 != + + + e o

12. Calcular: A3 3 33 3 3x x x

x x x

1 2

2 1=

+ +

+ ++ +

13. Si xx=2 , calcular E xx1x

=+

14. Calcular: 6 56 52 2

2 2

++

15. Si 5m=3 y 2m=7 ; calcular 2110m

4. UNMSM 2003

Si 32x+32y=27 ; 3x+y=11 , calcular el valor de K= (3x+3y)3

a) 512 b) 216 c) 729d) 125 e) 343

5. UNMSM 2010 II

Si x 32k 12

=+

donde k es un nmero entero no negativo, entonces el valor de x x4+ es

a) 3 3 12 2k k1 12 2

+ ` j

b) 3 3 12 2k k12 2

+ ` j

c) 3 32 2k k 22 2+

d) 3 3 12 2k k 22 2+ +

` j

e) 3 3 12 2k k1 12 2

+ +` j

T puedes


Captulo 2

Lectura: Los descendientes de carLomagno

Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto da top con un matemtico de su entorno que le hizo los siguientes clculos:

Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el nmero de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el nmero de antepasados que tiene usted es:

2+22+23+24+ ... +238+239+240=22 199023, 255550

As que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemtico de nuestra historia pens Poca sangre noble tiene este buen hombre; pero sigi sintindose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna.

FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com


Ecuaciones exponenciales

. Criterios de resolucin

De bases iguales. Formas anlogas.

. Casos particulares

teora de exponentes ii

Captulo

10

Colegios


2Sntesis terica

Criterios de resolucin

Casos particulares

ECUACIONESEXPONENCIALES

De las bases iguales

De la forma anloga

De los exponentes iguales

lgebra


Saberes previos

1. Resolver: x23 4+ =

2. Efectuar: x7.xa

3. Efectuar: xxb

7

4. Efectuar: (x2.y3)5

5. Efectuar: (x3)4



a) 3x=36 I. x=3/2

b) 3x1=37 II. x=2

c) 3x+1=27 III. x=6

d) 9x=27 IV. x=8

a b c d


I. 5x1= 50 entonces x=1 ( )

II. 7x2= 1 entonces x=2 ( )

III. 7x1= 9x1 entonces x=1 ( )

IV. 62x = 42x entonces x=2 ( )


a) En 3x1=9x, la solucin es

b) En 11x5=1, la solucin es

c) En 2x1=61x, la solucin es

d) x 3xx3

= , la solucin es

4. Resolver:

8x2=4x+3

5. Resolver

x 5xx...

=

Captulo

12

Colegios


Aprende ms


a) 22x 2 3= I. x=8

b) 77x3 1 3=

II. x= 33

c) 551 x 3=` j III. x=8

d) x 3x3

= IV. x=3

a b c d


I. 1x3=1, entonces la nica solucines x=3 ( )

II. x axa

= , entonces x aa= ( )

III. x bx...= , entonces x bb= ( )

IV. 21

412

141

=` `` `j j

j j ( )

3. Completar correctamentea) Si xx=27, entonces la solucin es

.b) Si x2

x=16; entonces la solucin es

.

c) Si xx7

, entonces x7 es .d) (0,2)x=52, entonces la solucin es

.

4. Resolver: 3 35 5n 1 9

=

a) 8 b) 4 c) 10d) 11 e) 12

5. Resolver: 63n9=27n3

a) 3 b) 2 c) 2d) 3 e) 0

6. Resolver: 4n+1=0,5

a) 1 b) 3 c) 2

d) 23 e) 2

7. Hallar x: x2 3x23

=^ h^ h

a) 33 b) 33 c) 233

d) 233 e) 0

8. Hallar x: (0,2)51x 3=

a) 151 b)

61 c)

51

d) 21 e)

31

9. Hallar x: 3x3+3x2+3x1=39

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

10. Hallar x: 4x4+4x3+4x2+4x1=340

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Calcular el valor de "x": 3 8184 4xx

11

4=

++6 @

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Si: 7 77 7 74 315

n

n 81

== G , hallar la suma de cifras de "n"

a) 1 b) 2 c) 3

d) 8 e) 9

13. Resolver: 52n 4.5n 5=0

a) 1 b) 2 c) 2d) 1 e) 5

14. Un terreno triangular tiene las siguientes

dimensiones dadas por el grfico 2n+22n+1

2n+3

si el permetro de dicho terreno es 56m. Halle el lado ms grande.a) 4 b) 64 c) 8d) 32 e) 16

15. La edad de un padre es igual que la suma de las edades de sus tres hijos. Si las edades de sus hijos son 3n3, 3n2, 3n1 y la del padre 39. Halle la edad del mayor hijo.

a) 6 b) 9 c) 18d) 27 e) 30

2

lgebra


Practica en casa

1. Hallar x: 5x3=54

2. Resolver 7x2=49

3. Hallar x: x 3xx3

=

4. Resolver: 11x5=7x5

5. Resolver: x 7x...

=

6. Hallar x: 9x1=52x2

7. Halle el mnimo valor de n en: 7n24=54n

2

8. Si x 2xx2

= ; hallar x xx22

+

9. Luego de resolver:

25x1= (1251 )12x

Indique el valor de 4x

10. Resolver: ,0 251n 3

1= ` j

11. Resolver: 2n+3+2n+2+2n+1=56

12. Hallar x: 32x 7.3x 18=0

13. Resolver: xx=363

14. Si 5aaa5= y b 2b

b...

= , calcular E=a5+b2

15. Resolver : x 36x3

=

1. UNMSM 2009 I

Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" en un nmero entero, entonces el valor de: 2(n+3) es.

a) 4 b) 10 c) 6d) 15 e) 8

2. UNMSM 210 II

Si: 264=aa y ( )b3 3 b54 = , halle 3a+2b

a) 48 b) 96 c) 99d) 44 e) 66

3. UNMSM 2010 II

Si xy=2 (donde x>0), halle el valor de la

expresin x x

x x2 6

4y y

x x x y y

2

2yy y

+

^ ^ ^h h h

a) 316 b) 3 c)

516

d) 411 e)

413

4. UNMSM 2008 I

.

b4

9 2 3

4 2 2 0

b r r

x x

4

10 2

2 1

=+

=+

^ hZ

[

\

]]

]

Entonces se puede afirmar que:

a) x b=3 b) x+b=3 c) |b|

Captulo

14

Colegios


3

Lectura: paoLo ruffini

Matemtico y mdico, naci el 22 de septiembre de 1765 en velantano, estados pontificios, y muri en Mdena el 10 de mayo de 1822.

Estudi medicina, y cuando acab la carrera se dedic a estudiar matemticas. Sus estudios de matemticas le valieron pronto para tener muy buena reputacin en el campo matemtico y en 1787 accedi al puesto de profesor en la universidad de Mdena, donde haba estudiado.

Fue nombrado rector de la universidad y catedrtico de clnica mdica, medicina prctica y matemticas aplicadas.

Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los aos, dentro del mundo matemtico, como el descubridor de la regla de Ruffini que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio wue resulta de la divisin de un polinomio cualquiera por el binomio (xa). Pero esto no ha sido lo nico con lo que Ruffini ha colaborado en el mundo de las matemticas, elebor una demostracin de la imposibilidad de la solucin general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teora, que sera corregida posteriormente por Niels Henrik Abel, matemtico noruego.

FUENTE: http://www.rtre.es


Evaluaciones exponenciales

. Polinomio (definicin)

. Clasificacin

De acuerdo al nmero de trminos. De acuerdo al grado.

. Polinomio de una sola variable

. Valor numrico

Teoremas: suma de coeficientes, trmino independiente. . Cambio de variable

. Ejercicios

notacin p(x)

lgebra


Sntesis terica

POLINOMIO

Para P(x), se cumpleSuma de coeficientes

Trmino independiente

Segn el nmero de trminos

Monomio Binomio Trinomio, etc.

Segn el grado

1er grado 2do grado 3er grado, etc

Polinomio de una sola variable

Valor numrico

Cambio de variable

Clasificacin

Captulo

16

Colegios


3Saberes previos

1. Calcular: 3(1)2+5(1) 2(1) 1

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

2. Calcular: 5(0)3 2(0)2+7(0)5 6(0)4+3a) 7 b) 1 c) 0d) 4 e) 3

3. Calcular: 1(2)2 2(2)+6a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 2

4. Calcular: 23.22 32.3+42

a) 30 b) 20 c) 16

d) 21 e) 30

5. Reducir: x3y2.x5y4

a) x12y4 b) x3y9 c) xy

d) x8y6 e) x6y8



a) P(x)=x+3 I. P(0)=0

b) P(x)=x2 II. P(10)=21

c) P(x)=x III. P(5)=8

d) P(x)=2x+1 IV. P(3)=1

a b c d


Sea P(x) =3x1

I. P(0)=1 ( )

II. P(1)=5 ( )

III. P(1)=7 ( )

IV. P(2)=5 ( )


a) En P(x,y)=x+2y las variables son

.

b) En P(x)=3x2+2x5 el trmino independiente

es .

c) En P(x)=2x2+x1 el coeficiente principal

es .

d) En P(x)=4x2+x+2 la suma de coeficientes

es .

4. Si P(x;y)=2x+3y, calcular P(1;0)

5. Si P(x)=2x+1, calcular P(y+1)

lgebra


Aprende ms


a) P(x)=x I. P(1)=10

b) P(x+1)=x+10 II. P(10)=12

c) P(x+2)=x+1 III. P(0)=0

d) P(x1)=x+1 IV. P(7)=6

a b c d

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)Sea P(x)=4x53x4+7x3+x2

I. El grado del polinomio es 5 ( )

II. El coeficiente principal es 4 ( )

III. El trmino independiente es 2 ( )

IV. La suma de coeficiente es 7 ( )


a) En P(x,y)=3xyz, las variables son .

b) En P(x)=(x1)20+3x1, la suma de coeficientes es .

c) En P(x)=(1x)20+2, el trmino independiente es .

d) En P(x+1)=(1+x)2, entonces P(2) es .

4. Si P(x;y)=5xy, hallar P(1;1)

a) 5 b) 5 c) 6d) 6 e) 1

5. Si P(x)=x21, hallar P(x+1)

a) x2+2x b) x22x c) x2

d) 2x e) x+1

6. Si P(x2)=x23x, halle P(3)

a) 3 b) 3 c) 9

d) 10 e) 9

7. Si P(x+1)=2x3, halle P(x1)

a) 2x7 b) 2x+7 c) 7x+2

d) 7x2 e) 7

8. Si P(x1)=2x+1, calcular P(0)+P(1)+P(2)

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15

9. Si P(x)=x2, calcular ( 1) ( )x

P x P x 1+

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

10. Si P(x1)=2 P(x2) 1

Adems P(3) = 2, hallar P(0)

a) 1 b) 2 c) 8d) 9 e) 12

11. Si P(x)=(a37)x5+ax2+a2+1 es un polinomio mnico, hallar el trmino independiente.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

12. Si P(x)=(x1)6+(x+2)4+3, hallar la suma de coeficientes de P(x) multiplicado por el trmino independiente.

a) 1850 b) 1520 c) 1680d) 1560 e) 1280

13. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, adems:P(x) + Q(x) = ax + bP(x) Q(x) = a + bxdonde: P(5) = 4, calcular P(Q(1))a) 4/3 b) 1/3 c) 2/3d) 5/3 e) 4/3

14. Una empresa de galletas contabiliza sus ganancias en soles mediante: P(x)=(x+1)23, donde x indica un ciento de galletas. Cunto ganar si vende 9900 galletas?a) S/.9999 b) S/.9996 c) S/.9998d) S/.9997 e) S/.9995

15. Un terreno rectangular tiene las dimensiones de x+5 de largo y x+2 de ancho. Hallar el rea de dicho terreno representado por P(x).

a) P(x)=x2+7x+10

b) x2+7x

c) x2+7x10

d) P(x)=x

e) P(x)=x210

Captulo

18

Colegios


3Practica en casa

1. Si P(x)=x2+3x+1

Calcular P(0)+P(1)+P(2)

2. Si P(x;y)=(x+1)8+(y1)4+xy

Calcular P(2;2)

3. Si P(x) =(x1)2+x(x7)3+4

Halle el trmino independiente.

4. Si P(x)=(2x1)11+(5x4)2+(9x10)8

Halle la suma de coeficientes

5. Si P(x)=x2+1

Halle P(x1)

6. Si P(x4)=x22x

Halle P(1)

7. Si P(x1)=3x1

Halle P(x+1)

1. UNMSM 2010 IISabiendo que f(x+6)=ax+b; f(2)=14 y f(3)=29, halle el valor de 2ab

a) 6 b) 10 c) 4d) 12 e) 8

2. UNMSM 2010 IP(x)+Q(x)=ax+b, P(x)Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1))

a) 34 b)

31 c)

32

d) 35 e)

34

3. UNMSM 2004 IISi g(z+1)=g(z)+5z23z+2 y g(0)=2, entonces g(1)+g(1) es

a) 4 b) 4 c) 2d) 0 e) 2

8. Si P(x+1)= 3x1

Calcular P(0)+P(1)+P(2)

9. Si P(x)=x2, calcular ( ) ( )x

P x P x1

1 12+

+ +

10. Si P(x)=x+1; q(x)=x21;

Halle P(q(0))

11. Si P(x)=(a326)x4+2x3x+a21 es un polinomio mnico, hallar el trmino independiente.

12. P(2x5)= x x2 1 43+ + + ; hallar R(3)

13. Si P(x)=x993x98+2x1; hallar P(3)

14. Si ( );

;P x

x si x es parx si x es impar2

1= +* ; hallar P(2)+P(5)

15. Si P(x)=x22x; calcular ( (... (2)) ...)P P Pveces100

1 2 3444 444

4. UNMSM 2004 IIEl polinomioP(x)=(7x23)n3(2x1)n+1+(n2x39)7(2x+3)n17

+(5x7n)(5x1)2n17 Tiene como trmino independiente 112. Hallar "n"

a) 13 b) 18 c) 16d) 20 e) 12

5. UNMSM 2002 I

Dado 3f(x)=x+4+ ( )f x2

, calcular f(f(4))

a) 4 b) 58 c) 4

d) 0 e) 58

T puedes

El xito es 1% inteligencia y 99% esfuerzo


Captulo 4


Grados

. Definicin

. Grado en un monomio

Grado relativo (G.R) Grado absoluto (G.A)

. Grado en un polinomio

Grado relativo (G.R) Grado absoluto (G.A)

. Operaciones con grados.Polinomios especiales

. Definicin

. Tipos

Polinomio ordenado. Polinomio completo. Polinomio competo y ordenado. Polinomio homogneo. Polinomios idnticos. Polinomio idnticamente nulo.

Lectura: eL ndice de masa corporaL (i.m.c)

El ndice de masa corporal (I.M.C) es un mtodo simple para estimar la proporcin de grasa corporal de una persona. Se calcula con facilidad dividiendo el peso del sujeto expresado en kilogramos, entre el cuadrado de su altura en metros.

IMC=peso(Kg)/talla2(mts)2

Por ejemplo para una persona que mide 1.70mts y pesa 75Kg el ndice de masa corporal se calculara as:

IMC=75Kg / (170mts)2

IMC=75Kg / 2,89mts2

IMC=25,95Kg / mts2

Actualmente un IMC entre 18,5 y 24,9 se considera saludable; un IMC entre 25 y 29,9 indica sobrepeso; un IMC entre 30 y 39,9 corresponde a obesidad y un IMC de 40 a ms es propio de una obesidad severa o mrbida.

FUENTE: http://www.n/m.nih.gor

grados y poLinomios especiaLes

Captulo

20

Colegios


4Sntesis terica

GRADOS

Polinomios Operaciones entre polinomios

Potenciacin

Divisin

Multiplicacin

Sustraccin

Adicin

P. Ordenado

P. Completo

P. Completo y ordenado

P. Homogneo

P. Idnticos

P. Idnticamente nulo

Polinomios especiales Grado relativo (G.R)

Grado Absoluto (G.A)

lgebra


Saberes previos

1. Escribir un trmino semejante a x2n+5y4

2. Si P(x)=x4+3x3, hallar el valor numrico cuando x=4

3. Hallar la suma de coeficientes de:

P(x)=3x2+5x9

4. Calcular (2m4n6)(5m2n)(mn4)

5. A partir de P(x)=5x33x2+5x4, indicar su

coeficiente principal aumentado en su trmino

independiente.



a) P(x;y)=3x2y7 I. G.R.(x)=5

b) Q(x;y)=9xy II. G.R.(y)=1

c) R(x;y)=x4y III. G.A.=9

d) S(x;y)=4x5y3 IV. G.A.=2

a b c d

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda

I. En P(x;y)=2x4y5x2y6 el grado relativo a "x" es 4 ( )

II. En R(x;y)=x4y6+2x8y6 el grado absoluto es 24 ( )

III. En Q(x;y)=3xy5x2y+4x3y el grado relativo a "y" es 1 ( )

IV. En S(x;y)=7xn+1y4xn25xn+3yn5, si n=6, el grado absoluto es 10 ( )

3. Completar los espacios en blanco.

Si se sabe que el grado de P(x) es 3 y el grado de

Q(x) es 2, entonces.

a) El grado de P(x)+Q(x) es .

b) El grado de P(x).Q(x) es .

c) El grado de P2(x) es .

d) El grado de P(x).Q3(x) es .

4. Si el polinomio P(x;y)=3x2ya+34x4yb+1+x5y3

es homogneo, hallar a+b.

5. Si el polinomio Q(x)=7xa1+xb3+xc2+8 es

completo y ordenado, hallar a+b+c

Captulo

22

Colegios


4Aprende ms

6. Si el monomio R(x)=( )

( )x

xn

n

3 5

2 3 47

es de segundo

grado, hallar 7n

a) 26 b) 2 c) 1d) 3 e) 31

7. Sea el polinomio: N(x;y)=xa+7ya3x2a+3x3a+7y5a si se cumple que G.A.(N)=20; calcular GR(x).GR(y)a) 95 b) 76 c) 98d) 91 e) 8

8. Hallar "a+b" si el polinomio:

( ; )R x y x y x y x y3 74a b a b a b1 1 3 32 2 2

= ++ + , verifica que G.A.=17 y GR(y)=10

a) 12 b) 8 c) 12d) 13 e) 11

9. Hallar (ab)2, si G.A.(P)=24 y GR(x)=13; siendo: P(x;y)=3x2a+bya5x2a+b+1ya+64xa+by2a+4

a) 16 b) 25 c) 49d) 1 e) 9

10. Dado el polinomio P(x) de grado (3m+4n) y el

polinomio Q(x) de grado (7m5n), hallar "m" si

el grado de P5(x).Q4(x) es 172

a) 5 b) 3 c) 1d) 4 e) 6

11. Si el grado de P(x) es "a+1" y el grado de Q(x)

es "a3", hallar el grado de: ( ) ( )( ) . ( ); ( 3)

P x Q xP x Q x a3 4

2

a) a+3 b) a5 c) 2a+3d) 3a+5 e) 2(3a5)

12. Calcular el valor de 2(a+b+c), si el polinomio P(x)= xb+2+xa+b+75x2a+c es completo y ordenado en forma creciente.a) 72 b) 8 c) 92d) 10 e) 14

2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. El grado de P(x;y;z)=7xyz4w es 7 ( )

II. El grado relativo a "x" en P(x;y)=3x4y64x3y7 es 7 ( )

III. Si P(x) es de grado 12, el grado de ( )P x3 es 4 ( )

IV. Si Q(x) es de grado 22, el grado de ( )Q x es 11 ( )


a) El polinomio P(x)=3x5y+x4y73x3x2y7x+9 es .

b) El polinomio P(x;y)=3x4+3xy3x2y2 es .

c) El polinomio: P(x;y)=(a1)x2y4+(b2)xy5 para a=1 y b=2 es .

d) Sean P(x)=3x2+4x y Q(x)=ax2+bx, si

a=3 y b=4; P(x) y Q(x) son: .

4. Calcular a2+b2 para P(x;y) =n x y5 a b b3 4 2+ + si

G.A. (P)=21 y G.R.(Y)=10

a) 10 b) 13 c) 11d) 16 e) 12

5. Si Q(x;y)=ab x y15 a b2 3

4` j , adems GR(x)=40 y

G.R.(y)=12; hallar el coeficiente.

a) 16 b) 625 c) 81d) 1 e) 256


A P(x;y;z)=3x2y5z3 [P2(x).Q(x)]=10

B P(x;y)=3n2xy4+n5x2y6 n x7 [P(x)+Q(x)]=32

C P(x) es de grado 3 y Q(x), de grado 4 G.A.(P)=8

D P(x) es de grado 32 y Q(x), de grado 24 G.R.(Y)=5

lgebra


Practica en casa


A P(x;y;z)=74x2y4z7 [P(x)Q(x)]=12

B P(x;y)= n2x3y5+ n

33

x4y G.A.=13

C [P(x)]=3 [Q(x)]=7 G.R.(x)G.R.(y)=1

D [P(x)]=9 [Q(x)]=12 [P5(x)Q(x)]=15

2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. El grado de P(x;y;z)=23x4y5z6 es 18 ( )

II. En P(x;y)=4x7y67xy9 x5y5,

GR(x) GR(Y)=2 ( )

III. Si P(x) es de grado 25, [P3(x)]=75 ( )

IV. Si Q(x) es de grado 38, ( ) Q x 219 =6 @ ( )


a) Si a=8, b=5 y c=3, el polinomio

P(x)=8x35x2ax3+bx2+3+c es: .

b) El polinomio P(x;y)=3x2y11x13z+x10y3 es .

c) El polinomio P(x;y)=7x57xy+12x6y24y3 es .

d) Para m=5 y n=3 los polinomios P(x)=7x3+3x y Q(x)=(6n)x+(12m)x3 son .

13. Hallar el valor de ab+cd si el polinomio Q(x)=3dx3+18x29x3+9ax2+2c5bx+15x es idnticamente nulo.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

14. Nico, Nacho y Nolbert son trabajadores de una fbrica textil en la que pegan botones. Luego de la primera semana de trabajo el supervisor not que: Nico peg 5m+3n botones Nacho peg 125(n+1) botones y Nolber, 55(n1) botones. Cul es el valor de nm si se sabe que los tres pegaron la misma cantidad de botones?a) 64 b) 8 c) 27d) 125 e) 216

15. Dos empresas de bebidas gaseosas "Chim Cola" y "Chavn Cola" compiten por la hegemona de sus productos en el mercado. Luego de un estudio se supo que el consumo de "Chim Cola" en un mes estuvo dado por la expresin: F(x)=(a+2b)x2+(b+2c)x+(a+c) y el consumo de "Chavn Cola" estuvo regido por la expresin: G(x)=3bx2+3cx+2c. Hallar (2a+b+c)(b+c) si dicho mes ambas empresas registraron el mismo consumo (x: nmero de cajas distribuidas en cada tienda)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular a.b2 si G.R.(y)=14 y G.A.(Q)=59 en Q(x;y)=3 x5a+8byb+9

5. Si M(x;y)= ab x y2 a b3 5 2

5 +c m , adems G.R.(x)=20 y G.R.(y)=40; hallar el coeficiente.

6. Si la expresin ( )( )

( )N xx

xa a

a a

3 5 2

2 7 3

2

2 51

=+ +

+ +> H es de tercer grado, hallar a2

7. Sea el polinomio R(x;y)=x3a+7y9a5x2a7xa+4y7+a si se cumple que G.A.(R)=34, hallar G.R.(x)G.R.(y)

8. En el polinomio:

( ; )P x y x x y x y4 7 8m m m m m7 2 6 4 7 6 7= + + se tiene que G.R.(x)=20, calcular m2+G.R.(y)

Captulo

24

Colegios


4

1. Universidad agraria 2006 IHallar "m", si P(1)+P(0)=200;P(x2)=(x+2)3+3(x1)+mx+5

a) 8/3 b) 2/3 c) 2d) 8/5 e) 5/3

2. Universidad agraria 2007 II

Si f(x)=(x1)2+a, entonces ( ) ( )x

f x f x 2 + ser:

a) 4 b) 2 c) 1d) 4 e) 2

3. UNAC 2006 I

Si F(a)=a2 y F(a;b)=b3+a, halle F(3, F(4))

a) 7 b) 6 c) 29d) 8 e) 11

4. UNMSM 2009 II

Si el polinomioP(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+ ... es ordenado y completo, calcular P(1)P(1)

a) 15 b) 12 c) 12d) 5 e) 15

5. Villarreal 2008

Si f(x+4)=x2+3x, halle f(a+1)a) a2+3a+4b) a26a+4c) 3a4d) a23ae) a23a+4

T puedes

Quiero, puedo y lo lograr

9. Hallar el valor de ba sabiendo que el grado relativo a "x" es 6 y el grado relativo a "y" es 9: M(x;y)=xa1yb+2+2xayb+13xa+1yb

10. Si [P(x)]=5 y [Q(x)]=7, hallar el grado de:

( ) ( )( ) . ( )

Q x P xP x Q x

2

7

6 @11. Si el grado de M es 5 y el grado de N es 6,

calcular el grado de (M2.N3)

12. Dado el polinomio homogneo:

P(x;y;z)=xny3zn+1+xynzm+x3yn+1z4 Calcular: G.R.(x)+G.R.(y)+G.R.(z)+1

13. El siguiente polinomio est completo y ordenado en forma descendente:

P(x)=x2m10+3xm+n75x3n2p Calcular: E mnp 1= +

14. Giovana y Luca son dos personas muy solidarias por ello cuando su vecino Jess sufri un accidente ambas salieron a pedir apoyo econmico a sus vecinos. Al final del da, el dinero recaudado por Giovana estaba definido por la expresin a(x2)+b(x+1) y el dinero recaudado por Luca estaba dado por la expresin: 5x25. Hallar a/b si ambas recolectaron la misma cantidad (x: nmero de vecinos)

15. Las inversiones en Bolsa de "Don Gernimo Grito de Las Casas" estaban representadas por la expresin: P(x;y)=(9n)x2y+mxy2+3x2y2xy2 (x: activos en moneda nacional; y activos en moneda extranjera). Un "Jueves negro" todos las Bolsas del mundo cayeron y las inversiones de Don Gernimo se redujeron a nada. Hallar nm 4


Captulo 5

En este captulo recordaremos

. Teora de exponentes I (definiciones, teoremas)

. Teora de exponentes II (ecuaciones exponenciales)

Lectura: aLgo sobre Las bacteriasLas bacterias son microorganismos unicelulares que presentan un tamao de algunos micrmetros y diversas formas incluyendo esferas, barras, hlices, etc.

Las bacterias son los organismos mas abundantes del planeta, crecen hasta en los hbitats ms extremos como en los manantiales de aguas calientes y cidas, en desechos radiactivos, en las profundidades tanto del mar como de la corteza terrestre. Algunas bacterias pueden incluso sobrevivir en las condiciones extremas del espacio exterior.

Lo mas interesante, sin embargo, se encuentra en su forma de reproduccin. Algunas bacterias se dividen cada cierto tiempo. En condiciones favorables, si se dividen un vez cada 30 minutos, transcurridas 15 horas, una sola habr dado lugar a MIL MILLONES de descendientes.

FUENTE: http://ventanaalreinomonera.blogspot.com

repaso i

Captulo

26

Colegios


5

Aprende ms


a) . . .x x x x( ) ( )3 3 3 32 2 ...10 factores I. (xy)

20

b) (xy)(xy)(xy)... 30 factores II. x60 a b c d

c) . . .x y x y5 7 5 70 0 0 0

... 40 factores III. (x2y2)15

d) ...x x x x1 1 1 11 2 3 10: : IV. (x11)5


a) (2)424 I. 2

b) (3)4+92 II. 448

c) 232+(4)3 III. 0

d) (5.125.625)(52)4 IV. 162

a b c d

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn

corresponda

a) 23=8 ( )

b) (2)3(2)4(2)2=29 ( )

c) 23+25+27=215 ( )

d) 2 1( )5 1253

= + ( )


a) En 7x8=49, el valor de "x" es:

b) Para que se cumpla: 2x+2+2x+1=48, "x"

debe ser igual a:

c) Si se verifica que 9a=7b2; el valor de a+b

es:

d) En la siguiente igualdad yy=27; y2 toma el

valor de:

4. Reducir: . ( ) .

( 3) . . ( )R27 3 3

3 33 1

2 3 2=

= G

5. Reducir: .

. ( )55

5 55 5

1

2

5 2

3 6 2 e o

6. Efectuar: . . . ....y y y y y y3 1 3 1 1

factores20

20 1 2 344444 44444

7. Si xx=2, hallar xxx2x+^ h

8. Si: A= .

, hallar A32 2

2 2 2 3xx x x8 7 5+ + ++ + +

9. Hallar "x" en (3x2)5=32

10. En: 2x+4x=72, hallar x3+1


lgebra


2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda

a) x0=1, se cumple para cualquier valor real de "x" ( )

b) . .x x x x( )5 3 3 132 2

= ( )

c) ( ) ;x x1 0R( )4 5 6254

6 != " , ( )

d) x x2 1232

= ( )

3. Completar

a) Si 5 52 8x3

= el valor de "x" es

b) Si 3.2x=2.3x; "x" toma el valor de

c) Si (5x+7)9=512; x3 es igual a

d) Si 2 .3 .2 .3 2 .3x y3 2 3 2 3 42 3 2 3

= ; x+y es

4. Si:

2 2 2... 2 2 2 2 ... 2P Rveces veces9 128

# # # /= + + + +=1 2 3444 444 1 2 34444 4444

hallar ( )P RRP

a) 512 b) 300 c) 1

d) 518 e) 360

5. Si P(x)=x21, hallar P(x+1)

a) x22x b) x2+x c) x2+2x

d) x2x e) x2+3x

6. Simplificar 30 8

25 36 324 3

2 2

#

# #

a) 1/4 b) 1/16 c) 2

d) 1/2 e) 5

7. Simplificar 8 162 4m n

m m n

2 2

3 2 3

#

# +

+ += Ga) 16 b) 2 c) 6

d) 4 e) 8

8. Simplificar: 3 3 33 3 3n n n

n n n

1 2 3

1 2 3

+ ++ +

+ + +

a) 37 b) 38 c) 35

d) 34 e) 33

9. Reducir: Q 2 2 2 22 2 2 2b b b b

b b b b

1 2 3 4

1 2 3 4=

+ + ++ + +

+ + + +

a) 2 b) 16 c) 1

d) 64 e) 32

10. Si: M 1642 1

=

indicar M1

a) 1/2 b) 1/8 c) 1/4

d) 1/16 e) 1/32

11. Simplificar: . . . ... ( ). . ... ( )Q

y y y y n factoresy y y n factores2 4 6 8

2 3 2=

6 @

a) y b) yn c) yn+1

d) 1 e) yn2

12. Si xx=2 calcular x x21x xx x1 1 2

1+

+ +` j

a) 4 b) 1/2 c) 1/4

d) 8 e) 1/8

13. Efectuar: ( ( ... ( ( ( ) ) ) ... ) )

( . . ... )( . . ... )x x x x xy y y y y

x x x x y y y y

"2 "

" " "2 "

a par ntesis

a veces a veces26 7 844 44 6 7 844 44

1 2 3444444 444444

a) xy b) 1 c) xya

d) xay e) xaya

14. Simplificar: ( ) ( )

( ) ( ) ( )m m

m m m ( )3 4 4 3

2 3 3 2 2 2 2

a) (m22)2 b) (m11)3 c) m44

d) m22 e) m24

15. Resolver: 27 9 81y y y3 1 9=# + +

a) 19 b) 18 c) 16

d) 12 e) 43

Captulo

28

Colegios


516. Resolver: 2 5123

327x 7

6

=` j , luego indicar

x 3x 4 +

a) 5 b) 3 c) 7

d) 8 e) 6

17. Hallar el valor de "m" que verifica:

xx

x/

//( )m

1 30 8

2 13 60 1 2= +

^^

hh

a) 2 b) 1/2 c) 4

d) 3 e) 7

18. Resolver: 3

2 2x 9

33 537 13

x

x

=++

+

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/5

d) 1/3 e) 1/7

19. En un departamento selvtico, una especie de planta se reproduce de forma rara, siguiendo la siguiente secuencia:1 semana: 1

2 semana: 321x4

3 semana: 52(1+2)x4Cuntas plantas habr la cuarta semana?

a) 21 b) 23 c) 25d) 26 e) 27

20. Se estima que existen 10 billones de galaxias cada una con 10 billones de estrellas y cada una con 10 planetas girando a su alrededor. De acuerdo con estos datos, Cuntos planetas aproximadamente existen en el universo?

a) 1021 b) 1022 c) 1023

d) 1024 e) 1025

Practica en casa


a) . .x x x3 3 32 2 2 ...(15 factores) I. x

10

b) .x x9 9/ /1 2 1 2

...(18 factores) II. x135

c) x1.x2.x3.x4 ...(20 factores) III. x63

d) x7 . x14 . x7 . x14 ...(18 factores) IV. x54

a b c d

2. Colocar verdadero (V) o falso (F)

a) 3 381 34 1

=

( )

b) 625 516 12 1

=

( )

c) ( )2 2 02 423

=6 @ ( )


a) 23.24.25.(2)6=2x; entonces x+1 es

b) Si xx=2; xxx3x+8 B es igual a

c) Si 12a5=13b7, ba es

d) Si 4x+4x+1+4x+2=21; x+9 es

4. Reducir: 3 3 3... 3 3 3 3 ... 3factores sumandos20 319

# # # + + + +1 2 3444 444 1 2 34444 4444

5. Reducir: 81

(5 5 5 ... 5)(15 15 ... 15)5

veces veces

2 15

10 7

#

# # # # # # #6 7 84444 4444 6 7 84444 4444

6. Efectuar: ( )3 3 3

63 3a a a

a

4 2 3

4

+ + + ++

lgebra


T puedes

1. Universidad Agraria 2007ICalcular:

E2 2 22 2 2x x x

x x x

3 2 1

1 2 3=

+ ++ +

+ + +

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 22

2. UNAC 2006 I

Si: x 5x52

1

=

; determine x 25^ h

a) 5 b) 1/25 c) 53

d) 1/125 e) 5

3. UNAC 2007 IISi "a" y "b" son nmeros reales tales que:

. 2a bb a 2= , entonces el valor de (ab)2 es:

a) 2 b) 2 c) 4

d) 8 e) 2 2

4. UNAC 2007 II

Si los nmeros enteros "x" e "y" satisfacen la

ecuacin: 3 2 2 3x y y x1 2+ = + + . El valor de 3x

es:

a) 3 b) 1/3 c) 1/9

d) 1 e) 9

5. UNAC 2009 II

Si xx=2, entonces F xxx1 2 x1

=+ +

es igual a:

a) 212 b) 216 c) 224

d) 28 e) 218

Equivocarte no es fracasar; el mayor fracaso es no intentarlo

7. Reducir: A3 3 3 33 3 3 3x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4=

+ + ++ + +

+ + + +

8. Calcular: A81 9

2 1

=

` j

9. Si: 2 2 2 2 2 124x x x x x4 3 2 1+ + + + =+ + + + , hallar 3x

10. Simplificar: .125 125

5 n4 1

( )n nn

n

31

3 3

1+

+ +> H

11. Hallar "6x"en 2 .2 .2 ... 2 10246 6 6 6x x x x

factores12= 1 2 3444444 444444

12. Si: R(2x5)= x x2 1 43+ + + , hallar R(3)

13. Resolver: 7 755

5x

xx4 1

2 370

=+

+

14. Si: ( ); " "

; " "P x

x si x es parx si x es impar21= +*

Hallar; P(2) + P(5)

15. Si P(x) = x22, calcular: ( ( ..... ( ) ...))P P P P 2veces100

1 2 34444 4444

Captulo

30

Colegios


6

productos notabLes

Lectura: muLtipLicacin rabe

Este es un mtodo derivado del Hind. Es un mtodo grfico

que pasaremos a describir:

Pongamos que se quiere multiplicar 8537 x 435

1. Se dibuja un rectngulo apoyado sobre uno de los vrtices. Se colocan los factores sobre los lados del rectngulo, de manera que a cada cifra le corresponda una cuadrcula.

2. Se traza la diagonal vertical en cada cuadrado.

3. Se obtiene una tabla de doble entrada. Se multiplican las cifras de las distintas casillas. Los resultados se colocan en la casilla correspondiente y se separan las decenas de las unidades por la diagonal. Si el producto nada ms tiene una cifra, se pone un cero en el lugar de las decenas.

4. Se prolongan las diagonales y se suman las cantidades obtenidas, por columnas, comenzando por la derecha. Del grfico, el resultado para nuestro ejemplo sera: 3713595

FUENTE: http://intercentres.cult.gra.es


Productos notables

. Binomio al cuadrado.

. Producto de dos binomios con un trmino comn.

. Diferencia de cuadrados.

. Suma y diferencia de cubos.

. Identidades de Legendre.

lgebra


Sntesis terica

PRODUCTOS NOTABLES

Trinomio cuadrado perfecto

Suma y diferencia de cubos

Identidades de Legendre

Diferencia de cuadrados

Producto de dos binomios con un trmino en comn

Captulo

32

Colegios


6Saberes previos

1. Efectuar

(8)(+12) =

(+5)(13) =

(2)(4)(+5) =

(6)(3)(4) =

2. Completar la igualdad

x5.x6.x =

x9.y.x2.y3 =

xa.xa+b.xb =

x5.x3a2.x2a3 =

3. Efectuar

(x5)2(x3)3 =

(x3)2(x2)3 =

(x4)3.(x3)4 =

( )x x23 5 3 4^ h8 B =

4. Operar

(4x)(5x) =

(3xy)(7xy) =

(4x2y)(6xy2) =

(2xy)(3x2y)(xy) =

5. Desarrollar:

2x2(3x2+4y) =

4x(6x23z) =

7xy2(2xy2+3z) =



a) (x+3)(x+4) I. x2+6x+9

b) (x+3)2 II. x2+7x+12

c) (x4)2 III. x216d) (x+4)(x4) IV. x28x+16

a b c d

2. Sealar verdadero (V) o falso (F)

a) (x+1)(x1)=x21 ( )

b) (x1)(x2+x+1)=x31 ( )

c) (x+1)(x2x+1)=x3+1 ( )

d) (x+2)(x22x+4)=x3+8 ( )

e) (x2)(x2+2x+4)=x38 ( )

3. Completar

a) (x+9)(x+7) =

b) (x8)2 =

c) (x+6)(x6) =

d) (x12)(x+4) =

4. Reducir: (x+6)2(x+4)22(2x+5)

5. Reducir: (a+b)(ab)(a2+b2)+b4

lgebra


Aprende ms


a) (x+3)(x23x+9) I. x327

b) (x+4)2+(x4)2 II. 16x

c) (x3)(x2+3x+9) III. x3+27

d) (x+4)2(x4)2 IV. 2(x2+16)

a b c d


a) (x+12)(x10)=x2+2x+120 ( )

b) (x+3)(x+3)=x2+9 ( )

c) (x+5)2(x5)2=20x ( )

d) (x+5)2+(x5)2=2(x2+25) ( )

3. Completar

a) (x+1)(x9) =

b) (x+7)(x7) =

c) (x+4)(x24x+16) =

d) (x+2)2+(x2)2 =

e) (x+2)2(x2)2 =

4. Reducir :

A=(x+8)(x3)+(x+7)(x5)2(x+4)(x+6)

a) 13x+107 b) 13x+107

c) 13x107 d) 13x107

e) 13x+7

5. Calcular:

M=(x+4)(x4)+(x+5)(x5)2(x+3)(x3)

a) 12 b) 16 c) 20

d) 14 e) 23

6. Reducir

(x+3)2(x+4)2+(x1)(x2+x+1)(x+1)(x2x+1)

a) 2x7 b) 2x5 c) 2x+5

d) 2x+7 e) 2x9

7. Hallar

( ) ( ) ( ) ( )E x y x y x y x y y2 2 4 4 88= + + + + x 02^ h

a) x b) xy c) yx

d) x2 e) 8x

8. Calcular: ( )

Rab

a b a b2

2 2 2 2

2

2 2 1000

= + ^ ^h h= G

a) 1000 b) 10 c) 1

d) 108 e) 42000

9. Si x=2012, hallar B

B=(x2+1)(x4x2+1)(x21)(x4+x2+1)x12

a) 2011 b) 2010 c) 1

d) 1 e) 2013

10. Hallar N , para x=2, y=3, si:

N x y x y x y4

2 2 2 2 2 2+= + ^ ^ ^h h h6 @a) 12 b) 16 c) 8d) 20 e) 4

11. Si x+y=13 xy=10, calcular

I. x2+y2

II. xy

a) ;149 129!

b) 149; 129

c) 149; 129

d) 140; 10

e) 149; 129

12. Si se cumple: x3 = 8; x 2 y3 = 1; y 1Hallar el valor de: (x2 + 2x + 3)(2y2 2y +5)

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 6

13. Si (a+b+c+d)2=4(a+b)(c+d), encontrar

T 625( ) a bc d4= ++

a) 4 b) 3 c) 5d) 25 e) 5

Captulo

34

Colegios


614. Tano estaba reflexionando y se dio cuenta de que

si al cuadrado de los meses transcurridos del ao se le suma uno y a este resultado lo dividimos entre dicho nmero de meses se obtiene dos. Cuntos meses han transcurrido?

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 7

15. La suma de las edades de tres hermanos es 8, una vecina curiosa observa adems que la suma de sus cuadrados es 26. Qu resultado obtendremos si sumamos los cuadrados de la suma de estas edades tomadas de 2 en 2, sin repeticin?

a) 90 b) 80 c) 70d) 60 e) 50

Practica en casa


a) (x+3)(x12) I. x2+16x+64

b) (x+8)2 II. x29x36

c) (x+8)2(x8)2 III. 2(x2+64)

d) (x+8)2+(x8)2 IV. 32x

a b c d


a) (x+5)(x25x+25)=x3125 ( )

b) (x5)(x2+5x+25)=x3+125 ( )

c) (x+9)2(x9)2=2(x2+81) ( )

d) (x+9)2(x9)2=36x ( )

3. Completar

a) (x+11)(x7) =

b) (x+11)(x11) =

c) (x+12)2 =

d) (x+6)2(x6)2 =

e) (x+8)(x28x+64) =

4. Reducir:

M=(x+9)(x4)+(x+8)(x5)2(x+8)(x+7)

5. Calcular:

R=(x+7)(x7)+(x+8)(x8)2(x+6)(x6)

6. Reducir(x+5)2(x+8)2+(x+2)(x22x+4)(x2)(x2+2x+4)

7. Hallar "K"

( ) ( ) ( ) ( ) ( )K a b a b a b a b a b b2 2 4 4 8 8 1616= + + + + +

8. Calcular: .

( ) ( )Se e

e e e e2 x y

x y x y2 2= +

9. Si x=1000000, hallar M

( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )M x x x x x x x1 1 13 6 3 3 6 3 18= + + + + +

10. Hallar T,

( ) ( ) 4 ( 3)T x y x y x y2

2 2 22 2

=+

+ ; E

11. Si 15A B AB 36/+ = = , calcular

I. A2+B2 II. AB

12. Si xx1 6+ = , hallar H

H= x2+x1+x+x2

lgebra


13. Si (m+n+p+q)2=4(m+q)(n+p), encontrar

Q 81( ) n pm q4= +

+

14. Si elevamos al cuadrado la temperatura de una cuidad y le sumamos la inversa de dicho resultado, obtenemos dos. Cul es la temperatura de la ciudad?

15. Elisa divide los aos que ha vivido entre los meses del ao que ya han transcurrido y a este resultado le suma el inverso de dicha divisin, notando con sorpresa que obtiene dos. De lo anterior podemos afirmar que:

a) aos vividos =meses transcurridosb) aos vividos >meses transcurridosc) ha vivido 13 aosd) ha transcurrido 9 meses del aoe) no podemos afirmar nada

T puedes

1. UNMSM 2005 IISi se satisfacen:x+y= 5 xy=2

Hallar: xy

yx+

a) 1/2 b) 1 c) 1/3d) 3 e) 2/3

2. Villarreal 2009Simplifique:

( ) ( )Ma b

a b a b2 22 2

4 4=

++

a) 6ab b) a2+b2 c) abd) 4ab e) 2

3. Universidad Agraria 2010 ICalcular E2

E3 25 24

3 25 24=

++ +

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

4. Sean "a" y "b" nmeros reales tales que a+b=5 y ab=1. Hallar a3+b3

a) 120 b) 124 c) 100d) 110 e) 125

5. UNAC 2008 I

Si: ( ) ( )

( ) ( )x x

x x1 1

1 1 12 2

+ + = , entonces el valor de

xx144+ es

a) 324 b) 318 c) 300d) 320 e) 322

Cada obstculo es una oportunidad, supralo y s un ganador

Captulo

36

Colegios


7

Lectura: eL nmero ureo ( 1,618)

El numero ureo representado por la letra griega es un nmero irracional. Se trata de un nmero que posee muchas propiedades y que fue descubierto en la antigedad como relacin entre segmentos de rectas. Este nmero se encuentra presente en algunas figuras geomtricas y en la naturaleza, algunos de los ejemplos ms resaltantes son:

Al dividir la altura de un ser humano entre la altura de su ombligo, el resultado es aproximadamente el valor de .

La divisin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

La divisin entre la cantidad de abejas macho y hembra en un panal.

Adems, un estudio realizado el ao 2005 mostr que la cruz en la que Jesucristo fue crucificado mantiene la proporcin urea, es decir, al dividir la longitud del madero ms largo entre el valor de la longitud del madero ms corto, el resultado es aproximadamente .

FUENTE: http://www.abc.es


Divisin algebraica

. Definicin

. Clases de divisin

. Propiedades

. Mtodos para dividir polinomios

Mtodo de Horner Mtodo de Ruffini

. Teorema de Resto

divisin aLgebraica

lgebra


Sntesis terica

DIVISIN ALGEBRAICA

Captulo

38

Colegios


Saberes previos

1. Dividir e indicar el cociente y residuo en: 72415 2703

2. Si: Grado (P)=8 Grado (Q)=6

HallarGrado (PQ)Grado (PQ)

3. Sea P(x)=x32x2+x2, calcular P(1) P(2)

4. Ordenar en forma ascendente con respecto al exponente de la variable, los siguientes polinomiosP(x)=2x3+x6+x23x4+x53x+8P(y)=2y2+3y+y56y43y3+9

5. Completar los siguientes polinomios con los trminos faltantes y luego ordnalos.Ejem: P(x)=x32+x2

Luego queda: P(x)=x3+x22

Q(x)=x23x4+5 R(x)=2x3+9x53x2


1. Relacionar las columnas correctamente:

Divisin exacta A R(x) 0

Grado(D)Grado(d) B Mx grado(R)

Divisin inexacta C Grado (q)

Grado (d)1 D R(x)=0

2. Completa correctamente

a) En la divisin: (2x2+x3+x4)(x2x+1) el grado del cociente es igual

b) En la divisin:

(x6x5+2x4x+1)(x23x+2) el grado mximo del es igual a uno.

c) Identidad fundamental de la divisin esta dada por .

d) Al dividir dos polinomios por la regla el divisor es de la forma: ax+b.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir: (x42x3+x2+x1) (x2x+1)

a) Se aplica la regla Ruffini ( )

b) El grado del cociente es igual a 2 ( )

c) El dividendo es un polinomio de grado 4 ( )

d) Se obtiene un residuo de la forma: ax+b ( )

4. Calcular el cociente en la siguiente divisin: (x2+3x+5)(x2)

5. Calcular el residuo en (3x36xx2+12)(x2)

7

lgebra


Aprende ms


(x31)(x1) A R(x)=7(x2+x+1)(x2) B q(x)=x2+x+1(x2+1)(x1) C R(x)=2(x3+1)(x+1) D q(x)=x2x+1

2. Complete correctamente con respecto a los

mtodos de Horner y Ruffini.

a) Todos los polinomios (Dividendo y divisor)

deben ser polinomios y

con respecto a la variable en

referencia.

b) En la divisin se utiliza solo los

de los polinomios.

c) Generalmente si el divisor es un Polinomio

de la forma (ax+b) se utiliza la regla de

.

d) El grado del residuo es que

el grado del divisor.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir

(x4+3x3x22x+1)(x+1)

a) El divisor es un polinomio de grado 3 ( )

b) Se obtiene un R(x)=0 ( )

c) El coeficiente principal del divisor es igual a

uno ( )

d) Se obtiene un cociente de grado 3 ( )

4. Hallar el cociente de la divisin

x xx x x x

13 6 7 1

2

4 3 2

+ ++ + + +

a) x22x+3 b) x2+2x+3c) x2+2x3 d) x2+3x+2e) x2+3x+3

5. Hallar el resto de la divisin

xx x x x

24 5 44 3 2

++ +

a) 2 b) 6 c) 7d) 3 e) 2

6. Hallar el cociente en la siguiente divisin

x xx x x x

2 3 16 11 2 5

2

4 3 2

+ ++ + +

a) 3x2+x+2 b) 3x22x+1

c) 3x2+x2 d) 3x2+2

e) x2+3x2

7. En la siguiente divisin

x xx x x x x

13 2 2 3 1

3

5 4 3 2

++ + +

Hallar la suma de coeficientes del cociente

a) 6 b) 7 c) 3

d) 4 e) 9

8. Despus de dividir:

x xx x x x

3 2 16 2 11 5

2

4 2 3

+ +

+ + +

Se obtiene un cociente igual a: mx2+nx+p,

hallar "m+n+p"

a) 2 b) 3 c) 5d) 2 e) 0

9. Calcular el resto en: x x

x x x x4 3

16 8 2 62

4 3 2

+ + + +

a) 3+2x b) 3x+2 c) 2x3

d) x+3 e) 3x+3

10. Hallar el resto en: x

x x x1

2 117 5 3

++ +

a) 3 b) 5 c) 3d) 6 e) 5

11. Al dividir: ( )x x

x ax bx cx d3 2 1

6 4 3 2+

+ + + + se obtiene

un cociente cuyos coeficientes son nmeros

enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7.

Calcular: ab+cd

a) 23 b) 19 c) 12

d) 6 e) 13

12. Hallar el resto en la siguiente divisin: ( )

x ax a x a5 5 5

+ +

a) 0 b) 2a5 c) 2a5

d) 34a5 e) 30a5

Captulo

40

Colegios


13. Luego de dividir x

x x x x x1

5 3 2 12

10 8 6 4 2

+ + +

El termino independiente del cociente es:

a) 2 b) 4 c) 7d) 1 e) 3

14. Don Julio, por "Halloween" decide repartir x63x4+3x5 caramelos entre los (x2) nios que vayan a su tienda a pedir dulces. A cada uno le dio cierta cantidad de caramelos y al final

sobraron unos cuantos. Hallar la cantidad de dulces que quedaron sin repartir a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

15. Un padre posee una herencia de:

P(x)=(ax7+5x114x+8) soles y decide repartirla

en forma equitativa entre sus (x1) hijos.

Sucede que al hacerlo se obtiene un sobrante

que asciende a S/.11009 y dicho monto se lo

obsequia a Doa Juana, la seora que trabaj

siempre en su casa. Hallar el valor de "a".

a) 11000 b) 12000 c) 13000d) 15000 e) 10000

Practica en casa


(x24)(x+2) A q(x)=x2+2x+4

(x38)(x2) B R(x)=4

(x2+2x4)(x2) C q(x)=x2

(x2+4)(x2) D R(x)=8

2. Complete correctamente

a) Al dividir (x2+3x+1)(x1) el residuo

obtenido es

b) Al dividir (x23x+2)(x2) el cociente

obtenido es

c) Al dividir (2x2+x3)(x2) el residuo

obtenido es

d) Al dividir (x2+4x+3)(x+3) el cociente

es

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) al dividir(x2+4x+1)(x+2)

a) El cociente es igual a (x+2) ( )

b) El residuo es igual a "3" ( )

c) Se emplea el mtodo de Ruffini ( )

d) El grado del cociente es igual a 2 ( )

4. Hallar el cociente en la divisin

x xx x x x

12 3 2

2

4 3 2

+ + +

5. Hallar el residuo en la divisin

xx x x

22 3 73 2

+

6. Hallar el cociente en la siguiente divisin

x xx x x2 3

4 4 7 92

3 2

+ +

+ + +

7. En la siguiente divisin: x x

x x x x2 1

2 3 3 13

5 4 3+

+ +

Indicar la suma de coeficientes del cociente

8. Despus de dividir: x x

x x x4 2 1

16 4 4 12

4 2

+

Se obtiene un cociente igual: ax2+bx+c, hallar "a+b+c"

9. Calcular el resto en: x

x x x3 1

6 5 5 93 2

++ +

10. Hallar el resto: x

x x x1

5 2 325 3 3

+

11. Si la divisin: x x

x x x ax b1

3 42

4 3 2

+ ++ + + +

Es exacta, hallar "a+b"

7

lgebra


12. Hallar "R(x)" en: x

x x x6

6 2 92011 2010

+

13. En la divisin: x

x x x x2

3 5 2 43

12 9 6 3

+ +

Determinar el trmino independiente del cociente.

14. Una mam decide repartir, en partes iguales, (x62x2+5x+9) soles entre sus (x1) pequeos hijos, al hacerlo, sobr cierta cantidad de dinero. Cunto dinero qued?

15. Por Navidad un supermercado reparte P(x)=(x6+2x4+5xb) panetones, en forma equitativa, entre las (x2) madres que asistan a la celebracin. Hallar el valor de "b" sabiendo que sobraron 70 panetones.

T puedes

1. Si la siguiente divisin x x

mx nx x x2

5 4 42

4 3 2

+ ++ + +

Es exacta; halle "m+n"

a) 6 b) 7 c) 8d) 1 e) 3

2. Hallar el residuo en:

( ) ( )x xx

1 2

3

+ +

a) 7x+6 b) 6x+3 c) 7x+3d) 6x7 e) 3x7

3. Luego de dividir(x6)5+(x4)43x+7(x4)(x6)Se obtiene un resto igual a : ax+b, hallar a b

a) 7 b) 9 c) 10d) 8 e) 4

4. Halle la suma de coeficientes del resto al dividir

x xx x

14 1

2

131 4

+ +

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

5. Calcule el resto en la divisin:

xx x x

33 28 5 4

2

8 4 2

+ +

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

No triunfa el ms inteligente, sino el que ms persevera hasta vencer los obstculos

Captulo

42

Colegios


Lectura: una nueva forma de muLtipLicar

No se si sabeis, que los cosacos eran personas de un pueblo a los que les gustaba montar a caballo por

sus estepas rusas, Tanto les gustaba que casi nunca bajaban de el. Hasta los nios iban siempre a caballo

y, claro, no asistian a las escuela. El maestro no les dejaba entrar a caballo. Tampoco saban la tabla de

multiplicar pero saban muy bien hacer dobles y mitades de nmeros, as que inventaron este truco para

multiplicar; vamos por ejemplo a calcular: 56320

Ponemos estos dos nmeros y hacemos dos columnas. En una

hacemos la mitad y en la otra el doble, ah! no os preocupeis

si la mitad no sale exacto, luego tachamos todos los pares

de la primera columna y los que caen en frente tambin. As

sumamos los que quedan de la segunda columna y ese es el

resultado!

56320=17920

FUENTE: www.4.bp.blogspot.com

(mitad) 56 320 (doble)28 640

14 1280 7 2560 3 5120 1 10240

17920

8

factorizacin i


Factorizacin

. Definicin

. Conceptos bsicos

Factor Factor primo

. Mtodo para factorizar

Mtodo del factor comn Mtodo por agrupaciones Mtodo por identidades Mtodo del aspa simple

lgebra


Sntesis terica

FACTORIZACIN I

Captulo

44

Colegios


Saberes previos

1. Efectuarx(x+3)=

a(a2)=

y(2y+5)=

2. Efectuar(a+2)(a2)=

(b3)(b+3)=

(x8)(x+8)=

3. Operar(a+2)(b2)=

(x+5)(y5)=

(y+3)(z3)=

4. Efectuar

(a+2)2=

(b2)2=

(x+6)2=

5. Factorizar

(x+y)(x2xy+y2)=

(y+2)(y22y+4)=

(a3)(a2+3a+9)=



F(x)=2x2(x+3)(x2) Tiene cinco factores primos A

M(x;y)=7xy2(x+y)(x3)(y1) Tiene cuatro factores primos B

R(x)=xyz(x+y)(y+1) Tiene tres factores primos C

N(a;b)=2ac(a+b)2(ab)(a+c) Tiene dos factores primos D


a) El polinomio (xy+yz) se factoriza por el mtodo del .

b) El polinomio (a2b2) se factoriza por el mtodo de identidades, propiedad llamada .

c) El polinomio (x23x+2) se factoriza por el mtodo de .

d) El polinomio (a2+ab+ca+cb) se por el mtodo de agrupaciones.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:

a) Al factorizar (6y22y) se obtiene 2y(3y1) ( )

b) Al factorizar (2x2x1) se obtiene (2x+1)(x1) ( )

c) Al factorizar x216 se obtiene (x+4)(x4) ( )

d) Al factorizar (aba+b1) se obtiene (a1)(b+1) ( )

4. Factorizar: T(a;b)=6a2b2+9a3b5+12a5b2 , indicar el nmero de factores primos

5. FactorizarF(x)=x216Q(x)=x23x4Indique el factor comn obtenido

8

lgebra


Aprende ms

1. Relaciona correctamente:

y29 A x(x2)

x2+4x+4 B (x2)2

x22x C (y+3)(y3)

x24x+4 D (x+2)2

2. Completar correctamentea) Al factorizar (x236) se obtiene

b) Al factorizar (12y26y) se obtiene

c) Al factorizar (3y2+10y+3) se obtiene

d) Al factorizar (16a225b2) se obtiene

3. Indicar verdadero (V) o falso (F)a) El polinomio esta totalmente factorizado:

P(x)=x(y+x)(x3) ( )

b) El polinomio esta parcialmente factorizado:

f(x)=5x(x29) ( )

c) El nmero de factores primos de primer grado de: 2ab(a+3)(a+b) es 4 ( )

d) El polinomio factorizado:

f(x;y)=x(y+3)(y3)(xy+2) tiene un factor primo cuadrtico ( )

4. Uno de los factores primos de:

a3b3c2abc2+a3bc3ab3c ; es:a) b2+c b) a+c c) a+1d) bc e) b+c

5. Despus de factorizar: m2(n+p)+p2(n+p)np; indicar el factor trinomio

a) m2+p2 b) m+pc) m2p2+1 d) n+pe) m2+p21

6. Factorizar: f(y)=a3a2y+ay2y3, indicar un factor primoa) a b) a2+y2 c) (ay)2

d) a+y e) a3+y

7. Indicar cuantos factores primos tiene:P(x)=x3+x2x1

a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

8. Uno de los factores primos de: N(x)=x81

a) x41 b) x21 c) x1

d) x+1 e) Hay dos correctas

9. Factorizar: 16x2(y+x)2

a) (4x+y)(4xy) b) (4x+y)(3xy)

c) (3xy)(5x+y) d) (5xy)(3x+y)

e) (3xy)(6x+y)

10. Al factorizar: xyx2y+xy2+x22xy+y2 Indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primosa) 3 b) 0 c) 4d) 1 e) 5

11. Luego de factorizar: H(a)=6a45a36a2

Indicar el nmero de factores de primer gradoa) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 0

12. Factorizar: x425x2+144Indicar la suma de factores primos

a) 4x+13 b) 4x+14 c) 4x

d) 2x+14 e) 3x+9

13. Indicar la cantidad de factores primos de:M(x)=x52x3x2(2x1)4a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 1

14. La velocidad de un cuerpo se calcula por la siguiente frmula d=vt; si la partcula recorre d=(x3+2x23x)m; en t=x(x1)seg.

I. Hallar la velocidad

II. Hallar su velocidad cuando x=1a) x+3; 4 b) x+2; 3 c) x+5; 6d) x3; 4 e) x+3; 3

15. El volumen de un deposito que tiene la forma de un paraleleppedo est dada por V(x)=x3+3x2+2x; si la altura del deposito es igual a"x"

I. Hallar los lados de la base, indicar uno de ellos.

II. Hallar el rea de la base cuando x es igual a 3.

a) (x+2);6 b) (x+1);4c) (x+2);20 d) (x+3);20e) (x+5);10

Captulo

46

Colegios


Practica en casa


a2b2 A a(ab)

a28a+16 B (a+4)2

a2ab C (ab)(a+b)

a2+8a+16 D (a4)2

2. Completar correctamentea) Al factorizar (9y24) se obtiene

b) Al factorizar (3x2+19x+6) se obtiene

c) Al factorizar (6a212a) se obtiene

d) Al factorizar (x22xy+y2) se obtiene

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al factorizarF(x)=(x23x10)(x2+5x14)

a) El polinomio f(x) posee 4 factores primos ( )

b) Uno de sus factores primos es (x7) ( )

c) La suma de sus factores de primer grado es 4x+2 ( )

d) Existe un factor primo de segundo grado ( )

4. Factorizar:N(x)=(3x2+2x)(x5)+(5x+7)(x5)5x+25, indicar el nmero de factores primo

5. Factorizar: 4a4101a2+25, sealar e indicar la suma de sus factores primos.

6. Despus de factorizarx2(y+z)+z2(y+z)yz, indicar el factor trinomio

7. Indicar cuntos factores primos tieneQ(y)=y3+y24y4

8. Despus de factorizar: P(x)=y424, indicar el factor primo cuadrtico.

9. Factorizar: (a+b)4(ab)4, luego indicar un factor primo cuadrtico

10. Al factorizar: P(a; b) = a2b2a2b+4ab2+a24ab+4b2, indicar la mayor suma de coeficientes en uno de sus factores primos.

11. Luego de factorizar: M(x)=12x325x2+12x, indicar la suma de sus factores primos de primer grado

12. Factorizar: x62x3+1, indicar la cantidad de factores primos obtenidos

13. Factorizar: y24y+44x2, e indicar el nmero de factores primos obtenidos

14. La velocidad esta dada por la siguiente frmula d=Vt, si un auto recorre (x2+5x14)m en (x2)seg. Hallar la velocidad cuando x es 2.

15. El volumen de un depsito esta dada por V(x)=x3+4x25x; si el rea de la base es igual a x(x1), hallar la altura cuando x=3

8

T puedes

1. Factorizar: x85x4+4, indicar la suma de factores primos de primer gradoa) 3x b) 2x c) 2x+2d) x+2 e) 3x+1

2. Determinar el nmero de factores primos al factorizar P(a;b)=a12a8b4a4b8+b12

a) 3 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

3. Al factorizar: (m+n)3(mn)3, se obtiene un factor primo de la forma: am2+bn2, hallar "a+b"a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 7

4. Halle la suma de los factores primos de:P(x)=x42(a2+b2)x2+(a2b2)2

a) x b) 3x c) 4xd) 6x e) 7x

5. Factorizar: x8x6x2+1, indicar el nmero de factores primosa) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 8


Captulo

Lectura: cmo resoLver operaciones bsicas con habiLidad

La matemtica no solo se trata de saber frmulas, teoremas, etc. Es importante saber resolver problemas y sobre todo resolveremos con habilidad, utilizando uno que otro truco que nos ayude a llegar a la respuesta rpidamente, por ejemplo, si en algn ejercicio nos enfrentamos a una operacin as: 627623254

Seguro que a ms de uno se le ocurrir multiplicar, resolver la potencia y finalmente restar, sin embargo,

hay un camino mucho ms sencillo que ese. Sucede que la multiplicacin indicada es posible expresarla como una diferencia de cuadrados, Observa:

(252+2)(2522)254

2544254

4

FUENTE: www.recursosparaeleducador.blogspot.com

factorizacin ii


Factorizacin II

. Mtodo del aspa doble

. Mtodo del aspa doble especial

. Mtodo de divisores binomicos

. Mtodos de sumar y restar

9

Captulo

48

Colegios


9Sntesis terica

FACTORIZACIN II

lgebra


Saberes previos

1. Factorizarx23x+2=

x25x6=

2. Completarx2+....+16=(x+4)2

y2....+81=(y9)2

3. Dividir(x25x14)(x7)

4. Si: P(x)=x33x2+124x, HallarP(3)=

P(2)=

P(2)=

5. Sea: Q(x)=3x(x3)(x+2)Indicar:Factores primos:Factores primos de primer grado:Factores primos cuadrticos:



P(x)=x42x215 A (x2)(x2+4x+4)

Q(x)=x38 B (x25)(x2+3)

R(x)=x281 C (x9)(x+2)

T(x)=x27x18 D (x9)(x+9)


a) Si al polinomio P(x)=x4+4 se le agrega 4x2 se forma un trinomio

b) Si x=1 anula al polinomio P(x)=x3+x2x1, entonces (x1) es un del polinomio.

c) El polinomio x23xy+2y2+2x3y+1 se factoriza por el mtodo .

d) El polinomio x4+x3+2x2+5x+3 se factoriza por el mtodo doble

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:

a) El mtodo del aspa doble especial se aplica para factorizar polinomios de cuarto grado ( )

b) Para factorizar polinomios de grado superior se utiliza el mtodo de divisores binmicos ( )

c) Al factorizar un polinomio por el mtodo del aspa doble siempre se obtiene dos factores primos ( )

d) Al factorizar un polinomio por el mtodo de divisores binomicos se obtiene al menos un factor lineal ( )

4. Factorizar:x22xy+y2+3y3x+2, luego indicar un factor primo

5. Luego de factorizar por el mtodo del aspa doble se obtiene el siguiente esquema:P(x)=6x2+cxy+6y2+ax+by+2

3x 2y 2

2x 3y 1Hallar "a+b+c"

Captulo

50

Colegios


9Aprende ms


x4+7x3+14x2+7x+1 A divisores binmicos.

x2+2xy+y22x2y63 B aspa doble

x3+6x7 C aspa simple

x2+4x5 D aspa doble especial

2. Complete correctamente, con respecto al mtodo de divisores binmicos se tiene:a) El polinomio P(x)=x3+2x2x2 tiene como

posibles ceros: .

b) El polinomio Q(x)=x3+4x2+x2 tiene como posibles ceros: .

c) El polinomio R(x)=x32x+4 tiene como posibles ceros: .

d) El polinomio M(x)=x3+4x5 tiene como posibles ceros: .

3. Indicar verdadero (V) o falso (F)a) (x1) es un factor del polinomio

P(x)=x3+3x23x1 ( )

b) (x2) es un factor del polinomio Q(x)=x35x+2 ( )

c) (x+3) es un factor del polinomio R(x)=x38x+3 ( )

d) (x5) es un factor del polinomio M(x)=x310x+5 ( )

4. Factorizar: x23xy+2y2+5x7y+6, indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primosa) 4 b) 2 c) 5d) 7 e) 2

5. Factorizar: x37x6, dar la suma de sus factores primos de primer gradoa) 2x b) 3x c) x+3d) 3x+1 e) 3x3

6. Factorizar: x4+2x3+6x2+5x+6, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor trmino independientea) 5 b) 7 c) 3d) 8 e) 2

7. Factorizar: x4+x37x24x+6, e indicar el nmero de factores primos de primer grado.

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

8. Al factorizar: P(x)=(x+2)(x1)(x3)(x+4)+24, indicar la suma de coeficientes del factor primo de mayor grado.

a) 4 b) 6 c) 2d) 5 e) 8

9. Al factorizar: a4+2a2+9, indicar el nmero de factores primos de primer grado.

a) 3 b) 4 c) 0d) 1 e) 2

10. Al factorizar por el mtodo del aspa doble el polinomio P(x); se tiene: P(x)=15a2+19ab+6b2+5a+4b10

3a nb 2

ma 3b p

Hallar "m+n+p"

a) 10 b) 8 c) 15d) 12 e) 14

11. Al factorizar: x3+x210x+8, indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos.

a) 1 b) 3 c) 10d) 8 e) 4

12. Si(x+1) es un factor primo del polinomio: P(x)=x3+x2+ax4, hallar "a"

a) 3 b) 2 c) 2d) 4 e) 5

13. Indicar el factor primo cuadrtico de menor suma de coeficientes, al factorizar M(y)=y4+4y2+16

a) y2+y2 b) y2+2y4c) y2+y8 d) y2+8e) y22y+4

lgebra


14. Juancito al factorizar un polinomio por aspa doble, elabora el siguiente esquema4x2+29xy+30y2+14x+27y+6

x

x

y

ySi los coeficientes que falta colocar son nmeros consecutivos del 1 al 6; indicar la suma de coeficientes de uno de los factores.

a) 7 b) 11 c) 13d) 9 e) 12

15. Un cientfico descubre una frmula que permite predecir la cantidad de temblores que habr cada mes en el mundo, a lo largo del 2012. La frmula es: P(x)=x23x+2a (x: nmero de mes), hallar el valor de "a" sabiendo que en el mes de abril se registrarn 8 temblores

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6

Practica en casa


Polinomio a factorizar Mtodo a emplear

x24 A Aspa doble

x35x+4 B Aspa doble especial

x2+3xy+2y2+5x+8y+6 C Diferencia de cuadrado

x43x32x23x+1 D Divisores binmicos

2. Completar correctamente, con respecto al mtodo de divisores binmicos se tiene :

a) El polinomio P(x)=x33x2+2x4 tiene como posible ceros: .

b) El polinomio Q(x)=x33x+6 tiene como posibles cero: .

c) El polinomio R(x)=x32x+5 tiene como posibles ceros: .

d) El posible N(x)=x3+4x8 tiene como posibles ceros: .


a) (x4) es un factor del polinomio

P(x)=x34x2+3x12 ( )

b) (x+2) es un factor del polinomio

Q(x)=x3+3x2+x2 ( )

c) (x1) es un factor del polinomio

M(x)=x3+2x22x1 ( )

d) (x+3) es un factor del polinomio

N(x)=x3+3x22x+6 ( )

4. Factorizar:x2+2xy3y2+3x+y+2, indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos

5. Factorizar: x313x+12, dar la suma de factores primos de primer grado

6. Factorizar: x4+3x3+8x2+10x+8, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor trmino independiente.

7. Factorizar: x4+5x3+7x2x2, indicar el nmero de factores primos de primer grado.

8. Al factorizar: (x3)(x+1)(x4)(x+2)14, indicar la mayor suma de coeficientes de un factor primo

9. Al factorizar: b4+4b2+16, indicar el nmero de factores primos de primer grado.

Captulo

52

Colegios


910. Al factorizar por el mtodo del aspa doble el

polinomio Q(x; y); se tiene el siguiente esquema10x2+14xy+by2+10y+16x+6

5x cy 3

ax 2y dhallar "a+b+c+d"

11. Al factorizar: x36x2+11x6, indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos

12. Si (x+2) es un factor primo del polinomio Q(x)=x32x2+ax6, hallar "a"

13. Indicar el factor primo cuadrtico de menor suma de coeficientes, al factorizar: N(x)=x4+x2+25

14. Al factorizar un polinomio por aspa doble se obtiene el siguiente esquema:10x2+32xy+24y2+41x+54y+21

x

x

y

ySi los coeficientes que faltan colocar son nmeros consecutivos del 2 al 7, indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos

15. Un dentista descubre una frmula que deduce la cantidad de caries que posee una persona a partir del nmero de veces que dej de lavarse los dientes antes de dormir. La frmula es: P(x)=x2+5ax (x: nmero de veces que no se lav los dientes). Hallar "a" si Mara dej de lavarse una vez y tiene 6 caries.

T puedes

1. Si P es un polinomio factorizable P(x)=3x4+7x3+13x2+2x+20, halle la suma de los factores primosa) 4x2+x+5 b) 4x2+5x+3c) 4x2+x+9 d) 4x+x+10e) 4x2+10x+5

2. Determinar un factor primo de P(x;y)P(x;y)=15x22xyy2+47x+3y+28a) 5xy b) 5x+y c) 5x+y+4d) 5xy4 e) 5xy+4

3. Determinar el valor de "a" para que: P(x)=x4+ax3+7x2+6x+9, tenga raz cuadrada exacta.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

4. Factorizar x5+x+1, e indicar el nmero de

factores primos.

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

5. Si H es un polinomio factorizable definido por H(x;y)=6x2+15xy+9y2+10x+12y+4, sume los factores primos y determine el coeficiente de

la variable "x".

a) 1 b) 8 c) 3d) 5 e) 6


Captulo 10

Lectura: johannis WaLLis (ashford 1616 oxford, 1703)

Profesor en la Universidad de Oxford, fue uno de los fundadores de la Royal Society y es el ms importante

Matemtico ingls anterior a Newton. Sus trabajos sobre aritmtica y lgebra dieron a estas ramas de las

matemticas una independencia respecto de la geometra.

Fue un precursor del clculo infinitesimal, desarroll y present la

identidad

2 4 4 6 6 8 ...3 3 5 5 7 7 ...4

99

# # # # # ## # # # # #

pi =

El primer presidente de la Royal Society, Lord Broucker (1620

1684) transform esta identidad en

1

...

4

22

2 75

31

2

2

2

2= +

+

+

pi

+

Waallis tom la iniciativa y comenz los primeros pasos para la

generalizacin de la teora de fracciones continuas. Entre sus obras

ms notables estn: Cnicas, Aritmtica infinitorum, y De cicloide

tractaus, todos ellos recogidos en su libro Opera Mathematica

(1695), explic cmo calcular el ensimo convergente y descubri

algunas de las propiedades ya conocidas de los convergentes. Fue

tambin en este trabajo que el trmino "fraccin continua" fue

utilizado por primera vez.

FUENTE: www.gap_system.org


Fracciones algebraicas

. Fraccin algebraica (concepto)

. Signos en una fraccin.Regla para cambiar signos.

. Simplificacin de una fraccin.

. Operaciones con fracciones

Adicin y/o sustraccin Multiplicacin Divisin

fracciones aLgebraicas

Captulo

54

Colegios


Sntesis terica

10

lgebra


Saberes previos

1. FactorizarN=x22xD=x24

2. FactorizarA=3x210x+3B=2x212x+18

3. Efectuar5x(x2+7x)3(x3+8x2)x(2x2+11x)

4. Reducirxy(x+y)+x(y2xy)2y(xy)

5. CalcularR=a(bc)+b(ca)+c(ab)+(ab)(a+b)+(bc)(b+c)+(ca)(c+a)



a xx a

2

2

A ba

x yx y

x yy2

+

B 1

x yx

C y xx

ab ba ab2

2 D 1


a) x 23

esta definida slo si x 2! ( )

b) x52 no es una fraccin algebraica. ( )

c) Toda fraccin reductible se puede simplificar. ( )

d) El equivalente de 1

1

x1 +

es xx1+

( )

3. Completar correctamente:Si una fraccin es simplificable entonces es ..........., luego de transformarla quedara una fraccin irreductible.

4. Simplificar: xx x

122

5. Reducir: Hx yx

x yx5 5

3 8

7

3 8

7= +

+

Captulo

56

Colegios


Aprende ms


x 23

esta definida si: A 5

cuando x=2, xx

392

es: B x

xxx

53

21'

+` `j j

xx

xx

53

12

+` `j j equivale a: C x 2!

x3 1+ equivale a: D x

x3 1+


I. Si yx

yz

yx

yz3 1 2&+ = + = ( )

II. x32+ no es una fraccin algebraica ( )

III. x 25

equivale a la fraccin

x25

( )

IV. x yx y

6 43 2

es reductible ( )

3. Completar correctamente:

Si la fraccin: F(x)=xx x

164

2

2

es simplificada su

valor ser cuando "x" sea "2"

4. Simplificar: ( ) ( )x x x

x x7 10 5

7 102

2

+ + + ++ +

a) x 51+ b) 0 c) 1

d) xx

52

++ e)

xx

32

++

5. Reducir: Ma b ca b

a b cb a=

+ +

+

a) 1 b) 0 c) a b c

1 +

d) a b c

a +

e) a b ca b +

6. Reducir: a bab a

a bab a

b aa b2 2

2 2'

++

c c em m o

a) ab2

2b)

ba2

2c)

ab2

2

d) ba2

2 e) ab

7. Multiplicar: .xx x

xx x

255

15

2

2 2

+

+e co m

a) xx1

2

+b)

xx1+ c) 1

d) 5xx

1+ e)

xx

15

++

8. Dividir:

( ) ( )( ) ( )

x x xx x x

xx

9 4 105 6 4

53'+ + +

+ + +++

a) xx

53

++ b) x c) x

x5+

d) x

x 3+ e) 1

9. Operar:

;x

xx

x

xx

xx x x x

1 11

1

1 11

10 1 1/ /^ ^ ^

+ +

++

` `

` `

j j

j j

a) x 11+

b) xx1+

c) x

x 1

d) xx

11

+ e)

xx

11

2+

10. Efectuar

Sa a

a aa aa a

aa a

6 52 2

7 105 6

253 18 15

2

2

2

2

2

2=

++

+

+ + +

a) a 53

b) a 52+

c) a3

6

d) a 53+

e) a5

6

11. Efectuar:

xyx y

yxx y

x y1 11

1 1

1

++ +

++

+

c m

a) x b) xy c) x+yd) 1 e) 0

12. Calcular nm si:

x xx

xm

xn

3 21

2 12+ + =

++

+

a) 8 b) 9 c) 81d) 64 e) 1

10

lgebra


13. Indicar el equivalente de:F(x)=

32x

x

13 1

a) xx

3 14 1

b) 3x+1 c) 7x2

d) xx3 17 2

e)

xx

7 24 1

14. En el cumpleaos de Diego: "x" personas se encontraban (Incluido el dueo del cumpleaos). Si la mitad de la torta queda para Diego y la otra mitad se reparte a los dems, llegando en ese instante 2 personas ms. Cunto menos le toc a cada uno de los presentes?

a) x x1

2 b) x 122

c) x 112

d) x12 e) x 1

1

15. Andrea cuenta: si el primer da de agosto repart mi sol de propina entre mis "a" amigas, el segundo da entre mis (a+1) amigas, el tercer da entre mis (a+2) amigas y as sucesivamente hasta el ltimo da de este mes. Siendo Sofa la amiga que estuvo en todas las reparticiones, le pregunt: Cul es el producto de las diferencias "De lo que yo tena con respecto a lo que te toc" da a da?, indicar la respuesta de Sofa.

a) a1 b)

a21 c)

a 301

+

d) aa

301

+ e)

aa

302

+

Practica en casa


El denominador comn de: x y xy1 1 1+ + A 1

Luego de simplificar xxy y

1++

queda B y

y z xx y z +

C xy

El equivalente de: x y

x y2 2

D x y

1+

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

a) xx

52

est definida slo si: x x2 5/! ! ( )

b) x 23+

es una fraccin irreductible. ( )

c) xx6

5+

es una fraccin reductible. ( )

d) La suma de 3x 2+

con x 23

es cero. ( )


La suma algebraica de fracciones homogneas origina igual en la fraccin resultante.

4. Simplificar: ( )( )x xx x

15 810 3 +

+

5. Efectuar:

Rx y z

xx y z

zy x z

y= +

+ +

+

6. Efectuar: x x34

12

+

+

7. Operar: Rx

x xx x

x x9

4 35

8 152

2

2

2= + + +

e eo o

8. Dividir :x xx x

x xx

6 53 2

3 104

2

2

2

2'

+ ++ +

+ e eo o

Captulo

58

Colegios


9. Operar: Ha

a

aa

aa

aa

11

1 1

11

1 1'=

++

+ +

`

`

`

`

j

j

j

j

Siendo: a a a1 1 0/ /^ ^ ^

10. Efectuar:

Fm

m mm mm m

m mm m

42

62 3

6 84

2

2

2

2

2

2=

+

+ ++

11. Identifique el numerador resultante:

Fz z z21

21

11=

++

+

12. Calcular a+b si:

xa

xb

xx

2 2 43 22

++ = +

13. Hallar el equivalente de:

12

1E

n

11

11

= +

+

14. Cul es el equivalente de 517 en fraccin

continua?

15. Un procesador formado por dos ncleos variables tales que:

El ncleo T1000, realiza:

El ncleo U1000, realiza:

Los primeros 4000 clculos en 1/2 segundo los siguientes 4000 clculos en 1/3 segundo, los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo y as sucesivamente.

Los primeros 4000 clculos en 1/3 segundo los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo, los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo y as sucesivamente.

Para el mismo nmero de clculos en cada uno, indique las diferencias de las "fracciones de segundo totales" empleadas por T1000 y U1000 respectivamente

T puedes

1. UNMSM 2011IDisminuyendo una misma cantidad a los dos trminos de la fraccin propia

ba resulta la

fraccin ab . Cul es aquella cantidad?

a) 2a+b b) 3a+b c) a+bd) a+2b e) ba

2. Simplificar: x x xx x x2 5 23 3 2 2

3 2

3 2

+ + + + +

Indicar como respuesta el numerador reducido valuado en dos.a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 6

3. Efectuar.R

x x

11 1

11

12 1

11=

++ +

a) 3252 b) 321 c) 5223

d) 3223 e) x

4. Si:

( ).M

aba bba

ab

18

2

1 2

212=

+

++c m

N

a bb

a ba

a ba

a bb

2 22

22

2=

+

++

Calcular "M+N"

a) 22+1 b) 326 c) 231d) a e) b

5. UNMSM 2006II

Si: (x)e e y e e2 2

(x)x x x x

3 4= = +

Calcular: ( )

( )x

x1 2

243+

a) 1(x)

(x)43+ b)

(x)(x)

1 33+

c) (x)(x)

43

d) (x)

(x)1 43+

e) (x)(x)

34

Si otros pudieron, Porque no voy a poder yo?"

San Agustn

10


Captulo 11

Lectura: Los super computadores ms poderosos de La tierra

La organizacin a cargo del sitio Top 500.org ha publicado su "International Top 500 List", (como el Ranking Forbes pero de los Supercomputadores) correspondientes al mes de noviembre y donde se rankea las 500 sper mquinas de cmputo ms poderosas del planeta, este listado precisamente no "Rankea" amigo lector su flamante computador QuadCore, con sus 4GB de RAM DDR3, sus cuatro discos de 1TB o su sistema CrossFireX de Radeon HD 4870 X2 o 3Way SLI de GeFoce GTX 280 con sper Windows Vista ultra Fast. Lo que hace este Ranking es agrupar los Supercomputadores ms poderosos del planeta en cuanto a su potencia de cmputo expresada e TeraFlops, una medida de rendimiento especialmente destinada a clculos que requieren un intensivo uso de operaciones de punto flotante, en donde las capacidades aritmticas y el poder conjunto de cientos de procesadores / ncleos es vital para superar varios TeraFlops de potencia. Estos Supercomputadores son usados por gobiernos, instituciones de investigacin, universidades y otras instituciones para fines cientfios y de investigacin en donde Gigantes como IBM, INTEL, AMD y Sun son los principales proveedores de procesadores para estas mquinas del tamao de un armario y ensambladas por compaas como IBM, Cray, Sum, HP entre otras.

El ordenador "K", una supercomputadora japonesa capaz de realizar mas de 8 billones de clculos por segundo (petaflop / s) es el nuevo nmero uno del sistema en el mundo. ...

Los nmeros complejos se emplean en electrnica, para la descripcin adecuada de las seales peridicas

variables.

FUENTE: http://www.madboxpc.com

cantidades imaginarias i


Cantidades imaginarias I

. Cantidades imaginarias

Unidad imaginaria Potencias de i Propiedades

. Nmero complejo

Forma binmica y cartesiana Clases de complejos: Real, imaginario puro, nulo.

Captulo

60

Colegios


11Sntesis terica

lgebra


Saberes previos

1. Calcular:

25 =

144 =

5 16+ =

2. Efectuar

8 32 1253 5 3 + +

3. Calcular:

2 33

4. Efectuar:

(x+yz)(3x+2yz)

5. Efectuar: (x3y)2+(3xy)2



i5.i3 A 3

i4+i12+i16 B 6

(2i)(3i) C 15 i2

(5i)(3 2 ) D 1


a) Al efectuar i3+i4+i5+i6 se obtiene cero ( )

b) (1+i) presenta como parte imaginaria a "1"

( )

c) Si Z=2+4i, su forma cartesiana es (2; 4i) ( )

d) Si W=3i+2, su forma cartesiana es (3;2) ( )


La raz cuadrada de "1" es la unidad ,

y su equivalente es .

4. A partir de: Z=3+2i

Indique el doble de su parte real aumentada en

su parte imaginaria.

5. Efectuar:

S=i3+i4+i5+i6+i7+...+i103

Aprende ms


i8+i12 A 2i

i3+i B 0

4 C 2

83 D 2


I. Si (m+4)+(n3)i es nulo, entonces mn=12 ( )

II. Si 3+(n5)i es real, entonces n=5 ( )

III. En Z=42i su parte imaginaria es 2 ( )

IV. En Z=3+5i su parte real es 3 ( )


En el complejo 3+2i su parte es el nmero dos y su parte es el nmero tres.

4. Sea Z3=2+5i

Indique la parte real de Z disminuida en su parte imaginaria.

a) 10 b) 2 c) 4d) 5 e) 0

5. Calcular: 5m+2n, si el complejo

Z=(mm27)+(n3125)i es nulo.

a) 10 b) 25 c) 15d) 20 e) 30

Captulo

62

Colegios


116. Indicar "xy" si

Z=(x38)+(y327)i, es un complejo nuloa) 8 b) 9 c) 4d) 6 e) 3

7. Reducir: S= i5+i9+i13+i17+i21

a) i b) 1 c) 1d) i e) 5i

8. Calcular: M=i403+i216+i325+i423+i121

a) 1 b) i c) id) 0 e) 1

9. Efectuar: 3 12 5 20 + a) 16i b) 16i c) 16d) 16 e) 4

10. Calcular: 4 2 2 3 3 9 a) 5i b) 5i c) 3id) 12i e) 3i

11. Si al complejo (3;2) le disminuimos 2 unidades en su parte real y le aumentamos 2 unidades en su parte imaginaria, resulta un:a) imaginario puro b) complejo realc) complejo nulo d) la unidad imaginariae) hay 2 correctas

12. Calcular: ( )m i i iI 12 20 19+ +

a) i b) i c) 1d) 1 e) 0

13. Efectuar: ( )e i i i iR 40 55 70 95+ + +

a) 2 b) 2 c) 1d) 0 e) 1

14. Al sumar las primeras quince potencias positivas sucesivas de la unidad imaginaria se obtiene:

a) el opuesto de dos

b) el opuesto de tres

c) cero

d) la unidad imaginaria

e) el opuesto de la unidad

15. Si (m;n) es la unidad imaginaria en su forma cartesiana y (p;q) es la unidad real en su forma cartesiana. CalcularE=(m+1)n+1+(p+2)q+2

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 17

Practica en casa


i10+i14 A 5

5 5 B 1

La parte real de: 5i+5 C 2

i30+i31+i32+i33+i34 D 5


I. Si(r3)+8i es imaginario puro, en-tonces r=3 ( )

II. En Z=3i4 su parte imaginaria es 3i ( )

III. Luego de efectuar i+i5+i6, su parte real es 1 (

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