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1 Cuaderno de Tecnología N° 4 Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec, México, 2006 ISBN 968-5441-05-7 Editores: Héctor M. Poggi-Varaldo (CINVESTAV), Ma. Eugenia Bátiz y Solórzano (TESE), José Alfredo Pineda-Cruz (TESE), Sergio Caffarel-Méndez (TESE) TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC "2006: Año del Presidente de México Benito Pablo Juárez García" CUADERNO DE TECNOLOGÍA N° 4 ISBN 968-5441-05-7 ALGEBRA LINEAL PEDRO ROMANO-APORTELA y CLAUDIA LOZANO MORA División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial; División de Contaduría y Administración e-mail: [email protected] Ecatepec de Morelos, Estado de México México. Año 2006
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Álgebra Lineal
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Cuaderno de Tecnología N° 4 Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec, México, 2006
ISBN 968-5441-05-7 Editores: Héctor M. Poggi-Varaldo (CINVESTAV), Ma. Eugenia Bátiz y Solórzano (TESE),
José Alfredo Pineda-Cruz (TESE), Sergio Caffarel-Méndez (TESE)
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
"2006: Año del Presidente de México Benito Pablo Juárez García"
CUADERNO DE TECNOLOGÍA N° 4 ISBN 968-5441-05-7
ALGEBRA LINEAL
PEDRO ROMANO-APORTELA y CLAUDIA LOZANO MORA División de
Ingeniería Mecatrónica e Industrial; División de Contaduría y Administración e-mail: [email protected]
Ecatepec de Morelos, Estado de México México. Año 2006
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DIRECTORIO
H. Junta Directiva del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec
DR. ISIDRO MUÑOZ RIVERA Secretario de Educación del Gobierno del Estado de México Presidente de la Junta Directiva
DR. LUIS VlDEGARAY CASO Secretario de Finanzas del Gobierno del Estado de México Vocal de la J unta Directiva
MAESTRO RAFAEL FREYRE MARTÍNEZ Director General de Planeación, Programación y Presupuesto, Secretaría de Educación Pública Vocal de la
Junta Directiva
M.B.A. JOSÉ ANTONIO PARDO SAAVEDRA Titular de la Oficina de Servicios Federales de Apoyo a la Educación en Estado de México Vocal de la J unta
Directiva
ING. JOSÉ ALFREDO UZÁRRAGA DÍAZ Director de Institutos Tecnológicos Descentralizados, S EP Vocal de la Junta Directiva
C. JOSÉ LUIS CRUZ FLORES Presidente Municipal Sustituto de Ecatepec de Morelos, Vocal de la Junta Directiva
PROF. ROBERTO RUIZ LLANOS Representante de I Sector Socia I Vocal de la Junta Directiva
UC. MANUEL BAUTISTA LOPEZ Representante del Sector Productivo Vocal de la Junta Directiva
C.P. JORGE ISAAC HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ Director de Control y Evaluación de Educación Media Superior y Superior del Gobierno del Estado de México
Comisario de la Junta Directiva
DR. RUBÉN JAIME BARAJAS VÁZQUEZ Representante del Sector Privado Secretario de la Junta Directiva
3
Autoridades del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec
M. en A. Uriel Galicia Hernández Director General
C.P. Ma. Eugenia Bátiz y Solórzano Directora Académica
M. en A. Álvaro Gómez Carmona Director de Apoyo y Desarrollo Académico
Lic. Jorge Rojas Sánchez Director de Vinculación y Extensión
M. en A Alfonso Martínez Reyes Director de Administración y Finanzas
L.C. Irineo Ocaña Bruno Contralor Interno
Lic. José Misael Marín Luciano Abogado General
Lic. Jorge Arturo Unzueta Méndez Jefe de la Unidad de Planeación
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Cuaderno de Tecnología N° 4 Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec, México, 2006
ISBN 968-5441-05-7 Editores: Héctor M. Poggi-Varaldo (CINVESTAV), Ma. Eugenia Bátiz y Solórzano (TESE),
José Alfredo Pineda-Cruz (TESE), Sergio Caffarel-Méndez (TESE)
MENSAJE DEL DIRECTOR GENERAL
El Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec (TESE) es un Organismo
Público Descentralizado del Estado de México creado en el mes de septiembre de
1990. En él se imparten actualmente nueve carreras de licenciatura y cuatro
programas de posgrado, con una matrícula de 5568 alumnos en el primer nivel y
de 76 alumnos en los programas de maestría. Por ser un tecnológico que tiene el
92% de su matrícula en programas acreditados (el 100% de sus carreras
evaluables se encuentran acreditadas por organismos reconocidos por el
COPAES), poseer varios de sus procesos certificados y tener un programa de
Maestría en el Padrón Nacional de Posgrado del Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnología, se le considera un Tecnológico de Alto Desempeño. Fue el primero,
en ser creado, de los Institutos Tecnológicos Descentralizados a nivel nacional, y
el único a la fecha dentro de este Subsistema, en tener estas características.
Entre los objetivos del Tecnológico, además de la formación de profesionales,
profesores e investigadores aptos para la aplicación y generación de
conocimientos, está el de promover la cultura nacional y universal especialmente
la de carácter tecnológico. En ese sentido para el TESE es de suma importancia
propiciar acciones que conlleven a la difusión de los resultados de sus actividades
de investigación, ya la publicación de obra editorial propia.
Así, el Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec se enorgullece en
presentar en esta ocasión la primera de esta Serie denominada "Cuadernos de
Tecnología del TESE", que trata diversos temas relacionados con la ciencia y la
tecnología en áreas muy diversas. Entre otras tenemos la Ingeniería Bioquímica,
la Ingeniería Industrial, la Ingeniería Mecatrónica, la Ingeniería Química, la
5
Ingeniería Electrónica, la Ingeniería en Sistemas Computacionales, la Ingeniería
Mecánica, la Licenciatura en Informática y la Licenciatura en Contaduría.
Esta primera entrega consta de los siguientes títulos:
1. Producción de Hidrógeno. Una Opción Biotecnológica.
2. Funcionalidad de Proteínas Musculares.
3. ¿Cómo Medir la Diversidad?
4. Álgebra Lineal.
5. Mecánica Clásica.
6. Electrodinámica Clásica.
El presente libro en formato electrónico -disco compacto- forma parte de la misma.
Su contenido está escrito en un lenguaje que en lo posible trata de ser sencillo,
pero apoyado en los conocimientos y experiencias de ingenieros y licenciados que
han encaminado sus esfuerzos para especializarse en alguna de las muchas
disciplinas científicas y tecnológicas.
A través de un esfuerzo sin precedentes, con su publicación se busca
proporcionar información de utilidad para todas aquellas personas, estudiantes,
docentes y profesionistas de las disciplinas mencionadas, que quieren ampliar su
bagaje de conocimientos.
El Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec desea que la información
contenida en esta serie "Cuadernos de Tecnología del TESE" sea de utilidad en el
quehacer diario de aquellas personas interesadas en su superación personal, y
con ello también de la sociedad mexiquense y mexicana en su conjunto.
No poniendo en duda el interés que generará en nuestros estudiantes, profesores
y profesionales esta obra editorial, queda pues en sus manos.
M. EN A. URIEL GALICIA HERNÁNDEZ
DIRECTOR GENERAL
6
Cuaderno de Tecnología N° 5 Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec, México, 2006
ISBN 968-5441-05-7 Editores: Héctor M. Poggi-Varaldo (CINVESTAV), Ma. Eugenia Bátiz y Solórzano (TESE),
José Alfredo Pineda-Cruz (TESE), Sergio Caffarel-Méndez (TESE)
ÁLGEBRA LINEAL
Pedro Romano Aportela
División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial
Claudia Lozano Mora
División de Contaduría y Administración
7
Acerca de los autores. Pedro Romano Aportela. Egresó de la Escuela Superior de Física y Matemáticas
del Instituto Politécnico Nacional donde realizó los estudios de la Licenciatura en
Física y Matemáticas, así como la Maestría y Doctorado en Física. Forma parte de
la planta docente del TESE desde el año 2005 en la División de Ingeniería
Mecatrónica e Industrial, impartiendo cátedra tanto en la Ingeniería como en el
programa de posgrado.
Claudia Lozano Mora es egresada de la Escuela Superior de Comercio y
Administración del Instituto Politécnico Nacional donde realizó los estudios de la
Licenciatura en Relaciones Comerciales. Forma parte de la planta docente del
TESE desde el año 2003 en la División de Contaduría y Administración,
impartiendo diversas asignaturas de la Academia de Ciencias Básicas y
Económico Administrativas
8
PRÓLOGO
La intención de este libro de Álgebra Lineal es que sirva como texto a estudiantes
de nivel licenciatura que, por primera vez se enfrentan ante este tema de gran
importancia tanto por su contenido teórico así como por la gran cantidad de
aplicaciones que tiene en las diferentes disciplinas del conocimiento humano.
El texto se ha dividido en tres grandes apartados; en el capitulo 1 se dan la
herramienta y los métodos, particularmente el de Gauss y Gauss-Jordan para
resolver e interpretar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
También se introduce el concepto de determinante, así como los diferentes
métodos para calcularlo. También se estudian sus propiedades.
El capitulo 2 trata sobre una breve introducción al concepto de vector y sobre todo
a su generalización, analizando con detalle las propiedades de espacio y
subespacio vectorial. También son tratados los conceptos de base y dimensión,
así mismo se estudia también el proceso para construir bases ortonormales y para
finalizar este capitulo se trata el tema de cambio de base.
El capitulo 3 habla acerca del concepto de transformaciones lineales y las
diferentes formas de representarlas, así como el análisis de sus elementos como
son; el núcleo y el conjunto imagen. Se estudia también el problema de valores y
vectores propios y su aplicación directa en el proceso de diagonalización de
matrices.
Se incluyen también un conjunto de problemas al final de cada capitulo, con el fin
de que el estudiante refuerce los temas aprendidos.
9
INDICE
Pagina Prologo 8
Capitulo 1 Matrices y Determinantes 10 1.1 Matrices
10
1.2 Determinantes 32 1.3 Sistemas de ecuaciones lineales
42
Capitulo 2 Espacios Vectoriales 59 2.1 Vectores en dos y tres dimensiones 59 2.2 Espacios Vectoriales 69 Capitulo 3 Transformaciones Lineales 97 3.1 Transformaciones lineales 97 3.2 Valores y vectores propios 109 3.3 Matrices semejantes y diagonalización 114 Bibliografía
119
10
CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES
1.1 Matrices
Introducción
Para iniciar el estudio del álgebra lineal, vamos a dar una interpretación
geométrica de las posibles soluciones que un sistema de ecuaciones lineales
puede tener, para ello trataremos primero el caso de líneas rectas en dos
dimensiones y posteriormente se generalizarán a un número mayor de
dimensiones.
Consideremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sea:
a x a x b
a x a x b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1.1
Resolver este sistema de ecuaciones significa; encontrar el (los) valores de las
variables 1x y 2x de tal manera que al sustituirlas en cada una de las ecuaciones
se obtiene una identidad. ¿Cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones?,
la respuesta a está pregunta la daremos en términos geométricos. Del sistema
1.1 se sabe que cada ecuación representa a una línea recta, por lo tanto dadas
un par de líneas rectas la orientación relativa que estas pueden tomar es la
siguiente: que las rectas sean diferentes y por lo tanto se intersecan en un solo
punto, en este caso se dice que el sistema tiene solución única. Que las líneas
rectas sean paralelas y diferentes, por lo cual estás no se intersecan, en cuyo
caso el sistema no tiene solución. Por último cuando las líneas son paralelas pero
una está sobrepuesta en la otra, en cuyo caso las rectas coinciden en todos sus
puntos y por lo tanto se dice que el sistema tiene una infinidad de soluciones.
Con el fin de ilustrar el comentario anterior resolveremos el sistema anterior de
manera general (por ejemplo usando el método de Cramer) se llega a la siguiente
11
Solución
xa b a b
a a a a1
22 1 12 2
11 22 12 21
2.1
Para qué 1.1 tenga solución única debe cumplirse que a a a a11 22 12 21 debe
ser diferente de cero (determinante del sistema). ¿Que pasaría si
021122211 aaaa ?
La respuesta es: el sistema no tiene solución ó tiene un número infinito de
soluciones, esto es las rectas son paralelas y distintas, o estas coinciden en todos
sus puntos, para saber cual es el caso se debe analizar cada problema en
particular.
Por ejemplo:
x y
x y
7
2 2 14 3.1
En 3.1 tenemos únicamente una recta o bien una esta sobre la otra, por lo tanto
coinciden en todos sus puntos, esto es 3.1 tiene un número infinito de
soluciones, es decir la solución de un sistema de ecuaciones se interpreta como el
punto de intersección de las rectas por lo tanto si dos rectas coinciden en todos
sus puntos ese sistema tiene un número infinito de soluciones.
Ahora analicemos el siguiente sistema:
x y
x y
7
2 2 13 4.1
En 4.1 podemos notar que se tienen dos rectas paralelas y distintas, por lo tanto
no tienen ningún punto en común, y de acuerdo al comentario anterior este
12
sistema no tiene solución. De los ejemplos anteriores se puede inferir el siguiente
teorema:
TEOREMA. El determinante de 1.1 es cero si y sólo si las rectas son paralelas
De este teorema se infiere: Si el determinante de 1.1 es diferente de cero,
entonces las rectas no son paralelas y por lo tanto se intersecan en un sólo punto,
es decir el sistema tiene solución única.
Antes de resolver sistemas más complicados, vamos a introducir el concepto de
vector, matrices y sus operaciones básicas, esto con el fin de simplificar la
solución de tales sistemas y crear con ello un algoritmo. Naturalmente que las
matrices se aplican en una gran diversidad de disciplinas y no solo como una
herramienta para resolver sistemas lineales de ecuaciones.
VECTOR RENGLÓN DE N COMPONENTES: Se define un vector renglón de n
componentes (o n-dimensional) como un conjunto ordenado de n números (reales)
escrito de la siguiente forma:
x x xn1 2, , ...
VECTOR COLUMNA DE N COMPONENTES: Se define un vector columna de n
componentes (o n-dimensional) como un conjunto ordenado de n números (reales)
escrito de la siguiente forma:
x
x
xn
1
2
.
.
13
VECTOR NULO (CERO) DE N COMPONENTES: Es aquel en el cual todas y
cada una de sus componentes son iguales a cero.
Nota: Los vectores los denotaremos de la siguiente manera: a b, . … las matrices
las denotaremos con letras mayúsculas.
Ahora definiremos algunas operaciones entre vectores.
A) IGUALDAD DE VECTORES: Dos vectores columna (renglón) a b, son iguales
si y solo si, tienen el mismo número de componentes y sus componentes
correspondientes son iguales.
B) SUMA DE VECTORES: Sean a
a
a
an
1
2
.,
b
b
b
bn
1
2
. vectores de n componentes.
Se define la suma:
a b
a
a
a
b
b
b
a b
a b
a bn n n n
1
2
1
2
1 1
2 2
. . .
Es decir la suma de dos vectores, es otro vector en el cuál sus componentes son
la suma de sus componentes respectivas de cada vector.
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: Sea a
a
a
an
1
2
. ,
Y es un escalar, entonces el producto aa
se define como:
14
1
2
.
n
a
aa
a
.
Existen otros tipos de operaciones con vectores, pero por el momento estas
resultan ser las más importantes para manejar el concepto de Espacio Vectorial,
tema de estudio de este curso.
Con base en estas operaciones podemos establecer el siguiente teorema.
TEOREMA. Sean a b y c vectores, , , escalares. Entonces:
1) a a 0 (
0 vector cero )
2) 0 0 a
3) a b b a ( la suma de vectores es conmutativa )
4) a b c a b c ( la suma es asociativa )
5) a b a b
( el producto por un escalar es distributivo )
6) a a a
( producto por un vector es distributivo )
7) a a
MATRICES. Una matriz A de tamaño m x n es un arreglo rectangular de mn
números distribuidos en m renglones y n columnas:
A
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
.
.
. . . .
.
.
15
Al número que aparece en el i-ésimo renglón y j-ésima columna se le conoce
como el elemento i ja de la matriz. Una matriz se dice que es cuadrada cuando
m=n. Más adelante definiremos algunas matrices especiales que aparecen con
frecuencia en el estudio del algebra lineal.
De manera similar como se definió la igualdad de vectores, definiremos la igualdad
de matrices como: Dos matrices i jA a , i jB b son iguales si y sólo si
tienen el mismo tamaño y sus componentes correspondientes son iguales.
A) SUMA DE MATRICES: Sean ,i j i jA a B b dos matrices de tamaño mxn.
La suma A+B es otra matriz de tamaño m x n definida:
A B
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
n n
n n
m m m m mn mn
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
Es decir la suma se obtiene sumando sus componentes correspondientes
B) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR: Sea i jA a una
matriz de tamaño m x n, un escalar. Entonces la matriz A tiene también
tamaño m x n, definida:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
16
Es decir, está matriz se obtiene al multiplicar cada una de las componentes de
matriz por el escalar.
Con base en estas operaciones se tiene las siguientes propiedades.
TEOREMA: Sean A, B, C matrices reales de tamaño m x n, un escalar.
Entonces:
1) A+O = A donde O es la matriz nula
2) 0A = O
3) A+B = B+A conmutativa
4) ( A+B )+C = A+( B+C ) asociativa
5) ( A+B ) = A+ B distributiva respecto al producto por un escalar
6) 1 A = A multiplicación por el elemento neutro multiplicativo
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES: Sean a
a
a
an
1
2
. ,
b
b
b
bn
1
2
. dos
vectores de n componentes.
El producto escalar (interno, o punto) se define:
n
i
iinn bababababa1
2211
Nota: Para efectuar el producto interno de dos vectores, estos deben tener el
mismo número de componentes, además deben tener la siguiente disposición:
vector renglón x vector columna.
a a a
b
b
b
a bn
n
i i
i
n
1 2
1
2
1
17
De aquí se desprende el siguiente teorema.
TEOREMA: Sean a b c, , n-vectores, , escalares. Entonces
1) a 0 0
2) a b b a
3) a b c a b a c
4) baba
C) PRODUCTO DE MATRICES: Sean i jA a una matriz m x n, i jB b una
matriz de tamaño n x p. Entonces el producto AB resulta ser otra matriz C de
tamaño m x p. Donde el elemento i jc del producto es el número que se obtiene
de multiplicar escalarmente el renglón i de la primera matriz con la columna j de
la segunda matriz, esto es:
1
n
i j ik k j
k
AB C c a b
Nota: Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de
la primera tendrá que ser igual al número de renglones de la segunda.
Con las operaciones entre matrices definidas anteriormente se tiene el siguiente
teorema.
TEOREMA: Sean A, B y C matrices de tamaños tales que se puedan efectuar las
operaciones indicadas. Entonces
1) A ( B+C ) = AB+AC
.
18
2) ( A+B )C = AC+BC
3) A( BC ) = ( AB )C
4) AB BA en general
5) AB=O esto no implica necesariamente que A=O o B=O
6) AB = AC esto no implica necesariamente que B=C es decir en matrices no es
válida la propiedad cancelativa para el producto.
La demostración queda como ejercicio para el lector.
MATRICES ESPECIALES: En el estudio del álgebra lineal se presentan con
frecuencia algunas matrices y que por tal razón se les conoce como matrices
especiales, las cuales definiremos a continuación.
MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal
principal son unos y el reto de los elementos son cero.
I
nxn
1 0 0
0 1 0
0 0
0 0 1
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada A cuyos elementos
aij 0 para i>j se le llama matriz triangular superior, es decir todos los elementos
abajo de la diagonal principal son igual a cero
19
A
a a a
a a
a
n
n
nn
11 12 1
22 20
0
0 0
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada A cuyos elementos
0i ja para i < j se le llama matriz triangular inferior, es decir todos los elementos
arriba de la diagonal principal son iguales a cero
A
a
a a
a
a a
ii
n nn
11
21 22
1
0 0
0 0
0
Definición: Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño, se dice que A y B
conmutan si: AB = BA, y anticonmutan cuando AB = - BA.
Definición: Una matriz A de manera que A Ak 1 , siendo k un número positivo se
le llama matriz periódica. Si k es el menor entero para el cual A Ak 1 entonces a
k se le llama período, en el caso de que k=1 a la matriz se le llama
IDEMPOTENTE, es decir A A2 .
Definición: Una matriz A tal que A p 0 se le llama NILPOTENTE, si p es el
menor entero para el cual ocurre esto, entonces a A se le llama nilpotente de
orden p.
MATRIZ INVERSA: Sean A, B dos matrices cuadradas del mismo tamaño de tal
forma que: AB = BA = I, entonces se dice que B es la inversa de A o A es la
inversa de B. La inversa la denotaremos por A1 , usando esta notación se tiene:
AA A A 1 1 .
20
Con la definición anterior surgen de manera natural las siguientes preguntas, las
cuales iremos respondiendo conforme avancemos en nuestro estudio del álgebra
lineal: ¿todas las matrices tienen inversa?, sino es así entonces que condiciones
debe tener una matriz para tener inversa, ¿si una matriz tiene inversa o es
inversible, está será única?, ¿existe algún método para calcularla?
TEOREMA: Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamaño, A B 1 1, sus
inversas respectivamente, entonces:
AB B A
1 1 1
Demostración: Tenemos que demostrar que
AB AB AB AB I
1 1
Tomando el lado izquierdo
AB AB B A AB B A A B B B I
1 1 1 1 1 1
Ahora el otro producto
AB AB AB B A A BB A AA I
1 1 1 1 1 1
Ambos productos son igual a la matriz identidad, por lo cual dicho teorema queda
demostrado.
TEOREMA (UNICIDAD DE LA INVERSA) Si A es una matriz inversible, entonces
su inversa es única.
Demostración: Supongamos que A tiene dos inversas, sean estas B y C,
entonces debemos demostrar que B = C.
21
Como por hipótesis B es inversa de A entonces se tiene:
AB = BA = I 5.1
multiplicando la ecuación 5.1 por la izquierda por C se tiene
CAB = CI = C
(CA) B = C
IB = C es decir B = C. Que es lo que queríamos demostrar.
MATRIZ TRANSPUESTA: La matriz transpuesta de una matriz A de tamaño m x n
es la matriz A t(transpuesta de A) de tamaño n x m, la cual se obtiene
permutando renglones por columnas, por ejemplo
A A t
1 2 3
4 5 6
1 4
2 5
3 6
, es decir que el elemento i ja de A, es el elemento
j ia de la transpuesta.
De la definición anterior se sigue de inmediato:
1) Sean A; B matrices k escalar A Bt t, sus transpuestas. Entonces:
a) A At t
b) kA kAt t
2) La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de las transpuestas
22
A B A Bt t t
3) La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas en orden
contrario
AB B At t t
MATRIZ SIMETRICA: Una matriz cuadrada A tal que A A t se le llama simétrica
es decir cuando i j j ia a , y una matriz A tal que A A t se le llama
antisimétrica., es decir i j j ia a . Es decir si A es antisimétrica entonces los
elementos de su diagonal principal deben ser ceros.
Ahora se tienen los siguientes teoremas sobre matrices simétricas y
antisimétricas.
TEOREMA: Si A es una matriz cuadrada de tamaño n x n, entonces A A t es
simétrica.
La demostración se deja al lector como ejercicio.
TEOREMA: Si A es una matriz cuadrada de tamaño n x n, entonces A A t es
antisimétrica.
La demostración se deja como ejercicio para el lector.
De los teoremas anteriores se desprende el siguiente teorema.
TEOREMA: Toda matriz cuadrada A se puede descomponer en la suma de una
matriz simétrica y otra antisimétrica.
23
La demostración se deja como ejercicio para el lector.
Definición: Si una matriz cuadrada e inversible es tal que A A t 1 , entonces A se
le llama matriz Ortogonal.
Ahora resolveremos algunos ejercicios y se proponen otros para el lector.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.- Demostrar que si AB = A y BA = B, entonces las matrices A y B son
idempotentes.
Demostración: AB AB multiplicando por la derecha ambos lados por la matriz A
se tiene
ABA AB A AA A 2 aquí asociamos y usamos la primer hipótesis del
problema, ahora si asociamos de esta expresión a las dos últimas matrices y
usamos la segunda hipótesis se tiene ABA A BA AB A comparando las dos
ultimas expresiones se llega a A A2 , es decir A es idempotente. Para la matriz B
es un proceso similar.
2.- Demostrar
a A A b kAk
A c A Ap p
) , ) , ) 1 1 1 1 1 11
Solución:
a) Obviamente se supone que la matriz A es inversible, partiremos de la definición
de inversa:
AA I 1 6.1
24
calculando la inversa de ambos lados de 6.1
AA I 1 1 1
aplicando del lado izquierdo de está ecuación la inversa de un producto de
matrices se tiene
A A I 1 1 1
multiplicando por la derecha ambos lados por A, se tiene
A A A IA 1 1 1
entonces: A A
1 1
. Como se quería demostrar.
b) Para esta demostración partamos nuevamente del hecho: kA kA I
1,
entonces se tiene: 1
k A k A I , como k es un escalar entones lo pasamos del
otro lado
A kAk
I
1 1
ahora multiplicando ambos lados por la izquierda por la matriz A1 se tiene
A A kAk
A I 1 1 11
llegándose al resultado, es decir kAk
A
1 11
. Es decir la operación de
inversión actúa sobre escalares como si fuera un exponente real.
c) Se deja como ejercicio para el lector.
25
3.- Sean A de tamaño n x m, B de m x p y C de tamaño p x q, demostrar que:
A(BC)=(AB)C, es decir que el producto es asociativo.
Demostración.
Para demostrar que el producto de matrices es asociativo, debemos probar
primero que la matriz resultante del lado izquierdo es del mismo tamaño que la
matriz del lado derecho, lo cual es obvio. La segunda parte es demostrar que el
elemento ij del lado izquierdo es igual al elemento ij del lado derecho .Lo cual
procederemos a demostrar.
Sea D=BC, entonces por definición del producto tenemos
1
p
i j ik k j
k
d b c
7.1
Entonces A(BC)=AD=F, es decir
1 1 1
pm m
i j il l j il l k k j
l l k
f a d a b c
Es decir
1 1
pm
i j il l k k j
l k
f a b c
8.1
La expresión 8.1 es el elemento ij del producto A(BC).calculemos ahora el
correspondiente elemento del producto (AB)C.
Sea AB=E, entonces e a bij ik kjk
m
1
, definiendo ahora el producto EC=G se tiene:
26
1 1 1
p p m
i j il l j ik k l l j
l l k
g e c a b c
9.1
Comparando 8.1 y 9.1 notamos que estos son iguales. Por lo tanto queda
demostrada la propiedad asociativa para el producto de matrices.
27
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño, qué condiciones deben
cumplir las matrices A y B para que se cumpla:
A B A AB B 2 2 22
2.- Suponga que A es una matriz cuadrada (inversible) que satisface
A A I O2 3 . Demuestre que A I A 1 3 .
3.- Demuestre: A At t 1 1
4.- Demuestre que si A y B son matrices simétricas del mismo tamaño, AB es
simétrica si y solo si A y B conmutan.
5.- Si A es una matriz idempotente, demostrar que también lo es la matriz B=I-A, y
que AB=BA=O.
6.- Sea A
1 0
2 3, calcule a A b A c A A I) , ) , )3 3 2 2
7.- Demuestre que el determinante del sistema es cero si y solo si las rectas son
paralelas.
8.- Suponga que A y B son matrices de tamaño 4 x 5 y que C, D y E son matrices
de tamaños 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. Determine cuales de las
siguientes expresiones matriciales están definidas, para las que estén definidas dé
el tamaño de la matriz resultante.
a) BA b) AC + D c) AE + B d) AB + B e) E (A + B)
28
9.- Resuelva la siguiente ecuación matricial para a, b, c y d
a b b c
d c a d
3 2 4
8 1
7 6
10.- Considere las siguientes matrices
A
3 0
1 2
1 1
B
4 1
0 2 C
1 4 2
3 1 5 D
1 5 2
1 0 1
3 2 4
E
6 1 3
1 1 2
3 2 4
Calcule
a) AB b) D+E c) D-E d) DE
11.- Se dice que una matriz cuadrada es una matriz diagonal, si todos los
elementos que no están en la diagonal principal son ceros. Demuestre que el
producto de matrices diagonales también es una matriz diagonal. Enuncie una
regla para multiplicar matrices diagonales.
12.- Sea A una matriz inversible cuya inversa es
3 4
5 6
Encuentre la matriz A
13.- Encuentre la inversa de la siguiente matriz
cos sen
sen cos
29
14.- Suponga que A y B son matrices de tamaño 4x5 y que C, D y E son matrices
de 5x2, 4x2 y 5x4 respectivamente. Determine cuales de las siguientes
expresiones matriciales están definidas. Para las que estén definidas, dé el
tamaño de la matriz resultante.
a) BA b) AC+D c) AE+B d) AB+B e) E(AC)
15.- Se dice que una matriz cuadrada es una matriz diagonal, si todos los
elementos que no están en la diagonal principal son ceros. Demuestre que el
producto de matrices diagonales también es una matriz diagonal. Enuncie una
regla para multiplicar matrices diagonales.
16.- Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño, ¿Es AB A B2 2 2 una
identidad matricial válida? Justifique su respuesta.
17.- Sean
A
2 4 7
1 3 0 B
5 1 3
10 9 4 C
2 3 5
0 8 1
Determine:
a) A+B b) A+C c) A-B d) 3A+2B e) 4ª-3B+2C
18.- Sean
A
1 4 2
3 8 5
2 0 1
B
4 6 1
2 1 4
6 3 0
C
0 0 1
4 3 2
1 6 2
Hallar:
30
a) A+C b) C+B c) 2A+3B d) 5A-2C e) A-B-2C
19.- Encuentre las componentes de la matriz A aij si A es de tamaño 2 x 4 y
a i jij
20.- Obtenga las componentes de la matriz A aij , si A es de tamaño 2 x 3,
a iij
i j
1
21.- Efectúe los siguientes productos de matrices:
a)
4 1 2
0 5 8
6 3 2
0 4 6
7 1 2
5 12 4
b) 11 5 7
6 0 1
1 6 8
4 9 12
16 5 0
c)
3 11
13 5
0 2
20 5 0 1
2 4 8 3 d)
13 8
4 1
6 4 2 31
1 9 1 18
22.- En los siguientes ejercicios exprese cada ecuación matricial como un sistema
de ecuaciones lineales:
a) 4 2 8
3 7 12
0
3
x
y
z
b)
5 1 0
0 3 6
12 4 18
5
7
2
1
2
3
x
x
x
c) 11 21
13 15
4
8
1
2
x
x d)
1 8 7 2
0 3 6 1
0 3 9 18
3
2
1
x
y
z
w
31
23.- Sea A una matriz n x n, use la ley distributiva para probar que:
a) A I A I A I2
b) A I A I A A I3 2
c) Obtenga una fórmula sencilla para A Ik , donde k es un entero no negativo y
demuestre el resultado.
24.- Sean A y B matrices n x n. El producto de Jordan A*B, está dado por
A B AB BA* 1
2. Determine si el producto es:
a) conmutativo b) asociativo c) distributivo.
25.- Una matriz de probabilidad es una matriz cuadrada que tiene dos
propiedades: i) cada una de sus componentes es no negativa (mayor o igual a
cero) y ii) la suma de los elementos de cada renglón es exactamente igual a uno.
Las siguientes son matrices de probabilidad
P
13
13
13
14
12
14
0 0 1
y Q
16
16
23
0 1 0
15
15
35
Muestre que PQ es una matriz de probabilidad.
32
1.2 Determinantes
Para poder definir a los determinantes es necesario hablar primero de las
permutaciones de un conjunto de números, por ejemplo, consideremos el conjunto
3,2,1 , entonces existen 3! = 6 permutaciones de estos, a saber: 123, 132, 231,
213, 312, 321.
Ahora en una permutación dada se dice que existe una inversión cuando un
entero precede a otro entero menor que el. Si no hay inversión en el orden natural
de estos números entonces se dice que la permutación es par. Si el número de
inversiones es par, entonces la permutación se llama par, si el número de
inversiones es impar, entonces la permutación es impar.
Por ejemplo : 123
132
par
impar
Definimos la siguiente función: j j j jn1 2 3.... donde j j j jn1 2 3... es alguna de las n !
permutaciones del conjunto 123….n.
Entonces j j j jn
si la permutacion es par
si la permutacion es impar1 2 3
1
1....
Determinante de una matriz cuadrada. El determinante de una matriz cuadrada
de orden n es una función tal que a una matriz cuadrada le asigna un número real,
es decir: f A Rnxn: cuya regla de correspondencia describiremos ahora.
Sea A una matriz cuadrada de orden n A
a a
a a
n
n nn
11 1
1
33
y un producto de n de sus elementos elegidos de manera que sólo exista un
elemento de cada renglón y uno de cada columna
njnjjj aaaa ....332211 10.1
En 10.1 hemos tomado por comodidad que los primeros subíndices sigan su
orden natural 1,2,3,…n, y la sucesión que forman los segundos subíndices
j j j jn1 2 3, , , ... es una de las n! permutaciones de los enteros 1 2 3, , , ...n por lo
tanto el producto 10.1 con su signo es
j j j jn j j j njna a a a1 2 3 1 1 2 2 3 3... .... 11.1
Ahora el determinante de A se define como la suma de todos los productos con su
signo que se pueden formar con los elementos de A, de manera tal que sólo
aparezca un elemento de cada renglón y de cada columna, es decir
det ....( )
...A A a a a aj j j jn j j j njn
1 2 3 1 1 2 2 3 3 12.1
La suma se extiende sobre todas las n! permutaciones j j j jn1 2 3, , , ... de los
enteros 1,2,3,…n.
Ejemplo: Aa a
a a
11 12
21 22
, se tienen 2! términos 12 21, entonces la ec. 12.1 se
escribe como:
det A a a a a a a a a 12 11 22 21 12 21 11 22 12 21
Ahora daremos algunas formas de calcular el determinante de una matriz desde
un punto de vista más práctico, estos son por ejemplo la regla de Zarrus la cual
34
sólo es aplicable para matrices de tamaño 2 x 2 y 3 x 3. Otro es el desarrollo del
Laplace, el cual analizaremos ahora.
Desarrollo de Laplace (o por cofactores)
Dada una matriz A de tamaño n x n, estamos interesados en las submatrices A(i,j)
que se obtienen de la matriz original suprimiendo el renglón i y la columna j,
ocupadas por el elemento aij . Se llama el “menor” del elemento aij a el
determinante de la submatriz A(i,j) es decir det ( , )A i j .
El cofactor asociado al elemento aij (que denotaremos por cij ) se define como:
1 det ,i j
i jc A i j
13.1
Es decir el cofactor asociado al elemento ij es el producto de su menor
multiplicado por un signo
1i j
.
Entonces el valor de un determinante por el desarrollo de Laplace, con respecto al
renglón i está dado por:
1 1 2 2
1
det ...n
i i i i in in ik ik
k
A a c a c a c a c
14.1
Este desarrollo se puede realizar con respecto a cualquier renglón o columna del
determinante, generalmente se recomienda hacerlo con respecto al renglón o la
columna que contenga la mayor cantidad de ceros.
Ahora daremos un conjunto de propiedades que tienen los determinantes y que
indiscutiblemente facilitarán el cálculo de estos.
35
PROPIEDADES:
1.- Si todos los elementos de un renglón o columna son iguales a cero, entonces
det A = 0.
2.- Si A es una matriz y A t su transpuesta, entonces det detA A t , es decir que
para todo teorema relativo a renglones existe uno similar para columnas.
3.- Si todos los elementos de un renglón (o columna) de una matriz están
multiplicados por un escalar k, entonces el determinante de esta matriz será igual
al producto del escalar por el determinante de A, es decir:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
k
aaa
aaa
kakaka
21
22221
11211
21
22221
11211
4.- Si B se obtiene de A permutando dos renglones o columnas cualesquiera
entonces
det B = - det A
5.- Si B se obtiene de A trasladando uno de sus renglones p lugares entonces:
det detB Ap
1
6.- Si A tiene dos renglones iguales (o proporcionales) entonces el determinante
es igual a cero.
7.- Si B se obtiene de A sumando a los elementos de un renglón (columna) los
correspondientes de otro renglón multiplicados por un escalar entonces det B =
det A. Es decir el valor de un determinante no cambia si se aplican las siguientes
operaciones elementales por renglón o columna
36
R R kR
C C kC
i i j
i i j
8.- El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los
determinantes:
det( AB )=det A det B.
9.- El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto
de los elementos de la diagonal principal
a
a a
a a a
a a a a
a a a a
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
11 22 33 44
0 0 0
0 0
0
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA
Anteriormente se dijo que una matriz es inversible si sólo si el determinante de
está es distinto de cero, también se mencionó que cuando existía entonces era
única pero no se dio ningún método para calcularla. Ahora estamos en posibilidad
de dar un método bastante general para calcular la inversa de una matriz
cuadrada de cualquier orden. Para esto daremos un par de definiciones
previamente.
Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden n. La matriz cofactor de A (cof A)
es una matriz de orden n cuyas componentes son los cofactores cij asociado al
elemento i ja , es decir
37
cof A
c c c
c c c
c c c
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
Definición. La matriz adjunta (adj A) de una matriz cuadrada A es la transpuesta
de la matriz cofactor de A esto es
adjA cof At
Teorema: Una matriz cuadrada de orden n x n tiene inversa si y sólo si su
determinante es distinto de cero y además su inversa esta dada por:
Aadj A
A
1
det
EJERCICIOS
1.- Sea A
1 3
5 7, calcular det( 2 A )
2.- Demostrar que si A es una matriz cuadrada de n x n,
entonces: det( ) det A An
3.- Sea A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. Determinar para esta matriz
a) los menores asociados a los elementos 5, 6, 7
b) los cofactores asociados a los elementos 5, 6, 7.
38
4.- Calcular el valor de los siguientes determinantes
a)
1 3 1
2 1 1
1 0 1
b)
1 1 1 1
2 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
c)
1 2 3 1 2
0 1 2 4 1
1 0 1 3 2
2 0 1 0 1
1 1 1 2 2
5.- Si A es una matriz n x n con n impar tal que a aij ji probar que detA = 0.
6.- Usando el desarrollo de Laplace, calcule el valor de los siguientes
determinantes:
a) 2 3
4 7
b)
3 4
0 6 c)
5 2
8 1
d)
1 1
4 8
e)
3 8 0
2 1 5
1 3 0
f)
1 1 1
3 4 2
0 5 0
g)
4 1 1
2 6 9
2 7 10
h)
2 1 3
1 2 5
0 1 3
7.- Obtenga el valor de los siguientes determinantes usando las propiedades
mencionadas anteriormente:
a)
1 0 0
0 2 0
0 0 4
b)
5 0 0
0 0 0
0 0 12
c)
1 4 8
0 12 3
0 0 6
d)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x
y
8.- En los siguientes ejercicios encuentre la matriz adjunta de las matrices dadas:
a) 1 3
1 6
b)
0 2
4 8
c)
4 6
2 7
d)
1 5
0 3
39
e)
1 3 7
4 9 2
0 5 0
f)
0 1 0
11 1 1
8 4 2
g)
1 3 1
4 0 1
0 1 1
9.- En los siguientes ejercicios calcule el determinante suponiendo que:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
8
a)
a a a
a a a
a a a
31 32 33
21 22 23
11 12 13
b)
a a a
a a a
a a a
31 32 33
11 12 13
21 22 23
c)
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2 2
d)
3 3 3
2 2 2
5 5 5
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
e)
2 3 2 3 2 311 21 12 22 13 23
31 32 33
21 22 23
a a a a a a
a a a
a a a
10.- Demostrar que si es un número real y A es una matriz de tamaño n x n ,
entonces: det det A An .
11.- Demuestre que:
1
1
1
1
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
n
n
n
n
n
40
12.- Una matriz es antisimétrica si A At . Si A es una matriz antisimétrica de n x
n, demuestre que: det detA An
1 .
13.- Empleando el resultado anterior, demuestre que si A es una matriz
antisimétrica de tamaño n x n y n es impar, entonces det A = 0.
14.- Una matriz A es ortogonal si A es inversible y si A A t 1 . Demuestre que si A
es ortogonal, entonces det A = 1.
15.- Calcule el siguiente determinante:
n n n
n n n
n n n
2 4
1 3 5
6 8 10
16.- Aplique la reducción en los renglones y/o columnas para demostrar que:
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
b a c a c b
A este determinante se le conoce como el determinante de Vandermonde.
17.- Suponga que: det A =5, donde A es de tamaño 3 x 3, encuentre:
a) det 3A b) det 2 1A c) 1
2det
A
18.- Aplique la regla de Cramer para despejar a x’ y y´ en términos de x y y
41
x x y
y x y
' cos ' sen
' sen ' cos
42
1.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Ahora aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero primero
definiremos algunos conceptos.
Ecuación Lineal. Una ecuación lineal de n variables tiene la siguiente forma:
a x a x a x a x bn n11 1 12 2 13 3 1 1
En donde consideraremos que los coeficientes i ja son números reales.
Resolver una ecuación lineal, significa encontrar el o los valores de las variables
x i de tal forma que al sustituirlos en la ecuación se obtiene una identidad.
Sistema de lineal de ecuaciones. Un sistema lineal de m ecuaciones y n
incógnitas tiene la forma:
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n n
n n
m m m mn n m
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
15.1
Resolver el sistema 15.1 , significa encontrar el o los valores de las incógnitas tal
que al sustituir en cada una de las ecuaciones se obtiene una identidad. Como se
menciono en el capítulo 1, un sistema de ecuaciones tiene las siguientes
alternativas de solución: única, infinidad y ninguna, es decir.
43
El problema que queremos resolver ahora es ¿como saber que tipo de solución
tiene un sistema de ecuaciones, desde el punto de vista algebraico?
La respuesta la buscaremos en la filosofía que seguimos en los métodos
tradicionales para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas vistos
desde la secundaria, por ejemplo en el método de suma o resta la idea es
multiplicar por escalares adecuados las ecuaciones de forma tal que al sumarlas
se elimine una de las incógnitas, para dejarnos un subsistema que tenga una
ecuación con una sola incógnita y después sustituir este valor en cualquiera de las
ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita. El método de
sustitución tiene el mismo objetivo, es decir reducir el sistema original a uno que
tenga menos ecuaciones y menos incógnitas. El de igualación sigue el mismo fin.
Por lo tanto nosotros asumiremos este mismo concepto, es decir dado el sistema
original de ecuaciones trataremos de cambiarlo por un subsistema que tenga
menos ecuaciones y menos incógnitas y continuar con el proceso hasta obtener
uno que contenga una ecuación y una sola incógnita. La forma en que llevaremos
tal proceso se basará fundamentalmente en el método de suma o resta, es decir
aplicar una serie de operaciones tales que al aplicarlas en el sistema no alteren la
solución de este, a estas operaciones les llamaremos operaciones elementales
por renglón. Antes de sistematizar tal método definiremos algunos conceptos que
emplearemos de aquí.
Sistema de ecuaciones lineales
Solución única
Infinidad soluciones
No tiene solución
Consistente
Inconsistente
44
Matriz de coeficientes del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, se llama
matriz de coeficientes del sistema a la matriz que se construye exclusivamente
con los coeficientes de las variables ubicadas estas por columnas, por ejemplo:
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
La matriz de coeficientes es:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Matriz aumentada asociada al sistema.
a a a b
a a a b
a a a b
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 1
Matriz escalonada reducida. Se dice que una matriz se encuentra en su forma
escalonada reducida si se cumplen las siguientes condiciones:
1) Si un renglón consta exclusivamente ceros este aparece en la parte inferior de
la matriz.
2) La primer cantidad distinta de cero en cada renglón es uno.
3) El primer uno del renglón inferior se encuentra más hacia la derecha del primer
uno del renglón superior.
45
4) En la columna donde se encuentra el primer uno de ese renglón tiene ceros en
las demás posiciones.
Nota. Si una matriz cumple con las tres primeras condiciones se dice que se
encuentra en su forma escalonada y cuando cumple con las cuatro se dice
entonces que se encuentra en su forma escalonada reducida.
Las siguientes matrices se encuentran en su forma escalonada
1 1 1 2
0 0 1 3
0 0 0 1
1 2 5 7
0 1 4 1
0 0 0 1
1 2 3
0 1 6
0 0 1
El algoritmo que seguiremos para resolver un sistema de ecuaciones tomando el
comentario anterior es el siguiente:
Sistema de ecuaciones
Matriz aumentada
Matriz forma escalonada
Matriz forma escalonada reducida
Método de Gauss
Método de Gauss-Jordan
Operaciones elementales por renglón:
1.- R pR kRi i j
2.- R Ri j
46
Es decir dado un sistema de ecuaciones como siguiente paso escribimos la matriz
aumentada asociada al sistema y esta se lleva a la forma escalonada o
escalonada reducida a través de las operaciones elementales por renglón (las
cuales no cambian la solución del sistema). Cuando la matriz se lleva a su forma
escalonada se dice que se empleo el método de Gauss o eliminación Gaussiana,
y cuando la matriz se lleva a su forma escalonada reducida entonces se empleo el
método de Gauss-Jordan.
Una vez que la matriz se encuentra en su forma escalonada o escalonada
reducida, entonces se podrá ver el tipo de solución que tiene el sistema, para ello
daremos algunos ejemplos y analizaremos la estructura de la matriz.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
8
6 5 3 5
7 6 4 63
La matriz aumentada asociada al sistema:
1 1 1 8
6 5 3 5
7 6 4 63
1 1 1 8
0 1 3 43
0 1 3 7
1 1 1 8
0 1 3 43
0 0 0 50
Del último renglón podemos observar una inconsistencia es decir 0= 50. Por lo
tanto cuando en la matriz en su forma escalonada se presente una situación
similar es decir del lado izquierdo de la línea vertical ceros y del lado derecho
R R R
R R R
2 2 1
3 3 1
6
7
R R R3 3 2
47
cualquier cantidad distinta de cero, esto nos indicará que el sistema no tiene
solución.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x x x
x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 3 11
7 29 28 21
8 42 20 134
Aplicando el método de Gauss, se tiene:
1 5 3 11
7 29 28 21
8 42 20 134
R R R
R R R
2 2 1
3 3 1
7
8
1 5 3 11
0 6 7 98
0 2 4 46
RR
3
3
2
1 5 3 11
0 6 7 98
0 1 2 23
R R R3 2 36
1 5 3 11
0 6 7 98
0 0 19 236
De la última matriz observamos que el número de ecuaciones es igual al número
de incógnitas, entonces cuando una matriz en su forma escalonada el número de
incógnitas (columnas) sea igual al número de ecuaciones (renglones) entonces el
sistema tendrá solución única. Para obtener esta habrá que despejar de la última
ecuación a x3 y sustituir este valor en la ecuación anterior y de allí despejar a x2 ,
estos dos valores se sustituyen en la ecuación anterior y se despeja por último a
x1 . Es decir:
19 236236
193 3x x
De la segunda ecuación
48
6 7 98 6 7
236
1998
98 7236
19
62 3 2 2x x x x
De la primer ecuación
6
19
236798
519
236311
53111135
1
231321
x
xxxxxx
Ahora resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones
3 2 4
6 4 2 8
15 10 5 20
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
Aplicando el método de Gauss, tenemos:
3 2 1 4
6 4 2 8
15 10 5 20
2
5
3 2 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2 1
3 3 1
R R R
R R R
La matriz se encuentra en su forma escalonada, aquí podemos ver una
característica importante, a saber, el número de incógnitas es mayor que el
número de ecuaciones, por lo tanto el sistema es incapaz de dar valor a todas las
variables y se tiene entonces que el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de
soluciones. Para obtener la solución general procederemos de la siguiente
manera: Primero identificaremos dos tipos de variables, a la primer cantidad
distinta de cero en cada renglón se le llama variable principal y el resto de estas
49
se les llama variables libres, el número de variables libres que tiene un sistema
de ecuaciones con infinidad de soluciones es;
N° variables libres = N° incógnitas -N° ecuaciones
Para este sistema la variable principal es x1 y las variables libres son x2, x3. La
solución general consiste en expresar la(s) variable(s) principales en términos de
la(s) variable(s) libres.
3 2 4
2 4
3
1 2 3
1
2 3
x x x
xx x
Por lo tanto la solución general es:
xx x
x libre
x libre
1
2 3
2
3
2 4
3
Otra forma de escribir la solución general es:
S
x
x
x
xx x
x x
x
x
1
2
3
1
2 3
2 3
2
3
2 4
3
2 4
3
50
Sistema Homogéneo de ecuaciones Lineales.
Este sistema esta definido de la siguiente manera
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
n n
n n
m m m mn n
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
1 1 2 2 3 3
0
0
0
La manera de resolver este tipo de sistemas es análoga a la estudiada
anteriormente, salvo que estos tienen una peculiaridad distintiva y es que siempre
tienen solución, es decir un sistema homogéneo siempre es consistente, por lo
tanto solo hay que distinguir si estos tienen solución única o infinidad de
soluciones. Podemos observar que:
x x x xn1 2 3 0
Es una solución del sistema, a esta se le llama la solución nula o trivial ( cero ), por
lo tanto lo único que tenemos que distinguir es si un sistema tiene solución única
en cuyo caso será la trivial o infinidad de soluciones en tal caso tendrá como
solución a la trivial más soluciones distintas a la trivial.
Sistema Homogéneo
Única
Infinidad de Soluciones
Trivial
Trivial + distintas a la trivial
51
Regla de Cramer.
Ahora analizaremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales,
usando fundamentalmente determinantes y aunque el proceso es simple veremos
que es muy restrictivo. A este método se le llama la Regla de Cramer.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
16.1
Definimos el determinante del sistema como sigue
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
El valor de x1 esta dado de la siguiente manera
x
b a a
b a a
b a a1
1 12 13
2 22 23
3 32 33
Es decir el valor de x1 es el cociente de dos determinantes, el determinante del
numerador se obtiene del determinante del sistema sustituyendo la columna de los
coeficientes de la variable a calcular por la de términos independientes y el
determinante del denominador es el determinante del sistema. Para calcular el
valor de las otras variables el proceso es similar, es decir para x2 el determinante
del numerador se obtiene del determinante del sistema sustituyendo la columna de
52
los coeficientes de esta variable por la de términos independientes y el
determinante del denominador es el determinante del sistema.
x
a b a
a b a
a b a2
111 1 13
21 2 23
31 3 33
x
a a b
a a b
a a b3
111 12 1
21 22 2
31 32 3
Podemos observar ahora las limitaciones de la regla de Cramer; está es aplicable
sólo a sistemas cuadrados es decir cuando el número de incógnitas es igual al
número de ecuaciones. Es más con solución única, que es el caso en que el
determinante es diferente de cero. Cuando el determinante es cero, la regla de
Cramer no proporciona información. Está regla no distingue si el sistema tiene
infinidad de soluciones o no tiene ninguna solución. Pero a nosotros nos interesa
saber con precisión el tipo de solución que tiene.
Método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa.
Ahora estudiaremos un método para calcular la inversa de una matriz, usando en
el método de Gauss-Jordan.
Sea A
1 2
3 4, ahora busquemos una matriz
x y
z w
tal que
1 2
3 4
1 0
0 1
x y
z w
calculando el producto de matrices tenemos
53
x z y w
x z y w
2 2
3 4 3 4
1 0
0 1 Al igualar estas matrices tenemos
x z
x z
y w
y w
2 1
3 4 0
2 0
3 4 1
Ahora, antes de resolver este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas,
observamos un situación muy especial que es la que este sistema esta
desacoplado es decir lo podemos separar en dos sistemas, y resolverlos
independientemente
x z
x z
2 1
3 4 0 17.1
y w
y w
2 0
3 4 1 18.1
Empleando el método de Gauss-Jordan para resolver ambos sistemas, se tiene.
Para el sistema 17.1 , tenemos
1 2 1
3 4 0
R R R2 2 13
1 2 1
0 2 3
Para el sistema 18.1 , tenemos
1 2 0
3 4 1
R R R2 2 13
1 2 1
0 2 3
De las matrices anteriores para ambos sistemas observamos que ambos tienen
exactamente la misma matriz de coeficientes y además esta es igual a la matriz a
la que queremos calcular la inversa. De este comentario por lo tanto para llevar
54
estas matrices a la forma escalonada reducida el proceso será el mismo, entonces
ambos sistemas los podemos escribir de la siguiente manera
1 2 1 0
3 4 0 1
Donde la primer columna del lado derecho de la línea vertical representa al
sistema 17.1 y la segunda columna al sistema 18.1
Resolviendo este nuevo “supersistema” tenemos;
1 2 1 0
3 4 0 13
1 2 1 0
0 2 3 1
1 0 2 1
0 2 3 12 2 1 1 1 2
R R R R R R
RR
2
2
2
1 0 2 1
0 13
2
1
2
Por lo tanto, la matriz dada tiene inversa y está es la matriz qué aparece a la
derecha de la línea vertical.
Resumiendo: para calcular la inversa de una matriz formemos una matriz tal que la
matriz del lado izquierdo de la línea vertical es la matriz a la que se le calculará la
inversa y del lado derecho de esa línea vertical se colocará la matriz identidad, y si
es posible que la matriz del lado izquierdo se lleve a la matriz identidad a través de
las operaciones elementales por renglón entonces la matriz que aparece del lado
derecho es la matriz inversa, y si no es posible obtener la matriz identidad del lado
izquierdo, entonces esto indica que la matriz dada no tiene inversa.
55
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Determine si las siguientes matrices están en su forma escalonada, escalonada
reducida o ninguna de ellas.
a)
1 4 3
0 0 1
0 1 3
b)
1 2 5 7
0 1 4 1
0 0 0 1
d)
1 0 0 0 2 2
0 1 0 0 3 3
0 0 1 0 5 5
0 0 0 1 4 6
c)
12 1 0 4
0 1 0 0
0 0 0 1
2.- Resolver los siguientes sistemas lineales de ecuaciones por eliminación
gaussiana o por el método de Gauss-Jordan.
a)
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
2 1
3 5 30
5 28
b)
6 5 3 5
8
7 6 4 63
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
Operaciones elementales por renglón
56
c)
7 29 28 21
8 42 20 134
5 3 11
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
d)
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 4 33
6 46 4 86
9 74 16 7
e)
2 6 2 10
2 5 6 8
14 2 30 62
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
f)
4 12 8 4
10 14
6 18 12 6
1 2 3
1 3
1 2 3
x x x
x x
x x x
g)
6 18 24
2 3 6
2 3 9 8
2 3
1 2 3
1 2 3
x x
x x x
x x x
h)
3 9 6 15
6 11 5 86
3 5 8 127
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
i)
8 3 5 1
24 9 15 3
40 15 25 5
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
j)
3 2 4
6 4 2 8
15 10 5 20
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
k)
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5 1
2 10 40 4
4 7 41 31
l)
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 10
2 2 14 44
8 4 8 3
5 17 5 13 44
m)
3 3 12 3 6
3 2 12 8 4
4 2 10
9 4 36 14 58
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
n)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 1
4 10 6 28 2
3 3 20 4 8
7 3 3
3.- Encuentre los valores de a tales que el sistema de ecuaciones
57
x x x
x x x
x x a x a
1 2 3
1 2 3
1 2
2
3
3 1
2 1
5 8 2
Tenga:
a.- infinidad de soluciones
b.- ninguna solución
c.- exactamente una solución
4.- Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales
3 2 4
4
7 12 22
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x a
x x x b
x x x c
Tiene una infinidad de soluciones si c = 5a +2b
5.- Determine para que valores de a el sistema
3 0
2 5 0
x ay
a x y
Tiene:
a.- solución única
b.- infinidad de soluciones
6.- Demuestre que el sistema homogéneo de ecuaciones lineales
ax by
cx d y
0
0
Tiene un número infinito de soluciones si y sólo si ad – bc = 0
58
7.- ¿Es consistente todo sistema homogéneo de ecuaciones?. Explique.
8.- Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales
x x x a
x x x b
x x x a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2
2 4 6 2 2
Es inconsistente sin importar los valores de a o b.
9.- ¿Para que valores de a el siguiente sistema no tiene solución, tiene
exactamente una solución, tiene infinidad de soluciones?
x y z
x y z
x y a z a
2 3 4
3 5 2
4 14 22
59
CAPITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
2.1 Vectores en dos y tres dimensiones
En física se manejan dos tipos de cantidades, a saber: las cantidades físicas
escalares y las vectoriales. Las primeras se definen como aquellas que para estar
perfectamente especificadas necesitan de un solo número, ejemplos; masa,
distancia, área, la temperatura, etc, Las segundas son aquellas que necesitan tres
parámetros para estar completamente especificadas es decir; magnitud, dirección
y sentido, ejemplos: la fuerza, el peso, la aceleración, el desplazamiento, etc.
Bajo este contexto si nos dan la magnitud, la dirección y el sentido, el vector está
completamente definido, cuando se dan estos parámetros se dice que el vector
está expresado en coordenadas polares.
Sin embargo está forma de dar un vector no es la más adecuada, sobre todo
cuando tratamos con vectores fuera del plano. Un vector puede trabajarse más
fácilmente y sobre todo puede generalizarse si éste se da en términos de sus
coordenadas cartesianas, es decir: v x x 1 2, la pareja ordenada nos representa
un punto del plano, pero si tomamos la convención que este representa el punto
final del vector, cuyo punto inicial está en el origen, su dirección es el ángulo que
forma este segmento con la parte positiva del eje de las “x” y en sentido contrario
a las manecillas del reloj, el sentido va del origen hacia el punto final del vector.
Eje Polar Polo
v
60
Entonces con esta convención cualquier punto del plano nos representa un vector.
21, XXV
Las ecuaciones de transformación para pasar un vector de coordenadas
cartesianas a polares y viceversa, son las siguientes:
Sea v x x 1 2, , la magnitud o norma del vector, esta dado por el teorema de
Pitágoras
v x x 1
2
2
2
tan
x
x
1 2
1
Que se conocen como las ecuaciones de transformación de coordenadas
cartesianas a polares.
Si se conocen la norma y la dirección del vector, entonces sus coordenadas
cartesianas son:
x v y v
cos sen
Ahora para vectores de tres componentes; la magnitud del vector v x y z 0 0 0, ,
se obtiene generalizando el teorema de Pitágoras a tres dimensiones
v x y z 0
2
0
2
0
2
x1
x2
61
pero la dirección de este vector esta especificada por los ángulos que forma éste
con los ejes coordenados (con la parte positiva), y que se denotan por , , . La
forma de calcularlos es a través de los cosenos directores
cos cos cos x
v
y
v
z
v
0 0 0
y la relación que guardan entre si es:
cos cos cos2 2 2 1
Vector unitario. Se define a un vector unitario como aquel cuya norma es uno, es
decir v 1.
Si queremos construir un vector unitario con la misma dirección del u , entonces
basta dividir a éste por su norma
uu
u
Se tienen algunos vectores unitarios importantes, por ejemplo
, ,i j 1 0 0 1
Con el empleo de estos, podemos representar a cualquier vector u u u 1 2, de la
siguiente forma
u u u u i u j 1 2 1 2,
Para R3 los vectores unitarios cartesianos son: , , , , , , , ,i j k 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y
de manera similar un vector en este espacio se puede representar como:
62
u u u u u i u j u k 1 2 3 1 2 3, ,
en términos generales para un espacio vectorial cartesiano de n componentes se
tienen los siguientes vectores unitarios:
, , ,
, , .
, , ,
e
e
en
1
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Las operaciones que trataremos con vectores son; suma y producto por un
escalar, cuyas definiciones están dadas por:
nn
nnnn
kukukuuuuk
vuvuvuvvvuuu
,,,,,,
,,,,,,,,,
2121
22112121
Si los vectores son de dos componentes entonces la suma y la resta puede
desarrollarse geométricamente, a través del método conocido como del
paralelogramo o del triángulo
u
v
u v
63
Trasladamos paralelamente un vector hasta que su origen coincida con el extremo
final del otro y cerramos el triángulo, la magnitud del vector suma es la longitud de
este segmento y la dirección es el ángulo que forma este con la parte positiva del
eje de las “x” medido en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Otra operación importante entre vectores es el producto interno, definido de la
siguiente manera:
Sean
u u u u v v v vn n 1 2 1 2, , , , , , , , entonces:
u v u v u v u v u vn n i i
i
n
1 1 2 21
Este producto no esta restringido a que los vectores tengan que ser diferentes, es
decir se puede efectuar este producto de un vector consigo mismo
u u u u un 1
2
2
2 2
pero el lado derecho de está expresión es la norma del vector al cuadrado, es
decir
2u u u
u u u
relación muy importante, porque el producto interno induce una norma (distancia)
en un espacio vectorial, sin la cual no podríamos efectuar mediciones y es
precisamente el concepto de distancia la que nos permite obtener una gran
riqueza de resultados de un espacio vectorial.
De la última expresión se obtiene:
64
u u y u u si y solo si u 0 0 0,
Además de cumplir con las siguientes propiedades:
1
2
)
)
u v v u
u v w u v u w
Ángulo entre vectores
Usando el producto interno y el concepto de norma calcularemos el ángulo entre
dos vectores.
Teorema. Sean u y v dos vectores distintos de cero. Si es el ángulo entre ellos,
entonces
cosu v
u v
Demostración
u
v
v u
65
Empleando la ley de los cosenos:
v u v u v u
2 2 22 cos 1.2
Pero
v u v u v u
2
v v u v u u2
v u v u
2 22 2.2
Igualando las ecuaciones 1.2 y 2.2 , se concluye
cosu v
u v
Usando el teorema anterior, dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es
de 0 o radianes, y por otro lado dos vectores distintos de cero son ortogonales
si y sólo si u v 0 .
Otro producto importante entre vectores es el producto vectorial o cruz (producto
externo).
Sean
u u u u v v v vn n 1 2 1 2, , , , , , , entonces dicho producto se define
como:
u x v
i j k
u u u
v v v
1 2 3
1 2 3
66
Empleando las propiedades de los determinantes, observamos directamente que
éste producto es anticomnutativo es decir;
u x v v x u
Es necesario comentar que la geometría puede desarrollarse desde un punto de
vista vectorial (además de tener innumerables aplicaciones en otras disciplinas).
Por ejemplo, queremos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P x y y Q x y1 1 2 2, , en forma vectorial.
De la figura anterior se observa que el vector PQ
esta contenido en la recta
PQ OQ OP 3.2
Sean R x y, un punto genérico de la recta, entonces el vector PR
está contenido
en está, por lo tanto, el vector PR
es un múltiplo del vector PQ
, esto es
PR t PQ 4.2
P x y1 1,
R x y,
Q x y2 2,
O
67
pero también de la figura notamos que
PR OR OP 5.2
Sustituyendo la ecuación 5.2 en 4.2 se tiene
OR OP t PQ
Entonces
OR t PQ OP 6.2
Sustituyendo 6.2 en 3.2
OR t OQ OP OP
Entonces OR t OQ t OP 1 7.2
Qué es la ecuación de la recta en forma vectorial. Al variar t (parámetro)
recorremos todos los puntos de la recta.
68
EJERCICIOS PROPUESTOS:
En los siguientes problemas calcular el producto escalar de los vectores dados y el
ángulo que forman:
1.- u i j v i j , 2.-
u i j v i j 2 5 5 2 ,
3.- u i j v i j 3 4 2 7 , 4.-
u i j v i j 4 5 5 4 ,
5.- Muestre que si y son números reales cualesquiera, los vectores
u i j y
v i j , son ortogonales.
6.- Sean u i j 3 4 y
v i j . Determine tal que:
a) u y
v sean ortogonales. b)
u y
v tengan un ángulo de
4 rad
c) u y
v sean paralelos d)
u y
v tengan un ángulo de
3 rad.
7.- Muestre que el vector v a i b j es ortogonal a la recta ax+by+c=0.
8.- Muestre que el vector u bi a j es paralelo a la recta ax+by+c=0
9.- Los vértices de un triángulo son (1,3), (4,2) y (-3,6). Halle el valor de sus
ángulos interiores.
10.- Calcule la magnitud y los cosenos directores de los siguientes vectores:
a.- v i j k b.-
v i j k c.-
v i j k 2 5 7
d.- v i j k 3 3 8 e.-
v i j k 2 3 4
69
11.- Sean P=(2,1,4) y Q=(3,-2,8). Halle un vector unitario con la dirección PQ
.
12.- Sean P=(-3,1,7) y Q=(8,1,7). Halle un vector unitario cuya dirección sea
opuesta a la de PQ
.
13.- Demuestre que el triángulo con vértices P(4,1,5), Q(1,0,-3) y R(3,2,-4) es un
triángulo rectángulo.
2.2 Espacios Vectoriales
Definición. Un espacio vectorial (o lineal) consta de lo siguiente:
1.- un cuerpo de escalares
2.- un conjunto no vacío V de objetos llamados vectores
3.- un par de operaciones una llamada adición de vectores y la otra llamada
producto por un escalar de tal forma que se satisfacen los siguientes axiomas.
a) Sean a b V, , entonces
a b V . Propiedad de la cerradura
b) a b b a Propiedad conmutativa
c) a b c a b c . Propiedad asociativa
d) Existe un único vector 0V , llamado vector nulo tal que
a a a a V 0 0 ,
e) a V a V tal que:
a a 0 , existe el inverso aditivo
f) Sea c R , entonces a V ca V; Propiedad de la cerradura
g) 1 a a a V ,
h) c c R c c a c c a1 2 1 2 1 2, ,
. Propiedad asociativa
i) c a b ca cb Propiedad distributiva
j) c c a c a c a1 2 1 2
Propiedad distributiva
70
Entonces dado un conjunto de objetos cualesquiera no necesariamente los
vectores tradicionales (segmentos dirigidos), por ejemplo pudieran ser polinomios,
matrices, funciones, etc., con dos operaciones definidas (adición y producto por un
escalar) si estos cumplen con los axiomas mencionados, entonces a tal conjunto
se le llama espacio vectorial. También cabe aclarar que las operaciones no tienen
porque ser las usuales, estas pueden ser definidas de cualquier forma, cuando no
se diga lo contrario supondremos que se trata de las operaciones usuales para tal
caso.
Mencionaremos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
Sea el conjunto de vectores del plano con las operaciones usuales de suma y
producto por un escalar, es decir:
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
, , ,
, ,
x y x y x x y y
k x y kx ky
Es fácil demostrar que éste conjunto es un espacio vectorial. Esto puede
extenderse a vectores en Rn, bajo las operaciones usuales de suma y producto
por un escalar.
De manera similar para el conjunto de matrices de tamaño n x m, con las
operaciones usuales forman un espacio vectorial.
Sea V 0 con la suma y producto por un escalar usuales, es fácil demostrar que
este es un espacio vectorial, al cual se le llama el espacio vectorial trivial o nulo.
Sea V x y y mx donde m es fijo x R , , , , este conjunto consiste de todos los
puntos que están sobre la recta y mx , que pasa por el origen y tiene pendiente
m.
71
Demostraremos que V forma un espacio vectorial.
Propiedad de la cerradura: Sean x y x y V1 1 2 2, , , , entonces demostraremos que
la suma pertenece a V.
x y x y x mx x mx x x mx mx x x m x x1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , ,
Este último tiene la “forma” de los vectores que pertenecen a V, Por lo
tanto 1 2 1 2,x x m x x V , se cumple la propiedad de la cerradura bajo la suma.
Se demuestra trivialmente la propiedad conmutativa, asociativa y la existencia del
cero. Así mismo las propiedades restantes, lo cual se deja al lector completar la
demostración. Entonces se observa que el conjunto de puntos del plano que
quedan sobre la recta que pasa por el origen constituyen un espacio vectorial.
¿Si la recta no pasa por el origen, este conjunto de puntos forman un espacio
vectorial?
La respuesta es no. Porque el conjunto no contiene al vector nulo.
Por ejemplo demostrar que el siguiente conjunto no es un espacio vectorial
V x y y x x R , ,2 1
Sea V x y y , 0 el conjunto de puntos del plano del primero y segundo
cuadrante. Demostrar que V no es un espacio vectorial.
De los ejemplos anteriores observamos que R x y x y R2 , , es un espacio
vectorial, y así mismo los conjuntos: V o
, V x y y mx , ,es decir dentro
de los espacios vectoriales hay subconjuntos que a su vez son espacios
vectoriales, a dichos subconjuntos se les denomina subespacios vectoriales.
72
¿Como podemos verificar si un subconjunto de un espacio vectorial es un espacio
vectorial a su vez? La respuesta es muy simple, este debe satisfacer los axiomas
mencionados anteriormente. Afortunadamente no es necesario verificar cada uno
de estos axiomas, basta probar sólo los axiomas de la cerradura, es decir la
cerradura bajo la suma y bajo el producto por un escalar.
Teorema. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V, es un subespacio
de V si:
I.- Si x y H, , entonces
x y H . Es decir es cerrado bajo la suma.
II.- Si x H , entonces
x H R , . Es decir es cerrado bajo el producto por
un escalar.
Observación: Todo subespacio de V contiene al vector nulo.
Ahora analizaremos algunos ejemplos.
Sea V Mmn el espacio vectorial de todas las matrices de tamaño m x n , y sea
H A M a omn 11 . ¿H es subespacio de V ?
Demostración: Sean A B H, , es decir:
0 0 012 1
21 22 2
1 2
12 1
21 22 2
1 2
12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
a a
a a a
a a a
b b
b b b
b b b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
n
n
m m mn
n
n
m m mn
n n
n n
m m m m mn mn
Es decir la matriz resultante tiene como primer componente cero, por lo tanto
pertenece a H.
73
Ahora demostraremos la propiedad de la cerradura bajo el producto por un
escalar.
Sea R y A H, , entonces
0 012 1
21 22 2
1 2 2
12 1
21 22 2
2 2
a a
a a a
a a a
a a
a a a
a a a
n
n
m m m
n
n
m m mn
la matriz resultante tiene como primer componente 0, es decir pertenece a H. Por
lo tanto se cumple la propiedad de la cerradura bajo el producto por un escalar. Lo
cual demuestra que H es subespacio de V.
Sea V Mnn ; y sea H A M A es inversiblenn , ¿H es subespacio de V ?.
Respuesta es no, porque un subespacio debe contener a la matriz nula y está no
es inversible, por lo tanto no pertenece a H.
Observación: Si H H1 2, son subespacios de V, entonces H H1 2 es un
subespacio vectorial de V.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Definición. Se dice que los vectores
v v vn1 2, , , de un espacio vectorial son
linealmente dependientes si existen n escalares c c cn1 2, , , no todos cero tales
que se satisface:
c v c v c vn n1 1 2 2 0
8.2
74
Y son linealmente independientes si:
c v c v c vn n1 1 2 2 0
9.2
Se satisface si: c c cn1 2 0 .
Para demostrar si los vectores son Linealmente Dependientes (LD) o Linealmente
Independientes (LI), esto se reduce (en el caso general) a analizar las soluciones
de un sistema homogéneo de ecuaciones Ac 0 , donde las columnas de la
matriz son los vectores dados.
En el caso de vectores en R2 es muy simple decir si los vectores son LD o LI,
pues si un vector es múltiplo del otro entonces son linealmente dependientes, es
decir las constantes son distintas de cero. En el caso general se tiene que analizar
el sistema homogéneo antes mencionado. Si en la matriz A en forma reducida el
número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, entonces el sistema tiene
solución única y está es la trivial, para este caso los vectores serán linealmente
independientes. Si en la matriz A en forma reducida el número de ecuaciones es
menor que el número de incógnitas entonces el sistema tiene una infinidad de
soluciones (las constantes serán distintas de cero), por lo tanto los vectores serán
linealmente dependientes.
Ejemplos: En los siguientes problemas verificar si los vectores dados son
linealmente dependientes o independientes.
Sean v v1 2
1
2
1
3
, , entonces formamos el siguiente sistema de ecuaciones
e investiguemos el tipo de solución que tiene
c v c v1 1 2 2 0
75
Sustituyendo los valores de los vectores y efectuando las operaciones
correspondientes, la matriz aumentada a tal sistema es:
1 1 0
2 3 02
1 1 0
0 1 01 1 2
R R R
Observamos de está matriz que el número de incógnitas es igual al número de
ecuaciones por lo tanto el sistema tiene solución única, es decir la trivial por lo
tanto los vectores son linealmente independientes, c c1 2 0
Teorema: Un conjunto de n vectores en Rm es siempre linealmente dependiente
si n > m.
Corolario: Un conjunto linealmente independiente de vectores en Rn contiene a
lo sumo n vectores.
Teorema: Sea A una matriz n x n. Entonces det A 0 si y sólo si las columnas
son linealmente independientes.
COMBINACIÓN LINEAL Y GENERACIÓN DE ESPACIOS
Combinación lineal. Sean
v v vn1 2, , , vectores en un espacio vectorial V.
Entonces toda expresión
a v a v a vn n1 1 2 2
Con a a an1 2, , , escalares se le llama combinación lineal de
v v vn1 2, , , .
76
Generación de un espacio vectorial. Se dice que los vectores
v v vn1 2, , , del
espacio vectorial V generan a V, si todo vector v V puede expresarse como
combinación lineal de ellos. Esto es: Para todo vector v V existen escalares
a a an1 2, , , tales que
v a v a v a vn n 1 1 2 2
Al conjunto
v v vn1 2, , , se le llama conjunto generador, y al espacio generado por
tales vectores se le denota por
gen v v v v v a v a v a vn n n
1 2 1 1 2 2, , ,
Por ejemplo, demostrar que los vectores , i j
1
0
0
1 generan R2
.
Solución: Para demostrar esto, es necesario encontrar las constantes a a1 2, tal
v a i a j 1 2
con v R 2
vector arbitrario, es decir v
x
y
con x, y fijos. Entonces
x
ya a
a
aentonces
x
y
a
a
1 2
1
2
1
2
1
0
0
1 esto nos lleva a resolver el
siguiente sistema de ecuaciones con x, y arbitrarios pero fijos
a x
a y
1
2
Por lo tanto las constantes a a1 2, existen (debido a que el sistema tiene solución),
entonces se tiene finalmente que cualquier vector de este espacio se puede
escribir como una combinación lineal de los vectores dados, es decir
77
x
yx y
1
0
0
1
De manera análoga se demuestra que , , i j k generan a R3
Teorema. Un conjunto de n vectores Linealmente Independientes en Rn, generan
a Rn.
Demostración.
Sean
v
a
a
a
v
a
a
a
v
a
a
an n
n
n
nn
1
11
21
1
2
12
22
2
1
2
, , , y sea
v
x
x
x
R
n
n
1
2
arbitrario pero fijo.
Entonces debemos demostrar que existen escalares c c cn1 2, , , tales que
v c v c v c vn n 1 1 2 2
Sustituyendo y haciendo las operaciones correspondientes, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones lineales
a c a c a c x
a c a c a c x
a c a c a c x
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
En forma matricial tiene la estructura: A c v donde A es la matriz que se
obtiene al sustituir sus columnas por los vectores dados. Pero ya se demostró que
si los vectores (columnas) de una matriz son independientes entonces det A 0 .
78
Entonces como el determinante es distinto de cero, se tiene entonces que el
sistema tiene solución única.
Ejemplo. Los vectores v v v1 2 32 14 10 2 3 15 , , , , , , , , , su determinante es
distinto de cero, entonces estos son linealmente independientes y como son tres,
entonces ellos generan a R3 (por el teorema anterior).
Definición. Sean
v v vn1 2, , , , n vectores en un espacio vectorial V. El espacio
generado por tales vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de
v v vn1 2, , , . Esto es:
gen v v v v v a v a v a vn n n
1 2 1 1 2 2, , ,
Teorema. El gen v v vn
1 2, , , es un subespacio de V.
Teorema. Sean los n+1 vectores
v v v vn n1 2 1, , , , de un espacio vectorial V. Si
los
v v vn1 2, , , generan a V, entonces
v v v vn n1 2 1, , , , también generan V.
Esto es la adición de uno o más vectores a un conjunto generador resulta otro
conjunto generador.
Ejemplos
En los siguientes problemas determinar si el conjunto de vectores dados genera al
espacio vectorial que se da.
1.- En R2 1
2
3
4
, . Empleando un teorema anterior, para demostrar que estos
generan a R2, es suficiente demostrar que ellos sean linealmente independientes,
es decir que su determinante sea distinto de cero.
79
det A 1 3
2 44 6 2 0
y como son dos entonces ellos generan a R2.
2.- En R2; 1
1
2
1
2
2
, , . En este caso para poder aplicar los resultados anteriores,
tomaremos dos de estos vectores y probaremos que son linealmente
independientes, por ejemplo 1
1
2
1
, , su determinante como puede verse
fácilmente es distinto de cero, por lo tanto son linealmente independientes, y por
un teorema anterior ellos generan a R2, por lo tanto si a este conjunto generador le
agregamos otro vector ellos siguen generando a dicho espacio.
3.- En R2; 1
1
2
2
5
5
, , .
Como estos vectores son linealmente dependientes, ellos no generan R2. En
efecto:
v
x
ya a a
1 2 3
1
1
2
2
5
5 efectuando las operaciones correspondientes e
igualando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
a a a x
a a a y
1 2 3
1 2 3
2 5
2 5
con x, y fijos. Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene
1 2 5
1 2 5
1 2 5
0 0 02 1 2
x
yR R R
x
y x
80
De la última matriz podemos observar que el sistema es inconsistente, por lo tanto
dichos vectores no generan a R2. De aquí surge la siguiente pregunta ¿Si estos
vectores no generan a todo R2 entonces que subconjunto de tal espacio son
capaces de generar?
La respuesta es muy simple, hay que forzar a que el sistema se vuelva consistente
es decir
y-x = 0, el subconjunto que generan son aquellos vectores tales que x = y , esto
es:
Hx
yx y
o dicho de otra forma Hx
x
el conjunto de vectores dados
generan un subconjunto de vectores tal que su primera y segunda componente
son iguales.
BASE Y DIMENSIÓN
Definición de Base. Un conjunto de vectores
v v vn1 2, , , forman una base para
V si:
a)
v v vn1 2, , , es linealmente independiente
b)
v v vn1 2, , , generan V.
Nota: Se observó anteriormente que todo conjunto de n vectores linealmente
independientes en Rn, generan a Rn
. Entonces con la definición anterior
podemos concluir que: “Todo conjunto de n vectores linealmente
independientes en Rn forman una base para Rn
”.
En Rn se define
81
e e en1 2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
, , , , son linealmente independientes y de acuerdo a la
nota anterior, ellos generan a Rn, por lo tanto forman una base. A una base como
esta se le llama base canónica.
Se deja como ejercicio para el lector demostrar que el conjunto x x x3 2 1, , , forma
una base para el espacio de polinomios de grado menor o igual a 3 (P3 ). A está
base se le llama la base canónica para P3.
El primer tipo de problemas que el lector debe ejercitar es: Dado un conjunto de
vectores verificar si constituyen una base para tal espacio, para ello basta
demostrar que se cumple que son linealmente independientes y que generan a tal
espacio.
El segundo tipo de problemas que se deben atacar son del tipo: Dado un espacio
vectorial construirle una base.
El tercer tipo es primero construir un espacio vectorial y después generarle una
base. Para esta clase de problemas usaremos los sistemas homogéneos de
ecuaciones, que como sabemos sus soluciones forman un espacio vectorial.
Resolveremos ahora un problema del segundo tipo, es decir dado un espacio
vectorial le construiremos una base.
Ejemplo. Halle una base en R3 para el conjunto de vectores en el plano
2 0x y z
82
Solución: Tomemos un vector de este plano
H
x
y
z
R y x z
3 2 es decir todo vector de este plano tiene la forma
x
x z
z
2
Podemos observar que la ecuación del plano nos representa un sistema
homogéneo de ecuaciones con la característica de tener una ecuación y tres
incógnitas por lo tanto tiene dos variables libres, y en este caso se eligieron a x y z
Una vez que ha sido caracterizado el espacio, el número de vectores que
debemos extraer para construirle una base lo vamos a asociar al número de
variables libres que tenga el sistema, estos se obtiene de la siguiente forma:
Sean x=1 y z=0 entonces v1
1
2
0
Sean x=0 y z=1 entonces v2
0
1
1
Al tomar los vectores de esta forma se garantiza la generación del espacio, como
se muestra enseguida.
Este conjunto constituyen una base para este espacio vectorial. En efecto:
a) v v1 2, son linealmente independientes.
83
b) v v1 2, generan a este espacio, pues se tiene
x
x z
z
2
= x z
1
2
0
0
1
1
.
Por lo tanto de a y b se concluye el conjunto de vectores
1
2
0
0
1
1
, forman una
base en R 3 para el plano 2x-y-z = 0.
Teorema. Si
u u u y v v vm n1 2 1 2, , , , , , son bases del espacio vectorial V,
entonces m = n . Esto es dos bases cualesquiera en un espacio vectorial V
poseen el mismo número de vectores.
Definición de Dimensión. Si el espacio vectorial V posee una base finita, la
dimensión de V es finita, y es igual al número de vectores en la base. En otro caso
se dice que el espacio es de dimensión infinita. Si V 0 entonces se dice que la
dimensión de V es cero.
Teorema. Supóngase que dim V = n. Si
u u um1 2, , , es un conjunto de m
vectores linealmente independientes en V entonces m n .
Ejemplos: Sea Am x n y sea S x R Axn
0 . Entonces dimS n . A S se le
llama espacio solución del sistema homogéneo A x 0 . También recibe el nombre
de núcleo o Kernel de A.
Ahora resolveremos problemas del tercer tipo mencionado anteriormente, es decir
encontrar o caracterizar a un espacio vectorial y después construirle una base,
para esto como se menciono anteriormente la solución de un sistema homogéneo
84
de ecuaciones constituye un espacio vectorial por lo cual obtendremos una base y
la dimensión del espacio solución.
Ejemplo: Obtenga una base y la dimensión del espacio solución del sistema
homogéneo
x y
x y
0
2 2 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de Gauss, tenemos:
1 1 0
2 2 02
1 1 0
0 0 02 2 1
R R R Este sistema es equivalente a x-y = 0 es
Decir x = y, por lo tanto el espacio solución de éste sistema homogéneo de
ecuaciones esta constituido por vectores de la forma
x
y
x
yx y
x
x
0 .
Caracterizado el espacio vectorial, ahora le construiremos una base y el número
de vectores en la base como mencionamos anteriormente lo asociamos al número
de variables libres, que para este caso es una, por lo tanto si x = 1 tenemos
1
1
es una base para el espacio solución del sistema homogéneo, y este tiene
dimensión uno es decir dimS 1.
85
Bases Ortonormales
Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt.
Dada una base arbitraria de un cierto espacio vectorial, es a veces necesario
construir una base tal que sus vectores sean ortogonales entre si y de norma uno,
a una base con estas características se le llama Ortonormal, y a la manera de
construirla a partir de una base dada se le conoce como el Proceso de Gram-
Schmidt. Antes de dar tal proceso, recordaremos algunos conceptos acerca del
producto interno entre vectores, ya que este induce una norma sobre un espacio
vectorial.
Definición. Sea V un espacio vectorial sobre los números reales. Un producto
interno real en V es una función que asocia a cada pareja de vectores u y v , un
número real u v , con las propiedades siguientes:
a) u v v u, ,
b) u v w u w v w , , ,
c) c u v c u v , ,
d) u u y u u si y solo si u, , , 0 0 0 .
La relación que guarda el producto interno con la norma es: v v v , , relación
de mucha importancia, ya que como mencionamos anteriormente el producto
interno nos permite efectuar mediciones en un espacio vectorial.
86
Proceso de Ortonormalización de Gram - Schmidt.
Sea B u u un
1 2, , , una base arbitraria de un espacio vectorial V. El proceso de
ortonormalización consta de los siguientes pasos:
Paso 1.-
vu
u1
1
1
el cual ya es un vector unitario.
Paso 2.- Definimos un vector ortogonal al anterior de la siguiente manera
v u u v v2 2 2 1 1 ,
Paso 3.- Normalizamos al vector anterior
vv
v2
2
2
Paso 4.- Construimos ahora un vector ortogonal a los dos anteriores de la
siguiente forma
v u u v v u v v3 3 3 2 2 3 1 1 , ,
Paso 5.- Normalizamos el vector anterior
vv
v3
3
3
Paso 6.- Construimos un vector ortogonal a los tres anteriores, de manera similar
es decir
87
4 4 4 3 3 4 2 2 4 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v u u v v u v v u v v
Paso 7.- Normalizamos el vector anterior
vv
v4
4
4
El proceso continua de una manera similar hasta llegar al último vector. Este
algoritmo para ortonormalizar una base dada se le conoce como el proceso de
Gram - Schmidt.
Corolario. Todo espacio vectorial con producto interno de dimensión finita tiene
una base ortonormal.
88
Cambio de base
Ahora intentaremos resolver un problema de gran interés y sobre todo de amplia
aplicación en disciplinas tales como la física, que es el cambio de coordenadas o
cambio de base, es decir como ven dos observadores un mismo fenómeno desde
distintos marcos de referencia, dicho problema dio origen como es sabido a la
teoría especial y general de la Relatividad, claro esta que con hipótesis adicionales
pero el problema fundamental es el mencionado.
Sabemos que un espacio vectorial tiene una cantidad enorme de bases, así que
un vector arbitrario de ese espacio se puede describir perfectamente en cualquiera
de esas bases, pero nosotros “intuimos” que dada la descripción (coordenadas)
de un vector en una base es posible dar la descripción (coordenadas) de ese
mismo vector en otra base. A este problema se le conoce como cambio de base.
Antes de resolver formalmente este problema definamos primero cual es el
significado de coordenadas de un vector.
Matriz de coordenadas (coordenadas de un vector).
Sea V un espacio vectorial y B v v
1 2, una base de este, por simplicidad
tomamos un espacio de dimensión dos. Sea v un vector arbitrario de este
espacio, entonces se cumple lo siguiente
v c v c v 1 1 2 2
Donde los escalares 1c y 2c existen debido a que B es una base. Entonces a
c c1 2, se le llaman las coordenadas o matriz de coordenadas de v respecto a la
base B, y se denotan de la siguiente manera:
89
v
c
cB
1
2
Cuando no se indique respecto a que base se están tomando las coordenadas de
un vector se sobreentiende que estas son respecto a la base canónica.
Cambio de base.
Por simplicidad tomemos a R2 como espacio vectorial y sean
B u u B v v
1 2 1 2, , , dos bases de este espacio. Ahora expresaremos a los
vectores de la base B en términos de los vectores de la base B .
u a v b v1 1 2 10.2
es decir las coordenadas de u1 respecto a B son
ua
bB1
11.2
De manera análoga para u2
u c v d v2 1 2 12.2
uc
dB2
13.2
Sea w un vector arbitrario de R2
w e u f u 1 2 14.2
90
w
e
fB
15.2
que son las coordenadas de este vector en la base B. Sustituyendo en 14.2 las
expresiones 10.2 y 12.2 tenemos
w e a v b v f c v d v 1 2 1 2
Reagrupando:
w e a f c v eb f d v 1 2
Esto no es otra cosa que las coordenadas de w en la base B , es decir
w
e a f c
eb f dB
Dada la forma de este vector pensamos que este se puede escribir como el
producto de una matriz por un vector
w
B
no es difícil determinar quien es la matriz y quien es el vector
w
a c
b d
e
fB
El vector es la ec 15.2 , es decir son las coordenadas de w en la base B.
91
w
a c
b dwB B
A esta última expresión se le conoce como el problema del cambio de base, es
decir dadas las coordenadas de un vector en una base, se pueden conocer las
coordenadas del mismo vector en otra base y para esto basta multiplicarlas por
una matriz numérica llamada la matriz de transición.
w P wB B 16.2
Donde las columnas de la matriz de transición P son las coordenadas de los u u1 2,
con respecto a la base B .
a c
b d
De esta manera se construye la matriz de transición para espacios de dimensión
mayor.
La ecuación 16.2 nos proporciona el cambio de coordenadas de la base B hacia
B , de manera análoga se da el cambio de B hacia B, aunque se espera que
exista una relación entre ambas matrices de transición, y esta es de que una es la
inversa de la otra:
w P wB B
1 17.2
Se dejan al lector las siguientes preguntas ¿P es inversible?, ¿cuál es la razón?
uB1
u
B2
92
EJERCICIOS
En los ejercicios que siguen se da un conjunto de objetos, junto con las
operaciones de adición y multiplicación por un escalar. Determine cuales de los
conjuntos son espacios vectoriales bajo las operaciones dadas. Para aquéllos que
no lo son liste los axiomas que no se cumplen.
1.- El conjunto de todas las ternas de números reales (x,y,z) con las operaciones
(x,y,z) + (x´,y´,z´) = (x+x´, y+y´, z+z´) y k(x,y,z) = (kx,y,z).
2.- El conjunto de todas las ternas de números reales (x,y,z) con las operaciones
(x,y,z) + (x´,y´,z´) = (x+x´,y+y´,z+z´) y k(x,y,z) = (0,0,0)
3.- El conjunto de todas las parejas de números reales (x,y) con las operaciones
(x,y) + (x´,y¨) = (x+x´,y+y´) y k(x,y) = (2kx,2ky).
4.- El conjunto de todos los números reales positivos x con las operaciones x+x´=
xx´y kx xk .
5.- El conjunto de todas las matrices de tamaño 2x2 de la forma
a
b
1
1
con la adición matricial y la multiplicación por un escalar usuales.
6.- El conjunto de todas las matrices de tamaño 2x2 de la forma
a
b
0
0
93
con la adición matricial y la multiplicación por un escalar usuales.
7.- El conjunto de todas las matrices de tamaño 2x2 de la forma
a a b
a b b
Con la adición matricial y la multiplicación por un escalar usuales.
8.- El conjunto de polinomios de grado menor o igual a n con término constante
igual a cero.
9.- El conjunto de todas las funciones continuas en 0 1, con f(0) = 0 y f(1) = 0 con
las operaciones usuales.
En los siguientes ejercicios determinar cuáles son subespacios de P3
1.- Todos los polinomios a a x a x a x0 1 2
2
3
3 para los cuales a0 =0
2.- Todos los polinomios a a x a x a x0 1 2
2
3
3 para los cuales a a a a0 1 2 3 0
3.- Todos los polinomios a a x a x a x0 1 2
2
3
3 para los cuales a a a y a0 1 2 3, . son
enteros
4.- Pruebe que el conjunto de todas las matrices diagonales n x n son un
subespacio de Mnxn
En los siguientes ejercicios determine si el subconjunto dado H del espacio
vectorial V es o no un subespacio de V.
94
1- V R H x y y 2 0; ,
2.- V R H x y x y 2 ; ,
3.- V R H x y x y 2 2 2 1; ,
4.- V M H A M Aa b
b c
22 22;
5.- V M H A M Aa a
22 22
1
0 0;
6.- V M H A M Aa
b
22 22
0
0;
7.- V P H p P p 4 4 0 0;
8.- V P H p P pn n ; 0 1
9.- V C H f C f f 01 01 0 1 0, ; ,
10.- V C H f C f 0 1 0 1 0 2, ; ,
11.- V C a b , , donde a, b son números reales y
b
a
dxxfbaCfHba 0,;
95
12.-
b
a
dxxfbaCfHbaCV 1,;,
13.- Sea A una matriz de tamaño n x m y sea H x R Axm
0 . Muestre que H
es un subespacio de Rm . H recibe el nombre de Kernel de la matriz A.
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son linealmente
dependientes?
1.- (2,-1,4), (3,6,2), 2,10,-4) 2.- (3,1,1), (2,-1,5), (4,0,-3)
3.- (6,0,-1), (1,1,4) 4.- (1,3,3), (0,1,4), 5,6,3), (7,2,-1)
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios en P2 son linealmente
dependientes?
1.- 2 4 3 6 2 2 10 42 2 2 x x x x x x; ;
2.- 1 3 3 4 5 6 3 7 22 2 2 2 x x x x x x x x, , ,
3.- 3 2 5 4 32 2 2 x x x x x, ,
4.- ¿Para que valores de los vectores que siguen forman un conjunto
linealmente dependiente en R3 ?
V v v1 2 3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
, , , , , , , ,
5.- Determine si el siguiente conjunto de matrices es linealmente dependiente o
independiente:
96
2 1
4 0
1 0
3 1
1 1
1 2
3 2
2 1
, , ,
6.- Utilice el wroskiano para demostrar que los siguientes conjuntos de vectores
son linealmente independientes
a x ex) , ,1 b x x x x) sen , cos , sen
c e xe x ex x x) , , 2 d x x) , ,1 2
97
CAPITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES
3.1 Transformaciones Lineales
Introducción. Indiscutiblemente uno de los conceptos más importantes en todas
las ramas de las matemáticas es el concepto de función, en este capítulo
analizaremos un tipo especial de función, tal que manda elementos de un espacio
vectorial a otro, pero que preserve las operaciones de linealidad, es decir; la suma
y producto por un escalar, a este tipo especial de función se le llama
transformación Lineal (por lo tanto una transformación lineal es función pero no
todas las funciones de un espacio vectorial a otro son transformaciones lineales).
Definición: Sea T una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W.
Entonces T es una transformación lineal si cumple con las siguientes propiedades:
a.- Para todo u v, en V, T u v T u T v
b.- Para todo u en V y cualquier escalar, T u T u
V
W
T
u T u
98
Dada una función de un espacio V hacia otro espacio W, para que está sea una
transformación lineal deberá satisfacer las dos propiedades mencionadas
anteriormente, es necesario comentar que existen varias formas de representar a
una transformación, por ejemplo a través de una regla de correspondencia
explícita, otra es conociendo la acción de la transformación sobre los vectores de
alguna base de ese espacio vectorial y otra muy útil para atacar el problema de
valores y vectores propios es su representación matricial, iremos analizando cada
una de estas a lo largo de este capítulo.
Ejemplo. Demostrar si la función T R R: 2 2 , definida por
T x y x y, , 2
¿Es o no una transformación lineal?
Demostración
Primero demostraremos la propiedad de la suma, es decir
T u v T u T v 1.3
Para esto seguiremos la siguiente mecánica: calcularemos el lado izquierdo y el
lado derecho por separado de acuerdo a la regla de correspondencia dada y
simplemente los compararemos, si son iguales entonces obviamente se cumplen,
de otra manera no será una transformación lineal.
Sean x y x y R1 1 2 2
2, , , , el lado izquierdo de la ec 1.3 es entonces
T x y x y T x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22, , , , 2.3
99
Ahora calculando el lado derecho de la ecuación 1.3
T x y T x y x y x y x x y y1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 22 2 2, , , , , 3.3
Comparando las ecuaciones 2.3 y 3.3 observamos que estas son iguales por lo
tanto se cumple la propiedad para la suma.
De manera análoga para el producto por un escalar
T u T u 4.3
El lado izquierdo de la ec. 4.3 es
T x y T x y x y 1 1 1 1 1 12, , , 5.3
El lado derecho de la ec. 4.3 es
T x y x y x y1 1 1 1 1 12 2, , , 6.3
Comparando 5.3 y 6.3 , observamos que son iguales por lo tanto la ec. 4.3 se
cumple, entonces de 1.3 y 4.3 concluimos que la función dada es una
transformación lineal.
Ejemplo. Sea la función T R R: 2 2 definida por
T x y x y, , 1
Demostrar si es una transformación lineal.
100
Demostración. Procediendo de manera similar al problema anterior, vamos
primero a verificar la propiedad de la suma
Sean x y x y R1 1 2 2
2, , , , entonces
T x y x y T x x y y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21, , , , 7.3
Por otro lado se tiene
T x y T x y x y x y x x y y1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21 1 2, , , , , 8.3
Comparando 7.3 y 8.3 se tiene que estas son distintas, por lo tanto la función
dada no es una transformación lineal. No es necesario verificar la propiedad del
producto por un escalar.
Ejemplo. Sea A una matriz m x n fija. Entonces T R Rn m: definida por
T x A x
Demostrar que T es una transformación lineal.
Demostremos la propiedad de la suma. Sean x y Rn, entonces se tiene usando
la propiedad distributiva de matrices
T x y A x y Ax Ay T x T y
Lo anterior demuestra la propiedad de linealidad bajo la suma.
Ahora demostraremos la propiedad del producto por un escalar
101
T x A x Ax T x
Lo cual demuestra la propiedad para el producto por un escalar.
Ejemplo. Sea T R R: 2 2 una transformación lineal con T i y T j , , 1 2 3 2 ,
encontrar T 4 6,
Solución:
Puesto que se puede escribir 4 6 4 6, i j , entonces aplicando la transformación
a ambos lados de esta expresión obtenemos
T T i j T i T j4 6 4 6 4 6,
Ahora usamos la acción de la transformación sobre la base canónica se tiene
T 4 6 4 1 2 6 3 2 22 4, , , ,
Este ejercicio tiene como objeto mostrar otra manera de representar a una
transformación lineal, que es si conocemos la acción de la transformación sobre
alguna base de ese espacio, entonces podemos conocer la acción de la
transformación sobre cualquier vector de ese espacio, en este caso no es
necesario conocer la regla de correspondencia explícitamente. También como
comentamos anteriormente una transformación se puede representar por medio
de una matriz numérica (fija), para ello por ejemplo si la transformación es
T R Rn m: , entonces la matriz que representa a tal transformación es una matriz
A de tamaño m x n en la cual sus columnas son la acción de la transformación
sobre la base canónica, a tal matriz se le conoce como la matriz estándar de la
transformación. Para el ejemplo anterior la matriz estándar es:
102
A
1 3
2 2
Es decir T x Ax
T4
6
1 3
2 2
4
6
22
4
Esto será de gran utilidad para el tema que analizaremos a continuación.
KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Dada una transformación lineal T V W: definiremos dos subespacios de
fundamental importancia ya que estos proporcionan información útil acerca de las
transformaciones lineales, así como de los espacios vectoriales, tales subespacios
son: núcleo o kernel y la imagen de T.
Definición. Sea T V W: una transformación lineal.
a.- El conjunto de todos los vectores v V tales que T v
0 se llama núcleo o
kernel de la transformación. De manera simbólica
0
vTVvTKer
b.- El conjunto de todos los w W tales que existe por lo menos un elemento
v V , de modo que T v w
, se le llama imagen de T. De manera simbólica
VvunaparawvTWwTg
lg,Im
T i T j
103
Ejemplo. Sea T R R: 3 2 una transformación lineal, definida por
T x y z x y y z, , , 2 3
a.- Encontrar Ker (T)
b.- Determinar Img (T)
Ker (T)
0
VT V W:
W
T
Img (T)
T
104
Solución.
a.- Para determinar el Ker (T) se encuentra una base para el espacio solución del
siguiente sistema homogéneo
T x y z x y y z, , , , 2 3 0 0
Es decir
x y
y z
2 0
3 0
Encontramos que esté tiene infinidad de soluciones, cuya solución general es:
6
3
z
z
z
dando el valor de z =1 se obtiene una base del espacio solución de tal
sistema homogéneo
Ker T( )
6
3
1
A la dimensión del Kernel se le llama nulidad (T), es decir
dimKer T T 1.
b.- Para obtener el conjunto imagen de T, se determinan todos los vectores a b,
tales que existe un vector x y z, , con la propiedad de que
105
T x y z x y y z a b, , , , 2 3
Entonces se tiene que
T x y z x y y z x y y z
x y z
, , , , , ,
, , ,
2 3 0 2 0 3
1 0 2 1 0 3
Por lo tanto una base para el conjunto imagen de T es;
img T R 1 0 2 1 0 3 2, , , , ,
Y a la dimensión de la imagen se le llama rango de T, y se le denota por T
dim img T T 2 .
Nota: Una forma simple de encontrar una base y la dimensión del conjunto
imagen es que está es el espacio columna de la matriz estándar, pero como
nosotros sólo sabemos operar por renglones, entonces una base para la imagen
es el espacio renglón de la transpuesta de la matriz estándar de la transformación.
Teorema de la dimensión. Sea T V W: una transformación lineal, en donde V
es de dimensión n. Entonces
dim Ker ( T ) + dim Img ( T ) = n
106
Ejercicios.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada es o no una
transformación lineal. Justifique su respuesta.
1.- T R R T x y x y x: , , ,2 2 3 2
2.- T R R T x y x: , , ,2 2 2 0
3.- T R R T x y z xy yz zx: , , , , ,3 3
4.- T R R T x y z x y y z: , , , , ,3 3 0
5.- T R R Tx
y
x
y: ,2 2
1 3
4 2
6.- T P P T ax bx c ax bx c: ,2 2
2 2 1
7-. T P P T ax bx c ax bx: ,2 2
2 23 2
8.- T P P T ax bx c a b x b c x a b: ,2 2
2 2 3
9.- Sea , , i j k la base canónica de R y T R R3 3 2: una transformación lineal tal
que:
T i T j T k , , , , , 2 3 1 4 0 2 . Determinar:
a) T 1 2 3, , b) T 1 0 2, , c) T 111, ,
107
10.- Sea B una matriz inversible n x n fija. Pruebe que la función T M Mnn nn:
definida por T A B AB 1 es una transformación lineal.
En los siguientes ejercicios calcule el kernel y el recorrido de cada una de las
siguientes transformaciones lineales.
11.- T R R T x y x x y: , , ,2 2 2
12.- T R R T x y x y x y x y: , , , ,2 3 3 2 3 5
13.- T R R T x y z x y: , , , ,3 2 2 0
14.- T R R T x y z x y z x y z x z: , , , , ,3 3 2 4 2 4 5
15.- T M M Ta b
c d
a b b c
c d a d: ;22 22
16.- T M M Ta b
c d
a b d a b c d
a d c d: ;22 22
2 2 2 5
2 3
En los siguientes ejercicios obtenga la matriz canónica que represente a la
transformación lineal dada:
17.- T R R T x y x y y: , , ,2 2
18.- T R R T x y x y y x y: , , , ,2 3 2
19.- T R R T x y z x y y z: , , , ,3 2
108
En los siguientes ejercicios determine el rango y la nulidad para las
transformaciones lineales dadas;
20.- T R R T x y x y x y: , , , ,2 3 3 2
21.- T R R T x y x y x y: , , ,2 2 5 2
109
3.2 Valores y vectores propios
En está sección estudiaremos un tema de gran importancia tanto desde el punto
de vista teórico como práctico, este se refiere al problema de valores y vectores
propios también conocido como eigenvalores y eigenvectores (valores
característicos).
El matemático suizo Leonhard Euler al estudiar el movimiento planetario sentó las
bases teóricas para el problema de valores y vectores propios. Este tipo de
problemas también se encuentran involucrados en la descripción de los estados
cuánticos de las partículas subatómicas, los cuales se encuentran dados por la
solución o soluciones de la ecuación de Schrödinger H En (para partículas
de spin cero o entero, llamados bosones). Este como puede observarse también
es un problema de valores y vectores propios.
Consideremos un tipo especial de transformaciones lineales tales que TV V: , es
decir aquellas que van de un espacio vectorial V hacia el mismo, de forma tal que
cuando aplicamos la transformación a un vector, la transformación lo manda a un
múltiplo de él mismo, este es el problema de valores y vectores propios, cuya
definición es la siguiente.
Definición. Sea T R Rn n: una transformación lineal. Un vector v Rn es un
vector propio de T si existe un escalar real llamado valor propio, tal que
T v v .
Nota: De acuerdo a los comentarios de la sección anterior toda transformación
lineal puede expresarse por medio de una matriz y para este tipo de
transformaciones la matriz es de tamaño n x n, de tal forma que el problema de
valores y vectores propios se expresa como:
110
Av v .
De la definición, excluimos al vector nulo como vector propio de A, ya que A 0 0
se satisface para cualquier A y cualquier valor propio, entonces el problema se
reduce a calcular todos los vectores propios no nulos de A, junto con sus
correspondientes valores propios.
Si v 0 y Av v
, entonces Av Iv
I A v
0
El cual es un sistema homogéneo, y como se pide que la solución sea la no trivial
es decir v 0 , entonces dicho sistema tiene solución no trivial si y sólo si
det I A 0 9.3
Entonces de aquí surge el siguiente teorema.
Teorema. Sea A una matriz n x n. Entonces es una valor propio de A si y sólo si
es una solución real de la ecuación det I A 0 . A dicha ecuación se lo
conoce como la ecuación característica.
Ejemplo. Sea A
0 1
1 0, calcular sus valores propios.
Solución: Usando la ecuación característica se tiene
det det
I A
1
11 02
111
A está última expresión se le conoce como el polinomio característico, por lo tanto
los valores propios son: 1 1y .
Ejemplo. Obtener los valores propios de la matriz A
2 5
2 1.
Solución. Usando la ecuación característica se tiene
0121012
12
52det
12
52
10
01detdet
2
AI
Es decir 2 12 4 3 0 , por lo tanto los valores propios son:
4 3y .
De los ejemplos anteriores se desprende de manera obvia que si A es una matriz
de tamaño n x n entonces el polinomio característico es de grado n, lo cual implica
que este tendrá n soluciones o raíces, de las cuales sólo consideraremos a las
raíces reales.
Dado que el problema de valores propios I A v
0 es un sistema homogéneo
de ecuaciones entonces sus soluciones forman un subespacio vectorial como se
menciona en el siguiente teorema.
Teorema. Sea un valor propio de una matriz A de tamaño n x n. El conjunto E
de todos los vectores v Rn , tales que A v v
es un subespacio de Rn
.
112
Definición. Sea un valor propio de una matriz A. El subespacio E se le llama
el espacio propio o característico de A asociado al correspondiente valor propio .
Para obtener los vectores propios asociados a los valores propios
correspondientes se propone el siguiente mecanismo:
1.- Se calculan los valores propios 1 2, , , n .
2.- Se encuentra el espacio solución de i I A v
0 , con i = 1, 2, …, n.
Ejemplo. Calcular los valores y vectores propios de la matriz A
9 12
7 11.
Solución. Primero calcularemos los valores propios, usando su correspondiente
ecuación característica
015284119
117
129det
117
129
10
01detdet
2
AI
Resolviendo la ecuación anterior, encontramos que sus valores propios (reales)
son: 3 5y .
Ahora calcularemos el espacio propio asociado a 3 , para ello se calcula el
espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones
33 9 12
7 3 11
6 12
7 14
0
0I A v
x
y
x
y
Escalonando este sistema de ecuaciones llegamos a:
113
6 12
7 14
1 2
7 14
1 2
1 2
1 2
0 0
Por lo tanto la solución general:
x y 2 0, es decir x=2y, 2y
y
tomando y=1, tenemos entonces que el espacio
solución es: E s3
2
1
Que de hecho es una base para este espacio propio.
Ahora de manera similar calcularemos el espacio propio asociado al valor 5.
5
5 9 12
7 5 11
14 12
7 6
0
0I A v
x
y
x
y
Escalonando la matriz anterior se tiene
14 12
7 6
7 6
7 6
7 6
0 0
Por lo tanto la solución general es: 6
7 y
y
tomando y = 1, se tiene que el
espacio solución esta dado por
E s
5
67
1.
114
Teorema. Sean 1 2, , , m valores característicos distintos de una matriz A de
tamaño n x n con vectores propios correspondientes
v v vm1 2, , , . Entonces
v v vm1 2, , , es un conjunto linealmente independiente.
Corolario. Sea A una matriz n x n con n valores propios distintos 1 2, , , n . Si
v v vn1 2, , , son los vectores propios de A correspondientes a 1 2, , , n ,
respectivamente entonces
v v vn1 2, , , una base de Rn
.
Surge aquí la siguiente pregunta: ¿Cuál es la representación matricial de la
transformación con respecto a la base mencionada en el corolario anterior?
3.3 MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN
La representación matricial de una transformación lineal TV V: , depende de la
base elegida de tal espacio, por ejemplo cuando se emplea la base canónica a
esta matriz se le llama la matriz estándar, aunque como ya hemos visto esta
matriz no necesariamente toma una forma simple, en esta sección analizaremos si
es posible elegir alguna base de forma tal que esta tome una forma simple, y
como sabemos la forma más simple que puede tomar una matriz es naturalmente
una matriz diagonal, por lo tanto el problema fundamental de esta sección es ver si
es posible encontrar una base de tal forma que la representación matricial de una
transformación lineal sea una matriz diagonal. También podemos observar que a
fin de cuentas este es un problema de cambio de base, tema visto anteriormente,
al final de la sección propondremos un problema que relaciona estos aspectos.
115
Antes de atacar tal problema daremos algunas definiciones importantes.
Definición. Sean A y B matrices n x n. Se dice que una matriz A es semejante ( o
bien similar o equivalente ) a B si y sólo si existe una matriz inversible C tal que
A C BC 1 .
Corolario. Dos matrices son semejantes si y sólo si representan la misma
transformación lineal relativa a diferentes bases.
Definición. Una matriz n x n es diagonalizable si y sólo si es semejante a una
matriz diagonal.
Teorema. Una matriz A de tamaño n x n es diagonalizable si y sólo si A tiene n
vectores propios linealmente independientes.
Corolario. Sea A una matriz n x n. Si A tiene n valores propios distintos, entonces
A es diagonalizable.
Para diagonalizar una matriz (si esto es posible) se sugiere el siguiente algoritmo.
1.- Obtener los vectores propios de A.
2.- Si A no tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces A no es
diagonalizable.
3.- Si A tiene n vectores propios linealmente independientes
v v vn1 2, , , , entonces
sea C la matriz cuya i-ésima columna es el vector vi . La matriz C diagonaliza a A.
Es decir
D C AC 1 .
116
Ejemplo. Determinar si la matriz A
9 12
7 11 es diagonalizable o no. En caso
afirmativo encontrar la matriz C que diagonaliza a A.
Solución.
Para esta matriz se encontró anteriormente que sus valores propios
son: 3 5y . Por un corolario anterior se tiene que esta matriz tiene dos
vectores propios linealmente independientes y por lo tanto la matriz A es
diagonalizable, y la matriz C que diagonaliza a A se forma con los vectores propios
correspondientes.
C
2 6
1 7
Entonces C
11
8
7 6
1 2
Por lo tanto
C A C
11
8
7 6
1 2
9 12
7 11
2 6
1 7
3 0
0 5
Finalmente se propone al lector el siguiente problema que establece de manera
natural la relación que existe entre la diagonalización de una matriz con el
problema de cambio de base (y por supuesto la definición de semejanza de
matrices con el cambio de base).
117
Problema. Sea TV V: una transformación lineal y V un espacio vectorial de
dimensión finita. Sean T y TB B las matrices de T con respecto a las bases
B y B de V. Entonces demuestre que estás matrices son semejantes
T C T CB B
1
donde C es la matriz de transición.
Ejercicios
Para las siguientes matrices determine si son o no diagonalizables, si es así
calcule la matriz C que diagonaliza a la matriz dada.
1.- 3 2
1 0
2.-
6 12
1 1
3.-
1 1 0
0 1 0
0 0 1
4.-
1 2 4
0 1 4
0 0 0
5.-
3 1 1
2 6 2
3 3 5
6.-
1 1 1
0 4 0
1 1 1
7.-
1 1 1
0 1 1
0 4 3
8.-
1 4 1
0 3 1
0 2 0
9.-
3 1 1
1 2 1
1 1 1
10.-
7 2 4
3 0 2
6 2 3
118
11.-
4 6 6
1 3 2
1 5 2
12.-
4 1 0 1
2 3 0 1
2 1 2 3
2 1 0 5
13.-
2 2 0 0
5 1 0 0
0 0 2 1
0 0 5 2
14.-
3 7 5
2 4 3
1 2 2
119
BIBLIOGRAFÍA
1.- Anton, Howard. Introducción al Algebra Lineal. Tercer edición, México. Noriega
editores. 1988.
2.- Grossman, Stanley. Algebra Lineal con aplicaciones. Cuarta edición, México.
Mc Graw Hill, 1992.
3.- Gerber, Harvey. Algebra Lineal. Primer edición, México, Iberoamérica, 1992.
4.- Perry, William. Algebra Lineal con aplicaciones. Primer edición, México, Mc
graw Hill, 1990.
5.- Carre Carbo, Ramón. Algebra matricial y lineal. Segunda edición, México. Mc
Graw Hill, 1987.
6.- Hoffman, Charles. Algebra lineal. Prentice Hall, 1972.
