Algebra I (Teora de Grupos), 2007-2008

Hoja 3

Ordenes, homomorfismos e isomorfismos: propiedades basicas

(1) Demostrar que si G es un grupo finito de orden par, el numero de elementos de G distintos delneutro y que coinciden con su inverso, es impar.

(2) Demostrar que el grupo cuaternio de 8 elementos es isomorfo al grupo

G = {1, i, j, k}con relaciones ij = k, ki = j, jk = i, ji = k, ik = j, kj = i, i2 = j2 = k2 = 1.

(3) a) Demostrar que el grupo de las transformaciones i, 1 i 6, del plano complejo extendido(de un ejercicio de la primera hoja de problemas) es isomorfo a S3, el grupo de biyecciones de los tresprimero numeros naturales con la composicion.

b) Demostrar que D3 tambien es isomorfo a S3, exhibiendo un isomorfismo concreto.

(4) Se define : D3 {1} mediante : (T ) = 1 si T es una rotacion y (T ) = 1 si T es unasimetra. Demostrar que es un homomorfismo de grupos.

(5) En el grupo Sn de las permutaciones de {1, 2, . . . , n}, es habitual escribir (1) para denotar a lapermutacon identidad y (jk) para denotar a la permutacion que intercambia los numeros naturalesj, k {1, 2, . . . , n} y fija todos los demas (tambien conocida como trasposicion). Tambien es usualescribir en lugar de la composicion . Por ejemplo, (12)(34) es la permutacion que intercambialos numeros 3 y 4 y tambien intercambia 1 con 2.

(a) Comprobar que V = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} S4.b) Definir un isomorfismo entre el grupo del apartado anterior y el grupo de Klein.

(6) Demostrar que un grupo G es abeliano si y solo si la aplicacion f : G G dada por f(x) = x1es un automorfismo.

Grupos cclicos, generadores, funcion de Euler

(7) Dar un ejemplo de dos grupos no isomorfos, abelianos y no cclicos tales que todos sus subgrupospropios sean cclicos.

(8) Encontrar el numero de elementos de cada uno de los grupos cclicos indicados:i) El subgrupo aditivo de Z30 generado por el elemento 25.ii) El subgrupo aditivo de Z42 generado por 30.iii) El subgrupo multiplicativo de C generado por i.iv) El subgrupo multiplicativo de C generado por 1+i

2.

v) El subgrupo multiplicativo de C generado por 1 + i.

(9) Encontrar el numero de generadores de los grupos cclicos de ordenes 6, 9, 14 y 90.

(10) Sean p y q primos y r un entero 1. Encontrar el numero de generadores de los grupos cclicosZpq y Zpr .

(11) Calculese (80), donde denota la funcion de Euler. Cuantos elementos invertibles respecto ala multiplicacion tiene el conjunto Z80?

1

(12) Demostrar que en un grupo cclico finito G de orden n, la ecuacion xm = e tiene exactamente msoluciones para cada m que divida a n. Discutir que ocurre si 1 < m < n y m no divide a n.

(13) Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cclicos finitos con |H| = r y |K| = s.Demuestrese que G contiene un subgrupo cclico cuyo orden es el mnimo comun multiplo de r y s.

(14) Hemos visto en clase que si dos subgrupos de un grupo cclico finito tienen el mismo orden,entonces son iguales. Dar un ejemplo de un grupo finito, conmutativo pero no cclico, para el que estono ocurra.

(15) Determinar el grupo Aut(C3) de todos los automorfismos del grupo cclico de orden 3 y escribirsu tabla de composicion.

(16) Sea Cn = x, el grupo cclico de orden n generado por un elemento x. Generalizando el resultadodel ejercicio anterior, demostrar que:

a) para todo m Z, la funcion fm : Cn Cn dada por fm(xk) = xkm, es un homomorfismo deCn;

b) todo homomorfismo de Cn en si mismo coincide con alguna de las funciones fm, m Z;c) fm = fk si y solo si m k (n);d) fm es un automorfismo de Cn si y solo si (m,n) = 1;e) Aut (Cn) = Un, el grupo de las unidades (elementos invertibles respecto a la multiplicacion) en

Zn. Por tanto, |Aut (Cn)| = (n).

Retculo de los subgrupos

(17) Para cada uno de los siguientes grupos aditivos encontrar todos sus subgrupos y elaborar el retculocorrespondiente:

i) Z12; ii) Z36; iii) Z8.

(18) Hallar el retculo de los subgrupos de los siguientes grupos:a) el grupo de Klein V4 = a, b, donde a2 = b2 = e y ab = ba;b) el grupo diedrico D3 = A,B donde A3 = B2 = I, ABA = B;c) el grupo S3 de las permutaciones de {1, 2, 3}, utilizando el resultado obtenido en el apartado b);d) el grupo diedrico D4 de las simetras (transformaciones isometricas) de un cuadrado.

(19) (a) Demostrar que cada subgrupo del grupo aditivo Z tiene la forma nZ para algun numeronatural n.

(b) Demostrar que un grupo infinito es cclico si y solo si es isomorfo a cada uno de sus subgruposno triviales.

2