ALGORITMO DE VITERBI

ALGORITMO DE VITERBI

MODELOS DE MARKOV OCULTOS

Conjunto de v.a {Xt}tT tal que su distribución conjunta es conocida.

Espacio de parámetros del proceso: TEspacio de Estados: Conjunto de todos los valores que pueden tomar la v.a

PROCESOS ESTOCASTICOS

Conjunto de v.a {Xt}tT tal que su distribución conjunta es conocida.

T: Espacio de parámetros del procesoEspacio de Estados: Conjunto de todos los valores que pueden tomar la v.a



Estados Parámetros Procesos

Contable

Contable

Infinito no Cont.

Infinito

Contable

Infinito no Cont

Contable

Infinito

Cadena Markov

Estocástico

Estocástico

Estocástico

Finito contable, Finito contable Lanzar una moneda 1’000.000 de vecesEspacio de estados S= {0,1}Espacio de Parámetros T= {1,2,......1’000.000}

Def: Sea un proceso {Yn}nT un proceso estocástico con espacio de estados y parámetros contables se dice que el proceso es una cadena de markov si P(Yn = in | Yn1=i1,Yn2=i2,.....Ynj=ij) n1<n2<n3...<nj)P(Yn=in | Yns=is) : Probabilidad que en el período n este en el estado in

CADENA DE MARKOV

Posibles Casos: •Que el resultado solo dependa del último tiempo•Cuando las Yn son independientes, entonces las partes no dependen una de la otra.

CADENA DE MARKOV

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Yn= No de pieza ocupada por el ratón en el tiempo n (No de pieza ocupada después de n movimientos)

Pij = P(Yn=j / Yn-1 = i) Xn 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xn-1

1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 0 0

2 1/3 0 1/3 0 1/3 0 0 0 0

.

9

0 <= Pij <= 1 Pij = 1 i-fila

CADENA DE MARKOV

MATRIZ DE TRANSICIÓN

Secuencia finita de datos: yt1t4

= {yt1, yt2, yt3, yt4}

V.a que tome el valor de y: P(Y=y) Modelo de probabilidad: P(x)Distribución de Probabilidad Conjunta de una secuencia de observaciones

P(y1)= P(y1)P(y2/ y1)P(y3/y1y2)P(y4/y1y2y3) .....

MODELO DE MARKOV APLICADO A UNA SECUENCIA DE DATOS

Es dada por:

Definiciones

Y1= {Y1,Y2,Y3,....YT)

P(y1)= P(y1) P(yt/y1 ) T t-1

T

T

T

Dado que para una variable de estados multinomial Qt {1,2,...n}, el número de parámetros requeridos para representar la probabilidad deTransición P(qt|q t-1,q t-2,....q t-k} es O(n k+1), y dado que para un k pequeño no se satisfacen los supuestos estadísticos para un modelo de Markov, se asume la hipótesis, de que los datos pasados en el secuencia pueden ser consistentemente modelados a través de una variable de estado.

MODELO DE MARKOV OCULTOS

Definiciones

Yt : Proceso Observable no “Markoviano”Qt: Conjunto de estados, “Markoviano” no observable de orden 1. Resume todos los valores pasados de las variables observadas y ocultas cuando se quiere predecir la variable observada Yt en el estado Q t+1.:


Supuestos de un HMM


Supuestos de un HMM

Independencia

Y1= {Y1,Y2,Y3,....YT)La secuencia observada Se relaciona con

La secuencia de estados Q1= {Q1,Q2,Q3,....QT)

T

T

P(y 1 |q1,y

1 ) = P(yt | qt) t-1 t

P(q t+1 |q1,y

1 ) = P(qt+1 | qt) t t

no observados


Supuestos de un HMM

Probabilidad de Estado Inicial P(q1)

Probabilidad de Transición P(qt|q t-1)

Probabilidad de Emisión P(yt|q t)

1 inicial, 0 otros casos

Estado Inicial Estado Final


Problemas Básicos con HMM

.Evaluación de la Probabilidad: Calcular eficientemente la probabilidad de una secuencia dada.

•Algoritmo de Forward o de Avance•Algoritmo de Backward o Retroceso

Secuencia de estados óptimo•Algoritmo de Viterbi

Estimación de Parámetros•Algoritmo de Baum-Welch (maximización): Optimizar las probabilidad de los parámetros del modelo, con el fin de ajustar los parámetros “secuencia de entrenamiento” hasta un punto dado.


Probabilidades de Transición en un HMM

Para algunas aplicaciones como en datos secuenciales o reconocimientos de cadenas (discurso) en un HMM se asume que los estados ocultos tienen un valor discreto, con una distribución multinomial, haciendo entonces que la probabilidad de Transición se pueda representar como:

P(qt|q t-1) = A ij = P(Qt = i| q t-1 = j)

Este supuesto no siempre se puede aplicar, cuando los estados ocultos presentan un comportamiento continuo se habla de un espacio de estados, en que la probabilidad es gaussiana. Por otro lado también pueden ser híbridos (discreta-continua)


Probabilidades de Emisión en un HMM

Para algunas aplicaciones como en datos secuenciales en un HMM Yt es una v.a discreta independiente y

Y el vector de va. Yt se puede dividir en sub-vectores Yti y calcular:

P(yt|q t), es multinomial.

Entonces: P(yt|q t) = Bij = P(Yi | Qt =j)

i P(yti| qt)

Sin embargo en algunas aplicaciones, la distribución de emisión es normal o mezcla de normal


Un ejemplo para generar una cadena en un HMM

Sea QT = {1,2,3,F} = {a,b,c} P(q1) {1,0,0,0}

A ij =0.2 0.5 0.3 0.00.1 0.0 0.9 0.00.0 0.0 0.4 0.6

1 2 3 F

123

Bij = 0.0 0.3 0.70.3 0.6 0.11.0 0.0 0.0

a b c

123


1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0

P(y1, qt) = P(yt|qt) P(qt|q t-1) P(y1 , q t-1))t-1

(P1.B1,c)P(cab, qt) =

(1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0


(P1.B1,c) (A1,2.B2,b) P(cab, qt) =

(1x0.7) (0.5 x 0.6)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0


(P1.B1,c) (A1,2.B2,b) (A2,3.B3,a) P(cab, qt) =

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0


(P1.B1,c) (A1,2.B2,b) (A2,3.B3,a) A3,F P(cab, qt) =

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0



+ (P1.B1,c)

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)

(1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0



+ (P1.B1,c)

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)

(A1,2.B2,b)(0.2 x 0.3)(1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0



+ (P1.B1,c)

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)

(A1,2.B2,b) (A2,3.B3,a)(0.3 x 1)(0.2 x 0.3)(1x0.7)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0



+ (P1.B1,c)

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)

(A1,2.B2,b) (A2,3.B3,a) A3,F

(0.3 x 1)(0.2 x 0.3)(1x0.7) (0.6 x 1)



1 2 3 FiNIC

0.5 0.9 0.6

0.1

0.3

0.2 0.4

1

0.00.30.7

abc

0.30.60.1

1.00.00.0



+ (P1.B1,c)

(0.5 x 0.6) (0.9 x 1) (0.6 x 1) (1x0.7)

(A1,2.B2,b) (A2,3.B3,a) A3,F

(0.3 x 1)(0.2 x 0.3)(1x0.7) (0.6 x 1)

0.1134+0.00756

0.12


ALGORITMO DE VITERBI

Muy usado para reconocimiento de voz, biología molecular, fonemas, palabras, codificadores entre otros).

Para secuencia de estados le corresponde una secuencia de labels de clasificación (e.d, palabras, caracteres, fonemas, sufijos).Dado una secuencia observada Y1 = y1, inferir la más probable secuencia de estados Q1 = q1

T T

T T

V(i,t) =

Max {P(yt|Qt=i) P(Q=i|Qt-1=j) V(j,t-1)}

P(y1|Q1=i) P(Q1=i)

j

Si t=1Si t>1


EJEMPLO DE VITERBI V(bcbaa,t)

t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

b

1

c b a a



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

b

1

1*0.3

c b a a



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 (0.3)*(0.2*0.7)

b c b a a

0.0

0.0



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3

(0.3)*(0.5*0.1)

b c b a a

0.0

0.0



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3

(0.3)*(0.3*0.0)

b c b a a

0.0

0.0



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

(0.042)*(0.2*0.3)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

(0.042)*(0.5*0.6)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0 (0.042)*(0.3*0.0)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

b

1

0.3

c b a a

0.042

0.015

0

(0.042)*(0.2*0.3)

(0.042)*(0.5*0.6)

(0.042)*(03*0.0 )



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000

0.0126*(0.1*0.0)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000

0.0126*(0.0*0.3)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000 0.0126*(0.9*1.0)



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000

0.00

0.0004

0.0113



t

Ini

1

2

3

12

3F

iNIC0.5

0.90.6

0.1

0.3

1

0.20.00.30.7

0.30.60.1

1.00.00.0

F

1

0.3 0.042

0.015

0.000

b c b a a

0.0

0.0

0.0025

0.0126

0.000

0.00

0.0004

0.0113

0.00

0.00

0.0045

0.0027

ALGORITMO DE VITERBI

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