ALGORITMOS ULTRAMAGICOS

CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC, Cali, Colombia

CUADRADOS MÁGICOS – OSCURIDAD ILUMINADA Derechos de Autor Registrados y Reservados================================================================================

ALGORITMOS ULTRAMÁGICOS

¿Ha intentado obtener un ordenamiento mágico iniciando en cualquier celda con cualquiera de los números? Si lo intentó sin logrado, ¡Bienvenido a lo más asombroso de los cuadrados mágicos!

Aquí aprenderá a construir algoritmos al por mayor y todos ellos le servirán para obtener ordenamientos mágicos sin importar celda ni número de inicio; además, sus ordenamientos serán mágicos pandiagonales (los ordenamientos de mayor dificultad si se desconoce la estrategia). En otras palabras, ¡lo más difícil será lo más fácil y... por toneladas!

En el más fantástico de los universos cada astro tiene la mágica oportunidad de gobernar sin alterar el cósmico movimiento. En realidad, gobierna en todo instante sin importar el sitio que ocupe dentro del universo de sus congéneres.

Abuelo, observo que regresas a tu trillada hipótesis de que todo cuerpo es el centro del universo.

Rohthor, tu observación es incompleta y desdice de tus dones, ¿Mencioné la existencia de un universo único?

Disculpa abuelo, hablas del más democrático de los universos y afirmas la existencia de otros en los que el gobierno de uno, o de varios, es eterno.

Debes agregar que cuando asciende al poder alguien diferente al imprescindible, o de los imprescindibles, entonces se producen cambios en las órbitas del movimiento cósmico de dichos universos.

La esvástica es signo mágico en los universos democráticos de tu fantasía, ¿Puedes darme una pista de lo que representa tan controvertido emblema?

1



Para cada versión mágica uno de sus brazos representa un instante del universo, los otros brazos son giros tridimensionales del mismo sin cambiar la ubicación de ninguno de los elementos del universo que los contiene.

¿Por qué son cuatro los brazos en lugar de otro número?

Cuatro representa al menor de los universos democráticos, cuatro son las direcciones del viaje, cuatro son los sentidos positivos, cuatro los negativos, cuatro las razones que tendrás para saber que avanzar para unos es retroceder para otros...

Parece que la esvástica te transforma en místico... ¡Cuidado hijo! No confundas las creencias de los otros con el origen de tan mágico signo.

La esvástica surgió miles de años atrás y fue adoptada como símbolo hindú: la palabra proviene del sánscrito svastika que significa bien por venir. El hecho ser adoptiva de los hindúes no significa, necesariamente, que hayan sido los primeros en conocerla.

La esvástica es una cruz dispuesta en el sentido de las agujas del reloj o viceversa, sus brazos se despliegan en ángulo recto, hacia la derecha o hacia la izquierda; su presencia sigue vigente en la arquitectura del pueblo que la adoptó. Otras culturas asiáticas, europeas y americanas la han usado con diversidad de significaciones de buena suerte: grabada en manuscritos, amuletos, vasijas, monedas, edificaciones y en la superficie del suelo abierto. Fue insignia de los Boy Scouts en el Reino Unido y abandonada luego por causa de la apropiación nazi del mágico emblema, junto con el maligno y devastador impacto que produjo el nazismo en el devenir de los pueblos...

Suficiente abuelo; las abejas y el hexágono regular sorprenden a los ingenieros y enseñan el almacenamiento de la mayor cantidad de sustancia en el menor espacio; ¿Qué significa en tus democráticos universos?

Una de las leyes elementales que transforma el ordenado mundo del que parten los matemáticos para sus análisis, en el más extraordinario de los universos de donde científicos de las más diversas disciplinas podrían obtener modelos para sustentar sus teorías, descubrir otras o para crear la más fantástica de las astronaves.

Baja de tus utópicos mundos, necesito pistas para obtener algún algoritmo que resuelva cuadrados mágicos pandiagonales.

Pareces atontado, te acabo de abrir la puerta para que ingreses al fantástico mundo de los cuadrados mágicos pandiagonales y continúas en tu viejo universo.

Disculpa abuelo, lo cierto es que tu mensaje es imperceptible y, además, tengo los lentes empañados.

Pues debes limpiarlos y comenzar a trabajar.

2



Espera abuelo, según tu sermón, todo número del conjunto solución puede ocupar el centro de los cuadrados mágicos pandiagonales impares, los pares carecen de centro con número único.

Acabas de ubicar cada astro en el centro del universo, ponlo en movimiento.

Afirmas que el 1 y todos los números del cuadrado de orden 5 pueden ocupar el centro para generar ordenamientos mágicos pandiagonales. ¿Se afecta el 1 como símbolo sagrado de Alá al poder ubicar en el céntrico lugar de gobierno a cualquiera de los demás números del cuadrado de quinto orden?

Los musulmanes, en la edad media, atribuyeron al cuadrado de quinto orden significación mística, desconozco las razones para tal decisión. Una hipótesis, si se desconocía la solución mágica pandiagonal, puede ser la tremenda dificultad para hallar soluciones mágicas pandiagonales con números diferentes al 13 (número fatídico de los cristianos) y otra, sencillamente, pensaron que no existiría la tal solución.

En tu democrático universo aparece algo similar a uno de los modelos de las teorías atómicas, ¿Se relacionan los cuadrados mágicos pandiagonales con el movimiento en el microcosmo?

Corresponde a los científicos investigar al respecto.

Regresa a la repulsiva esvástica en la cultura occidental actual.

Las mágicas relaciones entre emblemas y fenómenos de la naturaleza harán resurgir controversias que al final mostrarán el significado secreto de tan admirada y odiada insignia. Las actuales y futuras generaciones, necesariamente, habrán de verla como algo no místico y usarla en, al menos, el estudio de diversas operaciones geométricas, aritméticas y modelos matemáticos. La esvástica es un instrumento sencillo y eficiente para el análisis numérico y geométrico.

Gustas afirmar que es conveniente salir del propio universo para verificar si es caótico,

según la versión de muchos de sus observadores...

La esvástica te enseñará a salir cada que sea necesario, en forma real o figurada, para comprender el orden que rige lo que es caos total para otros. Además, con ella aprenderás que hay leyes universales que gobiernan unos universos y colapsan en otros,

Gracias abuelo, necesito acostarme para comenzar el viaje a tus mágicos mundos pandiagonales.

También podrás viajar a mundos pandiagonales no mágicos, aún así la esvástica te explicará el comportamiento y, quizá, las mágicas propiedades del microcosmo. Que duermas hijo.

Igual abuelo.

3



¡BIENVENIDO AL MÁGICO UNIVERSO IMPAR PANDIAGONAL!

Intentar convertir un ordenamiento original convencional (OO) en ordenamiento mágico mediante ensayo y error es tarea muy difícil, si se trata de obtener un ordenamiento mágico pandiagonal entonces se incrementan de manera considerable las dificultades.

El OO convencional de todo cuadrado, par e impar, es pandiagonalmente mágico; en dicha propiedad reside el secreto más sencillo para obtener cuadrados mágicos pandiagonales: Toda pandiagonal del OO suma la constante mágica

NORMAS PANDIAGONALES

1. El movimiento más sencillo transforma pandiagonales en pandiagonales, P P. Otras secuencias (entre ellas la P FC) operan transformaciones diferentes y son similares a la anterior, no generan el efecto P P pero si ordenamientos mágicos pandiagonales.

1. Aplicar las jugadas del ajedrez: Avanzar sucesivamente el caballo para los números que no sean múltiplos del orden del cuadrado, parar en cada múltiplo, bajarse del caballo y aplicar la siguiente jugada con alfil, peón o torre, avanzar luego a lomo de corcel hasta el siguiente múltiplo del orden, aplicar de nuevo la misma y combativa jugada de alfil, peón o torre...

2. Seleccionar la jugada de caballo y la jugada de alfil o peón: ¡INVARIABLES!

3. ¡No asustarse si hay que salir del cuadrado!: Salga, salude a sus amistades y regrese a la celda opuesta; continúe en el interior, salga cada que se vea obligado y no olvide regresar a la celda opuesta. Terminará cubriendo todas las celdas del cuadrado. ¡Felicitaciones, ha construido un universo mágico pandiagonal!

4. Saludar a de La Loubère e informarle que su famoso método es maravilloso pero no es pandiagonal: Comenzar en la celda que le plazca, con el número que se le ocurra y continuar marcando los números sucesivos.

4

1 2 5 3 4

6 7 10

8 9

11 12

15

13 14

16 17

20

18 19 21

22

25 23

24

1 2 5 3 4

6 7 10

8 9

11 12

15

13 14

16 17

20

18 19 21

22

25 23

24

OO del cuadrado de orden 5: celdas de igual color forman una pandiagonal. A la izquierda aparecen las pandiagonales secundarias y a la derecha las principales.

Dos transformaciones posibles de las pandiagonales



Ejemplo1. Comience a jugar con 1: aplique, sucesivamente, el algoritmo del caballo y del alfil (avanza una celda). La jugada del alfil se aplica a los múltiplos de 5.

Aplique el mismo algoritmo anterior iniciando en cualquier celda y con cualquiera de los números del OO; el siguiente de 25 es 1, por razones de ciclo. Busque y encuentre la explicación para obtener ordenamientos mágicos pandiagonales en todos los casos.

La figura anterior muestra las pandiagonales según el OO y la transformación P P luego de aplicado el algoritmo del ejemplo. No es obligatorio dibujar la zona de salida.

Recuerde que dos ordenamientos mágicos se consideran iguales si girando uno de los cuadrados cada uno de los números se corresponden uno a uno consigo mismo. El efecto esvástico genera ordenamientos iguales del cuadrado, a continuación aparece el diagrama (¡la esvástica!).

5

1 2 5 3 4

6 7 10

8 9

11 12

15

13 14

16 17

20

18 19 21

22

25 23

24

1 15

17 24 8

23

7 14

16

5

20 4 6 13

22

12 21

3 10 19 9 18

25 2 11

1 2 5 3 4

6 7 10

8 9

11 12

15

13 14

16 17

20

18 19 21

22

25 23

24

1 15

17 24 8

23

7 14

16

5

20 4 6 13

22

12 21

3 10 19 9 18

25 2 11

15

7 23

4 20

12

2 9 25 18

1 15 17 24 8

23 7 14 16 5

20 4 6 13 22

12 21 3 10 19

9 18 25 2 11

TABLERODE JUEGO

Zona de salida: La determina el algoritmo seleccionado.

LEY MÚLTIPLO

Observe que en cada hilera (fila, columna y diagonal) queda ubicado un múltiplo de 5 y solo uno.

Jugada de caballo y de alfil, éste avanza una celda



Ejemplo 2.

6

EFECTO ESVÁSTICO

El brazo derecho representa el algoritmo ultramágico del ejemplo 1.

Los otros brazos pueden ser aplicados como algoritmos; sin embargo, el efecto que producen es el de girar los ordenamientos antes obtenidos. Analice, verifique y formule el efecto.

16

24

8 17

15

18 9

12

4 20

7 23

1 15

17

24 8

9 18 25 2 11

12 21

3 10 19

20 4 6 13 22

23

7 14 16

5

Jugada de caballo y de alfil, éste avanza una celda

¿Qué operación transforma el ordenamiento mágico pandiagonal generado por un algoritmo en el generado por el otro?

ESVÁSTICA ULTRAMAGICA

Cada brazo representa un algoritmo ultramágico. Si desea hallar mágicos pandiagonales asociativos inicie en el centro del cuadrado con , aplique sucesivamente el algoritmo seleccionado. Recuerde que el siguiente de es 1. Orden del cuadrado 6n + 3.



EL cuadrado siguiente muestra la aplicación de los cuatro algoritmos de la esvástica pandiagonal asociativa al cuadrado de orden 5. Se reitera que el brazo significa aplicar la jugada de caballo (sin cambiar su orientación) en forma sucesiva a los números no múltiplos del orden del cuadrado, hasta llegar a un múltiplo, a continuación desplazarse la cantidad de celdas indicada por los puntos pequeños del diagrama en la dirección y sentido mostrados para escribir el sucesivo del múltiplo. El sucesivo de es 1; salga del tablero cuando el movimiento siguiente lo obligue y regrese a la celda “opuesta”, ubicada según la celda a de salida, de acuerdo con el orden del cuadrado.

7

1

23

9 20 12 15

7 18

4 21

24

16

2

13 10 8 5 11

22 19

17

14

25

6

3

2

23

619 15 14

10

18

1 22 21

17

5

13 9

8 4 12

25 16 20

11

24

7

3

4

23

10

17 11 12

6 18

5 24

25

19

1

13 7

8 2 14

21 20 16

15

22

9

3

5

23

7 16 14 11

9 18

2 25

22

20

4

13 6

8 1 15

24 17 19

12

21

10

3

Ejemplo de algoritmo y parte de su ejecución iniciando con 13 en el centro. A 25 le sigue 1.

22

17 15

19

16

21

16 14 18

22

20

13

15

17 19

21

1

31

16

12

42 19

49

34 23

4

30

11 45

41

15 48 22

14

3 33 10 40

25

21 44

46

37

8

6

26

28

2 36

32

13 39

20

5 43

24

35

17

27

18

38

29

7

9

47

Mágico pandiagonal de orden 7 y algoritmo aplicado.

Para obtener el asociativo comience con 25 en el centro.



El cuadrado de orden 5 genera 16 ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos.

¿Por qué la esvástica considera tan solo 4?

Debido a que los demás algoritmos solo son válidos para el cuadrado de orden 5, obligan a realizar más de 2 clases de movimientos y mostrarlos en forma gráfica o expresarlos en lenguaje normal no es tarea sencilla.

¿Cómo se puede resolver el inconveniente?

Se considera que la manera más sencilla es, de todas formas, la de acudir a gráficas que indiquen el procedimiento para obtener los demás mágicos pandiagonales asociativos del cuadrado de orden 5.

ESVÁSTICA PANDIAGONAL ASOCIATIVAEXCLUSIVA PARA EL CUADRADO DE ORDEN 5

Inicie con 13 en el centro del cuadrado, ejecute la jugada de caballo para números no múltiplos de 5, al llegar a un múltiplo ejecute la siguiente jugada como indica la tabla. Para cada algoritmo aparecen a su derecha las jugadas aplicables al siguiente del múltiplo. El sucesivo de 25 es 1.

8

Ejemplo

20 8 22

1 14 11

24

3 17

10 7 5

1913 21

23

16

15

9 2

4 12

6 25

18

10, 15 5, 20 25 Múltiplos y jugada sucesiva

25 1



Para obtener el total de 16 ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos del cuadrado de orden 5, acudiremos al sencillo procedimiento de ejecutar la misma operación a cada una de las 8 soluciones anteriores aplicando el transformador que se muestra en el siguiente cuadro.

Conmutar cada par señalado con círculos y las líneas de unión. Intercambiar las parejas opuestas indicadas con rectángulos, se debe conservar el sentido de las parejas; los números esquineros y central permanecen estáticos. El transformador es aplicable a todas las soluciones (400) mágicas pandiagonales del cuadrado de orden 5. Ejemplo:

¿Cómo se puede averiguar cuántos ordenamientos mágicos pandiagonales (OMPs) genera el cuadrado de orden 5?

Cada algoritmo ultramágico permite iniciar con cualquier número en cualquier celda y, por tanto, genera 25 OMPs; existen 16 soluciones mágicas pandiagonales asociativas:

Total: 16x25 = 400 OMPs del cuadrado de orden 5.

¿Cuántos ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos tendrá el cuadrado de orden 7 y cuántos el de orden 11?

9

1

23

7 20 14 15

9 18

2 21

22 16

4

13 10 8 5 11

24 17

19

12

25

6

3

1

15

7 24 18 23

17

146 5

10

4

1613 22 12

21

3 20 9

19

8 252 11

TRANSFORMADOR PANDIAGONAL DE ORDEN 5



ARITMÉTICA PANDIAGONAL

La aritmética pandiagonal contiene m relojes o ciclos (filas del OO). En el caso del cuadrado de orden 5 se tendrán 5 ciclos (relojes) con horas pico (el 12 del reloj corriente) en los múltiplos de 5.

Propiedad de los cuadrados mágicos. La cualidad mágica del cuadrado no se altera si a cada fila, columna y diagonal se agrega la misma cantidad. APLICACIÓN: Los cuadrados mágicos pandiagonales de orden 5 conservan su mágica propiedad si se añade 0 (cero) a cada fila, columna y diagonal de los mismos.

¿Se alteran los números del cuadrado al añadir 0?

Los números del cuadrado no cambian pero se altera el orden de los mismos.

¿Es posible alterar el orden de los números añadiendo 0?

Es posible con la aritmética pandiagonal: La aritmética relojera equivale a restar 4 a cada múltiplo; en cada hilera de los OMPs hay un múltiplo y 4 números no múltiplos de 5, si a cada uno de éstos se agrega 1 entonces en total se habrá agregado cero a cada hilera y los números de la misma ¡cambian! sin que se altere el conjunto solución del cuadrado.

Dado que el OMP contiene un múltiplo en cada pandiagonal, fila y columna, entonces la aritmética del reloj no altera la propiedad mágica pandiagonal del mismo. Veamos un ejemplo:

10

Aritmética del reloj: 12 + 1 = 1

Reloj de 25 horas: 25 + 1 = 1

Sucesivo de 12: 1

Sucesivo de 25: 1

1

2 5 3 4

6 7 10

8 9

11

12

15

13 14 16

17

20

18 19 21

22

25

23

24

5 + 1 = 1

10 + 1 = 6

15 + 1 = 11

20 + 1 = 16

25 + 1 = 21

Para los números no múltiplos aplique la suma normal.



La aritmética multireloj evita la aplicación de los algoritmos esvásticos si se pretende hallar otra solución mágica pandiagonal a partir de una conocida. Además, se puede usar el algoritmo ultramágico iniciando en la celda superior izquierda con los números 1, 6, 11, 16, 21 y a cada solución aplicarle el multireloj para completar el total de 25.

MOVIMIENTO PANDIAGONAL

El movimiento pandiagonal (Mopo) es aplicable a todo cuadrado, con independencia de que sea mágico, e igual el ortogonal (movimiento cíclico de filas o de columnas); el análisis de las propiedades que se conservan son de interés para el estudio de las transformaciones mágicas y evita la comprobación de las mismas al operar un cambio siguiendo las reglas del juego.

El siguiente cuadro muestra el Mopo del cuadrado de orden 3, analice sus propiedades.

Un OMP admite el movimiento de las filas respetando el orden cíclico de las mismas sin que se altere la cualidad de OMP del cuadrado. La fila inferior pasa a ocupar la parte superior del

11

2

11

8 25 19 24

18

15

7 1

6 5

17

14 23 13

22

4 16 10 20

9 21

3

12

1

15

7 24 18 23

17

146 5

10

4

1613 22 12

21

3 20 9

19

8 252 11

3

12

9 21 20 25

19

11

8 2

7 1

18

15 24 14

23

517 6

16

10

22

4

13

Aritmética multireloj: Agregando 1 a cada número de un cuadrado mágico pandiagonal el conjunto solución permanece invariable junto con la cualidad del cuadrado, solo cambia el orden de los números.

6

9

1 2 3

8

2

6 4 5

1 4

8 9 7 1

2 3

4 5 6

7 8

9

4

7

2 3 1

1

2 3

4 5 6

7 8

9 8

2

6 4 5

3

6

7 8 9

4

7

2 3 1

1

2 3

4 5 6

7 8

9

1 4

8 9 7 1

2 3

4 5 6

7 8

9



cuadrado, la penúltima inferior se convertirá en última y así sucesivamente; cada movimiento conforma un OMP.

De manera similar se puede operar con las columnas y las pandiagonales del cuadrado y el nuevo ordenamiento será OMP. En el archivo ALGORITMO GENERAL DE LA LOUÈRE encuentra lo relativo a las pandiagonales. Los movimientos de filas, columnas o pandiagonales generan ciclos mágicos.

MOVIMIENTO PANDIAGONAL CORPUSCULAR ONDULATORIO

Si se supone que cada número de un OMP representa una partícula de un universo pandiagonal, el cuadrado el espacio del universo con celdas imaginarias y las partículas con libertad de movimiento, siempre que respeten las leyes pandiagonales, entonces el modelo mágico pandiagonal corresponde a un sistema corpuscular ondulatorio que, a su vez, avanza a través de una onda. Los bordes imaginarios del cuadrado se consideran como la superficie de incidencia y de reflexión de las partículas dentro de un receptáculo; además, el sistema mantendrá su dirección mientras no choque contra un obstáculo que lo obligue a cambiarla.

12

CICLOS MÁGICOS PANDIAGONALES



MOVIMIENTO ORTOGONAL CORPUSCULAR ONDULATORIO

En el caso del movimiento vertical y horizontal el eje de simetría de la onda tiene una dirección de 450 y las consideraciones son las mismas hechas para el Mopo.

El concepto de onda longitudinal corresponde al desplazamiento del sistema en una sola dirección: vertical, horizontal o diagonal. En todos los casos, tanto en el de la onda transversal como en el de la longitudinal, el sistema genera trayectorias elípticas y cambios relativos en la posición de las mismas.

MATRICES MÁGICAS PANDIAGONALES

Se denominará matriz mágica pandiagonal (MP) a todo ordenamiento mágico pandiagonal; por tanto, no existen y tampoco . La MP menor es de orden 4 dado que los cuadrados de orden 4 tienen ordenamientos mágicos pandiagonales e, igual, existen

Conjetura mágica pandiagonal: El determinante de toda MP es 0; es decir,

13



La conjetura mágica pandiagonal se puede verificar sin necesidad de realizar las operaciones normales de multiplicación, suma y resta que implica el determinante. Es posible que usted termine descubriendo el método anormal de verificar la conjetura. Se espera que alguien intente su demostración, o la refute, y las implicaciones de la misma para el estudio matricial.

A continuación se dan dos ejemplos de aplique su acostumbrado método de hallar el determinante e intente descubrir la forma anormal de verificación; si presta atención a sus operaciones es probable que lo logre.

Dado que la esvástica permite convertir las filas y columnas de un OMP en pandiagonales y la nueva matriz conserva su carácter de OMP se concluye, de acuerdo con la conjetura anterior, que el determinante del nuevo sistema es cero. En otras palabras, un cuadrado mágico pandiagonal se caracteriza por tener dos determinantes equivalentes a 0; un determinante es el conocido por todo matemático, el otro lo conforman las filas (equivalen al concepto de pandiagonales principales) y las columnas (equivalentes al concepto de pandiagonales secundarias). El concepto normal se podría denominar determinante pandiagonal y el segundo determinante ortogonal (En realidad ambos son ortogonales).

La conjetura se podría expresar de la siguiente forma:

Los determinantes de una matriz mágica pandiagonal equivalen a 0.

ESVÁTICA Y CRIBA DE ERATÓSTENES

La esvástica se relaciona con la famosa y rudimentaria Criba de Eratóstenes, ésta ha sido empleada por todo aprendiz de matemáticas desde hace miles de años. Se sabe que el cuadrado de orden 3 carece de ordenamiento mágico pandiagonal; además, se ha conjeturado en este documento que igual sucede para todo cuadrado de orden 6n + 3.

Al cuadrado de orden 5 le son aplicables 16 algoritmos ultramágicos, 4 de ellos generan OMPs para cuadrados impares de orden mayor no múltiplos de 3; los 12 restantes son exclusivos del pequeño universo de orden 5.

La figura que sigue le muestra un algoritmo ultramágico para el cuadrado de orden 7, aparece parte del desarrollo y el resultado final; si desea obtener el OMP asociativo, aplique el algoritmo iniciando con 25 en el centro.

14

1

14

7 12 8 11 2 13 10

5

16 3

15

4 9 6

2

13

8 11 16

3 10

5

9 6

15 4

7 12

1 14

04 MP



El algoritmo anterior no genera OMP alguno si se aplica al cuadrado de orden 5, pero es general para cuadrados cuyo orden no sea múltiplo de 3 ni de 5; continuando el camino hallaremos algoritmos válidos para cuadrados de orden 11 y mayores que no sean múltiplos de 3, 5 ni 7 y así sucesivamente. Como puede notarse, nos encontramos en el camino de la tan conocida Criba de Eratóstenes.

El dibujo siguiente muestra una esvástica, jugadas sucesivas en 3,2 para los números no múltiplos del orden del cuadrado hasta llegar a un múltiplo (círculo azul) y la siguiente jugada luego del múltiplo (círculo fucsia).

Finalmente, hemos visto que la única ley universal que gobierna la distribución de los números dentro de un cuadrado mágico es el movimiento de los mismos dentro de sus propias órbitas, dicha ley la cumplen tanto los cuadrados de orden impar como los de orden par, para cada clase de cuadrados existe la respectiva algoritmia que mueve los elementos dentro de cada uno.

15

Esvástica para cuadrados de orden impar no múltiplos de 3 ni 5. Aplíquela al cuadrado de orden 5 y observe el efecto que produce.

3, 23, 23, 2 3, 2

4 49

6

2

5

1

3

5

2

7

49

8

6

4

44

1

27

42

46 16 18

37

3 14

33 35

5

20

24 43 45

15

30

41 11 13

32

47

2

28

31

12 48

22 9

39 26

7

3617 23

49

8 19 38 40

10

25

29

6

4 34 21

Inicie con 25 en el centro para obtener el pandiagonal asociativo.

El siguiente de 49 es 1

3, 2



También hemos encontrado que existen leyes universales hacia el infinito a partir de un determinado universo y que ellas carecen de validez o colapsan para universos menores, tal es el caso de los algoritmos ultramágicos. ¿Podríamos pensar que las leyes que conocemos como universales son similares a las de

los cuadrados mágicos pandiagonales o a la Criba de Eratóstenes y que, por tanto, existen universos gobernados por leyes universales no comunes al nuestro?

¿Quienes encuentran leyes universales pueden cometer errores si creen que todo universo fuera del suyo las cumplirá?

¿Qué leyes tenidas como universales en el “macrocosmo” colapsan en el “microcosmo” ?

ESTRATEGIA ULTRAMÁGICA PANDIAGONAL

¿Cómo proceder para determinar algoritmos ultramágicos pandiagonales impares?

Seleccione un movimiento invariable para los números no múltiplos del orden del cuadrado, dicho movimiento se aplica hasta llegar a un múltiplo.

Elija un movimiento constante para aplicarlo a todo múltiplo (movimiento múltiplo) y ubicar el número que le siga.

Aplique los dos movimientos seleccionados, se recomienda iniciar con en el centro del

cuadrado; en cada fila, columna y pandiagonal solamente debe aparecer un múltiplo del orden si el movimiento múltiplo elegido es correcto. Existen movimientos múltiplos posibles, siendo m el orden del cuadrado.

Imagine un múltiplo, no interesa cuál, ubicado en el centro del cuadrado: cada una de las otras celdas representa una posible ubicación (movimiento) del número que le siga.

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y, x

Selección de los cuatro algoritmos ultramágicos pandiagonales del cuadrado de orden 5.



OBSERVACIÓNES: No es obligatorio completar el cuadrado para saber cuáles serán OMPs y cuáles debe desechar como candidatos, tampoco se requieren números para predeterminar los algoritmos pandiagonales: trabajando lo entenderá.

Uno de los cuatro algoritmos ultramágicos representados en el cuadro anterior no es genérico (colapsa en el cuadrado de orden 7); sin embargo, es reemplazable por otro equivalente (produce los mismos efectos en el cuadrado de orden 5) y por ello es conveniente el siguiente diagrama que permite la generalidad de los cuatro.

¿Intentaría hallar la fórmula que prediga el total de ordenamientos mágicos pandiagonales de un cuadrado impar de orden diferente a 6n+3?

A continuación aparecen 54 algoritmos ultramágicos pandiagonales aplicables al cuadrado de orden 7. Intente verificar cuáles son aplicables al cuadrado de orden 11: no es necesario resolver el cuadrado en su totalidad. ¿Cree que faltan otros algoritmos pandiagonales del cuadrado de orden 7?

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5 23 16 14 7

9 2 25 18

20 13 6 4

17 15

3 21

11

22

8

19

1 24

12 10

15

12

24 17

10 3

8

19

22

21

16

11

6

5

5 23 16 14 7

9 2 25 18

20 13 6 4

17 15

3 21

11

22

8

19

1 24

12 10

11

1

16

8

1912 9 3

24 17 15

Algoritmo no colapsante

ALGORITMOS ULTRAMÁGICOS PANDIAGONALES



MATEMÁTICOS Y PROGRAMACIÓN

El fantástico mundo de la computación ha permitido, dentro de la órbita de su actuación, la verificación o refutación de varias conjeturas. ¿Crees que tu conjetura de que los cuadrados de orden 6n + 3 carecen de soluciones mágicas pandiagonales sea refutada mediante el trabajo alternativo de algún matemático programador, en caso de que no encuentre el camino para demostrarla?

Considero que hará perder, innecesariamente, su cibernético tiempo a los sumisos autómatas.

El cuadrado de orden 9 tiene 81! ordenamientos posibles. ¿Te atreves a formular tu conjetura frente a la enormidad de dicha cantidad?

18

ALGORITMOS ULTRAMÁGICOS Cuadrado de orden 7

35 23 18 13 1 45 40

48 36 31 26 21

17 12 7 44 39

25 20 8

43 38 33

19 14 2

4

22

47

16

41

10

42 30

11 6

29 24

5 49 37 32 27

9

34

3

28

46

15



Sería más lógico que preguntes las razones que tuve para conjeturar. Ni siquiera verificaste los algoritmos ultramágicos del cuadrado de orden 5 en el de orden

9. ¿Qué artimaña usaste para conjeturar?

¿Preguntas o regañas?

Rohthor, parece que evades el interrogante y comienzas a enojarte.

Abuelo, considero que debes respetar mi derecho a no revelarte todos mis secretos.

Considero que ganas todo a cambio de nada.

Disculpa abuelo, 9 jugadas de ajedrez aclararon el meollo de la conjetura y la convirtieron en teorema; tus universos trastornaron mis nociones de direccionalidad, espacio y tiempo. Para terminar, quedé en tinieblas porque ni siquiera puedo decidir en qué sentido estoy girando cuando transito por tus diabólicos universos. ¿Contento?

Suficiente hijo, no es mi interés hacerte rabiar.

Gracias abuelo.

Rohthor, otros horizontes me esperan y, es lo más probable, nuestras sendas parece que no se volverán a cruzar...

Me estás dando la noticia más desagradable abuelo... Desearía que cometas de nuevo el error que posibilitó conocerte...

Ni lo sueñes hijo; te auguro lo mejor de la vida. Adiós chico.

Adiós abuelo, que disfrutes del viaje y gracias por tus luces.

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Cuadrado de orden 11 y sus algoritmos ultramágicos 2,1 y 3,1

¿Desea averiguar los algoritmos 3, 2, 4, 1, ... 5, 4 ?

3, 1 2, 1



FUNCIÓNES PANDIAGONALES

El número de algoritmos que permiten obtener ordenamientos mágicos pandiagonales de los cuadrados impares de orden m, (m 6n+3), ejecutando solo dos clases de movimientos invariables, se rige por una función que se denominará función algorítmica pandiagonal dual; dicha función queda definida por la expresión:

Al igual que lo estudiado para el cuadrado de orden 5, se pueden determinar los algoritmos ultramágicos pandiagonales exclusivos de los cuadrados de orden 7, 11, 13, etc.

Los siguientes ejemplos muestran dos soluciones exclusivas del cuadrado de orden 7, determine los algoritmos de forma similar a lo hecho para el cuadrado de orden 5.

Los totales de ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos y mágicos pandiagonales de los cuadrados de orden impar están definidos, respectivamente, por:

El

cuadrado de orden 7 tiene 432 OMPA y 21168 OMP, de acuerdo con las fórmulas anteriores; se recuerda que el total de OMP incluye los OMPA; listar los 432 OMPA del cuadrado de orden 7 es un proceso mecánico y rutinario si descubre el procedimiento estándar aplicable a cada uno de los ( 7), es suficiente con determinar el proceso estándar para evitar el listado: el proceso estándar permite obtener el algoritmo de cada uno de los 432 OMPA de forma automática y, por tanto, justificar los 21168 OMP.

Se deja al lector el trabajo de justificar (deducir) las fórmulas pandiagonales. El proceso seguido en este documento contiene los elementos suficientes y necesarios para lograr la

20

( m )

( m)

m 5 7 11 13 17 ...

4 54 700 1 620 5 824 ...

49 23 4 41 15 31 12

18 34 8 45 26 7 37

22 3 40 21 30 11 48

33 14 44 25 6 36 17

2 39 20 29 10 47 28

13 43 24 5 42 16 32

38 19 35 9 46 27 1

21 23 32 48 36 10 5

39 13 1 17 26 35 44

22 31 47 42 9 4 20

12 7 16 25 34 43 38

30 46 41 8 3 19 28

6 15 24 33 49 37 11

45 40 14 2 18 27 29

A( m) P( m)



realización de la tarea: observe y analice los gráficos, en una parte del proceso de formulación debe emplear una progresión aritmética.

OBSERVACIONES

La esvástica permite el análisis de propiedades numéricas y geométricas, se encuentra ligada a la teoría de números primos, matrices, determinantes y también a los sistemas corpusculares ondulatorios estáticos como sistema o en movimiento y, por ende, es posible emplearla para la explicación de diferentes modelos físicos.

Dadas las consideraciones anteriores, se espera que los pueblos que fueron afectados por la hecatombe nazi sean comprensivos y, poco a poco, desliguen de culpabilidad a la esvástica. Siendo la esvástica fructífero instrumento de análisis para diversas disciplinas, ¿es aceptable rechazarla por haber sido convertida en insignia del nazismo?

Al pueblo hindú se le presenta sentida disculpa por la conversión de su mítico emblema en instrumento de análisis matemático. Se cree que, además, no pierde su carácter de signo de buena suerte sino que la incrementa, en virtud de que facilita el descubrimiento de algoritmos que de otra forma son en extremo difíciles de hallar, de expresar en lenguaje cotidiano y en lenguaje matemático convencional.

Se espera que matemáticos, físicos y personas de otras disciplinas incorporen la esvástica a sus esquemas de estudio, en los escenarios en que ella facilite el análisis y formulación de modelos. Se presume que será de especial interés para programadores.

www.matematicainsolita.8m.comagradece sus comentarios y sugerencias

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13 16 24 2 10

4 7 15 18 21

20 23 1 9 12

6 14 17 25 3

22 5 8 11 19

23 6 19 2 15

4 12 25 8 16

10 18 1 14 22

11 24 7 20 3

17 5 13 21 9

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2 10 13 16 24

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17 5 13 21 9

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