AUTORREFLEXIONES

 

 

UNIDAD 3.- DETERMINANTES

 

 

1.-¿Qué son los menores y cofactores de las matrices?

Se llama menor del elemento  aik de un determinante  D de    al

determinante  Mik de orden    que se obtiene al eliminar el renglón  i   y la columna  k de  D.

   

Ejemplo 1.

 

Obtener los menores  M13   y   M21  del determinante  D  de   .

 

                       

 

Para  M13  eliminamos el renglón  1  y la columna  3  para obtener

 

                         

 

De la misma forma, se elimina el renglón  2   y la columna  1  para tener

 

                        

 

 

Se  llama cofactor del elemento  aik  del determinante   D,  al menor   Mik  con el  signo      (-1)i+k  y se denota   Aik,  esto es

                                                                                       (1)

                              

Ejemplo 2.

 

Obtenga los cofactores   A13  y  A21   del determinante  D  dado:

      

                       

 

De acuerdo con la fórmula  (1) el cofactor   A13 está dado por

 

                       

 

Y de la misma forma

 

                  

 

 

Expansión por cofactores de un determinante.

 

 Se puede probar el siguiente

 

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

                                    (2)

es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente

                                                                     (3)

es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

 

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas

 

2.-Menciona las aplicaciones que puedes dar a las propiedades de las determinantes.

 En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

3.-¿Qué es la Regla de Cramer? Y menciona sus aplicaciones.

 El nodo cognitivo de este trabajo es la regla de Cramer, buscando su relación con las transformaciones lineales y con las correspondientes interpretaciones geométricas. A fin de lograrlo el trabajo se organizó en dos partes.

En la primera se hizo una interpretación geométrica y demostración de dicha regla para sistemas lineales de orden tres, mediante las propiedades del producto mixto (vectorial y escalar) y del espacio euclidiano tridimensional.

En la segunda, utilizando propiedades del Álgebra lineal, se generalizan aquellos conceptos para aplicarlos a los sistemas lineales de orden n.

En las dos partes se expresaron las incógnitas como cociente de componentes ortogonales, efectuándose una interpretación de las mismas. Además, como caso particular, se analizaron las soluciones del sistema lineal cuando los vectores columna de los coeficientes de cada incógnita son ortogonales y también en el caso en que sean ortos normales

. Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz       de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que       sea cuadrado significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

Satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

Donde       es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de    por la matriz de los términos independientes,      .

4.-¿ Cuál es la importancia de estudiar las determinantes y su aplicación en tu formación profesional?

Continuando con el desarrollo del álgebra matricial, en esta unidad se estudian los determinantes. Se pretende que los alumnos se familiaricen, en primer lugar, con la idea de que el determinante de una matriz es un número

real. Posteriormente se introduce el concepto de adjunto de un elemento, que permite calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. El conocimiento de las propiedades de los determinantes contribuirá a simplificar los cálculos. Por último, se muestran otros procedimientos para calcular el rango de una matriz y la matriz inversa, usando determinantes.

El conocimiento de los determinantes es fundamental para afrontar con éxito otros temas de este curso, que los utilizan como herramienta, entre los que podemos citar, por ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, en el caso de los alumnos de Ciencias, la geometría en el espacio.

OBJETIVOS

Valorar la importancia de los determinantes, dentro del álgebra matricial.

Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.

Conocer las propiedades de los determinantes y su contribución a la simplificación de los cálculos.

Calcular la inversa de una matriz cuadrada por el método de determinantes y adjuntos.

Calcular el rango de una matriz usando determinantes.