Análisis Sísmico

1Amortiguamiento

1. Introducción:

El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para

disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguadores disipan

la energía cinética en energía térmica y/o en energía plástica (ej. atenuador de impactos).

El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las vibraciones,

fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis

de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria

rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de que todo sistema

vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad de disipar energía. Para

el control de vibraciones e impactos en maquinaria, se utiliza el concepto de

amortiguamiento como una técnica para disipar energía del sistema, manipulando así la

amplitud de vibración en el sistema y otros parámetros de estudio.

Por ejemplo, un sistema mecánico que posea masa y elasticidad tendrá una frecuencia

natural y además la particularidad de llegar a vibrar; si se le proporciona energía al

sistema éste tenderá a vibrar, o si una fuerza externa actúa en el sistema con cierta

frecuencia, el sistema podría entrar en un estado de resonancia y esto a su vez significaría

una condición de alta vibración y el sistema se vuelve inestable (y dispuesto a fallar. En

todo esto se fundamenta la importancia del estudio del amortiguamiento,

principalmente en ingeniería mecánica.

Asimismo, existen diferentes mecanismos o tipos de amortiguamiento, según sea su

naturaleza:

Amortiguamiento viscoso. Se produce por la resistencia de un fluido al

movimiento de un sólido, siendo este viscoso o turbulento.

Amortiguamiento por histéresis. Se ocasiona por la fricción interna molecular o

histéresis, cuando se deforma un cuerpo sólido.

Amortiguamiento por fricción seca. Es causado por la fricción cinética entre

superficies deslizantes secas (𝐹 = 𝜇𝑁).

2. Tipos de Amortiguamiento: El movimiento de las estructuras sometidas a fuerzas variables durante un periodo de

tiempo, dependen en particular, de las propiedades de amortiguamiento, es decir, de la

disipación de la energía por los materiales constitutivos de la estructura, entre las

ligaduras de sus diferentes elementos, entre ellos y el medio circunvecino. De acuerdo a

los fenómenos físicos, se distinguen tres tipos de amortiguamiento:

Análisis Sísmico

2Amortiguamiento

2.1 Amortiguamiento Viscoso:

Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder

energía cinética debido a que la viscosidad del fluido se opone al movimiento. Esta

pérdida de energía cinética está directamente asociada con la velocidad del

movimiento. La descripción matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso

es la siguiente:

𝐹𝑎 = 𝑐 𝑥

Donde:

𝐹𝑎= Fuerza producida por el amortiguador

𝑐 = Constante del amortiguador

𝑥 = Velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador

En general se representa por medio del diagrama de la Figura 1, el cual recuerda los

amortiguadores utilizados en los automóviles, los cuales son amortiguadores viscosos

pues producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso a

través de unos orificios en el émbolo de un pistón de acción doble.

Figura 1. Relación fuerza-velocidad para un amortiguador viscoso

El amortiguamiento viscoso se presta para una descripción matemática simple, lo cual

permite resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema dinámico

sin mayor problema. Por esta razón se utiliza aún en casos en los cuales la descripción

matemática no corresponde exactamente al fenómeno físico.

2.1.1 Vibración libre con amortiguamiento viscoso:

La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración

libre es:

𝑚. �̈� + 𝑐. �̈� + 𝑘. 𝑢 = 0 (Ec.1)

Análisis Sísmico

3Amortiguamiento

Dividiendo la ecuación 1 por la masa se obtiene:

�̈� + 2𝜉𝜔𝑛�̈� + 𝜔𝑛2𝑢 = 0 (Ec.2)

Donde:

𝜉 =𝑐

𝑐𝑐𝑟

𝑐𝑐𝑟 = 2𝑚𝜔𝑛 = 2√𝑘𝑚 = 2𝑘𝜔𝑛

⁄

El coeficiente de amortiguamiento crítico, 𝑐𝑐𝑟 y la razón o relación de

amortiguamiento crítico 𝜉, son parámetros que determinan el tipo de

movimiento del sistema.

2.1.1.1 Tipos de Movimiento

Figura 2. Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado

y subamortiguado.

La Figura 2 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento

𝑢(𝑡) debido a un desplazamiento inicial 𝑢(0)para tres valores distintos de 𝜉:

Si 𝑐 = 𝑐𝑐𝑟 o 𝜉 = 1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin

oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o

sistema con amortiguamiento crítico.

Análisis Sísmico

4Amortiguamiento

Si 𝑐 > 𝑐𝑐𝑟 o 𝜉 > 1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de

equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema

sobreamortiguado.

Si 𝑐 < 𝑐𝑐𝑟 o 𝜉 < 1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio

con una amplitud que decrece progresivamente, y es llamado sistema

subamortiguado.

El coeficiente de amortiguamiento crítico 𝑐𝑐𝑟, llamado así debido a que es un

valor pequeño de 𝑐 que inhibe completamente la oscilación y representa la línea

de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de

amortiguamiento 𝜉 < 1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es

por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.

2.1.1.2 Sistema Subamortiguado

Para un sistema subamortiguado (𝜉 < 1) el desarrollo de la ecuación 2 su

solución es:

𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 [𝑢(0) cos 𝜔𝐷𝑡 + (�̈�(0)+𝜉𝜔𝑛𝑢(0)

𝜔𝐷) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡] (Ec.3)

Donde 𝜔𝐷 es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:

𝜔𝐷 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2

Figura 3. Efecto del amortiguamiento en Vibración libre

Análisis Sísmico

5Amortiguamiento

Nótese que la ecuación 3 aplicada a un sistema no amortiguado (ξ=0) se reduce.

La Figura 3 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin

amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la

misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado

la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

Y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente

forma:

La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo 𝑇𝐷 es

constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural

de esta cantidad y está dado por:

Y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de 𝜔𝑛 a 𝜔𝐷

y aumentar el periodo natural de 𝑇𝑛 a 𝑇𝐷; este efecto es despreciable para una

relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual están

incluidas la mayoría de las estructuras; y, valga la redundancia, para la mayoría

de las estructuras 𝜔𝐷 y 𝑇𝐷 son aproximadamente iguales a 𝜔𝑛 y 𝑇𝑛.

2.1.2 Sistemas De Amortiguamiento Viscoso

Los amortiguadores viscosos y los amortiguadores viscoelásticos son clasificados

como mecanismos de amortiguamiento viscoso. Estos amortiguadores utilizan

materiales viscosos o viscoelásticos. Los amortiguadores viscosos utilizan la

resistencia viscosa, el cual opera como una función de la velocidad. Los

amortiguadores viscoelásticos aprovechan la deformación de corte de

materiales basados en polímeros altamente disipativos.

Análisis Sísmico

6Amortiguamiento

Estos sistemas pueden funcionar para niveles de vibración muy pequeños

comparados con los mecanismos de histéresis. El efecto de amortiguamiento

por unidad de volumen del dispositivo es limitado y por ello, estos

amortiguadores deben ser grandes para compensar. Las funciones de los

mecanismos de amortiguamiento viscoso son también afectadas por factores

como la temperatura y la velocidad de vibración. Durante el diseño de los

amortiguadores se debe investigar la capacidad de deformación y

amortiguamiento de éstos, bajo condiciones de temperatura locales. Debido a

que la temperatura de los materiales viscosos y viscoelásticos se elevan bajo

repetidos ciclos de carga, los efectos de amortiguamiento descienden, es por

ello que puede ser necesario la utilización de placas de acero con gran capacidad

térmica u otras medidas de resistencia al calor en el dispositivo. Los mecanismos

de amortiguamiento viscoso requieren mantenimiento, tales como cambios de

aceite de los amortiguadores de aceite, para prevenir la deterioración.

A continuación se describen distintos dispositivos de amortiguamiento viscoso

que están en el mercado.

2.1.2.1 Amortiguador de Aceite de Alto Rendimiento - HiDAM

El amortiguador de aceite de alto rendimiento, denominado HiDAM, es otro tipo

de dispositivo producido por la empresa japonesa Kajima Corporation. Este

dispositivo de control sísmico de tipo pasivo es un mecanismo de

amortiguamiento viscoso. El amortiguador puede ser instalado entre la parte

superior del arriostramiento y las vigas (para un arriostramiento en forma de V

invertida) o entre la parte inferior del arriostramiento y las vigas (para un

arriostramiento en forma de V), incorporando en cualquiera de los casos una

gran capacidad de absorción de energía dentro de la estructura de un edificio

alto. Tal como se muestra en la siguiente figura, el dispositivo encierra aceite en

ambos lados de un pistón. La eficiencia del amortiguamiento es lograda por el

movimiento relativo del pistón y la resistencia del fluido (aceite) que pasa por

las válvulas de control de presión que conectan ambas cámaras de aceite de

manera que genera una gran fuerza de amortiguamiento por un pequeño golpe

del pistón.

El dispositivo es conectado al arriostramiento por medio del anillo de horquilla

fijado en el extremo de la barra y el cilindro.

Análisis Sísmico

7Amortiguamiento

Figura 4. Instalación del amortiguador entre el arriostramiento y las vigas.

Figura 5. Amortiguador de Aceite de alto rendimiento (HiDAM).

En cuanto al costo del dispositivo, la empresa calcula que razón de costo

dispositivo/edificio es entre un 0.5 y 1.5 % y que el ahorro en costo estructural

obtenido de aplicaciones reales es entre un 1 - 3%.

2.1.2.2 Amortiguador Viscoso de Taylor

Este tipo de amortiguador viscoso es diseñado, fabricado y distribuido por la

empresa Taylor Devices, Inc., de New York. Al dispositivo se le asigna el nombre

de TFVD (Taylor Fluid Viscous Dampers) y posee prácticamente las mismas

características del amortiguador HiDAM. Como se puede apreciar en la Figura 6,

el amortiguador se divide en tres secciones. La carga fuerza al pistón a comprimir

al fluido viscoso de la sección central, el cual a la vez fuerza al fluido a entrar a la

primera sección, el que absorbe e iguala la fuerza de la carga entrante.

Entonces, en cuestión de milisegundos, el fluido es forzado a ingresar a la tercera

sección para prevenir que el pistón regrese bruscamente.

Análisis Sísmico

8Amortiguamiento

Figura 6. Componentes del amortiguador TFVD.

En edificios el amortiguador puede ser instalado en arriostramientos diagonales,

en arriostramientos en forma de V invertida o como parte de una aislación de

base.

Figura 7. Formas de instalación del amortiguador TFVD en edificios, a) en arriostramientos diagonales; b) en arriostramientos en forma de V invertida y c) como parte de aislación de base.

Los amortiguadores TFVD se pueden instalar tanto en edificios nuevos como

también en edificios existentes, aun estando ocupados. Estos amortiguadores

son ideales para proteger edificios altos y torres contra los efectos de fuertes

vientos. Para la protección frente a terremotos son eficientes solo si la

construcción no es muy alta. Sin embargo, estos amortiguadores viscosos no

solo son utilizados en edificios, sino también en puentes y carreteras en sobre

nivel, tanto para controlar las fuerzas sísmicas como la de los fuertes vientos.

Análisis Sísmico

9Amortiguamiento

Figura 8. Instalación del amortiguador de Taylor en un puente.

2.1.2.3 Amortiguador Viscoelástico 3M

El amortiguador de corte viscoelástico (VE), comprende dos o más capas de

material con una configuración tipo sándwich como se muestra en la Fig. 9.

Generalmente, son introducidos en los arriostramientos de diagonales simples.

En la Fig. 10 se muestra una instalación típica del amortiguador. El material

usado en los amortiguadores son polímeros altamente disipativos que tienen un

comportamiento viscoelástico. El más utilizado corresponde a una clase de

copolímero de acrílico que ha sido desarrollado por la empresa estadounidense

3M Co. (Minnesota Mining and Manufacturing (3M) Company). Este es uno de

los cuatro tipos de polímeros altamente disipativos, que se encuentran

generalmente disponibles en 3M. Los materiales tienen características

dinámicas estables, son químicamente inerte, y poseen buenas propiedades de

envejecimiento. Además, son resistentes a los contaminantes ambientales.

El comportamiento del material VE es influenciado por tres propiedades

portantes. Estas son el módulo de pérdida de corte, el módulo de

almacenamiento de corte y su razón, que es el factor de pérdida de corte. Estas

propiedades son sensibles a la frecuencia de excitación, cambios de temperatura

y al nivel de tensión de deformación, siendo la relación general la misma para

todos los materiales. Así, una relación general puede ser usada para predecir las

propiedades de los cuatro materiales. Esto es la base de los esquemas de

propiedades del material desarrollado por el fabricante.

Análisis Sísmico

10Amortiguamiento

Figura 9. Planta, elevación y vista isométrica del amortiguador viscoelástico 3M.

Figura 10. Instalación típica del amortiguador viscoelástico en un marco arriostrado

Este tipo de amortiguador aprovecha el desplazamiento relativo entre el

arriostramiento y la viga para disipar la energía de vibración y de esta forma

reducir el movimiento de respuesta de la estructura. Los amortiguadores

viscoelásticos exhiben curvas de histéresis elípticas, típicas de materiales con

propiedades que dependen de la velocidad. Tales curvas son de forma regular y

muestran un comportamiento estable. Estos amortiguadores no tienen un nivel

de fuerza de activación, como por ejemplo lo tienen los dispositivos de fricción.

De esta manera disipan energía para todos los niveles de excitación sísmica.

Los amortiguadores viscoelásticos han mejorado la solución al problema de las

vibraciones producto de la acción del viento en edificios de gran altura y han

permitido aumentar el amortiguamiento de las estructuras, prueba de ello es el

prolongado buen comportamiento de estructuras altas en que se han incluido.

Análisis Sísmico

11Amortiguamiento

2.1.2.4 Amortiguador SAVE

Este dispositivo de tipo pasivo, es un amortiguador viscoelástico denominado

SAVE, cuyo nombre proviene de "Shimizu Asphaltic Visco Elastic Damper" y es

desarrollado por la empresa japonesa Shimizu Corporation.

El amortiguador SAVE está compuesto de múltiples capas, que van alternando

placas de acero y material viscoelástico, que son insertados dentro de los muros

del edificio. De esta forma, en respuesta a la distorsión del edificio, los

materiales viscoelásticos se deforman y absorben energía reduciendo así las

vibraciones. En otras palabras, el amortiguador utiliza el desplazamiento relativo

entre pisos para disipar la energía. Por ello son instalados en cada piso del

edificio. El amortiguador SAVE utiliza como material viscoelástico un tipo de

asfalto que tiene las características mecánicas de un material polímero

termoplástico.

Por otra parte, este sistema es efectivo para reducir la respuesta de vibración

del edificio causada no sólo por vientos, sino también por sismos moderados.

Este dispositivo no necesita ninguna instalación adicional y se instala dentro de

la parte superior de los muros del edificio, a lo largo de éstos. De ésta manera,

el amortiguador se conecta al muro por su parte inferior y a la viga por su parte

superior. En la Fig. 11 se muestra un esquema del amortiguador SAVE y la forma

de funcionamiento del amortiguador (deformación del material viscoelástico).

Figura 11. Esquema del amortiguador SAVE.

Análisis Sísmico

12Amortiguamiento

2.1.2.5 Amortiguador V-SAVE

Este dispositivo de tipo pasivo, es un amortiguador viscoelástico que aplica

algunos principios del amortiguador SAVE, con la diferencia que reduce la

vibración vertical en los pisos y vigas principales. Al igual que el amortiguador

SAVE este dispositivo es desarrollado y fabricado por la empresa japonesa

Shimizu Corporation.

El amortiguador V-SAVE está compuesto por múltiples capas que van alternando

placas de acero y material viscoelástico. Este amortiguador utiliza la

deformación del material viscoelástico para absorber energía y de esta forma

reducir las vibraciones verticales. Para ello utiliza el principio que se muestra en

la Fig. 12, en donde el equipo con el material viscoelástico es fijado por debajo

de la viga por medio de pernos y está al deformarse, por medio de una carga

vertical o flexional, produce que el material viscoelástico se deforme. En otras

palabras, al traccionarse la fibra inferior de la viga hace mover a la placa de acero

y de esta forma se deforma el material viscoelástico.

Figura 12. Descripción de la distorsión del dispositivo V-SAVE ubicado por debajo de la viga.

El amortiguador V-SAVE es efectivo para reducir la respuesta de vibración

vertical a cargas que produzcan la tracción en la fibra inferior de la viga. Una

ventaja del dispositivo es que no necesita ninguna instalación adicional y es de

fácil colocación.

Este dispositivo aún no ha sido aplicado a estructuras reales, puesto que todavía

se encuentra en fase de desarrollo. Sin embargo, una aplicación interesante para

reducir la vibración vertical puede ser en vigas de puentes, pero para ello se

necesita un estudio más acabado.

Análisis Sísmico

13Amortiguamiento

2.2 Amortiguamiento por Fricción:

Este tipo de amortiguamiento describe el fenómeno físico de fricción entre superficies

secas el cual es independiente de la velocidad el movimiento una vez este ha sido

iniciado.

Usualmente se trata como amortiguamiento viscoso interno, cuando el nivel de

desplazamiento es pequeño, o como amortiguamiento histerético cuando es alto. La

fricción de cuerpo es grande en los muros de mampostería confinados cuando estos

se agrietan y proporcionan una resistencia sísmica muy efectiva.

El amortiguamiento de Coulomb, corresponde a un amortiguamiento de fricción, con

dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.

Figura 2: Amortiguamiento por fricción

Fa = fuerza producida por el amortiguamiento.

µ = coeficiente de fricción dinámica (adimensional)

N = fuerza normal a la superficie de fricción

Su tratamiento matemático no puede realizarse por medio de funciones continuas,

debido a que depende del signo de la velocidad, lo que introduce complejidad a la

solución.

2.3 Amortiguamiento Histerético:

La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se

relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo.

Este tipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es

Análisis Sísmico

14Amortiguamiento

sometido a inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del

elemento se encuentra en el rango inelástico o no lineal. El hecho de que la curva de

carga tenga una trayectoria diferente a la curva de descarga conduce a que no toda la

energía de deformación acumulada en el elemento se convierta en energía cinética en

el ciclo de descarga. Dependiendo del tipo de material la forma tanto de la curva de

carga como la de descarga varía. A modo ilustrativo, en la siguiente figura se muestra

el comportamiento, en términos de fuerza-deformación, de un elemento estructural

construido con un material inelástico durante unos ciclos de carga y descarga,

incluyendo reversión del sentido de las fuerzas aplicadas.

Curva fuerza-deformación para un material inelástico

En la figura se ha marcado la fuerza de fluencia Fy, a partir de la cual hay deformación

sin que se presente un aumento en la fuerza. Una vez que se invierte el movimiento,

se inicia el ciclo de descarga, y el material reacciona de una manera diferente a cuando

fue cargado, hasta cuando llega a la fluencia en el lado opuesto, -Fy.

La acumulación de energía de deformación corresponde al área bajo la curva de carga,

en la parte (a) de la siguiente figura. Cuando el sistema descarga la energía que el

sistema transfiere para convertirse en energía cinética corresponde al área bajo la

curva de descarga, parte (b). La diferencia entre las dos áreas corresponde a energía

disipada por el sistema y que se convierte en calor, ruido u otros tipos de energía,

parte (c).

Análisis Sísmico

15Amortiguamiento

Disipación de energía en un sistema inelástico

Aunque en algunos casos el comportamiento histerético de los elementos

estructurales puede describirse por medio de modelos relativamente simples como es

el modelo elasto-plástico, en la gran mayoría de los casos hay necesidad de recurrir a

modelos matemáticos más complejos.

Cuando al material se le imponen una serie de ciclos de carga, descarga, y carga en el

sentido opuesto; en los cuales los esfuerzos sobrepasan el límite elástico del material,

se obtiene este tipo de comportamiento y se conoce con el nombre de respuesta

histerética.

La ecuación de movimiento de un marco de N grados de libertad con un dispositivo

disipador de energía en cada entrepiso, sujeto a excitación sísmica está definida por:

donde M, C y K son las matrices N x N de masas, amortiguamiento y rigidez estructural;

son la aceleración, velocidad y desplazamiento de la masa,

respectivamente; �̈�𝑔(𝑡) es la excitación sísmica del terreno y 𝑓𝑛𝑒(𝑡), es la fuerza local

debida al amortiguamiento pasivo instalado en la n-ésima ubicación de la estructura.

El modelo histerético del disipador de energía que considera deterioro de resistencia

y rigidez con un endurecimiento por deformación lineal esta definido por (Ozdemir,

1976):

Análisis Sísmico

16Amortiguamiento

donde Fo y xo, son la fuerza y el desplazamiento característico, respectivamente. S es

una variable interna con las características de esfuerzo invertido y con dimensiones

de fuerza para incluir el endurecimiento del material. (S-F) es una fuerza efectiva que

gobierna el término no lineal de la ecuación en cuestión. F* es la fuerza instantánea

de fluencia con un valor inicial F0 = Fy. y X(t) es la función de desplazamiento. El punto

sobre las variables indica la diferenciación con respecto a t.

Las constantes del material Fo , xo, α y n pueden determinarse a partir del primer ciclo

de histéresis; mientras que β puede estimarse como el cambio total de F* durante los

ciclos ensayados usando la intersección de F en los ciclos como una medida de la

resistencia de fluencia (Ozdemir,1976).

Para considerar el análisis de un sistema de un grado de libertad, gdl, las matrices y

vectores de la primera ecuación pueden reducirse a M=m, C=c, K=k:

donde N=1, así, la ecuación puede escribirse como:

Análisis Sísmico

17Amortiguamiento

Las ecuaciones del modelo histerético para un disipador de energía se reducen a:

haciendo:

La serie de ecuaciones de movimiento del sistema estructural de un marco de cortante

de un grado de libertad con un disipador de energía sujeto a excitación sísmica está

dado por la ecuación en donde reemplaza N=1, donde:

Análisis Sísmico

18Amortiguamiento

Las constantes n, α, y β, se pueden determinar mediante mínimos cuadrados

lineales (Amateco et al., 2004).

La respuesta sísmica en el espacio de estado está dada por:

Donde ze(t) es el vector de estado. Las series de ecuaciones dadas anteriormente

pueden representarse en el espacio de estado como:

Análisis Sísmico

19Amortiguamiento

Esta representación diferencial de primer orden puede definirse explícitamente como:

Análisis Sísmico

20Amortiguamiento

Alternativamente estas ecuaciones pueden escribirse como:

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante integración numérica.

Índice de Comportamiento de un Sistema Estructural con un Dispositivo de Energía:

El desempeño sísmico de estructuras con disipadores de energía puede medirse

mediante un índice de comportamiento. Este puede definirse suponiendo que el

mecanismo de disipación de energía está concentrado en los disipadores, de tal

manera que la estructura principal no se dañe.

El índice de comportamiento para un marco de N grados de libertad con un disipador

por entrepiso, mide la capacidad de los dispositivos para disipar la energía impartida

a la estructura por sismo. Integrando los términos de fuerza de la ecuación de

movimiento se obtiene:

Para un marco de cortante de un gdl con un disipador de energía, donde N =1, la

ecuación que se mostró anteriormente puede escribirse como:

Análisis Sísmico

21Amortiguamiento

El primer término de la ecuación anteriore puede expresarse en términos de la

aceleración absoluta �̈�𝑎𝑏𝑠 y el desplazamiento absoluto 𝑥𝑎𝑏𝑠 como sigue:

Sustituyendo se obtiene:

Esta ecuación de energía impartida se ignoran los efectos de la interacción suelo-

estructura, así como la inestabilidad dinámica y los efectos de la gravedad de la

respuesta no lineal (Trifunac et al., 2001).

La energía impartida absoluta por sismo EI, está definida por:

La energía cinética absoluta EK, es:

La energía elástica de deformación ES, se define como:

La energía inherente al amortiguamiento viscoso ED, es:

La energía asociada al disipador de energía EP, está definida por:

Análisis Sísmico

22Amortiguamiento

donde EPH y EPS son la energía disipada por el disipador y la energía elástica de

deformación recuperable, respectivamente, las cuales están definidas por:

donde kpref es la rigidez de prefluencia de la estructura. Finalmente, el índice de

comportamiento de la capacidad del amortiguador para disipar la energía impartida,

IEDM, está definido por la relación que existe entre la energía disipada por los

dispositivos y la energía impartida a la estructura por sismo, esto es:

Así, la descripción de la respuesta de una estructura sujeta al movimiento sísmico del

terreno puede escribirse como:

El término derecho de esta ecuación es la capacidad de energía de la estructura,

mientras que el izquierdo es la energía demandada por el sismo sobre la estructura.

Así, para que la estructura resista un sismo la capacidad de energía debe ser mayor

que la demandada.

Respuesta Sísmica Histerética del Modelo Estructural con un Disipador

En la primera figura de este segmento se presentan las curvas de histerésis del modelo

de Ozdemir simplificado, obtenidas para un sistema de un grado de libertad sujeto a

la excitación sísmica mostrada en la segunda figura. En ella, se puede observar ciclos

histeréticos no cerrados y desplazamiento de las curvas que, además, son

inconsistentes con un comportamiento físico.

Análisis Sísmico

23Amortiguamiento

Para evaluar el modelo histerético de Ramberg-Osgood con deterioro del material, se

obtuvo la respuesta sísmica de tres modelos estructurales de un grado de libertad

sujetos al sismo registrado el 19 de septiembre de 1985 en la ciudad de México. Uno

de ellos tiene comportamiento elástico, el otro elástoplástico y el tercero tiene un

disipador de energía. Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 1.

Al suponer la no-linealidad concentrada en el disipador, la respuesta del marco es

elástica. En la tercera se presenta la curva histerética del disipador. En la Tabla 1 se

observa que en el marco con disipador de energía, el desplazamiento máximo se

redujo aproximadamente el 16 %, y el 17, 3.1 y 16.3 % para la velocidad, aceleración

y la fuerza, con respecto al modelo convencional. Mientras que, respecto al modelo

elastoplástico, la reducción fue de 18.3 y 14.1 para el desplazamiento y la velocidad

respectivamente, sin embargo, la aceleración se incrementó 6.1 % y la fuerza fue 3

veces mayor que la del modelo elastoplástico.

En la cuarta figura se presentan las curvas de energía impartida, EI, de energía asociada

al disipador de energía, EP, de energía elástica de deformación recuperable, EPS y de

energía disipada por el disipador, EPH. Por otro lado, en la quinta figura se observa el

índice de comportamiento para evaluar el desempeño del sistema estructural. Este

índice representa en términos generales la fracción absoluta de energía impartida que

es disipada en el tiempo ti por el disipador. Así, de acuerdo con las figuras 4 y 5, en

t=180.12 s, EI=1403.7 cm/s² y EPH=95.8 cm/s², por lo tanto, se disipó un 6.82 % de la

energía máxima impartida por el sismo y en el segundo 72.02, EI=1329.23 cm/s² y

EPH=36.44 cm/s², y se disipó un 2.74 % de la energía impartida por el sismo.

Análisis Sísmico

24Amortiguamiento

Análisis Sísmico

25Amortiguamiento