UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

NÚCLEO UNIVERSITARIO “RAFAEL RANGEL” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

TEMA Nº 6:

ESTUDIOS DE LAS RENTAS

Se entiende por renta una sucesión de capitales disponibles en vencimientos determinados.

A cada uno de los capitales se le denomina término, y periodo al tiempo transcurrido entre

dos términos consecutivos.

Algunos ejemplos de anualidades son:

· Los pagos mensuales por alquiler.

· El cobro quincenal o semanal de sueldos.

· Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.

· Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre un pago y otro,

y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo

de pago y el periodo final de pago. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se

hace.

Las rentas pueden clasificarse según distintas características. La variación de los elementos

que intervienen en ellas hace que existan diferentes tipos. Se clasifican por:

A) Naturaleza del Capital

1. Ciertas

2. Contingentes

B) La probabilidad de Ocurrencia

1. Ciertas

2. Contingentes

C) El momento de cada Pagos

1 Vencidas

2. Anticipadas

D) El momento del Primer Pago

1. Inmediatas

2. Diferidas

E) La determinación temporal:

1. Temporales

2. Perpetuas

F) El periodo de capitalización:

1. Enteras

2. Fraccionadas

A) De acuerdo a la naturaleza del Capital las rentas son:

1)Rentas Constantes. Todos sus capitales son iguales

2) Rentas Variables: Al menos uno de sus términos es diferente

B) De acuerdo a la probabilidad de ocurrencia las rentas son

1)Ciertas: siempre se verifica el intercambio que se pretende con la operación

2)Contingentes: el intercambio depende de la ocurrencia de un hecho fortuito o

contingente.

C) De acuerdo con el momento en que realizan los pagos las rentas son:

1) Vencidas. son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al

momento final de cada periodo.

2) Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo.

D) De acuerdo al periodo en que se inician las rentas pueden ser:

1) Inmediatas. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene

lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato.

2) Diferidas. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la

formalización del trato (existe un periodo de diferimiento).

E) De acuerdo a la determinación temporal las rentas pueden ser:

1) Temporales: cuando se conoce previamente el momento inicial y final de la

operación financiera.

2) Perpetuas: cuando no se puede definir previamente el momento final de la

operación financiera.

F) De acuerdo a su periodo de capitalización, las rentas se clasifican en:

1) Enteras: cuando las rentas se realizan con una periodicidad anual, en este caso se

les denomina anualidades.

2) Fraccionadas: Cuando el periodo de capitalización es una parte (fracción) de año.

Puede ser meses, bimeses, trimestres, cuatrimestres, o semestres

Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable

mensualmente.

Rentas Ordinarias

Representan un conjunto de capitales iguales, realizados a intervalos de tiempo sucesivos,

en fechas equidistantes y originados en una misma operación financiera, que cumple con

las siguientes condiciones: * Ciertas * Constantes

* Inmediatas * Vencidas

* Temporales * Enteras

Valor Actual de las rentas ordinarias:

El valor actual de una renta ordinaria es igual a la sumatoria de los valores actuales de cada

uno de los valores que la conforman:

0 1 2 3 ........... n

Primeramente se debe tener determinado los siguientes términos:

Capital Inicial (A) = total de la deuda adquirida. Valor de la renta en el momento cero

Interés(i) = interés determinado en la operación.

Renta(a) = Monto de cada pago en cada periodo de capitalización.

A= a *(1-(1+i)-n / I) Conocinedo el valor actual de una renta (A) se puede calcular el valor de la renta: a = A * (i / 1-(1+i)-n)

a a a a a a a A

Ejemplo: ¿Qué cantidad deberíamos depositar en una inversión cuyo tipo de interés anual

es del 15 %, si queremos recibir al final de cada uno de los próximos 7 años una renta de

Bs. 850.000?

Solución:

Datos:

A = ?

i = 15 % anual

a = Bs. 850.000

n = 7 años

A= 850.000 * (1-(1+0,15)-7 / 0,15) A = 3.536.356,77 Bs.

Valor Final de las rentas ordinarias:

El valor final de una renta ordinaria es igual a la sumatoria de los valores finales de cada

uno de los valores que la conforman:

0 1 2 3 ........... n S= a * ((1+i)n –1) / i Conocinedo el valor final de una renta (A) se puede calcular el valor de la renta: a = S *( i / (1+i)-n-1)

Ejemplo: ¿Cuál será el valor final de 16 anualidades de Bs. 692.000 si el tipo de interés

anual pactado es del 17 %?

Solución:

Datos:

S = ?

i = 17 % anual

a = Bs. 692.000

n = 16 años

a a a a a a a S

S= 692.000 * (1+0,17)16 -1/ 0,17 S = 46.121.002,60 Bs.

Cálculo del número de rentas (tiempo)

El numero de pagos de una renta es el numero de aportaciones que son necesarias o que se

deben realizar para saldar una deuda, tomando en cuenta la tasa de interés que esta deuda

pueda generar y los intervalos de tiempo (periodos de capitalización). Responde a la

pregunta ¿cuántos pagos se deben realizar? Pueden distinguirse dos casos:

Partiendo del factor de actualización de una renta: se puede deducir la formula de

actualización de las rentas:

De A= (a * (1-(1 + i ) -n / i ) ) , se obtiene que

n = - log(1 - A / a*i) / log(1+i) )

Ejemplo: ¿Cuántos pagos anuales de Bs. 1.900.000 se deben realizar para saldar una

deuda de Bs. 8.000.000 la cual se adquiere hoy con un 14 % de interés anual?

Solución:

Datos

A= Bs. 8.000.000

a= Bs. 1.900.000

i = 14 % anual

n = - ( log(1 - A /a*i) / log(1+i) )

n = - log(1-(8.000.000/1.900.000 )* 0,14 ) / log(1+.014) )

n = 6.794833642 años El numero de pagos anuales a realizar es de 6 y un pago final menor al pago determinado

Rentas Anticipadas:

La renta se paga al principio de cada periodo. Por ejemplo:

Por regla general, el alquiler de una vivienda se paga a primeros de mes.

Las aportaciones regulares a un fondo de pensiones.

El valor actual de una renta anticipada, de duración n periodos y de tipo de interés i, se

designa por:

A’= a * (1-(1+i)-n / i) * (1+i) Conociendo el valor actual de una renta anticipada (A’) se puede calcular el valor de la renta: a = A’ *( i / 1-(1+i)-n) * (1+i) -1

Ejemplo: Un articulo adquirido a crédito debe cancelarse mediante 5 pagos anuales

anticipados por Bs. 550.000. ¿Cuánto es su valor de contado si el interés por el crédito es

21 % anual.

Solución:

Datos:

a= Bs. 550.000

n = 5 años

i = 21 % anual

A’= ?

A’= 550.000*( 1-(1+0,21)-5 / 0,21) * (1+021) A’= 1.947.242,57 Bs.

Rentas Diferidas:

En la renta diferida se comienza a paga (cobrar) varios periodos después del momento de

la negociación. Este periodo es denominado periodo de diferimiento o periodo de gracia.

Partiendo del factor de actualización de una renta: se puede deducir la formula de las rentas

diferidas:

De A= a * (1- (1 + i ) -n / i ) , se obtiene que

Ak= a * ( 1-(1 + i ) -n / i )*(1+i)-(k-1)

Conociendo el valor actual de una renta diferida (Ak) se puede calcular el valor de la renta: a = Ak * (i / 1-(1+i)-n)* (1+i) (k-1)

Amortización

a a a a a a a

Se denomina así a la representación contable de la depreciación monetaria que en el

transcurso del tiempo sufren los activos inmovilizados. La amortización tiene un sentido

económico muy claro para la empresa, ya que si ésta no recogiera la pérdida de valor

experimentada por sus activos, el beneficio resultaría ficticio y la empresa se iría

descapitalizando (no tendrá recursos para renovar sus activos cuando sea necesario).

Tablas de amortización

Las tablas de amortización muestran la situación de la deuda, el pago que se realiza, la

amortización de la deuda, durante los periodos de pago.

Ejercicio: En la compra de un artículo con valor de Bs. 1.500.000, se acuerda cancelarlo en

seis años con un interés del 21 % anual. Determinar el valor de los pagos a realizar.

Solución:

Datos:

a= ?

n = 6 años

i = 21 % anual

A= Bs. 1.500.000

a = A * (i / 1-(1+i)-n) a = 1.500.000 * (0,21 / 1-(1+0,21)-6) a = Bs. 462.304,44

Cuadro de Amortización:

En el cuadro se observará que siempre, la anualidad es la suma de cuota de interés más

cuota de amortización (para cada año y en sus totales). Que el saldo deudor es el del

período anterior, menos la cuota de amortización que se aplique en el período, y así,

hasta cero. Que las cuotas de interés son sobre el saldo deudor, o capital pendiente de

amortizar. Que cuando el capital pendiente es cero, el capital amortizado es el todo.

n a CI CA TA Saldo0 15000001 462.304,44 315000 147304,44 147304,44 1352695,562 462.304,44 284066,067 178238,38 325542,82 1174457,183 462.304,44 246636,008 215668,43 541211,25 958788,754 462.304,44 201345,637 260958,81 802170,06 697829,945 462.304,44 146544,288 315760,15 1117930,21 382069,796 462.304,44 80234,6553 382069,79 1500000,00 0,00