Fuente

Material

Ampere propuso una hipótesis que se acepta para el estudio de la Magnetostática en medios materiales.

Hipótesis de Ampere: La materia puede considerarse como un conjunto de corrientes atómicas.

Magnetostática en Materiales con Fuentes

El campo B será la superposición, de la fuente de corriente y el material magnetizado

B⃗=μ0

4 π (∫V '

❑ J⃗ (r⃗ ' ) R⃗R3 dV ')+ μ0

4 π (∫V '

❑ J⃗m(r⃗' , B⃗)×R⃗ '

R3 d V ' ')Ley de Biot y Savart

Utilizamos la ecuación diferencial:

∇×B⃗=μ0 J⃗ +J⃗m¿=μ0 J⃗+μ0∇×M⃗

De esta ecuación tenemos:

∇×( B⃗μ0

−M⃗ )= J⃗

Se denomina vector intensidad de campo magnetico ( H⃗ ) A/m , a la siguiente

expresión:

H⃗=( B⃗μ0

−M⃗)

Donde : ∇× H⃗= J⃗ Ley deampere generalizadaen formadiferencial

Integrando esta ecuación a través de una superficie S, tenemos:

∫S

❑

∇×H⃗ . d⃗S=∫S

❑

J⃗ . d⃗S Porel teoremade Stokes

∮C

❑

H⃗ . d⃗l=INETA Ley de AmpereGeneralizasaen formaintegral

ECUACION CONSTITUIDA DE LA MAGNETOSTATICA

Tenemos: H⃗=( B⃗μ0

−M⃗ )B⃗=μ0 H⃗+μ0 M⃗

Esta es la ecuación constituida de la Magnetostática:

B⃗=μ0 ( H⃗+M⃗ )

Tomando divergencia a la ecuación constituida de la Magnetostática a ambos miembros:

∇ . B⃗=μ0 (∇ . H⃗+∇ . M⃗ )=0

∇ . H⃗=−∇ . M⃗

Sabemos: −∇ . M⃗= ρM

∇ . H⃗=ρM

Vemos que H⃗ no es solenoidal pero si lo es en el vacio.

Integrando (∇ . H⃗=ρM) esta ecuación a través de un volumen V

∫V

❑

∇ . H⃗ dV=∫V

❑

ρM dV=QMCargatotal de magnetizacionenel volumenV

Por el teorema de la divergencia:

∮S

❑

H⃗ . d⃗S=QM

El flujo de ( H⃗ ) a través de S cerrada es igual a la carga neta encerrada.

Sea un material magnetizado

Y

O

X

Z

POTENCIAL VECTORIAL MAGNETICO DEBIDO A SU MATERIAL MAGNETIZADO

El campo potencial vector magnetico de un dipolo puntual esta dado por:

d A⃗ r⃗=μ0

4 πd m⃗( r⃗)×R⃗

R3

d A⃗ r⃗=μ0

4 πM⃗× R⃗R3 d V '

Para todo el volumen V’:

A⃗r⃗=μ0

4 π∫V '

❑M⃗ × R⃗R3 dV '

Transformando esta ecuacion mediante el uso del analisis vectorial se obtiene:

∇ '×( M⃗R )=∇ '×M⃗R

− M⃗ × R⃗R

Reemplazando en la expresion de A⃗r⃗ ;

A⃗r⃗=μ0

4 π∫V '

❑ ∇⃗ '× M⃗ r⃗

Rd V '−

μ0

4 π∫V '

❑

∇⃗'×( M⃗ r⃗

R )d V '

∫V '

❑

∇'×F⃗d V '=−∮S'

❑

F⃗× n⃗'d S '

A⃗ ( r⃗ )=μ0

4π∫V '

❑ ∇⃗'×M⃗ r⃗

RdV '+

μ0

4 π∮S '

❑ M⃗ r⃗×n̂R

d S'

S’, es la superficie cerrada que engloba el volumen V’

Sabemos:

Densidad de corriente volumétrica de magnetización:

J⃗m (r⃗ ' )=∇ '×M⃗ ( r⃗ ')

Densidad de corriente superficial de magnetización:

J⃗ SM ( r⃗ ' )=M⃗ x n̂

Obtenemos el Potencial vectorial magnético en el punto r⃗

A⃗ ( r⃗ )=μ0

4π∫V '

❑ J⃗mRd V '+

μ0

4π∮S '

❑ J⃗ SMR

d S'

CAMPO MAGNETICO B⃗DEBIDO A UN MATERIAL MAGNETIZADO

B⃗=∇× A⃗

Entonces, tomando el rotacional a ambos miembros, se obtendrá:

B⃗ ( r⃗ )=μ0

4 π∫V '

❑ J⃗m×R⃗

RdV '+

μ0

4 π∮S '

❑ J⃗ SM×R⃗

Rd S'

CAMPO B⃗ EN FUNCION DE V m y M⃗ DE UN MATERIAL MAGNETIZADO

Tenemos :

A⃗ ( r⃗ )=μ0

4π∫V '

❑M⃗ x R⃗R3 d V '

Transformando esta ecuación se llego a demostrar que:

B⃗(r⃗ )=−μ0∇V m+μ0 M⃗

Por otra parte:

B⃗(r⃗ )=μ0 H⃗+μ0 M⃗

De esta ecuación identificando tenemos:

H⃗=−∇V m

Tomando la divergencia a ambos miembros:

∇ . H⃗=−∇ .∇V m

∇ . H⃗=−∇2V m

Sabemos : ∇ . H⃗=ρM

Y finalmente ∇2V m=−ρM