Análisis Matemático en Variable Compleja

Gerardo Rossini

Introducción

La asignatura Matemáticas Especiales I de la Facultad de Ciencias Exactas,UNLP, contiene el estudio del Análisis Matemático en Variable Compleja y algunasde sus aplicaciones. El curso tiene entre sus objetivos

brindar los contenidos técnicos del análisis de variable compleja, en parti-cular de las llamadas funciones anaĺıticas.establecer un marco integral de los conceptos de análisis matemático, in-cluyendo los cursos correlativos anteriores y proyectándolos hacia casos másgenerales que la variable compleja.establecer un lenguaje lógico riguroso para formalizar la demostración deresultados del análisis matemático.brindar algunas aplicaciones a la solución de problemas planteados en va-riable real.

El reglamento de cursada y examen final es el siguiente:

Se evalúa el curso por temas. Se divide el curso en dos partes, con cuatrotemas cada una. Para aprobar la cursada se deben aprobar al menos trestemas de cada parte.Por cada parte tomamos un pre-parcial (con dos temas), un parcial com-pleto y un recuperatorio. Para cerrar, habrá una fecha flotante para quieneshayan aprobado al menos cuatro temas entre los ocho planteados.Finales: durante un año a partir del flotante se tomará práctica sólo de lostemas no aprobados durante la cursada, y teoŕıa. Luego, práctica y teoŕıacompletas.

Bibliograf́ıa

R.V.Churchill, J.W.Brown y R.F.Verhey, Variables complejas y sus aplica-ciones, McGraw Hill, New York, 1970.I. Stewart, D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, London,1983.L.V.Alfohrs, Análisis Complejo: introducción a la teoŕıa de funciones anaĺıticas,McGraw Hill, New York, 1979.M. R. Spiegel, Variable Compleja, (Serie Schaum), Mc Graw Hill, NewYork.

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Caṕıtulo 1

El plano complejo

1.1. Números complejos

Los números complejos se construyen como

(1.1.1) C =(R2,+, ∗

),

es decir pares ordenados de reales (x, y) con una suma y un producto definidos por

(1.1.2) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

(1.1.3) (x1, y1) ∗ (x2, y2) = (x1x2 − y1y2,+x1y2 + y1x2).

La suma y el producto son cerrados en C.La suma es asociativa, conmutativa, existe el elemento neutro (0, 0) y para

cada complejo (x, y) existe y es único el opuesto −(x, y) = (−x,−y). Por estaspropiedades C =

(R2,+

)forma un grupo abeliano.

El producto es asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma, existeel elemento neutro (1, 0) y para cada complejo (x, y) 6= (0, 0) existe y es único elinverso multiplicativo (x, y)−1 = (x/(x2 +y2),−y/(x2 +y2)). Por estas propiedadesC =

(R2,+, ∗

)forma un cuerpo. Como en todo cuerpo, la resta se define como la

suma del opuesto, y el cociente se define como la multiplicación por el inverso.El subconjunto de los números complejos

(1.1.4) R = {(x, 0) : x ∈ R}

es cerrado ante la suma, resta, multiplicación y división

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),

−(x1, 0) = (−x1, 0),(x1, 0) ∗ (x2, 0) = (x1x2, 0),

(x1, 0)−1 = (x−11 , 0),

se corresponde biuńıvocamente con R y respeta sus operaciones. Por esto se iden-tifica R ≡ R y se considera a los números reales como subconjunto de los númeroscomplejos, R ⊂ C. Se anota

x = (x, 0) ∈ R ⊂ C.

En particular, 0 = (0, 0).La multiplicación de un real α por un complejo (x, y) resulta, según 1.1.3,

α(x, y) = (αx, αy).

En consecuencia C, con la suma de complejos y el producto por reales, tiene es-tructura de espacio vectorial de dimensión 2 sobre R, naturalmente isomorfo a R2.

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1.2. MÓDULO Y ARGUMENTO 5

La base canónica se anota

1 = (1, 0),

i = (0, 1),

por lo cual todo complejo z = (x, y) puede escribirse en forma binómica

z = x+ iy.

El número complejo i tiene la conocida particularidad i2 = −1, que permitecalcular ráıces cuadradas de reales negativos.

1.1.1. Conjugación. Se define el conjugado de un complejo z = x+iy como

z̄ = x− iy.

Geométricamente expresa la reflexión respecto del eje real. Permite escribir

Re(z) =1

2(z̄ + z) ,

Im(z) =1

2(z̄ − z) ,

z−1 =z̄

zz̄,

donde zz̄ ∈ R.

1.2. Módulo y argumento

Los números complejos se grafican en el plano C = R2, y se pueden visualizartanto como puntos como por vectores. La suma y el producto por reales se debenvisualizar como las correspondientes operaciones vectoriales en R².

El módulo de un complejo z se define como su distancia eucĺıdea al punto 0,origen del plano,

|z| =√x2 + y2 ∈ R.

Nótese que |z|2 = zz̄.Dado z 6= 0, se puede representar en forma polar. Para eso se define el argu-

mento

arg(z) = ϕ ∈ R tal que z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) ,

es decir como el ángulo que forma el vector z con el semieje real positivo, siguiendolas convenciones trigonométricas usuales. Es importante notar que arg(z) es unarelación multivaluada: a cada complejo no nulo le corresponden infinitos argumentosreales, congruentes entre śı módulo 2π. Si φ0 es un argumento de z 6= 0, entonces

{ϕk = φ0 + 2kπ : k ∈ R}

es el conjunto de todos los argumentos posibles de z. El complejo 0 no tiene argu-mento.

1.3. TOPOLOGÍA MÉTRICA DEL PLANO COMPLEJO 6

1.2.1. Fórmula de Euler. Se define la exponencial compleja para z = x+iycomo

exp(z) ≡ ez = ex (cos y + i sin y) .En particular, queda expresado

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ,

expresión conocida como fórmula de Euler. La notación polar standard de un com-plejo z 6= 0, llamando r = |z| y ϕ = arg(z), es

(1.2.1) z = r eiϕ.

1.2.2. Producto y cociente en forma polar. El producto y el cocientetienen una expresión compacta en notación polar,

(1.2.2) r1 eiϕ1 r2 e

iϕ2 = (r1r2) ei(ϕ1+ϕ2),

(1.2.3)r1 e

iϕ1

r2 eiϕ2=

(r1r2

)ei(ϕ1−ϕ2).

1.2.3. Potencias y ráıces. Las potencias naturales se expresan con la fórmu-la de De Moivre. Dado z = r eiϕ y n ∈ N

zn = rneinϕ.

Las potencias enteras se completan definiendo

z−n ≡ 1zn

= r−ne−inϕ.

La ráız n-ésima se define como la operación inversa de la potencia n-ésima,

w = n√z ⇐⇒ wn = z.

Si z 6= 0 se escribe z = r eiϕ, resulta w = n√r eiϕ/n. Los infinitos valores de ϕ =

arg(z) dan lugar a n valores distintos

wk =n√r ei(φ0+2kπ)/n, con k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n− 1.

Cabe notar que wk = w0eik(2π/n).

1.3. Topoloǵıa métrica del plano complejo

1.3.1. Espacios métricos. Dado un conjunto M , se llama distancia en Ma toda función

dist : M ×M → Rtal que se verifican las propiedades

1. positividad: ∀z1, z2 ∈M , dist(z1, z2) ≥ 0, y dist(z1, z2) = 0 =⇒ z1 = z2.2. simetŕıa: ∀z1, z2 ∈M , dist(z1, z2) = dist(z2, z1).3. desigualdad triangular: ∀z1, z2, z3 ∈ M , dist(z1, z2) ≤ dist(z1, z3) +dist(z3, z2).

Se llama espacio métrico a un conjunto con una distancia (M, dist).En el plano complejo se define la distancia entre dos números z1 = x1 + iy1,

z2 = x2 + iy2 como la distancia eucĺıdea de los correspondientes puntos (x1, y1),(x2, y2) de R². Es decir,

dist(z1, z2) = |z2 − z1| =√

(x2 − x1) ² + (y2 − y1) ².

1.3. TOPOLOGÍA MÉTRICA DEL PLANO COMPLEJO 7

Como en toda distancia, se verifican las propiedades de positividad, simetŕıa ydesigualdad triangular. La correspondencia z = x+ iy ∈ C↔ (x, y) ∈ R2 preservala distancia, por definición. El plano complejo, con la distancia eucĺıdea, es entoncesun espacio métrico isométrico a R². En particular, la desigualdad triangular seexpresa

∀z1, z2, z3 ∈ C, |z3 − z1| ≥ |z3 − z2|+ |z2 − z1|En general, en todo espacio vectorial con producto interno la distancia canónica

se define como la norma de la diferencia,

dist(v1, v2) = ||v2 − v1|| =√

(v2, v1).

Tal es el caso de R, Rn y C.

1.3.2. Topoloǵıa métrica. Dado un conjunto M , se llama topoloǵıa a lacaracterización de conjuntos abiertos en M . Esto lleva a la caracterización de no-ciones como convergencia, continuidad, conectividad, etc. En un espacio métrico,se caracteriza naturalmenbte la topoloǵıa a partir de la distancia.

Manejaremos en general las siguientes definiciones, donde M es un espaciométrico (y en particular nos interesa M = C:

Entorno. Se llama entorno de centro z0 y radio r al conjunto

∆(z0, r) = {z ∈M : dist(z, z0) < r}

Entorno reducido. Se llama entorno reducido de centro z0 y radio r al con-junto

∆0(z0, r) = {z ∈M : 0 < dist(z, z0) < r}

Punto interior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que z0 esinterior a A si y sólo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ⊂ A

Conjunto abierto. Se dice que A ⊂M es abierto si y sólo si∀z ∈ A, z es interior a A

Punto exterior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0es exterior a A si y sólo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A = ∅Equivalentemente, z0 es exterior a A si y sólo si z0 es interior al complemento

de A en M (que anotaremos Ac).

Punto de frontera. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es punto defrontera de A si y sólo si z0 no es interior ni exterior a A.

Equivalentemente, z0 es punto de frontera de A si y sólo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A 6= ∅ ∧∆(z0, r) ∩Ac 6= ∅

Frontera de un conjunto. Se llama frontera de un conjunto A ⊂M a∂A = {z ∈M : z es punto de frontera de A}

Conjunto cerrado. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es cerrado si ysólo si ∂A ⊂ A. Es decir, un conjhunto es cerrado si contiene a todos sus puntos defrontera.

1.3. TOPOLOGÍA MÉTRICA DEL PLANO COMPLEJO 8

Entorno cerrado. Se llama entorno cerrado de centro z0 y radio r al conjunto

∆(z0, r) = {z ∈M : dist(z, z0) ≤ r}

Conjunto acotado. Se dice que A ⊂M es acotado si y sólo si∃z0 ∈M, r > 0 : A ⊂ ∆(z0, r),

es decir si A puede ser encerrado en un entorno cerrado de radio finito.

Clausura de un conjunto. Se llama clausura de un conjunto A ⊂ M a launión del conjunto on su frontera. Se anota

Ā = A ∪ ∂A

Punto de acumulación. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es puntode acumulación (o de adherencia) de A si y sólo si

∀r > 0, ∆0(z0, r) ∩A 6= ∅

Punto aislado. Dado un conjunto A ⊂M y un punto z0 ∈ A, se dice que z0es un punto aislado de A si y sólo si

∃r > 0, ∆(z0, ε) ∩A = {z0}

Propiedades. Se sugiere demostrar las siguientes propiedades:

Un entorno es un conjunto abiertoUn entorno reducido es un conjunto abiertoUn entorno cerrado es un conjunto cerrado, clausura del correspondienteentorno abierto: ∆(z0, r) = ∆(z0, r) ∪ ∂∆(z0, r)C es abierto en CC es cerrado en Cetc.

Mencionamos otras caracterizaciones topológicas que tienen que ver con curvascontinuas y familias continuas de curvas continuas. La noción de continuidad serepasa en la Clase 5.

Conjunto conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es conexo porarcos (o conexo) si y sólo si

∀z1, z2 ∈ A, ∃ una curva continua γ ⊂ A que comienza en z1y termina en z2Conjunto simplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂M , conexo, se dice

que es simplemente conexo si y sólo si todas las curvas que unen dos puntos dadosz1, z2 ∈ A son continuamente deformables entre śı dentro de A

Conjunto múltiplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , conexo, sedice que es múltiplemente conexo si y sólo si no es simplemente conexo. Es decir, da-dos z1, z2 ∈ A existen al menos dos curvas que los unen y que no son continuamentedeformables entre śı dentro de A

Caṕıtulo 2

Sucesiones y funciones complejas

En esta clase presentamos sucesiones de números complejos, funciones de varia-ble real a valores complejos y funciones de variable compleja a valores complejos, conel objetivo de familiarizar al alumno con su estructura, notación y representacióngráfica. En particular se establece su relación con sucesiones y funciones reales,buscando repasar el manejo de las últimas.

Las sucesiones y series de números o funciones complejas, las funciones de unavariable real a valores complejos y las funciones de una variable compleja a valorescomplejos serán objeto de estudio a lo largo de todo el curso.

Sucesiones a valores complejos

Una sucesión a valores complejos es una función de N en C,

z : N→ C

que a cada n ∈ N le hace corresponder un valor zn ∈ C,

n→ zn

Usaremos la notación {zn} para referirnos a dicha sucesión. También consideramossucesiones a funciones de {n ∈ N : n ≥ n0}, es decir que comienzan con ı́ndice n0.

Escribiendo en forma binómica zn = xn + iyn, la sucesión {zn} determinauńıvocamente dos sucesiones en R,{xn} y {yn}. Escribiendo en forma de par or-denado zn = (xn, yn), la sucesión {zn} determina uńıvocamente una sucesión enR2,{(xn, yn)}. En notación vectorial, ~rn = (xn, yn) y la sucesión se puede anotar{~rn}

Una sucesión {zn} compleja se representa como un conjunto infinito de puntosen el plano, manteniendo la noción del orden con que aparecen en la sucesión.Conviene pensarla como una historia en el tiempo, o un camino que se recorre.

En base a cursos anteriores, podemos estudiar la existencia de los ĺımites en R

ĺımn→∞

xn

ĺımn→∞

yn

y del ĺımite en R2

ĺımn→∞

(xn, yn)

Veremos que estos ĺımites están ı́ntimamente relacionados con la noción de ĺımn→∞ znen C.

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FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 10

Funciones de variable real y valores complejos

Una función de I ⊂ R en C,z : I ⊂ R→ C

asigna a cada valor t ∈ I un valor complejo z(t),t→ z(t)

En particular manejaremos el caso en que I = [a, b] es un intervalo cerrado.Escribiendo en forma binómica z(t) = x(t) + iy(t), la función z(t) determina

uńıvocamente dos funciones en R, x(t) y y(t). Escribiendo en forma de par orde-nado z(t) = (x(t) + iy(t)), la función z(t) determina uńıvocamente una función enR2,{(x(t), y(t))}. En notación vectorial, ~r(t) = (x(t), y(t)).

Una función compleja de variable real z(t) = x(t)+iy(t) se representa como unacurva orientada en el plano. En base a cursos anteriores, podemos estudiar ĺımite,continuidad y derivada de ~r(t) (en términos de ĺımite, continuidad y derivadas dex(t) y y(t). Con estos conceptos sabremos caracterizar dirección tangente, velocidad,longitud de arco, etc. Veremos que estos conceptos están ı́ntimamente relacionadoscon sus correspondientes en la función z(t).

Funciones de variable compleja y valores complejos

Consideremos un conjunto A ⊂ C y una funciónf : A→ C

que asigna a cada z ∈ A un y sólo un valor w ∈ C,z → w(z)

La anotaremosw = f(z)

Para visualizar este tipo de funciones, a las cuales dedicaremos este curso,corresponde ir a la noción básica de función, graficando por separado el conjuntodominio, el conjunto codominio, y flechas que describen la asignación z → w(z). Esdecir, graficar un plano complejo (z) para dibujar el dominio y otro plano complejo(w) para los valores que toma la función.

En este sentido, una función w = f(z) implementa un mapeo (o transformación)de una región del plano en otra región del plano.

Como conjunto de puntos representativos del dominio se sugiere considerardistintas curvas parametrizadas

γ : z(t), t ∈ [a, b]y sus imágenes

f(γ) : w(t) = f(z(t)), t ∈ [a, b]Mejor aún si se considera una familia de curvas γα caracterizada por algún parámetroα, como un conjunto de rectas paralelas, un haz de rectas, circunferencias concéntri-cas, etc. Se observará que la elección más conveniente de curvas depende de cadafunción en particular.

Para trabajar en coordenadas reales (es decir, representar los complejos en for-ma binómica o de par ordenado) usaremos las siguientes notaciones para distinguirparte real e imaginaria:

z = x+ iy

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 11

w = u+ iv

de forma tal quef(z) = u(x, y) + iv(x, y)

En otras palabras, la función w = f(z) determina univocamente dos funciones realesu y v de dos variables reales x y y. El mapeo descripto por w = f(z) se escribe envariables reales como

πf : A ⊂ R2 → R2

dondeπf (x, y) = (u(x, y), v(x, y))

Cabe insistir en que cada punto (x, y) ∈ A en el plano dominio se mapea a un punto(u, v) del plano imagen.

Una vez establecida la correspondencia de w = f(z) con u(x, y), v(x, y), esclaro que los conceptos de Análisis Matemático II serán de utilidad: para cadafunción u(x, y), v(x, y) se debe recordar ĺımite en dos variables, diferenciabilidad,derivadas parciales y direccionales, gradiente, curvas de nivel, etc. En particularpara el mapeo πf se debe recordar el significado de la matriz Jacobiana y lascondiciones de invertibilidad (definiendo impĺıcitamente x y y como funciones de uy v).

Caṕıtulo 3

Ĺımite de sucesiones de números complejos

Ĺımite de sucesiones complejas. Unicidad. Relación con los ĺımites de parte reale imaginaria. Álgebra de ĺımites.

Ĺımite infinito. Punto en infinito, plano complejo extendido y entornos de in-finito. Esfera de Riemann.

Sucesión adherente a un conjunto.Sucesiones fundamentales (o de Cauchy). Completitud de R, Rn,C.Anexo - propiedades de R, Rn: existencia de ı́nfimo y supremo de conjuntos

acotados, principio de encaje de intervalos, existencia de máximo y mı́nimo defunciones continuas en dominios compactos, lema de separación entre un conjuntocompacto y la frontera de un abierto que lo incluya.

Ĺımite de sucesiones

Dada una sucesión {zn} en un espacio métrico M , se tiene una noción intuitivade ĺımite: se dice que la sucesión tiene ĺımite l ∈M si se observa que los elementoszn de la sucesión se mantienen arbitrariamente cerca de l cuando sus ı́ndices sonsuficientemente grandes. De esta manera el ĺımite no se calcula, sino que se intuye.El concepto de ĺımite se formaliza con la siguiente

Definición: Dada una sucesión {zn} en un espacio métrico M ,

ĺımn→∞

zn = l ∈M ⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆(l, ε)

Ejemplo: ĺımn→∞n

1+in = −i.

Propiedad. Dada una sucesión {zn} en un espacio métrico M , si el ĺımiteexiste es único.

Demostración en clase. Basta suponer dos ĺımites distintos yy llegar a un ab-surdo contradiciendo la desigualdad triangular.

Sucesiones en C y en Rm

En C, y en general en Rm usamos la distancia eucĺıdea dist(z, z′) = |z − z′|.

Propiedad. Dada una sucesión {zn} en C, con zn = xn + iyn,

ĺımn→∞

zn = l = lx + ily ∈ C⇐⇒ ĺımn→∞

xn = lx ∈ R ∧ ĺımn→∞

yn = ly ∈ R

Demostración en clase. Basta usar |xn − lx| ≤ |zn − l| y |yn − ly| ≤ |zn − l|,|zn − l| ≤ |xn − lx|+ |yn − ly|. Se hace en C y se comenta en Rm

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LÍMITE INFINITO EN C (O EN Rm) 13

Algebra de ĺımites. Sea que en M está definida una suma, que forma grupo,y dist(z, z′) = |z−z′| (por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado). Se verificala siguiente propiedad:

Si dos sucesiones tienen ĺımite en M , {zn} → l, {wn} → m, entonces la sucesiónsuma tiene ĺımite en M ,

{zn + wn} → l +mSea que en M está definido además un producto, distributivo con respecto a la

suma (por ejemplo un espacio de matrices). Se verifica la siguiente propiedad:Si dos sucesiones tienen ĺımite en M , {zn} → l, {wn} → m, entonces la sucesión

producto tiene ĺımite en M ,{zn wn} → l m

Sea que en M es un cuerpo (Q,R,C). Se verifica la siguiente propiedad:Si dos sucesiones tienen ĺımite en M , {zn} → l, {wn} → m, y m 6= 0, entonces

la sucesión cociente tiene ĺımite en M ,

{zn/wn} → l/mEstas propiedades se demuestran como ejercicios de práctica. Basta conocer la

prueba en R y repetirla.

Ĺımite infinito en C (o en Rm)

Dada una sucesión {zn} en C (o en Rm), se tiene una noción intuitiva de ĺımiteinfinito: se dice que la sucesión tiende a infinito si se observa que los elementos zn dela sucesión se mantienen arbitrariamente lejos del origen (0) cuando sus ı́ndices sonsuficientemente grandes. El concepto de ĺımite infinito se formaliza con la siguiente

Definición: Dada una sucesión {zn} en C (o en Rm),ĺımn→∞

zn =∞⇐⇒ ∀R > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ dist(zn, 0) > R

Ejemplo: ĺımn→∞ n2/(n+ i) =∞

Debe observarse que en esta definición no importa el argumento (o la dirección)de los elementos zn, sólo su módulo.

Punto en infinito. Resulta conveniente introducir el punto en infinito co-mo un elemento ∞ /∈ C que funciona como ĺımite de las sucesiones tales quelimn→∞ zn = ∞. Una vez introducido, se define la distancia entre ese elementoy los puntos del plano complejo

∀z ∈ C, dist(z,∞) = dist(z, 0)−1,de manera tal que cuanto más lejos esté z del origen, más cerca está de infinito.

Se llama plano complejo extendido a C̄ = C∪{∞}. Tomando al plano complejocomo conjunto abierto,∞ ∈ C̄ es un punto de frontera de C ⊂ C̄, y C̄ es su clausura.

Se define un entorno reducido de infinito como

∆0(∞, r) = {z ∈ C : dist(z,∞) < r}= {z ∈ C : dist(z, 0) > 1/r}

De esta manera, se puede reescribir la definición de ĺımite infinito en el mismolenguaje que la de ĺımite finito:

ĺımn→∞

zn =∞⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆0(∞, ε)

SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD. 14

Esfera de Riemmann. Es útil visualizar el plano complejo extendido comoun plano compatificado: se piensa el plano dentro del espacio (3D) y se lo deformaenvolviendo una esfera. El cero queda en el polo sur, mientras los puntos arbitrari-amente lejanos al origen quedan arbitrariamente cerca del polo norte. Se interpretaque el polo norte representa el punto en infinito.

Técnicamente, se escribe el mapeo entre puntos del plano con puntos de laesfera mediante una proyección estereográfica.

Dibujos en clase.

Existencia del ĺımite, nomenclatura. Dada una sucesión {zn} en C (o enRm), en este curso diremos que el ĺımite de la sucesión existe y es finito cuando{zn} → l ∈ C (́ıdem en Rm) y que el ĺımite de la sucesión existe pero es infinitocuando {zn} → ∞. En otros textos se dice que el ĺımite existe sólo cuando es finito,mientras que cuando{zn} → ∞ se dice que no existe pero tiende a infinito.

Diremos además (como todos los textos) que la sucesión converge si y solo sitiene ĺımite finito.

Sucesiones fundamentales. Completitud.

Hemos visto que la definición formal del concepto de ĺımite requiere conocer elĺımite (antes de definirlo!). El concepto de sucesión fundamental describe la con-vergencia de una sucesión sin referirse al valor del ĺımite.

Definición: Dada una sucesión {zn} en un espacio métrico M , se dice que lasucesión es fundamental (o de Cauchy) si y sólo si

∀ε > 0,∃N ∈ N : n,m > N =⇒ dist(zn, zm) < εEs decir, la sucesión es fundamental si basta considerar ı́ndices suficentemente

altos para que sus elementos se mantengan arbitrariamente cercanos entre śı.

Propiedad: Dada una sucesión {zn} en un espacio métrico M ,{zn} converge =⇒ {zn} es fundamental

Demostración en clase, basta usar la desigualdad triangular.Es importante que no vale la rećıproca. En general,

{zn} fundamental ; {zn} converge

Ejemplo: Considerar un número irracional (por ejemplo π) y la sucesión en Qformada por las sucesivas aproximaciones con desarrollo decimal finito al númeroirracional: q0 = 3, q1 = 3,1, q2 = 3,14, · · · Esta sucesión es fundamental en Q perono converge, porque no encuentra ĺımite dentro de Q.

Por supuesto la misma sucesión es convergente en R. Se observa que la falta deconvergencia no es un problema de la sucesión en śı misma, sino del espacio métricoen que se la considera.

Definición: Dado un espacio métrico M , se dice que es completo si y sólo sitodas las sucesiones fundamentales en M convergen en M .

Comentario: Dado un espacio métrico que no sea completo, se lo puede com-pletar definiendo elementos externos al espacio que funcionen como ĺımite de aque-llas sucesiones fundamentales que no converjan.

SUCESIONES ADHERENTES 15

Propiedad: R es un conjunto completo.La noción de completitud es la base de la definición de R, como unión de los

racionales y todos sus huecos. Los huecos se definen técnicamente como los ĺımitesde sucesiones racionales fundamentales no convergentes.

Distintos axiomas que caracterizan a R, como la existencia del supremo desucesiones acotadas por encima, etc., son equivalentes a la caraterización de com-pletitud. Vale decir, la definición rigurosa de R permite demostrar dichos axiomas.

No vamos a profundizar en la definición de R. Usaremos sin demostración algu-nas caracterizaciones de conjuntos y distancias que se desprenden de la completitud.

Propiedad: C,Rm son conjuntos completos.Demostración en clase, basta referirse a las componentes reales.

Sucesiones adherentes

Dado un conjunto A ⊂ M, M espacio métrico, y dado z∗ ∈ M , se dice que{zn} es una sucesión en A adherente a z∗ si y sólo si:

1. ∀n, , zn ∈ A2. ∀n, , zn 6= w3. {zn} → w

Es decir, la sucesión es un camino de puntos de A que se acercan a w sin tocarlo.Más adelante las usaremos como forma elemental de explorar ĺımites de funciones,para z tendiendo a z∗.

Definición: Dado un espacio métrico M y un conjunto A ⊂M , se dice que Aes denso en M si y sólo si

∀z ∈M, ∃{zn} en A adherente a z

Caṕıtulo 4

Series de números complejos

Series de números complejos. Convergencia, convergencia absoluta. Criterios decomparación.

Series numéricas

Dada una sucesión {an} en un espacio métrico M donde haya definida unasuma, con n ≥ n0, se llama sucesión de sumas parciales de {an} a una sucesión{Sk} en M definida por

Sk =

k∑n=n0

an

La serie numérica simbolizada por∞∑

n=n0

an

se define como el ĺımite de la sucesión de sumas parciales

ĺımk→∞

Sk,

que puede existir o no. Más precisamente, si ∃limk→∞ Sk = S y es finito, se diceque la serie

∑∞n=n0

an converge en M y que su suma es S, y se anota

∞∑n=n0

an = ĺımk→∞

Sk.

En el caso en que limk→∞ Sk = ∞ se dice que la serie diverge. Nos referiremosformalmente a la serie

∑∞n=n0

an antes de determinar si converge, pero usaremos elsigno = sólo cuando hayamos determinado que converge.

Ejemplo importante: series geométricas.

Dado un número q en R o en C (llamado razón), consideramos la sucesión{an = qn}n≥0 y sus sumas parciales

Sk =

k∑n=0

qn

Es fácil calcular que

qSk − Sk = qk+1 − 1de donde se despeja, si q 6= 1,

Sk =qk+1 − 1q − 1

16

CRITERIOS DE CONVERGENCIA 17

El ĺımite de la sucesión de sumas parciales es finito si y solo si |q| < 1, en cuyo caso∞∑n=0

qn =1

1− q

En la mayoŕıa de los casos no es posible hallar una expresión cerrada para la sucesiónde sumas parciales. Sin embargo, se puede determinar en muchos casos si la serieconverge sin calcular su suma.

Criterios de convergencia

Condición necesaria de convergencia. Dada la serie∑∞n=n0

zn, para queconverja es necesario que

ĺımn→∞

an = 0

Demostración en clase. Basta ver que ∼ (ĺımn→∞ an = 0) implica que la suce-sión de sumas parciales no es fundamental, luego no puede ser convergente.

Criterio de comparación e series de términos no negativos. Dada unaserie

∑∞n=n0

an con an ≥ 0 (serie de términos reales no negativos), si existe otraserie de términos reales no negativos

∑∞n=n0

bn, con bn ≥ an , convergente, entonces∑∞n=n0

an converge.

Demostración en clase. Basta ver que la sucesión de sumas parciales de {Sk =∑kn=n0

an} es monótonamente creciente y acotada por encima por la suma∑∞n=n0

bn.Luego tiene supremo en R, que resulta ser el ĺımite buscado.

O bien que la sucesión de sumas parciales de {Sk =∑kn=n0

an} es fundamen-tal, con |Sk − Sl| =

∑kn=l+1 an ≤

∑kn=l+1 bn < ε para cualquier ε > 0 con solo

tomar k > l suficientemente grandes, ya que∑kn=n0

bn es fundamental por serconvergente.

Convergencia absoluta. Dada una serie∑∞n=n0

an con an ∈ R o an ∈ C, sepuede estudiar la serie de términos no negativos asociada

∑∞n=n0

|an|. Se dice quela serie

∑∞n=n0

an converge absolutamente si y sólo si la serie∑∞n=n0

|an| converge.

Propiedad. La convergencia absoluta implica convergencia puntual. Es decir,

∞∑n=n0

|an| converge ⇒∞∑

n=n0

an converge

Demostración en clase. Basta ver que, dados k ≥ l,

|k∑

n=n0

an −l∑

n=n0

an| = |k∑

n=l+1

an| ≤k∑

n=l+1

|an| < ε

para cualquier ε > 0 con solo tomar k, l suficientemente grandes, ya que∑kn=n0

|an|es fundamental por ser convergente.

Debe notarse que la convergencia absoluta puede ser probada con técnicas deseries de términos reales no negativos (como comparación), y asegura la convergen-cia (sin módulo).

CRITERIOS DE CONVERGENCIA 18

Otros criterios. Se pueden trabajar otros criterios de convergencia, como eldel cociente o el de la ráız. También se conocen criterios de convergencia condicional,que prueban el caso en que la serie de módulos no converge pero la serie sin módulosśı converge.

Caṕıtulo 5

Ĺımites de funciones. Continuidad.

Ĺımites de funciones (en general). Unicidad. Ĺımites por caminos (camino=sucesiónadherente). Continuidad.

Ĺımites y continuidad de funciones complejas de variable real. Álgebra deĺımites.

Ĺımites y continuidad de funciones complejas de variable compleja. Álgebra deĺımites.

Ĺımite de funciones

Dada f : Ω ⊂ M → M ′, com M,M ′ espacios métricos, y dado z0 punto deacumulación de Ω, se dice que

ĺımz→z0

f(z) = l ∈M ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(l, ε)

Se debe notar que z0 puede no pertenecer a Ω, basta con que sea punto de acu-mulación de Ω para que ∆0(z0, δ)∩Ω 6= ∅. En el mejor de los casos, z0 será interiora Ω y la intersección será ∆0(z0, δ) ∩ Ω = ∆0(z0, δ).

Teorema. Dada f : Ω ⊂M →M ′,

∃ ĺımz→z0

f(z) = l ∈M ⇔ (∀{zn} en M adherente a z0)(∃ ĺımn→∞

f(zn) = l ∈M)

Demostración en clase.

⇒) dada {zn} en M adherente a z0, y dado ε > 0, basta que n sea sufi-cientemente grande como para que zn ∈ ∆0(z0, δ).⇐) suponer que ∼ (∃ ĺımz→z0 f(z) = l ∈M) y construir una {zn} en M adherente a z0tal que ∼ (ĺımn→∞ f(zn) = l). Abs!

Corolario. Dada f : Ω ⊂M →M ′, si existe ĺımz→z0 f(z) entonces es único.Demostración en clase. Se suponen dos ĺımites l 6= m , luego cada {zn} en M adherente a z0

tendŕıa dos ĺımites. Abs!

Ĺımite de funciones a valores complejos. Sea f : Ω ⊂M → C, y llamemosz a los puntos de Ω ⊂M , M espacio métrico. Quedan definidas

u : Ω ⊂M → R,u(z) = Re(f(z))v : Ω ⊂M → R,v(z) = Im(f(z))

tales que

f(z) = u(z) + iv(z)

19

CONTINUIDAD 20

Teorema. Dada f : Ω ⊂M → C y z0 punto de acumulación de Ω,

∃ ĺımz→z0

f(z) = l = a+ ib ∈ C⇔ ∃ ĺımz→z0

u(z) = a ∈ R ∧ ∃ ĺımz→z0

v(z) = b ∈ R

Demostración: basta explorar con sucesiones {zn} en M adherentes a z0

Ĺımite infinito. Dada f : Ω ⊂M → C y z0 punto de acumulación de Ω,

ĺımz→z0

f(z) =∞⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(∞, ε)

Álgebra de ĺımites en C. Sean f : Ωf ⊂ M → C y g : Ωg ⊂ M → C, conΩf ∩ Ωg 6= ∅, y sea z0 punto de acumulación de Ωf ∩ Ωg.

Si ∃ ĺımz→z0 f(z) = l y ∃ ĺımz→z0 g(z) = m, entonces∃ ĺımz→z0 (f(z) + g(z)) = l +m∃ ĺımz→z0 (f(z) g(z)) = l msi además m 6= 0, ∃ ĺımz→z0 (f(z)/g(z)) = l/m

Demostración: basta explorar con sucesiones {zn} en M adherentes a z0

Ĺımite de funciones de variable compleja. Dada f : Ω ⊂ C→M ′, con Ωno acotado, se dice que

ĺımz→∞

f(z) = l⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(∞, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆(l, ε)

En el caso de f : Ω ⊂ C → C, el ĺımite l puede ser infinito sin cambiar ladefinición.

Continuidad

Definiciones. Dada f : Ω ⊂ M → M ′, com M,M ′ espacios métricos, y dadoz0 ∈M , se dice que f es continua en z0 si y sólo si

1. z0 ∈ Ω2. ∃ ĺımz→z0 f(z)3. ĺımz→z0 f(z) = f(z0)

Dado A ∈ M , se dice que f es continua en A si y sólo si ∀z ∈ A, f es continua enz.

Se llama dominio de continuidad de f al mayor subconjunto del dominio Ωdonde f sea continua.

Ejemplos. Probar que z : R→ C, dada por z(t) = k es continua en RProbar que z : R→ C, dada por z(t) = t es continua en RProbar que f : C→ C, dada por f(z) = k es continua en CProbar que f : C→ C, dada por f(z) = z es continua en C

Propiedades. Sean f : Ωf ⊂M → C y g : Ωg ⊂M → C, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅.Si f y g son continuas en z0 ∈M , entonces

f + g es continua en z0f g es continua en z0si además g(z0) 6= 0, f/g es continua en z0

Demostración: basta revisar que z0 esté en el dominio, y asegurar la existencia yvalor de los ĺımites correspondientes.

CONTINUIDAD 21

Propiedad. Dadas f : Ω ⊂ M → M ′ continua en un punto z0 interior a Ω y{zn} una sucesión en M ,

∃ ĺımn→∞

zn ⇒ ∃ ĺımn→∞

f(zn) = f(z0)

Es decir, en este caso ĺımn→∞ f(zn) = f(ĺımn→∞ zn).Demostración: basta aplicar las definiciones correspondientes. Se debe notar

que si f no es continua en z0 el resultado no se verifica.

Corolario. Sean f : Ωf ⊂M →M ′ y g : Ωg ⊂M ′ →M ′′. Si ∃ ĺımz→z0 f(z) =l ∈M ′ con l interior a Ωg y si g es continua en l, entonces

∃ ĺımz→z0

g(f(z)) = g(z0).

Es decir, en este caso ĺımz→z0 g(f(z)) = g (ĺımz→z0 f(z)).Demostración: basta explorar con sucesiones en Ωf adherentes a z0 y utilizar

la propiedad anterior. Se debe notar que si g no es continua en l el resultado no severifica.

Corolario: continuidad de la función compuesta. Sean f : Ωf ⊂ M →M ′ y g : Ωg ⊂ M ′ → M ′′. Si f es continua en z0 ∈ M y g es continua en g(z0)interior a Ωg , entonces gof es continua en z0.

Observación: se llama función compuesta gof : Ω ⊂ Ωf → M ′′ a la funcióndada por

gof(z) = g(f(z)),

cuyo dominio esΩ = {z ∈ Ωf : f(z) ∈ Ωg}

Caṕıtulo 6

Derivada.

Primera parte:Derivada (en general, para funciones de una variable en un cuerpo a un es-

pacio vectorial). Diferenciabilidad y diferenciales. Notación de Leibnitz y de La-grange/Newton.

Derivada de la suma, del producto y el cociente (donde el producto y cocienteexistan). Derivada de la función compuesta.

Segunda parte:Derivada de funciones complejas de variable real. Diferenciabilidad, diferencial

y dirección tangente a curvas.Derivada de funciones complejas de variable compleja. Interpretación geométri-

ca con diferenciales.

Primera parte

Derivabilidad. La noción de derivada total se basa en el ĺımite del cocienteincremental. Para que este cociente tenga sentido se consideran funciones de unavariable independiente z en un cuerpo K y valores en un espacio vectorial V sobreK. Además, las distancias en K y en V se definen como el módulo de la diferencia.

Definición. Dada f : Ω ⊂ K→ V y z0 ∈ Ω punto de acumulación de Ω, se diceque f es derivable en z0 si y sólo si

∃ ĺımz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

.

En ese caso se llama derivada de f respecto de z en z0 a dicho ĺımite.Notación. La derivada se suele anotar como

f ′(z0) = ĺımz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

(notación de Lagrange) o como

df

dz(z0) = ĺım

z→z0

f(z)− f(z0)z − z0

(notación de Leibnitz) o como

ḟ(z0) = ĺımz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

(notación de Newton)

22

PRIMERA PARTE 23

Propiedades. Entre las propiedades más inmediatas destacamos:

Si existe la derivada f ′(z0) , es única.Linealidad: si f y g son derivables en z0, punto de acumulación de la in-tersección de los dominios de f y g, para todo par de elementos α, β ∈ K,αf + βg es derivable en z0 y

(αf + βg)′(z0) = αf

′(z0) + βg′(z0)

Teorema. Si f es derivable en z0, entonces f es continua en z0.

Diferenciabilidad. Dada f : Ω ⊂ K→ V y z0 ∈ Ω punto de acumulación deΩ, se dice que f es diferenciable en z0 si y sólo si

(∃A ∈ V ) (∀z ∈ Ω, f(z)− f(z0) = A(z − z0) + �(z)|z − z0|)

con ĺımz→z0 �(z) = 0 ∈ V .Se llama diferencial de la variable independiente z en el punto z0 al desplaza-

miento

dz = z − z0y diferencial de la variable dependiente f en el punto z0 al desplazamiento en Vdado por

df = A(z − z0) = Adzde manera tal que el diferencial df es la mejor aproximación lineal al incrementode la función

∆f = f(z)− f(z0)ante un desplazamiento dz de la variable independiente

Teorema. f es derivable en z0 si y sólo si f es diferenciable en z0.Demostración

⇒) basta acomodar, para z 6= z0,

f(z)− f(z0) = f ′(z0) (z − z0) +[f(z)− f(z0)

z − z0− f ′(z0)

](z − z0)

y observar que la expresión entre corchetes tiende a cero cuando z → z0.⇐) basta escribir el cociente incremental como

f(z)− f(z0)z − z0

= A+ �(z)|z − z0|z − z0

y observar que el último término tiende a cero cuando z → z0.De este resultado se desprende que el vector constante A en la definición de difer-enciabilidad coincide con la derivada de f en z0, A = f

′(z0)Teorema.

Sean f : Ωf ⊂ K → V y g : Ωg ⊂ K → V , con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f + g es derivable en z0 y

(f + g)′(z0) = f

′(z0) + g′(z0)

Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f g es derivable en z0 y

(f g)′(z0) = f

′(z0) g(z0) + f(z0) g′(z0)

(regla de Leibnitz).

SEGUNDA PARTE: APLICACIÓN 24

Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg y g(z0) 6= 0, entonces f/g es derivable en z0 y

(f/g)′(z0) =

f ′(z0) g(z0)− f(z0) g′(z0)(g(z0))

2

Teorema. Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → V , con f derivable en z0y g derivable en f(z0), con f(z0) interior a Ωg. En este caso la función compuesta(g0f) (z0) = g(f(z0) es derivable en z0 y

(g0f)′(z0) = g

′(f(z0))f′(z0)

Demostración: analizar

h(z) =

{g(f(z))−g(f(z0))f(z)−f(z0) si f(z) 6= f(z0)

g′(f(z0)) si f(z) = f(z0)

para probar que es continua en z0. Luego para z 6= z0 es seguro escribirg(f(z))− g(f(z0))

z − z0= h(z)

f(z)− f(z0)z − z0

y tomar el ĺımite para z → z0.

Segunda parte: aplicación

Funciones complejas de variable real: curvas en el plano complejo.Consideramos

z : [a, b]→ C, dada por z = z(t)Tomando parte real y parte imaginaria, queda definida

~r : [a, b]→ C, dada por ~r = ~r(t) = (x(t), y(t))con x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)). Tanto en complejas como reales, la funciónparametriza una curva γ en el plano.

De acuerdo a los resultados ya probados, se verifica que z(t) es continua ent0 ∈ [a, b] si y sólo si ~r(t) es continua en t0 ∈ [a, b].

También se verifica que z(t) es derivable en t0 ∈ [a, b] si y sólo si ~r(t) es derivableen t0 ∈ [a, b], siendo

z′(t0) = x′(t0) + iy

′(t0)

~r′(t0) = (x′(t0), y

′(t0))

La interpretación geométrica de la derivada en este tipo de funciones representa elvector velocidad con que la parametrización recorre la curva. Si z′(t0) 6= 0, la curvaadmite vector tangente, y en particular arg(z′(t0)) da la orientación del vectortangente.

En términos de diferenciales, en el punto z(t0) o ~r(t0) tenemos

dz = z′(t0)dt

d~r = ~r′(t0)dt

describiendo la recta tangente a la curva, con idéntica información geométrica en elplano en términos de coordenadas complejas o en términos de coordenadas reales.

Definimos el diferencial de longitud de arco en el punto z(t0) cuando z(t) esderivable en t0, como

dl = |z′(t0)|dt ≡ |~r′(t0)|dt

SEGUNDA PARTE: APLICACIÓN 25

Reparametrización de curvas. Dada una curva γ con parametrización z : [a, b]→C, se puede describir la misma curva con una parametrización diferente. Consider-emos una función

t : [α, β]→ [a, b], dada por t = t(s)

que sea continua en [α, β] , monótona y suryectiva; la función compuesta

z : [α, β]→ C, dada por z(s) = z(t(s))

parametriza la misma la curva γ. Si t(s) es creciente, la parametrización conservala orientación, en tanto que si t(s) es decreciente la curva invierte su orientación.

La reparametrización t(s) es invertible, definiendo

s : [a, b]→ [α, β], dada por s = s(t)

Si existe t′(s) 6= 0 en un punto s0, existe s′(t) 6= 0 en el correspondiente puntot0 = t(s0), con s

′(t0) = 1/t′(s0).

Una buena reparametrización t(s) debeŕıa cumplir la existencia y continuidadde t′(s) 6= 0 en [a, b] para no introducir problemas en la descripciónde una curva.

Clasificación de curvas. Sea una curva γ con parametrización z : [a, b] → C,dada por z = z(t). Por simplicidad anotaremos γ : z(t), con t ∈ [a, b].

Decimos que γ es continua si y sólo si la parametrización z(t) es continua en[a, b] o admite una reparametrización que lo sea.

Decimos que γ es suave si y sólo si la parametrización z(t) es continua en[a, b], con derivada continua en [a, b] y derivada no nula en (a, b), o admite unareparametrización que lo sea. En este caso, la curva admite vector tangente en todopunto, y el vector tangente es continuo; se dibuja como una curva sin vértices.

Decimos que γ es suave a trozos si y sólo si es continua y el intervalo [a, b] esunión de un número finito de subintervalos donde la parametrización sea suave. Eneste caso, la curva admite vector tangente, excepto en un número finito de puntos;en principio se dibuja con vértices. Se suele llamar contorno a una curva suave atrozos.

Decimos que γ es simple si la parametrización z(t) es continua e inyectiva en[a, b]. En este caso, la curva no pasa dos veces por el mismo punto.

Decimos que γ es simple y cerrada si la parametrización z(t) es continua [a, b]e inyectiva en [a, b), con z(b) = z(a). En este caso, la curva no pasa dos veces porel mismo punto excepto el punto inicial y final, que coinciden.

Aceptaremos que una curva simple y cerrada en el plano define un conjuntoInt(γ) (interior de la curva), que es un conjunto abierto, y que la curva es sufrontera, ∂(Int(γ)) = γ. Además, la orientación de la curva se puede caracterizarcomo antihoraria (o positiva) cuando el interior queda a la izquierda del vectortangente, u horaria (o negativa) en el caso contrario. La demostración de estaspropiedades intuitivas corresponde a un curso de Topoloǵıa.

Se suele llamar curva de Jordan a una curva suave a trozos, simple y cerrada.

Funciones complejas de variable compleja: mapeos en el plano. Con-sideramos f : Ω ⊂ C→ C, dada por una receta

w = f(z)

SEGUNDA PARTE: APLICACIÓN 26

Tomando parte real u = Re(w) y parte imaginaria v = Im(w), con z = x + iy,quedan definidas{

u : Ω ⊂ R2 → R , dada por u(x, y) = Re(f(z))v : Ω ⊂ R2 → R , dada por v(x, y) = Re(f(z))

Tanto en coordenadas complejas como en coordenadas reales, la función representaun mapeo del conjunto Ω en el plano en el plano. Se puede pensar como un mapeodel plano en si mismo, o como un mapeo del plano en una segunda copia del plano.

Interpretación geométrica de la derivada de funciones complejas de variablecompleja. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω. Como f es diferenciable en z0podemos escribir

dw = f ′(z0)dz

donde el producto se hace entre números complejos. Si f ′(z0) 6= 0 podemos leer larelación entre módulos y argumentos del incremento de la variable independientedz y el diferencial dw como

arg(dw) = arg(dz) + arg(f ′(z0))

|dw| = |f ′(z0)||dz|La primer ecuación indica que dw se halla rotado respecto de dz, con un ángulo

de rotación arg(f ′(z0)). Debe notarse que el ángulo de rotación arg(f′(z0)) es el

mismo para todo dz que se trace a partir de z0.La segunda ecuación indica que el desplazamiento dw se halla escaleado respecto

de dz, con un factor de escala |f ′(z0)|. Si |f ′(z0)| > 0 se trata de una dilatación,si |f ′(z0)| < 0 se trata de una contracción. Debe notarse que el factor de escala|f ′(z0)| es el mismo para todo dz que se trace a partir de z0.

Mapeo de curvas diferenciables. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω y seaγ : z(t) una curva diferenciable en z0 = z(t0). El mapeo w = f(z) induce una curvaf(γ) : w(t) = w(z(t)).

Si ...

Caṕıtulo 7

Condiciones de Cauchy-Riemann. Analiticidad ysingularidades.

Condiciones de Cauchy-Riemann (como si y solo si, ver por ejemplo Stewart yTall).

Definiciones de analiticidad, función entera, singularidades y clasificación desingularidades.

27

Caṕıtulo 8

Mapeos. Transformaciones conformes.

Mapeos importantes: función lineal como traslación, rotación y dilatación. In-versión. Funciones bilineales.

Transformaciones conformes (contenido geométrico y caracterización por deriv-abilidad).

28

Caṕıtulo 9

Funciones trascendentes.

Exponencial, trigonométricas, trigonométricas hiperbólicas.

29

Caṕıtulo 10

Funciones multivaluadas.

Invertibilidad local. Invertibilidad global. Funciones multivaluadas: cortes ysuperficies de Riemann.

30

Caṕıtulo 11

Integración.

Integración de funciones complejas de variable real sobre intervalos.Integración de funciones complejas de variable compleja sobre curvas.

31