ANALISIS

[TTULO DEL DOCUMENTO] HERNAN

[TTULO DEL DOCUMENTO]

Por valor

, adoptando despus de estos tres movimientos la posicin 22

1 A la porcin deformada 22 se imprime una traslacin paralela a si misma

hasta que el centro de gravedad G que de ubicado en G; adoptando la posicin

abcd, de modo que los segmentos GG y 3 son paralelos e iguales entre s; y

2 La porcin abcd gira el ngulo alrededor del eje que pasa por G y que es

normal al plano del eje medio; en esta rotacin el punto h describe un arco de

circunferencia hH, en el que el radio Gh es aproximadamente igual a ds,

despreciando las diferencias por las deformaciones producidas en la porcin,

arco que tiene por valor

= (2.3)

Obsrvese que la recta HH no trazada en el grfico, es equivalente al contorno

23, pudindose escribir

= 2 + 23 + 3 +

Proyectamos esta poligonal segn los ejes X e Y; as tendremos:

( ) = (2 ) + (23 ) + (3 ) + ( ) (2.4)

( ) = (2 ) + (23 ) + (3 ) + ( ) (2.5)

En las que el significado y expresin de cada uno de los trminos es como sigue:

(3 ) = ( ) =

( ) = +

(2 ) = (2) = (

)

(23 ) = (23) =

( ) = () = ( ) =

(3 ) = ( ) =

( ) = +

(2 ) = (2) = (

)



(23 ) = (23) =

(Ponemos signo menos, porque para

fuerza cortante Q positiva se tiene desplazamiento negativo en proyeccin vertical);

( ) = () = ( ) =

(Consideramos signo

menos, porque con un giro positivo se tiene el desplazamiento en proyeccin vertical

hacia abajo, o sea negativo).

Reemplazando estas expresiones en las igualdades (2.4) y (2.5), tenemos:

+ = (

)

+

+ +

+ = (

)

+

Estas dos ltimas expresiones reducidas conforman con las (2.1) tres ecuaciones

diferenciales:

= (

)

+

+

= (

)

=

Que permitirn determinar las tres ecuaciones de Bresse.

Integrando estas ecuaciones entre las secciones de centros de gravedad 0 1 , o sea

entre las abscisas curvilneas 0 1 , tenemos:

()01 = 1 0 = (

)

1

0

+

1

0

+

1

0

()01 = 1 0 = (

)

1

0

+

1

0

+

1

0

()01 = 1 0 = (

I)

1

0

(2.6)

(2.7)



Aplicando la frmula de integracin por partes.

=

Con el fin de transformar las ltimas integrales de las dos primeras ecuaciones (2.7);

para lo cual hacemos

= =

En donde =

=

As se tendr:

=

1

0

(

)

0

1

= 11 00

1

0

Pero de (2.1)

=

Y de la tercera Ec. (2.7)

1 = 0

1

0

Se puede escribir entonces

= 0(1 0)

(1 )

1

0

1

0

(2.8)

En forma similar se puede obtener que

= 0(1 0)

(1 )

1

0

1

0

(2.9)

Reemplazando (2.8) y (2.9) en las ecuaciones (2.7) se obtienen las tres ecuaciones de

Bresse en su forma ms general:



2.3 Formas particulares de las ecuaciones de Bresse

2.3.1 Estructura descargada y que sufre desplazamientos: - si la estructura esta

descargada y no hay variaciones de temperatura, y es obligada a desplazarse en

conjunto como un cuerpo rgido, se comporta como un mecanismo, y es realidad, un

problema cinemtico. Los desplazamientos pueden determinarse aplicando las

Ecuaciones de Bresse (2.10), (2.11) y (2.12), en las que se deben anular los trminos

con factores M, N, Q y t, quedando as tales ecuaciones:

1 = 0 + 0(1 0) (2.13)

1 = 0 + 0(1 0) (2.14)

1 = 0 (2.15)

2.3.2 Estructura con eje rectilneo coincidente con el eje X: -Es este caso

= 0 = 1 = 0

=

= 0 ,

= 0,

= 1

Que reemplazando en las ecuaciones (2.10), (2.11), (2.12) se obtienen:

1 = 0

+ (1 0) (2.16)

1

0

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

1

0

+

1

0

(

)

(2.10)

1

0

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

1

0

+

1

0

(

)

(2.11)

1

0

1 = 0

1

0

(2.12)



1 = 0 + 0(1 0) + (1 )

1

0

(2.17)

1

0

1 = 0

1

0

(2.18)

Veamos el significado o representacin de estas tres expresiones de la Ec. (2.16), la

diferencia de 1 0 es el cambio total en la distancia, a lo largo del eje del elemento,

entre las secciones extremas 0 y 1; o sea que es el acortamiento o alargamiento del

elemento.

El trmino

10

representa el acortamiento o alargamiento del elemento por

efecto de la fuerza; y el trmino (1 0) es el acortamiento o alargamiento del

mismo elemento debido a la variacin de temperatura.

La Ec. (2.18) corresponde al Primer Teorema de Mohr del rea de Momentos. La

diferencia 1 0 representa el cambio de pendiente entre las secciones 0 y 1; y el

trmino

10

es el rea del diagrama de

momentos reducidos M/EI entre tales secciones.

Para concordar la Ec. (2.18) con la representacin

geomtrica de la Fig. 2.4, debe tenerse en cuenta

que 0 es positivo y 1 negativo; luego, en este

caso, dicha Ecuacin deber escribirse as:

1 0 =

1

0

O sea

1 + 0 =

1

0

Que es la forma ms conocida del primer teorema de mohr, representando en la fig.

2.4, y que se expresa as: El cambio en la inclinacin de la tangente al eje deformado

entre dos puntos 0 y 1 es igual al rea bajo la curva M/EI entre esos dos puntos.

Finalmente, la Ec. (2.17) corresponde al Segundo Teorema de Mohr del rea de

Momentos. Esta frmula puede escribirse as:

1 0 + 0(1 0) = (1 )

1

0

1

0

EL primer miembro es igual al segmento 1b en la fig. 2.4, es la distancia desde el punto

1 de la elstica hasta la tangente trazada en el punto 0 de la misma elstica, distancia

medida perpendicularmente a la posicin original del eje, efectivamente:



1 = 1 + 11 ,

Donde

1 = 0

= 0(1 0)

(Positivo, porque ambos factores lo son)

11 = 1

Luego

1 == 0 + 0(1 0) (1) = 1 0 + 0(1 0),

El trmino

10

es el rea encerrada por el diagrama de las fuerzas cortantes

reducidas / ; y el trmino (1)

10

es el momento del rea de momentos

reducidos comprendida entre las secciones extremas con respecto al extremo 1.

Frecuentemente, se aplica este Segundo Teorema de Mohr sin tener en cuenta la

influencia de los esfuerzos cortantes, expresndose que la distancia transversal de un

punto 1 del eje deformado a la tangente trazada en otro punto 0 del mismo eje, es

igual al momento esttico (con respecto a un eje que pasa por 1) del rea encerrada

por la curva N/EI entre esos dos puntos.

2.3.3 Estructura de eje cualquiera, considerando solo la influencia de la flexin: -Por

lo general la influencia de las fuerzas cortantes y normales, as como de las variaciones

de temperatura, resultan muy pequeas comparadas con la de la flexin. En estos

casos, haciendo Q = 0, N = 0, = 0 en las ecuaciones (2.10), (2.11) y (2.12), se

obtienen.

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

(2.19)

1

0

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

1

0

(2.20)

1 = 0

1

0

(2.21)



2.3.4 Estructura de eje rectilneo paralelo al eje x, considerando solo la influencia de

la flexin: -En este caso la coordenada a es igual a la abscisa X, y entonces = ,

0 = 0 Y 1 = 1 reemplazando esto en las ecuaciones (2.19), (2.20) y (2.21), se

obtienen:

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

(2.22)

1

0

1 = 0 + 0(1 0) (1 )

1

0

(2.23)

1 = 0

1

0

(2.24)

2.3.5 Estructura de eje rectilneo coincidente con el eje Y, considerando solo la

influencia de la flexin: - Es el caso tratado en la 2.3.4 en que = 0 = 1 = 0 en

consecuencia, de obtienen:

1 = 0 (2.25)

1 = 0 0(1 0) + (1 )

1

0

(2.26)

1 = 0

1

0

(2.27)

2.4 Aplicaciones de las ecuaciones de Bresse:-

Las Ecuaciones de Bresse las emplearemos para el desarrollo y demostracin de los

mtodos y frmulas para la solucin de las estructuras continuas que, para cada tipo,

se exponen en los captulos siguientes. En general, no son prcticos para la solucin

directa de las estructuras; pero, de todos modos, con el fin de aclarar conceptos y

familiarizarnos con ellas, las aplicaremos en la solucin de algunos problemas

estructurales.

Las ecuaciones de aplican entre dos secciones cualesquiera de estructura (secciones 0

y 1). En las ecuaciones intervienen:

a) Los desplazamientos y giros que se producen en cada una de las secciones

extremas (0, 0, 0 para la seccin 0, y 1, 1, 0 para la seccin 1);

b) La forma o conformacin de la estructura entre tales secciones; si = () es

la ecuacin del eje neutro, intervendrn

c) = {()2 + ()2} , as como



d) Las caractersticas fsicas en la estructura (momentos de inercia I, reas de

seccin transversal , coeficientes de forma );

e) Las propiedades de los materiales de los elementos (mdulo de elasticidad E,

mdulo de rigidez G ); y

f) Las solicitaciones que ocurren entre dichas secciones, es decir, las expresiones

de las variaciones de los momentos flectores M, de los esfuerzos cortantes Q,

de los esfuerzos normales N, as como tambin los cambios de temperatura .

Las integrales definidas que aparecen en las ecuaciones deberan desdoblarse, en cada

caso, de acuerdo con las variaciones de las solicitaciones, propiedades y caractersticas

fsicas de los elementos, con sus correspondientes intervalos de validez.

Al aplicar las ecuaciones aparecern como incgnitas, desplazamientos, giros y/o

valores fundamentales de las solicitaciones, los que permitirn la solucin de la

estructura. Una vez fijadas las incgnitas del problema, es conveniente seguir el

esquema siguiente:

1 Escoger dos secciones extremas entre las cuales se har la aplicacin;

2 Ubicar el sistemas de ejes coordenados, con el origen preferentemente en el

extremo izquierdo de la estructura;

3 Indicar las condiciones bsicas para cada una de las secciones extremas; es

decir, sus coordenadas, sus corrimientos o desplazamientos lineales y sus giros;

4 Determinar las expresiones de las solicitaciones M, N, Q para secciones

genricas con sus intervalos de validez;

5 Sustituir todas estas expresiones y valores en las ecuaciones y resolver entre

ellas.

Hay en los que, por la sustitucin que tienen las incgnitas en la estructura, se

hace necesario aplicar ms de una vez las

ecuaciones entre dos y dos secciones

diferentes.

En los ejemplos que enseguida se resuelven

iremos aplicando con mayor detalle la

aplicacin que estamos tratado

Ejemplo 2.4.1: -la estructura AB de la fig.

2.5 esta simplemente apoyada en A y

articulada en B. es de seccin constante y

su eje es un arco de parbola de flecha f y

semicuerda l. si el apoyo A sufre un

asentamiento , determinar los

desplazamientos y el giro de la seccin S de

abscisa a.

Si consideramos el sistema de ejes coordenados con origen en A, la ecuacin

del eje medio de la estructura es = (

)2.



Las coordenadas bsicas de las secciones A, S y B son:

A S B

X= 0 a l

Y= 0 f(a/l)^2 f

u= 0

v= 0

=

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Obsrvese que hay 3 Incgnitas (?) para la seccin S, 2 para A y 1 para B; o sea

que si aplicamos las Ecuaciones de Bresse entre las secciones A y S se presentan

5 incgnitas y 4 entre B y S; en ambos casos es mayor el nmero de incgnitas

que de ecuaciones. Lo conveniente es primero aplicarlas entre A y B, con lo que

se determinan las incgnitas , , , y enseguida entre A y B, entre las que las

incgnitas ya solo son , , .

As, entonces, reemplazando en las Ec. (2.13), (2.14) y (2.15) los valores

correspondientes a las secciones A y B, se tienen:

(2.13) 0 = + ( 0), =

(2.14) 0 = ( 0), = /

(2.15) =

Entre estas tres expresiones se obtienen

Reemplazando en las mismas ecuaciones los valores correspondientes a las

secciones A y S, se tienen:

(2.13) =

[ (

)2

0 ] =

[1 (

)2

]

(2.14") = +

( 0) = (1 /)

(2.15") = / Luego, pues, los desplazamientos y el giro de la seccin S son:

= = /

= +/

=

1 (

)2

, = (1

), =



Ejemplo 2.4.2: - resolver la viga

que se muestra en la fig. 2.6

En la figura se indican las

condiciones bsicas de las

ecuaciones extremas A y B,

habindose ubicado el origen

de coordenadas en A y el eje X

segn AB. El momento flector

en la seccin genrica de

abscisas x es:

= ( )

2( )2

Aplicando la Ec. (2.26):

0 =1

[ ( )

2( )2]

0

( )

= [1

3 ( )

3 +

8( )4]

0

=1

3(

3)

8 4

=3

8()

(0)

0 = 0

0 = 0

0 = 0

0 = 0

(1)

1 =

1 = 0

1 = 0

1 =

. 2.6



Ejemplo 2.4.3: -

determinar la

deflexin del extremo

B de la viga que se

muestra en la fig. 2.7.

Enseguida determinar

la ecuacin del eje

deformado

considerando solo los

efectos de la flexin.

En la figura se indican

las condiciones bsicas

de las secciones

extremas A y B, y de una seccin genrica S, para en esta hallar la ecuacin

= () del eje deformado.

Para una seccin cualquiera de abscisas, las expresiones del momento flector y

del esfuerzo cortante son:

= ( ) =

Reemplazando en la Ec. (2.17) las condiciones entre las secciones extremas A y

B:

0 =1

[( )]( )

0

1

0

0 =( 3)

3+

(3)

3=

=

Reemplazando en la misma Ec. (2.17) las condiciones entre las secciones A y S

(considerando solo los efectos de la flexin):

=1

[( )]( ) =

( + 2)

0

0

=

[

1

2( + )2 +

1

33]

0

=

( 2

1

2(+) 2+

1

33)

=

6(3) 2 Es la ecuacin del eje deformado.

= 0

= 0 0 0

= 0 0 0

= 0 () ()

= 0

. 2.7



Ejemplo 2.4.4: - El anillo circular que se muestra en la Fig. 2.8 (a) es de seccin

delgada constante. Determinar la distribucin de momentos de flexin y las

deformaciones diametrales en A y B, considerando solo los efectos de la

flexin.

Si cortamos el anillo segn B B, por simetra fsica y de carga la porcin

superior estar en equilibrio con las fuerzas y pares que se muestran en la Fig.

2.8 (b).

El momento flector en la seccin genrica S ubicada por el parmetro , es:

= 0

2(1 )

Adems:

= = =

Reemplazando valores y expresiones en la Ec. (2.21) para las secciones

extremas A y B, segn la Fig. 2.8(c):

0 =1

[0

2(1 )]

/2

0

De donde

0 =

2(1 2/)

Llevando este resultado a la expresin de M, se obtiene:

=

2( 2/)

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0 0

. 2.8



Que es la distribucin de momentos flectores en un cuadrante. Por simetra, en

los dems cuadrantes hay la misma distribucin.

Dando valores a , se tienen.

Para hallar reemplacemos valores y expresiones entre las mismas

secciones A y B, primero en la Ec. (2.19) y luego en la Ec. (2.20)

(2.19); = 1

[

2(

2

)] (0 )

/2

0

= (4

4)3/

(2.20); 0 = +1

[

2(

2

)] ( )

/2

0

= (2 8

8)3/

. 2.9

0.3183

0.181



CAPITULO 3

FACTORES DE FORMA Y FACTORES DE CARGA

3.1 Definiciones.-

Sea un elemento estructural cualquiera tal como el ij,

Fig. 3.1 en general de seccin

variable, sujeto a la accin de un

sistema de cargas dado. Este

elemento puede presentar

continuidad en sus extremos i, j, o

pueden existir ligazones de

cualquier tipo en los mismos.

En el anlisis estructural de elementos similares al mostrado se presentan

expresiones que son, una funcin exclusivamente de sus caractersticas fsicas, y

otras que, adems de las caractersticas fsicas, dependen tambin de las cargas

aplicadas. Tales expresiones son, las primeras:

1

2

( )2

0

=

1

2

2

0

=

1

2

( )

0

=

Denominadas los factores de forma de 1 especie del elemento: y, las

segundas:

1

( )

0

=

1

0

=

(3.1)

(3.2)

. 3.1



Denominamos los factores de carga de 1 especie del elemento. En estas

expresiones u significa los momentos flectores isostticos en el elemento (es lo

que hemos denominado en 1.5).

Asimismo, se tienen las siguientes expresiones relacionadas con las anteriores:

=

2

=

2

=

2

Denominamos los factores de forma de 2 especie del elemento: , son

tales factores en los extremos i, j, respectivamente, y b es la constante de

barra. De (3.3) podemos deducir las siguientes expresiones, que son otra forma

de relacionar entre s a los factores de forma:

=

2

=

2

=

2

Finalmente, las siguientes expresiones

=

2= (

)

= +

2= +(

)

(3.3)

(3.4)

(3.5)



Denominados los factores de carga de 2 especie del elemento.

Para todos estos factores estamos adoptando la misma denominacin, aunque

no la notacin ni exactamente las mismas expresiones, que la que le dan diversos

autores brasileos y argentinos, tales como los profesores Telmaco van

Langendonck, Aderson Moreira da Rocha, Richard Guldan, etc., son igualmente

equivalentes a las constantes de barra y trminos de carga que en forma

genrica menciona en sus publicaciones el Profesor Enrique Butty.

Veremos en los siguientes captulos como estos factores se presentan

reiteradamente en los diversos tipos de estructuras y en los diversos mtodos

que se emplean para resolverlas. Es necesario entenderlos bien y saberlos

calcular con rapidez y en la forma ms aproximadamente posible. Sin duda que

el hecho de no disponer de los elementos para su clculo rpido, hace que en

muchas oportunidades no se aproveche adecuadamente las variaciones de

secciones que es posible proporcionar en los elementos estructurales en un

diseo racional.

3.2 momentos de empotramiento debidos a curvas aplicadas en la viga

de seccin variable, perfectamente empotrada en sus dos extremos.

Consideremos en elemento ij. Fig. 3.2, de seccin variable, perfectamente

empotrado en ambos extremos, sujeto a la accin de un sistema cualquiera de

cargas. En los extremos se presentaran los pares de empotramiento 0 y

0 ,

que los supondremos positivos segn la convencin de signos de anlisis. (Con

mayor propiedad deberamos indicarlos como 0 y

0 , respectivamente, con

forma se har cuando tratemos

casos de varios elementos en un

sistema estructural, pero con el fin

de hacer ms sencillas las notaciones

en eta exposicin, y sin que esto de

lugar a confusiones, consideraremos

a los subndices nicamente la letra

que corresponda al respectivo

extremo).

0 = 0

0 = 0 = 0

0 = 0

1 =

1 = 1 = 0

1 = 0

. 3.2



El momento flector en una seccin cualquiera de abscisa X es segn (1.6):

= + 0

( )

0

(3.6)

En la Fig. 3.2 aparecen indicadas las condiciones bsicas en los extremos para la

aplicacin de las ecuaciones de Bresse en el caso tratado en la 2.3.5

sustituyendo tales condiciones en la Ec. (2.27), tenemos:

0 =

(3.7)

0

Y reemplazndolas enseguida en la Ec. (2.26), se tiene:

0 = ( )

(3.8)

0

O sea

= 0

0

0

En la que, eliminando el primer trmino segn (3.7), obtenemos:

= 0 (3.9)

0

Sustituyendo en (3.8) y (3.9) la expresin (3.6), se tienen:

( )

0

( + 0

( )

0

) =

( )

0

+ 0

1

( )2

0

0

2

0

= 0

0

( + 0

( )

0

) =

0

+ 0

1

( )2

0

0

2

0

= 0



Dividiendo ambas por l y reemplazando las integrales por los factores de forma

y de carga de 1 especie dados en (3.1) y (3.2), se obtienen las siguientes

ecuaciones:

0 +

0 0 = 0

0

0 + 0 = 0

Sistema desde el cual se obtienen las expresiones para los momentos de

empotramiento perfecto:

0 =

0

0

2 (3.10)

0 = +

0

0

2 (3.11)

Lo que, segn hemos definido en (3.5), son justamente los factores de carga 2

especie del elemento. Si en estas expresiones reemplazamos las igualdades (3.4),

se obtienen las siguientes formas de expresar tambin los momentos de

empotramiento perfecto:

0 = (

0 0) (3.12)

0 = +(

0 0) (3.13)

Las que, igualmente estn definidas en (3.5)

3.3 Momentos de empotramiento debidos a un desplazamiento relati

vo entre sus extremos, en la viga de seccin variable, perfectamente

empotrada en ambos extremos. consideremos el elemento ij de seccin

variable. Fig 3.3,

perfectamente

empotrado en ambos

extremos, descargado en

el que se producen un

desplazamiento relativo

entre sus extremos. Este

desplazamiento es

negativo (1.4.1), pero el

giro del elemento: =

0 = 0

0 = 0

0 = 0

0 = 0

1 =

1 = 0

1 =

1 = 0

. 3.3



/ es positivo (1.4.2) por ocurrir en el sentido horario. En los extremos se

generan los pares de empotramiento 0

0 , supuestos positivos en la

convencin de signos de anlisis. Determinemos las expresiones de estos pares.

Por estar descargado el elemento, el momento flector en una seccin

cualquiera de abscisa X es, en este caso, segn (1.6):

= 0

( )

0

(3.14)

En la Fig .3.3 se indican las condiciones bsicas de los extremos i y j para la

aplicacin de las ecuaciones de Bresse en el caso tratado en la 2.35.

reemplazando tales condiciones en la Ec. (2.27), tenemos:

= 0 (3.15)

0

Y reemplazndolas enseguida en la Ec. (2.26), se obtiene:

= ( )

(3.16)

0

O sea

0

0

=

En la que la primera integral es nula segn (3.15), y, en consecuencia,

obtenemos:

0

= (3.17)

Sustituyendo en (3.16) y (3.17) la expresin de M dada por (3.14), se obtienen

= ( )

0

(0

( )

0

) =

0 1

( )2

0 1

0

( )

0

=

0

(0

( )

0

) =

0 1

( )

0 1

0

2

0



Dividiendo estas expresiones por l y sustituyendo las integrales por los factores

de forma dados en (3.1), as como: = / se obtiene las siguientes

ecuaciones:

0

0 =

0

0 =

Sistema desde el cual se obtienen las siguientes expresiones para los

momentos de empotramiento:

0 = (

+

2) (3.18)

0 = (

+

2) (3.19)

Las que, teniendo en cuenta las expresiones (3.3), se pueden escribir as:

0 = ( + )

0 = ( + )

Haciendo

= + = + (3.20)

Se tienen, finalmente las siguientes expresiones para los momentos generados

en los empotramientos:

0 = (3.21)

0 = (3.22)

Los valores y son los factores de giro del elemento para cada uno de sus

extremos, los que dependen solo de los factores de forma de 2 especie:

3.4 interpretacin elstico geomtrica de los factores de forma, de carga y

de giro. conforme demostraremos enseguida los factores de forma, de

carga y de giro tienen las interpretaciones elstico geomtricas que se indica

en la fig. 3.4.

Consideremos el elemento ij descargado y simplemente apoyado en sus dos

extremos, fig. 3.4,1), si es uno de sus extremos se aplica un par unitario, all se

produce una deformacin angular que es numricamente igual al factor de



forma de 1 especie A ( segn cual sea el extremo en el que se aplica el

par unitario), y en el extremo opuesto se produce una deformacin angular que

es igual al factor de forma de 1 especie B de la barra.

Conforme demostraremos enseguida los factores de forma, de carga y de giro

tienen las siguientes interpretaciones geomtricas segn se ilustra en la fig. 3.4:

1)

1 : , , .

2)

2 : , , .

1)

1 : , , .

3)

1 : , .

=

5)

: ,

4)

2 : ,

.

. 3.4



Si consideramos el elemento ij descargado, con unin o empotramiento

elstico en un extremo y empotramiento perfecto en el otro, fig. 3.4,2), el par

que debemos aplicar en el extremo con unin elstica para que all se produzca

una deformacin angular igual a un radian, es numricamente igual al factor de

forma de 2 especie a ( o , segn cual sea el extremo en el ue se produce

la deformacin angular unitaria), y el par que entonces se genera en el

empotramiento perfecto es igual a la constante de la barra o factor de forma

de 2 especie b.

Si se considera el elemento ij simplemente apoyado en sus dos extremos y

sujeto al sistema de cargas aplicadas, fig. 3.4,3), en los extremos se producen

deformaciones angulares que son numricamente iguales a los factores de

carga de 1 especie 0 y

0.

Considerando el elemento ij perfectamente empotrado en sus dos extremos y

sujeto al sistema de cargas aplicadas, fig. 3.4,4), los momentos que se generan

en los empotramientos son iguales a los factores de carga de 2 especie 0 y

0.

Finalmente, considerando el elemento ij perfectamente empotrado en sus dos

extremos, fig.3.4,5), si producimos una desviacin de 45 entre los extremos, es

decir s = , los momentos que se generan en los empotramientos son

numricamente iguales a los factores de giro o

3.4.1 de los factores de forma de 1 especie: - los factores de forma de

. 3.5



1 especie , , estn dados por las expresiones (3.1).

Consideremos, Fig. 3.5 el elemento ij con las mismas caractersticas fsicas que

tiene el de la Fig. 3.1, pero ahora descargado y simplemente apoyado en sus

dos extremos. Si el nudo o extremo i aplica el elemento un par unitario, se

generan deformaciones angulares y

en los extremos, en esta notacin el

ndice expresa la ubicacin del par ubicado y el subndice la ubicacin de la

deformacin; as significa la deformacin angular en el extremo j cuando en

par acta en i.

Demostremos que los ngulos y

son numricamente iguales a los factores

de forma de 1 especie y B, respectivamente.

Debido a que las deformaciones angulares son muy pequeas, podemos

escribir:

=

=

(3.23)

De acuerdo con el segundo teorema del rea de momentos (2.3.2), tenemos:

= (

)

0

=1

( )

0

= (

)

0

( ) =1

( )2

0

Que llevndolas a (3.23), dan:

=

1

2

( )2

0

=

1

2

( )

0

(3.24)

Expresiones que, comparadas con las (3.1), demuestran que

=

= (3.25)



De la misma manera se

puede demostrar, fig.

3.6, que cuando el nudo

extremo j se aplica al

elemento el par unitario,

las deformaciones

angulares y

que se

generan en los extremos

son numricamente

iguales, respectivamente,

a los factores de forma

de 1 especie ; o sea,

=

= (3.26)

3.4.2 de los factores de forma de 2 especie:- los factores de forma de 2

especie , , b estn dados por las expresiones (3.3).

Consideremos, fig. 3.7, el elemento ij, con las mismas caractersticas fsicas que

tiene el de la fig. 3.1, pero ahora descargado, con empotramiento elstico (o

sea

empotramiento

parcial) en i y

perfectamente

empotrado en j.

si el extremo i

aplica al

elemento un par

, se genera

en j un par ;

en i se producir

una

deformacin

angular y en j no habr deformacin.

Podemos escribir que

=

=

(3.27)

De acuerdo con el segundo teorema del rea de momentos (2.3.2), tenemos

= 0

(

)

(

)

= 0

. 3.6

. 3.7



Las que llevando a (3.27) y reemplazando las integrales segn (3.1), dan el

siguiente sistema de ecuaciones:

=

0 =

Del que se obtienen:

=

2

=

2

O sea, segn (3.3):

= =

(3.28)

Si en esta expresin hacemos que la deformacin producida sea de un radian,

es decir = 1, obtenemos = = ; lo que permite afirmar que

si el extremo i parcial o elsticamente empotrado aplica al elemento un par

que produce en ese extremo; y que haca en el extremo opuesto, al

perfectamente empotrado, repercute o se induce un par que es

numricamente igual al factor de forma de 2 especie b del elemento.

De la misma manera se puede demostrar, fig. 3.8, que cuando el nudo j est

parcialmente empotrado y el nudo i perfectamente empotrado, si el nudo j

aplica al elemento un par que genera en ese extremo una deformacin ,

en el extremo apuesto repercute en par obtenindose las siguientes

relaciones:

= (

) ( )

0

= 1

( )2

1

( )

0

0

= (

)

0

= 1

( )

1

2

0

0

ANALISIS

Documents

Transcript of ANALISIS