RESUMEN: El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).

El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla.

En este documento se desarrollara un problema de cálculo matricial, compuesto por barras bimensionales se desarrollara por método analítico y se validara mediante el software de elemento finito ANSYS.

PALABRAS CLAVE: matrices, rigidez, barras, bidimensionales, desplazamientos.

ABSTRACT: The direct stiffness method is a calculation method applicable to hyperstatic bar structures that behave linearly elastic. In English it is called direct stiffness method (DSM, direct stiffness method), although it is also called the method of commuting. This method is designed for computer analysis of any structure including statically

indeterminate structures. The matrix method is based on estimating the components of the stiffness relations for resolving displacement forces or using a computer. The direct stiffness method is the most common implementation of the finite element method. The stiffness properties of the material are compiled into a single matrix equation governing the internal behavior of the idealized structure. The data structure unknown are the forces and displacements that can be determined by solving this equation. Direct stiffness method is the most common in the (both commercial and open source) structural analysis programs.

Direct stiffness method originated in the field of aeronautics. The researchers were able to approximate the behavior structure of the parts of an airplane by simple equations but required calculation time. With the advent of computers these equations were first resolved quickly and easily.

In this paper a problem of matrix calculus, comprising two-dimensional bars is developed by analytical method and validated by finite element software ANSYS to develop.

KEY WORDS: matrix, stiffness, bars, two-dimensional, displacements.

1. INTRODUCCIÓN

Este documento tiene como objetivo comparar dos métodos para la realización o resolución de problemas de estructuras bidimensionales mediante dos formas diferentes una larga y tediosa como lo es el método analítico y otro algo tan sencillo como introducir nuestra estructura a un software de elemento finito, ponerle parámetros y que el programa se encargue de resolver lo matemático, tenemos claro que un método es mucho más eficiente en cuestión de tiempo pero con ambos se tiene que llegar a lo mismo ya que uno se basa en otro se realizara una estructura por ambos para así poder comprobar la validez del mismo.

El método analítico puede ser más viable cuando se tiene una estructura menos compleja la cual tenga pocos

Análisis bidireccional de barras (software ANSYS y método analítico) con matrices

Uriel coronado cebreros Uriel.coronado@uabc.edu.mx

Aarón ramos crespoAaron.ramos.crespo@uabc.edu.mx

CITEC, Universidad Autónoma de Baja California,Tijuana, México

elementos y por consiguiente matrices de menos variables.

MARCO TEORICO: El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).

Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnitas y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:

Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita.

Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incógnita.

Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.

Matrices de rigidez elementales

Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual

(elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:

Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).

Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos de inercia de la sección) y las características geométricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc.

El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales.

La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).

Barra recta bidimensional de nudos rígidos

Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aun estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:

Cálculo de desplazamientos

Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas nodales global se construye un sistema de ecuaciones como (1). Este sistema tiene la propiedad de que puede descomponerse en dos subsistemas de ecuaciones:

El primero de estos sistemas relaciona únicamente los desplazamientos incógnita con algunas de las componentes del vector de fuerzas nodales global y constituye siempre un sistema compatible determinado

El segundo subsistema contiene también las reacciones incógnitas y una vez resuelto el primer subsistema es de resolución trivial.

Resolviendo el primer subsistema compatible determinado, se conocen los desplazamientos incógnita de todos los nudos de la estructura. Insertando la solución del primer subsistema en el segundo resultan las reacciones.

Podemos ilustrar el cálculo de desplazamientos con un ejemplo. Por ejemplo si consideramos la flexión en el plano XY de la viga recta de la sección anterior considerando que se trata de una viga biarticulada unida en sus extremos a dos rótulas fijas tendríamos que el sistema general (1) tendría la forma para este caso particular:

En el contexto de cálculo matricial de estructuras, el ángulo se corresponderá con el ´ángulo que una barra flecta en uno de sus extremos. Dado que un ángulo de giro (un “incremento de ángulo”) no se ve afectado por la rotación del sistema de referencia, tendremos que el giro en locales θ′ coincide con el giro en globales θ. En dichos casos, la matriz de rotación se modifica así para reflejar esta identidad:

Lo único que hay que hacer es multiplicar ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de rotación, dándonos:

Donde se puede verificar que la inversa de la matriz de rotación es simplemente su transpuesta. Esto no es casualidad, sino una propiedad fundamental de cualquier matriz de rotación y se puede emplear para simplificar los cálculos evitando la inversión de matrices.

Donde podemos validar que la inversa de la matriz de rotación es simplemente su transpuesta. Esto es una propiedad fundamental de cualquier matriz de rotación

y se puede

emplear para simplificar los cálculos evitando la inversión de matrices.

METODO ANALITICO:

Tabla 1. Identificación y ubicación de los nodos.

Calculamos k de los elementos.

K= EAL

K1=(1.9 x106 psi )(8 i n2)

36∈¿¿

K1=422.22 x 103 lbf¿

K2=(1.9 x106 psi )(8 i n2)

50.91∈¿¿

K2=298.56 x 103 lbf¿

K3=(1.9 x106 psi )(8 i n2)

36∈¿¿

Elemento Nodo ANGULOi j

1 1 2 02 2 3 1353 3 4 04 2 4 905 2 5 456 4 5 0

K3=422.22 x 103 lbf¿

K4=(1.9 x 106 psi ) (8 in2)

36∈¿¿

K4=422.22 x103 lbf¿

K5=(1.9 x106 psi )(8 i n2)

50.91∈¿¿

K5=298.56 x 103 lbf¿

K6=(1.9 x106 psi )(8i n2)

36∈¿¿

K6=422.22 x103 lbf¿

Matrices de rigidez locales p/c elemento:

K1=422.22x 103 lbf¿ [1 0

0 0−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

]U1 x

U1 y

U2 x

U2 y

K2=298.56 x 103 lbf¿ [ .5 −.5

−.5 .5−.5 .5.5 −.5

−.5 .5.5 −.5

.5 −.5−.5 .5

]U 2 x

U 2 y

U 3 x

U 3 y

K3=422.22x 103 lbf¿ [1 0

0 0−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

]U 3x

U3 y

U 4x

U4 y

K4=422.22 x103 lbf¿ [0 0

0 10 00 −1

0 00 −1

0 00 1

]U 2x

U 2 y

U 4 x

U 4 y

K5=298.56 x 103 lbf¿ [ .5 .5

.5 .5−.5 −.5−.5 −.5

−.5 −.5−.5 −.5

.5 .5

.5 .5]U2 x

U 2 y

U5 x

U 5 y

K6=422.22 x103 lbf¿ [1 0

0 0−1 00 0

−1 00 0

1 00 0

]U 4x

U 4 y

U 5x

U 5 y

Factorizamos las matrices locales.

K1=105[4.22 00 0

−4.22 00 0

−4.22 00 0

4.22 00 0

]U 1 x

U 1 y

U 2 x

U 2 y

K2=105[ 1.49 −1.49−1.49 1.49

−1.49 1.491.49 −1.49

−1.49 1.491.49 −1.49

1.49 −1.49−1.49 1.49

]U 2 x

U 2 y

U 3 x

U 3 y

K3=105[4.22 00 0

−4.22 00 0

−4.22 00 0

4.22 00 0

]U 3 x

U 3 y

U 4 x

U 4 y

K4=105[0 00 4.22

0 00 −4.22

0 00 −4.22

0 00 4.22

]U 2 x

U 2 y

U 4 x

U 4 y

K5=105[1.49 1.491.49 1.49

−1.49 −1.49−1.49 −1.49

−1.49 −1.49−1.49 −1.49

1.49 1.491.49 1.49

]U 2 x

U 2 y

U 5 x

U 5 y

K6=105[4.22 00 0

−4.22 00 0

−4.22 00 0

4.22 00 0

]U 4 x

U 4 y

U 5 x

U 5 y

Matriz global de rigidez:

Condiciones de frontera:

U 1 x=U 1 y=U 3 x=U 3 y=0

F4 y=−500 lb

F5 y=−500 lb

Matriz reducida:

KG=105[7.2 0 0 0 −1.49 −1.490 7.2 0 −4.22 −1.49 −1.490 0 8.44 0 −4.22 00 −4.22 0 4.22 0 0

−1.49 −1.49 −4.22 0 5.71 1.49−1.49 −1.49 0 0 1.49 1.49

]U 2 x

U 2 y

U 4 x

U 4 y

U 5 x

U 5 y

=[000

−5000

−500]

Al resolver la matriz reducida obtenemos los siguientes desplazamientos:

U 2 x=−0.00355∈¿

U 2 y=−0.0102∈¿

U 4 x=0.001∈¿

U 4 y=−0.011∈¿

U 5 x=0.002∈¿

U 5 y=−0.019∈¿

METODO MEDIANTE SOFTWARE ANSYS:

Antes de empezar el diseño de la estructura a analizar en el software debemos de hacer ciertas modificaciones a la pantalla inicial, esto con la finalidad de indicarle a ANSYS que es lo que analizaremos, en que unidades, con qué características y con qué finalidad para tratar de poder elaborar un diseño de máxima precisión, si bien sabemos que el hecho de calcular todo de forma matemática (a mano) es un método preciso aunque podría llegar a ser un método más tardado, contamos con las herramientas necesarias en el programa de análisis, pero tenemos que dejar las especificaciones muy bien determinadas antes de empezar el análisis, a continuación se presentan algunos de los aspectos importantes a destacar en el proceso de diseño y análisis;

Previo al diseño tenemos que operar ciertas funciones de ansys como los es “static structural”, después seleccionaremos el botón de “engineering data” para poder elegir la opción “structural steels” y con esto poder modificar nuestro modulo Young a 1.9x10˄6, tal cual lo indica el problema que tenemos que solucionar.

Cuando tenemos las propiedades determinadas de forma correcta, procedemos a diseñar la estructura a analizar, para esto tenemos que proceder a realizar una unión de puntos y después de esto darle las dimensiones necesarias y marcar correctamente el material con el cual estaremos trabajando.

(definition,manual input, coordenadas)

Cuando tenemos los puntos unidos, el material correcto y las dimensiones bien establecidas, cambiamos las unidades que más nos convengan o las que ya tengamos con anterioridad establecida.

Para crear punto por punto tenemos que establecernos en las coordenadas correctas para poder crear los vínculos necesarios entre punto y punto, debemos también cambiar las

Unidades correctas, como en este caso lo hicimos de metros a pies.

Y es así como unimos punto por punto hasta crear finalmente la estructura correcta para poder llegar a la hora del análisis inicial.

Antes de someter la estructura a cuaquier tipo de esfuerzo tenemos que posicionarnos en una seccion transversal, para esto tenemos que ir a concepto, cross section y

finalmente a circular, todo esto con la finalidad de generar la seccion transversal necesaria para el analisis.

Cuando tenemos la estructura correctamente modelada, las especificaciones precisas y los puntos bien marcados, procedemos a regresar a la pantalla principal de ANSYS para elegir la opción “loads”, “force”, y seleccionamos el punto o el nodo que pretendemos colocar carga o fuerza para el análisis.

“apply”, “define by”, “componente”.Con esto seleccionamos el punto nuevamente donde queremos marcar alguna fuerza que deforme de cierta manera la estructura diseñada con anterioridad.

Por último, cuando ya tenemos todo en orden, las cargas colocadas en los lugares correctos, las unidades indicadas, las medidas y dimensiones establecidas, nos queda observar en análisis estructural y los resultados que arroja el software, esto lo hacemos en la opción de “static structural”.

Con esto podemos comparar el diseño que hemos elaborado en el software y el análisis que hemos hecho de forma manual, claro que el software nos brinda la ventaja de hacer cada paso más sencillo y sin complicaciones, ya que todo es más fácil dibujando en computadora, comparado con hacer matriz por matriz para poder determinar el esfuerzo que se ejerce sobre determinado punto, es de gran importancia el hecho de saber manejar este tipo de software ya que en nuestra formación como ingenieros aeroespaciales, es primordial conocer todo referente a concentración de esfuerzos, cargas, estructuras estáticas y acompañar también de conocimiento el hecho de saber solucionar y resolver de la forma más precisa correcta cualquier problema que se nos pudiera presentar.

ANALISIS Y COMPARACION DE RESULTADOS:

Los desplazamientos mostrados a continuación son los obtenidos mediante el método analítico de matrices en cada nodo, en los empotramientos no hay desplazamiento pero si existen reacciones las cuales el software ANSYS también los revela, los desplazamientos aquí mostrados comparados con los obtenidos en el software son extremadamente parecidos inclusive se puede llegar a decir que extremadamente iguales, eso es perfecto porque nos indican y revela que tanto el método analítico así como el del programa son fiables al momento de la resolución de elementos bidireccionales por medio de matrices y que son mutuamente comprobables y se valida una a la otra, ya sea el software al método analítico así como viceversa.

U 2 x=−0.00355∈¿

U 2 y=−0.0102∈¿

U 4 x=0.001∈¿

U 4 y=−0.011∈¿

U 5 x=0.002∈¿

U 5 y=−0.019∈¿

Desplazamientos obtenidos mediante ANSYS, como podemos observar tienen un margen de error muy pequeño.

U 2 x=−0.0034676∈¿

U 2 y=−0.01∈¿

U 4 x=0.00122∈¿

U 4 y=−0.011158∈¿

U 5 x=0.0023984∈¿

U 5 y=−0.01917397∈¿

A continuación se muestra la comprobación de lo anterior, la primera imagen muestra los desplazamientos en X y la segunda en Y en los respectivos puntos 2, 4 y 5.

Desplazamientos en X

Desplazamientos en Y

CONCLUSION: Una vez finalizado el análisis por los dos métodos tanto el método analítico como el método computarizado, podemos observar resultados muy parecidos con un margen de error muy bajo. Podemos observar todos los desplazamientos son muy parecidos y por lo tanto se consideran los dos resultados correctos, se llega a la conclusión que los dos métodos son muy buenos y llegan al mismo fin pero en cuestión de tiempo es mejor el método computarizado de análisis de elemento finito, con esto queda validado el método analítico, también si se quiere ser muy preciso y validar un trabajo se puede realizar por los dos métodos para así cerciorarse de su validez.