INSTITUTO TECNOLGICO DE CIUDAD CUAUHTMOC

ANALISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

ANALISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

ELABORADO POR: Aarn Adame Castillo1

Catedrtico: Ing. Luis Miguel Sols RomoCd. Cuauhtmoc Chih., Mayo de 2011

2

INDICE UNIDAD 6ANALISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 6.1Fasores y diagramas fasoriales3 6.2 Anlisis de mallas y nodos con fasores...9 6.3 Teoremas en circuitos con fasores...13 6.3.1 Thevenin..14 6.3.2 Norton ..18 6.3.3 Superposicin26 6.3.4 aplicacin en redes de corriente alterna27

3

6.1 Fasores y diagramas fasorialesUn fasor es un vector utilizado para representar una onda, de forma que el vector suma de varios fasores puede ser utilizado para determinar la magnitud y fase de varias ondas despus de procesos de interferencia. Se utilizan directamente en ptica, ingeniera de telecomunicaciones y acstica. La longitud del fasor da la amplitud y el ngulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemtica de ondas, en electrnica los fasores se utilizan 4

habitualmente en el anlisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados fsicos.

Los fasores tambien se usan comnmente para resolver visualmente problemas del tipo "existen varias ondas de frecuencia similar pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo sobre un punto, cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las ondas, y despus simplemente se aplica la suma vectorial sobre ellos. La longitud del vector resultante en la amplitud de la onda resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Ntese que mientras que la suma de varias ondas seno no es necesariamente otra onda seno, la suma de varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia s lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ngulo del fasor resultante.

Representacin fasorialLa corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular . Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor mximo de la tensin o corriente (segn sea la magnitud que se est representando). El ngulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro est relacionada con la frecuencia de la seal.

5

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre s (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ngulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante nmeros complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si nicamente queremos representar una seal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada nicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ngulo es cero. Si en cambio nos interesa el ngulo de fase (normalmente cuando lo estamos comparando con otro fasor) lo indicamos segn corresponda.

El igual que en los nmeros complejos, los fasores pueden estar representados en forma binmica y polar (existen otras como la trigonomtrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos ser ms simple hacer cuentas con la otra forma.

6

Forma polarLos fasores suelen indicarse matemticamente tambin en forma polar, es decir como un mdulo y un ngulo. Por ejemplo la expresin:

V = 311 sen (250 t + )

Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:

V = 311 V = 250 (para una f = 50 Hz) = 45 (o )

En forma polar se escribe como 311 (45) V.

Forma binicaOtra forma de expresar a un fasor o nmero complejo, es la forma binmica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

7

Con las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binmica (a y b) a partir del mdulo del fasor y de su ngulo (forma polar) o bien hallar el mdulo del fasor y su ngulo a partir de la forma binmica.

Forma binmica a polarSi tenemos el fasor dado en forma binmica y queremos conocer el mdulo, lo calculamos como la hipotenusa del tringulo. El ngulo se calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el adyacente.

Forma polar a forma binmica

Forma binmica = a + j b

8

Suma y resta de fasoresPara sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binmica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a componente.

Multiplicacion y divisin de fasoresEs ms simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los mdulos segn corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicacin) o se los resta (para el caso de la divisin).

DIAGRAMAS FASORIALESLos diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario conocer tanto su magnitud como su ngulo de fase y de esta manera poder realizar operaciones entre ellos (suma, resta).

9

Otro uso de los diagramas fasoriales es la representacin en el dominio del tiempo y la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, etc) en el dominio de la frecuencia y de el tiempo tambin y realizar la transformacin necesaria. Para transformar una magnitud del dominio de la frecuencia con cierta magnitud y un ngulo de fase , al dominio del tiempo solo es necesario girar el fasor en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad angular que est dada en rad/s y tomar su proyeccin sobre el eje real.

10

Con los diagramas fasorial, es posible observar el comportamiento de los voltajes y corrientes de un circuito en estado senoidal permanente tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.

DIAGRAMA DE FRESNEL (DIAGRAMA FASORIAL)Aunque ni el voltaje ni la intensidad son vectores podemos representarlos por unos vectores bidemensionales llamados fasores Debajo del esquema del circuito, en el applet, se ve el diagrama fasorial que es un artificio para una fcil e intuitiva representacin de los valores instantneos del voltaje(U), en rojo, y la Intensidad (I), en azul, frente al tiempo. Las curvas sinusoidales son recorridas por una bola que ocupa una posicin coincidente en cada instante con la proyeccin del extremo del fasoror I , o U, sobre el eje "X" ,que se toma como el valor para el eje "Y" en el grfico. En el eje "X" del grfico se pone el tiempo. Los fasores I y U ,a la izquierda de la representacin, giran en sentido contrario a las agujas del reloj y mantienen en cada momento su desfase constante.

11

Los fasores giran con una velocidad angular constantew=2p n, en sentido antihorario, un ngulo wt en un tiempo t. La altura en el eje "Y" en el grfico ( es igual a la proyeccion sobre el eje "X" del fasor) es el valor instantneo de la magnitud proyectada. Intensidad y voltaje mantiene un desfase constante, menos cuando tenemos la resistencia ohmica pura, entonces van en fase

6.2 Anlisis de mallas y nodos con fasoresAnlisis por mallasSupongamos que tenemos el siguiente circuito

12

Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

Donde:

Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada).

Ii: fasores de corriente. : suma de las impedancias de la malla i. : suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.

Anlisis por nodos

Se hace de igual forma que con redes resistivas.

13

Donde:

Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i.

Vi: fasores de voltaje del nodo i. Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i. Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.

1) Ley de Kirchhoff para las corrientes (KCL):Se cumple igual con los fasores:

14

2) Ley de Kirchhoff para las tensiones (KVL):Aplicada a una malla y empleando fasores se cumple igualmente:

Demostracin: Se debe cumplir con los signos mostrados

15

16

6.3 Teoremas en circuitos con fasores

Leyes de circuitos

Utilizando fasores, las tcnicas para resolver circuitos de corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuacin se indican las leyes bsicas.

Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una seal. Por tanto V=IR sigue siendo vlida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representacin de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrs y adelante. Se puede definir tambin la 17

potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es el complejo conjugado de I). Las Leyes de Kirchhoff son validas con fasores en forma compleja.

Dado esto, se pueden aplicar las tcnicas de anlisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con ms de una frecuencia o con formas de onda diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de onda en sus componentes sinusoidales y despus analizando cada frecuencia por separado. Este mtodo, resultado directo de la aplicacin del principio de superposicin, no se puede emplear para el clculo de potencias, ya que stas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, s es vlido resolver el circuito mediante mtodos de superposicin y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.

6.3.1 Teorema de TheveninCualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de tensin en serie con una resistencia, tales que: La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en dichos terminales

18

La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestin, cortocircuitando los generadores de tensin y dejando en circuito abierto los de corriente Para aplicar el teorema de Thvenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado fsicamente del circuito original) y miramos atrs, hacia la izquierda.

FIGURE 6. CIRCUITO ORIGINAL En esta nueva situacin calculamos la tensin entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensin equivalente Thvenin Vth que coincide con la tensin en Bornes de la resistencia R2 y cuyo valor es :

19

El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensin son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, slo hay un generador de tensin que, para el clculo que debemos hacer lo supondremos en cortocircuito y que es lo que vemos ? Pues si miris la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 estn en paralelo. Por lo que la resistencia equivalente Thvenin, tambin llamada impedancia equivalente, Z th. vale:

20

El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho ms fcil realizar los clculos para obtener el valor Vo

FIGURE 7. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN

21

La otra forma de calcular Vo es, la de la teora de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante ms laboriosas.

6.3.2 Teorema de NortonCualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que: La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestin.

22

La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los generadores de tensin y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thvenin)

FIGURA 10 CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedar el siguiente circuito:

23

Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la llamaremos Ith y lgicamente es igual a la tensin V del generador de tensin dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) Ith = V / R1 la resistencia Thvenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de R1 y R2 Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2) Equivalencia entre Thevenin y Norton Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fcil pasar al otro equivalente sin ms que aplicar el teorema correspondiente, as por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thvenin de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente : Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que ser la corriente : Ith = 10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos quedar el circuito equivalente Norton de la derecha

24

Procedimientos del laboratorio .- Valores de los elementos para los montajes - Voltaje de la fuete: 5V rms - R1: 21 - R2: 21 - R3: 14.9 - C1: 99f - C2: 218.3f 1.- Se monta el circuito de la siguiente figura

25

.- Mediciones realizadas: - Voltaje medido en la carga AB conformada por R3 y capacitor C2, Vab: 1.9668V - Corriente en la carga AB, Iab: 53.66mA .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en R2 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

26

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2 Por medio de una regla de tres y el mtodo de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 32.72 grados 2.- Ahora montamos el circuito de la siguiente figura

.- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la carga AB - Grafica obtenida con el osciloscopio:

27

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en AB Por medio de una regla de tres y el mtodo de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 58.90 grados 3.- Ahora se desconecta la carga AB .- Voltaje de circuito abierto que va a ser igual al voltaje de thevenin Vth : 3.9008V .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en el capacitor C1 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

28

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en el capacitor C1 Por medio de una regla de tres y el mtodo de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 45.81 grados 4.- Ahora cortocircuitamos los extremos del circuito abierto (terminales AB) .- Medimos la corriente que pasa por el cortocircuito que va a ser igual a la In: 78.32mA .- Desfasaje de voltaje entre la fuente y el voltaje en la resistencia R2 - Grafica obtenida con el osciloscopio:

29

- La linea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en R2 Por medio de una regla de tres y el mtodo de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 39.27 grados 5.- Ahora se monta el circuito equivalente con Vth y Zth - Se monta el circuito de la siguiente figura

30

.- Medimos el voltaje en la carga AB formada por C1 y R3 , Vab: 1.4296V .- Desfasaje de voltaje entre la fuente (Vth) y el voltaje en la carga AB - Grafica obtenida con el osciloscopio:

- La lnea roja representa en voltaje de la fuente y la azul el voltaje en la carga 31

Por medio de una regla de tres y el mtodo de barrido obtenemos el valor del desfasaje que es de: 19.28 grados

6.3.3 SuperposicinEl principio de superposicin establece que la ecuacin para cada generador independiente puede calcularse separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando usemos dicho principio de superposicin la ecuacin para cada generador se calcula con los otros generadores (si son de tensin: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los generadores se acumulan para obtener la respuesta final.

EJEMPLO DE SUPERPOSICION

32

En primer lugar se calcula la tensin de salida Vo, proporcionada por el generador V1, suponiendo que el generador V2 es un cortocircuito. A esta tensin as calculada la llamaremos V01 (cuando V2 = 0) Seguidamente se calcula la tensin de salida Vo, proporcionada por el generador V2, suponiendo que el generador V1 es un cortocircuito. A esta tensin as calculada la llamaremos V02 (cuando V1 = 0)

El valor de Vo ser igual a la suma de los valores V01 + V02 obtenidos anteriormente.

33

6.3.4 Aplicacin en redes de corriente alternaUna funcin senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendr las siguientes caractersticas:

Girar con una velocidad angular . Su mdulo ser el valor mximo o el eficaz, segn convenga.

Figura 3: Representacin fasorial de una onda senoidal. La razn de utilizar la representacin fasorial est en la simplificacin que ello supone. Matemticamente, un fasor puede ser definido fcilmente por un nmero complejo, por lo que puede emplearse la teora de clculo de estos nmeros para el anlisis de sistemas de corriente alterna. Consideremos, a modo de ejemplo, una tensin de CA cuyo valor instantneo sea el siguiente:

34

Figura 4: Ejemplo de fasor tensin.

Tomando como mdulo del fasor su valor eficaz, la representacin grfica de la anterior tensin ser la que se puede observar en la figura 4, y se anotar:

Denominadas formas polares, o bien:

Denominada forma binmica.

35