1

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTINUA

1.1 CIRCUITO ELECTRICO 1.1.1. Introducción Se llama circuito eléctrico al conjunto de elementos que permite se origine en ellos una corriente eléctrica. Los circuitos eléctricos están destinados a la distribución de la energía eléctrica y a la transformación recíproca de esta en otras formas de energía. Los elementos fundamentales de un circuito eléctrico son las fuentes y los receptores de energía eléctrica y los conductores que los unen entre sí. Las fuentes de energía eléctrica (pilas, acumuladores, generadores, etc.) transforman la energía mecánica, química, térmica y otras, en energía eléctrica ; los receptores de energía eléctrica (lámparas eléctricas, artefactos electrodomésticos, motores eléctricos, etc.), a la inversa, transforman la energía eléctrica en calórica, lumínica, mecánica, etc. Los circuitos eléctricos, en los cuales la obtención de la energía eléctrica de las fuentes y su transmisión a los receptores se realiza con tensiones e intensidades invariables en el tiempo, se conocen como circuitos de corriente continua. En lugar de la expresión "receptor de energía eléctrica" se utilizará en adelante términos más breves y equivalentes: receptor, consumidor o simplemente carga ; y en lugar de la expresión "fuente de energía eléctrica" se usará otras más breves: fuente de alimentación, fuente de energía, o simplemente fuente. En la Fig.(1) se ve una instalación energía simple, donde el receptor de la energía (la carga) corresponde a unas lámparas eléctricas. La fuente está unida a esta carga a través de conductores, formando así un circuito cerrado. El conjunto de estos tres elementos (fuente, conductores, carga) representa un circuito elemental de corriente continua.

Fig.(1)

Para facilitar el análisis de los procesos que se realizan en un circuito eléctrico, se los suele reemplazar por un esquema simbólico o circuito ideal, como el de la Fig.(2), en el que el resistor R, representa (por ejemplo) las lámparas del caso anterior.

Fig.(2) 1.1.2. Resistencia - Conductancia - Ley de Ohm Todos los materiales, se trate de metales o no metales, ofrecen cierta resistencia al paso de la corriente eléctrica. En general los metales son buenos conductores y los no metales, no conductores o aisladores. Esta característica fue estudiada por G.S. OHM quien descubrió que para muchas sustancias conductoras, especialmente metales, y a una temperatura dada, la resistividad ρ es una constante. Se define la resistencia R de un conductor homogéneo de longitud l y sección constante S, como Sl. R ρ= y a temperatura constante, R permanece constante.

é

y 2

Si se aplica una cierta diferencia de potencial (proporcionada por una fuente) a los extremos de un resistor de resistencia R, circulará a través de él una corriente I. Si la diferencia de potencial, por ejemplo, se duplicara, debido a que R permanece constante, la corriente que en él se desarrolla también se duplicará . Esta relación directa (lineal) que existe entre tensión y corriente puede representarse por la formula:

R

UgI = ⇒ RIUg .= Ec.(1)

RIU .= ⇒ R

UI = Ec.(2)

donde

[ ][ ]

[ ][ ]VU

AI

R

VU g

Rde extremos los entre potencial dea Diferenci

Corriente

ia Resistenc

fuentela de Tensión

=

=

Ω=

=

y que se conoce como "Ley de Ohm" La Ec.(1) se ha presentado de esta forma en razón de que Ug es la causa que produce la corriente I (consecuencia), mientras que en la Ec.(2) la corriente I que circula a través de R es la causa que ocasiona una diferencia de potencial entre los extremos de la carga. Del mismo modo que se ha definido la resistencia R, puede ahora definirse la conductancia G como:

RG

1=

Si la unidad de medida de R es el ohm (Ω), la unidad de medida de G es el Siemmens (S). 1.2 CIRCUITO REAL ELEMENTAL 1.2.1. Introducción Como los circuitos eléctricos que se estudiarán son cerrados, la corriente debe pasar por el generador, el cual posee una inevitable "resistencia interna", que se indica con Ri. Es por esta razón que los generadores se representan como se ve en la Fig.(3), es decir como una fuente de tensión Ug en serie con una resistencia Ri.

Fig.(3) Se dibujan ambos elementos separados para puntualizar mejor las características de una fuente real, pero físicamente constituyen una unidad con ambas propiedades. Los bornes A y B son los terminales o bornes con los cuales se empalma la fuente a Rc (carga) y que representa a todo el consumo. La carga es el lugar en donde la energía eléctrica producida por el generador se transforma en otra forma utilizable para un fin dado.

3

1.2.2. Fuente de energía eléctrica Con referencia a la Fig.(3), la tensión y la corriente en Rc resultan:

ci

g

RR

UI

+= ccc RIU .=

ci

cg

cRR

RUU

+=

.

1) Si ci RR << gc UU ≈ c

g

cR

UI ≈

2) Si ci RR >> i

cg

cR

RUU

.≈

i

g

c

cc

R

U

R

UI ≈=

En el caso 1) resulta Uc aproximadamente constante e igual a Ug, es decir la fuente de energía real se comporta como un generador de tensión. En el caso 2) es la corriente Ic la que resulta aproximadamente constante a través de Rc por lo que la fuente de energía real pude considerarse como si fuera un generador de corriente.

1.2.3. Cables - efecto de la temperatura

La fuente de tensión está vinculada a la carga mediante conductores que poseen una resistencia dada por rc =ρ·l/S en la que, como se expresara anteriormente, l es la longitud, S la sección y ρ la resistividad del material conductor, cuyos valores para algunos metales se dan en la tabla 1. Además, rc varía con la temperatura según la expresión:

( )[ ]0.1.0

ttrr cc −∝+=

en la que, rc es la resistencia a la temperatura t , y α es el "coeficiente térmico de resistividad", cuyos valores, para los metales más comunes se dan también en la tabla 1.

Tabla 1

Material Resistividad Conductividad αααα

ρ [Ω m

mm2

]

γ

2mm

mS

Cº

1

Plata 0,016 62,5 0,0036 Cobre duro 0,01786 56 0,00393

Cobre Recocido 0,0175 57 0,00393 Aluminio 0,02857 35 0,0040 Volframio (Tungs.)

0,055 18,2 0,0041

Zinc 0,063 15,9 0,0038 Hierro 0,10 / 0,15 10 / 6,7 0,0045 / 47 Platino 0,11 / 0,14 9,1 / 7,1 0,002 / 3 Niquel 0,10 10 0,0040

Maillechort 0,30 3,33 0,00025 Niquelina 0,40 2,5 0,0002 Manganina 0,42 2,4 0,00001 Reotán 0,47 2,13 0,00023

Constantan 0,49 2,05 0,000005 Kruppina 0,85 1,18 0,0007 Mercurio 0,95 1,05 0,0009 Bismuto 1,2 0,83 0,0042 Carbón 10 / 100 0,1 / 0,01 0,0002/8

Por lo tanto, y con referencia a la Fig.(6), considerando la resistencia de los cables de conexionado, a la tensión real de salida de la fuente Us (que es menor que Ug debido a la caída de la tensión que I produce en ri) debe restársele también la caída de tensión en 2·rc para obtener la tensión disponible en la carga Rc. Dicha caída de tensión se denomina frecuentemente "caída de tensión en la línea", y se la indica como UL.

é

y 4

ri: resistencia interna

rc: resistencia del cable

Fig.(6) Rc: resistencia de la carga

( )cigLigLsc rrIUUrIUUUU .2.. +−=−−=−=

Ejemplo 1:

Una línea de cobre de 10 mm de sección debe ser sustituida por otra de aluminio que tenga la misma resistencia. ¿Cuál debe ser la sección de esta última? Solución: Como ambas líneas de igual longitud han de tener igual resistencia, las expresiones:

Cu

CuCu

S

lR

.ρ= y

Al

AlAl

S

lR

.ρ=

han de igualarse también, entonces:

Al

Al

Cu

Cu

S

l

S

l .. ρρ= ⇒ 22 1610.

01786,0

02857,0. mmmmSS Cu

Cu

AlAl ===

ρρ

Ejemplo 2: El filamento de una lámpara eléctrica de 60 W tiene una resistencia de 17,6 Ω a 20 ºC. Cuando se la conecta a una fuente de 120 V, circula una corriente de 0,5 A. Calcular la temperatura del filamento ( α = 0,0055 1/ºC ) Solución: La resistencia del filamento a la temperatura t se obtiene por la Ley de Ohm.

Ω=== 2405,0

120

A

V

I

UR

g

t

luego debe cumplirse la relación: ( )[ ]CtRR Ct º20.1.º20 −∝+=

o sea ( )[ ]Ct º20.1.6,17240 −∝+Ω=Ω

De donde puede despejarse el valor de t

CCC

t º2317º20º1 0055,0

16,17

240

=+−

ΩΩ

=

1.2.5 Medida de corriente y tensión. Amperímetros y Voltímetros La medición de la corriente y la tensión se realiza mediante sendos instrumentos conocidos como AMPERÍMETRO y VOLTÍMETRO respectivamente. Ambos presentan dos bornes de conexión, que en el caso del amperímetro sirve para entrada y salida de la corriente a medir, y en el caso del voltímetro para la aplicación de la diferencia de potencial o tensión a determinar. En general el proceso de medir una cantidad implica la reunión de tres elementos: a) Operador b) Instrumental c) Método de medida Todos ellos son fuente posible de error por lo que resulta útil recordar sintéticamente los siguientes conceptos:

5

Valor verdadero: Es aquel que se ha determinado como el valor más frecuente de una serie importante de medidas ; en términos matemáticos se suele adoptar como valor verdadero o exacto de una medida al determinado por el valor medio de esa serie. Medida precisa y medida exacta: Si realizadas N determinaciones de una medida el valor obtenido es prácticamente el mismo, la medida es precisa. Si además dicho valor difiere poco del valor adoptado como verdadero la medida es exacta. Medida directa - Medida indirecta: La primera es aquella obtenida en forma inmediata a través de un instrumento ; para la indirecta se requiere generalmente más de una medición directa y cálculo matemático auxiliar para la obtención del resultado de la cantidad en estudio.

Errores: Error verdadero o Error absoluto: Se llama así a la diferencia entre el valor de medida y el valor verdadero de la misma.

vm VVE −=

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero, resultando

vVEe =

Error sistemático: es el debido a fallas del método de medición o defectos del observador, son casi constantes, de igual signo y posible de cuantificar y desafectar. La Fig.(7) muestra un circuito elemental en el cual se han incluido un amperímetro (A) y un voltímetro (V), para mostrar tanto, sus representaciones simbólicas como sus conexiones.

Fig.(7) Idealmente ambos instrumentos no deberían afectar las magnitudes que miden, por lo cual el amperímetro debería presentar entre sus terminales de conexión una resistencia nula, mientras que el voltímetro una resistencia infinita. En la realidad ambos valores son finitos, y según sean más bajo o más alto, para cada caso, mejor la calidad del instrumento para medir. Otro parámetro a tener en cuenta es el alcance de un instrumento de medida, o sea para los aparatos en consideración, la corriente y/o tensión máxima que pueden medir. Como contrapartida del alcance esta la sensibilidad que representa el mínimo valor de la magnitud a medir que el instrumento puede detectar. El amperímetro puede considerarse como el instrumento básico ya que el voltímetro no es más que aquel con una resistencia, generalmente de valor elevado, en serie, de modo que la tensión a medir aplicada en los extremos del conjunto determina una corriente proporcional a dicha tensión. 1.3. CIRCUITOS CON UNA SOLA FUENTE 1.3.1. Circuito paralelo

Fig.(8)

é

y 6

Existe más de una malla pero una única diferencia de potencial UAB = Ug. La suma de las corrientes por cada resistencia es igual a la corriente que se toma de la fuente.

321 IIII ++= eg

e

gGU

R

UI .==

++=

321

111.

RRRUI g

Circuito equivalente

321

1111

RRRRe

++=

1

1

1−

=

= ∑

n

i i

eR

R

e

g

R

UI =

i

iR

G1

=

= ∑

=

n

i

ie GG1

igi GUI .= ( )∗

Aplicación inmediata: Divisor de corriente proporcional a cada conductancia. (En el punto 1.4.2 se verá que este resultado no es más que una consecuencia de la Primera Ley de Kirchhoff). Reemplazando en la expresión genérica de la corriente en cada resistencia (o conductancia indistintamente) la tensión de la fuente de la expresión ( )∗ , resulta:

e

ii

G

GII .=

La relación Gi/Ge es el factor de proporcionalidad que determina el reparto o división de I en las distintas Gi. Así dos resistencias iguales en paralelo (o dos conductancias) dividen la corriente que la fuente de tensión entrega a ambas, en dos corrientes iguales, por cada resistencia (o conductancia). 1.3.2. Circuito serie

Fig.(9)

Existe una sola malla con una única corriente. La suma de las caídas de tensión en las tres resistencias es igual a la tensión de la fuente.

ABg UUUUU =++= 321 ii RIU .= 321 RRR

UI

g

++=

Circuito equivalente

321 RRRRe ++= ∑=

=n

i

ie RR1

e

g

R

UI = ( )∗∗

Aplicación inmediata: Divisor de tensión proporcional a cada resistencia. (En el punto 1.4.2 se ver que este resultado no es más que una consecuencia de la Segunda Ley de Kirchhoff). Reemplazando en la expresión genérica de la caída de tensión en cada resistencia, la corriente de la expresión ( )∗∗ resulta:

e

ig

iR

RUU

.=

é

y 7

La relación Ri /Re es el factor de proporcionalidad que determina el reparto o división de E en las distintas Ri. Así dos resistencias iguales en serie dividen la tensión de la fuente en dos caídas de tensión iguales en cada resistencia. 1.3.3. Aplicaciones del circuito serie y paralelo al Amperímetro y Voltímetro. Ampliación del alcance de un amperímetro y un voltímetro Como se ha dicho, el alcance de un instrumento de medida, como el amperímetro o el voltímetro, es una característica propia del mismo y determina el rango de corriente o tensión que pueden ser medidas con determinada exactitud y sin dañar el aparato. El requerimiento de mediciones fuera de dicho alcance, puede resolverse construyendo, para el amperímetro, un circuito paralelo, con el fin de "desviar" parte de la corriente que debería circular por el mismo, o para el voltímetro, un circuito serie para "atenuar" la tensión a medir. En el caso del amperímetro, se coloca entonces una resistencia en derivación (en paralelo), tal como indica la Fig.(10). Como puede observase, parte de la corriente I es derivada por la RD (resistencia derivadora), con lo cual la IA que circula por el instrumento puede mantenerse dentro de los valores que impone su alcance. La determinación del valor de RD se efectúa en la forma vista en el punto 1.3.1.

Fig.(10) En el caso del voltímetro, la resistencia deberá colocarse en serie tal como indica la Fig.(11). Ahora la RM

(resistencia multiplicadora), determina una caída de tensión que reduce la resultante en bornes del instrumento, manteniéndola dentro de los valores que impone su alcance. La determinación de esta resistencia se hace en la forma vista en el punto 1.3.2.

Fig.(11) Con la finalidad de disponer diversos rangos, se construyen instrumentos de alcance múltiple como el mostrado en la Fig.(12).

Fig.(12)

Medición de resistencias utilizando voltímetro y amperímetro El método esta basado en la medición de la tensión aplicada a un resistor de resistencia Rx, cuyo valor se quiere medir, y de la corriente que circula por él. Es condición imprescindible que los instrumentos de medida que se utilicen sean de precisión. Se emplearán, por lo tanto, instrumentos de clase 0,2 ó a lo sumo de clase 0,5∗.

∗ La clase es un número que se le asigna a cada instrumento de acuerdo a su exactitud. Cuanto más baja es la clase, más exacto es el instrumento.

8

Existen dos posibilidades de conexión para el voltímetro, cada una de las cuales da lugar a un determinado tipo de error sistemático (debido al método) que debe corregirse en determinados casos, como se vera. El que se desarrolla es el llamado de conexión corta, cuyo circuito es el siguiente: En base a lo que establece la Ley de Ohm se tiene:

m

mm

I

UR =

Pero en este caso, el verdadero valor de la resistencia es:

vm

mmx

II

U

I

UR

−== y como II m > ⇒ xm RR <

Esto significa que para obtener el verdadero valor de Rx utilizando la Ley de Ohm y a partir de las lecturas de las indicaciones de los instrumentos de medida, se debe aplicar a este resultado una corrección con signo (+). El error absoluto que introduce la conexión corta es:

xm RRR −=∆ y como xvm RRR

111+= o sea

mv

mvx

RR

RRR

−=

.

mv

m

RR

RR

−−=∆

2

Y el error relativo cometido en la medición ser :

xR

Re

∆=

Y en función de los valores conocidos y/o medidos, se obtiene el error relativo porcentual:

( ) 100.%v

m

R

Re −=

1.3.4. Circuito mixto Se combinan resistencias en serie y paralelo Ejemplo 3: Cálculo de la corriente que se toma de la fuente en el siguiente circuito.

Ω=

Ω=

Ω=

50

1200

500

3

2

1

R

R

R

VU

R

g 50

3504

=

Ω=

Ω=+= 1550421 RRReq Ω=

+=

−

05,37811

1

11 eq

eqRR

R

Ω=+= 05,42823 eqe RRR AR

UI

e

g 1168,0==

Ejemplo 4: Cálculo de las corrientes en cada resistencia. Los valores de cada resistencia son los del circuito del ejemplo 3.

Análisis de circuitos en CC _Rev2010 9

Ω=+= 400341 RRReq Ω=

+=

−

30011

1

212

RRR

eq

eq

VRIU

RRR

eqAB

eqe

75,18.

800

21

21

==

Ω=+= mA

R

UI

e

g 5,621 == mAR

UI AB 625,15

22 ==

mAR

UI

eq

AB 875,461

3 ==

1.3.5. Regulación - Tensión en circuito abierto - Corriente de cortocircuito.

Si consideramos que Rc es variable, podemos construir un circuito eléctrico como el de la Fig.(4).

Fig.(4) En el anterior circuito se cumple:

icgccc RIURIU .. −==

Se trata ahora de representar estas relaciones en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, colocando en ordenadas la caída de tensión en los extremos de Rc y en abscisas la corriente que circula por esta. Si ∞=cR (circuito abierto), la corriente es nula gc UU =⇒ es la llamada condición de vacío.

Si 0=cR es la llamada condición de cortocircuito 0=⇒ cU de donde resulta la corriente de cortocircuito

igcc RUI = .

Fig.(5) La gráfica de la Fig.(5), cubre todos los valores de Rc y se conoce como "curva de regulación". 1.5 POTENCIA ELECTRICA 1.5.1. Potencia en circuitos de una sola fuente Para el circuito de la Fig.(1), resulta: ig RIUU .−= . Si se multiplica ambos miembros de la anterior

ecuación por la corriente I que circula por el circuito, resulta:

ig RIUIUI ... 2−=

Fig.(1) * El producto gUI . es la potencia que entrega la fuente

* El producto UI . es la potencia transformada en la carga.

é

y 10

Haciendo uso de la Ley de Ohm, la misma puede escribirse también como:

R

URIUI

22 .. ==

* Por último, el producto iRI .2 es la potencia transformada en la resistencia interna de la fuente.

Es claro entonces, que para un generador, la potencia útil IU . es igual a la potencia entregada IU g . , menos

la potencia transformada en la resistencia interna, o sea:

itU PPPg

−=

Un caso más general es el de un circuito serie como el de la Fig.(2).

Fig.(2) Para el mismo las potencias desarrolladas en las cargas son:

32

22

12 .... RIRIRIIU ++=

Haciendo un razonamiento similar al anterior, las potencias transformadas en las cargas serán:

iU PPPPPg

−=++ 321

Ejemplo 7: Verificación de la suma de potencias en los resistores del ejemplo 4

WIUP

WPPPPP

WRIP

WRIP

WRIP

WRIP

gU

RRRRTotal

R

R

R

R

g125,3)0625,0.(50.

125,3

77,0350.)0648,0(.

11,050.)0468,0(.

293,01200.)0156,0(.

953,1500.)0625,0(.

1

24

23

23

23

22

22

21

21

4321

4

3

2

1

===

=+++=

===

===

===

===

Ejemplo 8: La instalación de luces de un automóvil es la señalada. La batería posee una resistencia interna de 1/3 Ω. Para cada lámpara se indica la potencia que consume. Dibujar el circuito eléctrico y calcular la corriente que se toma de la batería.

WP

WP

WP

L

L

L

74,4

37,2

22,14

3

2

1

=

=

=

Ω=

=

3/1

12

i

g

R

VU

( )

( ) ( )2

3.33,912

31.2

66,42.3

414412

066,42.12.3

1

...2

2

2

321

±=

−±=

=+−

=+++=

I

II

IURIPPPP giLLLU g

⇒

AAI

AAI

4999,3

320007,32

2

1

≈=

≈=

Ambos valores de corriente son válidos y cada uno de ellos queda determinado por los valores que tomen las resistencias de las lámparas.

é

y 11

1.5.2 Potencia de cortocircuito Si en el circuito de la Fig.(1), la resistencia de carga se hace cero, las potencias entregadas y consumidas serán:

ig RIUI ..0 2−=

o sea

ig RIUI .. 2=

Pero como:

cc

i

gI

R

UI ==

Resulta lo que se conoce como "potencia de cortocircuito":

icc

i

g

cc RIR

UP .2

2

==

que es la máxima potencia que puede suministrar la fuente. 1.5.3 Transferencia de potencia Para el circuito de la Fig.(1), se desea graficar en forma adimensional y en escala logarítmica de abscisas la potencia que se desarrolla en Rc cuando ésta varía de cero a infinito.

( ) ( )22

2

22

1...

ic

ic

i

g

c

ci

g

cRR

RR

R

UR

RR

URIP

+=

+==

( )22 1 ic

ic

ig RR

RR

RU

P

+=

Para graficar esta ecuación, se coloca sobre el eje de ordenadas el cociente i/RE

P2

y en el eje de abscisas

ic RR , obteniéndose una gráfica que responde a la ecuación de la forma:

( )21 x

xy

+=

El máximo se obtiene para 1=x , o sea para ic RR = y el valor de "y" correspondiente es 0,25.

Es decir, la máxima transferencia de potencia se obtiene cuando RiRc = , y ésta es el 25% de la potencia máxima que puede entregar la fuente. 1.4. CIRCUITOS CON MAS DE UNA FUENTE 1.4.1. Concepto de nodo, malla y rama • Rama es todo tramo de circuito, sin derivaciones, comprendido entre dos nodos. • Nodo es el empalme o lugar de encuentro de dos o más ramas. • Malla es cualquier camino cerrado del circuito.

12

1.4.2. Leyes de Kirchhoff

Primera Ley de Kirchhoff

En el nodo A del circuito de la figura, la corriente total I se divide en las corrientes parciales I1 e I2 , las cuales se vuelven a juntar en el nodo B para dar la corriente total I. Como no se pierden portadores de carga durante el recorrido ni se produce acumulación alguna, se tiene que cumplir en todo nodo la relación siguiente:

Suma de las corrientes que entran = Suma de las corrientes que salen

o en forma más general, "la suma algebraica de las corrientes que se dirigen hacia cualquier nodo es cero", que es el enunciado de la primera Ley de Kirchhoff.

∑ = 0iI

Obviamente, en esta última expresión, habrá que asignar un signo a las corrientes que concurren al nodo, y el signo contrario a las corrientes que se alejan de él. Segunda Ley de Kirchhoff En el circuito sin derivaciones de la figura, los resistores están unidos con las fuentes de tensión de manera que por todas ellas pasa la misma corriente. Un circuito de este tipo, como se viera en el punto 1.3.1, recibe el nombre de "circuito serie". La corriente circula por las fuentes (causa) y, según la Ley de Ohm, produce en cada resistencia una caída de tensión (efecto). Como la suma de todas las causas sólo puede ser igual a la suma de todos los efectos, se tiene que cumplir lo siguiente:

Suma de todas las fuerzas electromotrices = suma de todas las caídas de tensión.

O en general "la suma de todas las tensiones parciales en cualquier malla, es cero", que es el enunciado de la segunda Ley de Kirchhoff.

∑ ∑ =− 0ig UUi

∑∑ =− 0. iig RIUi

Para una rama cualquiera del circuito, la segunda Ley de Kirchhoff indica que la caída de tensión en la misma es:

∑ ∑−= igAB UUUi

en la que las iU son las caídas de tensión en las restantes ramas de la malla en estudio.

1.4.3. Resolución de circuitos Algunos circuitos, por su compleja configuración, no permiten hallar una resistencia equivalente en la forma ya estudiada. La resolución del circuito puede hacerse haciendo uso de la leyes de Kirchhoff. Ejemplo 5: Para el circuito de la figura, calcular I1, I2, I3, UR1, UR2 y UR3, si E1 = 12 V y E2 = 6 V.

13

Ω=

Ω=

Ω=

25

5

10

3

2

1

R

R

R

VU

VU

g

g

6

12

2

1

=

=

Para el nodo 1, la primera Ley de Kirchhoff dice:

321 III =+

Ec.(1) De acuerdo con la segunda Ley de Kirchhoff:

0..

0..

3322

3311

2

1

=−−

=−−

RIRIU

RIRIU

g

g

Ec.(2) Reemplazando la Ec.(1) en las Ecs.(2) y (3), se tiene:

( ) ( ) 3231132111 ....2

RIRRIRIIRIU g ++=++=

Ec.(3) ( ) ( )3223132122 ....

2RRIRIRIIRIU g ++=++=

Ec.(4) La (4) y la (5) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ) ;I(I 21 cuya solución es inmediata, y con los valores dados para el problema se obtiene:

AI 494,01 = AI 211,02 −= La corriente restante se obtiene con la Ec.(1):

AI 283,03 =

OBSERVACION: El signo negativo que se obtiene para la corriente 2I indica que el sentido correcto es contrario al supuesto. Podemos decir que la fuente está recibiendo carga. Finalmente:

VRIU

VRIU

VRIU

R

R

R

055,15).211,0(.

94,410).949,0(.

075,725).283,0(.

22

11

33

2

1

3

−=−==

===

===

(Es decir el punto (+) esta en realidad en el punto (1). También se puede acotar que la fuente está recibiendo carga) 1.4.4. Método de resolución de circuitos de varias mallas y fuentes de energía. Resolver un circuito significa obtener el valor de una cierta cantidad de incógnitas con el mínimo trabajo posible. Algunos circuitos pueden resolverse haciendo sucesivos reemplazos de cargas en paralelo o serie por la respectiva carga equivalente. Sin embargo, existen circuitos que una vez simplificados al máximo, presentan varios caminos a la corriente, estableciéndose entonces varias intensidades imposibles de deducir con este método. Para solucionar estos casos hay que recurrir a las leyes de Kirchhoff, que con ayuda de la Ley de Ohm permite plantear tantas ecuaciones independientes como número de incógnitas se tengan. Por lo regular, el trabajo consiste en calcular las corrientes en las ramas de una red, cuando se conocen las f.e.m. y las cargas. Para el estudio de resolución de circuitos de varias mallas y fuentes de energía, es importante destacar que en un circuito cualquiera, el número de ramas (que se designa con la letra R) es igual al número de incógnitas. Es decir:

Nº de ramas = R = Nº de incógnitas

é

y 14

El planteo de las ecuaciones puede conducir a un mayor o menor trabajo de resolución, y solo la práctica en estos cálculos da el camino del menor esfuerzo. Hay que recalcar que dichas ecuaciones deben ser independientes, es decir, una cualquiera no debe derivar de otra, ni de combinaciones de otras. Para obtener dicha independencia es necesario seleccionar nodos o mallas independientes. El número de nodos independientes es igual al número de nodos existentes menos uno. Este principio se enuncia así:

1−= NN i Ec.(a)

siendo N el número de nodos, y Ni el número de nodos independientes. Para las mallas, se tiene que el número de ellas independientes, es igual al número de ramas menos el de nodos independientes:

( )1−−= N RM Ec.(b)

Cuando el número de incógnitas es elevado, el método estudiado conduce a extensos desarrollos matemáticos, que pueden simplificarse a través del método de mallas que se estudia a continuación. La base de este método consiste en suponer que por cada malla circula una corriente llamada "corriente de malla", que hace sus efectos con absoluta independencia de las restantes corrientes de las otras mallas. Como el número de mallas independientes está dado por la Ec.(b), ese será el número de ecuaciones a plantear. Una vez obtenidas las corrientes de malla, con ellas se determinan muy fácilmente las corrientes incógnitas. A continuación se deducen las ecuaciones para un caso particular que luego puede generalizarse para M mallas. Aplicando la primera Ley de Kirchhoff a los nodos N1 y N2:

1N 521 III += Ec.(1)

2N 324 III += Ec.(2)

Aplicando la 2da. Ley de Kirchhoff a las mallas M1 M2 y M3

1M 5511 ..1

RΙRΙU g += Ec.(3)

2M 552244 ...0 RΙRΙRΙ −+= Ec.(4)

3M 4433 ..2

RIRIU g += Ec.(5)

Despejando de las Ecs.(1) y (2) las corrientes que circulan por las ramas comunes: I5 e I4 y reemplazándolas en las Ecs.(3), (4) y (5), resulta:

( )( ) ( )

( ) 43233

52143222

52111

..

...0

..

2

1

RΙΙRΙU

RΙΙRΙΙRΙ

RΙΙRΙU

g

g

++=

−−−+=

−+=

que ordenadas convenientemente pueden escribirse: ( )

( )( )43342

43542251

52511

.

...0

..

2

1

RRIRΙU

RIRRRΙRΙ

RΙRRΙU

g

g

+−−=−

−+++−=

−+=

Adoptando como "corriente de malla" a las corrientes que se desarrollan en las ramas propias de cada malla y considerando el sentido supuesto previamente para cada una de estas, las ecuaciones anteriores resultan:

1M ( ) 52511 .. 1

RΙRRΙU g −+=

2M ( ) 43542251 .. . 0 RIRRRΙRΙ −+++−=

3M ( )43342 . 2

RRIRΙU g +−−=−

que constituyen las tres ecuaciones de malla correspondientes al circuito estudiado.

15

El método puede generalizarse para M mallas, obteniéndose un sistema de M ecuaciones con M incógnitas con el esquema siguiente:

MM

M

M

•

•

2

1

MMMMMg

MMg

MMg

RIRIRIU

RIRIRIU

RIRIRIU

iM

i

i

...

...

...

2211

2222211

1122111

2

1

++−=

−+−=

−−=

•••

••••••••••

••••••••••

•••

•••

∑

∑∑

Ejemplo 6 Determinar las corrientes que circulan por el circuito de la figura.

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

8

6

4

3

4

3

2

1

R

R

R

R

VU

VU

R

g

g

12

12

2

2

1

5

=

=

Ω=

El número de ramas es R = 5, el de nodos es N = 3 y el de nodos independientes Ni = 2; o sea M = 5 - 2 = 3. Por lo tanto, se tienen tres mallas independientes, y consecuentemente se deben plantear tres ecuaciones de malla, que tendrán tres incógnitas (las corrientes de malla I1, I2, I3).

1M ( ) 22211 ..1

RΙRRΙU g −+=

2M ( ) 43432221 ...0 RIRRRΙRΙ −+++−=

3M ( )54342 .2RRIRΙU g ++−=

Reemplazando los datos del problema en estas ecuaciones, y operando, se obtienen los valores de las corrientes de malla, que resultan:

AI

AI

AI

784,2

081,0

153,1

'3

'2

'1

−=

−=

=

⇒

AI

AI

AI

784,2

081,0

153,1

3

2

1

=

=

=

Las corrientes I4 e I5 se obtienen a partir de las corrientes I1, I2 e I3.

'3

'2235

'2

'1214

IIIII

IIIII

−=−=

−=+= ⇒

AI

AI

803,1

134,2

5

4

=

=

1.4.5 Principio de superposición En todo sistema lineal, el efecto en un punto del mismo, producido por una causa dada, es independiente de todas las otras causas y efectos. Por lo tanto el efecto total en dicho punto debido a dos o más causas puede obtenerse por superposición (suma algebraica o vectorial, según el tipo de sistema) de los efectos producidos separadamente por cada causa. En el caso de los circuitos eléctricos con conductores y cargas lineales, considerando, como es frecuente, causa las tensiones y efectos las corrientes en distintas ramas del circuito, el principio de superposición puede enunciarse del siguiente modo: “La corriente total que circula por la rama de un circuito eléctrico (con elementos lineales), actuando todos los generadores de tensión, es igual a la suma de las corrientes individuales circulantes en dicha rama como consecuencia de la actuación separada de las fuentes de tensión. Se entiende por actuación separada de las fuentes de tensión, que mientras una es causa de la corriente individual, las restantes se encuentran en cortocircuito.

é

y 16

Así, suponiendo que el circuito tenga R ramas y en cada rama haya una fuente de tensión (condición general no necesariamente frecuente en la realidad), la corriente resulta:

Rj gRjgjjgjgjj UGUGUGUGI ....21 21 +++++= •••••• (1)

Los coeficientes de la combinación lineal de tensiones de la expresión (1) tienen dimensiones de conductancia. Aquellos de distinto subíndice se denominan coeficientes de conductancia mutua y relacionan una parte de la corriente Ij con generadores de otras ramas del circuito. Aquel de igual subíndice se llama coeficiente de conductancia propia y cumple igual función que los demás, pero para la fuente de tensión en la propia rama j. El ejemplo 5 (pags. 11/12) es el de un circuito de dos mallas y tres ramas (con fuentes en cada rama) en el que se verifica este principio para la corriente en una rama (la central) los coeficientes numéricos que multiplican a cada generador son los respectivos coeficientes de conductancia, dos mutuos y uno propio y han sido calculados analíticamente. 1.4.6 Teorema de Thevenin Introducción Consideremos el circuito de la Fig.(1) en el que las resistencias R1, R2 y R3 han de conectarse sucesivamente al circuito. Al unir cada una de ellas se obtendrá, según el método seguido, una matriz diferente de R y, en consecuencia, habrá tres soluciones diferentes. La mayor parte del trabajo engorroso que esto lleva consigo se evita si se puede reemplazar el circuito activo por un circuito simple equivalente. Este es el objeto del teorema de Thevenin.

Fig.(1)

El teorema de Thevenin establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida A y B, como el representado en la Fig.(2), puede sustituirse por una fuente de tensión Ug en serie con una resistencia R Fig.(3).

Fig.(2) Fig.(3)

La tensión equivalente de Thevenin (que se acostumbra escribir ETH) es la tensión entre los terminales A B medida a circuito abierto, y la resistencia equivalente (que se acostumbra escribir RTH) es la resistencia de entrada en los terminales A B con todas las fuentes internas independientes, de tensión en cortocircuito, y de corriente en circuito abierto. La polaridad de la tensión equivalente de Thevenin ETH se elige de forma que la corriente en una resistencia que se conecte tenga el mismo sentido que si dicha resistencia se conectara al circuito activo original. Finalmente, debe aclararse que todo circuito puede separarse en dos partes, teniendo como "línea" de división la que pasa por los dos nodos o polos que definen una rama. La rama en cuestión se denomina dipolo pasivo y el resto del circuito visto desde los ya mencionados nodos, dipolo activo. Ejemplo 6 Dado el circuito de la Fig.(4), determinar el circuito equivalente de Thevenin con respecto a los terminales A B. Utilizar el resultado para hallar la corriente en las dos resistencias, R1 = 5 y R2 = 10 conectadas sucesivamente a los terminales A-B.

17

Ω=

Ω=

=

8

5

20

B

A

g

R

R

VU

Fig.(4)

AV

RR

UI

BA

g 538,185

20=

Ω+Ω=

+=

La ETH es la caída de tensión en la resistencia RB, es decir: VRIUE BABTH 307,12. ===

La resistencia vista desde los terminales AB con E = 0 es:

076,313

40.==

+=

BA

BATH

RR

RRR

El circuito equivalente de Thevenin es el de la Fig.(5)

Fig.(5) Fig.(6) Fig.(7) Si se une la resistencia R1 a los terminales del circuito equivalente de Thevenin, se tiene el circuito de la Fig.(6), y con R2 el de la Fig.(7). Las corrientes serán:

AR

EI

AR

EI

TH

TH

538,18

307,12

461,25

307,12

22

11

===

===