MATRICES DE RIGIDEZ TÍPICAS EN COORDENADAS GLOBALES

Barra “normal” horizontal:

Kg = Kl =

[

EA

L0 0 −

EA

L0 0

012EI

L3

6EI

L20 −

12EI

L3

6EI

L2

06EI

L2

4EI

L0 −

6EI

L2

2EI

L

−EA

L0 0

EA

L0 0

0 −12EI

L3−

6EI

L20

12EI

L3−

6EI

L2

06EI

L2

2EI

L0 −

6EI

L2

4EI

L ]

Barra “normal” Vertical:

Kg = Tt ∗ Kl ∗ T =

[

12EI

L30 −

6EI

L2−

12EI

L30 −

6EI

L2

0EA

L0 0 −

EA

L0

−6EI

L20

4EI

L

6EI

L20

2EI

L

−12EI

L30

6EI

L2

12EI

L30

6EI

L2

0 −EA

L0 0

EA

L0

−6EI

L20

2EI

L

6EI

L20

4EI

L ]

Barra “normal” inclinada:

T =

[

cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 − sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1]

→ Kg = Tt ∗ Kl ∗ T

Kg

=

[

EA

Lcos2(θ) +

12EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

12EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

6EI

L2sin(θ) −

EA

Lcos2(θ) −

12EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

12EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

6EI

L2sin(θ)

(EA

L−

12EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

12EI

L3cos2(θ)

6EI

L2cos(θ) (−

EA

L+

12EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

12EI

L3cos2(θ)

6EI

L2cos(θ)

−6EI

L2sin(θ)

6EI

L2cos(θ)

4EI

L

6EI

L2sin(θ) −

6EI

L2cos(θ)

2EI

L

−EA

Lcos2(θ) −

12EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

12EI

L3) cos(θ) sin(θ)

6EI

L2sin(θ)

EA

Lcos2(θ) +

12EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

12EI

L3) cos(θ) sin(θ)

6EI

L2sin(θ)

(−EA

L+

12EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

12EI

L3cos2(θ) −

6EI

L2cos(θ) (

EA

L−

12EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

12EI

L3cos2(θ) −

6EI

L2cos(θ)

−6EI

L2sin(θ)

6EI

L2cos(θ)

2EI

L

6EI

L2sin(θ) −

6EI

L2cos(θ)

4EI

L ]

Presencia de Rótulas en barras

Consecuencias en el MDR de la presencia de uniones interelementales (como p. ej. rótulas) en los extremos de una barra:

o Modifica la matriz de rigidez local de la barra de la barra: Kl → Kl∗

o Las fuerzas de empotramiento (coord. locales) que se pudiesen dar en una barra uniones interelementales, también se ven modificadas debido a la presencia de dichas uniones interelementales: Femp → Femp

∗

Determinación de Kl∗ y Femp

∗

1. Partimos de la barra como si no tuviese uniones interelementales: Fl − Femp = Kl ∗ ul

2. Reordenamos la expresión anterior colocando en las posiciones inferiores los grados de libertad libres que introducen las uniones interelementales:

[FF

FL] − [

Femp_F

Femp_L] = [

KFF KFL

KLF KLL] ∗ [

uF

uL]

Nota: normalmente FL es nulo, a no ser que haya fuerzas concentradas exteriores sobre

alguna unión interelemental (aplicadas en la dirección del grado de libertad liberado). Normalmente uF es nulo, a no ser que haya desplazamientos prescritos en alguna unión

interelemental (en dirección del grado de libertad liberado).

3. Conociendo KFF, KFL, KLF, KLL, Femp_F y Femp_L podemos determinar Kl∗ y Femp

∗ :

Determinación de Kl∗: Kl

∗ = KFF − KFL ∗ KLL−1 ∗ KLF

Nota: en esta expresión la matriz resultante no sería de dimensión 6x6, sino más pequeña, por lo que es necesario orlar la matriz. Esto es introducir una columna y una fila de ceros en la posición original de cada grado de libertad liberado por las rótulas.

Determinación de Femp∗ : Femp

∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL−1 ∗ FempL

Nota: en esta expresión el vector resultante no sería de dimensión 6, por lo que es necesario introducir ceros en las posiciones de los grados de libertad liberados por las rótulas. Si hay varias cargas que generan diferentes fuerzas de empotramiento (p. ej. una carga distribuida junto con una carga térmica), calcular las Femp

∗ de cada carga por

separado.

Los grados de libertad liberados por las rótulas se calculan con la expresión:

uL = KLL−1 ∗ ((FL − FempL

) − KLF ∗ uF)

Nota: en esta expresión FempL correspondería a la suma de todas las fuerzas de

empotramiento generadas por todas las cargas que generan fuerzas de empotramiento.

Una vez determinados Kl

∗ y Femp∗ de la barra se procede de la forma habitual.

Barra horizontal con rótula en su extremo izquierdo:

Kg = Kl∗ =

[

EA

L0 0 −

EA

L0 0

03EI

L30 0 −

3EI

L3

3EI

L2

0 0 0 0 0 0

−EA

L0 0

EA

L0 0

0 −3EI

L30 0

3EI

L3−

3EI

L2

03EI

L20 0 −

3EI

L2

3EI

L ]

KFF =

[

EA

L0 −

EA

L0 0

012EI

L30 −

12EI

L3

6EI

L2

−EA

L0

EA

L0 0

0 −12EI

L30

12EI

L3−

6EI

L2

06EI

L20 −

6EI

L2

4EI

L ]

KLF = KFL

t = [06EI

L20 −

6EI

L2

2EI

L]

KLL =4EI

L

Femp∗ = Femp_F + KFL ∗ KLL

−1 ∗ (FL − FempL) =

[ Femp1

Femp2

0Femp4

Femp5

Memp6]

−

[

03Memp_3

2L

00

−3Memp_3

2LMemp_3

2 ]

→ Feq = −Femp∗

Determinación de grado de libertad liberado:

θ1 =L

4EI∗ ((Mext_3 − Memp_3) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ2))

Barra horizontal con rótula en su extremo derecho:

Kg = Kl∗ =

[

EA

L0 0 −

EA

L0 0

03EI

L3

3EI

L20 −

3EI

L30

03EI

L2

3EI

L0 −

3EI

L20

−EA

L0 0

EA

L0 0

0 −3EI

L3−

3EI

L20

3EI

L30

0 0 0 0 0 0]

KFF =

[

EA

L0 0 −

EA

L0

012EI

L3

6EI

L20 −

12EI

L3

06EI

L2

4EI

L0 −

6EI

L2

−EA

L0 0

EA

L0

0 −12EI

L3−

6EI

L20

12EI

L3 ]

KLF = KFL

t = [06EI

L2

2EI

L0 −

6EI

L2]

KLL =4EI

L

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

Memp_3

Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

03Memp_6

2LMemp_6

2

0

−3Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Femp∗

Determinación de grado de libertad liberado:

θ2 =L

4EI((Mext_6 − Memp_6) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ1))

Barra horizontal con rótulas en sus dos extremos:

Kg = Kl∗ =

[

EA

L0 0 −

EA

L0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−EA

L0 0

EA

L0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0]

KFF =

[

EA

L0 −

EA

L0

012EI

L30 −

12EI

L3

−EA

L0

EA

L0

0 −12EI

L30

12EI

L3 ]

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

0Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

0Memp_3+Memp_6

L

00

−Memp_3+Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Femp∗

Determinación de los grados de libertad liberados:

θ1 =L

6EI(2(Mext3 − Memp3

) − (Mext6 − Memp6)) +

(v1 − v2)

L

θ2 =L

6EI(2(Mext6 − Memp6

) − (Mext3 − Memp3)) +

(v1 − v2)

L

Barra vertical con rótula en su extremo inferior:

Kg = Tt ∗ Kl∗ ∗ T =

[

3EI

L30 0 −

3EI

L30 −

3EI

L2

0EA

L0 0 −

EA

L0

0 0 0 0 0 0

−3EI

L30 0

3EI

L30

3EI

L2

0 −EA

L0 0

EA

L0

−3EI

L20 0

3EI

L20

3EI

L ]

KFF =

[

EA

L0 0 −

EA

L0

012EI

L3

6EI

L20 −

12EI

L3

06EI

L2

4EI

L0 −

6EI

L2

−EA

L0 0

EA

L0

0 −12EI

L3−

6EI

L20

12EI

L3 ]

KLF = KFL

t = [06EI

L2

2EI

L0 −

6EI

L2]

KLL =4EI

L

Femp∗ = Femp_F + KFL ∗ KLL

−1 ∗ (FL − FempL) =

[ Femp1

Femp2

0Femp4

Femp5

Memp6]

−

[

03Memp_3

2L

00

−3Memp_3

2LMemp_3

2 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

θ1 =L

4EI∗ ((Mext_3 − Memp_3) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ2))

Barra vertical con rótula en su extremo superior:

Kg = Tt ∗ Kl∗ ∗ T =

[

3EI

L30 −

3EI

L2−

3EI

L30 0

0EA

L0 0 −

EA

L0

−3EI

L20

3EI

L

3EI

L20 0

−3EI

L30

3EI

L2

3EI

L30 0

0 −EA

L0 0

EA

L0

0 0 0 0 0 0]

KFF =

[

EA

L0 0 −

EA

L0

012EI

L3

6EI

L20 −

12EI

L3

06EI

L2

4EI

L0 −

6EI

L2

−EA

L0 0

EA

L0

0 −12EI

L3−

6EI

L20

12EI

L3 ]

KLF = KFL

t = [06EI

L2

2EI

L0 −

6EI

L2]

KLL =4EI

L

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

Memp_3

Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

03Memp_6

2LMemp_6

2

0

−3Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

θ2 =L

4EI((Mext_6 − Memp_6) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ1))

Barra vertical con rótulas en sus dos extremos:

Kg = Kl∗ =

[ 0 0 0 0 0 0

0EA

L0 0 −

EA

L0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 −EA

L0 0

EA

L0

0 0 0 0 0 0]

KFF =

[

EA

L0 −

EA

L0

012EI

L30 −

12EI

L3

−EA

L0

EA

L0

0 −12EI

L30

12EI

L3 ]

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

0Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

0Memp_3+Memp_6

L

00

−Memp_3+Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

Determinación de los grados de libertad liberados:

θ1 =L

6EI(2(Mext3 − Memp3

) − (Mext6 − Memp6)) +

(v1 − v2)

L

θ2 =L

6EI(2(Mext6 − Memp6

) − (Mext3 − Memp3)) +

(v1 − v2)

L

Barra inclinada con rótula en su extremo izquierdo:

T =

[

cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 − sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1]

→ Kg = Tt ∗ Kl∗ ∗ T

Kg =

[

EA

Lcos2(θ) +

3EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) 0 −

EA

Lcos2(θ) −

3EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

3EI

L2sin(θ)

(EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

3EI

L3cos2(θ) 0 (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

3EI

L3cos2(θ)

3EI

L2cos(θ)

0 0 0 0 0 0

−EA

Lcos2(θ) −

3EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) 0

EA

Lcos2(θ) +

3EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

3EI

L2sin(θ)

(−EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

3EI

L3cos2(θ) 0 (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

3EI

L3cos2(θ) −

3EI

L2cos(θ)

−3EI

L2sin(θ)

3EI

L2cos(θ) 0

3EI

L2sin(θ) −

3EI

L2cos(θ)

3EI

L ]

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

Memp_3

Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

03Memp_6

2LMemp_6

2

0

−3Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

θ1 =L

4EI∗ ((Mext_3 − Memp_3) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ2))

Barra inclinada con rótula en su extremo izquierdo:

T =

[

cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 − sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1]

→ Kg = Tt ∗ Kl∗ ∗ T

Kg =

[

EA

Lcos2(θ) +

3EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

3EI

L2sin(θ) −

EA

Lcos2(θ) −

3EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) 0

(EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

3EI

L3cos2(θ)

3EI

L2cos(θ) (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

3EI

L3cos2(θ) 0

−3EI

L2sin(θ)

3EI

L2cos(θ)

3EI

L

3EI

L2sin(θ) −

3EI

L2cos(θ) 0

−EA

Lcos2(θ) −

3EI

L3sin2(θ) (−

EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

3EI

L2sin(θ)

EA

Lcos2(θ) +

3EI

L3sin2(θ) (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) 0

(−EA

L+

3EI

L3) cos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) −

3EI

L3cos2(θ) −

3EI

L2cos(θ) (

EA

L−

3EI

L3) cos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) +

3EI

L3cos2(θ) 0

0 0 0 0 0 0]

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

Memp_3

Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

03Memp_6

2LMemp_6

2

0

−3Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

θ2 =L

4EI((Mext_6 − Memp_6) − (

6EI

L2(v1 − v2) +

2EI

Lθ1))

Barra inclinada con rótula en su extremo izquierdo:

T =

[

cos(θ) sin(θ) 0 0 0 0−sin(θ) cos(θ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(θ) sin(θ) 00 0 0 − sin(θ) cos(θ) 00 0 0 0 0 1]

→ Kg = Tt ∗ Kl∗ ∗ T

Kg =

[

EA

Lcos2(θ)

EA

Lcos(θ) sin(θ) 0 −

EA

Lcos2(θ) −

EA

Lcos(θ) sin(θ) 0

EA

Lcos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) 0 −

EA

Lcos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) 0

0 0 0 0 0 0

−EA

Lcos2(θ) −

EA

Lcos(θ) sin(θ) 0

EA

Lcos2(θ)

EA

Lcos(θ) sin(θ) 0

−EA

Lcos(θ) sin(θ) −

EA

Lsin2(θ) 0

EA

Lcos(θ) sin(θ)

EA

Lsin2(θ) 0

0 0 0 0 0 0]

Femp∗ = Femp_F − KFL ∗ KLL

−1 ∗ FempL=

[ Femp_1

Femp_2

0Femp_4

Femp_5

0 ]

−

[

0Memp_3+Memp_6

L

00

−Memp_3+Memp_6

2L

0 ]

→ Feq = −Tt ∗ Femp∗

θ1 =L

6EI(2(Mext3 − Memp3

) − (Mext6 − Memp6)) +

(v1−v2)

L ; θ2 =

L

6EI(2(Mext6 − Memp6

) − (Mext3 − Memp3)) +

(v1−v2)

L