Análisis de Fronteras - ingenieria.unam.mx III... · Análisis de fronteras y Test de Moran Las...

Análisis de

Fronteras

Herramientas de los

Sistemas de Información Geográfica (SIG)

Definiciones de

autocorrelación espacial1. Propiedad de un conjunto de datos situados en un

mapa geográfico que muestran un patrón de organización.

2. Aplicando la PRIMERA LEY GEOGRÁFICA DE TOBLER (1970) que afirma: La autocorrelaciónespacial se basa en uno de los fundamentos geográficos más conocidos: En el espacio todo está relacionado con todo, pero los territorios más cercanos están más relacionados entre sí que los más alejados. Se puede definir la autocorrelación espacial como el grado de concentración o dispersión de los valores de una variable en un mapa, es decir, que se puede determinar el grado en que los objetos de una unidad geográfica son similares a otros objetos de unidades geográficas vecinas.

Análisis de fronteras y

Test de Moran

Las técnicas que se presentan a continuación sirven para obtener una medida cuantitativa del grado de correlación espacial entre áreas o zonas contiguas. La primera de ellas, el análisis de fronteras, es especialmente indicada cuando se trata de mapas de coropletas binarios, es decir, del tipo ausencia o presencia de un fenómeno.


Test de Moran

En el análisis de frontera se adopta una hipótesis nula. Esta señala la existencia de una disposición de los datos al azar (aleatorios), en cuyo caso se aplica un test de dos colas.

0.95Área = 0.025 Área = 0.025

–1.96 0 1.96z

Rechazar H0 Rechazar H0

Rango de aceptacion de la

hipótesis nula (H0)


Test de Moran

Como en todo test, previamente a su realización es necesario establecer el nivel de significación de éste. (Generalmente de un 0.05 o un 0.01 %).

Para ello, se tienen que normalizar las tres distribuciones que corresponden a los tres tipos de uniones, resta comparar estos números Z obtenidos con la distribución de una curva normal asumiendo previamente un nivel de significación.


Test de Moran

La hipótesis nula consiste en la inexistencia de ningún tipo de autocorrelación espacial, se adopta un test de dos colas.

Rechazar H0 si 2/02/ ZZZ

.05.02/1.02/ ZZZ

De tablas de la normal , por simetría 64.105.0 Z

Valor crítico

Z = 1.64

Valor crítico

Z = –1.64

Región de aceptaciónAcepte H0 si el valor de la muestra

se encuentra en esta región.

Z0


Test de Moran

El análisis de fronteras es apropiado para aquellos datos que se presentan en una escala nominal constituidos por dos categorías. Se trata de variables del tipo población católica/no católica, de individuos de raza blanca/no blanca, etc. Si bien este hecho parece suponer una limitación importante, en la práctica también aquellos datos que se presenten en una escala de intervalos pueden ser transformados a una escala nominal (municipios o delegaciones políticas con proporción de ancianos superior a la media, con una proporción inferior, etc.).


Test de Moran

La segunda técnica, el llamado test de Moran, cubre la misma finalidad para el caso de variables ya no binarias, sino medidas en escala cuantitativa. Ambas pruebas tienen por finalidad apreciar si la disposición de los valores ha sido debido al azar o no. En definitiva, su procedimiento es similar al de la técnica del vecino más cercano.

Tipos de autocorrelación espacial

ANÁLISIS DE FRONTERAS

BB: PositivaNN: PositivaBN: Negativa

De esta combinación de cuadrículas

negras y blancas, podemos inferir

una autocorrelación espacial positiva

entre las cuadrículas negras, es decir,

una tendencia de éstas a agruparse,

así como entre las blancas. Tan

siginificativo como ambos hechos es

la existencia de una autocorrelación

espacial, pero esta vez de signo

negativo, entre las cuadrículas

blancas y las negras; o expresado en

otros términos: una tendencia a

separarse ambos tipos de tramas



BB: NegativaNN:NegativaBN: Positiva

En esta combinación de

cuadrículas negras y blancas

se muestra una situación

simétrica, es decir, una

autocorrelación espacial

negativa entre las cuadrículas

negras, otra idéntica entre las

blancas, y una autocorrelación

espacial positiva entre las

blancas y las negras



BB: AleatoriaNN: AleatoriaBN: Aleatoria

En esta combinación de

cuadrículas negras y blancas

se presenta una disposición

al azar en la que no existe

ninguna autocorrelación

espacial.



La autocorrelación espacial es

especialmente indicada en los

fenómenos de propagación, es

decir, que se adapten al modelo

de difusión epidémica y en

aspectos con un fuerte

componente social, puesto que la

población suele residir de un

modo segregado.


ANÁLISIS DE FRONTERASConsideraciones

1. Esta técnica exige una cuidada interpretación de los datos de los

valores Z. Un resultado negativo no significa la inexistencia de

autocorrelación espacial sino la presencia de una

autocorrelación espacial de signo negativo.

La autocorrelación espacial puede presentarse con valores

negativos o positivos; existe autocorrelación positiva cuando

valores similares de una variable aleatoria tienden a

aglomerarse en el espacio, habiendo dependencia espacial entre

ellos, por otra parte la autocorrelación negativa se presenta

cuando las unidades geográficas de observación tienden a estar

rodeadas de valores opuestos estadísticamente significativos.



2. Existen dos modos de contar las fronteras, siendo éste

una consideración a tener en cuenta en el caso de mapas

de coropletas conformados por cuadrículas o

rectángulos. El procedimiento aquí expuesto se asocia a

los movimientos de las damas en tablero de ajedrez, es

decir, se consideran no sólo las fronteras laterales sino

también las esquinas. Cabe realizar, dependiendo de las

situaciones, un ánalisis de fronteras utilizando el símil de

los movimientos de la torre en el ajedrez y, por lo tanto,

despreciando las conexiones puntuales entre esquinas.

Tanto los resultados como su interpretación serán

diferentes en un caso respecto al otro.



Movimiento tipo torre Movimiento tipo dama



BB = + 1.21

NN = + 1.21

BN = – 3.26

BB = – 1.81

NN = – 1.81

BN = + 4.90

BB = – 0.30

NN = – 0.60

BN = + 1.22

BB = + 0.60

NN = + 1.21

BN = – 2.45

BB = + 0.95

NN = + 0.95

BN = – 3.39

BB = – 0.26

NN = – 0.26

BN = + 0.92

BB = – 0.09

NN = – 0.43

BN = + 0.93

BB = + 0.26

NN = +1.12

BN = – 2.47

Movimientos tipo Dama

Movimientos tipoTorre

AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL

Autocorrelación espacial

Movimiento Tipo Torre

Considere la siguiente configuración:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Obtenga los valores de Z(BB),

Z(NN) y Z(NB).

El procedimiento para medir la

autocorrelación espacial se

fundamenta en el conteo de uniones

o fronteras entre las cuadrículas. Se

siguen estos pasos:



1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas (p) o

negras (q) en la configuración anterior.

p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas.

q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas.

La suma de probabilidades ha de ser 1.

En el ejemplo:

Paso 2. Se cuentan las uniones observadas O(BB) (blanco-blanco), O(NN)

(negro-negro) y O(NB) (negro-blanco).

En este caso:



1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Total de fronteras k O(BB) + O(NN) + O(BN) = 10 + 10 + 4 = 24.

O(NN)= 10 O(BB)= 10 O(NB)= 4

Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN

y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas:

pqkNBJ

kqNNJ

kpBBJ

2)(

)(

)(

2

2

:)( y )( ),( NBJNNJBBJ Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión.

k : Número total de fronteras.

En donde

p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra.

La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos (NN), (BB) y (NB) ha de

ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que:

kNBJNNJBBJ )()()(


Movimiento tipo torre

De donde:



12245.05.022)(

6245.0)(

6245.0)(

22

22

pqkNBJ

kqNNJ

kpBBJ

24 12 6 6

)()()(

kNBJNNJBBJ

Paso 4. Se calcula la

desviación típica de las

fronteras esperadas. En las

fórmulas de la desviación

típica el término m se

define como:

n

j

jjm1

)1(5.0

TABLA 1Cálculo del análisis de fronteras.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Cuadrículas No. de fronteras

)( j 1j )1( jj

1 2 1 2

2 3 2 6

3 3 2 6

4 2 1 2

5 3 2 6

6 4 3 12

7 4 3 12

8 3 2 6

9 3 2 6

10 4 3 12

11 4 3 12

12 3 2 6

13 2 1 2

14 3 2 6

15 3 2 6

16 2 1 2

Fronteras 48 104

n

j

jjm1

52)104(5.0)1(5.0




Movimiento Tipo Torre1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

No de

fronteras

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2

5 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3

6 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4

7 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 4

8 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3

9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3

10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4

11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4

12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3

13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 3

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2

Matriz de pesos

espaciales,

contigüidad o

conectividad,

consiste en

asignar un uno al

elemento (i, j) de

la matriz W

cuando la región i

es vecina de la j y

cero en otro caso.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16



Matriz de pesos espaciales

La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es

“una de las formas más comunes de representar la ubicación

geográfica de un conjunto de polígonos”. Por convención, se le

denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o

columnas está determinado por el de los polígonos

independientes del mapa. La definición de W se basa en el

concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz

que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad

binaria, donde wij es 1 si las regiones i y j son físicamente

adyacentes o 0 en caso contrario.

Desviación típica:



45.2)52224()5.0()5.0(4)5224)(5.0)(5.0(2)2(4)(2)(

32.3)52224()5.0()5.0)(52(26)2(2)()(

32.3)52224()5.0()5.0)(52(26)2(2)()(

2222

4343

4343

mkqpmkpqBN

mkqmqNNJNN

mkpmpBBJBB



Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor

esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se

calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones (BB),

(NN) y (NB) y los resultados pueden compararse entre sí.

)(

)()()(

)(

)()()(

)(

)()()(

NB

NBJNBONBZ

NN

NNJNNONNZ

BB

BBJBBOBBZ



:)( )( ),( NBZyNNZBBZ

:)( )( ),( NBOyNNOBBO

:)( )( ),( NBJyNNJBBJ

:)( )( ),( NByNNBB

En donde:

Número Z de las tres distribuciones.

Fronteras observadas BB, NN y NB.

Fronteras esperadas BB, NN y NB.

Desviación típica de las fronteras

esperadas BB, NN y NB.



Para los tres tipos de uniones los números Z

calculados son los siguientes:

26.345.2

124

)(

)()()(

2.132.3

610

)(

)()()(

2.132.3

610

)(

)()()(

NB

NBJNBONBZ

NN

NNJNNONNZ

BB

BBJBBOBBZ



Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial

negativa entre los cuadros blancos y negros (3.26). Igualmente se aprecia

una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco

(+1.2), así como entre los cuadros de tipo negro y negro (+1.2).


.05.02/1.02/ ZZZ


Valor crítico

Z = 1.64

Valor crítico

Z = –1.64



Z0



Este límite ha sido traspasado en una de

las tres situaciones, la que corresponde a

las uniones entre las cuadrículas blancas y

negras. En consecuencia, si se considera

un porcentaje de error del test del 10 %,

puede afirmarse la existencia de una

autocorrelación espacial negativa entre las

cuadrículas de tipo B y N.


Movimiento Tipo Dama

Considere la siguiente configuración:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Obtenga los valores de Z(BB),

Z(NN) y Z(NB).

El procedimiento para medir la

autocorrelación espacial se

fundamenta en el conteo de uniones

o fronteras entre las cuadrículas. Se

siguen estos pasos:



1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Paso 1. Se calcula la probabilidad de que existan cuadrículas blancas (p) o

negras (q) en la configuración anterior.

p = Número de cuadrículas blancas/total de cuadrículas.

q = Número de cuadrículas negras/total de cuadrículas.

La suma de probabilidades ha de ser 1.

En el ejemplo:

Paso 2. Se cuentan las uniones observadas O(BB) (blanco-blanco), O(NN)

(negro-negro) y O(NB) (negro-blanco).

En este caso:



1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

O(NN)= 16 O(BB)= 16 O(NB)= 10

Doble frontera

Total de fronteras k O(BB) + O(NN) + O(BN) = 16 + 16 + 10 = 42

Paso 3. Se procede a calcular el número esperado de fronteras del tipo BB, NN

y BN. Para ello, se utilizan las siguientes fórmulas:

pqkNBJ

kqNNJ

kpBBJ

2)(

)(

)(

2

2

:)( y )( ),( NBJNNJBBJ Número de fronteras esperadas para cada tipo de unión.

k : Número total de fronteras.

En donde

p y q : Probabilidad de que una cuadrícula sea blanca o negra.

La suma de las fronteras que se esperan de los dos tipos (NN), (BB) y (NB) ha de

ser igual al número total de fronteras, k. De tal modo que:

kNBJNNJBBJ )()()(



De donde:



21)42)(5.0)(5.0(22)(

5.10)42()5.0()(

5.10)42()5.0()(

22

22

pqkNBJ

kqNNJ

kpBBJ

42 21 10.5 10.5

)()()(

kNBJNNJBBJ

Paso 4. Se calcula la

desviación típica de las

fronteras esperadas. En las

fórmulas de la desviación

típica el término m se

define como:

n

j

jjm1

)1(5.0

TABLA 1Cálculo del análisis de fronteras.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16



Cuadrículas No. de fronteras

)( j 1j )1( jj

1 3 2 6

2 5 4 20

3 5 4 20

4 3 2 6

5 5 4 20

6 8 7 56

7 8 7 56

8 5 4 20

9 5 4 20

10 8 7 56

11 8 7 56

12 5 4 20

13 3 2 6

14 5 4 20

15 5 4 20

16 3 2 6

Fronteras 84 68 408

n

j

jjm1

204)408(5.0)1(5.0

)( j 1j )1( jj

n

j

jjm1

204)408(5.0)1(5.0


Movimiento Tipo Dama1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

No de

fronteras

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

2 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

3 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5

4 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3

5 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5

6 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 8

7 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 8

8 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 5

9 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 5

10 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 8

11 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 8

12 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 5

13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 0 3

14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 5

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 5

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 3

Matriz de pesos

espaciales,

contigüidad o

conectividad,

consiste en

asignar un uno al

elemento (i, j) de

la matriz W

cuando la región i

es vecina de la j y

cero en otro caso

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16



Matriz de pesos espaciales

La matriz de pesos espaciales, conectividad o contigüidad es

“una de las formas más comunes de representar la ubicación

geográfica de un conjunto de polígonos”. Por convención, se le

denomina W y es una matriz cuadrada. El número de filas o

columnas está determinado por el de los polígonos

independientes del mapa. La definición de W se basa en el

concepto de contigüidad física de primer orden. A cada matriz

que se construye así se le conoce como matriz de contigüidad

binaria, donde wij es 1 si las regiones i y j son físicamente

adyacentes o 0 en caso contrario.

Desviación típica:



24.3)204242()5.0()5.0(4)20442)(5.0)(5.0(2)2(4)(2)(

78.5)204242()5.0()5.0)(204(25.10)2(2)()(

78.5)204242()5.0()5.0)(204(25.10)2(2)()(

2222

4343

4343

mkqpmkpqBN

mkqmqNNJNN

mkpmpBBJBB



Paso 5. Una vez que se ha obtenido para los tres tipos de fronteras su valor

esperado, así como la desviación típica de estas mismas fronteras esperadas, se

calcula el número Z. De este modo, se normalizan las tres distribuciones (BB),

(NN) y (NB) y los resultados pueden compararse entre sí.

39.324.3

2110

)(

)()()(

95.078.5

5.1016

)(

)()()(

95.078.5

5.1016

)(

)()()(

NB

NBJNBONBZ

NN

NNJNNONNZ

BB

BBJBBOBBZ



:)( )( ),( NBZyNNZBBZ

:)( )( ),( NBOyNNOBBO

:)( )( ),( NBJyNNJBBJ

:)( )( ),( NByNNBB

En donde:

Número Z de las tres distribuciones.

Fronteras observadas BB, NN y NB.

Fronteras esperadas BB, NN y NB.

Desviación típica de las fronteras

esperadas BB, NN y NB.



Estos resultados apuntan a una considerable autocorrelación espacial

negativa entre los cuadros blancos y negros (3.39). Igualmente se aprecia

una autocorrelación espacial positiva entre los cuadros de tipo blanco

(+0.95), así como entre los cuadros de tipo negro y negro (+0.95).


.05.02/1.02/ ZZZ


Valor crítico

Z = 1.64

Valor crítico

Z = –1.64



Z0



Este límite ha sido traspasado en una de

las tres situaciones, la que corresponde a

las uniones entre las cuadrículas blancas y

negras. En consecuencia, si se considera

un porcentaje de error del test del 10 %,

puede afirmarse la existencia de una

autocorrelación espacial negativa entre las

cuadrículas de tipo B y N.

[email protected]

Teléfono OficinaFacultad de Ingenieria, UNAM

5622-3281 Ext. 117

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José Antonio Rivera Colmenero

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