Análisis de Fuerza

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Universidad Autónoma del Carmen

REPORTE E INFORME

ANÁLISIS DE FUERZAS EN DOS Y TRES DIMENSIONES

TRABAJO DE ESTÁTICA

REALIZADO POR

MAYRA ALEJANDRA DOMÍNGUEZ ROCHER

PROFESOR

FRANCISCO ALBERTO TAMAYO ORDOÑEZ

CD. DEL CARMEN, CAMPECHE A 24 DE ABRIL DEL 2015.

Dependencia Académica de Ciencias Químicas y Petrolera

Facultad de Química

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CONTENIDO

Introducción .…………………… ……………………………………………………..4

Método del paralelogramo……………………………………..…………………….6

Ejercicios………………………………………………………………………………...8

Método del triángulo……………………………………………………………….….11

Ejercicios………………………………………………………………………………..14

Método del polígono…………………………………………………………….…….24

Ejercicios………………………………………………………………………………..26

Método trigonométrico……………………………………………..………………..30

Ejercicios……………………………………………………………………..………...31

Método analítico (componentes).………… ……………………………….……...39

Ejercicios………………………………………………………………………..………41

Vectores en el espacio…………………………………………………...…………..56

Ejercicios……………………………………………………………………………..…59

Suma y resta de vectores en el espacio…………………………………….……78

Ejercicios……………………………………………………………………………..…80

Equilibrio de partículas……………………………………………………………….90

Ejercicios………………………………………………………………………………..92

Extramuros……………………………………………………….…………..……….121

Conclusión…...…………………………………………..……………………………127

Bibliografía…………………………………………….………………………………129

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INTRODUCCIÓN

La estática es una rama de la ciencia de la física que estudia cómo actúan

las fuerzas sobre los cuerpos quietos. Una fuerza es la acción de un cuerpo

sobre otro.

En este reporte se estudiará el efecto de las fuerzas que interactúan sobre

las partículas, se le consideran así, porque son objetos en donde la forma y

el tamaño de los cuerpos no afectarán en la solución de los problemas.

Cuando se tratan varias fuerzas en conjunto, constituyen un sistema de

fuerzas. Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel cuyas líneas de

acción se cortan en un solo punto y su resultante es la sumatoria de ellas.

Para la solución de estos sistemas, existen diversos métodos para

encontrar la fuerza resultante que veremos por partes.

Veremos el uso de fórmulas, como la ley de los senos y cosenos, que nos

ayudan a encontrar magnitudes y ángulos. También conoceremos el vector

unitario, que es un vector con magnitud igual a 1, que tiene la misma

dirección de la fuerza, y que nos puede a ayudar a encontrar las

componentes de las fuerzas, si es necesario.

Existen métodos gráficos y analíticos que consisten en distintas formas de

procedimiento y razonamiento para su aplicación. Entre los gráficos,

tenemos el método del paralelogramo, uno de los más sencillos, que sólo es

aplicable para dos fuerzas; el método del triángulo, muy similar al del

paralelogramo, igual recomendable para dos fuerzas. Y el método del

polígono, para un conjunto de fuerzas ejercidas en un cuerpo. También

tenemos los analíticos que son: el método trigonométrico, que se apoya en

el método del triángulo para su solución; el método de las componentes,

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que es descomponer cada fuerza y analizarlas. Y el método de suma y

resta, que es encontrar las componentes de las fuerzas y sumarlas.

Todos estos métodos son aplicables para un plano de dos o tres

dimensiones, tomando en cuenta que en el tridimensional debemos ser más

cuidadosos al identificar, ubicar nuestras fuerzas y ángulos para obtener la

resultante.

Aprenderemos a sacar el equilibrio para un cuerpo o fuerza en un sistema

de dos y tres dimensiones, donde la suma de sus fuerzas debe der 0. La

condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en

equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre

ella sea cero. Para este tipo de problema en ocasiones si se considerará el

cuerpo, como es su peso. Para poder obtener los resultados y encontrar su

punto de equilibrio.

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MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

El método del paralelogramo es un método gráfico que nos ayuda

fácilmente a encontrar la fuerza resultante cuando solo cuando hay dos

fuerzas que la ejercen. Primero que nada debemos tener nuestro diagrama

de cuerpo libre, después elegir una escala conveniente para su trazo; hay

que tomar en cuenta que entre más grande la escala mayor es el error.

Luego se trazan las paralelas de cada fuerza desde el punto de donde están

y el punto donde se intersecta las paralelas finaliza la resultante. Tenemos

que tener mucho cuidado con nuestras herramientas de medición como la

regla, escuadra y transportador, hay que ser lo más precisos posibles para

que nuestro resultado sea el correcto.

Paso 1. Diagrama de cuerpo libre. Es la representación de las fuerzas sin

figuras y deben estar nombrados con sus valores de módulo y dirección.

Ejemplo:

Paso 2. Elegir una escala. En este ejemplo:

Escala 1cm: 10N

A= 120 N= 12 cm

B= 90 N= 9 cm

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Paso 3. Se trazan las paralelas de cada fuerza desde el punto de donde

están. En este paso se deben acomodar las escuadras de manera de poder

trazar nuestras líneas paralelas lo más preciso posible, es recomendable

utilizar un lápiz de punta fina. Al igual con el transportador medir con

exactitud los ángulos que tengamos.

Las formas de presentar el resultado son:

1) 150 N a 36°.

2) 150 N a 36° en el I cuadrante.

3) 150 N a 36° al Noreste.

4) 150 N

El punto donde se intersectan las

paralelas finaliza la resultante. Se mide

con la regla, del origen al punto donde

termina, y de acuerdo a nuestra escala

sacamos la y con el transportador

medimos el ángulo que forma.

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Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo que forma la recta

soporte de la resultante y el eje x:

Riley. Ejercicio

2.1. Las fuerzas representadas en la figura:

Escala 1cm: 10N

90 N= 9 cm

120 N= 12 cm

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2.2. Las dos fuerzas representadas en la figura:

Escala 1cm: 6N

A=10 cm

B=9 cm

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MÉTODO DEL TRIÁNGULO

El método del triángulo es un método gráfico similar al del paralelogramo,

solo que éste ya no se trazan las líneas paralelas, sino que se trazan las

fuerzas seguidas, trazando la primera se traza la segunda, imaginando que

donde termina se dibujan unos ejes y ahí se traza la siguiente, y donde

termina el punto de la última se une al origen y se forma un triángulo. Este

método solo aplica para dos fuerzas. Se debe realizar su diagrama de

cuerpo libre, una escala apropiada y realizar los trazos los más exacto

posibles.



Ejemplo:


Escala 1cm: 10N

A= 120 N= 12 cm

B= 90 N= 9 cm

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Paso 3. Se traza primero la fuerza A, y luego se dibujan unos ejes

imaginarios, donde se trazará B, donde termina A. Siempre respetando su

módulo y dirección.


1) 150 N a 36°.



4) 150 N

Observamos que forman un triángulo, y

conforme a nuestros trazos, medimos y

sacamos nuestra fuerza resultante de

acuerdo a nuestra escala. Y con el

transportador medimos el ángulo .

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Para este método hay que considerar la ubicación de nuestros vectores y

ángulos para poder identificar su posición y así aplicar las fórmulas que

correspondan. Aquí hay los tipos de ángulos según su lugar de ubicación:

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P á g i n a | 15

Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo Θ que forman la recta


Riley. Ejercicio

2.1 Las fuerzas representadas en la figura:

Escala 1cm: 6N

A=10 cm

B=9 cm

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Escala 1cm: 6N

A=10 cm

B=9 cm

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2.3 Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo Θ que forman la

recta soporte de la resultante y el eje x, por el método del paralelogramo y

triángulo.

Método del paralelogramo

Escala 1 cm: 40 N

A=12 cm

B= 10 cm

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Método del triángulo

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2.4. Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo Θ que forman la

recta soporte de la resultante y el eje x, por el método del paralelogramo y

triángulo.

Método del paralelogramo

Escala 1 cm: 25 N

A= 10 cm

B= 8 cm

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Método del triángulo

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Libro de Johntson

Ejercicio

2.4. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetadas

a las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine en forma gráfica

la magnitud y la dirección de su resultante usando a) la ley del

paralelogramo, b) ls regla del triángulo.

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Libro de Riley

Ejercicio


recta soporte de la resultante y el eje x, por el método del triángulo. Las

fuerzas representadas en la figura.

Escala 1 cm: 10 N

A= 11 cm

B= 9 cm a 120.97°

59.03° es el ángulo complementario,

para sacar su real restamos 180°-

59.03°= 120.97°

Para sacar el ángulo utilizamos:

Despejando:

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Escala 1 cm: 100 N

A= 6 cm a 30°

B= 8 cm a 135°

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MÉTODO DEL POLÍGONO

Es un método gráfico donde 3 o más fuerzas se presentan. El método del

polígono puede considerarse una extensión del método del triángulo, pues

son más fuerzas las que se utilizan y al realizar el mismo prodecimiento del

mencionado, al final forma un polígono cualquiera. Los pasos son construir

el diagrama de cuerpo libre, elegir una escala, trazamos los vectores a

escala, donde termina un vector inicia el siguiente y así consecutivamente,

y al final, el último punto se une al origen y así se obtiene la resultante.



Ejemplo:


Escala 1 cm: 100 N

A= 9 cm a 0°

B= 7.5 cm a 30°

C= 8 cm a 90°+45° = 135°

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Paso 3. Se empiezan a trazar cada fuerza en orden, donde termina una

empieza la otra. Y así sucesivamente. El punto donde termina el vector se

traza al origen y esa será nuestra resultante.


1) 1360 N a 44°.



4) 1360 N

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P á g i n a | 27


de acción de la resultante y el eje x, por el método del polígono.

Riley. Ejercicio

2.9 Las tres fuerzas representadas en la figura

Escala 1 cm: 100 N

A= 9 cm a 0°

B= 7.5 cm a 30°

C= 8 cm a 90°+45° = 135°

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2.11 Las tres fuerzas representadas

Escala 1 cm: 5 N

A= 60 kN = 12 cm a 80°

B=50 kN = 10 cm a 175°

C=25 kN = 5 cm a 285°

Para sacar el ángulo de:

B= 80° + 95° = 175°

Como C está en el IV cuadrante sería:

C= 360° - 75° = 285°

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2.16. Las cuatro fuerzas representadas

Escala 1 cm: 10 N

A= 80 kN = 8cm a 59.03°

B= 60 kN = 6 cm a 153.5°

C= 75 kN = 7.5 cm a 216.86

D= 30 kN = 3 cm a 321.35°

Para sacar los ángulos utilizamos:

Estos son ángulos complementarios, que son medidos

del eje “x” más cercano, de acuerdo a la ubicación de

los vectores obtenemos el ángulo real.

P á g i n a | 30

MÉTODO TRIGONOMÉTRICO

El método trigonométrico es un método analítico que consiste hacer

cálculos y operaciones con la fórmula de senos y cosenos. Este método es

recomendable para dos vectores. Se podría aplicar para más fuerzas pero

sería más complicado y tedioso, porque trata de formar un triángulo con

dos fuerzas y el lado que falta es la resultante, entonces si son más fuerzas

abría que ir formando primero un triángulo, obteniendo una primera fuerza

resultante, agregar la otra fuerza formando otro triángulo, y así

sucesivamente hasta terminar. Para ese tipo de casos existen otros

métodos más convenientes para resolverlos, que más adelante veremos.

Éste método se apoya con el método del triángulo para formar la figura.

Ley de los cosenos

Ley de los senos

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2.6. Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo que forman la

recta soporte de la resultante y el eje x:

(

)

(

)

Para obtener los ángulos:

Para sacar la fuerza resultante

necesitamos el ángulo que le

corresponde que es 45.57° y así

aplicar la ley de los senos, la cual

obtuvimos:

Recordemos que son ángulos

alternos.

√

P á g i n a | 33

2.7 Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo que forman la



Formamos nuestra figura de acuerdo a

los datos que nos proporcionan, y

trazamos de acuerdo al método del

triángulo, que quedaría como se

muestra.

Para este método es muy importante

poder apreciar los ángulos que se forman

en nuestro triángulo. Al trazar A y luego B

se forman dos ángulos, uno de 30° y uno

de 45° que formarían un ángulo de 75°. El

30 ° se obtiene respecto al vector A que

se trazó, puesto que son alternos.

Entonces conocemos a A y B, y un ángulo

de 75°, nos falta conocer C que es

nuestra fuerza, utilizaremos la fórmula de:

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Resolvemos:

√

Ahora nos falta sólo el ángulo, que obtendremos con la formula de seno:

Despejando:

=

)

=63.046°

Ahora para obtener el ángulo real de la resultante con respecto al eje “x”:

θ= +30°

θ=63.046°+30°=93.046°

Resultado:

P á g i n a | 35


Aquí ya son tres fuerzas, lo resolveremos por el método trigonométrico.

√

(

)

Trazamos primero nuestras fuerzas A y B,

formando un triángulo y obteniendo una . Y

sacamos el ángulo.

El ángulo de 150° se obtuvo respecto al de 30°

porque son suplementarios.

Ahora trazamos la fuerza C=800 N y así

obtendremos la fuerza resultante, así

formamos nuestro segundo triángulo, y la

pasa a ser un lado del triángulo junto con

C.

P á g i n a | 36

√

El ángulo de 58.6° se obtuvo de la suma de +45° donde =13.6° que sacamos

anteriormente, por lo tanto:

13.6° + 45° = 58.6°

Ahora obtenemos los ángulos:

Donde:

Y por último el ángulo real de la resultante:

θ = +

θ = 13.6° + 30.10°

θ= 43.7°

Respuesta:

P á g i n a | 37


√

(

)

Para nuestro primer triángulo

=56.36°

El ángulo de la fuerza 1, será:

𝜑 = 56.36° + 40°

𝜑=96.36°

P á g i n a | 38

√

𝜑

Para el segundo triángulo, ya obtendremos la

fuerza resultante:

Ahora sacamos el ángulo:

=24.47°

Donde el ángulo real será:

θ = 69.36° - 24.47°

θ = 71.89°

Para el método trigonométrico es muy importante saber ubicar

e identificar nuestros ángulos, para obtener otros que

necesitemos para la solución de nuestro problema.

P á g i n a | 39

MÉTODO ANALÍTICO

(COMPONENTES)

El método analítico ya no es necesario graficar, sino con puros cálculos se

obtiene la fuerza resultante, sin embargo, es importante tener nuestro

diagrama de cuerpo libre para saber la posición de los vectores. Luego se

descomponen, que son componentes horizontal “x” y vertical “y”,

seguidamente se realiza la sumatoria de esas componentes. Una sola

fuerza F que actúa sobre un cuerpo puede reemplazarse por dos o más

fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre el cuerpo. A estas

fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y al proceso de

sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de fuerza F en sus

componentes.

1. Diagrama de cuerpo libre

-Magnitud o módulo

- Dirección

-Nombre

2. Descomponer en componentes

3. Sumatoria de las componentes

…

P á g i n a | 40

4. Magnitud de la fuerza resultante

√

5. Dirección del vector resultante

(

)

Ejemplo:

P á g i n a | 41

P á g i n a | 42

Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo que forma la recta


Riley. Ejercicio


√

√

(

)

De acuerdo a la posición y a las

operaciones, en la sumatoria dio todo

positivo, concluimos que la fuerza

resultante está en el primer cuadrante.

En este problema nos dan dos fuerzas que

están sobre los ejes; A está sobre “x” y por lo

tanto no tendrá componentes en “y”. B está

en el eje “y”, y no tiene componentes en “x”.

P á g i n a | 43


√

(

)

P á g i n a | 44


√

(

)

En las componentes en “x” dio

negativo, y en “y” positivo, por lo

tanto la fuerza resultante estará

en el II cuadrante.

Al sacar el ángulo se consideran los valores

absolutos, los signos de nuestras

componentes nos indican la ubicación de la

fuerza resultante. Aunque 5.86 sea negativo,

al obtener el ángulo conseguimos el

complementario. Así que para tener el real,

sabiendo que la fuerza está en el II

cuadrante:

= 93.39°

P á g i n a | 45

Libro de Johnston

Ejercicio

2.1. Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra

en la figura si P=15lb y Q=25lb. Determine la magnitud y la dirección de su

resultante.

√

(

)

=8.6178 lb

Las componentes nos

indican que la fuerza

resultante estará en el IV

cuadrante

P á g i n a | 46

El problema 2.1. también se puede hacer mediante el método gráfico, en

este caso se hizo mediante el paralelogramo, y el resultado será el mismo.

Escala 1cm: 5 lb

P=15 lb = 3 cm a 15° = 3 cm a 255°

Q=25 lb =5 cm a 30° = 5 cm a 330°

Recordemos que los ángulos que nos proporciona la figura son

complementarios, y de acuerdo a su posición y dirección, sacamos sus

ángulos reales. Podemos observa que la fuerza resultante queda en el

IV cuadrante.

P á g i n a | 47

Libro de Hibbeler

Ejercicio

2.1. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su

dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el

eje “x” positivo.

√

(

)= 71.953°

P á g i n a | 48

2.2. Determine la magnitud de la fuerza resultante si: a) ;

b) y su dirección medida en sentido contrario al de las

manecillas del reloj desde el eje “x” positivo

√

El ángulo de 75° se

obtuvo de 30°+45°

El ángulo de 75°, lo

obtuvimos de la suma de

30°+45°.

P á g i n a | 49

√

El ángulo de 105°, lo obtuvimos

de la suma de 60°+45°, por la

ubicación de sus ángulos.

P á g i n a | 50

Libro de Riley

Ejercicio

2.54. Utilizar el método de las componentes rectangulares. Determinar el

módulo R de la resultante y el ángulo θ que forma su recta soporte con el

eje “x”.

P á g i n a | 51

Libro de Johnston

Ejercicio

2.4. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a

las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine la magnitud y la

dirección de su resultante.

Libro de Hibbeler

√

(

)

√

(

)

(

)

P á g i n a | 52

Ejercicio

2.8 Determine el ángulo θ para conectar la barra A a la placa de manera de

que la fuerza resultante de y esté dirigida horizontalmente hacia la

derecha. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

2.32 Determine la magnitud

√

Despejamos en para encontrar

(

)=35°

P á g i n a | 53

de la fuerza resultante así como su dirección, medida ésta en el sentido de

las manecillas del reloj desde el eje “x” positivo.

Se considera a B en esa posición por la dirección que tiene.

√

(

)

P á g i n a | 54

2.37. Determine la magnitud y la dirección θ de de manera que la fuerza

resultante esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de

800 N.

√

(

)

°

θ=90°-60.84°=29.16°

θ=29.16°

P á g i n a | 55

2.43 Determine la magnitud y la orientación θ de de manera que la fuerza

resultante esté dirigida a lo largo del eje “y” positivo y tenga una magnitud

de 1500 N.

√

(

)

θ=68.6149° en el II cuadrante

P á g i n a | 56

VECTORES EN EL ESPACIO

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje

“z”, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes “x” y “y”.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). También

llamados (i, j, k) respectivamente.

Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas

octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su

origen en un punto y su extremo en el otro.

Una fuerza en el espacio se puede

descomponer en tres componentes

rectangulares mutuamente ortogonales

y dirigidas según los ejes de

coordenadas x, y, z como se muestra en

la figura.

P á g i n a | 57

Para sacar el módulo, si la fuerza está definida por sus componentes:

√

Forma vectorial cartesiana: { }

Para obtener sus componentes de fuerzas teniendo sus ángulos

Los ángulos y son los ángulos ( ) que forma la fuerza F

con los semiejes de coordenadas positivos. Los cosenos de estos ángulos,

llamados cosenos directores, deben cumplir la relación:

Para obtener sus ángulos:

Un vector unitario ( tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de

la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada

componente del vector por su módulo.

P á g i n a | 58

Otra forma de expresión del vector unitario:

Los signos dependerán de la posición de cada vector o fuerza.

Si multiplico la fuerza por el vector unitario correspondiente me da

las componentes rectangulares.

Para sacar un ángulo entre dos vectores:

Donde: y están en su forma vectorial, es una magnitud.

Cuando me dan las distancias de nuestras componentes y para obtener las

fuerzas y ángulos, utilizamos:

P á g i n a | 59

P á g i n a | 60

Libro de Riley

Ejemplo

2.6. Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo, tal como se indica en la

figura

a) Determinar las componentes escalares x,y,z de la fuerza.

b) Expresar la fuerza en forma vectorial cartesiana.

a)

b)

{ }

P á g i n a | 61

Libro de Riley

Ejercicio

2.38. Resolver el problema para el caso en que F=15 kN y

a) Componentes x,y,z.

b) Forma vectorial cartesiana.

2.39. Resolver el mismo problema para el caso en que F=28 Kn,

y

Problema ejemplo:

{ }

a)

b)

a)

b) { }

P á g i n a | 62

2.6. Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo en la forma indicada.

Determinar:

a) Los ángulos , y .

b) Las componentes escalares x, y, z de la fuerza.

c) La componente rectangular de la fuerza según la recta OA.

√

√

(

)

(

)

(

)

a)

(

)

(

)

(

)

b)

P á g i n a | 63

{ }

√

c)

{ }

Hacemos un producto punto para obtener

Sacamos el vector unitario

P á g i n a | 64

2.42. Se aplica una fuerza de 50 kN a un anclaje según se indica en la

figura.

a) Determinar los ángulos , y .

b) Las componentes x, y, z de la fuerza.

c) Expresar la fuerza en forma vectorial cartesiana.

√

√

Tenemos que visualizar con cuidado las

distancias que marca la figura respetando

posición y dirección respecto a los ejes.

(

)

(

)

(

)

a)

(

)

(

)

(

)

b) { }

c)

Se puede concluir que la fuerza está en el tercer

cuadrante, por los signos de nuestras

componentes.

P á g i n a | 65

2.73. Para estabilizar un árbol arrancada parcialmente durante una

tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y

después se fijan a barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensión en el

cable AB es de 950 lb. Determine

a) Las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el árbol .

b) Los ángulos , y que forma A con los ejes paralelos a los ejes

coordenados.

La componente vertical “y” es negativa

porque va hacia abajo.

Se obtiene una proyección respecto a los

ejes “x” y “z”.

Teniendo:

Podemos sacar:

P á g i n a | 66

2.74. Para estabilizar un árbol arrancada parcialmente durante una

tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y

después se fijan a barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensión en el

cable AC es de 810 lb. Determine

a) Las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el árbol.

b) Los ángulos , y que forma A con los ejes paralelos a los ejes

coordenados.

(

)

(

)

(

)

a)

b)

P á g i n a | 67

(

)

(

)

(

)

a)

b)

P á g i n a | 68

Libro de Hibbeler

Ejercicio

2.59. Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de

{ } y { } Trace cada fuerza

sobre una referencia x,y,z.

|| || √

|| || √

|| || √

|| || √

(

)

(

)

(

)

Ángulos de la

(

)

(

)

(

)

Ángulos de la

P á g i n a | 69

2.60. El cable en el extremo del pescante de la grúa ejerce una fuerza de

250 lb sobre el pescante, como se muestra. Exprese F como un vector

cartesiano.

√

√

{ }

=1

P á g i n a | 70

2.75. Determine

a) Las componentes x,y y z de la fuerza de 900 N

b) Los ángulos , y que forma la fuerza con los ejes coordenados.

a)

b)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 71

2.43. Se aplican dos fuerzas a un anclaje según se indica en la figura

a) Determinar las componentes x ,y, z de la fuerza .

b) Expresar la en forma vectorial cartesiana.

c) Determinar el valor de la componente rectangular de la según la recta

de .

d) Determinar el ángulo que forman las fuerzas y .

√

√

Distancia para

(

)

(

)

(

)

Vector unitario

a)

b) { }

P á g i n a | 72

√

√

(

)

(

)

(

)

{ }

[ ]

Distancia para

Vector unitario

c)

d)

P á g i n a | 73

Libro de Hibbeler

Ejercicio

2.61. Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la

fuerza F que actúa sobre la estaca.

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 74

2.44. A un anclaje hay aplicadas dos fuerzas tal como se indica en la figura:

a) Determinar las componentes x, y, z de la fuerza .

b) Expresar la fuerza en forma vectorial cartesiana.

c) Determine el valor de la componente rectangular de la fuerza según la

recta soporte de la fuerza .

d) Determinar el ángulo que forman las fuerzas y .

√

√

√

(

√ )

(

√ )

a) (

√ )

b) { }

√

√

P á g i n a | 75

√

√

√

√

√

(

√ )

(

√ )

(

√ )

{ }

(

√ ) (

√ ) (

√ ) (

√ ) (

√ ) (

√ )

c)

Componentes de la

Usando la fórmula

d)

P á g i n a | 76

2.63. La pieza montada sobre el torno está sometida a una fuerza de 60 N.

Determine el ángulo coordenado de dirección y exprese la fuerza como

un vector cartesiano.

{ }

Se cambia el signo porque el vector va hacia abajo { }

Despejamos de la fórmula , para obtener el ángulo

P á g i n a | 77

2.88. Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircular con 36

in de radio que está sostenido parcialmente por los cables BD y BE, los

cuales se unen al anillo en el punto B. Si la tensión en el cable BD es de 55

lb. Determine las componentes de las fuerzas ejercidas por el cable sobre

el soporte colocado en D.

√

√

P á g i n a | 78

SUMA Y RESTA DE VECTORES EN EL

ESPACIO

Es un método analítico donde mediante las componentes de las fuerzas

obtenemos la resultante, con la sumatoria en “x”, “y”, “z”, (i, j, k); donde ya

estamos en un plano de tres dimensiones. Para este método requerimos

nuestro diagrama para saber la posición de nuestros vectores y ángulos si

nos lo proporciona el problema; en caso que no nos den los datos que

necesitemos, debemos tener la habilidad de obtener los ángulos y sacar

fuerzas que nos hagan falta para poder realizar la sumatoria.

1. Diagrama de cuerpo libre.

-Magnitud o módulo

- Dirección

-Nombre

2. Descomponer en componentes.

Recordemos:

El uso de las identidades dependerá de la posición de

los ejes, del vector y el ángulo. Hay que tener cuidado

cuando los ubiquemos en nuestra figura.

P á g i n a | 79

3. Sumatoria de las componentes.

…

4. Cálculo de la magnitud o módulo.

√

5. Sacar los ángulos

Vector unitario

Es muy importante que cuando

saquemos los ángulos debamos

respetar y no olvidar los signos

(positivos o negativos) ya que

estamos en tres dimensiones.

P á g i n a | 80

P á g i n a | 81

Libro de Riley

Problema ejemplo

2.8. Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas

representadas en la figura y los ángulos , , que forma la recta soporte

de la resultante con los semiejes positivos de coordenadas x, y, z.

{ }

{ }

Primero sacaremos la proyección y

enseguida la componente en cada eje, lo

haremos en un solo paso.

P á g i n a | 82

{ }

√

√

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 83

Libro de Hibbeler

Ejercicio

2.70. Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la

fuerza resultante, y trace este vector en el sistema coordenado.

P á g i n a | 84

Libro de Johnston

2.93. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante de las dos

fuerzas mostradas en la figura, si P= 4 kips y Q= 8 kips.

√

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 85

√

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 86

Libro de Riley

2.55. Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los

problemas siguientes. Determine el módulo R de la resultante y los ángulos

, , que forma su recta soporte con los semiejes positivos x, y, z de

coordenadas.

P á g i n a | 87

√

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 88

2.57. Utilizar el método de las componentes rectangulares para resolver los

problemas siguientes. Determine el módulo R de la resultante y los ángulos

, , que forma su recta soporte con los semiejes positivos x, y, z de

coordenadas.

√

√

√

√

(

√ )

(

√ )

√

√

√

√

(

√ )

(

√ )

(

√ )

(

√ )

P á g i n a | 89

√

√

√

√

(

√ )

(

√ )

√

√

(

)

(

)

(

)

P á g i n a | 90

Equilibrio de Partículas

(Estática de Partículas)

Trata de que los cuerpos en un sistema de fuerzas que se encuentre

equilibrado, en el que la resultante de todas las fuerzas que se ejercen, sea

nula, es decir 0. Podemos deducir que la primera condición de equilibrio

sería: Un cuerpo se encuentra en equilibrio, si y solo si la suma vectorial de

las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

En un plano de dos dimensiones sería:

Y en el de tres dimensiones:

Para la solución de estos problemas hay que saber que el proceso es

algebraico, obtendremos un sistema de ecuaciones lineales, y necesito al

menos conocer la magnitud de un vector y sus ángulos.

Para resolver, dado el diagrama. Encontramos el punto de concurrencia,

donde las fuerzas convergen. Aplicamos la tercera ley de Newton para

deducir la dirección de las fuerzas:

“Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere

decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y

dirigidas en sentido opuesto”

P á g i n a | 91

Se considerará el peso del cuerpo, es una fuerza que se dirige hacia abajo.

Considerando:

Realizamos nuestro diagrama de cuerpo libre y resolvemos.

Los pasos para resolver el problema son:

1. Descomponer cada vector según sea el caso

-Con ángulos respecto a lo ejes (2D y 3D)

-Distancias (2D y 3D)

-Proyecciones (3D)

2. Realizar las y e igualo a cero, para cumplir con las condiciones

de equilibrio.

3. Obtengo un sistema de ecuaciones.

4. Resolver el sistema.

P á g i n a | 92

P á g i n a | 93

Ejemplo:

Libro de Riley

3.1. Determinar los módulos de las fuerzas y que hagan que esté en

equilibrio el punto de la figura.

Paso 1. Descomponer cada fuerza

Paso 2. Hacemos las sumatorias y aplicamos las condiciones de equilibrio.

{ }

Hay que respetar el signo de las

componentes, checando la posición de

nuestras fuerzas, como en el caso de

y .

Multiplicamos cos/sen por la fuerza,

para reducir su expresión.

P á g i n a | 94

Obtenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, acomodando

correctamente las expresiones:

Ahora resolvemos, usaremos el método de suma y resta, y podemos

observa que podemos eliminar directamente la , ya que tiene valores

iguales pero con signos contrarios y así encontrar .

Ahora solo sustituimos el valor de en una de las ecuaciones para obtener

P á g i n a | 95

Para comprobar si el resultado es correcto y se encuentra en equilibrio, se

hacen la sumatoria de las fuerzas y la resultante será 0.

Teniendo las fuerzas, podemos sacar las componentes de cada; en , ya

las conocemos.

Usando la fórmula √

√

P á g i n a | 96



P á g i n a | 97

Sustituyo

P á g i n a | 98



(

)

(

)

(

)

(

)

Sacamos los ángulos:

Se nombró a los ángulos de acuerdo a

las fuerzas; por ejemplo a le

corresponde . Así sucesivamente.

P á g i n a | 99

Sustituyo:

P á g i n a | 100

Libro de Johnston

2.45. Una componente de máquina con forma irregular se mantiene en la

posición en la figura por medio de tres sujetadores. Si , determine

las magnitudes de las fuerzas y ejercidos por los otros dos

sujetadores.

El diagrama queda de ésta forma por la

dirección que tiene cada vector

P á g i n a | 101

Libro de Riley

3.16. Un cuerpo de masa de 250 kg pende del sistema de cables flexibles

representado en la figura. Determinar las tensiones de los cables, A,B,C y

D.

⁄

Primer diagrama

P á g i n a | 102

Segundo diagrama

P á g i n a | 103

Libro de Johnston

2.44. Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como indica la figura.

Determine la tensión en a) el cable AC b) el cable BC.

Para sacar los ángulos:

Utilizamos la calculadora

para resolver el sistema de

ecuaciones

P á g i n a | 104

Libreo de Riley

3.12. Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados dentro de una

caja tal como se indica en la figura. Cada cilindro tiene un diámetro de 250

mm y una masa de 245 kg. Determinar

a) La fuerza que el cilindro B ejerce sobre el A.

b) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen en D y E, las superficies

vertical y horizontal.

⁄

a)

P á g i n a | 105

b)

⁄

P á g i n a | 106

Libro de Hibbeler

3.6. Las barras de una armadura están articuladas en el nudo 0. Determine

la magnitud de y su ángulo por equilibrio. Considere

√

P á g i n a | 107

Libro de Riley

3.10. Un bloque de masa 10kg está en equilibrio sobre una superficie

horizontal lisa por la acción de dos cables flexibles, en la forma que se

indica en la figura. Determinar la fuerza que la superficie horizontal ejerce

sobre el bloque y el ángulo que forma el cable inclinado con la horizontal.

( ⁄ )

√

P á g i n a | 108

Libro de Johnston

2.48. Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se

muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 200 N, determina el

peso del semáforo en C.

P á g i n a | 109

P á g i n a | 110

Libro de Hibbeler

3.4. Determine la magnitud y el ángulo de necesarios para que la

partícula esté en equilibrio.

√

Se consideran signos contrarios

en la sumatoria para que me dé 0

P á g i n a | 111

3.2. Determine la magnitud y la dirección de necesarias para que la

partícula esté en equilibrio.

√

Ángulo complementario

P á g i n a | 112

3.10. El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC.

Cada cuerda puede resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de

romperse. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo más

pequeño con que el cajón puede ser levantado.

Se necesita hacer la misma fuerza del

peso para poder levantarlo

AB siempre permanece horizontal, por

lo tanto, lo que hace es equilibrar y el

que la levanta será AC

(

)

Entre más fuerza se aplique en “y” mayor es el ángulo, se busca el mínimo,

y la más pequeña fuerza aplicada es de 500 lb

P á g i n a | 113

Libro de Riley

Ejemplo 3.6. Un bloque está suspendido de un sistema de cables como se

indica en la figura. El peso del bloque es de 500 N. Determinar las tensiones

de los cables A, B y C.

P á g i n a | 114

P á g i n a | 115

Libro de Johnston

2.101. Un contenedor se sostiene por medio de tres cables que están

unidos al techo como se muestra en la figura. Determine el peso W del

contenedor si la tensión en el cable AB es de 6 kN.

P á g i n a | 116

P á g i n a | 117

Libro de Johnston

2.103. Tres cables son usados para amarrar el globo que se muestra en la

figura. Si la tensión en el cable AB es de 259 N. Determine la fuerza vertical

P que ejerce el globo en A.

P á g i n a | 118

Es una fuerza vertical, va

hacia arriba por el globo

P á g i n a | 119

Libro de Hibbeler

3.70. Determine las magnitudes de las fuerzas y necesarias para

mantener la fuerza { } en equilibrio.

P á g i n a | 120

P á g i n a | 121

EXTRAMUROS

MÉTODO TRIGONOMÉTRICO

Este método es recomendable para dos vectores.

Triángulo rectángulo

√

(

)

En este método la fuerza resultante toma el

lugar de la hipotenusa, y de ahí se deriva la

fórmula para obtener su magnitud, también

conocido como módulo. De igual forma

encontrar su ángulo.

Ley de los cosenos

Ley de los senos

Donde las letras minúsculas representan

los lados del triángulo, y las mayúsculas,

los ángulos.

Otra forma de conocer ésta fórmula es:

Donde:

H=Hipotenusa

CO= Cateto Opuesto

CA= Cateto Adyacente

√

P á g i n a | 122

Ejemplo:

Libro de Riley



2.1 Las fuerzas representadas en la figura:

Triángulo

equilátero

√

(

)

Triángulo

isósceles

Triángulo

escaleno

P á g i n a | 123

2.2. Las dos fuerzas representadas en la figura:

√

P á g i n a | 124

2.5. Determinar el módulo de la resultante R y el ángulo θ que forman la

recta soporte de la resultante y el eje x en lo que le sigue:

Lo primero que hay que hacer es sacar el ángulo de la fuerza B y tendremos

el ángulo .

Obteniendo esto, podremos formar e imaginar nuestro triángulo para aplicar

las fórmulas del seno y coseno.

√

Podemos trazar unas paralelas y el ángulo

será el mismo en esa posición. Teniendo

esos datos podemos sacar el módulo de la

fuerza resultante.

P á g i n a | 125


recta soporte de la resultante y el eje x:

(

)

(

)

Para obtener los ángulos:

Para sacar la fuerza resultante

necesitamos el ángulo que le

corresponde que es 45.57° y así

aplicar la ley de los senos, la cual

obtuvimos:

Recordemos que son ángulos

alternos.

√

P á g i n a | 126




√

De acuerdo a nuestro triángulo y la posición de nuestros vectores, obtenemos el

ángulo de 75° con la suma de 45°+30°.

P á g i n a | 127

CONCLUSIÓN

Con todos los ejercicios realizados y estudiados, podemos concluir que una

fuerza representa una acción sobre un cuerpo y se caracteriza por su

punto de aplicación, módulo o magnitud y dirección. La unidades de una

fuerza pueden ser Newton (N), libra (lb), kilonewton (kN), kilolibra (kip),

entre otras. El punto de aplicación es el punto donde entran en contacto los

cuerpos; la magnitud es la intensidad de la fuerza; la dirección de una

fuerza se refiere al ángulo que forma con algún semieje de nuestro plano, y

es importante indicar su sentido. En un plano de dos dimensiones, con un

ángulo del que tengamos conocimiento podemos saber la dirección de la

fuerza; pero en un plano tridimensional, se requiere conocer tres ángulos

para saber su sentido.

Dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola

fuerza, llamada fuerza resultante, que produce el mismo efecto de las dos

otras fuerzas juntas. Cualquier fuerza que actúe sobre un cuerpo puede

descomponerse en dos o más fuerzas, se puede reemplazar por otras

fuerzas que tengan el mismo efecto.

Las fuerzas se representan en vectores, un vector es una flecha que indica

una magnitud y dirección. Dos vectores con la misma magnitud y dirección

se dicen que son iguales, aunque su punto de aplicación sea distinto. Pero

si tiene la misma magnitud y una dirección contraria, se le conocerá como

vector negativo. La resta de un vector se define como la adición del vector

negativo correspondiente.

Para que un cuerpo se halle en equilibrio se necesita que la suma vectorial

de todas las fuerzas que sobre él actúan, sea nula.

P á g i n a | 128

Existen varios métodos para encontrar la resultante en un sistema de

fuerzas, pero sea cuál sea el método que utilicemos el resultado será el

mismo. Es cuestión de evaluar, analizar el problema y el diagrama para

identificar el método más conveniente para su solución. Los métodos

analíticos son los más exactos en cuestión de resultados, mientras en el

gráfico se obtienen aproximaciones cercanas.

El equilibrio de los cuerpos se caracteriza por la ausencia de cambios en su

movimiento. El reposo es un tipo particular de equilibrio cuya importancia

se manifiesta, como condición de estabilidad, en un edificio, en un puente o

en una torre. Sin embargo, el equilibrio de un sólido no se reduce

solamente a la ausencia de movimiento.

El estudio de las condiciones generales de equilibrio de los cuerpos y de su

aplicación en situaciones diversas se ocupa la estática, que puede ser

considerada, por tanto como la ciencia del equilibrio.

Todo lo aprendido nos sirve para saber la resistencia de materiales y la

mecánica, que nos dan conocimiento de las fuerzas de una estructura y

cuerpo, de tal forma que nos permite determinar sus dimensiones,

medidas, fuerzas, asegurando la estabilidad de la obra.

P á g i n a | 129

BIBLIOGRAFÍA

Beer, Ferdinand, Hohnston, e. Russel. Mecánica vectorial para

ingenieros. Estática. Sexta edición Mc Graw Hill.

Hibbeler Russell. Mecánica para ingenieros. Estática. C.E.C.S.A sexta

edición.

Riley, Willian F.Estática. Editorial Reverté, S.A.

Análisis de Fuerza

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