Analisis de Presiones Del Yacimiento

ANALISIS MODERNODE PRESIONES DE

POZOS

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000

t, hr

(t* P') r = 63.93 psi

t r = 30 hr

P r =260 psi

t i = 0.042 hr

Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

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Anlisis Moderno de Presiones de Pozos ? Freddy H. Escobar, Ph.D.

2

ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOSFreddy Humberto Escobar Macualo, Ph.D.

Prohibida su reproduccin sin previa autorizacin del autor

Neiva, Huila, Noviembre de 2003

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INTRODUCCION

Este texto contiene la programtica, objetivos y actividades a desarrollar en un curso depregrado o posgrado de Anlisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantescomo texto gua y herramienta bsica en el desarrollo de las clases. Este trabajo recopilainformacin de varios libros y artculos tcnicos relacionados con el tema en cuestinexistentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad. El texto rene algunas de lasexperiencias del autor en el rea de presiones de fondo, al igual que incluye aportesrecientes que l ha hecho a esta rama de la ciencia.

El programa a desarrollar consta de ocho captulos. El primero de ellos se orienta a ladescripcin del flujo de fluidos en medios porosos. All se estudian los conceptos bsicosdel anlisis de pruebas de presin y el principio de superposicin, as como la deduccin ysolucin de la ecuacin de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. El captulo dosse centra en el estudio de pruebas de declinacin de presin, completamiento parcial ypenetracin parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En ste, tambin se presentanlos fundamentos de almacenamiento y dao, al igual que una introduccin a los regimenesde flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este captulo se emplearn todas lastcnicas existente para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la tcnica de ajustepor curvas tipo (ms antigua) hasta el mtodo moderno llamado Tiab?s Direct SynthesisTechnique, ms nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especialatencin en esta tcnica toda vez que no solo es moderna sino tambin de uso muy prctico.El captulo tres estudia las pruebas de restauracin de presin y los mtodos paradeterminar la presin promedia del yacimiento. En el captulo cuatro se estudian laspruebas DST y los mtodos de interpretacin. Este captulo hace una breve introduccin ala determinacin de heterogeneidades en zonas aledaas al pozo. El captulo cincoconsidera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y sepresentan diversos mtodos para su determinacin. El captulo seis se centra en pruebasmltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos sonnaturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeas(microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogneos. Por sto, elcaptulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El captulo 8 est dedicado alos pozos hidrulicamente fracturados. All se estudian los diferentes regimenes de flujoque se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto deconductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace nfasis especial enla tcnica que elimina el uso de las curvas tipo y se estudian las fracturas de flujo uniforme,conductividad finita e infinita.

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PROLOGO

Ing. Luis Elias Quiroga Arjona oIng. MSc. Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION .................................................................................................... 3TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................ 91. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................... 101.1. CONCEPTOS BSICOS................................................................................ 10GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN.................................. 171.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD....................................................................... 181.3.1. MTODO I.................................................................................................. 181.3.2. MTODO II................................................................................................. 211.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD ............................. 231.3.4. SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE........................................................... 251.4. FACTORES ADIMENSIONALES................................................................... 341.4.1. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL ................... 341.4.2. SOLUCIN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI................................... 401.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DE DIFUSIVIDAD...... 411.6. DISTRIBUCION DE PRESION...................................................................... 471.7. DAO A LA FORMACIN (POZO)................................................................ 481.8. FLUJO DE GAS ............................................................................................ 511.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN....................................................... 601.9.1. DEDUCCIN DE LA DERIVADA DE LA PRESIN................................... 601.9.2. CONVERSIN DE LA ECUACIN DE DERIVADA DE PRESIN AUNIDADES DE CAMPO........................................................................................ 611.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA .............................................. 651.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.............................................................. 651.10.2. ECUACIN DE HORNE........................................................................... 661.10.3. ECUACIN DE BOURDET Y COLABORADORES ................................. 661.10.4. ECUACIN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT........................................ 671.10.5. ECUACIN DE SIMMONS ...................................................................... 671.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN .............................................................. 691.11.1. SUPERPOSICIN EN ESPACIO............................................................. 691.11.2. SUPERPOSICIN EN TIEMPO............................................................... 711.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ........... 731.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .................................. 731.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LNEA DE PRESINCONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ..................................................................... 741.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN............... 752. PRUEBAS DE DECLINACIN DE PRESIN.................................................. 782.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE).................................. 782.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE .......... 842.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY.................................. 862.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO................. 90

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2.3.2. MTODO DE EARLOUGHER.................................................................... 912.3.3. MTODO SEMILOG ................................................................................... 922.4. PRUEBA LMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)............................................. 1002.5. CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 1022.6. REGIMENES DE FLUJO............................................................................. 1022.7. POZOS HORIZONTALES........................................................................... 1072.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET............... 1102.9. MTODO DE TIABS DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE .......................... 1132.9.1. LNEAS Y PUNTOS CARACTERSTICOS................................................ 1142.9.2. ESTIMACIN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ................... 122EJEMPLO............................................................................................................ 1232.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL ......................... 1272.10.1. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFRICO ........................ 1302.10.2. ANLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFRICO.................. 1322.10.3. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................... 1342.10.4. TIABS DIRECT SNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJOHEMISFRICO ................................................................................................... 1432.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES................................................... 1442.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 1442.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIN PARCIAL ....... 1442.11. PRUEBAS MULTI-FLUJO......................................................................... 1492.12. PRUEBAS BI-FLUJO ................................................................................ 1522.13. METODO DE PINSON.............................................................................. 1562.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS.............................. 1582.15. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST ................................... 1582.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOSDESARROLLADOS METODO DE SLIDER..................................................... 1642.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES.................................................... 1662.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES................ 1773. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION............................................ 1853.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .............................................................. 1853.2. METODO DE HORNER ............................................................................... 1873.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................... 1873.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF)........................................... 1893.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBADE RESTAURACIN.......................................................................................... 1893.2.4. PREDICCIN DE LA DURACIN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) .... 1893.2.5. GRFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS................. 1903.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .................................. 1913.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT.......................................................... 1943.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOSDESARROLLADOS ............................................................................................ 1973.6 PRESIN PROMEDIA DEL YACIMIENTO................................................... 1993.6.1. MTODO DE MBH................................................................................... 1993.6.2. MTODO DE DIETZ ................................................................................. 2063.6.3. MTODO DE MDH.................................................................................... 2063.6.4. MTODO DE RAMEY-COBB.................................................................... 207

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3.6.5. MTODO DIRECTO (AZARI 1987).......................................................... 2073.6.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADOPSEUDOESTABLE............................................................................................. 2083.6.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ......................................... 2083.5.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES ....................................... 2093.6.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIN ................................................ 2103.6.6.4. DETERMINACIN DE LA PRESIN PROMEDIA EN SISTEMASCERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO 2103.6.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ............ 2114. PRUEBAS DST.............................................................................................. 2224.1. GENERALIDADES....................................................................................... 2224.1.1. PROPSITO............................................................................................. 2224.1.2. USOS DE LOS DATOS DST..................................................................... 2224.1.3. INFORMACIN CALCULADA DE UN DST ............................................. 2224.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA................................................... 2234.3. PROCESO DE PRUEBA............................................................................. 2234.3.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 2234.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER............................................................... 2244.4. CARTAS DE PRESIN DST........................................................................ 2244.4.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 2244.4.2. DST SECO................................................................................................ 2254.4.4. MLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................... 2254.4.5. DST CON DOBLE CIERRE...................................................................... 2254.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO................................................... 2254.5. METODO DE HORNER ............................................................................... 2254.6. ESTIMACIN DE LA PRESIN PROMEDIO O INICIAL............................ 2284.6.1. MTODO DE DATOS LIMITADOS (MTODO EN EL SITIO DEL POZO) 2284.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD...................................................... 2314.7.1. MTODO DE HORNER ........................................................................... 2314.7.2. MTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL .............................................. 2314.7.3. MTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN............................................ 2324.7.4. MTODO DE BIXEL Y OTROS ............................................................... 2335. HETEROGENEIDADES................................................................................. 2365.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ............................. 2365.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ..................................................... 2375.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIN DE PRESIN....................................... 2375.2.2. MTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LASDISCONTINUIDADES LINEALES DE GRFICAS DE RESTAURACIN DEPRESIN ............................................................................................................ 2395.2.2.1. MTODO DE HORNER ......................................................................... 2395.2.2.2. MTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................... 2425.2.2.3. MTODO DE EARLOUGHER............................................................... 2455.2.2.4. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................... 2475.3. FRONTERAS MULTIPLES ......................................................................... 2505.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA ....................................................... 2505.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ..................................................................... 2505.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ............................................... 250

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5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO........ 2525.5.1. CON FLUJO CRUZADO ........................................................................... 2525.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ............................................................................. 2526. PRUEBAS MULTIPLES ................................................................................. 2566.1. GENERALIDADES....................................................................................... 2566.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ 2566.2.1. MTODO DE EARLOUGHER................................................................... 2576.2.2. MTODO DE RAMEY............................................................................... 2596.2.3. MTODO DE TIAB Y KUMAR .................................................................. 2606.3. PRUEBAS DE PULSO ................................................................................. 2676.3.1. MTODO DE KAMAL BIRGHAM........................................................... 2687. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS .................................... 2777.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .................................... 2837.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO.............................................. 2857.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD............................................................................................................................ 2897.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAO.............................................. 2897.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION........................................... 2907.6. APLICACIN DE LA FUNCION PD A YACIMIENTOS NATURALMENTEFRACTURADOS................................................................................................. 2967.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO .................................. 3057.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOSFRACTURADOS NATURALMENTE................................................................... 3087.8.1. ASPECTO TERICO................................................................................ 3097.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS .............................................. 3107.8.2. PUNTOS Y LNEAS CARACTERSTICOS .............................................. 3107.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO3147.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO ........................................................... 3178. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................... 3258.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES......................... 3258.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIN ........................ 3258.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIN (FALLOFF) . 3288.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES ............................................ 3318.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS........................................................... 3418.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL ( P VS. ) .................................................. 3428.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL ( P VS. )...................................................... 3428.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ............................................... 3448.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)........................... 3468.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOSHIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 3488.8. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOSHIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 3488.8.1. SIMULACIN DE FRACTURAS .............................................................. 3488.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................. 3518.8.3. ANLISIS DE FLUJO BILINEAL .............................................................. 3528.8.5. ANLISIS DE FLUJO PSEUDORADIAL.................................................. 356

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8.9. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOSVERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS................................................. 3598.9.1. INTRODUCCIN...................................................................................... 3598.9.2. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ........ 3618.9.3. CARACTERSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA............................................................................................................................ 3668.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ............................................................... 3708.9.5. PROCEDIMIENTOS ................................................................................. 3718.10. TIABS DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CONFRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ...................................................... 3778.10.1. CARACTERSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA 3788.10.2. RGIMEN DE FLUJO BILINEAL............................................................ 3788.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ............................................. 3828.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL ............. 3838.10.5. INTERRELACIN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL.................. 3858.10.6. RELACIONES ENTRE BIRADIAL Y BILINEAL...................................... 3868.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMTICO........................................................ 3898.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ................... 403NOMENCLATURA .............................................................................................. 404BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 410

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1. FUNDAMENTOS GENERALES

1.1. CONCEPTOS BSICOS

Las pruebas de presin pueden entenderse por aplicacin de la tercera ley de Newton, comose ilustra en la Fig. 1.1.

Mecanismo delyacimiento

ModeloMatemtico

Perturbacinde entrada

Entradaal modelo

Salida derespuesta

Salida delmodelo

Fig. 1.1. Esquema de la representacin matemtica de una prueba de presin

Bsicamente los objetivos del anlisis de las pruebas de presin son:

Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamao, permeabilidad por espesor(til para Espaciamiento y estimulacin), presin inicial (energa y pronstico), lmites(tamao y determinacin de existencia de un acufero).Administracin del yacimientoDescripcin del yacimiento

Las pruebas DST y restauracin de presin. Se usan principalmente en produccin primariay exploracin.

Pruebas mltiples: Se usan ms a menudo durante proyectos de recuperacin secundaria.Pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores.

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0.5

0.5

0.25

GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA

Protuberancia Protuberancia Derivadanegativa

Reversamiento de presin en vez depico. Se puede observar un mnimo.Puede confundirse con el comporta-miento de un yacimiento naturalmentefracturado

Sistematotal

Sistema mspermeable

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Flujo radialen fisuras

Sistema mspermeable

Transicin

sistematotsl

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Pendienteunitaria

Un grfico acrtesiano de P vs. la raiz de tla mayora de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificacin de yacimientos

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log tD/CD*PD'

P

D

log PD

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Presin

P y t*P'

Presin

P y t*P'

Presin

P y t*P'

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Tabla 1.1. Parmetros obtenidos de pruebas de pozo

Tipo de Prueba Parmetro ObtenidoDST Comportamiento del yacimiento

PermeabilidadDao

Longitud de fracturaPresin del yacimientoLmites del yacimiento

FronterasPrueba de formacin mltiplerepetida

Perfil de Presin

Prueba de declinacin depresin

Comportamiento del yacimientoPermeabilidad

DaoLongitud de fractura

Lmites del yacimientoFronteras

Prueba de restauracin depresin

Comportamiento del yacimientoPermeabilidad

DaoLongitud de fractura

Presin del yacimientoFronteras

Prueba de paso de rata Presin de rotura de formacinPermeabilidad

DaoPrueba Falloff Movilidad en varios bancos

DaoPresin del yacimiento

Longitud de fracturaUbicacin del frente

FronterasPrueba de pulso e interferencia Comunicacin entre pozos

Comportamiento del tipo de yacimientoPorosidad

Permeabilidad interpozosPermeabilidad vertical

Pruebas de yacimientos concapas

Propiedades de capas individualesPermeabilidad horizontal

Permeabilidad verticalDao

Presin de capa promedioFronteras externas

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Tabla 1.2. Grficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

GrficasRgimende flujo

Cartesiana t 4 t Log-log Semilog

Almacenamiento Lnea rectaPendiente CIntercepto tc,

Pc

Pendiente unitaria en p yp

p y pcoincide

s Positivo

s Negativo

Flujo Lineal Lnea rectaPendiente xfInterceptoDao de fractura

Pendiente=1/2 en P y Psi s=0Pendiente =1/2 en p y Psi s=0 a medio nivel de PPendiente = despus dealmacenamiento indica uncanal del yacimiento

Flujo Bilineal Lnea rectaPendiente

Cfd

Pendiente=1/4??a de nivel de P

Primer IARF(alta-k capas,fracturas)

Disminucin dependiente

?? horizontal a ??D=1/2 Lnea rectaPendiente kh

P1hr sTransicin Ms disminucin

de pendienteseP 2

??D=1/4 (transicin)??D


16

se utilizan en todas las fases de produccin. Las pruebas multitasa, de inyeccin, deinterferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resumelos parmetros que pueden obtenerse del anlisis de pruebas de presin. Losingenieros de petrleos deberan tener en cuenta el estado del arte de la interpretacinde pruebas de presin, herramientas de adquisicin de datos, mtodos deinterpretacin y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos delAPP.

Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el anlisis de presiones comprendedos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificacin de los diferentes regimenesde flujo encontrados durante la prueba, (2) estimacin de parmetros. Entre ellostenemos: grficos log-log de presin y derivada de presin vs. tiempo de transiente(herramienta de diagnstico), grfico semilog de presin vs. tiempo, grficoCartesiano de los mismos parmetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes grficosy regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y caractersticas de flujoencontrados en una prueba de presin.

En general, el anlisis de presiones es una herramienta excelente para describir ydefinir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburfero. Losregmenes de flujo son una funcin directa de las caractersticas del sistemapozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarsemediante la deteccin de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal,no necesariamente implica la presencia de una fractura.

La interpretacin de pruebas de presin es el mtodo primario para determinarpermeabilidad, factor de dao, presin de yacimiento, longitud y conductividad defractura y heterogeneidad del yacimiento. Adems, es el nico mtodo ms rpido yms barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de dao y lapermeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo.

El perodo de comportamiento infinito ocurre despus del fin del almacenamiento yantes de la influencia de los lmites del yacimiento. Puesto que los lmites no afectanlos datos durante este perodo, el comportamiento de presin es idntico alcomportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por unaestabilizacin aparente del valor de la derivada.

El anlisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, dao, presinpromedia, longitud media de una fractura hidrulica, direccin de una fracturas,conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1)Definir el modelo del yacimiento e identificacin de los regmenes de flujo y (2)Estimacin de parmetros.

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1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIN

Declinacin de presin (ver. Fig. 1.4)

Tiempo

Tiempo0

q

tp

tp

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.4. Representacin esquemtica de pruebas de restauracin (derecha) ydeclinacin o cada de presin (izquierda)

Tiempo

Tiempo

0

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.5. Prueba de inyeccin (izquierda) y prueba Falloff (derecha)

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Restauracin de presin (ver. Fig. 1.4)

a) Es difcil mantener el caudal constanteb) No hay produccin

Inyeccin Ver (Fig. 1.5)

Falloff

Considera una declinacin de presin inmediatamente despus de la inyeccin.Idntico a una prueba de restauracin (ver Fig. 1.5)

Otras pruebas:

Interferencia

DST

Mltiples

1.3. ECUACIN DE DIFUSIVIDAD

Al inicio de la produccin, la presin en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozose expanden y se mueven hacia el rea de menor presin. Dicho movimiento es retardado porla friccin contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fludo. A mediaquen el fluido se mueve se crea un desbalance de presin que induce a los fludos aledaos amoverse hacia el pozo. El proceso contina hasta que la cada de presin creada por la puestaen produccin se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso fsico que toma lugar en elyacimiento puede describirse mediante la ecuacin de difusividad cuya deduccin se muestraa continuacin.

1.3.1. Mtodo I

(Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulacin del sistema

k dPvds

kA dPqds

Para flujo radial 2A rh

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19

r r+ r

r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

Masa que entra =3

3

L MqT L

2k Pq rhr

2 2 2r r dr

k P k Prh rh rh drr r t

2 2 2r r dr

k P k Ph r h r rh drr r t

1r dr r

k P k Pr rr r r

dr t

1 k Prr r r t

(1.1)

1 1VcV P P

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20

De donde;

( )oc P Poe (1.2)

1fc P

Colocando la Ec. 1.1 en trminos de :

ttt

Pt t P t

cc

ttcc

ttff 1

tcc

ct f

La parte derecha de la ecuacin de difusividad se ha simplificado completamente.Ahora continuando con el trmino de la izquierda:

1P Pr r c r

Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

tcc

crcrk

rr f1 (1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en trminos de p, se deriva la Ec. 1.2 conrespecto a r y t, as:

( )oc P Po

Pe cr r

( )oc P Po

Pe ct t

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21

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:

( ) ( )1 o oc P P C P Po f o

k r P Pe c c c e cr r c r c t

Extrayendo los trminos constantes de la derivada:

tP Pr c

kr r r t (1.4)

Defina la constante de difusividad, , como:

kct1

Luego resulta:

1 1P Prr r r t

Derivando;

2

21 1P P Prr r r t

2

2

1 1P P Pr r r t

(1.5)

En coordenadas cilndricas:

2 2 2

2 2 2 21 1 tz

r r r

k ckP P P P Pr r r k r k z k t

(1.6.)

1.3.2. Mtodo II

Para la mayora de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de cortepueden describirse mediante la ley de friccin de Newton la cual combinada con laecuacin de movimiento resulta en reconocida ecuacin de Navier-Stokes. Lasolucin de dicha ecuacin para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a ladistribucin de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometra de los poros,no permite la formulacin adecuada de las condiciones de frontera a travs del medio

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22

poroso. Luego, una aproximacin diferente se debe tomar. Darcy descubri unarelacin simple entre el gradiente de presin y el vector velocidad para una sola fase.El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es:

)2( rhdrV (1.7)

Puesto que,

PP+dP r

r+dr

h

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presin

dPdV

Vc 1

Entonces;

cVdPdV

De la Ec. 1.7, se tiene:

dPrhdrcdV )2(

SitVdq entonces reemplazando la relacin anterior en esta se tiene:

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23

tPrhdrcdq )2(

;

tPrhc

rq )2( (1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

rPkrhq )2( (1.9)

Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:

2

2

)2(rPr

rPkh

rq (1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:

2

2(2 ) (2 )P k P Pc rh h rt r r

;

2

2

rPr

rPk

tPrc

Rearreglando,

tP

kc

rP

rrP 12

2

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuacin de difusividad.

1.3.3. Limitaciones de la Ecuacin de Difusividad

a) Medio poroso isotrpico, horizontal, homogneo, permeabilidad y porosidadconstantes

b) Un solo fluido satura el medio porosoc) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible

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24

d) El pozo penetra completamente la formacin. Fuerzas gravitacional despreciables,e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2.

oc p pe o( ) (1.2)

A) Flujo radial

2

2

10.0002637

tcP P Pr r r k t

(1.12)

Donde;

P = psi = cp t = hr r = ftct = 1/psi = fraccin k = md

B) Flujo Multifsico (Mtodo de Perrine)

2

2

10.0002637

t

t

cP P Pr r r t

(1.13)

fwwggoot cScScScc

to

o

g

g

w

w

k k k

El mtodo asume gradientes de presin y de saturacin despreciables. Martindemostr que (a) El mtodo pierde exactitud a medida que la saturacin de gas seincrementa, (b) La estimacin de la movilidad es buena, (c) El clculo individual delas movilidades es sensible a los gradientes de saturacin. Se logran mejorestimativos cuando la distribucin de saturacin es uniforme y (d) El mtodosubestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de dao. Cuandohay flujo de gas libre:

mhBRqRqqk gswwsog

g

)(0001.0(162600

C) Flujo de Gas

tpm

kc

rpm

rrpm

gi

tgi )(0002637.0

)(1)(2

2

(1.14)

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25

0 2000 4000 6000 8000 10000

Z, cp

Presin

Lineal

Pseudopresin

Fig. 1.8. Pseudopresin

Donde m(P) es:

( )( ) ( )

m

p

p

dPm PP z P

1.3.4. Solucin de la Lnea Fuente

El anexo A presenta la solucin de la lnea fuente usando la transformada deBoltzman. A continuacin se presenta el mtodo de Combinacin de variablesindependientes, el cual es basado en el anlisis dimensional de Buckingham. Estetoma una funcin f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o funcin quecontenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya formageneral es:

1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s

s ax y z tb c d e

La ecuacin de difusividad es:

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26

1r r

r fr

ft

(1.15)

Donde f es:

wf

i wf

P Pf

P P

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

0, 0 , 0f r t

1, 0, 0fr r tr

0, , 0f r t

Definiendo un grupo de variables como:

s ar tb c (1.16)

Multiplicando la Ec. 1.15 por s/ s:

1r

ss r

rss

fr

ss

ft

Intercambiando trminos:

1r

sr s

rsr

fs

st

fs

(1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16:

sr

abr tb c1

st

acr tb c 1

Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:

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27

1 1 11 b c b c b cf fabr t r abr t acr tr s s s

2 2 2 11 b bc b cr r f fa b t r acr tr r s r s s

Puesto que rs

atb

c entonces;

a br

r ts

sat

fs

acr t fs

b cc

b c2 2

22 1

abr

r ts

s fs

acr t fs

b c b c2

21

br

ts

s fs

c fs

2

2

2

2

f r c fss s b t s

2 12

f c fs r t ss s b s

Comparando el trmino encerrado en parntesis cuadraron con la Ec. 1.16( s ar tb c ), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a,entonces:

2

f c fs ss s b a s

El trmino encerrado en parntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

f fs ss s s

Escribiendo como una ecuacin diferencial ordinaria:

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28

dds

s dfds

s dfds

(1.17.a)

Aplicando el mismo anlisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlasen funcin de s:

Condiciones iniciales:

0, 0 , 0f r t

puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s (1.17.b)

Condicin de frontera 1:

Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.

r fr

r t1 0 0, ,

Multiplicando la anterior ecuacin por s/ s:

r fs

sr

1

rfs

abr tb c1 1

rfs

ab rr

tb

c 1

fs

ab sat

tcc 1

Puesto que b = 2;

sfs

12

(1.17.c)


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29

f r t0 0, ,

Si s = ar2/t cuando r , s = ar2/t (1.17.d)

Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez ms grande. Luego, la nueva ecuacindiferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:

dds

s dfds

s dfds

(1.17.a)

Condiciones iniciales:

0,f s (1.17.b)


sfs

12

cuando s=0 (1.17.c)


0,f s (1.17.d)

Nota: Observe que la condicin inicial y la condicin de frontera 2 son lo mismo.Defina:

dfg sds

Entonces la Ec. 1.17.a se transforma en:

d g gds

Separando e integrando;

1ln g s c

g c e s dfds

s1 (1.18)

Despejando df;

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30

dfc e

sds

s1

1

sedf c dss

La anterior es una ecuacin que no es analticamente integrable (se resuelve por seriesde potencia):

2

1 ......2!

se sss

Simplificando la solucin:

f c es

ds cs

1 2

Aplicando la condicin de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:

c e s dfds

s1

12

Cuando s = 0, es = 0, entonces c1 = , luego;

f es

ds css1

2 02

Aplicando la condicin de frontera 2, f = 0 cuando s

20

102

se ds cs

de donde;

20

12

sec dss

entonces;

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31

0 0

1 12 2

s s se ef ds dss s

12

s sef dss

:

12

s

s

ef dss

)(21 sEf i

trEtrf i 42

1),(2

;

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

La ecuacin anterior es una muy buena aproximacin de la solucin analtica cuandose satisface (Mueller y Witherspoon) que rD 20 tD/rD2 0.5. La Fig. 1.10 esrepresentada por el siguiente ajuste:

21 dxbxcxay

donde:

r2 = 0.99833613a = 0.5366606870950616b = -0.8502854912915072c = 1.843195405855263d = 0.119967622262022

x = log(PD)

y

D

D

rt 102

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32

P

D

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33

PD

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34

La funcin exponencial puede ser evaluada mediante:

2 3 4

( ) 0.57721557 ln ....2 2! 3 3! 4 4!x x xEi x x x

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES

Los parmetros adimensionales no proporcionan una visin fsica del parmetro quese mide, pero si una descripcin general o universal de stos. Por ejemplo, un tiemporeal de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs enformaciones de muy baja permeabilidad o ms de 107 en formaciones de muypermeables.

1.4.1. Ecuacin de Difusividad en Forma Adimensional

2

2

1 tcP P Pr r r k t

(1.19)

Defina:

r rrD w

Derivando;

r r rw D (1.20)

2 2 2w Ddr r dr (1.21)

Reemplazando el valor de r y las Ecs. 1.20 y 1.21 en la Ec. 1.19:

2

2 2

1 tw D w D w D

cP P Pr r r r r r k t

22

2

1 t wD D D

c rP P Pr r r k t

(1.22)

Defina el tiempo adimensional como;

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35

1

100 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Ei(-x)

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 x 10

0.0001

0.001

0.01

0.1

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ei(-x)

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 x 1

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36

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.001 x 0.2

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.00 6.3315 5.6394 5.2349 4.9482 4.7261 4.5448 4.3916 4.2591 4.14230.01 4.0379 3.9436 3.8576 3.7785 3.7054 3.6374 3.5739 3.5143 3.4581 3.40500.02 3.3547 3.3069 3.2614 3.2179 3.1763 3.1365 3.0983 3.0615 3.0261 2.99200.03 2.9591 2.9273 2.8965 2.8668 2.8379 2.8099 2.7827 2.7563 2.7306 2.70560.04 2.6813 2.6576 2.6344 2.6119 2.5899 2.5684 2.5474 2.5268 2.5068 2.48710.05 2.4679 2.4491 2.4306 2.4126 2.3948 2.3775 2.3604 2.3437 2.3273 2.31110.06 2.2953 2.2797 2.2645 2.2494 2.2346 2.2201 2.2058 2.1917 2.1779 2.16430.07 2.1508 2.1376 2.1246 2.1118 2.0991 2.0867 2.0744 2.0623 2.0503 2.03860.08 2.0269 2.0155 2.0042 1.9930 1.9820 1.9711 1.9604 1.9498 1.9393 1.92900.09 1.9187 1.9087 1.8987 1.8888 1.8791 1.8695 1.8599 1.8505 1.8412 1.83200.10 1.8229 1.8139 1.8050 1.7962 1.7875 1.7789 1.7704 1.7619 1.7536 1.74530.11 1.7371 1.7290 1.7210 1.7130 1.7052 1.6974 1.6897 1.6820 1.6745 1.66700.12 1.6595 1.6522 1.6449 1.6377 1.6305 1.6234 1.6164 1.6094 1.6025 1.59570.13 1.5889 1.5822 1.5755 1.5689 1.5623 1.5558 1.5494 1.5430 1.5367 1.53040.14 1.5241 1.5180 1.5118 1.5057 1.4997 1.4937 1.4878 1.4819 1.4760 1.47020.15 1.4645 1.4587 1.4531 1.4474 1.4419 1.4363 1.4308 1.4253 1.4199 1.41450.16 1.4092 1.4039 1.3986 1.3934 1.3882 1.3830 1.3779 1.3728 1.3678 1.36280.17 1.3578 1.3528 1.3479 1.3430 1.3382 1.3334 1.3286 1.3239 1.3191 1.31450.18 1.3098 1.3052 1.3006 1.2960 1.2915 1.2870 1.2825 1.2780 1.2736 1.26920.19 1.2649 1.2605 1.2562 1.2519 1.2477 1.2434 1.2392 1.2350 1.2309 1.22680.20 1.2227 1.2186 1.2145 1.2105 1.2065 1.2025 1.1985 1.1946 1.1907 1.1868

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial para 4 x 18.9

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 94 0.003779 0.003349 0.002969 0.002633 0.002336 0.002073 0.001841 0.001635 0.001453 0.0012915 0.001148 0.001021 0.000909 0.000809 0.00072 0.000641 0.000571 0.000509 0.000453 0.0004046 0.00036 0.000321 0.000286 0.000255 0.000228 0.000203 0.000182 0.000162 0.000145 0.0001297 1.15E-04 1.03E-04 9.22E-05 8.24E-05 7.36E-05 6.58E-05 5.89E-05 5.26E-05 4.71E-05 4.21E-058 3.77E-05 3.37E-05 3.02E-05 2.70E-05 2.42E-05 2.16E-05 1.94E-05 1.73E-05 1.55E-05 1.39E-059 1.24E-05 1.12E-05 9.99E-06 8.95E-06 8.02E-06 7.19E-06 6.44E-06 5.77E-06 5.17E-06 4.64E-0610 4.16E-06 3.73E-06 3.34E-06 3.00E-06 2.69E-06 2.41E-06 2.16E-06 1.94E-06 1.74E-06 1.56E-0611 1.40E-06 1.26E-06 1.13E-06 1.01E-06 9.08E-07 8.15E-07 7.32E-07 6.57E-07 5.89E-07 5.29E-0712 4.75E-07 4.27E-07 3.83E-07 3.44E-07 3.09E-07 2.77E-07 2.49E-07 2.24E-07 2.01E-07 1.81E-0713 1.62E-07 1.46E-07 1.31E-07 1.18E-07 1.06E-07 9.50E-08 8.50E-08 7.70E-08 6.90E-08 6.20E-0814 5.60E-08 5.00E-08 4.50E-08 4.00E-08 3.60E-08 3.30E-08 2.90E-08 2.60E-08 2.40E-08 2.10E-0815 1.90E-08 1.70E-08 1.60E-08 1.40E-08 1.30E-08 1.10E-08 1.00E-08 9.00E-09 8.00E-09 7.00E-0916 7.00E-09 6.00E-09 5.00E-09 5.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 3.00E-0917 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-0918 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 0 0 0 0 0

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37

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 x 3.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 4.0379 3.3547 2.9591 2.6813 2.4679 2.2953 2.1508 2.0269 1.91870.1 1.8229 1.7371 1.6595 1.5889 1.5241 1.4645 1.4092 1.3578 1.3098 1.26490.2 1.2227 1.1829 1.1454 1.1099 1.0762 1.0443 1.0139 0.9849 0.9573 0.93090.3 0.9057 0.8815 0.8583 0.8361 0.8147 0.7942 0.7745 0.7554 0.7371 0.71940.4 0.7024 0.6859 0.6700 0.6546 0.6397 0.6253 0.6114 0.5979 0.5848 0.57210.5 0.5598 0.5478 0.5362 0.5250 0.5140 0.5034 0.4930 0.4830 0.4732 0.46360.6 0.4544 0.4454 0.4366 0.4280 0.4197 0.4115 0.4036 0.3959 0.3883 0.38100.7 0.3738 0.3668 0.3599 0.3532 0.3467 0.3403 0.3341 0.3280 0.3221 0.31630.8 0.3106 0.3050 0.2996 0.2943 0.2891 0.2840 0.2790 0.2742 0.2694 0.26470.9 0.2602 0.2557 0.2513 0.2470 0.2429 0.2387 0.2347 0.2308 0.2269 0.22311.0 0.2194 0.2157 0.2122 0.2087 0.2052 0.2019 0.1986 0.1953 0.1922 0.18901.1 0.1860 0.1830 0.1801 0.1772 0.1743 0.1716 0.1688 0.1662 0.1635 0.16091.2 0.1584 0.1559 0.1535 0.1511 0.1487 0.1464 0.1441 0.1419 0.1397 0.13761.3 0.1355 0.1334 0.1313 0.1293 0.1274 0.1254 0.1235 0.1216 0.1198 0.11801.4 0.1162 0.1145 0.1128 0.1111 0.1094 0.1078 0.1062 0.1046 0.1030 0.10151.5 0.100020 0.098544 0.097093 0.095666 0.094263 0.092882 0.091524 0.090188 0.088874 0.0875801.6 0.086308 0.085057 0.083825 0.082613 0.081421 0.080248 0.079093 0.077957 0.076838 0.0757381.7 0.074655 0.073589 0.072539 0.071506 0.070490 0.069489 0.068503 0.067534 0.066579 0.0656391.8 0.064713 0.063802 0.062905 0.062021 0.061151 0.060295 0.059452 0.058621 0.057803 0.0569981.9 0.056204 0.055423 0.054654 0.053896 0.053150 0.052414 0.051690 0.050977 0.050274 0.0495822.0 0.048900 0.048229 0.047567 0.046915 0.046273 0.045641 0.045017 0.044403 0.043798 0.0432022.1 0.042614 0.042035 0.041465 0.040903 0.040349 0.039803 0.039266 0.038736 0.038213 0.0376982.2 0.037191 0.036691 0.036198 0.035713 0.035234 0.034762 0.034297 0.033839 0.033387 0.0329412.3 0.032502 0.032069 0.031643 0.031222 0.030808 0.030399 0.029996 0.029599 0.029207 0.0288212.4 0.028440 0.028065 0.027695 0.027330 0.026970 0.026616 0.026266 0.025921 0.025581 0.0252462.5 0.024915 0.024589 0.024267 0.023950 0.023638 0.023329 0.023025 0.022725 0.022430 0.0221382.6 0.021850 0.021566 0.021287 0.021011 0.020739 0.020470 0.020205 0.019944 0.019687 0.0194322.7 0.019182 0.018935 0.018691 0.018450 0.018213 0.017979 0.017748 0.017520 0.017296 0.0170742.8 0.016855 0.016640 0.016427 0.016217 0.016010 0.015805 0.015604 0.015405 0.015209 0.0150152.9 0.014824 0.014636 0.014450 0.014266 0.014085 0.013906 0.013730 0.013556 0.013385 0.0132153.0 0.013048 0.012883 0.012721 0.012560 0.012402 0.012246 0.012091 0.011939 0.011789 0.0116413.1 0.011494 0.011350 0.011208 0.011067 0.010928 0.010791 0.010656 0.010523 0.010391 0.0102613.2 0.010133 0.010006 0.009882 0.009758 0.009637 0.009516 0.009398 0.009281 0.009165 0.0090523.3 0.008939 0.008828 0.008718 0.008610 0.008503 0.008398 0.008294 0.008191 0.008090 0.0079903.4 0.007891 0.007793 0.007697 0.007602 0.007508 0.007416 0.007324 0.007234 0.007145 0.0070573.5 0.006970 0.006884 0.006800 0.006716 0.006634 0.006552 0.006472 0.006392 0.006314 0.0062373.6 0.006160 0.006085 0.006010 0.005937 0.005864 0.005793 0.005722 0.005652 0.005583 0.0055153.7 0.005448 0.005381 0.005316 0.005251 0.005187 0.005124 0.005062 0.005000 0.004939 0.0048793.8 0.004820 0.004762 0.004704 0.004647 0.004591 0.004535 0.004480 0.004426 0.004372 0.0043193.9 0.004267 0.004215 0.004165 0.004114 0.004065 0.004016 0.003967 0.003919 0.003872 0.003825

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38

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

t ttD o

(1.23)

t t to D

22

2

1 t wD D D o D

c rP P Pr r r kt t

(1.24)

Para definir to, asuma que 12

o

wt

ktrc , de donde;

krct wto

2

(1.25)

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definicin de tD:

krctt wtD

2

(1.26)

Despejando tD;

2wt

D rcktt

Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

22

2 2

1 t wD D D Dt w

c rP P Pr r r tc rk

k

2

2

1

D D D D

P P Pr r r t

(1.27.a)

Solucin para el caso de rata constante;

ln /e w

kh PqB r r

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39

Ntese que la ecuacin anterior es la solucin de la ecuacin de difusividad paraestado estable. Despejando P;

ln ew

rqBPkh r

Definiendo:

P rrD

e

w

ln

DqBP P

kh

Esto significa que la cada de presin fsica en estado estable para flujo radial esigual a la presin adimensional multiplicada por un factor escalable, que para estecaso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento. El mismo concepto seaplica a flujo transitorio y a situaciones ms complejas, pero en este caso la presinadimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presin adimensionalsiempre es funcin del tiempo adimensional. En general, la presin a cualquier puntoen un sistema con pozo nico que produce a rata constante, q, est dada por:

[ ( , )] ( , , , geometra,....)i D D D DqBP P r t P t r C

kh

La presin adimensional es tambin afectada por la geometra del sistema, otrossistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, caractersticas anisotrpicas delyacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras.Despejando PD;

( , ) ( )D D D ikhP r t P P

qB (1.27.b)

Derivando dos veces;

DkhP P

qB (1.28)

2 2D

khP PqB

(1.29)

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40

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

2

2

1D D DD D D D

P P PqB qB qBkh r kh r r kh t

2

2

1D D DD D D D

P P Pr r r t

Solucin para el caso de presin constante:

; 0 1wfD Di wf

P PP P

P P

El procedimiento es similar al caso de rata constante.

1.4.2. Solucin de la Integral Exponencial, Ei

Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinitocon rw 0, r 0, P Pi. Defina;

r rrD w

2

0002637.0

wtD rc

ktt (1.30)

Art

Acktt wD

tDA

20002637.0 (1.31)

),( DDDD trPP

141.2D ikhP P P

q B (1.32)

Ejercicio: Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a travs de un pozolocalizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presin enel pozo despus de un mes de produccin:

Pi = 3225 psia h = 42 pies

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41

ko = 1 darcy = 25 %o = 25 cp ct = 6.1x10-6 /psi

Bo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulgA = 150 Acres q = 300 BPD

Acktt

tDA

0002637.0

76.0)6534000)(101.6)(25)(25.0(

)720)(1000)(02637.0(6DAt

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presin adimensional de 12.

ppq

khP iD 2.141

)()25)(32.1)(300)(2.141(

)42)(1000(12 ppi

P = 2825 psi.

Fig. 1.13. Geometra del yacimiento

1.5. APLICACIN DE LA SOLUCIN DE LA ECUACIN DEDIFUSIVIDAD

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

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42

P

D

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43

P

D

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44

P

D

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45

P

D

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46

ktrc

trx t

D

D22 948

4 (1.33)

Si P E xD i12

( ) entonces, se cumple que cuando x < 0.0025

E x xi ( ) ln( . )1781 (1.34)

E x xi ( ) ln . ln1781

E x xi ( ) ln .0 5772 (1.35)

Por definicin de PD;

P E xD i12

( )

PrtDD

D

12 4

0 57722

ln .

Pt

rDD

D

12

40 57722ln .

De la definicin de PD;

PtrD

D

D

12

0 809072ln . (1.36)

Esta ecuacin es vlida para tD/rD2 50 100.

ktrcE

khqpp tii

29486.70 (1.37)

Ejercicio: Un pozo y yacimiento tienen las siguientes caractersticas:

q = 20 BF/D = 0.72 cp ct = 1.5x10-5

= 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 piesB = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies

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47

Calcule la presin del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies despus de 0.3 hrs deproduccin.

22

82.310002637.0

wwtD rrc

ktt

Los tiempos adimensionales son:

Para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es,respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa laaproximacin logartmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 6.572(10)(150)

2993.43

ti i

c rqBp p Ekh kt

p psi

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 2.044(10)(150)

2997.96

ti i

c rqBp p Ekh kt

p psi

1.6. DISTRIBUCION DE PRESION

En el punto N, Fig. 1.15, la presin puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En lacara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solucin de la lneafuente como tal, el yacimiento se asume infinito.

Yacimiento infinito, Pi

Pozo

Punto N

Fig. 1.15. Distribucin de presin

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48

1.7. DAO A LA FORMACIN (POZO)

Hay varias formas de cuantificar dao o estimulacin en un pozo en operacin(productor o inyector). El mtodo ms popular es el de representar una condicin delpozo mediante una cada de presin en estado estable que ocurre en la cara del pozo,adicional a la cada de presin transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente.La cada de presin adicional, se llama efecto de dao y toma lugar en una zonainfinitesimalmente delgada: zona de dao.

P = P deplecin + P de dao

Algunos factores causantes de dao son:1. Invasin de los fluidos de perforacin2. Penetracin parcial del pozo1. Completamiento parcial2. Taponamiento de las perforaciones3. Precipitacin orgnico/Inorgnica4. Densidad de perforacin inadecuada o perforacin limitada5. Crecimiento bacteriano6. Dispersin de arcillas7. Presencia de torta y cemento8. Presencia de alta saturacin de gas alrededor del pozo

141.2i wf Dq BP P P

kh sin dao

141.2i wf Dq BP P P skh

(1.38)

141.2 141.2i wf Dq B q BP P P skh kh

(1.39)

141.2sq BP skh

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de dao tiene un radio finito,rs, con una permeabilidad alterada, ks, la cada de presin debido al dao se expresacomo la diferencia de presin existente entre la zona virgen y la zona alterada, esdecir:

s alterada en zona danada virgen en zona danadap P P

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49

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Radio, pies

S>0

S


50

pqkh

kk

rrs s

s

w

1412 1. ln (1.41)

29481141.22

t wi wf i

c rq BP P E skh kt (1.42)

Aplicando la aproximacin logartmica:

1141.2 ln 1.7812i wf

q BP P x skh

29481141.2 ln 1.7812

t wi wf

c rq BP P skh kt

;

294870.6 ln 1.781 2t wi wfc rq BP P s

kh kt

21688.4770.6 ln 2t wi wfc rq BP P s

kh kt

2

70.6 ln 1688.47 ln 2t wi wfc rq BP P s

kh kt

2 ln1070.6 7.4315 ln 2ln10

t wi wf

c rq BP P skh kt

puesto que el ln 10 = 2.3025

2ln[ /( )]7.4315 2162.62.3025 ln10 ln10

t wi wf

c r ktq B sP Pkh

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wfc rq BP P s

kh kt

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51

Log t

m

khBq

m6.162

Fig. 1.17. Grfico semilog

Cambiando de signo:

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wfc rq BP P s

kh kt

Invirtiendo el logaritmo:

2162.6 log 3.23 0.8686i wft w

q B ktP P skh c r

(1.43)

pendiente semilog

1.8. FLUJO DE GAS

Para flujo de gas la presin de fondo puede expresarse como m(p), p2 p.

2 22

1637log 3.23 0.886gwf i

t w

zTq ktP P skh c r (1.44)

-------------- x -------------

q = Mpcn/DT = R

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52

2 2 1637( )( ) gwf i wf i wf izTq

P P P P P P xkh

2wf iP PP

16372

gwf i

zTq xP Pkh P

162.6 10.092

gwf i

q zTP P xkh P

El trmino entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades depcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente 0.00504 /gB zT P en bbl/pcn. Resulta:

162.6 g gwf i

qBP P x

kh

Incluyendo el dao:

2162.6 log 3.23 0.8686wf i g gt w

ktP P q sc r

La ecuacin es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinitoest presente.

Sistemas Finitos cerrados

En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido porun periodo de transicin. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, el cuales un rgimen de flujo transitorio donde el cambio de presin con el tiempo, dP/dt,es constante en todos los puntos del yacimiento:

p

dP qdt cV

Luego la ecuacin de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:

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53

Area de drene

Fig. 1.18. Sistema cerrado

Pozo

A

B

C

D D

D D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas

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54

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

t D

A B C D

0.E+00

1.E+03

2.E+03

3.E+03

4.E+03

5.E+03

6.E+03

7.E+03

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

t D

A B C

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 1.E+07 2.E+07 3.E+07 4.E+07 5.E+07 6.E+07 7.E+07 8.E+07 9.E+07 1.E+08

t D

a) Derivada

b) Semilog

c) Cartesiano

Fig. 1.20. Comportamiento de la presin adimensional en un yacimiento cerrado

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55

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

t D

A B C D

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07 2.E+07 3.E+07 3.E+07 4.E+07 4.E+07 5.E+07 5.E+07

DD

t D

0.E+00

5.E+00

1.E+01

2.E+01

2.E+01

3.E+01

3.E+01

4.E+01

4.E+01

5.E+01

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

DC

t D

Fig. 1.21. Comportamiento de la presin adimensional en un yacimiento abierto

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56

1

p

P c qr cter r r k cV

El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en formaerrnea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presin es constantecon el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozoproductor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porcinmarcada con A denota los efectos de almacenamiento y dao en el pozo. Debido aellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa ms tarde como lo seala lazona demarcada como B. Esta zona se llama tambin zona de comportamientoinfinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistemainfinito. Obsrvese que pudiera existir una zona de transicin entre los periodos A yB pero aqu no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zonade transicin demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable quecorresponde a la demarcacin D, en donde la presin cambia linealmente con eltiempo. La representacin de dichos regimenes de flujo en trminos delcomportamiento de la presin se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r notiende a infinito. Para este tipo de yacimientos la solucin de la ecuacin exponenciales diferente de la solucin Ei. Si se asume que el pozo es una lnea fuente, entonces:

22

02 2

1 0

( )3( , ) 2 ln 22 4 ( )

n Dtn DDD D D D D

n n n

J rrP r t t r eJ

rrreD

e

w

0.0002637D

t

kttc A

n es la raz de:

021 enrJ

n n er

La solucin de la ecuacin de difusividad en forma adimensional est dada por:

2

1 1 2.54582 ln ln2 2D DA w A

AP tr C

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57

Ntese que si en la ecuacin anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor deforma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos ltimos trminosde la ecuacin se transforman en la solucin familiar ln(re/rw)-3/4. Una caractersticaimportante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presin con respectoal tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2 .

Sistemas Finitos Abiertos o de presin constante

Cuando en cualquier punto del yacimiento la presin no vara con el tiempo, se diceque el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero:

1 0Prr r r

Las funciones adimensionales de presin para flujo lineal y radial son,respectivamente:

( ) 2D ssLLhPA

( ) ln eD ssrw

rPr

Y la solucin de la ecuacin de difusividad ser:

0.00708 ( )ln /

e w

e w

kh P PqB r r

que es la forma radial de la ecuacin de Darcy. En los yacimientos, el estado establepuede ocurrir solamente cuando el yacimiento est completamente recargado por unacufero o cuando la inyeccin y la produccin se encuentran balanceadas. Sinembargo, un yacimiento que posee un acufero muy activo no siempre actuar bajoestado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que seseguir por el estado estable una vez la cada de presin haya tocado las fronteras delyacimiento. La representacin de los regimenes de flujo en trminos delcomportamiento de la presin, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. Laextraccin de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasionauna perturbacin de presin. Aunque se espera que dicha perturbacin viaje a lavelocidad del sonido, sta se atena rpidamente de modo que para una duracin dadade tiempo de produccin existe una distancia, el radio de drenaje, ms all del cual nose observarn cambios sustanciales de presin. A medida que se extrae ms fluido (ose inyecta) la perturbacin se mueve ms dentro del yacimiento con continuadeclinacin de presin en todos los puntos que han experimentado declinacin de

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presin. Una vez se encuentra una frontera la presin en la frontera continadeclinando pero a una rata ms rpida que cuando la frontera no se haba detectado.Por otro lado si el transiente de presin alcanza una frontera abierta (empuje de agua)la presin se mantiene constante en algn punto, las presiones ms cercanas al pozodeclinarn ms despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambiosde caudal o pozos adicionales causan transientes de presin adicionales que afectantanto la declinacin de presin como la distribucin de la misma. Cada pozoestablecer un rea de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra unafrontera de flujo o no, el gradiente de presin no el nivel de presin- tiende aestabilizarse despus de tiempo de produccin suficientemente largo. Para el caso defrontera cerrada, la presin alcanza el estado pseudoestable con un gradiente depresin constante y una declinacin de presin general en todo punto y que es linealcon el tiempo. Para yacimientos de presin constante, se obtiene el estado estable,tanto la presin como su gradiente permanecen constantes con el tiempo.

EJEMPLO

Un pozo sencillo en un yacimiento est produciendo un caudal constante de petrleode 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son:

= 1.3 cp ct = 1.62x10-5 psi-1 = 18 %Pi = 2800 psia re = 3500 ft rw = 0.3 ftB = 1.25 bbl/STB h = 80 ft k = 75 mds =1.5

a) Halle la presin del pozo fluyendo despus de un mes de produccin.b) Determien la presin del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft

para el mismo tiempo de produccin. Graficar el perfil de presin.

SOLUCION

a) El tiempo adimensional es obtenido mediante;

2 5 2

0.0002637 0.0002637(75)(720) 41737891.7(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3)D t w

kttc r

Note que la relacin tD/rD2 es mucho mayor que 70, entonces la aproximacinlogartmica de Ei puede ser usada:

3559.1880907.07.41737891ln80907.0ln 2D

D

rtxEi

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59

Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar dela tabla 1.3 de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante:

2 5 29948 948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3) 5.9895 10

75(30)(24)tc rx

kt

Entonces, Ei se evala usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincidemuy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presin de pozo fluyendo se estimausando la Ec. 1.43:

)5.1(8686.023.3)1)(1062.1)(3.1)(18.0(

)720)(75(log)80)(75(

)25.1)(3.1)(110(6.1622800 25wfP

Pwf = 2755.3 psi

La Ec. 1.43 est limitada por el valor de tD/rD2. Si este fuera el caso, otra manera derepresentar la Ec. 1.34 es:

)(6.70),( xEikh

BqPtrP i (1.45)

Reemplazando los parmetros conocidos en la ecuacin anterior:

70.6(110)(1.3)(1.25)( , ) 2800 18.356 2755.1 psi(75)(80)

P r t

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b;

Tabla 1.4. Distribucin de presin

Radio, ft x Ei(-x) p, psi P, psia0.3 5.99x10-9 18.356 44.92 2755.11 6.66 x10-8 15.948 33.54 2766.52 2.66 x10-7 14.561 30.62 2769.45 1.66 x10-6 12.729 26.77 2773.210 6.65 x10-6 11.342 23.85 2776.220 2.66 x10-5 9.956 20.94 2779.1100 6.65 x10-4 6.738 14.17 2785.81000 6.65 x10-5 2.198 4.623 2795.4

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60

2750

2760

2770

2780

2790

2800

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Radio, pie

Fig. 1.22. Distribucin de presin en el yacimiento

5 28948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(1) 6.655 10

75 (30 24)x

Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presin se estima con la Ec. 1.45:

psitrP 5.2766948.15)80)(75(

)25.1)(3.1)(110(6.702800),(

Los valores de presin para los dems radios son reportados en la tabla 1.4 ygraficados en la Fig. 1.22. Se observa en la grfica que las mayores cadas de presintienen lugar en la regin cercana a la cara del pozo, como se esperaba.

1.9. FUNCIN DE DERIVADA DE PRESIN

1.9.1. Deduccin de la Derivada de la Presin

D

DiDDD t

rEtrP42

1,2

Derivando respecto a tD:

D

Di

DD

D

trE

ttp

421 2 (1.46)

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Puesto que,

x

u

i duuexE

Aplicando este concepto:

D

D

t

r

u

DD

Di

D

uu

ett

rEt 4

2

24

D

D

tr

D

u

D

Di

D tu

ue

tr

Et

4

2

2

4

Tomando la derivada v/ tD y remplazando v por rD2/4tD:

2

2

2

4/2

44

4

2

D

D

D

D

tr

D

Di

D tr

tr

etrE

t

DD

DD tr

DD

Di

D

ett

rEt

4/2

214

(1.47)

Combinando (1.37) y (1.38)

DD tr

DD

D ett

p 4/2121 (1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que:

D

Dt

r

DD

D ett

p 42

121 (1.49)

El anterior concepto fue introducido por Tiab en 1975.

1.9.2. Conversin de la Ecuacin de Derivada de Presin a Unidades de Campo

Tomando la Ec. 1.49

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62

DD tr

DD

D ett

p 4/221

Puesto que,

2

000264.0

wtD rc

ktt (1.50)

qPPkh

P wfiD 2.141 (1.51)

Las Ecs. 1.50 y 1.51 estn expresadas en unidades de campo. Tomando la derivadapara las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t.

2

000264.0

wt

D

rck

tt (1.52)

tP

qkh

tp wfD

2.141 (1.53)

Puesto que se puede escribir:

tttP

tp

D

D

D

D

// (1.54)

Aplicando el concepto de la Ec. 1.54

tP

kqctrkh

tP wfw

D

D

000264.02.141

2

(1.55)

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tD

ktrrcr

wtwfwtwt

ekt

rct

Pkq

rckh 000264.04/22 222

000264.02000264.02.141

ktrc

wft

ett

Pq

kh2948

21

2.141

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63

Simplificando

ktrc

wft

ekht

qt

P2948

6.70 (1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo

Pt

Pt

eDD

DD

rtD

D' 12

2

4 (1.57)

En el pozo, rD = 1, luego:

Dt

DD et

P 41

21' (1.58)

Para tD > 250, 1/ 4 1Dte , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

DD t

P21' (1.59)

Tomando logaritmo a ambos lados:

2loglog1log'log DD tP

301.0log'log DD tP (1.60)

Lo que indica que la grfica log-log de PD contra tD da una lnea recta de pendienteunitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 seconvierten:

1 70.6' wfwfP q BPt t kh

(1.61)

;

70.6log ' log logwfq BP t

kh (1.62)

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64

Log t

khBqP hr

6.701

1 hr

P1hr

Fig. 1.23. Grfico log-log de Pwf vs. t

m = -1

m = -1

log t D

Fallasimple

Fig. 1.24. Identificacin de fallas mediante grfico log-log de PD vs. tD

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65

m

2m

log t D

Fallasimple

Fig. 1.25. Identificacin de fallas mediante grfico de PD vs. log tD

Con efectos de almacenamiento (WBS) y dao la lnea no da recta. Con ??1hr sepuede hallar k kh por medio de la Ec. 1.63.

1' 70.6hrqP

kh (1.63)

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA

1.10.1. Diferencia Finita Central

Calcular la derivada de la Presin requiere de algn cuidado, debido a que el procesode diferenciacin de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente.Una diferenciacin numrica usando puntos adyacentes producir una derivada muyruidosa.

111

11

11

11

111

11 2

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iiii

i ttttPtt

ttttPttt

ttttPttt

tPt

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66

111

11

11

211

111

11

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt (1.64)

1.10.2. Ecuacin de Horne

Cuando los datos estn distribuidos en una progresin geomtrica (con la diferenciade tiempo de un punto al siguiente muchos ms grande a medida que pasa la prueba),entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciacin numricacon respecto al logaritmo del tiempo. El mejor mtodo para reducir el ruido es usardatos que estn separado por lo menos 0.2 de un ciclo logartmico, en vez de puntosque estn inmediatamente adyacentes. Por lo tanto:

kijikii

iiji

iiii

iikiji

kijiiji

jikii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln 111

2

(1.65)

2.0lnln iji tt

2.0lnln kii tt

1.10.3. Ecuacin de Bourdet y colaboradores

Este algoritmo de diferenciacin reproduce la curva tipo de la prueba sobre elintervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto despus del puntode inters, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para elpunto considerado.

11

11

11

1

1

ii

iiii

iiii

ii

ii

i XX

XXXXPPXX

XXPP

dxdP (1.66)

Siendo X el logaritmo natural de la funcin de tiempo .

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67

L L

(t , X )1 1

(t , X )2 2

Fig. 1.26. Ilustracin del suavizamiento

1.10.4. Ecuacin de Clark y Van Golf-Racht

Clark y van Golf-Racht utilizan el mtodo de Bourdet y escriben ste en trminos deP y t, generando una funcin que utiliza una sola diferencia progresiva.

1 22 1

1 2

1 2

X Xt tt tdX

dt t t (1.67)

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logartmica aplicada.

1.10.5. Ecuacin de Simmons

La rata de flujo se calcula por diferenciacin numrica de la longitud de la columnade un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incremen

Analisis de Presiones Del Yacimiento

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